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    Deber 7

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    Mario Aguaguiña M.
    Este documento presenta 5 problemas sobre álgebra lineal. El primer problema pide demostrar propiedades de transformaciones de rotación y encontrar ángulos para reflexiones e identidades. El segundo problema determina si una función dada es una transformación lineal y calcula sus espacios núcleo y rango. El tercer problema construye transformaciones lineales con características específicas. El cuarto problema evalúa afirmaciones sobre espacios núcleo y rango de transformaciones. El quinto problema analiza si cambios escalares afectan dichos espacios.

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    Título original

    Deber%2B7

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    Deber 7

    Álgebra Lineal
    Prof. Dr. Joseph Páez Chávez
    II Término 2009–2010

    R R,
     
    2 2 x
    Problema 1. Considere la transformación de rotación Tα : → Tα =
      y
    x
    Aα vista en clase.
    y

    (i) Demuestre que Aα1 +α2 = Aα1 Aα2 . Interprete este hecho geométricamente.

    (ii) Encuentre el valor del ángulo α para que:

    (a) Tα sea una reflexión al origen.


    (b) Tα sea la transformación identidad.

    Problema 2. Sea la función T : P2 → M2×2 , definida por:


     
    p(1) p(−1)
    T (p(x)) = .
    p0 (1) p0 (−1)

    (i) Determine si T es una tranformación lineal.

    (ii) Si T es una tranformación lineal, encuentre rec(T ), nu(T ), ν(T ), ρ(T ). Verifique si se
    cumple el teorema de la dimensión.

    Problema 3. Construya transformaciones lineales T : V → W , con las caracterı́sticas que


    se indican:

    (i) V = W = P3 , nu(T ) = {p(x) ∈ P3 : p(1) = p0 (1) = 0}, 4x2 + 1 ∈ rec(T ).


      
     x
    R R

    (ii) V = 3 , W = P2 , nu(T ) =  y  ∈ 3 : 2x − y + z = 0 , rec(T ) = {p(x) ∈ P2 :
    z
     
    2p(1) = p0 (−1) = p(0)}.

    1
    Problema 4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

    (i) Sea A ∈ Mm×n y T : Rn → Rm, tal que T (x) = Ax. Entonces, rec(T ) = rec(A) y
    nu(T ) = nu(A).

    (ii) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal. Sea {v1 , v2 ,


    . . . , vn } un conjunto linealmente independiente en V . Entonces, {T (v1 ), T (v2 ), . . . ,
    T (vn )} es un conjunto linealmente independiente en W .

    (iii) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal. Sea


    S = {v1 , v2 , . . . , vn } un subconjunto de V . Si {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente
    independiente en W , entonces S es un conjunto linealmente independiente en V .

    (iv) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal. Sea


    S = {v1 , v2 , . . . , vn } un subconjunto de V . Si {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente
    dependiente en W , entonces S es un conjunto linealmente dependiente en V .

    (v) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal. Sea c ∈ , R


    c 6= 0, y considere la transformación F : V → W , tal que F = cT . Entonces,
    rec(T ) = rec(F ) y nu(T ) = nu(F ).

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