School Work y mecanismos">
Sintesis de Mecanismos
Sintesis de Mecanismos
Sintesis de Mecanismos
MECANISMOS
Cinemtica, Dinmica e
Introduccin a la Sntesis
Jaime F. Echeverra Y.
Jos F. Olmedo S.
Departamento de Ciencias de la Energa y
Mecnica
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
PREFACIO
El estudio de la teora de mecanismos es fundamental e imprescindible para
comprender el funcionamiento de maquinaria industrial, y sirve de prembulo
al diseo de los elementos de mquinas, la robtica y otras asignaturas afines.
El presente texto presenta los fundamentos bsicos de la teora de los mecanismos que se pueden estudiar en un curso semestral de 3 a 4 horas por semana.
El libro trata tanto mtodos analticos como grficos con la ayuda de software
para afianzar la comprensin de lo tratado.
El Captulo 1, introduce al lector en los conceptos bsicos y la terminologa de
la teora de mecanismos que sern posteriormente utilizados en el contexto de
la cinemtica y dinmica de mecanismos planos, el diseo de levas y el estudio
de engranes y trenes de engranajes, as como en la introduccin a la sntesis de
los mecanismos.
El Captulo 2, analiza los mtodos de estudio de la cinemtica de un mecanismo
plano, abordando tanto un procedimiento analtico como un grfico. El mtodo
analtico revisado en detalle en este captulo es el mtodo del lazo vectorial con
el uso de nmeros complejos, mientras que el mtodo grfico que se estudia es
el mtodo de velocidades y aceleraciones relativas. El primero se implementa
computacionalmente con la ayuda de MathCAD y el segundo se apoya en el uso
de AutoCAD.
El Captulo 3, aborda el anlisis de las fuerzas dinmicas de un mecanismo
plano mediante el uso del mtodo matricial ejemplificando este procedimiento
en los mecanismos manivela corredera y cuatro barras.
El Captulo 4 revisa de forma introductoria un estudio a la sntesis de mecanismos.
El Captulo 5, inicia la revisin de los mecanismos de pares cinemticos superiores, en este caso el mecanismo leva-seguidor estudiando los procedimientos
grficos y analticos del diseo cinemtico de levas.
Finalmente, el Captulo 6, efecta una introduccin al estudio de los engranes
as como de los trenes de engranes exclusivamente desde el punto de vista geomtrico y cinemtico.
CONTENIDO
CAPTULO 1
INTRODUCCIN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Conceptos bsicos
Mecanismos planos y espaciales
Cadenas cinemticas
Pares cinemticos
Diagramas cinemticos
Movilidad de mecanismos
1.6.1 Frmula de Gruebler
Mecanismo de cuatro barras - Criterio de Grashof
Inversin Cinemtica
Referencias
CAPTULO 2
CINEMTICA DE MECANISMOS PLANOS
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Introduccin
Mtodo analtico de lazos vectoriales cerrados con el uso de algebra
compleja - Mtodo de Raven: Anlisis de posicin , velocidad y aceleracin
Curvas de acoplador
ngulo de transmisin
Mtodo grfico de anlisis de posicin
Posiciones lmite
2.6.1 Posiciones lmite de un mecanismo manivela corredera
2.6.2 Posiciones lmite de un mecanismo de cuatro barras
Mtodo grfico de anlisis de velocidad y aceleracin
2.7.1 Diferencia de velocidades y aceleraciones - Puntos sobre un
mismo eslabn
2.7.2 Aceleracin de Coriolis
2.7.3 Velocidades y aceleraciones relativas - Puntos coincidentes de
diferentes eslabones
Ventaja mecnica
CAPTULO 3
FUERZAS DINMICAS EN MECANISMOS PLANOS
3.1
3.2
3.3
3.4
Introduccin
Cintica del cuerpo rgido
Anlisis de fuerzas para un mecanismo manivela corredera
Anlisis de fuerzas para un mecanismo de cuatro barras
CAPTULO 4
INTRODUCCIN A LA SNTESIS DE MECANISMOS
6.1
6.2
6.3
6.4
Introduccin
Tipos de sntesis
Sntesis grfica de eslabonamientos
6.3.1 Sntesis de generacin de movimiento para tres posiciones prescritas
6.3.2 Sntesis de generacin de trayectorias para tres posiciones pres
critas
Sntesis analtica de eslabonamientos
6.4.1 Mtodo de puntos de precisin - Formato de la diada estndar
6.4.2 Defectos de circuito, rama y orden
6.4.3 Sntesis de generacin de movimiento para tres posiciones prescritas
6.4.3.1 Sin pivotes fijos prescritos
6.4.3.2 Con pivotes fijos prescritos
iii
CAPTULO 5
LEVAS
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Introduccin
Tipos de levas y seguidores
Diagrama de desplazamiento del seguidor
Tipos de movimientos del seguidor
Nomenclatura de una leva de disco - Angulo de presin
Diseo grfico del perfil de una leva de disco
Diseo analtico del perfil de una leva de disco
CAPTULO 6
ENGRANES Y TRENES DE ENGRANES
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Introduccin
Tipos de engranes
Conceptos bsicos sobre engranes - Nomenclatura de un engrane
Perfil de involuta
Acoplamiento de engranes
Cinemtica de engranes rectos
Seleccin de engranes normalizados
Cinemtica de engranes helicoidales, cnicos, pin-cremallera y
tornillo sin fin.
Trenes de engranes ordinarios: Trenes simples y compuestos
Trenes de engranes planetarios
6.10.1 Mtodo tabular
6.10.2 Mtodo de la frmula
iii
CAPTULO 2
CINEMTICA DE MECANISMOS PLANOS
Figura 2.1
Figura 2.2
Figura 2.3
Figura 2.4
2.1
INTRODUCCIN
La cinemtica de mecanismos planos consiste en el clculo de posicin, velocidad y
aceleracin, de determinados puntos de inters en un mecanismo o de sus eslabones.
