Capitulo 3-6 Aletas
Capitulo 3-6 Aletas
Capitulo 3-6 Aletas
dx
E in = q x
E out = q x + dx + dqconv
d 2T 1 dAc dT 1 h dAs
+ − ( T − T∞ ) = 0
dx 2
A dx dx A k dx
c c
Capítulo 3 IMC 484 4
Distribución de temperatura en una aleta
de sección transversal constante
d 2T 1 dAc dT 1 h dAs
+ − ( T − T∞ ) = 0
dx 2
A dx dx A k dx
c c
dAc dAs
qconv =0 and =P
dx dx
d 2T hP
Tb − ( T − T∞ ) = 0
2
Ac
dx kAc
qf Cambios de variable:
2 hP
θ ( x ) ≡ T ( x ) − T∞ m ≡
kAc
θ ( x ) ≡ C1e mx + C 2 e − mx
Base (x = 0)
θ ( 0 ) = Tb − T∞ ≡ θb
Extermo derecho ( x = L)
dθ
A. Convección: − k = hθ (L)
dx x =L
dθ
B. Adiabático: −k =0
dx x =L
C. Temperatura cte: θ ( L ) = θ L
D. Aleta infinita: θ ( L) = 0
Transferencia de Calor:
dθ
q f = − kAc |x = 0 = ∫ A f hθ ( x ) dAs
dx
Capítulo 3 IMC 484 6
Distribución de temperatura y balance de
calor para aletas de sección transversal cte
Se justifica el uso de
aletas si
εf ≥2
hPkAc θ b kP kP
εf = ∴ Ac = Ac ,b ε f = ≥ 2 ≥4
hAc ,bθ b hAc hAc
0,8
tanh(mL)
0,6
0,4
0,2
mL=2,3
0
0 1 2 3 4 5
mL
Capítulo 3 IMC 484 10
Eficiencia de la aleta, η f
qf qf
ηf = = Af: Área superficial de la aleta
qmax hA f θ b
Para una aleta de sección transversal uniforme con
un extremo adiabático η f
q f ,ad hPkAc tanh( mL ) tanh( mL ) 1
ηf = = =
hA f θ b hPL mL
tanh ( mL )
Si L→0 ηf = →1 Costo
mL
tanh ( mL ) ηf
L→∞ ηf = →0
mL
0
mL
Capítulo 3 IMC 484 11
Eficiencia de la aleta, η f
Cómo saber si la consideración de extremo adiabático es buena?
Consideremos una aleta en aluminio (k=237 W/mK) de 20,0 cm de
largo, 3,0 cm de profundidad y 0,5 cm de ancho. con una
temperatura en la base igual a 100 ºC. Asumamos que h=5W/m2K.
El ambiente se encuentra a 25 ºC.
a) Cual sería la temperatura del extremo si en el extremo hay
transferencia de calor por convección.
b) La misma pregunta pero con un extremo adiabático.
Ecuación
T ( x ) - T∞ larga
θ cosh[m( L − x )] + (h / mk )sinh[m( L − x )] , m = hP = 3,138
= = kAc
Tb − T∞ θb cosh mL + (h / mk )sinh mL
. (0.2 − x )] + 0.00672 sinh[3138
cosh[3138 . (0.2 − x )]
=
cosh(0.6276) + 0.00672 sinh(0.6276)
T ( x ) = 25 + 62.09{cosh(0.6276 − 3138
. x ) + 0.00672 sinh(0.6276 − 3138. x )}
Capítulo 3 IMC 484 12
Eficiencia de la aleta, η f
T: Ext adiabática; Tc: Ext convectivo Extremo adiabática
100
T ( x ) - T∞ θ cosh m( L − x )
= =
96.25 Tb − T∞ θb cosh mL
T( x ) T − 25 . (0.2 − x )]
cosh[3138
92.5 = ,
T c( x ) 100 − 25 cosh(3138
. * 0.2)
88.75 T ( x ) = 25 + 62.32 * cosh[3138
. (0.2 − x )]
T(0.2)=87.32 °C
85
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 Tc(0.2)=87.09 °C
x en el extremo de la aleta es ligeramente inferior
Nota 1: la temperatura
en el caso de un intercambio por convección, lo que es lógico!!!
Note 2: La diferencia entre las dos soluciones es ínfima. Luego es posible
encontrar aproximadamente el mismo resultado en los dos casos si se
aplica un factor correctivo al caso del extremo adiabático (especialmente
en el caso de aletas delgadas) lo que compensaría el efecto de
transferencia de calor por convección en el extremo de la aleta.
Capítulo 3 IMC 484 13
Eficiencia de la aleta, η f
Para ahorrarse la utilización de la ecuación larga se
utiliza la suposición de extremo adiabático pero
utilizando una longitud de aleta corregida para tener
en cuenta la transferencia de calor por convección en
el extremo LC=L+(t/2).
LC=L+t/2
t
L L
t/2
Con convección Extremo aislado
Luego se aplica una condición de extremo adiabática
T( x ) 96.25
T(0.2)=87.32 °C
T c( x )
92.5 Tc(0.2)=87.09 °C
Tcorr (0.2025)=87.05 °C
T corr( x )
88.75
12 12
hP h 32
Si w >> t ⇒ P ≈ 2 w
mLc =
kAc
Lc =
Lc
kAp
NA f η f
η o (c ) = 1− 1 −
At C 1
(
C1 = 1 + η f hA f Rt",c / Ac ,b )
d 2T 1 dT 2h
2
+ − ( T − T∞ ) = 0
dr r dr kt
d 2θ 1 dθ
2
+ − m 2
θ = 0 Ec de Bessel modificada
dr r dr
Solución θ ( r ) = C1 I 0 ( mr ) + C 2 K 0 ( mr )
I0 y K0 funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase.
Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera
dθ θ I ( mr ) K1 ( mr2 ) + K 0 ( mr ) I1 ( mr2 )
C.F = 0 ∧ θ ( r1 ) = θ b = 0
dr r = r2
θ b I 0 ( mr1 ) K1 ( mr2 ) + K 0 ( mr1 ) I1 ( mr2 )
I1 y K1 funciones de Bessel de primer orden modificadas de primera y segunda clase.
Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera
Capítulo 3 IMC 484 20
Ejercicio
• Los álabes de turbina montados en un disco rotatorio de una turbina de gas se exponen
a un flujo de gas que esta a T∞=1200 ºC y mantiene un coeficiente de convección de
h=250 W/m2K sobre los álabes. Los álabes, fabricados en Inconel, k=20 W/mK, tienen
una longitud de L=50 mm. El perfil del álabe tiene un área de sección transversal
Ac=6x10-4 m2 y un perimetro P=110 mm. Un esquema de enfriamiento de álabe que se
propone, el cual implica dirigir aire a través del disco de soporte, es capaz de manter la
base de cada álabe a una temperatura Tálabe=300 ºC.
• a) Si la temperatura máxima permisible del álabe es 1050 ºC y se supone que la punta
del alabe es adiabática, ¿es satisfactorio el esquema de enfriamiento que se propone?
• b) Para el esquema de enfriamiento propuesto, ¿cuál es la transferencia de calor de
cada álabe al fluido refrigerante?
• c) En que estado (gaseoso, líquido o en ebullición) debe estar el fluido refrigerante para
asegurar la transferencia de calor calculada en el numeral anterior. Sugiera un rango
para h lado refrigerante. Justifique su respuesta!!!