Gauss Jordan Gauss Seidel
Gauss Jordan Gauss Seidel
Gauss Jordan Gauss Seidel
DE OAXACA
METODOS N UMERICOS
GAUS S JO R DA N
GAUS S SEIDEL
OCTUBRE 2009
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Contenido
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .................................................................................. 3
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN ................................................................................................. 4
Ejemplo 1 .................................................................................................................................... 4
Ejemplo 2:................................................................................................................................... 5
Aplicación del método Gauss-Jordán Para la resolución de un problema de Ingeniería .............. 6
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL ..................................................................................................... 8
La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente: ...................... 8
Ejemplo....................................................................................................................................... 9
Aplicación del método gauss seidel ........................................................................................... 12
BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................... 14
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones
lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en
geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema
equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio).
un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales,
llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos
independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del
sistema es un conjunto ordenado de números reales (s 1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las
incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del
sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :
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MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver
hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones
aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que
cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que
preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
Ejemplo 1
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Los que nos da la solución del sistema por este método
Ejemplo 2:
l
o que nos da un sistema de la cual despejamos las variables de la siguiente manera
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Aplicación del método Gauss-Jordán Para la resolución de un problema de
Ingeniería
DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS
Todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de
recursos es un problema critico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de
construcción, distribución de productos y recursos en la ingeniería, Aunque los problemas
siguientes tienen que ver con la fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en
un amplio panorama de otros problemas.
En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la
producción de cada tipo de mezclas. Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg
Grava, 970 kig de Arena y 601 litros de agua. ¿Cuántas mezclas de cada tipo se pueden realizar
por día?
SOLUCION:
La cantidad total producida de cada mezcla esta restringida al total de recursos disponibles en
cada categoría diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de
mezcla.
Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultanea de otra manera, se acabaría
uno o mas de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de mezclas. Si los
recursos disponibles representados por el vector de termino independiente de las ecuaciones
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anteriores, se reducen todos a cero simultáneamente, entonces se puede remplazar el signo
menor o igual por el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de mezcla producida se
puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los metodos de gauss.
X1=10
X2=12
X3=18
X4=15
Esta información se usa en el calculo de las ganacias totales. Por ejemplo, suponiendo las
ganancias que corresponden a cada mezcla estan dadas por P1, P2, P3 y P4. La ganancia total
asociada con un dia de actividad esta dada por:
Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente
cuadro.
MEZCLA GANANCIA
1 1000
2 700
3 1100
4 400
De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los recursos especificados
en el problema.
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MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de
ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de
los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la
desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy
lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del
coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente
dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación.
Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para
asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna
combinación de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando
el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es
mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la
convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como
sistema diagonal.
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer
una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores
seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia
como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el
coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores
supuestos.
3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el
coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del
paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.
4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la
incógnita que tiene el coeficniente más grande en cada ecuación particular, y utilizando
siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la
primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se
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obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un
valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración.
5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración
particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que
cierto seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.
Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, mayor será la
precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no especifica el error que puede
existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de
convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida
en los valores de las incógnitas para un dado.
Ejemplo
SOLUCIÓN:
Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten los coeficientes
mayores para asegurar la convergencia.
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Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2
Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la
siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:
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Comparando de nuevo los valores obtenidos
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X1 = 3.0
X2 = -2.5
X3 = 7.0
Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una
solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo se necesitan más iteraciones.
Problema 1.
Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de níquel
y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá
extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?
Solución:
¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca?
Queremos saber el número de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina,
asignemos literales a esos números.
Sean x el número de toneladas que se extrae de la mina I.
y el número de toneladas que se extrae de la mina II.
Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales.
¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I?
0.01 x
¿Y de la mina II?
0.02
Entonces la ecuación queda : 0.01x + 0.02y =4
Análogamente para el cobre tenemos:
0.02x+0.05y=9
Así, para saber cuántas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema De
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
Tomando como primer valor inicial a y1 =75 resolvemos para x1 para optener porteriormente y2
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Calculamos el error
que aun es mayor al 1% Asi que repetimos el proceso de iteración las veces necesarias
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BIBLIOGRAFIA
http://cbi.azc.uam.mx/archivos/varios/ProblemarioW.pdf
http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoDeGauss
http://www.fing.edu.uy/~nmoller/2004/parte1.pdf
http://www.math.com.mx/docs/sec/sec_0014_Sistemas_Lineales.pdf
http://www.vadenumeros.es/tercero/problemas-con-sistemas.htm
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