Equilibrio Particulas
Equilibrio Particulas
Equilibrio Particulas
. ao de bachillerato Autor: Jos Luis Albornoz Salazar Ocupacin: Ing Civil. Docente Universitario Pas de residencia: Venezuela Correo electrnico: martilloatomico@gmail.com
El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboracin en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendacin a la siguiente direccin :
martilloatomico@gmail.com
Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda ser incluido en el mismo. Si en sus horas de estudio o prctica se encuentra con un problema que no pueda resolver, envelo a la anterior direccin y se le enviar resuelto a la suya.
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
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EQUILIBRIO DE PARTCULAS
Glosario de conceptos: 1. Equilibrio. Si la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es cero, la partcula se encuentra en equilibrio. 2. Ecuaciones de equilibrio:
Ejercicio 1 :
Determinar la magnitud que debe poseer la fuerza F3 para que el siguiente sistema est en equilibrio :
F1 = 10 N F3
30 30
F2 = 10 N
Solucin :
0
3. Primera condicin de equilibrio: Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula es cero, la partcula permanecer en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se mover con velocidad constante en lnea recta (si originalmente estaba en movimiento). 4. Diagrama de cuerpo libre: Un gran nmero de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una partcula. Esto se hace escogiendo una partcula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a sta y a todas las fuerzas que actan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre.
Existen varios procedimientos que nos permiten llegar a la solucin. Sin embargo, utilizaremos uno que consideramos puede ser utilizado en cualquier tipo de problemas de equilibrio con la finalidad de que el estudiante se familiarice con ste y se le facilite el enfoque y solucin de problemas con mayor grado de dificultad. Como se indic anteriormente : Si la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es cero, la partcula se encuentra en equilibrio. Luego, el problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes X e Y) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partculas (Fx = 0 y Fy = 0). Estudiando la fuerza F1 ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) :
F1y
30
10 N
Los ejercicios que resolveremos a continuacin estarn referidos a partculas y/o cuerpos que se encuentren en reposo.
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
F1x
F1x = (cos 30)(F1) = (0,866)(10) = 8.66 N (hacia la derecha)(+) F1y = (sen 30)(F1) = (0,5)(10) = 5 N (hacia arriba)(+)
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Estudiando la fuerza F2 ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) :
F2x
30
F1 = 10 N F3 = 17,32 N
30 30
F2y
10 N
F2 = 10 N
F2x = (cos 30)(F2) = (0,866)(10) = 8.66 N (hacia la derecha)(+) F2y = (sen 30)(F2) = (0,5)(10) = 5 N (hacia abajo)(-) Estudiando la fuerza F3 ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Como estos son los valores desconocidos, lo incluimos en la tabla como incgnitas : Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. Fuerza F1 F2 F3 Magnitud 10 10 .? Componente en X + 8,66 + 8,66 - F3x Componente en Y +5 -5 - F3y
Ejercicio 2 :
Fx = 0
+ 8,66 + 8,66 F3x = 0 ; 17,32 F3x = 0 ; 17,32 = F3x
Tb Td W
30
Fy = 0
+ 5 5 F3y = 0 La solucin grfica ser :
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
0 F3y = 0
F3y = 0
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El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes X e Y) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partculas (Fx = 0 y Fy = 0).
