Correlación y

regresión
 Correlación

Es la relación entre dos variables cuantitativas

sin ser capaz de inferir relaciones causales.

Correlación es una técnica estadística utilizada

para determinar el grado en el que dos
variables están relacionadas
Diagrama de dispersión de puntos

• Dos variables cuantitativas

• Una variable es llamada independiente (X)
y la otra dependiente (Y)
• Los puntos no se unen
• No es tabla de frecuencias
Ejemplo
SBP
TAS(mm
(mmHg )
HG)

220
200

180
160

140
120

100
80 wtPeso
(kg)(Kg)
60 70 80 90 100 110 120

Dispersión de puntos de peso y presión arterial sistólica

SBP
TAS(mm Hg)HG)
(mm
220

200

180

160

140

120

100

80 Peso (Kg)
Wt (kg)
60 70 80 90 100 110 120

Diagrama de puntos dispersos de peso y tensión arterial sistólica

Dispersión de puntos

El modelo de los datos es indicativo del tipo de

relación entre las dos variables:
 Relación positiva

 Relación negativa

 No hay relación
 Relación positiva
Calificación final del curso

Número de horas para estudio

 18

16

14
cm

12
in CMen

10
Estatura
Height

0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Edad
Age en semanas
in Weeks
 Relación negativa

Confiabilidad

Edad del Auto

 Sin relación
Peso (libras)

Tasa de pulso (latidos/minuto)

 Coeficiente de correlación

Estadístico que muestra el grado de

relación entre las dos variables
Coeficiente de correlación simple (r)

 También llamado correlación de

Pearson
 Mide la naturaleza y fuerza entre dos
variables cuantitativas.
El signo de r denota la naturaleza de
la asociación

Mientras que el valor de r denota la

fuerza de asociación.
 Si el signo es positivo, significa que la
relación es directa (un incremento en una
variable está asociado con el incremento
de la otra variable; una disminución de
una variable está asociado con la
disminución de la otra variable).

 Si el signo es negativo, significa una

relación inversa o indirecta (significando
que el incremento en una variable está
asociado con una disminución de la otra
variable).
  El valor de r está entre ( -1) y ( +1)
 El valor de r denota la fuerza de la
asociación como se ilustra en el siguiente
diagrama.

fuerte intermedio débil débil intermedio fuerte

1- -0.75 -0.25 0 0.25 0.75 1

indirecta Directa
Correlación correlación
perfecta perfecta
sin relación
Si r = cero significa que no hay asociación o
correlación entre las dos variables.

Si 0 < r < 0.25 = débil correlación.

Si 0.25 ≤ r < 0.75 = intermedia correlación.

Si 0.75 ≤ r < 1 = fuerte correlación.

Si r = l = perfecta correlación.
Cómo clacular el coeficiente de correlación¿
?simple (r)

 xy   x y
r n
 ( x) 2
  ( y) 
2
x 
2 .  y 
2 
 n  n 
  
 :Ejemplo
Una muestra de 6 niños fue seleccionada, datos de su
edad en años y peso en kilogramos fue registrada
como se muestra en la siguiente tabla. Se requiere
encontrar la correlación entre edad y peso.

Nº Edad Peso (Kg)

serial (años)
1 7 12
2 6 8
3 8 12
4 5 10
5 6 11
6 9 13
Las dos variables son de tipo cuantitativo,
una variable (edad) es llamada
independiente y la otra (peso) es llamada
dependiente y con notación de variable Y,
para encontrar la relación entre edad y
peso, calcule el coeficiente de correlación
simple, usando la siguiente fórmula:

 x y
 xy  n
r 
 ( x) 2  ( y)2 
x 
2 .  y 
2 
 n  n 
  
 Edad Peso
Nº
(años) (Kg) xy X2 Y2
Serial
(x) (y)
1 7 12 84 49 144
2 6 8 48 36 64
3 8 12 96 64 144
4 5 10 50 25 100
5 6 11 66 36 121
6 9 13 117 81 169
Total =x∑ =y∑ xy=∑ =x2∑ =y2∑
41 66 461 291 742
 41  66
461 
r 6
 (41)2   (66)2 
291  .742  
 6  6 

r = 0.759
Fuerte correlación directa
 Ejemplo: Relación entre ansiedad y puntaje de
pruebas
Ansiedad Puntaje X2 Y2 XY
)X( de
prueba
(Y)
10 2 100 4 20
8 3 64 9 24
2 9 4 81 18
1 7 1 49 7
5 6 25 36 30
6 5 36 25 30
X = 32∑ Y = 32∑ X2 = 230∑ Y2 = 204∑ XY=129∑
 Calculando el coeficiente de correlación

