UNIDAD N°2

PROBABILIDAD Y
VARIABLES
ALEATORIAS
Temario
O Espacio muestral
O Variables aleatorias
O Probabilidad
O Variables aleatorias discretas y continuas
O Teorema de Bayes
O Momentos: esperanza y varianza
Para tener en cuenta.....
-¿Qué tal van las clases,
Bartolo? Me pregunta mi
barbero.
-Bien... Dando probabilidad
y estadística... Respondo.
-¡Ah! Probabilidad... Yo
suelo jugar a la lotería...
Dice mientras me pasa la
cuchilla.

-Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos

posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de
probabilidad de ganar y un 50% de perder.
-¡Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es
bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...
 DETERMINISTI
COS

EXPERIMEN
TOS
ALEATORI
OS
EXPERIMENTO ALEATORIO
El término “experimento aleatorio” se utiliza en la
teoría de la probabilidad para referirse a un
proceso cuyo resultado no es conocido de
antemano con certeza.
“Suma de valores en el lanzamiento de 2 dados.”

Espacios muestrales
En estadística, al conjunto de todos los resultados posibles
de un experimento se le denomina espacio muestral, ya
que suele constar de todas las cosas que pueden resultar
cuando se toma una muestra. Se acostumbra denotar los
espacios muestrales con la letra S (o ).
EVENTO:
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un
experimento aleatorio.
Ya que los eventos son subconjuntos, entonces es posible utilizar las
operaciones básicas de conjuntos, tales como uniones, intersecciones y
complementos, para formar otros eventos de interés. A continuación se
proporciona un resumen de algunas operaciones básicas de conjuntos, en
términos de eventos:

La unión de dos eventos es el evento que está formado por todos los
resultados contenidos en cualquiera de los dos eventos.
La unión se denota por E1  E2.
La intersección de dos eventos es el evento que está formado por los
resultados contenidos en ambos eventos.
La intersección se denota por E1  E2.
El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de
resultados en el espacio muestral que no están en el evento.
Este componente del evento E se denota por E', EC o E
EJEMPLO:
Dado el experimento, lanzar un dado legal

 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EVENTO
S:
A: al lanzar un dado salga 1 A = {1}

B: al lanzar un dado salga par B = {2, 4, 6}

C: al lanzar un dado salga impar C = {1, 3, 5}

D: al lanzar un dado salga menor que 4 D = {1, 2, 3}

E: al lanzar un dado salga mayor que 6 E=

CLASIFICACION DE
EVENTOS
EVENTO SIMPLE =
A
EVENTOS COMPUESTOS = B, C,
D
EVENTOS POSIBLES = A, B, C,
D
EVENTOS IMPOSIBLES
=E
Dos eventos A y B se dicen mutuamente excluyentes
cuando no tienen elementos en común. Esto es, al darse
uno de ellos, el otro queda inmediatamente excluido.
El concepto de eventos mutuamente excluyentes se
expresa por la condición conjuntista A  B = .
EJEMPLO: B  C = 

Dos eventos A y B se dicen exhaustivos si su unión es

igual al espacio muestral . Mediante la terminología
de conjuntos se tiene, A  B = .
EJEMPLO: B  C = 
NOTACIONES DE CONJUNTOS Y DIAGRAMAS
DE VENN
Conjunto universal: U
Complemento del conjunto A respecto de U: A
o bien: AC

Conjunto vacío: Ø

Subconjunto: B ⊂ A
 OPERACIONES DE
CONJUNTO

Unión de conjuntos: A ∪ B

Intersección de conjuntos: A ∩ B
Diferencia de conjuntos:
 PROBABILIDAD
O El principio de la estadística es sacar tantas
conclusiones confiables como sea posible a partir de
los resultados de los experimentos.

O Antes que se proceda a sacar conclusiones es

necesario tener un modelo matemático tal que pueda
tomar en cuenta la variación encontrada cuando se
repite el experimento esencialmente en las mismas
condiciones.

