Asíntotas Horizontales

Asntotas horizontales:
Las asntotas horizontales se refieren a la tendencia de una funcin. Las tendencias se descubren calculando los lmites de la funcin para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito). Las asntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales. Hay funciones en las cuales las asntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales s se puede cruzar la asntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la funcin, y si la funcin no est definida en una asntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asntota vertical. La forma de clculo de las asntotas horizontales ya se estudi en el captulo de lmites, en los lmites hacia infinito. Aqu se van a analizar funciones que presentan asntotas horizontales: 1.- Desde el punto de vista funciones racionales slo hay dos tipos que presentan asntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador. 2.- Tambin presentan asntotas horizontales algunas funciones exponenciales as como algunas logartmicas.
1A) Grado del numerador menor al grado del denominador
Si analiza uno un poco el lmite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el lmite hacia oo y el de -oo. La grfica de la funcin tiene una asntota horizontal en y = 0.
Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar informacin de por dnde Si se calcula el lmite cuando x tiende hacia oo, se acerca la curva a la asntota horizontal. se divide entre un nmero muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusin, que se acerca En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba. uno a cero, por los valores positivos. Si se calcula el lmite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un nmero negativo muy grande, y la divisin tiende a cero, pero por valores negativos. En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo.
OJO: Analcese la siguiente funcin, que

cruza la asntota horizontal, para poder acercarse a la asntota por arriba viniendo de abajo.
La funcin tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos.
Por otro lado, si x tiende a valores muy En la grfica se alcanza a distinguir, que del lado Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores negativos, la funcin tiende a cero, pero por derecho, la funcin va por encima del eje "x", en valores negativos, lo cual nos indicara, que se muy grandes la funcin tiende a cero pero cambio del lado izquierdo, se acerca por abajo. manifestando valores positivos. Esto implica, acerca a la asntota horizontal por abajo. que se acerca a la asntota horizontal por arriba. Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = OJO: Esto tiene implicaciones serias para la funcin. Despus de cruzar la asntota horizontal, 0 debe tener un mximo y un punto de inflexin, ya que de otra manera no podra acercarse a la asntota horizontal en y = 0
La funcin tiene una asntota horizontal en y=0 Los dos lmites tienden a cero, si hacemos el estudio, como en el primer problema, vemos que los dos lmites se acercan a cero por arriba. (Ver grfica)
Funcin inyectiva
En matemticas, una funcin conjunto (imagen) de es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el . Es decir, a cada elemento del conjunto Y le corresponde un solo valor de X tal que, en el conjunto X no puede haber dos o
ms elementos que tengan la misma imagen. As, por ejemplo, la funcin de nmeros reales como y , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse entonces s se
. Pero si el dominio se restringe a los nmeros positivos, obteniendo as una nueva funcin
obtiene una funcin inyectiva.
Definicin formal
De manera ms precisa, una funcin Si Si son elementos de tales que es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes: , necesariamente se cumple , necesariamente se cumple .
son elementos diferentes de
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una funcin inyectiva tienen cardinales que cumplen:
Si adems existe otra aplicacin inyectiva
, entonces puede probarse que existe una aplicacin biyectiva entre A y B.
Funcin biyectiva
Ejemplo de funcin biyectiva. En matemtica, una funcin es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Formalmente, para ser ms claro se dice que una funcin es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la funcin inyectiva. sumndole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la funcin sobreyectiva
Teorema Si es una funcin biyectiva, entonces su funcin inversa existe y tambin es biyectiva. Ejemplo La funcin es biyectiva. Luego, su inversa tambin lo es.
Funcin sobreyectiva
Ejemplo de funcin sobreyectiva. En matemtica, una funcin es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si est aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras ms sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mnimo un elemento de "X".

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OJO: Analcese la siguiente funcin, que

La funcin tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos.

obtiene una funcin inyectiva.

son elementos diferentes de

Si adems existe otra aplicacin inyectiva

, entonces puede probarse que existe una aplicacin biyectiva entre A y B.

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