Fx = 0
+ 0,866 Tb - Tdx = 0 ; 0,866 Tb = Tdx
Fy = 0
Estudiando la tensin Tb ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Tbx = (cos 30)(Tb) = (0,866)(Tb) = 0,866 Tb (hacia la derecha)(+) Tby = (sen 30)(Tb) = (0,5)(Tb) = 0,5 Tb (hacia arriba)(+) Este valor lo puedo introducir en la ecuacin que me qued indicada en la sumatoria de fuerzas horizontales (0,866 Tb = Tdx) y obtendr el valor de la tensin en d. 0,866 Tb = Tdx ; (0,866)(196,20) = Tdx ; ; 169,91 = Tdx + 0,5 Tb 98,1 = 0 Tb = ; ; 0,5 Tb = 98,1 Tb = 196,20 N
Estudiando la tensin Td ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Esta tensin no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su componente en X ser igual a su magnitud (Td = Tdx)
Como Tdx = Td Estudiando la tensin W ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Esta tensin no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y ser igual a su magnitud (W = Wy) La solucin grfica ser :
Td = 169,91 N
Tb = 196,20 N
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. Fuerza Tb Td W Magnitud .? .? 98,1 Componente en X + 0,866 Tb - Tdx 0 Componente en Y + 0,5 Tb 0 - 98,1
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
Td = 169,91 N
30
W = 98,10 N
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Ejercicio 3 :
equilibrio :
a
Tax = (cos 53)(Ta) = (0,6018)(Ta) = 0,6018 Ta (hacia la izquierda)(-) Tay = (sen 53)(Ta) = (0,7986)(Ta) = 0,7986 Ta (hacia arriba)(+) Estudiando la Fuerza F ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Esta tensin no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su componente en X ser igual a su magnitud (F = Fx) Estudiando la tensin W ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) :
Esta tensin no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y ser igual a su magnitud (W = Wy = 80 N) Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. Fuerza Ta F W Magnitud .? .? 80 Componente en X - 0,6018 Ta Fx 0 Componente en Y + 0,7986 Ta 0 - 80
W = 80 N
El valor del ngulo que se forma entre Ta y el eje X se calcula tomando en cuenta que la suma de los ngulos internos de un triangulo rectngulo es igual a 180; luego : 180 90 37 = 53. El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes X e Y) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partculas (Fx = 0 y Fy = 0).
Fx = 0
- 0,6018 Ta + Fx = 0 ; Fx = 0,6018 Ta
Fy = 0
+ 0,7986 Ta 80 = 0 ; 0,7986 Ta = 80 Ta = 100,18 N
Estudiando la tensin Ta ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) :
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
Ta =
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Este valor lo puedo introducir en la ecuacin que me qued indicada en la sumatoria de fuerzas horizontales (Fx = 0,6018 Ta) y obtendr el valor de la componente en X de la fuerza F. Fx = 0,6018 Ta ; Fx = (0,6018)(100,18) ; ; Fx = 60,29
Ejercicio 4 :
F = 60,29 N
Ta = 100,18 N
Solucin :
53
F = 60,29 N
W = 80 N
60 20 70
T2
W = 40 N
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes X e Y) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partculas (Fx = 0 y Fy = 0). Estudiando la tensin T1 ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : T1x = (cos 60)(T1) = (0,5)(T1) = 0,5 T1 (hacia la izquierda)(-) T1y = (sen 60)(T1) = (0,866)(T1) = 0,866 T1 (hacia arriba)(+)
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
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Estudiando la tensin T2 ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : T2x = (cos 20)(T2) = (0,9397)(T2) = 0,9397 T2 (hacia la derecha)(+) T2y = (sen 20)(T2) = (0,3420)(T2) = 0,3420 T2 (hacia abajo)(-)
Estudiando la tensin W ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Esta tensin no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y ser igual a su magnitud (W = Wy = 40 N) Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. Fuerza T1 T2 W Magnitud .? .? 40 Componente en X - 0,5 T1 + 0,9397 T2 0 Componente en Y + 0,866 T1 - 0,3420 T2 - 40
T2 = 31,10 N
Como T1 = 1,88 T2
T1 = 1,88 (31,1)
T1 = 58,47 N
Fx = 0
- 0,5 T1 + 0,9397 T2 = 0 ; 0,9397 T2 = 0,5 T1
T1 = 58,47 N
60 20 70
Fy = 0
+ 0,866 T1 0,3420 T2 40 = 0 ; 0,866 T1 0,3420 T2 = 40
T2 = 31,1 N
W = 40 N
Con las dos ecuaciones obtenidas anteriormente se puede construir un sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas y calcular los valores de T1 y T2.