O Estos fenómenos se llaman fenómenos aleatorios.

 PROBABILIDAD
Existen dos tipos de probabilidad

A Priori (antes de)

A Posteriori (después
de)
 Definiciones de
Probabilidad
Concepto clásico de probabilidad
Si hay n resultados igualmente posibles, todos los
cuales ocurren y s son considerados favorables a un
evento A o como un “éxito”, entonces la probabilidad
de un “éxito” está dada por:

s
P( A) 
n
Concepto empírico de probabilidad

Entre las diversas nociones de probabilidad,

la más ampliamente utilizada es la
interpretación de probabilidad como
frecuencia relativa, según la cual:

La probabilidad de un evento (que suceda

o que resulte) es la proporción de veces
que el evento sucedería en una serie
prolongada de experimentos repetidos.
O Ejemplo: Ciertas pruebas muestran que 294 de
300 aislantes de cerámica probados podrían
resistir un choque térmico,

O ¿cuál es la probabilidad de que cualquiera de

tales aislantes pueda resistirlo?
O Solución 294
 0.98
O Entre los aislantes probados, 300

O pueden resistir el choque térmico, y utilizamos

esta cifra como una estimación de la
probabilidad.
 Concepto axiomático de
probabilidad
Dados un espacio muestral finito  y un evento A
en , definimos P (A), o sea la probabilidad de A,
como el valor de una función aditiva de conjunto
que satisface las tres condiciones siguientes:
Axioma 1. 0  P(A)  1 para cada evento A en
.
Axioma 2. P() = 1.
Axioma 3. Si A y B son eventos que se excluyen
mutuamente en , entonces
P (A  B) = P (A) + P (B)
o El primer axioma establece que las probabilidades
son números reales que varían entre 0 y 1.
o El segundo axioma afirma que al espacio muestral
completo se le asigna una probabilidad de 1 y esto
expresa la idea que la probabilidad de un evento
cierto, o sea un evento que debe suceder, es igual a
1.
o El tercer axioma establece que las funciones de
probabilidad deben ser aditivas.

Los axiomas de una teoría matemática no requieren demostración, pero si se

le aplica al mundo físico, debemos comprobar de algún modo que los
axiomas son “realistas”. Así, mostramos que los tres postulados son
consistentes con el concepto clásico de probabilidad y la interpretación como
frecuencia relativa.
 Algunos teoremas elementales
Si A1, A2, . . . , An son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral
, entonces P(A1  A2 . . .  An ) = P(A1) + P(A2) + · · · + P(An)

Ejemplo: La probabilidad de que un servicio de pruebas para consumidores

califique un nuevo dispositivo anticontaminante de autos como muy malo,
malo, regular, bueno, muy bueno o excelente es de 0.07, 0.12, 0.17, 0.32, 0.21
y 0.11, respectivamente. ¿Cuáles son las probabilidades de que lo califiquen
como
a) muy malo, malo, regular o bueno;
b) bueno, muy bueno o excelente?

Solución
Dado que todas las posibilidades se excluyen mutuamente, la simple
sustitución directa en la formula del teorema 2.4. da el resultado
0.07 + 0.12 + 0.17 + 0.32 = 0.68 para la parte a) y
0.32 + 0.21 + 0.11 = 0.64 para la parte b).
 Algunos teoremas elementales

Si A y B son eventos cualesquiera en , entonces:

P(A  B ) = P(A ) + P(B ) – P(A  B ) (regla de la
adición)

Si A es cualquier evento en , entonces P (AC) = 1 –

P(A), (probabilidad del complemento)
 Técnicas de Conteo
Principio de multiplicación
Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este evento
un evento F puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos
pueden ocurrir un total de m x n formas.

Ejemplo: Menú en restaurant

Supongamos que un restaurant ofrece 4

entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De
cuántas formas un cliente puede ordenar una
comida?

