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    Algebra Vectorial

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    Alan Garcia
    Este documento resume conceptos básicos de álgebra vectorial, incluyendo definiciones de vectores 2D y 3D, sus componentes, sumas, restas, multiplicación por escalares, y productos punto. También explica cómo representar vectores y operaciones entre ellos de forma gráfica y analítica.

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    de 13

    Unidad IV

    Algebra vectorial

    Alan García portillo 2MI-G3


    VECTOR 2D
    SEGMENTO DE RECTA, CONTADO A
    PARTIR DE UN PUNTO DEL ESPACIO,
    CUYA LONGITUD REPRESENTA A
    ESCALA UNA MAGNITUD, EN UNA
    DIRECCIÓN DETERMINADA Y EN UNO
    DE SUS SENTIDOS.
    Sentido
    Módulo Dirección
    Indicado por la punta
    Representado por el  Corresponde a la de la flecha. (signo
    tamaño del vector, y inclinación de la recta, positivo que por lo
    hace referencia a la y representa al ángulo general no se coloca,
    intensidad de la entre ella y un eje o un signo negativo).
    magnitud ( número). horizontal imaginario  3
    VECTOR 3D
    UN VECTOR EN EL ESPACIO ES
    CUALQUIER SEGMENTO ORIENTADO
    QUE TIENE SU ORIGEN EN UN PUNTO
    Y SU EXTREMO EN EL OTRO
    Módulo de un vector

    Es la longitud del  Es un número


    segmento siempre positivo, y
    orientado que lo solamente el vector
    define. nulo tiene módulo 0 
    5
    SUMA DE
    VECTORES 2D
    PARA SUMAR VECTORES GRÁFICAMENTE
    DOS VECTORES UTILIZAMOS LA REGLA DEL
    PARALELOGRAMO QUE CONSISTE EN
    TRAZAR POR EL EXTREMO DE CADA VECTOR
    UNA PARALELA AL OTRO.

    EL VECTOR RESULTANTE DE LA SUMA TIENE


    SU ORIGEN EN EL ORIGEN DE LOS VECTORES
    Y SU EXTREMO EN EL PUNTO EN EL QUE SE
    CRUZAN LAS DOS PARALELAS
    Suma de vectores 3D

    La suma de vectores no sigue las reglas de la


    suma tradicional de los escalares. De forma
    gráfica, la suma de dos vectores a→ y b→
    nos dará como resultado otro vector c→

      Respetando la dirección y sentido de ambos


    vectores,

    Desplazamos el vector b→ de tal forma que su


    origen se encuentre a continuación del extremo
    de a→.
    c→ será el segmento recto que podamos
    dibujar desde el origen de a→ hasta el extremo
    7
    de b→.
    Representación analítica 3D

    La suma de dos vectores a→ y b→, da como


    resultado otro vector c→ cuyas componentes
    son la suma de las respectivas componentes
    de a→ y b→.

    c→= a→+b→=(ax + bx) ⋅ i→+ (ay + by) ⋅ j→

    8
    Resta de vectores

    Para restar dos vectores libres vector y vector se suma con el vector opuesto
    de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los
    vectores.

    9
    Multiplicación por un escalar 2D
    El producto de un escalar por un vector da por resultado otro
    vector, con la misma dirección que el primero.

    Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector


    (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también
    el sentido.

    10
    Multiplicación por un escalar 3D

    Sean el ángulo entre entonces el producto


    escalar entre se define como sigue:

    11
    Producto punto 2D

    El producto punto o producto escalar de dos vectores es


    un número real que resulta al multiplicar el producto de sus
    módulos por el coseno del ángulo que forman.
     

    Expresión analítica del producto punto ⃗𝑢


      .⃗
    𝑣 =𝑢 1 . 𝑣 1 +𝑢2 . 𝑣 2+𝑢3 . 𝑣 3

    12
    Producto punto 3D

     El producto vectorial de U y V que indicaremos U x V, es un vector

    Tiene:
    Dirección perpendicular a

    13

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