4.3 Estado Estable

4.
3 Estado estable
• Para
cualquier estado i y j y números no
negativos t y s (0 ≤ s ≤ 0),
• Pij(t) =
• Un par de estados i y j se comunican si existen
tiempos t1 y t2 tales que Pij(t1)> 0 y Pij(t2) >
0.
• Todos
los estados que se comunican forman
una clase. Si todos los estados forman una
sola clase, es decir, si la cadena es irreducible
entonces,
• Pij(t) > 0 para toda t > 0 y todos los estados i y
j limt → Pij (t) =
• Siempre
existe y es independiente del estado
inicial de la cadena de Markov, para j=0,1,… M,
estas propiedades limitantes conocidas como
probabilidades de estado estable. La siguiente
ecuación es importante para obtener la
probabilidad del estado estable:
• para j= 0, 1, …, M
• En la recepcion de una empresa se emplean dos
conmutadores que funcionan continuamente, excepto
cuando tienen daños. El tiempo requerido para reparar
un conmutador tiene una distribucion exponencial como
media de medio dia. Una vez se repara, el tiempo que
transcurre hasta el siguiente daño tiene distribucion
exponencial con media de (1) día. Estas distribuciones
son independientes. Defina la variable aleatoria X(t’)
como X(t’)= numero de conmutadores dañados en el
tiempo t’: tasa de transicion total hacia afuera del cada
estado.
• q0=
q01 = 2
• q1= q10+q12=3
• Q2 = q21 = 2
• Sustituyendo todas las tasas en las ecuaciones de
estado estable dadas se obtiene:
• Ecuación de balance para el estado 0: 2 0= 2 1
• Ecuación de balance para el estado 1: 3 0= 2
• Ecuación de balance para el estado 2: = 1
• Las probabilidades suman 1: 0 + 1 + = 1
• Cualquiera
de las ecuaciones de balance se
puede eliminar como redundante y la solución
simultánea de las ecuaciones restantes da la
distribución del estado estable como:
• 0 , 1 , = (, , )
• Se concluye entonces que los dos
conmutadores estarán dañados
simultáneamente 20% del tiempo y estará
dañado un conmutador otro 40%.
Cadenas absorbente de Markov
• Los estados que pueden sucederse a sí
mismos y, además, es posible alcanzar, por lo
menos, alguno de los restantes desde ellos se
llaman estados transitorios.
• Un estado tal que si el proceso entra en él
permanecerá indefinidamente en este
estado (ya que las probabilidades de pasar a
cualquiera de los otros son cero), se
dice estado absorbente.
• De una cadena de Markov que consta de
estados transitorios y absorbentes se dice que
es una cadena absorbente de Markov.
• Si una cadena de Markov contiene algún
estado absorbente, la línea de la matriz de
transición correspondiente a las
probabilidades de transición de dicho estado
constará de un 1 en la diagonal principal y
ceros en los demás elementos. Será por lo
tanto una matriz no regular.
• Para poder estudiar las cadenas de Markov
absorbentes es preciso reordenar la matriz de
transición de forma que las filas
correspondientes a los estados absorbentes
aparezcan en primer lugar. Así ordenada se
dirá que la matriz de transición está en la
forma canónica.
• Podemos dividir la matriz en forma canónica
en cuatro submatrices. La primera es la matriz
unidad I, del orden correspondiente. La
segunda , la matriz nula. La tercera contiene
las probabilidades de paso de estados
transitorios a estados absorbentes. La cuarta
contiene las probabilidades de estados
transitorios a estados transitorios.
• Generalizando:
• Una cadena de Markov absorbente contiene p estados
transitorios y q estados absorbentes. La matriz canónica del
proceso presentará el aspecto siguiente:
• I: matriz identidad de dimensión q
• O: matriz nula de dimensión qxp
• Q: matriz de dimensión pxq que contiene las probabilidades
de paso de estados transitorios a absorbentes.
• M: matriz pxp con las probabilidades de los estados
transitorios a estados transitorios.
• Se llama matriz fundamental de la cadena a la
matriz resultado de la operación:
• F=(I-M)-1
Cadenas cíclicas
• Una cadena cíclica es aquella en la cual el proceso pasa
de un estado a otro cíclicamente según un cierto patrón
de comportamiento, cumpliéndose las siguientes
condiciones:
