Derivadas de Funciones Trigonometricas2 PDF

DERIVADA DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
ECCI
@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

LÍMITES EN TRIGONOMETRÍA
• Observar la figura.
• El radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad.
• Tenemos el ángulo x, el sen x, el arco de longitud x y la tg x
• Podemos poner:
• sen x < x < tg x
• Dividiendo todo entre sen x queda:
• sen x x tg x
• -------- < --------- < -----------
• sen x sen x sen x
• x tg x
• 1 < --------- < cos x sen x x
• sen x x
• Cuando x  0  1 < 0 / sen 0 < cos 0 0

• Es decir 1 < 0 / sen 0 < 1  Lo que obliga a que --------- = 1
• sen 0
2
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
• Sea f(x) = sen x
•
• Aplicando la definición de derivada de una función:
• f (x + h) - f(x) sen (x+h) – sen x
• f ‘ (x) = lím ------------------- = lim ------------------------ =
• h 0 h h0 h
• Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría:

• 2.cos [(x+h+x)/2] . sen [(x+h – x)/2]
• f ‘ (x) = lím ------------------------------------------------ =
• h 0 h
• sen (h/2) sen h/2

• = lím cos [x+(h/2)] . ------------- = cos x . Lim ------------ = cos x . 1 = cos x
• h 0 h/2 h0 h/2
• Puesto que hemos visto antes que el último límite vale 1

• Sea f(x) = cos x
•
• Aplicando la definición de derivada de una función:
• f (x + h) - f(x) cos (x+h) – cos x
• f ‘ (x) = lím ------------------- = lim ------------------------ =
• h 0 h h0 h
• Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría:

• - 2.sen [(x+h+x)/2] . sen [(x+h – x)/2]
• f ‘ (x) = lím ------------------------------------------------ =
• h 0 h
• sen (h/2) sen h/2

• = lím - sen [x+(h/2)] . ------------- = - sen x . Lim ------------ = - sen x
• h 0 h/2 h0 h/2
• Puesto que se puede comprobar que el último límite vale 1

• Sea f(x) = tg x
•
• Aplicando la definición de tangente:
• tg x = sen x / cos x
• Derivando como una división de funciones que es:
• cos x. cos x – sen x. (- sen x) (cos x)2 + (sen x)2 1

• f ‘ (x) = ------------------------------------------- = ------------------------ = ----------
• (cos x)2 (cos x) 2 (cos x)2
• Como 1/ cos x = sec x

• Queda:
• f ‘ (x) = 1 / cos2 x
• O también
• f ‘ (x) = sec2 x
OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
• Sea f(x) = sec x

•
• Aplicando la definición de secante:
• sec x = 1 / cos x
• Y se derivaría como una división
• – (- sen x) sen x tg x
• f ‘ (x) = ---------------- = ------------ = ----------
• (cos x)2 (cos x)2 cos x
• Sea f(x) = cosec x

•
• Aplicando la definición de cosecante:
• cosec x = 1 / sen x
• – cos x - cos x -1
• f ‘ (x) = -------------- = ------------ = ----------------
• (sen x)2 (sen x)2 tg x . sen x
OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
• Sea f(x) = cotg x

•
• Aplicando la definición de secante:
• cotg x = cos x / sen x
• (– sen x).sen x – cos x. cos x – (sen x) 2 – (cos x)2 –1
• f ‘ (x) = ----------------------------------------- = --------------------------- = ----------
• (sen x)2 (sen x) 2 (sen x)2
•
• Sea f(x) = sen g(x)

• Sea f(x) = cos g(x)
• Sea f(x) = tg g(x)
• Etc …
• Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas.