Para afrontar esta actividad existen varias metodologas, pudindose stas subdividirse en analticas y grficas. Las primeras tratan al problema de forma genrica y a partir de las mismas se pueden obtener implementaciones computacionales para mostrar
el funcionamiento del mecanismo en cualquier momento durante un ciclo de funcionamiento del mismo, las segundas solamente calculan numricamente un instante particular de la cinemtica del mecanismo. Los mtodos analticos se pueden resolver con y
sin el empleo de mtodos numricos, a esta ltima opcin se la conoce como forma cerrada de un mtodo analtico.
El presente texto presenta el estudio del mtodo analtico de Raven en su forma cerrada y el mtodo grfico de velocidades y aceleraciones relativas.
2.2
MTODO ANALTICO DE LAZOS CERRADOS CON EL USO DE ALGEBRA COMPLEJA - MTODO DE RAVEN1: ANLISIS DE POSICIN, VELOCIDAD Y ACELERACIN
Existen diferentes tratamientos matemticos que se pueden elegir para el planteamiento de las ecuaciones del anlisis cinemtico de mecanismos planos, sin embargo
uno de los ms compactos y eficientes es el uso de lazos vectoriales con el empleo denmeros complejos, metodologa que ser tratada en el presente texto.
Para efectuar el planteamiento de las ecuaciones es necesario bosquejar el diagrama
cinemtico de un mecanismo, y a partir de este obtener uno o ms lazos o contornos
vectoriales cerrados, que no son otra cosa que polgonos cerrados de vectores. Un mecanismo que posea un solo lazo se denomina mecanismo de simple lazo, mientras que
aqul que contiene 2 o ms contornos cerrados se denomina mecanismo de mltiples
lazos. Cada contorno en un mecanismo de mltiples lazos debe ser independiente de los
dems, es decir ser necesario que contenga al menos un vector no comn. El nmero
de lazos o contornos independientes N, se puede obtener a partir de la frmula siguiente:
N j c
(2.2-1)
donde, N es el nmeros de lazos independientes, j es el nmero de juntas o pares cinemticos y c es el nmero de eslabones mviles.
Cada lazo independiente formar un polgono cerrado de vectores a partir del cual se
puede efectuar el anlisis cinemtico del mecanismo.
Ejemplo 1
Considrese el mecanismo de una sierra mecnica mostrado en la figura 2.1; a partir
del mecanismo se dibuja su diagrama cinemtico mostrado en la figura 2.2 y que se reconoce fcilmente como un mecanismo manivela corredera. El nmero de contornos
independientes es:
N 43 1
pues existen cuatro pares cinemticos, tres de rotacin y uno de traslacin y tres eslabones mviles: manivela, acoplador y corredera.
El lazo cerrado que se obtiene se muestra en la figura 2.3. En este caso se trata de un
mecanismo de lazo simple.
Ejemplo 2
Tmese en cuenta el mecanismo de una trituradora de piedras mostrado en la figura
2.4 cuyo diagrama cinemtico se presenta en la figura 2.5. El nmero de contornos independientes es:
N 7 5 2
Los lazos cerrados de este mecanismo se muestran en la figura 2.6. Para cada lazo cerrado se podra plantear una ecuacin vectorial, la cual se puede separar en dos ecua
Figura 2.5
Francis H. Raven, "Velocity and Acceleration Analysis of Plane and Space Mechanisms by
Means of Independent Position Equations", Trans. ASME, vol. 25, pp. 1-6, 1958
11
ciones escalares y a partir de dichas ecuaciones se puede realizar analticamente el estudio de posiciones, velocidades y aceleraciones.
Como se mencion anteriormente en esta metodologa se va a emplear nmeros complejos para representar los vectores del lazo cerrado; as entonces, un nmero complejo
en su forma polar se representa en la figura 2.7, y se puede escribir como:
R re i
donde, r es la magnitud y el ngulo de fase.
En su forma trigonomtrica mediante la ecuacin de Euler, el nmero complejo se escribe:
R r cos isen
Figura 2.6
Im
r
Re
Figura 2.7
Figura 2.8
R3
R2
2
R1y
R1x
Figura 2.9
12
Por norma general, cada vector del lazo vectorial en el anlisis cinemtico producir las
variables cinemticas de un eslabn del mecanismo. Entonces:
El vector R1x representa a la corredera y su movimiento.
El vector R1y representa al descentrado en el bastidor y por ende ser un vector
fijo.
El vector R2 representa a la manivela 2 y su movimiento, finalmente
El vector R3 representa al acoplador o biela 3 y su movimiento.
Adems para el anlisis cinemtico, dado que la movilidad del mecanismo es uno y se
supone la geometra del mecanismo dada, debe considerarse que son conocidos:
r1y, r2, r3, 2, 2 y 2.
Anlisis de posicin:
La ecuacin vectorial de lazo cerrado es:
R1x R1y R 3 R 2
que expresndola en forma polar de nmeros complejos da:
i
r1x e i1 x r1y e 1y r3 e i3 r2 e i2
y en su forma trigonomtrica,
r3
el mecanismo tiene dos valores para 3, el primero dado por la expresin (A.1) y el segundo por:
32 31
(A.2)3
entonces despejando r1x de la primera ecuacin de posicin y considerando dicho resultado para cada valor de 3, se tiene:
r1x1 r2 cos 2 r3 cos 31
(B.1)
13
r2 2 cos 2
(C)
r3 cos 3
reemplazando dicho valor en la primera ecuacin escalar de velocidad, simplificando y
despejando v1x se obtiene:
r sen(3 2 )
v 1x 2 2
(D)
cos 3
Anlisis de aceleracin:
Nuevamente se deriva con respecto al tiempo las ecuaciones escalares de velocidad,
considerando que:
r2 y r3 son valores constantes dado que corresponden a las longitudes de eslabones rgidos que no pueden variar su longitud, y
2, 3, v1x, 2 y 3 varan con el tiempo.
y se obtiene:
3
Figura 2.10
R3
3
R2
R1
R4
1
Figura 2.11
que son las ecuaciones escalares de aceleracin, donde a1x es la aceleracin lineal de la
corredera en un instante determinado, mientras que 2 y 3 son las aceleraciones angulares de los eslabones manivela y acoplador del mecanismo en cualquier momento. El
objetivo del anlisis de aceleracin es resolver las ecuaciones escalares de aceleracin
para hallar a1x y 3.
