Facultad de Ingeniería de

Telecomunicaciones y Telemática

TEORIA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

PERIODO 2017
 PRESENTADO POR:

JOSE EDUARDO TORRES VEGA

Coronel EP ( R )
Oficial Científica y Tecnológicamente Especializado
Ingeniero Electrónico CIP
Maestro en Administración
PADE-ESAN en Logística
Diplomado en Seguridad y Salud Ocupacional
Docente Universitario a nivel pre grado y post grado
Consultoría y Asesoría en el Diseño, Implantación y
Control de Servicios de Telecomunicaciones y
Telemática
Estudios Teóricos de Radiaciones No Ionizantes
Consultoría en Temas de Seguridad Integral
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 Semana  Contenidos o temas Actividades y Evaluaciones
Herramientas de Matemáticas: Sistemas de coordenadas cartesianas, polares, esféricas y cilíndricas.
Semana 1 Campos escalares y vectoriales. Vectores. Operaciones con Vectores. Fasores. Gradiente, Flujo y Recuperación de ideas previas.
Divergencia. Circulación y Rotacional. Laplaciano
Teoremas relativos a flujo y circulación: Ley de Coulomb. Leyes de Gauss. Ley de Faraday. Ley de Dinámica de aplicación de Leyes y ecuaciones
Semana 2
Ampere. Ecuación de Helmholtz matemáticas. Prueba de entrada
Ecuaciones diferenciales de Maxwell: Formulación con integrales o diferenciales. Condiciones de
Semana 3 Resolución de problemas.
frontera
Juego de roles en el reconocimiento de campos en
Semana 4 Campos en régimen estacionario: Electrostática y Magnetostática. Potencial escalar y vectorial  régimen estacionario. Práctica Calificada 1: 16
puntos. Prueba entrada: 4 puntos
Medios y materiales. Blindaje o apantallamiento de campos; el problema de la interferencia
Semana 5  Resolución de problemas
electromagnética (EMI).
Campos en régimen estacionario: Ley de Ampere- Maxwell, deducción de las leyes de Kirchoff, Juego de roles en la diferenciación estacionaria y
Semana 6
conceptos circuitales derivables de los campos. campos de aplicación.
Conceptos electromecánicos derivables de los campos: Fuerza y energía en el campo electromagnético, Debate de aplicaciones electromagnéticas
Semana 7
densidad de energía del campo, fundamentos de motores, parlantes y otros dispositivos derivadas de los campos.
Actividades colaborativas entre pares. Visita a
Campos en régimen dinámico: Naturaleza ondulatoria del campo dinámico. Solución de las ecuaciones Laboratorio fuera de horario de clases para
Semana 8
de Maxwell en el caso general según las fuentes de campo, naturaleza ondulatoria del campo dinámico. elaborar una experiencia práctica. Práctica
Calificada 2.
Conceptos de propagación y radiación: Transmisión, reflexión, refracción, difracción y absorción,
Semana 9 Debate de aplicación de conceptos.
teorema de poynting.
Propagación de ondas planas y esféricas en espacio libre. Impacto radioeléctrico (ondas ionizantes y no
Semana 10 Dinámica visual de interpretación de ondas.
ionizantes).
Estructuras para guiar la propagación de ondas planas. Modos de propagación TEM, TE y TM, líneas de Juego de roles para la diferenciación de modos de
Semana 11
transmisión, cálculos en una línea de transmisión y la carta de Smith. propagación.
  Guía de onda metálica y dieléctrica. Frecuencia de corte y flujo de potencia; atenuación, teoría de  Solución de problemas. Trabajo Autónomo: 4
Semana 12 circuitos de microondas, matriz de dispersión, parámetros, dispositivos de microondas, fibras ópticas. puntos. Práctica Calificada 3: 16 Puntos 

