Experimento 4

MOVIMIENTO CON ACELERACIN CONSTANTE Objetivos

1. Medir la distancia recorrida y la velocidad de un objeto que se mueve con: a. velocidad constante y b. aceleracin constante, 2. Establecer las relaciones entre la distancia recorrida por un mvil, su velocidad y su aceleracin, 3. Analizar grficas de distancia recorrida y velocidad vs. tiempo para un carrito en movimiento, 4. Explicar cmo se relaciona la pendiente de la grfica de v vs. t con la aceleracin del carrito, 5. Analizar el movimiento de un objeto en cada libre y 6. Medir la aceleracin de la gravedad
Teora

En este ejercicio de laboratorio vamos a analizar el movimiento de un carrito que viaja sobre un plano. Si ignoramos la friccin, cuando el plano est horizontal, el carrito viaja con velocidad constante. Cuando el plano est inclinado, el carrito viaja con aceleracin constante. Ambos movimientos son importantes porque se presentan en la naturaleza y su combinacin produce el movimiento parablico caracterstico de los proyectiles. Uno de los movimientos ms comunes en la vida diaria es la cada libre de los cuerpos. Este movimiento tiene aceleracin constante, la cual se origina en la atraccin gravitatoria de la Tierra. A nivel del mar, la aceleracin de la gravedad tiene un valor g = 9.81 m/s2 = 981 cm/s2 = 32.2 ft/s2. Cuando un objeto cae libremente cerca de la superficie de la Tierra, viaja con esa aceleracin si la friccin con el aire es pequea. En este ejercicio asumiremos que la friccin con el aire puede ignorarse, y mediremos la aceleracin de la gravedad mediante dos procesos diferentes. Al final compararemos los valores obtenidos con el que se reporta en la literatura. Las ecuaciones y definiciones necesarias para hacer este experimento son las mismas que presentamos en el experimento 3 de este curso y otras ms que veremos a continuacin Movimiento del carrito en el plano horizontal En la figura 1mostramos un sensor de movimiento y un plano horizontal por donde viaja un carrito

Figura 1 Ignorando la friccin, con el plano horizontal, el carrito viaja con velocidad constante

63

El sistema est construido de tal forma que la friccin del carrito con el plano es despreciable. Esto significa que si lo empujamos, se mover con velocidad constante. El sensor nos permite registrar el movimiento del carrito mediante grficas de posicin, velocidad y aceleracin vs. tiempo, que son producidas por el programa de computadora, y presentadas en la pantalla del monitor Movimiento del carrito en el plano inclinado En la figura 2 vemos el plano levantado por su extremo izquierdo, formando un ngulo con la horizontal. En este caso el carrito baja con aceleracin constante. El valor de la aceleracin es a = g sen. Al hacer el experimento mediremos la aceleracin del carrito a partir de la pendiente de la grfica de v vs. t. Podemos determinar el valor del ngulo si conocemos la altura del extremo izquierdo del plano, a la cual llamaremos h, y la longitud del plano, a la que llamaremos . En este caso tenemos = sen-1 (h/). Con este dato, y sabiendo el valor de a, podemos calcular el valor de g, al cual llamaremos valor medido, y podremos compararlo con el valor reportado de 9.81 m/s2. Debemos aclarar que la figura 2 muestra una inclinacin exagerada, si la comparamos con la que tendr el plano en el laboratorio. En la prctica bastar con una altura mxima h = 1.5 cm aproximadamente

Figura 2 En el plano inclinado el carrito descienda con aceleracin constante Cada libre

Cuando un objeto cae libremente, cerca de la superficie de la Tierra, lo hace bajo la influencia de la aceleracin de la gravedad. En este caso, ignorando la friccin con el aire, su aceleracin es constante y tiene un valor de 9.81 m/s2. La distancia que recorre el objeto durante su cada est dada por la siguiente ecuacin:

1 y = yo + vot + gt 2 2

Donde yo es la posicin inicial con respecto a un sistema de referencia, y vo, la velocidad inicial. En el caso particular cuando el objeto es liberado desde el reposo, es decir, vo = 0, y desde el origen del sistema de referencia, yo = 0, tenemos que la ecuacin 1 se reduce a la 2

y=

1 2 gt 2

64

donde hemos seleccionado la direccin hacia abajo como positiva. La ecuacin 2 nos permite determinar el valor de la aceleracin de la gravedad si medimos el tiempo que tarda en caer un objeto desde una altura conocida. En el experimento vamos a tener un cronmetro tipo foto celda que se activar automticamente al soltar un boln desde una altura conocida, y se detendr al momento de que el boln toque el piso. Ver la figura 3