As entonces, despejando 3, de la segunda ecuacin escalar de la aceleracin se tiene:
r cos 2 r2 22 sen2 r3 23 sen3
(E)
3 2 2
r3 cos 3
sustituyendo este valor en la primera de las ecuaciones escalares de la aceleracin y
trabajando la misma para hallar a1x se obtiene:
r 2 cos 2 3 r3 32 r2 2 sen 3 2
(F)
a 1x 2 2
cos 3
Aparte de los datos conocidos r1y, r2, r3, 2, 2, 2, las expresiones (A.1), (A.2), (B.1),
(B.2), (C), (D), (E) y (F) constituyen el anlisis cinemtico del mecanismo manivela
corredera.
Anlisis de caso - Mecanismo de cuatro barras
Considrese el mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 2.10 y su polgono
vectorial para el nico lazo cerrado existente representado en la figura 2.11. Los ngulos de cada eslabn como se mencion en el anlisis de caso anterior siempre se eligen
en sentido antihorario y se consideran en dicho caso como positivos; del polgono vectorial se infiere que:
El vector R1 representa al bastidor del mecanismo y por lo tanto es fijo.
El vector R2 representa al eslabn manivela.
El vector R3 representa al acoplador, finalmente
El vector R4 representa al eslabn de salida o seguidor.
Para el anlisis cinemtico, dado que la movilidad del mecanismo es uno debe considerarse que son conocidos:
r1, r2, r3, r4, 1, 2, 2 y 2.
mientras que a partir de las ecuaciones de posicin, velocidad y aceleracin que se deduzcan, las incgnitas a determinarse son:
Para el anlisis de posicin, 3 y 4.
Para el anlisis de velocidad 3 y 4, finalmente
Para el anlisis de aceleracin 3 y 4.
Anlisis de posicin:
La ecuacin vectorial de lazo cerrado es:
R 2 R 3 R1 + R 4
reacomodando esta expresin resulta:
R 3 - R 4 R1 - R 2
expresndola en forma polar de nmeros complejos da:
14
considrese:
K1 r1 cos 1 r2 cos 2
K 2 r1 sen1 r2 sen2
entonces las ecuaciones de posicin se escriben como:
r3 cos 3 r4 cos 4 K1
(i)
r3 sen3 r4 sen4 K 2
(ii)
reacomodndolas,
r4 cos 4 r3 cos 3 K1
(iii)
r4 sen4 r3 sen3 K 2
(iv)
elevando al cuadrado estas expresiones para luego sumarlas y efectuando simplificaciones resulta:
r2 r2 K12 K 22
K1 cos 3 K2 sen3 3 4
2r3
renombrando:
r2 r2 K12 K22
K3 3 4
2r3
entonces:
K1 cos 3 K2 sen3 K 3
substituyendo en esta expresin, denominada ecuacin de Freudenstein4, las identidades trigonomtricas:
2tan 3
2
sen3
1 tan 2 3
2
1 tan 2 3
2
cos 3
1 tan 2 3
2
y luego simplificando e igualando a cero da:
K1 K3
(A.1)
32 2arctan 2
(A.2)
K1 K3
41 2arctan
(B.1)
K1 K3 _
2
2
2
K2 K1 K2 K3 _
42 2arctan
(B.2)
K1 K3 _
2
2
2
2
r r K1 K 2
donde K 3 _ 3 4
2r4
Ferdinand Freudenstein, "Approximate Synthesis of Four -bar Linkages", Trans. ASME, vol.
77, pp. 853-861, 1955
15
41 es el valor correspondiente al circuito abierto mientras que 42 es el valor que corresponde al circuito cruzado.
Si los valores de 31, 32, 41 y 42 son complejos significa que las dimensiones de los eslabones del mecanismo de cuatro barras son incapaces de conectarse para el valor dado
de 2.
Anlisis de velocidad:
A partir de las ecuaciones escalares de posicin, repetidas aqu:
r3 cos 3 r4 cos 4 r1 cos 1 r2 cos 2
r3 sen3 r4 sen4 r1 sen1 r2 sen2
se deriva con respecto al tiempo cada ecuacin y se obtiene:
r3 3 sen3 r4 4 sen4 r2 2 sen2
r3 3 cos 3 r4 4 cos 4 r2 2 cos 2
que constituye un sistema de ecuaciones lineales que permiten obtener los valores de 3
y 4, objetivo del anlisis de velocidad. Resolviendo por regla de Cramer, se tiene:
r2 2 sen2
r4 sen4
r2 2 cos 2 r4 cos 4
3
r3 sen3 r4 sen4
r3 cos 3 r4 cos 4
r3 sen3 r2 2 sen2
r3 cos 3 r2 2 cos 2
4
r3 sen3 r4 sen4
r3 cos 3
r4 cos 4
r2 2 sen 2 3
r4 sen 3 4
(C)
(D)
Anlisis de aceleracin:
A partir de las ecuaciones escalares de velocidad, tambin repetidas aqu:
r3 3 sen3 r4 4 sen4 r2 2 sen2
r3 3 cos 3 r4 4 cos 4 r2 2 cos 2
se deriva con respecto al tiempo las mismas, se simplifican y reacomodan dichas expresiones obtenindose:
r3 3 sen3 r4 4 sen4 r2 22 cos 2 r3 32 cos 3 r4 24 cos 4 r2 2 sen2
r3 3 cos 3 r4 4 cos 4 r2 22 sen2 r3 32 sen3 r4 24 sen 4 r2 2 cos 2
resolviendo este sistema de ecuaciones lineales en 3 y 4 por regla de Cramer, desarrollando y simplificando dichas soluciones, se tiene:
r 2 cos 2 4 r3 32 cos 3 4 r4 24 r2 2 sen 2 4
(E)
3 2 2
r3 sen 3 4
120
mm
C
4 rad/s
E
120
mm
O
A
45
(F)
Las expresiones (A.1), (A.2), (B.1), (B.2), (C), (D), (E), (F) y los datos conocidos r1, r2,
r3, r4, 1, 2, 2, 2 constituyen el anlisis cinemtico para el mecanismo de cuatro barras.