Cavidades resonantes. Modos resonantes y factor de calidad, aplicaciones, radiación electromagnética,  Actividades colaborativas para la diferenciación de
Semana 13
potenciales electromagnéticos retardados. cavidades resonantes.
Ondas esféricas. La fuente isotrópica puntual como radiador teórico elemental y el dipolo cortó como
Semana 14 Debate sobre ondas esféricas y variantes.
radiador práctico elemental.
Semana 15 EXAMEN FINAL
Semana 16 EXAMEN REZAGADO

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 CAMPOS EN REGIMEN DINÁMICO

SUMARIO

1. NATURALEZA ONDULATORIA DEL CAMPO DINÁMICO.

2. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN EL CASO GENERAL SEGÚN LAS
FUENTES DE CAMPO.
3. NATURALEZA ONDULATORIA DEL CAMPO DINÁMICO

BIBLIOGRAFIA
1. “Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería. Cheng David K. Ed. PEARSON México 2000
2. Elementos de Electromagnetismo Sadiku, Mattew N.O.
3. Fundamentos de Electromagnetismo 2005. Disponible en http://Maxwell.ugr.es/innov/visual
0405/cursocompleto/total3.pdf

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 MOVIMIENTO ONDULATORIO UNIDIMENSIONAL.

• Sea una función (que podría representar a cualquier magnitud física)

  f  x
si se sustituye x por x-x0 se obtiene la función
  f  x  x0 

que tendría la misma forma que la función original pero aparecería desplazada hacia la derecha
una cantidad x0

• De la misma forma la siguiente función

  f  x  x0 
corresponde a la función original desplazada hacia la izquierda una cantidad x0


  f  x  x0    f  x   f  x  x0 

x0 x0

x0 x
x0

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• Ahora bien si se tiene que x0 varía con el tiempo y es igual a
x0  vt   f  x  vt 
se obtiene
que representa a una curva viajera que se mueve hacia la derecha con velocidad v, que se llama
velocidad de fase.
• Del mismo modo
  f  x  vt 
representa a una curva viajera que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.
 
v v

x x
v v

x x
v v

x x
  f  x  vt    f  x  vt 

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 POR TANTO UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA
 x, t   f  x  vt 

RESULTA ADECUADA PARA DESCRIBIR UNA MAGNITUD FÍSICA (DEFORMACIÓN DE UNA CUERDA, PRESIÓN
DE UN GAS, CAMPO ELÉCTRICO O MAGNÉTICO,...) QUE VIAJA O SE PROPAGA SIN SUFRIR DEFORMACIÓN A
LO LARGO DEL EJE X, ESTO ES A UNA ONDA UNIDIMENSIONAL.
UN CASO PARTICULAR ES EL DE UNA ONDA ARMÓNICA O SENOIDAL QUE TIENE POR EXPRESIÓN

 x, t    0senk  x  vt   0 Amplitud de onda

k  x  vt  Fase de onda
v Velocidad de onda
k número de onda
• SUSTITUYENDO EN LA ONDA ARMÓNICA EL VALOR DE X POR X+2/K
 2   2 
 x  , t   0senk  x   vt   0sen k  x  vt   2  0senk  x  vt    x, t 
 k   k 
SE VUELVE A OBTENER EL MISMO VALOR DE LA ONDA ARMÓNICA.
• ENTONCES LA MAGNITUD
2

k
ES EL PERIODO ESPACIAL QUE TAMBIÉN SE DENOMINA COMO LONGITUD DE ONDA.

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• Entonces el número de onda está relacionado con la longitud de onda a través de

2
k

y la onda armónica puede expresarse como
2
 x, t    0senk  x  vt    0sen  x  vt 


 0

O x


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• La ecuación de la onda armónica también puede escribirse como

 x, t    0sen kx  t 
donde
2v Frecuencia angular
  kv 

• Como además hemos visto que
2 P Periodo
  2
P  Frecuencia
la onda armónica puede también expresarse como

x t 
 x, t    0sen 2  
 P
• El periodo y la longitud de onda están relacionados a través de
   vP La longitud de onda es la distancia que recorre la onda en un
v
P periodo

