SEMANA 24

Procuramos dar alternativas de

solución a los conflictos sociales,
ambientales y territoriales, resolviendo
sistemas de ecuaciones lineales
GRE
EN
𝟒𝑻𝑶 𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶 𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴 Á 𝑻𝑰𝑪𝑨
 COMPETENCI
A
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y
cambio.

SESIÓN:
Representamos mediante el lenguaje algebraico un
sistema de ecuaciones en una situación cotidiana
PROPÓSIT
O
2
Establecemos relaciones entre datos y valores
desconocidos, y las transformamos en expresiones
algebráicas que incluyen sistemas de ecuaciones
lineales con dos incognitas.
 Alquiler en una feria comercial

Durante el mes de agosto, en la zona donde vivo, los Carlos se percata que en la información hay algo que no
comercios están reabriendo. Carlos y Luis son cuadra y que es necesario cambiar algunos valores. Eso
estudiantes del 4.° grado, cuyas familias se dedican al le preocupa porque de repente su familia tendría que
comercio de zapatos y jugos, respectivamente. En la pagar más de lo acordado y eso traería problemas
feria “El Dorado”, donde trabajan sus padres, cada económicos y familiares.
comerciante paga diversos montos dependiendo del El reto de estas dos semanas es:
rubro del negocio. Por un lado, les informaron que el
monto a pagar por el derecho de nueve días de venta 1. Si Carlos decide no cambiar ningún dato y hacer
de zapatos en la feria más seis días de venta de jugos una demostración gráfica, ¿cuál sería el gráfico que
es 98 soles. Otra fuente les informa que, el monto de obtendría?
tres días pagados por el comerciante que vende 2. Si Luis decide cambiar los valores, ¿cuál sería una
zapatos más dos días del que vende jugos es 24 soles. propuesta a cambiar? ¿Por qué?

Para poder responder al reto, resolveremos primero las

siguientes situaciones:
Establece relaciones entre datos y De expresiones verbales a expresiones
valores desconocidos, y algebraicas:
• El triple de la suma de las edades de Ana
transfórmalas en expresiones y Beto
algebraicas • El doble de la diferencia del dinero que
De expresiones verbales a expresiones tienen dos personas.
algebraicas: • La hora actual aumentada en doce.
Un número cualquiera → x • El peso total de un cargamento
La suma de dos números cualesquiera → x+y disminuido en cinco kilogramos.
La diferencia de dos números → x-y • El doble de velocidad de un auto
El producto de dos números → axb, a.b, (a) aumentado en tres.
(b) Ejemplo:
El cociente de dos números → ¡Ay qué colera! Perdí treinta soles. Ahora me
Completa lo siguiente: quedan ocho soles para comprar un regalito a
El doble de un número → mi hermano.
El triple de un número →
El cuadrado de un número → Si al triple del precio de una caja de jabones
La mitad de un número → se le agrega S/.2, obtendremos el precio de la
La quinta parte de un número → caja aumentado en S/.6.
 Ecuación Conjunto solución
Es la igualdad entre dos expresiones Es el conjunto formado por las soluciones
matemáticas, en la que se puede reconocer de la ecuación.
por lo menos una variable. Ejemplo: – 7x + 6 = 0
Ejemplo: Se verifica para x = 6; x = 1
5x + 2 = 4x + 8 Luego: Conjunto solución: C.S. = {1; 6}
→ 5x + 2 = 4x + 8 es falsa si x = 0 ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER
→ 5x + 2 = 4x + 8 es verdadero si x = 6 GRADO
Solución de una ecuación Es la ecuación que al ser reducida se obtiene
Es el valor que toma la variable y que hace como mayor exponente de la variable a 1.
que la ecuación se verifique (sea verdadera) Ejemplo:
Ejemplo: + 2x + 1 = – x + 8
x = 6 es solución de la ecuación: 2x + 1 = –x + 8
5x + 2 = 4x + 8 3x = 7 ⇒ x =
Ya que: 5(6) + 2 = 4(6) + 8 Forma general:
32 = 32 ax + b = 0; a ≠ 0
 Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
Sistema de Ecuaciones está formado por ecuaciones de primer grado
y se puede expresar de la forma:
Concepto de sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones es, por tanto, un conjunto de Donde a, b, a´ y b´ son números reales que se
ecuaciones con dos o más variables. Se llama sistema denominan coeficientes y c y c´ también son
lineal de ecuaciones porque está compuesto por números reales llamados términos
ecuaciones de primer grado. independientes.
Por ejemplo: La solución del sistema es un par de valores
Las soluciones del sistema son el conjunto de valores de (x,y) que satisfacen las dos ecuaciones del
todas sus incógnitas que al ser sustituido en las sistema.
ecuaciones las convierten en identidades.Se llama Ejemplo:
solución del sistema a cada uno de los conjuntos de Son sistemas de ecuaciones lineales, por
números que verifican todas las ecuaciones del sistema. ejemplo:
Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas
soluciones.
Clasificación de sistemas de
ecuaciones lineales
En un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas, cada una de las ecuaciones
representa una recta en el plano.
Estas rectas pueden estar posicionadas entre sí
tres maneras distintas, lo que nos ayudará a
clasificar nuestro sistema en:
• Compatible determinado: el sistema tiene
una única solución, por lo que las rectas son
secantes, se cortan en un único punto.
• Compatible indeterminado: el sistema tiene
infinitas soluciones, por lo que las rectas
son coincidentes.
• Incompatibles: el sistema no tiene solución,
por lo que las rectas son paralelas.
Sistema de primer grado
con dos incógnitas
Forma normal