Ejemplo 3
En el mecanismo mostrado en la figura, el eslabn CB rota en sentido antihorario a una
velocidad angular constante de 4 rad/s. El pasador A esta soldado al eslabn CB.
Efectese el anlisis cinemtico mediante el mtodo de Raven y escrbase una implementacin computacional en MathCAD, para un ciclo angular de variacin del eslabn
CB de 180, desde -90 a 90.
Se determina en primer lugar la movilidad o grados de libertad del mecanismo con la
frmula de Gruebler,
m 3(3 1) 2(2) 1 1
seguidamente se calcula el nmero de contornos independientes:
N 32 1
16
considerando:
Pares cinemticos
Rotacin
Traslacin
Superior
En la junta O
1
0
0
En la junta C
1
0
0
En la junta A
0
0
1
TOTAL
2
0
1
y los dos eslabones mviles: eslabn CB y eslabn ODE.
El contorno independiente que se forma de acuerdo al resultado anterior est dibujado
en la figura siguiente:
120
mm
2 C
4 rad/s
E
R1
120
mm
1
45
rel
R3
D
Rrel
donde:
B
R1, representa el bastidor del mecanismos
R2, representa el eslabn CB y su movimiento
Rrel, representa el movimiento del pasador A relativo al punto D del eslabn ODE, y
R3, representa el eslabn ODE y su movimiento.
La siguiente tabla resume lo que se calcula en el anlisis para dicho contorno:
Anlisis de
Anlisis de Anlisis de
posicin
velocidad
aceleracin
Contorno O-C-A-D-O
3 , rrel
3 , vrel
3 , arel
Anlisis de posicin:
Contorno O-C-A-D-O
La ecuacin vectorial de lazo cerrado para este contorno es:
R 1 + R 2 R rel R 3 0
que una vez trabajada produce las ecuaciones escalares de posicin:
(i)
r3 cos(3 ) rrel cos(rel ) r1 cos(1 ) r2 cos(2 )
r3 sen(3 ) rrel sen(rel ) r1 sen(1 ) r2 sen(2 )
(ii)
de la restriccin geomtrica del contorno, se deduce que:
3 3 rel
2
por lo que:
cos(rel ) sen(3 )
sen(rel ) cos(3 )
entonces las ecuaciones (i) y (ii) quedan:
r3 cos(3 ) rrel sen(3 ) r1 cos(1 ) r2 cos(2 )
r3 sen(3 ) rrel cos(3 ) r1 sen(1 ) r2 sen(2 )
considrese:
K1 r1 cos(1 ) r2 cos(2 )
(i')
(ii')
K2 r1 sen(1 ) r2 sen(2 )
de donde:
r3 cos(3 ) rrel sen(3 ) r1 cos(1 ) r2 cos(2 )
(i'')
r3 sen(3 ) rrel cos(3 ) r1 sen(1 ) r2 sen(2 )
(ii'')
por otro lado, si se despeja rrel de la ecuacin (i'') se reemplaza en (ii'') y se simplifica
sta, entonces se tiene:
K1 cos(3 ) K2 sen(3 ) r3
que es la ecuacin de Freudenstein, que se la resuelve como se indico en el apartado
anterior y se tiene:
17
K1 r3
(A)
r3 cos(3 ) K1
sen(3 )
(B)
Anlisis de velocidad:
Contorno O-C-A-D-O
Se derivan con respecto al tiempo las expresiones (i') y (ii'), y se tiene:
3 r3 sen(3 ) rrel cos(3 ) v rel sen(3 ) r2 2 sen(2 ) (i''')
3 r3 cos(3 ) rrel sen(3 ) v rel cos(3 ) r2 2 cos(2 )
(ii''')
que forman un sistema de ecuaciones lineales en vrel y 3, que resolvindolo da:
r r cos(2 3 ) r2 r3 2 sen(2 3 )
(C)
v rel 2 rel 2
rel
3
r2 2 sen(2 3 )
rrel
(D)
Anlisis de aceleracin:
Contorno O-C-A-D-O
Ahora se derivan con respecto al tiempo las ecuaciones (i''') y (ii''') y reescribindolas se
obtiene:
3 r3 sen(3 ) rrel cos(3 ) a rel sen(3 ) r2 22 cos(2 ) 2v rel 3 cos(3 ) rrel 32 sen(3 )
r3 32 cos(3 )
3 r3 cos(3 ) rrel sen(3 ) a rel cos(3 ) r2 22 sen(2 ) 2v rel 3 sen(3 ) rrel 32 cos(3 )
r3 32 sen(3 )
expresiones stas que conforman un sistema de ecuaciones lineales en arel y 3, el cual al
resolverse da:
r 2 2 r2 r3 cos(2 3 )22 2v rel r3 3 rrel 2 32 r2 rrel sen(2 3 )22
a rel 3 3
(E)
rrel
r2 22 cos(2 3 ) 2v rel 3 r3 32
(F)
rrel
A partir de las frmulas deducidas en el anlisis y partiendo de los datos de la geometra y la cinemtica inicial del mecanismo se escribe una implementacin en MathCAD la cual se muestra a continuacin:
3
MathCAD
Implementacin computacional para el anlisis cinemtico del mecanismo del ejemplo 3...
Datos cinemticos y geomtricos...
2
r1
120 120
r2 120
r3 120 sin
2 4
Frmulas del anlisis cinemtico...