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
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Ejercicio 5 :
En la figura siguiente, las poleas no presentan fuerza de friccin y el sistema cuelga en equilibrio. Cules son los valores de los pesos W1 y W2 ?.
Estudiando la tensin W2 ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Esta tensin no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y ser igual a su magnitud (W2 = W2y) Estudiando la tensin W3 ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : W3x = (sen 35)(W3) = (0,5736)(200) = 114,72 N (hacia la derecha)(+) W3y = (cos 35)(W3) = (0,8192)(200) = 163,83 N (hacia arriba)(+) Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. Fuerza W1 W2 W3 Magnitud .? .? 200 Componente en X - 0,766 W1 0 + 114,72 Componente en Y + 0,6428 W1 - W2y + 163,83
Solucin : La primera consideracin que debemos hacer en este tipo de problemas es recordar que cuando en las poleas no existe friccin o la misma es despreciable, la tensin en las cuerdas es la misma a ambos lados de ella. Luego, el diagrama de cuerpo libre puede ser construido de la siguiente manera :
W1
50 35
W3 = 200 N
Fx = 0
- 0,766 W1 + 114,72 = 0 ; 114,72 = 0,766 W1 W1 = 150 N ; W1 =
W2
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes X e Y) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partculas (Fx = 0 y Fy = 0). Estudiando la tensin W1 ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : W1x = (sen 50)(W1) = (0,766)(W1) = 0,766 W1 (hacia la izquierda)(-) W1y = (cos 50)(W1) = (0,6428)(W1) = 0,6428 W1 (hacia arriba)(+)
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
Fy = 0
+ 0,6428 W1 W2y + 163,83 = 0 Como ya conocemos el valor de W1, lo podemos introducir en la ecuacin : (0,6428)(150) W2y + 163,83 = 0 260,25 W2y = 0 ; ; 96,42 W2y + 163,83 = 0 W2y = 260,25 -7-
W2 = 260 N
V = Q = 400 N
W1 = 150 N
50 35
W3 = 200 N M = 300 N
W2 = 260 N
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes X e Y) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partculas (Fx = 0 y Fy = 0). Estudiando la tensin W ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Wx = (sen )(W) (hacia la izquierda)(-) Wy = (cos )(W) (hacia arriba)(+) Estudiando la Fuerza M ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Esta tensin no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y ser igual a su magnitud (My = M = 300 N)
Ejercicio 6 :
Calcular el ngulo y la tensin en la cuerda W para que haya equilibrio sabiendo que M = 300 N y Q = 400 N :
Q
Solucin : La primera consideracin que debemos hacer en este tipo de problemas es recordar que cuando en las poleas no existe friccin o la misma es despreciable, la tensin en las cuerdas es la misma a ambos lados de ella. Luego, el diagrama de cuerpo libre puede ser construido de la siguiente manera :
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
Estudiando la tensin V ( Descomponindola y proyectndola sobre los ejes X e Y por medio de relaciones trigonomtricas simples) : Esta tensin no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su componente en X ser igual a su magnitud (Vx = V = 400 N = Q) Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
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Fuerza W M V
W.cos V = Q = 400 N
Fx = 0
- (W)(sen ) + 400 = 0 ; (W)(sen ) = 400
W.sen
M = 300 N
Fy = 0
+ (W)(cos ) - 300 = 0 ; (W)(cos ) = 300 (W)(sen ) = 400
; ;
W = W =
Con estos valores puedo graficar el equilibrio, faltando solamente calcular el ngulo (como lo hicimos en la gua de FUERZA RESULTANTE).
W
Wy = 300 N V = Q = 400 N
Wx = 400 N M = 300 N
La magnitud de W se calcula como la raz cuadrada de la suma de los componentes al cuadrado (teorema de Pitgoras) : = 500 N El ngulo se puede calcular con la tangente:
W = 500 N
53
V = Q = 400 N
tg
= = Arctg
M = 300 N
= 53
EQUILIBRIO DE PARTCULAS
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