(6)(129)  (32)(32) 774  1024

r   .94
 6(230)  32  6(204)  32 
2 2
(356)(200)

r = - 0.94

Fuerte correlación indirecta

Coeficiente de correlación de Rankings
de Spearman (rs)
Mide la correlación en pruebas no paramétrica .
Este procedimiento usa los dos rankings que
puede asignarse a los valores de la muestra en
x y en y.
Coeficiente de correlación de rankings de
Spearman puede calcularse en los siguientes
casos:
Ambas variables son cuantitativas.
Ambas variables son cualitativas ordinales.
Una variable es cuantitativa y la otra es cualitativa
ordinal.
:Procedimiento
1. Ranquee los valores de X de primero a n
donde n es el número de pares de
valores de x y y en la muestra.
2. Ranquee el valor de y de primero a n.
3. Calcule el valor de di para cada par de
observaciones restando el ranking de yi
del ranking de xi.
4. Eleve al cuadrado cada di y ∑di2 lo cual
es la suma de valores al cuadrado.
5. Aplique la siguiente fórmula:

6 (di) 2
rs  1 
n(n 2  1)

El valor de rs denota la magnitud y

naturaleza de la asociación dando la
misma interpretación el r simple.
 Ejemplo
En un estudio de la relación entre el nivel de
educación e ingreso, se obtuvieron los siguientes
datos. Encuentre la relación entre ellos y comente.

Números Nivel de educación Ingreso

de la (X) (Y)
muestra
A Preparatoria 25
B Primaria 10
C Universidad 8
D Secundaria 10
E Secundaria 15
F Analfabeta 50
G Universidad 60
 Ordenamos de menor a mayor
Nivel F B D E A C G
educac
Analfabeta Primaria Secundaria Secundaria Preparatoria Universidad Universidad

Posició 1 2 3 4 5 6 7
n
Rx 1 2 7/2 5 13/2
3.5 3.5 6.5 6.5

Ingreso 8 10 10 15 25 50 60
posicion 1 2 3 4 5 6 7
Ry 1 5/2 4 5 6 7
2.5 2.5
Respuesta:
Rx Rankin di di2
g
(X) (Y) X

A Preparatoria 5 25 5 o 0

B Primaria 2 10 2.5 0.5 0.25

C Universidad 6.5 8 1 5.5 30.25

D Secundaria 3.5 10 2.5 1 1

E Secundaria 3.5 15 4 -0.5 0.25

F Analfabeta 1 50 6 -5 25
G Universidad 6.5 60 7 -0.5 0.25

∑ di2=57
Comentario:
Hay una correlación débil indirecta entre el
nivel de educación y el ingreso
Un psicólogo organizacional esta interesado en 
conocer la influencia del clima organizacional
sobre el estrés de los trabajadores de una
empresa. Para saberlo administro dos escalas
una que mide clima organizacional y otra que
mide estrés, a un grupo de 10 trabajadores. El
psicólogo se plantea que ambas variables están
relacionadas. Existe una relación significativa
entre clima organizacional y estrés
 Hipótesis estadísticas
Ho= No existe uma relación significativa entre
clima organizacional y estres
H1= Existe uma relación significativa entre
clima organizacional y estres
N.C= 95%
Nivel de significación=0.05
 Ordenando de menor a mayor
Clima Estres
organizacional x 41 42 50 55 56 57 59 60 61 62
61 2 Rx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
41 15
56 9
y 1 2 3 5 7 9 10 11 12 15
42 12
50 11 Ry 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

55 10
62 1
57 7
60 3
59 5
Clima Rx Estres Ry di di2
organizacional 6 (di) 2
61 9 2 2 7 49 rs  1 
41 1 15 10 -9 81 n(n 2  1)
56 5 9 6 -1 1
42 2 12 9 -7 49 6(330)
rs  1   1
50 3 11 8 -5 25
10(10  1)
2

55 4 10 7 -3 9
62 10 1 1 9 81
57 6 7 5 1 1
60 8 3 3 5 25
59 7 5 4 3 9
∑330

0.648- 0.648
Ejercicio
 Análisis de regresión
Regresión: técnica enfocada a la predicción de
algunas variables conociendo a otras.

El proceso de predecir la variable Y usando la

variable X.
 Regresión
 Usa la variable (x) para predecir el valor de la
variable resultado (y)
 Nos dice cuanto es el valor de cambio de y en
función del cambio en los valores de x.
 Correlación y regresión

 Correlación describe la fuerza de una relación

lineal entre dos variables
 Lineal significa “línea recta”

 Regresión nos dice como trazar la línea recta

descrita en la correlación.
 Regresión
 Calcule la línea que de “el mejor trazo” para un grupo de
datos
La línea de regresión hace la suma de cuadrados de los
residuales, menores a cualquier otra línea
Regresión minimiza los residuales
TAS(mmHg)
220

200

180

160

140

120

100
Peso
80 Kg
Wt (kg)
60 70 80 90 100 110 120
Usando el método de los cuadrados mínimos (un
procedimiento que minimiza las desviaciones
verticales de puntos trazados alrededor de la
línea recta) somos capaces de construir el mejor
trazado de la línea recta en la gráfica de puntos
dispersos y luego formular la ecuación de
regresión en la forma de:

ŷ  a  bX

 x y
 xy 
ŷ  y  b(x  x) bb1  n
(  x) 2
 x 2

n
Ecuación de regresión
SBP(mmH g)
TAS (mmHg)
220
 La ecuación de regresión 200

describe la línea de 180

regresión
160

140

matemáticamente 120

 Intersección 100

80
PesoWt (kg)
 Pendiente 60 70 80 90 100 110 120 (Kg)
 Ecuación
Ecuación lineal
lineal
Y
Yŷ = baX + bX
a
Change
Cambio
b= pendiente
b = S lo p e in Y
en Y
C h a n g e i en
Cambio n XX
aa == Yintersección
-in te r c e p t
X
Horas estudiando y calificaciones
Regresión de calificaciones sobre horas de estudio


Regresión lineal
Linear Regression


Calificación final en el curso= 59.95 + 3.17 * horas de estudio 
90.00 Final grade in course = 59.95 + 3.17 * study
Calificación final en el curso

R2=0.88
R-Square = 0.88




80.00  

70.00  

2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Number
Número de of hours
horas spenten
empleadas studying
estudio

Calificación final predicha en clase =

59.95 + 3.17*(número de horas de estudio por
semana)
Calificación final en clases predicha= 59.95 + 3.17*(horas de
estudio)
… Prediga la calificación final de

 Alguien quien estudia 12 horas

 Calificación final = 59.95 + (3.17*12)
 Calificación final = 97.99

 Alguine quien estudia 1 hora:

 Calificación final = 59.95 + (3.17*1)
 Calificación final = 63.12
Ejercicio
Una muestra de 6 personas fue
seleccionada el valor de su edad
(variable x) y su peso, mostrados en la
siguiente tabla. Encuentre la ecuación de
regresión y que se predice del peso
cuando la edad es 8.5 años.
Número serial Edad (x) Peso (y)
1 7 12
2 6 8
3 8 12
4 5 10
5 6 11
6 9 13
Respuesta

Número Edad Peso (y) xy X2 Y2

serial (x)
1 7 12 84 49 144
2 6 8 48 36 64
3 8 12 96 64 144
4 5 10 50 25 100
5 6 11 66 36 121
6 9 13 117 81 169

Total 41 66 461 291 742

 41 66
x  6.83 y  11
6 6

41  66
461 
b 6  0.92
2
(41)
291 
6

Ecuación de regresión

ŷ (x)  11  0.9(x  6.83)

 ŷ (x)  4.675  0.92x

ŷ (8.5)  4.675  0.92 * 8.5  12.50Kg

ŷ (7.5)  4.675  0.92 * 7.5  11.58Kg

 12.6
Kg)
(in Kg) 12.4
12.2
Peso (en
12
Weight

11.8
11.6
11.4
7 7.5 8 8.5 9
Age (in(en
Edad years)
años)

Creamos una lñínea de regresión trazando dos

valores estimados para y contra su componente de
x, y luego extendiendo la línea a la derecha y a la
izquierda.
Ejercicio 2
Edad PA Edad PA
(x) (y) (x) (y)
20 120 46 128
Los siguientes son las
edades en años y la 43 128 53 136
presión arterial (PA) 63 141 60 146
de 20 adultos 26 126 20 124
aparentemente 53 134 63 143
sanos.
31 128 43 130
58 136 26 124
46 132 19 121
58 140 31 126
70 144 23 123
Encuentre la correlación entre
edad y presión arterial usando el
coeficiente de correlación de
Spearman y comente.
Encuentre la ecuación de
regresión
¿Cual es la presión arterial
predecible para un hombre de 25
años?
Serial x y xy x2
1 20 120 2400 400
2 43 128 5504 1849
3 63 141 8883 3969
4 26 126 3276 676
5 53 134 7102 2809
6 31 128 3968 961
7 58 136 7888 3364
8 46 132 6072 2116
9 58 140 8120 3364
10 70 144 10080 4900
Serial x y xy x2
11 46 128 5888 2116
12 53 136 7208 2809
13 60 146 8760 3600
14 20 124 2480 400
15 63 143 9009 3969
16 43 130 5590 1849
17 26 124 3224 676
18 19 121 2299 361
19 31 126 3906 961
20 23 123 2829 529
Total 852 2630 114486 41678
  x y
 xy 
n 114486 
852  2630
b1  = 20  0.4547
(  x) 2
852 2

x  n
2 41678 
20

ŷ =112.13 + 0.4547 x

para edad 25
Presión arterial = 112.13 + 0.4547 * 25=123.49 = 123.5 mm hg
 Regresión múltiple

Análisis de regresión múltiple es una

extensión del análisis simple de regresión
permitiendo más de una variable
independiente.