El número de maneras diferentes en que podemos

ordenar una comida son:
4 х 5 х 2 = 40.
 Principio aditivo

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda

acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, pero no es posible realizar
ambas acciones conjuntamente, entonces n1 o n2 pueden realizarse
alternativamente de n1 + n2 maneras diferentes.
MEDIO DE TRANSPORTE.
Para viajar de México a Ensenada se puede optar por avión, autobús o tren;
existen tres rutas para el avión, cuatro para el autobús y dos para el tren.
¿Cuántas rutas hay para viajar?

El número de maneras diferentes en que podemos viajar de México a

Ensenada son: 3 + 4 + 2 = 9.
 Regla Factorial
Una colección de n elementos distintos se pueden acomodar de n! formas
diferentes. Es decir, el primer elemento se puede seleccionar de n maneras
distintas, el segundo de n-1 maneras, y así sucesivamente.

Ejemplo: Mesa de honor

Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa de
honor y se le solicita que haga un listado de las
diferentes formas de ordenar a las personas. Antes
de aceptar la tarea decide investigar cuántas formas
diferentes existen.

Respuesta: Se aplica la regla factorial. Para el primer puesto hay 8 opciones,

para el segundo, 7, para el tercero 6, y así sucesivamente. Entonces hay 8!
Formas de acomodar a las personas: 40320. (No sería sencillo tratar de hacer
la lista completa).
 Permutaciones
Se le llama permutación a cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos
en un orden dato. Un ordenamiento de r de éstos objetos se denomina
permutación r o permutación de n objetos tomados r a la vez.

La siguiente fórmula aplica…

• Si existen n elementos diferentes disponibles. (No aplica si algunos

elementos son iguales)
• Se selecciona r de los n elementos
• Los reordenamientos de los mismos elementos se consideran secuencias
diferentes​
𝑛!
𝑛𝑃𝑟 =
( 𝑛 −𝑟 ) !
Ejemplo: Sitios disponibles

¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios

disponibles?

Respuesta

10 ! 10 !
10 𝑃 4= = =10 × 9× 8 ×7=5040 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
( 10 − 4 ) ! 6 !
Permutaciones con repeticiones
Cuando se desea conocer el número de permutaciones de un
conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales.

La siguiente fórmula aplica cuando…

 Existen n elementos disponibles, y algunos de ellos son

idénticos a otros

 Seleccionamos todos los n elementos (sin reemplazo)

 Consideramos que los reordenamientos son secuencias

diferentes.
𝑛!
𝑃 𝑛𝑛1 ,𝑛1 , ..𝑛𝑘 =
𝑛1 !𝑛 2 ! … 𝑛𝑘 !
Ejemplo: Señales con banderas

En un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes.

¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9
banderas?

9 9!
𝑃 3,2,4 = =1260 𝑠𝑒 ñ 𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
3 !2 ! 4 !
 COMBINACIONES
Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las combinaciones son
subconjuntos de r objetos, en donde una combinación es distinta de
otra si difiere en al menos un elemento, sin importar el orden de éstos.

Se puede expresar de la forma:

()
𝑛 =𝐶 𝑛 =𝐶 ( 𝑛 , 𝑟 )= 𝑛!
𝑟
𝑟 𝑟 ! ( 𝑛 −𝑟 ) !

Condición: r < n.
Ejemplo

En un sorteo cada participante debe elegir cuatro números distintos del 1 al 25.
Durante el sorteo se sacan cuatro números sin repetición y ganan quienes
acierten a los cuatro números sin importar el orden en que salgan.
¿Cuántos posibles resultados puede tener el sorteo?