• En resumen, una onda armónica puede expresarse de las siguientes formas

x t 
 x, t    0senk  x  vt    0sen kx  t    0sen2  
 P

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 


A0
t = t0 x

A1
t = t0 + P/4 x

A2
t = t0 + P/2 x

A3
t = t0 + 3P/4 x

A4
t = t0 + P x

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 ONDAS
 1 
2 2
 2 2
x 2
v t
• Cualquier función (x,t) que satisfaga esta ecuación diferencial es una magnitud que
varía periódicamente en el tiempo y se propaga en la dirección + x.
• En dicha ecuación v es la velocidad de propagación de la onda.
• Se establece que la magnitud  , equivale a la presión del medio para una onda sonora, el
desplazamiento transversal “y” para una cuerda tensa, o el vector óptico para la luz, etc.
• Las ondas electromagnéticas son un tipo de radiación que se propaga en forma de ondas,
denominada "electromagnética" ya que se predijeron por primera vez dentro de la Teoría
Electromagnética, en 1865

( x,t )  ( kx  t )
2 2 
k  v
   ESCUELA DE INGENIERÍA DE REDES Y
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• La ecuación general que describe el movimiento ondulatorio que se propaga con una velocidad
definida v y sin distorsión a lo largo del eje +X o –X es

d 2 2 d 
2
v Ecuación básica de una onda
dt 2 dx 2
• La solución de esta ecuación es

 x, t   f  x  vt   x, t   f  x  vt   x, t   f1  x  vt   f 2  x  vt 

• Es fácil demostrar que una onda armónica del siguiente tipo

 x, t   0senk  x  vt 
satisface la ecuación de onda.
Derivando respecto a x y a t se obtiene
d d 2
 k0cosk  x  vt  2
  k 20senk  x  vt 
dx dx
d d 2
 kv0cosk  x  vt  2
 k 2 v 20senk  x  vt 
dt dt
que cumple
d 2 2 d 
2
v
dt 2 dx 2

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• Hipótesis 1:

o Si en una región del espacio donde no hay cargas ni corrientes

existe un campo eléctrico que se propaga ondulatoriamente
en la dirección + x.
o Se elige como superficie cerrada gaussiana un cubo cuyas
caras sean paralelas a los planos xy, zy y xz.
o Aplicando la ley de Gauss para el campo eléctrico[ecuación (I)
de Maxwell] se puede demostrar que Ex = 0.
o Es decir, el campo eléctrico no tiene componente en la
dirección de propagación; por lo tanto El campo eléctrico es
transversal a la dirección de propagación

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• Hipótesis 2: 
E( x,t )  E y ( x,t ) ˆj
o Suponemos que el campo eléctrico sólo tiene una
componente perpendicular a la dirección de propagación + x.
o Consideremos un cuadrado sobre el plano xz como camino
cerrado de integración. Aplicando la ecuación III de Maxwell
(Ley de Faraday) podemos demostrar que el campo
magnético variable que produce el campo eléctrico variable
sólo tiene componente Bz.
o Es decir que los campos B y E son perpendiculares.

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• Hipótesis 3:

o Suponemos que el campo eléctrico sólo tiene componente en la dirección

+y y que el campo magnético sólo tiene dirección +z.
o Aplicamos la ecuación III de Maxwell (Faraday) a un camino cuadrado
cerrado en el plano xy.
E y Bz
o Podemos demostrar que:  ( A)
x t

o Haciendo un análisis similar al propuesto pero aplicando la ecuación IV de

Maxwell, podemos demostrar que:
Bz E y
  0 0 (B)
x t

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• SE DENOMINA SUPERFICIE O FRENTE DE ONDA AL LUGAR GEOMÉTRICO DETERMINADO POR LOS PUNTOS
DEL MEDIO QUE SON ALCANZADOS SIMULTÁNEAMENTE POR LA ONDA Y QUE EN CONSECUENCIA EN
CUALQUIER INSTANTE DADO ESTÁN EN EL MISMO ESTADO O FASE DE LA PERTURBACIÓN.