K1 2 r1 cos 1 r2 cos 2
K2 2 r1 sin 1 r2 sin 2
Anlisis de posicin...
3 2 2 atan2 K1 2 r3 K2 2
rrel 2
K1 2
K2 2
r3
K1 2
sin 3 2
r3 cos 3 2
18
Anlisis de velocidad...
r2 2 sin 2 3 2
3 2
rrel 2
vrel 2
r2 r3 2 sin 2 3 2
rrel 2
r2 rrel 2 2 cos 2 3 2
Anlisis de aceleracin...
3 2
arel 2
2 vrel 2 3 2 r3 3 2
rrel 2
r2 2 cos 2 3 2
r3 3 2
rrel 2
rrel 2
r2 cos 2 3 2 r3 2 2 vrel 2 r3 3 2
3 2
r2 sin 2 3 2 rrel 2 2
in 90
fin 90
180
180
2 in in 0.001 fin
3 2
(grados)
20
30
40
50
60
50
0
2
50
(grados)
200
r rel 2
(mm) 150
100
50
50
0
2
50
(grados)
19
3 2
(rad/s) 2
50
0
2
50
(grados)
0.4
vrel 2
(m/s)
0.2
0
0.2
50
0
2
50
(grados)
40
3 2
(rad/s/s)
20
50
50
2 (grados)
arel 2
(m/s/s)
1.5
2.5
50
0
2
50
(grados)
20
2.3
CURVAS DE ACOPLADOR
En los mecanismos manivela corredera y eslabonamiento de cuatro barras, el acoplador tiene un movimiento plano general por lo que la trayectoria de cualquier punto del
mismo excepto las juntas cinemticas que unen el acoplador con los dems eslabones
tiene una forma complicada, sin embargo dicha trayectoria puede ser de utilidad para
propsitos prcticas. Como se explico en el primer captulo dichas trayectorias constituyen la denominada curva de acoplador, y el objetivo de este apartado es utilizar el
mtodo de Raven para generar dicha curva, lo cual constituye una simple aplicacin
del anlisis de posicin. Es importante acotar que las curvas de acoplador son usualmente curvas cerradas en el caso de un mecanismo en el que su eslabn de entrada de
un giro completo. El siguiente ejemplo muestra la generacin de una curva de acoplador.
Ejemplo 4
Para el mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura, genrese la curva de acoplador del punto C. Las dimensiones del mecanismo son: rO1 A 2 mm, rAB = 8 mm,
A
O
A partir del contorno cerrado mostrado en la figura 2.14, se puede escribir la ecuacin
de lazo vectorial siguiente:
R O1 A R AC R O1C
que desarrollada a su forma trigonomtrica produce las siguientes ecuaciones escalares
de posicin:
rO1A cos O1A rAC cos AB rO1C cos O1C
(i)
(ii)
en estas expresiones las incgnitas a resolverse son rO1C y O1C , y stas configuran la
curva de acoplador del punto C.
Si se dividen trmino a trmino las expresiones (i) y (ii) y se despeja O1C se tiene:
rO A senO1A rAC sen AB
O1C arc tan 1
rO A cos O A rAC cos AB
1
1
(A)
elevando al cuadrado las ecuaciones (i) y (ii), sumndolas trmino a trmino y luego
simplificarlas generan:
2
rO21C rO21A rAC
2rO1A rAC cos O1A AB
de donde:
2
rO1C rO21 A rAC
2rO1 A rAC cos O1 A AB
(B)
(C)
AB 2arctan 2
K1 K 3
donde:
K1 rO1O2 cos O1O2 rO1 A cos O1 A
K 2 rO1O2 senO1O2 rO1 A senO1 A
K3
2
rO22 B K12 K 22
rAB
2rAB
Las ecuaciones (A), (B) y (C) permiten determinar rO1C y O1C para valores distintos
de que es el ngulo de entrada del mecanismo y por lo tanto como es lgico su movi
21
miento define las posiciones de cualquier punto del mecanismo incluido obviamente el
punto C del acoplador.
A continuacin se escribe una implementacin en MathCAD necesaria para graficar la
curva de acoplador:
MathCAD
Implementacin computacional para las curvas de acoplador del mecanismo del ejemplo 4...
Geometra del mecanismo...
r O1O2 10
r O1A 2
20
180
O1O2 0
r AB 8
r O2B 7
r AC 5
360
O1A 0 0.5
180
180
Ecuaciones para la construccin de la curva de acoplador...
K 3 O1A
r AB r O2B K 1 O1A
K 2 O1A
2 r AB
K 1 O1A
K 2 O1A
K 3 O1A
r O1A sin O1A r AC sin AB O1A
r O1C O1A
O1Ag 60
180
22
2.4
NGULO DE TRANSMISIN
Un ndice importante para valorar la calidad del diseo de un mecanismo es la medicin del ngulo de transmisin . Este se define como el ngulo formado entre el eslabn acoplador y el eslabn de salida, como se muestra en la figura 2.5-1, y mide la
calidad de la transmisin de la fuerza en el mecanismo. El ngulo de transmisin no es
un valor constante y vara de un valor mnimo a un mximo conforme el mecanismo se
mueve; cuando el ngulo de transmisin es pequeo, se necesitar una fuerza grande
para impulsar el eslabn de salida mientras que el ngulo de transmisin ptimo es de
90, pues en dicho caso la fuerza transmitida del acoplador al seguidor es la mayor posible. Como norma general se recomienda que el ngulo de transmisin este entre los
45 hasta los 135.
Anlisis de caso - ngulo de transmisin para un mecanismo manivela corredera
Considrese el mecanismo manivela corredera descentrado, mostrado en la figura 2.52, hllese el ngulo de transmisin en funcin de la geometra del mecanismo y de 2,
encuntrense adems los valores mximo y mnimo del mismo.