• Tiene por lo menos un ciclo (es decir, un camino cerrado
entre estados de una misma clase comunicante), y
• Es posible acceder a dicho ciclo.
• En el régimen transitorio (corto plazo) se puede
determinar el número de intentos promedio que se
realizan para alcanzar el ciclo. Este cálculo se puede
hacer suponiendo que el ciclo es un estado absorbente.
• no es ergódica, ya que
es reducible en dos
clases: una clase
comunicante transitoria
C1 = [0] y una clase
comunicante recurrente
C2 = [1, 2]. Esta última
clase constituye un
ciclo.
• Es una cadena cíclica separable en dos clases:
una clase comunicante transitoria
• C1 ={0, 1}, y una clase comunicante recurrente
que forma un ciclo
• C2 ={2, 3}.
• Para determinar el número de veces que se
requieren para llegar al ciclo, se toma al ciclo
1-2 como un estado absorbente. Luego, la
matriz de transición se transforma en:
• En el largo plazo (régimen permanente) el
sistema es cíclico, y el tiempo que el proceso
pasa en cada estado del ciclo se calcula con el
procedimiento ya visto para régimen
permanente. Para el ejemplo 2.t, el sistema de
ecuaciones que nos permite determinar las
probabilidades de estado en régimen
permanente se puede plantear mediante el
siguiente producto matricial:
Ejemplos
Cadena estado estable
• Existen clientes en la ciudad con tres tiendas de abarrotes. Puede haber un total de
•
100,000 personas que compran en las tres tiendas durante un mes dado. 40,000
personas compran en OXXO, que es el estado 1. 30,000 pueden comprar en Superete,
que es el estado 2 y 30, 000 pueden comprar en Circle K que sería el estado 3. La
probabilidad de que una persona compre en una de las tres tiendas es la siguiente:
• Estado 1: Oxxo 0.40
• Estado 2: Superete 0.3
• Estado 3: Circle K 0.3
• Estas probabilidades se colocan en el vector de probabilidades de estado como:
• Donde:
• (1)= vector de probabilidades de estado para tres tiendas en el periodo 1
• 1= 0.4 = probabilidad de que una persona compre en Oxxo, estado 1
• 2= 0.3= probabilidad de que una persona compre en superete, estado 2
• 3 = 0.3= probabilidad de que una persona compre en circle k, estado 3-
Cadena absorbente
• El profesor de matemáticas da un curso de 2 meses en el verano. Los
estudiantes presentan varios exámenes para aprobar el curso y cada uno tiene
3 oportunidades de tomar los exámenes. Los siguientes datos son las
situaciones posibles a ocurrir.
• Estado 1: Pasar todos los exámenes y aprobar el curso
• Estado 2: No pasar todos los exámenes en el 3er intento y reprobar el curso
• Estado 3: Reprobar un examen en el primer intento
• Estado 4: Reprobar un examen en el segundo intento
• Después de observa vario grupos, el profesor obtuvo la siguiente matriz de
probabilidades de transición:
• Actualmente hay 50 estudiantes que no aprobaron todos los exámenes en el
primer intento y 30 estudiantes que no aprobaron todos los exámenes en el
segundo intento. ¿Cuántos estudiantes de estos dos grupos pasaran el curso y
cuantos reprobaran?
Cadena cíclica
Análisis de fallas
• Al final de cada día de operación una máquina se puede encontrar en
alguno de los
• siguientes estados:
• E0: En perfectas condiciones de operación
• E1: Condición regular de operación
• E2: Malas condiciones de operación
• E3: Inoperable
• Los costos de operar la máquina al día siguiente, debido a su estado
operativo son los siguientes:
• E0: $ 0
• E1: $ 500
• E2: $ 1.000
• Cuando la máquina se encuentra en el estado
E3 se la repara durante el día siguiente para
dejarla en perfectas condiciones de operación
para el próximo día. El costo de reparación es
de $2.000, incurriéndose además en un lucro
cesante de $ 5.000 por piezas no producidas
durante ese día.
• Las probabilidades de transición entre los estados
son las siguientes:
Estado E0 E1 E2 E3
E0 0.2 0.4 0.3 0.1
E1 0.5 0.3 0.1
E2 0.4 0.6
Se desea calcular el costo promedio esperado diario

y el número esperado de días promedio de
funcionamiento de la máquina.

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