Frente de
onda
Fuente

Rayo
Frentes de
onda Rayos

Onda en la superficie de un líquido

• LA DIRECCIÓN DE PROPAGACIÓN DE LA PERTURBACIÓN ES PERPENDICULAR AL FRENTE DE ONDA. UNA
LÍNEA PERPENDICULAR A LOS FRENTES DE ONDA, QUE INDICA LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DE
PROPAGACIÓN DE LA PERTURBACIÓN, SE DENOMINA RAYO.

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LOS FRENTES DE ONDA PUEDEN TENER FORMAS MUY DIVERSAS:
• SI LAS ONDAS SE PROPAGAN EN UNA SOLA DIRECCIÓN LOS FRENTES DE ONDA SERÍAN PLANOS
PARALELOS Y LA PERTURBACIÓN SE DENOMINA ONDA PLANA.
• SI EL LUGAR DONDE SE GENERA LA ONDA ES UN FOCO PUNTUAL Y LA PERTURBACIÓN SE PROPAGA
CON LA MISMA VELOCIDAD EN TODAS LAS DIRECCIONES, LA PERTURBACIÓN LLEGARÁ
SIMULTÁNEAMENTE A PUNTOS EQUIDISTANTES DEL FOCO, SIENDO LOS FRENTES DE ONDA ESFERAS,
DENOMINÁNDOSE A LA PERTURBACIÓN COMO ONDA ESFÉRICA. LA VELOCIDAD DE LA ONDA DEPENDE
DE LAS PROPIEDADES DEL MEDIO EN QUE SE PROPAGA, Y SI ESTA ES IGUAL EN TODAS LAS
DIRECCIONES AL MEDIO SE LE DENOMINA ISÓTROPO (MISMAS PROPIEDADES EN CUALQUIER
DIRECCIÓN).
• SI LA FUENTE DE LA ONDA ESTÁ DISTRIBUIDA SOBRE UN EJE O LÍNEA RECTA, Y EL MEDIO ES ISÓTROPO,
LOS FRENTES DE ONDA SERÁN SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y A LA PERTURBACIÓN SE LE DENOMINA
COMO UNA ONDA CILÍNDRICA.
• LAS ONDAS CIRCULARES SON ONDAS BIDIMENSIONALES QUE SE PROPAGAN SOBRE UNA SUPERFICIE,
EN LA QUE SE PRODUCE UNA PERTURBACIÓN EN UN PUNTO QUE DA LUGAR A FRENTES DE ONDA
CIRCULARES.

Onda plana Onda esférica Onda cilíndrica

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 Descripción del movimiento ondulatorio en una dirección arbitraria.

• La expresión para representar a un movimiento ondulatorio que se propaga según el eje x (onda
plana o unidimensional) es
  f  x  vt 
Y
Frente de onda


r Vector de posición de un punto
cualquiera del frente de onda
O x

 u Vector unitario en la dirección de
 u propagación
Z
r P
X
Dirección de
propagación
 
• De la figura, se observa que x  r u
resulta que la onda unidimensional anterior puede expresarse como

  f  u  r  vt 
 

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• Esta última expresión representa a una onda unidimensional que se propaga en una dirección
arbitraria (no solo a lo largo del eje X)
Dirección de
Y propagación

u
Q
P

O r

X
Z

• una onda plana o también llamada onda monodimensional, es una onda de frecuencia

constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son planos paralelos de
amplitud constante normales al vector velocidad de fase.
• En el caso de una onda plana armónica o senoidal que se propaga en una dirección arbitraria,
escribimos
 
 
   
 x, t   0senk  u  r  vt   0sen k  r  t donde k  ku es el vector de propagación o vector
número de onda

• Para una onda plana que se propaga en una dirección arbitraria, la ecuación de onda se
convierte en
 2 2
  2  2  2 
v  2  2  2
t 2  x y z 

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• Un tipo de ondas importantes que se propagan en todas las direcciones del espacio son las
ondas esféricas.
• En estas la perturbación de la magnitud física que se propaga será una función de la distancia a
la que se encuentra del foco donde se generó la onda, r, y el tiempo, t.