Figura 3 Boln a una altura conocida. Su tiempo de cada es medido automticamente

Ejemplos 1. Calcule la aceleracin del carrito si el ngulo de inclinacin del plano, en la figura 2, es de 15. Asuma que g = 9.81 m/s2 Solucin: Usamos la ecuacin a = g sen = (9.81 m/s2) sen 15 = 9.81 0.259 = 2.54 m/s2 2. Un avestruz asustado corre en lnea recta aumentando y disminuyendo su velocidad segn se describe en la grfica de velocidad versus tiempo mostrada en la figura 4. Bosqueje la aceleracin del avestruz versus el tiempo Solucin: A partir de la grfica vemos que, al tiempo cero, la velocidad del avestruz es cero, sin embargo, luego de unos 0.6 s su velocidad es de 10.0 m/s. Aproximadamente, cuando t = 1.2 s, el avestruz alcanza su velocidad mxima, que es de unos 14.3 m/s. Esto implica que durante todo este tiempo el avestruz aceler. Despus de esto su velocidad empez a disminuir, hasta volverse cero, poco despus de transcurridos 3 s. Por definicin, la aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Esto significa que, para bosquejar la grfica de aceleracin contra tiempo, debemos escoger algunos puntos en la grfica de la figura 4, dibujar una recta tangente a la curva en cada uno de esos puntos, y calcular su pendiente. Ver, por ejemplo, la figura 5, en donde hemos escogido el origen como primer punto para dibujar la tangente y calcular su pendiente. De acuerdo con las escalas de los ejes, la pendiente de esa recta es de 20.0 m/s2. Hemos identificado los puntos A, B, C, D, E, y F como

65

otros tantos en los que podemos trazar la tangente y calcular su pendiente. Por supuesto que el trazo de la grfica de aceleracin contra tiempo ser ms preciso cuanto mayor sea el nmero de puntos en los que tracemos las tangentes. El resultado de la grfica de aceleracin vs. t se muestra en la figura 6, en la que, adems, hemos identificado los puntos A, B, C, D, E y F

Figura 4 Grfica de la velocidad instantnea de un avestruz como funcin del tiempo

Figura 5 Clculo de la aceleracin en el origen, al tiempo t = 0

3. La posicin de un objeto se expresa mediante la ecuacin x(t) = (2t3 + 3t2 2t 10) m. Encuentre la expresin de su velocidad instantnea y la de su aceleracin instantnea Solucin: Por definicin, la velocidad instantnea es la derivada de la posicin con respecto al tiempo, es decir,

66

v=

dx d m = (2t 3 + 3t 2 2t 10) = (6t 2 + 6t 2) dt dt s

Asimismo, la aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad instantnea con respecto al tiempo, o sea,

a=

m dv d = (6t 2 + 6t 2) = (12t + 6) 2 s dt dt

Este ejercicio puede hacerse grficamente con una calculadora, o con el programa Graphmatica, que est instalado en las computadoras del laboratorio. Recomendamos al estudiante que lo haga con ambos recursos

Figura 6 Grfica de la aceleracin del avestruz vs. tiempo

4. Encontrar el desplazamiento total que recorre un sper atleta olmpico cuya grfica de velocidad contra tiempo es la figura 7 Solucin: En este ejercicio hay cuatro intervalos de tiempo con diferentes aceleraciones. Primeramente tenemos que calcular la aceleracin en cada intervalo. Como sabemos, la aceleracin en una grfica de velocidad contra tiempo es la derivada de la curva, o su pendiente en cada punto. En este caso hay cuatro aceleraciones distintas, cada una de ellas constante. Esto lo sabemos

67

porque los cuatro intervalos muestran lneas rectas. La aceleracin se calcula con la ecuacin 3, que presentamos en el experimento 3 de este manual de laboratorio

a=

vf - v i t

m 0 m s = 2.0 2 Intervalo A: aA = 4s-0 s 8

Intervalo B: aB = 0

m m 8 s = 1.5 m Intervalo C: aC = s 12s-8s s2 2 m m 2 s s = 1.0 m Intervalo D: aD = 20s-12s s2 10

Figura 7 Cuatro intervalos de tiempo con diferentes aceleraciones

Para calcular las distancias usamos la ecuacin 1 Distancia recorrida en el intervalo A:

1 1 yA = yo + vot + aAt 2 = 0 + 0 + 2.0 42 = 16 m 2 2

Distancia recorrida en el intervalo B:

68

1 yB = yo + vot + aBt 2 = 0 + 8 4 + 0 = 32 m 2
Distancia recorrida en el intervalo C:

1 1 yC = yo + vot + aCt 2 = 0 + 8 4 + (1.5) 42 = 20 m 2 2

Distancia recorrida en el intervalo D:

1 1 yD = yo + vot + aDt 2 = 0 + 2 8 + 1.0 82 = 48 m 2 2

La distancia total recorrida por el atleta en 20 s es la suma de las distancias calculadas para cada intervalo: 16 + 32 +20 + 48 = 116 m 5. Un estudiante en Caracas hace el experimento de cada libre del boln en forma similar a la que usaremos en este experimento, y obtuvo los datos de la tabla 1: Tabla 1. Datos de altura y tiempo en movimiento de cada libre y (m) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 t (s) 0 0.45 0.64 0.78 0.90 1.00

Calcule la aceleracin de la gravedad con estos resultados Solucin: Cuando se tienen tablas de datos y una funcin matemtica terica que relaciona a las variables cuyos valores estn en la tabla, se hace el procedimiento grfico que mostraremos a continuacin. Como el boln fue liberado a partir del origen, con velocidad inicial cero, la distancia recorrida en su cada, como funcin del tiempo, esta dada por la ecuacin 2, y =

1 2 gt . Tenemos datos para y y t. 2

Vamos a calcular t2 y a aadir una columna a la tabla 1 con los resultados. Ver la tabla 2 Tabla 2. Datos del movimiento de cada libre y (m) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 t (s) 0 0.45 0.64 0.78 0.90 1.00 t2(s2) 0 0.20 0.41 0.61 0.81 1.00

69

Hacemos una grfica de y vs. t2. De acuerdo con la teora, deberemos obtener una lnea recta que pasa por el origen y cuya pendiente ser g/2. Ver la figura 8 En este caso hemos usado Excel para trabajar los datos y la grfica, y hemos obtenido una pendiente de 4.977. Por lo tanto, el valor medido de g es de 2 4.98 = 9.96 m/s2. Al compararlo con el valor aceptado obtenemos:

Diferencia =

valor medido valor aceptado valor aceptado

100 =

9.96 9.81 9.81

100 = 1.5%

Figura 8 Grfica de y vs. t2 en un experimento de cada libre Materiales y equipo

Sistema computarizado y programa DataStudio Sensor de movimiento Interfase Pasco 750 Plano inclinado Soporte con varilla de 45 centmetros de longitud Cronmetro automtico tipo foto celda Boln de acero de
Procedimiento

1. Abra el programa DataStudio, seleccione Crear experimento, y el sensor de movimiento que est en la lista de sensores al lado izquierdo de la imagen de la Interfaz 750 de Pasco 2. Monte el sensor de movimiento en uno de los extremos del plano horizontal dirigido hacia el otro extremo 3. Conecte el terminal amarillo del sensor al canal 1 digital, y el negro al canal 2 digital de la Interfaz 750 4. En el programa DataStudio aada un grafico y seleccione las grficas de posicintiempo, velocidad-tiempo y aceleracin-tiempo 5. Ajuste la escala de alcance de campo del sensor a un mximo de 1 m y mnimo de 0 en el eje de y

70

Plano horizontal 6. Asegrese con un nivel de burbuja que el plano est horizontal 7. Coloque el carrito frente al sensor y empjelo levemente para que se mueva sobre el plano horizontal 8. Inicie el proceso de medicin con el sensor 9. Imprima cada una de las tres grficas Plano inclinado 10. Incline el plano girando el tornillo nivelador hasta establecer un desnivel de aproximadamente 1.00 cm 11. Seleccione la grfica de velocidad vs. tiempo, libere el carrito desde el extremo elevado e inicie el proceso de toma de datos con el sensor 12. Escoja la porcin recta de la grfica de velocidad vs. tiempo y obtenga la aceleracin del carrito usando el programa DataStudio 13. Calcule la aceleracin de la gravedad, g, usando las ecuaciones a = g sen y = sen-1 (h/) luego de haber medido h y y con el valor de a obtenido anteriormente 14. Compare el valor medido de g con el valor aceptado Cada libre 15. Vamos a referirnos al arreglo ilustrado en la figura 3. Mida la altura, y, del boln y djelo caer. Observe en el cronmetro el tiempo de cada. Anote ambas cantidades en la tabla 3 de la hoja de informe 16. Repita el ejercicio anterior para 10 alturas diferentes 17. Complete la tabla 3 calculando t2 18. Use el programa DataStudio para graficar y vs. t2 19. Obtenga la pendiente de la recta que resulta en la grfica 20. Sabiendo que el valor de la aceleracin de la gravedad es el doble del valor de la pendiente de la grfica obtenida anteriormente, compare el valor medido por usted con el valor aceptado de 9.81 m/s2
Preguntas

Contestar correctamente antes de intentar hacer el experimento En la siguiente figura mostramos la velocidad de un corredor como funcin del tiempo. Las seis primeras preguntas de este cuestionario se refieren a esta grfica 1. La distancia que recorre el corredor durante el intervalo de tiempo de 0 a 4 s es de: (a) 2 m (b) 8 m (c) 6 m