Puesto que no importa el orden en que salen los números,

se trata de combinaciones:

=12650
 DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Es una técnica gráfica para encontrar el número de posibles resultados para

un experimento que consta de eventos sucesivos.
Al lanzar una moneda tres veces, los posibles resultados en serie se pueden
contar en este árbol.
 Planteamos un Juego
Lanzamos dos dados y sumamos los números que aparecen
en la cara superior
Los resultados posibles son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12

Ustedes se quedan con los resultados: 2, 3, 4, 10, 11 y 12

¿Aceptan la apuesta?
 PROBABILIDAD CONDICIONAL
La Oficina de Acción Social lleva a cabo un censo de todas las personas que
viven en una pequeña comunidad. Los encuestadores anotan en una relación el
número de visitas que una persona hace al centro de salud y las condiciones
sanitarias de la vivienda que habita. Los resultados fueron como se da en la tabla
que sigue:

Condiciones Sanitarias
Número de visitas Total
Buenas Malas
2 o menos 700 100 800
más de dos 800 400 1200
Total 1500 500 2000
 Si se elije una persona al azar
¿Cuál es la probabilidad de que asista 2 o menos al centro de salud?

¿Cuál es la probabilidad de que la condición sanitaria de su vivienda

sea buena?

Condiciones Sanitarias
Número de visitas Total
Buenas Malas
2 o menos 700 100 800
más de dos 800 400 1200
Total 1500 500 2000

800 1500
𝑃 ( 2 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 )= 𝑃 ( 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑎𝑠 ) =
2000 2000

Probabilidad Marginal
Si se elije una persona al azar
¿Cuál es la probabilidad de que asista 2 o menos al centro de salud y
que la condición sanitaria de su vivienda sea buena?

Condiciones Sanitarias
Número de visitas Total
Buenas Malas
2 o menos 700 100 800
más de dos 800 400 1200
Total 1500 500 2000

700
𝑃 ( 2 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑦 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑎𝑠 ) =
2000

Probabilidad Conjunta
Si se elije una persona al azar y se sabe que la
condición sanitaria de la vivienda es buena

¿Cuál es la probabilidad de que asista 2 o menos al centro de salud?

Condiciones Sanitarias
Número de visitas Total
Buenas Malas
2 o menos 700 100 800
más de dos 800 400 1200
Total 1500 500 2000

700

𝑃 ¿ ¿
2000
1500
=
𝑃 (2 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑦 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑎𝑠)
𝑃 ( 𝐵𝑢𝑒𝑛𝑎𝑠 )
2000

Probabilidad
Condicional
Sean A y B dos eventos, la probabilidad condicional de A dado B se
denota y define de la manera siguiente:

P(A  B)
P(A / B)  , P( B)  0
P(B)

Igualmente se tiene
P(A  B)
P(B / A )  , P( A )  0
P(A )

como la probabilidad con­dicional de B dado A.

Teorema de multiplicación
 
El resultado que reconocemos con este nombre no es otra cosa que una
generalización de la fórmula que hemos señalado P(A  B) = P(A/B) P(B),
por ello se le llama regla general de multiplicación.

Para tres eventos se tiene,

P(A1  A2  A3) = P(A1  A2) P(A3/A1  A2) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1  A2) y
así sucesivamente.

EJEMPL
O
Una urna contiene tres bolas negras y siete bolas rojas. Se efectúa el siguiente
juego. Se extrae una bola, se observa su color y luego se devuelve a la urna
con dos bolas adicionales del mismo color. Si se realizan tres extracciones una
a continuación de otra, halle la probabilidad de que en cada una de ellas se
extraiga una bola negra. Definimos los eventos Ai: una bola negra que es
seleccionada en la escogencia i, i = 1, 2, 3
Una vez definidos los eventos queda claro que la probabilidad pedida
es P(A1  A2  A3), que de acuerdo con el teorema de multiplicación
nos queda:
P(A1  A2  A3) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1  A2)
o El teorema de Bayes proporciona una fórmula para calcular
la probabilidad de que el “efecto” A fue “causado” por el
evento Br. Las probabilidades P(Bi) se denominan las
probabilidades “previas” o “a priori”, de las “causas” Bi y
en la práctica suele ser difícil asignarles valores numéricos.
o Por muchos años el teorema de Bayes fue visto con recelo
debido a que se usó con la suposición, frecuentemente
errónea, de que las probabilidades a priori eran siempre
iguales.
o Una buena parte de la controversia en torno al teorema de
Bayes ha sido aclarada al comprenderse que las
probabilidades P(Bi) deben determinarse en cada caso
separadamente de la naturaleza del problema, de
preferencia con base en la experiencia.
 Variables Aleatorias
Función que asigna a cada punto del
espacio muestral un número real
X: R
Ejemplo N°1:  =falla, no falla