Y    r, t 
2 • La ecuación básica de una onda esférica es

 2 2 
2
r2 1
 v     2  
t 2  r 2 r r 
 
r1

X • La solución de esta ecuación es de la forma

1
 r , t   f  r  vt 
r
Z donde el signo menos se utiliza cuando la onda se
aleja del foco puntual.

• De este modo, la expresión de una onda armónica esférica es

0 
 x, t   senk  r  vt   0 sen kr  t 
r r

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Entonces…
• Si existe un E perpendicular a la dirección de
propagación x, debe existir un B variable en el
tiempo.
• B debe ser perpendicular a E
• Si E es variable en el tiempo, entonces existe un B
que varía con x
Entonces…

Provoca la aparición de un E( x,t )  E y ( x,t ) ˆj

…y viceversa… B( x,t )  Bz ( x,t )kˆ
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Derivamos la ecuación (A) 2 Ey  2 Bz
respecto a x.  ( A`)
x 2
t x
 2 Bz 2 Ey
Derivamos la ecuación (B)   0 0 ( B`)
respecto a t. xt t 2

Por transitividad demostramos

 Ey
2
 Ey2
que el campo eléctrico es
 00
solución de la ecuación x 2
t 2
diferencial

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• Análogamente se puede
demostrar que…  Bz
2
 Bz 2
 00 2
• Tanto B como E satisfacen la x 2
t
ecuación de las ondas.
• En el s XIX, Maxwell pudo
predecir teóricamente la
posibilidad de que existan ondas
electromagnéticas.
• Estas ondas deben tener una
1 1
velocidad, en el vacío, tal que: 2
 00 v
v 00

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 1 1
v 
00 7 N 1 mC 2 2
410
A 4 9 10 N
2 9

2
m 8 m km
v  9 10 10 2  3  10
9 7
 300 000
s s s
Este resultado coincide con el valor de la velocidad de
la luz en el vacío.

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Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y
separadas una distancia a ( ); entre ellas hay vacío. Entre los centros de las placas se
establece una tensión V0cosωt.

Encuentre, en primera aproximación, el campo eléctrico que se establece entre las placas.
Determine el campo magnético inducido en el espacio entre las placas, según la ley de
Ampere-Maxwell.
Calcule la primera corrección en el campo eléctrico obtenido en (1) de acuerdo con la ley de
Faraday. ¿Para qué valor del radio empieza a ser importante esta corrección (esto es,
comparable al campo estático)?
Determine la impedancia del elemento para el orden de aproximación del apartado anterior.
¿Cuál sería el circuito equivalente hasta este orden?
Indique como serían las siguientes correcciones, tanto en   como en

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Solución:

Si admitimos que ambas placas son perfectamente conductoras el campo

eléctrico en el interior de las mismas es estrictamente nulo y, en primera
aproximación, las superficies son equipotenciales. Si despreciamos los efectos de
borde, el campo en todos los puntos entre las placas es el mismo e igual a:

Hemos supuesto que la fórmula anterior es válida cualquiera que sea el voltaje
entre las placas, inclusive si es variable con el tiempo (como es el caso). Ahora
bien, según la ley de Ampere-Maxwell, la circulación del campo magnético debe
incluir la presencia de un campo eléctrico variable. Expresando esta ley en forma
integral como:

y aplicándola a un contorno circular centrado en el eje, resulta que el primer

miembro, dada la simetría del sistema, es:

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mientras que el segundo vale (teniendo en cuenta que la corriente de conducción es
nula en el interior del condensador)

Donde es la velocidad de la luz en el vacío. Igualando estas dos

expresiones llegamos al campo magnético en el interior del condensador.