Para la geometra del mecanismo, descrita grficamente en la figura 2.5-3, se puede
escribir lo siguiente:
r3 sen 90 r1 r2 sen2
y,
r r sen2
cos1 1 2
r3
los valores mximo y mnimo se obtienen cuando son 1 y -1, respectivamente es decir
para 2 = 90 y 2 = -90, respectivamente en cuyo caso resulta:
r r
mx cos1 1 2
r3
r r
mn cos 1 1 2
r3
La construccin grfica de dichos ngulos se muestra en las figuras 2.5-4a y 2.5-4b.
23
Al lector se deja la tarea de realizar los mismos clculos para el ngulo de transmisin
en un mecanismo manivela balancn descentrado.
2.5
MTODO GRFICO DE ANLISIS DE POSICIN
Los mtodos grficos han perdido la importancia que posean dado que no permiten de
forma rpida el anlisis del ciclo completo de un mecanismo, sin embargo son necesarios por diversos motivos entre los cuales se puede mencionar:
Utilidad didctica
Comprobacin de resultados obtenidos por un procedimiento analtico
Visualizacin de las magnitudes cinemticas
Si el mecanismo tiene un grado de libertad, la determinacin de la geometra de una
determinada posicin de forma bsica requiere de construcciones geomtricas muy
sencillas y la ayuda de un sistema CAD como AutoCAD.
Siendo un procedimiento grfico la mejor forma de explicarlo es a travs de un ejemplo,
entonces se procede en consecuencia.
Ejemplo 5
Se repite aqu el mecanismo triturador de rocas mostrado en el ejemplo 2 y presentado
en la figura 2.5-1; cuando = 180, D y E se hallan en una lnea horizontal que pasa
tambin por F, adems BD y AE son verticales; las dimensiones son OB = 110 mm, BD
= 760 mm, y AE = ED = DF = 380 mm. Hallar grficamente las posiciones del mecanismo cuando = 30 y = 100.
Para proceder a determinar cualquier nueva posicin de un mecanismo de forma
grfica, es necesario contar con una configuracin inicial, la cual est descrita en el
problema y esta se dibuja en AutoCAD y se presenta a continuacin:
D
E
F
Figura 2.5-1
Se traza dos crculos, el primero con centro en B' y radio 760 mm y el otro con centro en
F y radio 380 mm. Estos crculos producen dos puntos de interseccin correspondientes
a las dos configuraciones posibles que puede adoptar el mecanismo de 4 barras OBDF:
24
Con centro en D se traza un circulo de radio 380 mm y con centro en A otro crculo del
mismo radio, lo que genera dos puntos de interseccin para las dos posibles configuraciones del mecanismo de cuatro barras AEDF,
25
Un procedimiento similar, ya sea a partir de la ultima configuracin o de la inicial, generan la posicin para = 100, mostrada a continuacin;
La segunda configuracin(en lneas rojas entrecortadas) del mecanismo de cuatro barras AEDF, como se muestra en la figura siguiente si podra ser probable:
26
450 mm
100 mm
O 100 mm
Sin embargo un anlisis de posiciones lmite puede demostrar que dicha configuracin
es imposible de alcanzar por el mecanismo de cuatro barras AEDF.
Como se acaba de mostrar en el ejemplo anterior, es sumamente importante en el anlisis de mecanismos planos conocer ciertas configuraciones de la posicin de un mecanismo, especialmente cuando este se encuentra en sus posiciones extremas denominadas posiciones lmite, esta temtica es revisada con la ayuda del mtodo grfico de
anlisis de posicin en el siguiente apartado.
2.6
POSICIONES LMITE
En un mecanismo, cuyos eslabn de salida tenga un movimiento traslacional o rotatorio limitado, es importante conocer las posiciones extremas que alcanza el mismo, dichas posiciones se conocen como posiciones lmite. El procedimiento ms simple para
determinar las posiciones lmites es el mtodo grfico visto en el apartado anterior y en
esencia se revisar las posiciones lmite para los mecanismos manivela corredera y de
cuatro barras.
2.6.1 POSICIONES LMITE DE UN MECANISMO MANIVELA CORREDERA
En el mecanismo manivela corredera son especialmente importantes las posiciones
lmite porque permiten visualizar el recorrido efectuado por la corredera. Las posiciones lmite en este mecanismo se presentan cuando el eslabn motriz y el acoplador
estn alineados y entre estas dos posiciones lmite se produce la carrera o desplazamiento de la corredera, tal como lo muestra la figura 2.6.1-1.
Ejemplo 6
Se muestra aqu nuevamente el mecanismo de una sierra mecnica del ejemplo 1 y
presentado en la figura 2.6.1-1; Para las dimensiones especificadas en tal grfica determnese el recorrido de operacin de la hoja de la sierra.
Se aplica las posiciones lmites en base a las dimensiones del mecanismo y el recorrido
de la sierra ser la distancia de la corredera entre dichas posiciones, tal como se muestra en la figura siguiente:
Figura 2.6.1-1
27
Es de notar que el mecanismo mueve el eslabn triturador AE, en un rango de aproximadamente 20 desde su posicin vertical AE''(rojo) hasta la otra posicin lmite
AE'(azul) lo cual imposibilita que alcance la posicin AE sin desarmarse, por lo que es
imposible que se desplace en la segunda configuracin. Se deja al lector investigar con
la segunda configuracin en ejecucin cual sera el movimiento del eslabn AE y el
rango del ngulo de salida producido.
2.7
MTODO GRFICO DE ANLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIN
A diferencia del mtodo analtico visto en el artculo 2.2 el mtodo grfico expuesto de
aqu en adelante es til solamente para analizar la cinemtica de un determinado instante de funcionamiento de un mecanismo, aunque la ventaja radica en que el procedimiento es ms visual y explica la fenomenologa fsica que es difcil apreciar en el
mtodo analtico.
Para la aplicacin efectiva del mtodo grfico de anlisis de velocidad y aceleracin, es
necesario entender con exactitud la cinemtica del slido rgido por lo cual en esta introduccin se va a exponer una primera parte de esta temtica, el resto se revisara en el
tpico de la aceleracin de Coriolis.
