Vigas Estaticamente Indeterminadas

VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular

a su eje longitudinal, en la que el nmero de reacciones en los soportes
superan al nmero de ecuaciones disponibles del equilibrio esttico, esto es: el
nmero de incgnitas es mayor que:
La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple A y el otro
empotrado B bajo una carga puntual P.
A continuacin se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En

el soporte A existe slo reaccin vertical puesto que el rodillo no impide el
desplazamiento horizontal. En el empotramiento en B hay dos reacciones
dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.
Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes

VA y VB y el momento flexionante M B y slo se dispone de dos ecuaciones de
equilibrio; M y Fy, la viga es estticamente indeterminada o hiperesttica
pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay
ms incgnitas que ecuaciones).
Otro tipo de viga hiperesttica es aquella que tiene ms de dos soportes, y que
se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2.
Este caso corresponde a una barra mucho ms compleja de analizar puesto

que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes
verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en A.
Para la solucin de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del

equilibrio esttico, un camino a seguir consiste en hacer el anlisis de las
deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se
flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas.
Ejemplo:
MTODO DE LA DOBRE INTEGRACION
Teniendo en cuenta las condiciones de borde indicadas, tenemos que

x=0, =0 y x=0, y=0 en A, por lo que sustituyendo en las ecs. anteriores se
llega a C1=C2=0, por lo que llegamos a :
Pero la tercera condicin de borde requiere que y=0 para x=L.

sustituyendo en la ecuacin anterior:
MTODO DE SUPERPOSICIN.
Consideremos la estructura de la figura 8.11, que consiste en una viga
sustentada en A mediante un apoyo fijo y en B y C mediante dos apoyos
mviles. Debido a las cargas actuantes, en los vnculos mencionados aparecen
reacciones. Si realizamos el diagrama de cuerpo libre y planteamos las
condiciones de equilibrio podemos ver que por tratarse de una chapa plana, slo pueden formularse tres ecuaciones de equilibrio linealmente independientes,
mientras que tenemos cuatro incgnitas.
Dado que las ecuaciones 8.30 no son suficientes para determinar las cuatro
reacciones, decimos que la viga resulta estticamente indeterminada o
hiperesttica. En lo que respecta a la Est- tica, no hay manera alguna de

determinar las reacciones en los apoyos tratando al cuerpo como rgido; stas
solamente pueden calcularse si analizamos las deformaciones de la estructura.
Una forma de resolver estticamente la estructura planteada es la
siguiente:
a-
b-
En primera instancia quitamos el apoyo en B. Dado que a pesar

de ello la estructura sigue siendo estable, decimos que este
apoyo es superabundante. Algo semejante hubiese ocurrido si
en lugar de eliminar el apoyo en B hubisemos quitado el
apoyo en C.
A continuacin estudiamos la estructura simplemente apoyada
que nos queda, la cual se denomina sistema primario o
fundamental. Este sistema se deforma, y su elstica presenta
un corrimiento vertical B en correspondencia con el apoyo
eliminado. Si suponemos la existencia de una carga
concentrada RB, sta actuando independiente produce una
elstica que genera en correspondencia con B un
desplazamiento '' B . c- Finalmente, dado que el
desplazamiento B = 0 tenemos:
Esta ultima ecuacin nos permite obtener el valor de RB, y conociendo su valor,
con las ecuaciones de la Esttica determinamos las reacciones faltantes. Para
clarificar estas ideas a continuacin vamos a resolver el ejemplo de la figura

8.13. En el sistema primario, bajo la accin de la carga repartida tenemos:
EL MTODO DE REDISTRIBUCIN DE MOMENTOS O MTODO

DE CROSS.
es un mtodo de anlisis estructural para vigas estticamente indeterminadas

En el mtodo de redistribucin de momentos, para analizar cada articulacin o
nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar
los Momentos en los Extremos Fijos. Despus cada articulacin fija se
considera liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al
momento de ser liberado no est en equilibrio) se "distribuyen" a miembros
adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El mtodo de distribucin de
momentos en trminos matemticos puede ser demostrado como el proceso de
resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteracin.
El mtodo de redistribucin de momentos cae dentro de la categora de
los mtodos de desplazamiento del anlisis estructural.
Momentos de empotramiento en extremos fijos

Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos
al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas estn fijas.
Rigidez a la Flexin
La rigidez a la flexin es la propiedad que tiene un elemento que le permite
resistir un lmite de esfuerzos de flexin sin deformarse. La rigidez
flexional (EI/L) de un miembro es representada como el producto del mdulo de
elasticidad (E) y el Segundo momento de rea, tambin conocido como
Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es
necesaria en el mtodo de distribucin de momentos, no es el valor exacto
pero es la Razn aritmtica de rigidez de flexin de todos los miembros.
Coeficientes de distribucin
Los coeficientes de distribucin pueden ser definidos como las proporciones de
los momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros.
Un momento no equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro
concurrente en l, esta distribucin se hace directamente proporcional a la
rigidez a la flexin que presenta cada uno de estos miembros.
Coeficientes de transmisin
Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro
cuando se permite el giro en el apoyo. La razn de momento acarreado sobre
el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el
coeficiente de transmisin.
-Valores tpicos:
0,5 para nodos sin empotramiento
0 para nodos empotrados
Convencin de signos
Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere
de la [convencin de signos] usual en ingeniera, la cual emplea un sistema de
coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y
hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo anti
horarios.
Estructuras de marcos
Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el
mtodo de distribucin de momentos.
Ejemplo
La viga estticamente indeterminada mostrada en la figura ser analizada.
Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud
Las rigideces flexionales son EI, 2EI, EI respectivamente.
Cargas
distancia
concentradas de magnitud
desde el soporte A.
Carga uniforme de intensidad
actan
una
acta en BC.
Miembro CD est cargado a la mitad de su claro con una carga

concentrada de magnitud
.
En los siguientes clculos, los momentos anti horarios son positivos.
Momentos en Extremos Fijos
Coeficientes de Reparto
Los coeficientes de reparto de las juntas A

y D son
.
Coeficientes de transmisin
Los coeficientes de transmisin son (porque la seccin es constante),

excepto para el factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.
Distribucin de Momentos
Nmeros en gris son momentos balanceados; flechas ( / ) representan el

acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.
Resultados
Momentos en articulaciones, determinados por el mtodo de distribucin

de momentos.
La convencin de signos usual en ingeniera es usada aqu, i.e. Los

momentos positivos causan elongacin en la parte inferior de un
elemento de viga.
Para propsitos de comparacin, los siguientes son los
resultados generados, usando un mtodo matricial. Nota que
en el anlisis superior, el proceso iterativo fue llevado a >0.01
de precisin. El hecho de que el resultado de anlisis de
matriz y el resultado de anlisis de distribucin de momentos
iguale a 0.001 de precisin es mera coincidencia.
Momentos en articulaciones determinados por el mtodo matricial
Los diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. Nota
que el mtodo de distribucin de momentos solo determina los momentos en
las juntas. Desarrollando diagramas de momentos flexores completos requiere
de clculos adicionales usando los momentos determinados en las
articulaciones y el equilibrio interno de la seccin.

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VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular

A continuacin se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En

Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes

Este caso corresponde a una barra mucho ms compleja de analizar puesto

Para la solucin de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del

MTODO DE LA DOBRE INTEGRACION

Teniendo en cuenta las condiciones de borde indicadas, tenemos que

Pero la tercera condicin de borde requiere que y=0 para x=L.

hiperesttica. En lo que respecta a la Est- tica, no hay manera alguna de

En primera instancia quitamos el apoyo en B. Dado que a pesar

clarificar estas ideas a continuacin vamos a resolver el ejemplo de la figura

EL MTODO DE REDISTRIBUCIN DE MOMENTOS O MTODO

es un mtodo de anlisis estructural para vigas estticamente indeterminadas

Momentos de empotramiento en extremos fijos

0,5 para nodos sin empotramiento

0 para nodos empotrados

La viga estticamente indeterminada mostrada en la figura ser analizada.

Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud

Las rigideces flexionales son EI, 2EI, EI respectivamente.

Carga uniforme de intensidad

Miembro CD est cargado a la mitad de su claro con una carga

En los siguientes clculos, los momentos anti horarios son positivos.

Momentos en Extremos Fijos

Los coeficientes de reparto de las juntas A

Los coeficientes de transmisin son (porque la seccin es constante),

Nmeros en gris son momentos balanceados; flechas ( / ) representan el

Momentos en articulaciones, determinados por el mtodo de distribucin

La convencin de signos usual en ingeniera es usada aqu, i.e. Los

Momentos en articulaciones determinados por el mtodo matricial

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