X(no falla) = 0
X(falla) = 1
 Variables Aleatorias

 falla
A cada s  
le corresponde
Espacio Muestral no falla exactamente
un valor X(s)
Conjunto
X({no falla}) = 0 Números
X({falla}) = 1
Reales

IR
-¥ 0 1 +¥
X: Rx 
IR
X-1(-, x  Á Familia de eventos elementales
 Variables Aleatorias
si
 A X(s) = b; s  
sk

X(s) = a
RX

a b

• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).

• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral
• El espacio muestral original  “induce” un espacio muestra Rx
asociado a la Variable Aleatoria X
• Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX
 Función de Probabilidad
O El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos
en el espacio muestral  se puede aplicar a eventos
en RX.

0  P(X(s) = x ) = f(x)  1
f(x)
1

W
f: R [0, 1]

0
RX
X(s) = x
s

X: W RX
Distribución de Probabilidad
O Una distribución o densidad de probabilidad de una
variable aleatoria x es la función de distribución de la
probabilidad de dicha variable
O Área de curva entre 2 puntos representa la probabilidad de que
ocurra un suceso entre esos dos puntos.
O Distribuciones probabilidad pueden ser discretas o
continuas, de acuerdo al tipo de.
O Hay infinidad distribuciones probabilidad, (1 c/población),
pero hay ciertas distribuciones “modelo”:
O Normal
O Binomial
O Ji-cuadrado
O "t" de Student,
O F de Fisher

-1 0 +1
 Variable aleatoria: Definición
O Una variable aleatoria es una descripción numérica
del resultado de un experimento

51
Ejemplos variable aleatoria discreta

Experimento Variable aleatoria Valores posibles

V.A
Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0,1, 2, 3, 4, 5

Inspeccionar un Cantidad de chips 0,1, 2, …., 40

embarque de 40 chips defectuosos

Funcionamiento de un Cantidad de clientes 0,1, 2, 3, …….

restaurante durante un
día
Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si
es mujer

53
Ejemplos variable aleatoria continua
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Funcionamiento de un Tiempo en minuto, X0

banco entre llegadas de
clientes
Llenar una lata de Cantidad de onzas 0  X  12.1
bebida
(máx =12.1 onzas)
Proyecto para Porcentaje de 0  X  100
construir un biblioteca terminado del proyecto

Ensayar un nuevo Temperatura cuando 150  X  212

proceso químico se lleva a cabo la
reacción deseada (min
150º F; máx 212ºF)

54
 Distribución de dos variables
aleatorias
 
Cuando el resultado de un suceso puede clasificarse más de una forma,
la función de densidad o de cuantía es una función de más de una
variable.
Así, al extraer una carta e una baraja ordinaria, puede caracterizar se
según su palo y según su denominación.

1/52
 -2*x^2-y^2

Func tion
-2
-7
-12
-17
-22 23
-27 0 1
-1
-2
-3 -2 -1 0
1 2 3 -3 Y
X

a b
P(0  x  a , 0  y  b)    f(x , y)dydx
0 0
 
f(x,y)  0 y   f(x , y)dydx  1
  
 Distribución marginal
Considerando f(x, y) podemos encontrar la distribución
marginal:
Caso discreto:
n m
f( x )   f(x, y)
y0
f( y)   f(x, y)
x 0

Caso continuo:
b 
P(a  X  b)    f(x, y)dydx
a 
 
f1( x )   f(x , y)dy

f2 ( y)   f(x, y)dx