Con este propsito se va a emplear el uso de algebra compleja acorde a lo tratado en el
procedimiento analtico.
El caso ms simple es la rotacin pura de un slido rgido con respecto a un punto determinado. Considrese el slido mostrado en la figura 2.7-1, que rota respecto al
punto O, tomando como sistema de referencia el x-y mostrado y en base a la geometra
definida en a figura se tiene que el vector posicin absoluta de A es:
R A rA eiA
donde rA es la distancia de O a A, mientras que eiA representa el vector unitario en la
28
d
d iA
ie rA A i2eiA rA ieiA rA 2 eiA
dt
dt
donde
rA ieiA representa la aceleracin tangencial del punto A con su unitario ieiA , y
rA 2 eiA corresponde a la aceleracin normal del punto A con su unitario eiA .
AB
iB
rA e
iA
r e
2
iB
rA e
iA
a BA i R B R A R B R A
2
a BA R BA i 2 R BA
29
rBA 2 eiBA .
2.7.1 MTODO GRFICO DE DIFERENCIA DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES - PUNTOS SOBRE UN MISMO ESLABN
Cuando en un mecanismo se analizan dos puntos que se hallan fsicamente dentro de
un mismo eslabn se pueden emplear las ecuaciones de diferencia de velocidades y
aceleraciones detallados en el apartado anterior. El manejo de dichas ecuaciones puede
ser analtico o grfico, aqu se estudiar el tratamiento grfico. Si los puntos descansan
en el mismo eslabn no aparecer la denominada aceleracin de Coriolis, que ser revisada ms adelante.
El mtodo grfico consiste en convertir las ecuaciones de diferencia de velocidades y
aceleraciones en un polgono vectorial dibujado de manera exacta con la ayuda de AutoCAD y si se requiere a cierta escala conveniente; las ecuaciones se podrn resolver
grficamente si nicamente existen dos incgnitas, entre magnitudes y direcciones,
para todos los trminos vectoriales de la ecuacin y si el mecanismo tiene un grado de
libertad la aplicacin sucesiva de la resolucin grfica a cada eslabn flotante del mecanismo permitir obtener la o las variables cinemticas buscadas.
El siguiente ejemplo desarrolla detalladamente este procedimiento.
Ejemplo 8
El mecanismo mostrado en la figura 2.7.1-1, se encarga de empujar cajas desde una
lnea de ensamblaje a una cinta transportadora. Para el instante de funcionamiento del
mecanismo mostrado, hallar grficamente mediante el mtodo de diferencia de velocidades y aceleraciones la velocidad y aceleracin del empujador de los embalajes. Considrese que la manivela gira a una velocidad angular constante de 50 rpm en sentido
C
horario.
200 mm
40
0m
600
mm
B
A
200
mm
P
100
mm
100 mm
50
mm
O
Figura 2.7.1-1
200
mm
Como primer paso se dibuja el diagrama cinemtico en AutoCAD, a escala 1:1, como se
muestra en la figura siguiente:
30
Ecuacin
Magnitud
rPB PB
rOA OA
rAB AB
Valor
300PB
mm
2
100 50 523.6
s
60
400AB
Condicin
Direccin y sentido
no conocida
conocida
no conocida
PB
OA
AB
Condicin
conocida
conocida
conocida
El bosquejo inicial del polgono parte de un punto llamado polo de velocidades, que corresponde al igual de la ecuacin de velocidad relativa, y a partir de este se dibuja la
suma v A v BA y se cierra el polgono con el vector v B . Como se muestra en el bosquejo
el vector v A est totalmente definido por su valor, direccin y sentido mientras que
para los vectores v BA y v B se trazan sus direcciones. A partir de dicho bosquejo, se
definen las direcciones de v BA y v B para que cumplan la ecuacin de diferencia de velocidades, definindose de esta forma el polgono de velocidades que se muestra.
Dimensionando el polgono de velocidades se tiene:
mm
mm
v BA 316
v B 305.38
s
s
de donde,
v
316
rad
AB BA
0.79
rAB 400
s
31
PB
v B 305.38
rad
1.02
rPB
300
s
Dado que el eslabn PBC es uno slo entonces la velocidad angular calculada para PB
le corresponde a todo el eslabn, por lo que la magnitud de la velocidad del punto C,
que tiene una rotacin pura con respecto al punto P, est dada por:
vC rPC PB
Ahora, se utilizar la ecuacin de diferencia de velocidades del eslabn CD, dada por:
v D v C v DC
aqu se puede definir por completo la velocidad del punto C, y la siguiente tabla presenta el anlisis detallado de dicha ecuacin:
vD
vC
v DC
Ecuacin
vD
rPC PB
rCD CD
Valor
vD
mm
601.12 1.02 613.14
s
650CD
Condicin
Direccin y sentido
Condicin
no conocida
conocida
no conocida
PC
CD
conocida
conocida
conocida
Magnitud
la dimensin de rPC se pueden obtener a partir del grfico del diagrama cinemtico
como se muestra en la figura siguiente:
32
v D 606.18
s
Para terminar el anlisis cinemtico, se calcula la velocidad angular del eslabn CD,
como:
CD
v DC 37.82
rad
0.058
rCD
650
s
Clculo de aceleraciones:
Se aplican las ecuaciones de diferencias de aceleraciones correspondientes a las de diferencias de velocidades, es decir:
a B a A a BA
y,
a D a C a DC
En la primera ecuacin es conocido por completo la aceleracin del punto A en rotacin
pura, cuyas magnitudes para la aceleracin normal y tangencial5 estn dadas por:
2
a An rOA OA
a tA rOA OA
dado que OA es constante, OA es nula y por lo tanto a tA 0 .
