Clase 9 Cuadriláteros I

MT-22
PPTCANMTGEA03007V2
Clase
Cuadriláteros I
Resumen de la clase anterior
Trigonometría en el triángulo rectángulo
identidades razones trigonométricas aplicaciones
seno cosecante
coseno secante
tangente cotangente
Aprendizajes esperados
• Clasificar cuadriláteros.
• Identificar las propiedades de los paralelógramos.
• Aplicar las propiedades de los paralelógramos en la resolución de

ejercicios.
Pregunta oficial PSU
¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un

cuadrado cuando su lado se duplica?
A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica.

B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica.
C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el
perímetro.
D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el
perímetro.
E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE,

PSU 2006.
1. Cuadriláteros
2. Paralelógramos
1. Cuadriláteros
1.1 Definición
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Poseen cuatro vértices,

cuatro ángulos interiores, cuatro ángulos exteriores y 2 diagonales.
Además, la suma de sus ángulos interiores es 360°.
: ángulos interiores.

= 360°
´´´´: ángulos exteriores.

´+´+´+´= 360°
A, B, C y D: Vértices del cuadrilátero.

AB, BC, CD y DA: Lados del cuadrilátero.
1. Cuadriláteros
1.2 Clasificación
De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los

cuadriláteros en:
1. Paralelógramos: tienen dos pares de lados paralelos.
Cuadrado Romboide
Rectángulo Rombo
1. Cuadriláteros
1.2 Clasificación
2. Trapecios: tienen un par de lados paralelos.
Trapecio Trapecio Trapecio

rectángulo isósceles escaleno
3. Trapezoides: son los cuadriláteros que NO tienen lados paralelos.
Trapezoide simétrico Trapezoide

o deltoide asimétrico
1. Cuadriláteros
1.2 Clasificación Cuadriláteros
Paralelógramos Trapecios Trapezoides
Cuadrado Trapecio
isósceles Trapezoide
simétrico o
Rectángulo Deltoide
Trapecio
rectángulo
Rombo Trapezoide
Trapecio asimétrico
escaleno
Romboide
2. Paralelógramos
2.1 Características generales
• Ángulos opuestos congruentes y ángulos consecutivos suplementarios.

• Lados opuestos congruentes.
• Lados opuestos paralelos.
• Las diagonales se dimidian.
Ejemplo:
D 12 cm C
ABCD, romboide.
6 cm 6 cm AB ~
= DC y AD ~= BC
AB // DC y AD // BC
A 12 cm B
2. Paralelógramos
2.1 Características generales
• Área = base ∙ altura
Ejemplo:
D C
h = 4 cm
A B
base = 12 cm
Área = 12 ∙ 4 = 48 cm2
2. Paralelógramos
2.2 Cuadrado
• 4 lados congruentes
• 4 ángulos interiores iguales a 90°
• diagonal = lado ∙ 2
d=a 2
• Área = (lado)2
Área = a2
(diagonal)2
• Área =
2
d2
Área =
2
• Perímetro = 4a
2. Paralelógramos
2.2 Cuadrado
Propiedades de las diagonales:
• Son congruentes: AC  BD
• Son perpendiculares: AC BD
• Se dimidian: AE  EC  DE  EB
• Son bisectrices
Al trazar las dos diagonales, se

forman 4 triángulos isósceles
congruentes.
Ejercicios
1. Determinar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.
(diagonal)2 (10)2
Como Área =  Área =
2 2
 Área = 50 cm2
2. Determinar la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 3 2 cm.
diagonal = lado ∙ 2
 diagonal = 3 2 ∙ 2 cm
 diagonal = 3 ∙ 2 cm
 diagonal = 6 cm
2. Paralelógramos
2.3 Rectángulo
• 2 pares de lados congruentes
• 4 ángulos interiores iguales a 90°

• Área = largo ∙ ancho
A=a∙b
• Perímetro = suma de sus 4 lados
P = 2(a + b)
• Diagonal d = (largo)2 + (ancho)2 (Por teorema de Pitágoras)
d = a2 + b2
2. Paralelógramos
2.3 Rectángulo

• Son congruentes: AC  BD
• Se dimidian: AE  EC  DE  EB
Al trazar las dos diagonales, se
forman 2 pares de triángulos
isósceles congruentes.
1. Determinar la diagonal de una rectángulo de lados 5 cm y 12 cm.

diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2
 d = 52 + 122
 d = 25 + 144
 d = 169
 d = 13 cm
Ejercicios
2. Determinar el perímetro de la zona achurada del rectángulo ABCD de la

figura.
Por las características de la zona achurada, su perímetro es igual al

perímetro del rectángulo.
Luego, el perímetro de la zona achurada es:
P = 2( 21 + 12) cm
P = 2 · (33) cm
P = 66 cm
2. Paralelógramos
2.4 Rombo
• 4 lados congruentes
• Ángulos opuestos congruentes
P = 4a
• Área = lado ∙ altura
Área = a ∙ h
producto de diagonales
• Área =
2
d1 ∙ d2
Área =
2
2. Paralelógramos
2.4 Rombo
• Son perpendiculares: AC  BD
• Se dimidian: AE  EC y DE  EB
• Son bisectrices
Ejemplo: Al trazar las dos diagonales, se

forman 4 triángulos escalenos
congruentes.
2. Paralelógramos
2.5 Romboide
• 2 pares de lados congruentes
• Ángulos opuestos congruentes
• Área = base ∙ altura
Área = a ∙ h
P = 2a + 2b
2. Paralelógramos
2.5 Romboide
• Se dimidian: AE  EC y DE  EB
Además, al trazar las dos diagonales,

se forman 2 pares de triángulos
escalenos congruentes.
Pregunta oficial PSU
¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un

cuadrado cuando su lado se duplica?
A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica.

B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica.
C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el
perímetro.
D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el
perímetro.
E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE,

ALTERNATIVA
PSU 2006.
CORRECTA
A
Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 D Cuadriláteros Comprensión
2 B Cuadriláteros Comprensión
3 C Cuadriláteros Aplicación
4 C Cuadriláteros Análisis
5 B Cuadriláteros Aplicación
6 D Cuadriláteros Análisis
7 E Cuadriláteros Análisis
8 B Cuadriláteros Análisis
9 D Cuadriláteros Análisis
Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad

11 A Cuadriláteros Análisis
12 D Cuadriláteros Aplicación
14 C Cuadriláteros Aplicación
15 D Cuadriláteros Aplicación
16 C Cuadriláteros Comprensión
19 D Cuadriláteros Evaluación
20 C Cuadriláteros Evaluación
Síntesis de la clase
Cuadriláteros
propiedades clasificación
suma de los
ángulos interiores 360º paralelogramos trapecios trapezoides
suma de los
ángulos exteriores 360º
propiedades clasificación
lados opuestos
paralelos y congruentes
cuadrado
ángulos opuestos
congruentes
rectángulo
ángulos consecutivos
suplementarios rombo
las diagonales
se dimidian
romboide
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos

Cuadriláteros II
Equipo Editorial Matemática
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MT-22

Trigonometría en el triángulo rectángulo

identidades razones trigonométricas aplicaciones

• Identificar las propiedades de los paralelógramos.

• Aplicar las propiedades de los paralelógramos en la resolución de

¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un

A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE,

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Poseen cuatro vértices,

: ángulos interiores.

´´´´: ángulos exteriores.

A, B, C y D: Vértices del cuadrilátero.

De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los

1. Paralelógramos: tienen dos pares de lados paralelos.

2. Trapecios: tienen un par de lados paralelos.

Trapecio Trapecio Trapecio

3. Trapezoides: son los cuadriláteros que NO tienen lados paralelos.

Trapezoide simétrico Trapezoide

1.2 Clasificación Cuadriláteros

Paralelógramos Trapecios Trapezoides

2.1 Características generales

• Ángulos opuestos congruentes y ángulos consecutivos suplementarios.

2.1 Características generales

• Área = base ∙ altura

Propiedades de las diagonales:

Al trazar las dos diagonales, se

2. Determinar la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 3 2 cm.

• 4 ángulos interiores iguales a 90°

• Perímetro = suma de sus 4 lados

• Diagonal d = (largo)2 + (ancho)2 (Por teorema de Pitágoras)

Propiedades de las diagonales:

1. Determinar la diagonal de una rectángulo de lados 5 cm y 12 cm.

2. Determinar el perímetro de la zona achurada del rectángulo ABCD de la

Por las características de la zona achurada, su perímetro es igual al

Propiedades de las diagonales:

Ejemplo: Al trazar las dos diagonales, se

• 2 pares de lados congruentes

• Ángulos opuestos congruentes

• Área = base ∙ altura

• Perímetro = suma de sus 4 lados

Propiedades de las diagonales:

Además, al trazar las dos diagonales,

¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un

A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE,

Nº Clave Unidad temática Habilidad

Nº Clave Unidad temática Habilidad

En la próxima sesión, estudiaremos

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