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    CEO 5 Implicación Lógica y Argumentos Válidos

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    Reymi Lopez Mena
    El documento describe la implicación lógica y los argumentos válidos. La implicación lógica se define como una proposición condicional que es una tautología. Se presentan ejemplos y propiedades como la reflexividad, transitividad y antisimetría. Los argumentos válidos son aquellos donde la conjunción de las premisas implica lógicamente la conclusión. Se explican métodos para determinar la validez de un argumento, incluyendo tablas de verdad y reducción a reglas de inferencia.

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    CEO 5 Implicación Lógica y Argumentos Válidos

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    El documento describe la implicación lógica y los argumentos válidos. La implicación lógica se define como una proposición condicional que es una tautología. Se presentan ejemplos y propiedades como la reflexividad, transitividad y antisimetría. Los argumentos válidos son aquellos donde la conjunción de las premisas implica lógicamente la conclusión. Se explican métodos para determinar la validez de un argumento, incluyendo tablas de verdad y reducción a reglas de inferencia.

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    CEO 5 Implicación Lógica y Argumentos Válidos

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    El documento describe la implicación lógica y los argumentos válidos. La implicación lógica se define como una proposición condicional que es una tautología. Se presentan ejemplos y propiedades como la reflexividad, transitividad y antisimetría. Los argumentos válidos son aquellos donde la conjunción de las premisas implica lógicamente la conclusión. Se explican métodos para determinar la validez de un argumento, incluyendo tablas de verdad y reducción a reglas de inferencia.

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    Lógica Informática

    CEO 5 Implicación lógica y argumentos válidos

    Autor: Leonel Frómeta Suárez


    Email: leonel.frometa@reduc.edu.cu
    Curso: CPE 2021
    SUMARIO

     Implicación lógica

     Definición

     Ejemplo simple

     Propiedades fundamentales

     Argumentos válidos

    2
    Introducción

    Los símbolos      son signos de operación mientras que el símbolo 


    denota una relación entre proposiciones. Por ello la expresión PQ es una
    “proposición sobre proposiciones”, llamada también a veces “meta-
    proposición”.

    Veremos a continuación otra meta-proposición llamada implicación lógica.


    Implicación lógica

    Si la condicional (A  B) es una tautología se dice que A implica


    lógicamente a B y lo denotaremos A  B
    Implicación lógica. Ejemplo

    Dado
    A: (pvq)
    B: (q  p)

    Evaluamos la condicional (A  B)

    Nota: Resolvamos ahora en una unica tabla de verdad para facilitar la


    comprención del ejemplo.
    Implicación lógica. Ejemplo

    Proposiciones A AB B

    p q (p v q)  (q  p)


    V V
    V F
    F V
    F F
    Implicación lógica. Ejemplo

    p q (p v q)  (q  p)


    V V F V V V F V F
    V F F F F V V F F
    F V V V V V F V V
    F F V V F V V V V

    Tautología

    R: AB resulta tautología por lo que A implica a B . A  B


    Propiedades fundamentales

    1: Reflexividad P  P

    2: Transitividad: si PQ y QR entonces PR.

    3: Antisimétrica si PQ y QP entonces P  Q.


    Implicaciones lógicas importantes.

    P  (P  Q)  Q
    (P  Q )  (Q  R) (P R)
    P Q  P
    P  P  Q
    (P Q)  P Q
    P (P Q)
    Nota: Cada una de estas Implicaciones lógicas puede ser probada
    demostrando que la implicación material correspondiente es
    tautológica.
    Implicaciones lógicas importantes.

    Q (P Q)
    (P  Q)  (Q P)
    [(P1 Q)  (P2 Q)]  [( P1 P2)  Q]
    [P( Q  Q)]  P
    (P Q)  (P  R)Q  R

    Nota: Cada una de estas Implicaciones lógicas puede ser probada


    demostrando que la implicación material correspondiente es
    tautológica.
    Argumentos válidos.

    Se dice que un argumento es válido ssi la conjunción de las premisas


    implica lógicamente la conclusión.

    Así, el argumento mediante el cual, a partir de las premisas


    “p1, p2, …, pn” se deduce la conclusión “r” es válido ssi
    (p1  p2 ...... pn) > r esto es, ssi [(p1  p2 ... pn)  r]  1.
    Argumentos válidos.

    Para expresar que a partir de p1,p2,…,pn se deduce r, frecuentemente se


    escribe :

    p1 p2 …. pn |—— r
    Argumentos válidos.

    o también de la forma vertical siguiente:


    p1
    p2
    ...
    pn
    ___

    r
    Ejemplos. Argumentos válidos.

    1.El argumento:
     
    p
    pq
    ______
    q
     
    o lo que sería lo mismo,
     
    p, pq | q
     
    es VÁLIDO, porque sabemos, del contenido anterior que:
     
    [ p  (pq) ] > q, o en otras palabras, [ p  (pq) ]  q es tautológico
    Determinar si un argumento es válido

    Para establecer la validez de un argumento tenemos todos los métodos estudiados hasta
    ahora:

    1. Hacer la tabla de verdad de la implicación material entre la conjunción de las premisas. y la


    conclusión y probar que es una tautología.

    2. Utilizar propiedades del cálculo proposicional para demostrar que la implicación material es
    una tautología.

    3. El tercer método, del que hablaremos aquí, es reducir el argumento a una serie de
    argumentos más simples cuya validez sea conocida. Para utilizar este tercer método debemos
    conocer un conjunto de argumentos elementales válidos (reglas de inferencia)
    Reglas de Inferencia

    Cada implicación lógica que hemos demostrado determina un argumento válido. Por
    ejemplo, dos de las reglas de inferencia más comúnmente usadas en cualquier
    deducción matemática son las siguientes.