71

(d) 24 m (e) 16 m 2. La distancia recorrida por el corredor durante el intervalo de tiempo de 10 s a 12 s es de: (a) 12 m (b) 10 m (c) 2 m (d) 40 m (e) 4.47 m 3. La distancia que recorre el corredor durante los 16 s es de: (a) 8 m (b) 64 m (c) 100 m (d) 16m (e) 12 m

Figura 9 Grfica de las preguntas 1 a 6

4. La aceleracin del corredor en el intervalo C es de: (a) 2.0 m/s2 (b) 0.8 m/s2 (c) 9.81 m/s2 (d) Cero (e) 2.0 m/s2 5. El intervalo donde el corredor recorre la distancia mayor es el: (a) A (b) B (c) C (d) D (e) En todos recorre la misma distancia porque su velocidad es constante

72

6. El intervalo donde el corredor frena es el: (a) A (b) B (c) C (d) D (e) Ninguno La posicin de una partcula, como funcin del tiempo, est dada por la siguiente expresin:

x(t ) = 20t 5t 3
Donde x est en metros y t, en segundos. Las preguntas 7 y 8 se refieren a esta partcula 7. La velocidad instantnea de la partcula es cero cuando el tiempo es de: (a) 1.25 s (b) 4.73 s (c) 1.15 s (d) 2.00 s (e) 0.50 s 8. La aceleracin instantnea es cero cuando el tiempo es de: (a) 0 s (b) 1.15 s (c) 2.00 s (d) 0.50 s (e) 1.25 s 9. Un carrito viaja sin friccin por un plano inclinado con una aceleracin de 3.2 m/s2. Esto significa que la inclinacin del plano es de: (a) 41o (b) 19o (c) 73o (d) 15o (e) 10o 10. Un plano sin friccin est inclinado un ngulo de 10o. La aceleracin con la que baja un carrito por el plano es de: (a) 3.20 m/s2 (b) 2.54 m/s2 (c) 1.70 m/s2 (d) -5.33 m/s2 (e) 9.65 m/s2 Un estudiante lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 12 m/s desde el techo de un edificio de 30 m de altitud. Usando estos datos conteste las preguntas 11 y 12 ignorando la resistencia del aire

73

11. La piedra alcanza el piso en un tiempo de: (a) 3.06 s (b) 1.75 s (c) 2.5 s (d) 3.98 s (e) 1.54 s 12. La velocidad de la piedra contra el piso es de: (a) 12 m/s (b) 360 m/s (c) 2.5 m/s (d) 27.1 m/s (e) 0.4 m/s 13. Soltamos una piedra desde el reposo por la boca de un pozo profundo. Unos cuatro segundos despus omos el golpe de la piedra contra el fondo. Un estimado de la profundidad del pozo es de: (a) 39.2 m (b) 156.8 m (c) 78.4 m (d) Necesitamos saber la masa de la piedra para hacer el estimado (e) 100 m

74

Informe Del Experimento 4. Movimiento con aceleracin constante

Seccin_______ Mesa _______ Fecha: _________________________________________________________ Estudiantes: 1. ________________________________________________________ 2. ________________________________________________________ 3. ________________________________________________________ 4. ________________________________________________________ Plano horizontal 1. Interprete cada una de las tres grficas, obtenidas en el experimento con el plano horizontal, y explique qu tipo de movimiento representan y porqu

Plano inclinado 2. Mida la altura h del extremo levantado del plano inclinado con respecto al otro extremo 3. Mida la longitud, , del plano inclinado 4. Calcule el seno del ngulo de inclinacin del plano usando la ecuacin sen = h/ y escriba su valor en seguida sen = ________ 5. Escriba la aceleracin del carrito obtenida a partir de la pendiente de la grfica de v vs. t usando el programa DataStudio a = __________________ m/s2 6. Escriba el valor de g obtenido por usted y escrbalo a continuacin 75

g = a/sen = ____________________ m/s2 7. Escriba la diferencia entre el valor de g medido por usted y el valor aceptado
Diferencia % = valor medido valor aceptado 100 = __________________ % valor aceptado

8. Incluya la grfica de velocidad contra tiempo obtenida en esta parte del experimento Cada libre 9. Registre sus datos de alturas y tiempos en la tabla 3 10. Complete la tercera columna con los valores de t2 Tabla 3. Datos del ejercicio de cada libre Nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. Obtenga la grfica de y vs. t2 y deduzca el valor de g como el doble de la pendiente 12. Obtenga la diferencia entre el valor medido y el valor aceptado
Diferencia % = valor medido valor aceptado 100 = __________________ % valor aceptado

y (m)

t (s)

t2 (s2)

13. Incluya su grfica de y vs. t2 con este informe

76