Vemos que el campo es acimutal y crece con la distancia al eje (ya que al alejarnos
del mismo abarcamos una cantidad mayor de corriente de desplazamiento).
Al llegar a este punto, observamos una inconsistencia en nuestros
razonamientos. Al empezar establecimos que las placas eran equipotenciales,
presumiendo que el voltaje era una función perfectamente definida. Sin
embargo, acabamos de ver que en el interior del condensador hay un campo
magnético variable en el tiempo y, de acuerdo con la ley de Faraday, el campo
eléctrico debe tener circulación no nula a través de un contorno cerrado,
resultando que la integral del campo eléctrico (esto es, el voltaje) depende del
camino elegido. ¿A que nos referimos entonces cuando decimos que entre las
placas se establece un voltaje V(t)?

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Debemos elegir un camino concreto para dar esta cantidad. Tomaremos la línea recta
que une los centros de las placas.
Encontramos ahora que la circulación de  es nula en cualquier camino cerrado, sin
serlo. Entonces las expresiones iniciales son solo aproximaciones y no incluyen al
campo eléctrico inducido por el campo magnético (el cual, a su vez, está generado
por el campo eléctrico). Obtenemos la primera corrección tomando un contorno
rectangular como el de la figura. Según la ley de Faraday

La circulación del campo eléctrico vale:

(ya que en las placas el campo es nulo y admitimos que el

campo es perpendicular a las mismas) mientras que la variación
del flujo magnético a través de la superficie vale

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 lo que nos da, para el campo eléctrico

Vemos como, junto al campo estacionario ha aparecido una corrección. Para el caso
particular de que el campo varíe sinusoidalmente resulta:

Según esto, el campo no será uniforme entre las placas, sino que decae
parabólicamente, siendo mayor la diferencia con el campo estático cuanto mayor
sea ρ, alcanzando su máximo en ρ = b. La corrección que hemos añadido será
importante cuando:

Aquí λ = c / f (con f = ω / 2π) es la longitud de onda del sistema, esto es, la longitud
de una onda electromagnética cuya frecuencia fuera la misma que la del sistema.
Para una frecuencia de 50 Hz, la longitud de onda correspondiente es de unos 6000
km, lo cual hace que la corrección para un condensador de laboratorio sea del orden
de una parte entre un trillón, esto es, perfectamente despreciable.
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La situación cambia cuando la frecuencia crece y para oscilaciones del orden del
gigahercio (correspondiente a las microondas) es preciso incluir completamente los
efectos de radiación.
Cuando esta corrección es pequeña, pueden incorporarse sus efectos añadiendo
una autoinducción parásita puesta en serie con el condensador. Los resultados
anteriores prueban que tal autoinducción no se debe a alguna imperfección en el
condensador, sino que procede de las propias ecuaciones de Maxwell.
Cuando se tienen en cuenta estas correcciones, ya el sistema deja de comportarse
como un condensador en términos de su respuesta en un circuito.

En esta aproximación, la corriente que llega por el cable la podemos calcular a

partir de la circulación del campo magnético

Considerando una circunferencia en el borde del dispositivo queda:

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En el caso particular de corriente alterna y empleando Fasores:

Este voltaje V0 no coincide con el que mide un voltímetro, ya que dicho voltímetro
estará situado en el exterior del dispositivo. El voltaje medido será

y por tanto la impedancia vista desde el exterior es:

Separando fracciones

Vemos entonces que el circuito equivalente en este orden de aproximación se

compone de un condensador y una autoinducción. La presencia del condensador era
de esperar, pero la de la autoinducción puede resultar sorprendente, pues no hay
bobina alguna en el dispositivo

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Este tipo de elementos que deben incluirse para tener en cuenta las correcciones
se denominan “elementos parásitos”, pero hay que recalcar que se trata
simplemente de un efecto debido a la alta frecuencia de trabajo y que
simplemente refleja las limitaciones de la teoría de circuitos.
Las siguientes correcciones siguen una tendencia alternante. Del mismo modo
que el cambio en el campo eléctrico es negativo, también lo es para el campo
magnético por lo que la siguiente corrección para el campo eléctrico es positiva y
así sucesivamente. Si se efectúan los cálculos puede verse que el valor del campo
eléctrico va como