    I1) p I2) pq


    pq qr

    q (Modus ponens) p  r (Ley de los silogismos)

    Nota: Es importante enfatizar que un argumento es válido o no,


    independientemente de la validez de las proposiciones que
    encierra.
    Reglas de Inferencia

    I3) p I4) pq


    q p
    pq

    (Conjugación de proposiciones) (Particularización o Eliminación de la


    conjunción)
    Reglas de Inferencia

    I5) p I6) p q ¬p
    pq q

    (Introducción de la disyunción) (Exclusión de la disyunción)


    Reglas de Inferencia

    I7) ¬ p I8) q
    pq
    pq

    (Vacuidad) (Independencia del antecedente)


    Reglas de Inferencia

    I9) p  q I10) p1  q
    p2  q
    ¬q¬p (p1  p2 )  q

    (Contraposición o contra-recíproco) (Razonamiento basado en 2


    casos, generalizable a n casos)
    Reglas de Inferencia

    I11) p  (q  ¬q) I12) p  q


    ¬pr
    p qr

    (Razonamiento por el absurdo) (Razonamiento por


    alternativas)

    Nota: Observe en particular que no es lo mismo el “recíproco” que el “contra-


    recíproco”. El argumento siguiente no es válido
    p  q | q  p
    Reglas de Inferencia

    Nota: Observe que entre las reglas de inferencias, está la introducción de la


    disyunción (I5) pero no hay una “Introducción de la conjunción”. En otras
    palabras, el argumento p | p  q no es válido

    De la misma manera, entre las reglas de inferencias, está la


    Nota: particularización, o eliminación de la conjunción (I4) pero no existe la
    eliminación de la disyunción, o en otras palabras p  q | p no es
    válido

    Nota: En lugar de esta última, hemos hablado de una “exclusión de la


    disyunción”, que es equivalente a (I6) p  q, q | p esto si es un
    argumento válido
    Ejemplo resuelto por método 1 (Tabla verdad)

    Cheque la validez del siguiente argumento:

    p1: Si canto bien entonces no gano el concurso

    p2: No ganaré el concurso porque tengo pocos votos por la red

    p3: No canté bien


    ___________________________________

    q: gané el concurso
    Ejemplo resuelto por método 1 (Tabla verdad)

    p1: Si canto bien entonces no gano el concurso p  ¬q

    p ¬q

    p2: No ganaré el concurso porque tengo pocos votos por la red r  ¬q

    ¬q r
    p3: No canté bien ¬p
    ¬p
    ___________________________________ q
    q: gané el concurso

    q
    Ejemplo resuelto por método 1 (Tabla verdad)

    p  ¬q Debemos hacer la tabla de verdad de la


    r  ¬q implicación material entre la conjunción de
    ¬p las premisas. y la conclusión y probar que es
    ______ una tautología. Esto sería demostrar que:
    q
    [[(p  ¬q) (r  ¬q )  ¬p] q ]  1

    Nota:
    Trabajaremos con una única tabla de verdad para ver el resultado más claramente
    Ejemplo resuelto por método 1 (Tabla verdad)

    p q r (p  ¬q)  (r  ¬q)  ¬p  q
    V V V V F F F V F F F F V V
     paso 1
    V V F V F F F F V F F F V V
     paso 2
    V F V V V V V V V V F F V F
     paso 3
    V F F V V V V F V V F F V F
     paso 4
    F V V F V F F V F F F V V V
     resultado
    F V F F V F V F V F V V V V
    F F V F V V V V V V V V F F
    F F F F V V V F V V V V F F

    Nota: Como el resultado tiene V y F es contingencia y no tautología. Por lo


    que podemos concluir que el argumento lógico no es válido
    Ejemplo resuelto por método 3 (Reglas de
    inferencia)

    Verificar que lo siguiente es un argumento válido:

    p  r
    sr
    sq
    q
    s
    ______
    ps
    Ejemplo resuelto por método 3 (Reglas de
    inferencia)

    2:Comenzamos la reducción de
    1:Enumeramos las premisas
    las premisas para llegar a la
    y conclusión
    conclusión
    p1: p  r
    p  r por p1
    p2: s  r
    _______
    p3: s  q
    r p por I9
    p4: q
    p5: s
    ______
    q: p  s
    Ejemplo resuelto por método 3 (Reglas de
    inferencia)

    Referencia de
    nuestro progreso

    rp r p
    sr sr por p2
    sq _____
    q sp por I2
    s
    ______
    ps
    Ejemplo resuelto por método 3 (Reglas de
    inferencia)

    Referencia de
    nuestro progreso

    sp sq por p3


    sq q por p4
    q _____
    s s por I6
    ______
    ps
    Ejemplo resuelto por método 3 (Reglas de
    inferencia)

    Referencia de
    nuestro progreso

    sp sp
    s s
    s ____
    ______ p por I1
    ps
    Ejemplo resuelto por método 3 (Reglas de
    inferencia)

    Referencia de
    nuestro progreso

    p p
    s s
    ______ ____
    ps ps por I3
    Ejemplo resuelto por método 3 (Reglas de
    inferencia)

    Referencia de
    nuestro progreso

    ps El argumento es válido


    ______
    ps
    Para demostrar que un argumento no es válido, el método teórico
    Nota: consiste en probar que la implicación material de las premisas, a la
    conclusión no es tautológica, y para ello, en última instancia, hacer
    completamente la Tabla de Verdad.

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