Ejemplos
• y = sen x2  y ‘ = cos x2 . 2x
• y = cos x3  y ‘ = - sen x3 . 3x2
• y = ln sen x  y ‘ = cos x / sen x = cotg x
• y = log cos x  y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10
• y = sen ln x  y ‘ = cos ln x . (1 / x)
• y = sen3 x  y ‘ = 3. sen2 x . cos x
• y = cos5 x3  y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2
• y = √sen x  y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x

DERIVADAS DEL ARCO SENO
• Sea f(x) = arcsen x
•
• Es la función inversa de f(x) = sen x
• Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función.
• Como y = sen x e y = arcsen x son funciones inversas:
• sen(arcsen x) = x
• Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:

• (cos(arcsen x)).(arcsen x)’ = 1
•
• Como sabemos que: (sen(arcsen x))2 + (cos(arcsen x))2 = 1
• También sabemos que sen(arcsen x) = x
• Luego x2 + (cos(arcsen x))2 = 1  (cos(arcsen x)) = √(1 - x2)
• Despejando:
• (arcsen x)’ = 1 / (cos(arcsen x))
• Resultando que f ’(x) = 1 / √(1 - x2)

DERIVADAS DEL ARCO COSENO
• Sea f(x) = arccos x
•
• Es la función inversa de f(x) = cos x
• Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función.
• Como y = cos x e y = arccos x son funciones inversas:
• cos(arccos x) = x

• (- sen(arccos x)).(arccos x)’ = 1
•
• Como sabemos que: (sen(arccos x))2 + (cos(arccos x))2 = 1
• También sabemos que cos(arccos x) = x
• Luego (sen(arccos x))2 + x2 = 1  (sen(arccos x)) = √(1 - x2)
• Despejando:
• (arccos x)’ = 1 / (- sen(arccos x))
• Resultando que f ’(x) = – 1 / √(1 - x2)

DERIVADAS DEL ARCO TANGENTE
• Sea f(x) = arctg x
•
• Es la función inversa de f(x) = tg x
• Su dominio es todo R.
• Como y = tg x e y = arctg x son funciones inversas:
• tg(arctg x) = x

• (1 / (cos(arccos x))2).(arctg x)’ = 1
•
• Como sabemos que: 1 / (cos(arccos x))2 = (sec(arctg x))2
• También sabemos que (sec(arctg x))2 = (tg(arctg x))2 + 1
• Y por último como tg(arctg x) = x  (sec(arctg x))2 = x2 + 1
• Despejando:
• (arctg x)’ = 1 / (x2 + 1)
• Resultando que f ’(x) = 1 / (x2 + 1)

Ejercicios propuestos
• Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de:
• y = arcsen x2  y‘=
• y = arccos x3  y‘=
• y = ln arcsen x  y‘=
• y = log arctg x  y‘=
• y = arctg ex  y‘=
• y = arcsen3 x  y‘=
• y = arccos5 x3  y‘=
• y = √arcsen ex  y‘=

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DERIVADA DE LAS FUNCIONES

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

• Cuando x  0  1 < 0 / sen 0 < cos 0 0

• Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría:

• sen (h/2) sen h/2

• Puesto que hemos visto antes que el último límite vale 1

• Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría:

• sen (h/2) sen h/2

• Puesto que se puede comprobar que el último límite vale 1

• cos x. cos x – sen x. (- sen x) (cos x)2 + (sen x)2 1

• Como 1/ cos x = sec x

• Sea f(x) = sec x

• Sea f(x) = cosec x

• Sea f(x) = cotg x

• Sea f(x) = sen g(x)

• Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas.

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7

• y = cos x3  y ‘ = - sen x3 . 3x2

• y = ln sen x  y ‘ = cos x / sen x = cotg x

• y = log cos x  y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10

• y = sen3 x  y ‘ = 3. sen2 x . cos x

• y = cos5 x3  y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2

• y = √sen x  y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

• Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:

• Resultando que f ’(x) = 1 / √(1 - x2)

• Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:

• Resultando que f ’(x) = – 1 / √(1 - x2)

• Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos:

• Resultando que f ’(x) = 1 / (x2 + 1)

• y = log arctg x  y‘=

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