La serie anterior se expresa de una forma más breve con ayuda de las funciones
de Bessel
Una propiedad importante de las funciones de Bessel es que poseen ceros, esto
es, valores del argumento para los cuales la función se anula. Esto quiere decir
que para valores suficientemente grandes de la frecuencia (o del radio) el campo
eléctrico se anula. Para éste valor del radio podríamos poner una pared metálica
que rodeara el condensador y el sistema no se vería afectado en lo más mínimo,
ya que seguiría cumpliendo las condiciones de contorno, sólo que en este caso los
campos estarían confinados entre paredes metálicas. Se dice entonces que
hemos construido una cavidad resonante. Para una situación de este tipo, el
sistema dejaría completamente de ser un condensador
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 Energía transportada por una onda. Intensidad.
• Una característica importante del movimiento ondulatorio es que transporta energía (pero no
materia).
• Supóngase el caso de una onda armónica que se propaga por una cuerda. Cada trozo de
cuerda de masa m por la que pasa la onda oscila con un MAS,
• Su energía será por tanto

1 1
E  m202  x202 donde m  x
2 2

Densidad lineal
(masa/longitud)

x Longitud de un
trozo de cuerda

• Se define la densidad de energía E como la energía por

unidad de volumen,
E 1 2 2
•Cuerda E    0 donde  Densidad lineal
x 2
E 1 2 2
• Superficie E     0 donde  Densidad superficial
S 2
de líquido
E 1 2 2
• Onda E    0 donde  Densidad volumétrica
V 2
Onda armónica en una cuerda sonora

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• Supóngase la onda armónica que se propaga por la cuerda y que en el instante t 1 ha alcanzado
el punto P1.
• Durante un intervalo de tiempo t la onda recorre una distancia x = vt .
• De esta forma la energía que ha pasado por P 1 durante el intervalo de tiempo t es

1 1
E  202x  202 vt
2 2

• De este modo, se define la potencia P como la energía transmitida en la unidad de tiempo

La energía y la potencia transmitidas son

E 1 2 2
P  lim    0 v proporcionales al cuadrado de la amplitud de la
t 0 t 2 onda

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• La intensidad I, es la energía que atraviesa en la unidad de tiempo un área unidad, colocada
perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.
• Por tanto P  IA donde A es el área
• Al igual que la potencia, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud.

 Ondas esféricas
• Sea una onda esférica que se propaga en un medio sin disipación de energía y tomamos dos
superficies esféricas situadas a una distancia R 1 y R2 del foco (R1 < R2).
P2 • La potencia transmitida a través de cada superficie es

R2 P1 P1  I1 A1  I1 4R12 P2  I 2 A2  I 2 4R22
R1 • Como la energía se conserva en este caso
I1 R22
I1 R12  I 2 R22 
P1  P2 I1 4R12  I 2 4R22 I 2 R12
• Y ya que R1 < R2 entonces se tiene que I1 > I2
• Ya que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud

 01
2
R22  01 R2
 2   01 R1   02 R2
 02
2
R1  02 R1

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 Ondas planas

• Sea una onda plana que se propaga en un medio en el que no hay disipación de energía.
• Si tomamos dos superficies planas se verifica que

A1 A2 P1  P2 A1  A2
• Con lo cual se tiene que
P1 P2 P1  I1 A1 , P2  I 2 A2 I1  I 2  01   02

 Absorción
• Fenómeno por el que la intensidad de una onda disminuye porque parte de su energía se
disipa en el medio en el que se propaga.
• Para una onda plana que se propaga según el eje x, se verifica la siguiente relación

dI
l
  dx
I
I(0) I(0)e-l • A partir de la cual se obtiene que

I  x   I  0  e  x
x 
dx  x
0  x    0  0 e 2

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