donde: a1, a2, b1, b2, c1, c2 son números

reales.
Resolución de sistemas lineales por el método
de sustitución: Resolución de sistemas lineales por el método de
El método de sustitución consiste en despejar igualación:
una incógnita de una de las ecuaciones del El método de igualdad consiste en despejar la misma
sistema y sustituir la expresión obtenida en la incógnita de las dos ecuaciones que forman el sistema e
otra ecuación. igualar los resultados obtenidos.
Así, obtenemos una ecuación de primer grado Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que
en la que podamos calcular la incógnita podremos calcular la incógnita despejada. Con el valor
despejada. Con el valor obtenido, obtenemos el obtenido, calculamos el valor de la otra incógnita.
valor de la incógnita.
Resolución de sistemas lineales por el método de
reducción:
El método de reducción consiste en eliminar una de
las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para
ello se multiplican una o ambas ecuaciones por un
número de modo que los coeficientes de x o y sean
iguales pero de signo contrario.
 Situación 1:
La familia Rodríguez Muñoz, que consta de seis
integrantes, asistió a Mistura en el 2016, pagando S/ 105
por el total de entradas. Si los precios eran S/ 25 por cada
adulto y S/ 10 por cada niño. Expresa la situación
planteada mediante un lenguaje algebraico.

Solución: Expresa la situación planteada mediante

¿Sabemos cuántos adultos y niños integran la un lenguaje algebraico
familia Rodríguez Muñoz? Sistema de ecuaciones lineales con dos
• Cantidad de Niños: x incógnitas:
• Cantidad de Adultos: y
… Primera ecuación … Primera ecuación
• Precio para niños: S/10 … Segunda ecuación
• Precio para adultos: S/25
… Segunda ecuación
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
Reemplazamos el valor de la variable
ECUACIONES LINEALES: encontrada en cualquiera de las ecuaciones

{ 𝑥 + 𝑦 =6 … (1) 
10 𝑥 +25 𝑦 =105 … (2)
dadas:

3
Método de sustitución:
De la ecuación (1)… Solución:
Despejamos una de las variables “x”

Luego sustituimos la variable despejada en la ecuación De los 6 integrantes de la familia Rodríguez

(2) Muñoz hay 3 niños y 3 adultos.

11

Transponemos y reducimos términos semejantes:

EVIDENCIA
S:
Situación 2:
SOLUCIÓN:
En una tienda de artículos para
limpieza, Cristina compra 4 litros de ¿Sabemos el precio de cada producto?
detergente y 5 litros de suavizante por • Precio de detergente: x
un total de 52 soles. Su amiga Liliana • Precio de suavizante: y
compra 3 litros de detergente y 10
litros de suavizante del mismo tipo, Detergente Suavizante TOTAL
(L) (L) (S/.)
por lo cual paga en total 64 soles.
Representa la situación planteada Cristina 4 5 52
mediante un lenguaje algebraico.
Liliana 3 10 64

Representa la situación planteada mediante un

lenguaje algebraico.