Para la aceleracin absoluta del punto B, en rotacin pura con respecto a P, se puede
escribir:
a Bn rPB 2PB
a Bt rPB PB
finalmente, para la aceleracin relativa de B con respecto a A:
n
a BA
rAB 2AB
a tBA rAB AB
33
Se elabora una tabla para definir con exactitud las magnitudes, direcciones y sentidos
de todos los trminos de la ecuacin vectorial de aceleracin relativa del eslabn AB,
tal como se hizo en el caso de las velocidades y se tiene:
aB
Ecuacin
n
aB
a tB
300 1.02 312.12
2
Valor
Condicin
Direccin y sentido
Condicin
no conocida
BP
PB
conocida
t
A
2
rOA OA
mm
5
100 2741.56 2
s
3
300 PB
mm
s2
conocida
aA
n
A
rPB PB
rPB 2PB
Magnitud
conocida
a BA
n
BA
a tBA
rAB AB
rAB 2AB
mm
s2
400 AB
conocida
conocida
no conocida
A O
BA
AB
conocida
conocida
conocida
Dado que el valor calculado para a nA es muy grande para la construccin grfica del
polgono de aceleraciones se ha usado una escala 1:4.
Una vez acotado este polgono se encuentra que:
mm
mm
t
2298.91 2
a tB 2693.52 2
a BA
s
s
por lo que,
a t 2693.52
rad
PB B
8.98 2
rPB
300
s
AB
t
a BA
2298.91
rad
5.75 2
rAB
400
s
34
Finalmente, se utilizar la ecuacin de diferencia de aceleraciones del eslabn CD, dada por:
a D a C a DC
aqu se puede definir por completo la velocidad del punto C, y la siguiente tabla presenta el anlisis detallado de dicha ecuacin:
aD
Ecuacin
n
D
a tD
a tD
Magnitud
Valor
Condicin
Direccin y sentido
Condicin
a Dt
no conocida
conocida
aC
n
C
a Ct
rPC PB
rPC 2PB
601.12 1.02 625.4
2
mm
s2
conocida
conocida
CP
PC
conocida
conocida
mm
s2
a DC
n
DC
a tDC
rCD CD
2
rCD CD
mm
s2
650 CD
conocida
no conocida
D C
CD
conocida
conocida
35
Debido a que el valor alcanzado por aCt calculado es muy grande, para la construccin
grfica del polgono de aceleraciones se ha usado una escala 1:6.
Una vez acotado este polgono se encuentra que:
mm
a Dt a D 5469.88 2
s
2.7.2 ACELERACIN DE CORIOLIS
Considrese el caso en que un punto perteneciente a dos eslabones distintos coincide
posicionalmente en un instante dado, como ocurre con el punto A de la figura 2.7.2-1.
La velocidad del punto A perteneciente al cuerpo 1 se denota v A1 , mientras que la ve-
2
A
O
x
1
Figura 2.7.2-1.
i e
ie rOA
dt
dt
dt
dt
dt
dt
a A a rA eiOA 2v rA ieiOA rOA ieiOA rOA 2 eiOA
36
donde,
a rA es la aceleracin radial, con vector unitario e iOA ,
a A1
180 mm
D
a A2A1
A
110 mm
O
30 o
520 mm
310 mm
Figura 2.7.3-1
Clculo de velocidades:
Los eslabones mviles se han numerado del 2 al 7, para la identificacin de un punto
que coincida en varios eslabones como el caso del punto A, y de hecho en este puntos se
va a plantear la primera ecuacin de velocidades relativas:
v A2 v A 4 v A2 A4
37
v A2
v A4
v A2 A 4
Ecuacin
Magnitud
Valor
rOA2 OA2
110
rCA4 CA4
v A2 A 4
rad
s
377.23CA4
v A2 A 4
Condicin
Direccin y sentido
conocida
no conocida
no conocida
OA2
CA 4
CB
Condicin
conocida
conocida
conocida
entonces,
mm
242.77
rad
CB
CA4
0.64
s
377.23
s
A continuacin se aplica la ecuacin de diferencia de velocidades al eslabn 5,
v D v B v DB
para la cual se construye el esquema de clculo siguiente:
vD
vB
v DB
Ecuacin
v A2 A4 245.95
rCB CA4
rBD BD
Magnitud
vD
Valor
vD
Condicin
Direccin y sentido
no conocida
conocida
no conocida
CB
Condicin
conocida
conocida
BD
conocida
mm
s
180BD
38
por lo que,
v D 375.66
mm
99.71
rad
0.55
180
s
BD
Clculo de aceleraciones:
Como en el clculo de velocidades, se plantea la ecuacin de aceleracin relativa para el
punto A entre los eslabones 2 y 4:
a A2 a A 4 a A2 A 4
y se construye el esquema de clculo para esta ecuacin,
a A2
Ecuacin
n
a A2
a tA2
rOA2 2OA2
Magnitud
110 1085.66
2
Valor
Condicin
Direccin y sentido
Condicin
mm
s2
conocida
A O
conocida
a A4
n
A4
rCA4 CA4
2
rCA4 CA
4
a tA4
mm
s2
377.23CA4
conocida
no conocida
BC
CB
conocida
conocida
a A2 A4
a A2 A4
a cA2 A4
a A2 A4
2v A2 A4 CA4
a A2 A4
no conocida
conocida
CB
CB
conocida
conocida
mm
s2
entonces,
457.83
rad
1.21 2
377.23
s
Finalmente, se aplica la ecuacin de diferencia de velocidades al eslabn 5,
a D a B a DB
a A2 A4 608.16
mm
BC
s2
CA4
39
aD
aD
Magnitud
Valor
Condicin
Direccin y sentido
Condicin
no conocida
conocida
aB
n
B
a tB
rCB CA4
2
rCB CA
4
mm
s2
conocida
conocida
BC
CB
conocida
conocida
mm
s2
a DB
n
DB
t
a DB
rBD BD
rBD 2BD
180 0.55 54.45
2
mm
s2
180BD
conocida
no conocida
DB
BD
conocida
conocida
entonces,
a D 567.87
mm
s2
BD
90.75
rad
0.5 2
180
s
2.8
REFERENCIAS
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