… Primera ecuación
… Segunda ecuación
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES:

Igualamos ambas expresiones:

{
4 𝑥 +5 𝑦 =52… (1) 
3 𝑥 +10 𝑦 =64 … (2)
Método de igualación:
Se elige la variable a despejar en ambas ecuaciones: “x”
De la ecuación (1)…

Reemplazamos el valor de “y” en cualquiera de las

ecuaciones de las ecuaciones despejadas.
De la ecuación (2)…

Solución:
El precio del detergente por libro es
de S/.8 y el suavizante es de S/.4
soles.
Situación 3:
El monto a pagar por el derecho de nueve días de
venta de zapatos en la feria, más de seis días de N° días en
N° días en
venta de jugos es 98 soles. Otra fuente les informa venta de TOTAL (S/.)
venta de jugo
zapatos
que, el monto de tres días pagados por el
comerciante que vende zapatos más dos días del fuente 9 6 98
que vende jugos es 24 soles. Expresa el enunciado
a una expresión matemática o lenguaje algebráico. Fuente 3 2 24

SOLUCIÓN: Expresa el enunciado a una expresión

matemática o lenguaje algebráico
¿Sabemos el monto a pagar por un día?

•
… Primera ecuación
Monto a pagar por día en venta de zapatos: x
• Monto a pagar por día en venta de jugos: y … Segunda ecuación
 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES:

{
9 𝑥 +6 𝑦=98 … (1) 
3 𝑥 +2 𝑦 =24 … (2)
Método de reducción:
Se elige la variable a eliminar:
Elegimos “x”
A la ecuación (2)… la multiplicamos por -3.

(-3)

17
El sistema de ecuación es Inconsistente.
 COMPETENCI
A
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y
cambio.

SESIÓN:
Expresamos mediante gráficos tabulares y
cartesianos un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas
PROPÓSIT
O
18
Representamos con expresiones tabulares y gráficas
un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, e
interpretan la solución o las soluciones.
Situación 1:
Miguel toma una cuerda delgada y Gina, una gruesa, cada
una de un metro de largo. Si hacen unos nudos en cada Si en la situación, la longitud inicial de la
cuerda y miden la longitud después de cada nudo, podrán cuerda delgada fuera 9 m y la de la cuerda
obtener datos como los de las tablas. gruesa 10 m:

Cuerda delgada Cuerda gruesa

a. Escribe un sistema de ecuaciones para los
Cantidad Longitud Cantidad Longitud datos de cada cuerda.
de nudos (cm) de nudos (cm) b. Determina la cantidad de nudos que
0 100 0 100 deben tener ambas cuerdas para que
tengan la misma longitud.
1 94 1 89.7

2 88 2 79.4

3 82 3 69.1
4 76 4 58.8

5 70 5 48.5

6 64 6 38.2
Solución:
a. Escribe un sistema de ecuaciones para los datos Cuerda gruesa
𝒚 =𝟏𝟎𝟎 – 𝟏𝟎 . 𝟑 𝒙
de cada cuerda. Cantidad Longitud
• Cantidad de Nudos: x de nudos (cm)
• Longitud (cm): y 0 100 La forma de la
ecuación:
Cuerda delgada 𝒚 =𝟏𝟎𝟎 – 𝟔 𝒙 1 89.7

Cantidad Longitud 2 79.4 Sabemos que:

de nudos (cm)
La forma de la 3 69.1
0 100
ecuación: 4 58.8 Entonces la ecuación es:
1 94
Sabemos que: 5 48.5
2 88
6 38.2
3 82
4 76 Entonces la ecuación es:

5 70

6 64
Continuamos desarrollando:
La situación cambia cuando la longitud inicial es 10𝑚=1000 𝑐𝒎
de 9m de la cuerda delgada y 10 m de la cuerda
Cuerda gruesa
𝒚=𝟏𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟎. 𝟑 𝒙
gruesa
9𝑚=900𝑐𝒎 Cantidad Longitud
La forma de la
de nudos (cm) ecuación:
Cuerda delgada 𝒚 =𝟗𝟎𝟎 −𝟔 𝒙
0 1000 Sabemos que:
Cantidad Longitud
de nudos (cm) 1 989.7
La forma de la
0 900
ecuación: 2 979.4
Entonces la ecuación es:
1 894 3 969.1
Sabemos que:
2 888 4 958.8
3 882 5 948.5
4 876 Entonces la ecuación es:
6 938.2
5 870

6 864
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES:
RESPUESTA
S:a) Escribe un sistema de ecuaciones para
{ 𝑦=− 6 𝑥+900 …  (1) 
𝑦 =−10.3 𝑥 +1000 … (2) los datos de cada cuerda.

Utilizamos el método de igualación:

Puesto que en las dos ecuaciones esta despejada la
{ 𝑦=− 6 𝑥+900 …  (1) 
𝑦 =−10.3 𝑥 +1000 … (2)
misma variables “y” b) Determina la cantidad de nudos que
Igualamos la ecuación (1) con la ecuación (2) deben tener ambas cuerdas para que
tengan la misma longitud.

La cantidad de nudos para que ambas

cuerdas tengan aproximadamente la
Pero, “x” representa la cantidad de nudos. misma longitud es 23 nudos.
 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Graficando el sistema de ecuaciones lineales:

{ 𝑦=− 6 𝑥+900 …  (1) 

𝑦 =−10.3 𝑥 +1000 … (2)
Situación 2:
El día que los Rodríguez Muñoz asistieron a
Mistura, consumieron dos tipos de platos: frijoles Además, se sabe que el precio de la carapulcra
con seco y carapulcra con sopa seca. De los seis fue S/ 4 más que el de los frijoles con
integrantes de la familia, cuatro comieron frijoles seco, y ambos precios fueron cantidades
con seco y dos carapulcras con sopa seca, por lo enteras.
cual gastaron en total S/ 140.
a. Define las incógnitas y escribe mediante
ecuaciones la situación planteada.
b. Realiza la presentación gráfica.
Solución:
Define las incógnitas y escribe mediante ecuaciones 1° Definimos nuestras variables:
la situación planteada.
• Representamos con expresiones tabulares y • Precio del plato de frijoles con seco:
registramos los datos hasta obtener lo requerido. x
• Precio del plato de la carapulcra: y
Frijoles Carapulcra Total de
con seco con sopa Gasto
seca (S/.)
2° Formamos nuestras ecuaciones
lineales:
4 2 140

• Pregunta de comprensión de la situación:

¿Sabemos el precio
de cada plato?
b) Realizamos la presentación gráfica.

{
70
𝑦 =4 + 𝑥 …(1)  
4 𝑥 +2 𝑦=140 …(2)  
Graficamos la ecuación (1) Graficamos la ecuación (2)
50
x y=4+x x y=70-2x
0 4+0=4 0 70-2(0)=70 40
(22; 26)
10 4+10=14 10 70-2(10)=50
30
15 4+15=19 15 70-2(15)=40
20
20 4+20=24 20 70-2(20)=30
10
25 4+25=29 25 70-2(30)=10

Respuesta:
El precio de los frijoles con seco es de S/. 22 y el precio de la0
5 10 15 20 25
carapulcra con sopa seca es de S/. 26.
 REFORZAMOS

Patricia y su hija Josefina tienen en la actualidad 56

años entre las dos. Si dentro de 18 años Josefina
tendrá 5 años más que la mitad de la edad
 REFORZAMOS

RECOLECCIÓN
. DE BOTELLAS:
Una institución educativa organizó una campaña de reciclaje de botellas de
plástico, para lo cual colocó dos contenedores de diferente tamaño. Se sabe
que al término de la campaña se recolectaron un total de 400kilograos de
plástico. Además, al traspasar 50 kilogramos de un contenedor a otro, este
quedó con el triple de peso que el anterior. ¿Cuántos kilogramos de plástico
había inicialmente en cada contenedor? ¿Existe una única solución?