Semana 14 Estatica Dinamica Componentes Tangencial y Normal
Semana 14 Estatica Dinamica Componentes Tangencial y Normal
Semana 14 Estatica Dinamica Componentes Tangencial y Normal
t t
t
d ve de dv dv
a e v
dt dt dt dt
= = = +
0
t
de
dt
=
t
e
t
e
t
e
0
t
de
dt
=
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIN
Introduzcamos el vector unitario
normal a la curva y dirigido
hacia el lado cncavo de la
curva. Sea el ngulo que forma
la tangente en A con el eje x.
Entonces se tiene
La derivada del vector unitario
tangente ser
n
e
cos
cos( ) ( )
2 2
cos
t
n
n
e i sen j
e i sen j
e sen i j
| |
t t
| |
| |
= +
= + + +
= +
( ) cos
t
t
n
de d d
sen i j
dt dt dt
de d
e
dt dt
| |
| |
|
= +
=
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIN
Por otro lado se tiene que
Donde dS es el pequeo arco a
lo largo del movimiento en un
dt.
Las normales a la curva en A y A
se intersecan en C. Entonces
La razn de cambio del vector
unitario tangencial es
d d dS d
v
dt dS dt dS
| | |
= =
1
dS d
d
dS
|
|
=
=
t
n
de
e
dt
=
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIN
Remplazando esta ecuacin
en la aceleracin se tiene
Es decir las aceleraciones
tangencial y normal se
escriben
La magitud de la aceleracin
total ser
2
t
t
t n
t t n n
de dv
a e v
dt dt
dv v
a e e
dt
a a e a e
= +
= +
= +
2
:
t t t n
dv v
a e a e
dt
= =
2 2
t n
a a a = +
CASOS ESPECIALES
1. La partcula se mueve a lo largo de una lnea recta
=> a
n
= v
2
/ = 0 => a = a
t
= v
La componente tangencial representa la razn
de cambio de la magnitud de la velocidad
2. La partcula se mueve en la curva a velocidad
constante
a
t
= v = 0 => a = a
n
= v
2
/
La componente normal representa la razn de
cambio de la direccin de la velocidad
3) La componente tangencial de la aceleracn es constante,
a
t
= (a
t
)
c
.
S
o
and v
o
son la posicin y la velocidad de la partcula en t = 0
4. La partcula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y
= f(x). Entonces el radio de curvatura es
2
0 0
0
2 2
0 0
1
( )
2
( )
2( ) ( )
c c
c c
c c
s s v t a t
v v a t
v v a s s
= + +
= +
= +
2 3/ 2
2 2
[1 ( / ) ]
/
dy dx
d y dx
+
=
CASOS ESPECIALES
Ejemplo 01
Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la que se est
incrementando a razn de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria
parablica indicada en la figura. Determine su velocidad y
aceleracin en el instante que llega al punto A . Desprecie en los
clculos el tamao del esquiador.
Solucin
Estableciendo los ejes n y
t mostrados se tiene.
La velocidad de 6 m/s es
tangente a la trayectoria y
su direccin ser
Por lo tanto en A la
velocidad forma 45 con el
eje x
1 ,
20
1
10
2
= =
= x
dx
dy
x y
Solucin
La aceleracin se determina
aplicando la ecuacin
Para ello se determina el radio
de curvatura
2
t n
dv v
a e e
dt
= +
2 3/ 2
2 2
2 3/ 2
[1 ( / ) ]
/
[1 ( /10) ]
1/10
28.28
dy dx
d y dx
x
m
+
=
+
=
=
2
2
6
2
28, 3
2 1, 27
A t n
A t n
A t n
dv v
a e e
dt
a e e
a e e
= +
= +
= +
Solucin
La magnitud y la direccin de la
aceleracin sern
( ) ( )
2 2
2
1
2 1.237 2.37 /
2
tan 57.5
1.327
a m s
|
= + =
= =
Ejemplo 02
Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista
horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el
carro incrementa su rapidez a razn constante de 2,1
m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo
necesario para alcanzar una aceleracin de 2,4 m/s2.
Cul es su velocidad en ese instante.
Solucin
Se sabe que la aceleracin
tangencial es constante e
igual a
La aceleracin normal ser
La aceleracin total ser
La velocidad en este
instante ser
2
0
2,1 /
0 2,1
t
t
a m s
Entonces
v v a t
v t
=
= +
= +
2 2
2 2
(2,1 )
0.049 /
90
n
v t
a t m s
= = =
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2,1 0.049
2,1 [0.049 ]
2, 4 2,1 [0.049 ]
4, 87
t t n
t n
v
a a e e
a e t e
a t
t
t
= +
= +
= +
= +
=
2.1 10.2 / v t m s = =
Ejemplo 03
Una caja parte del reposo en A
e incrementa su rapidez a
razn de a
t
= (0.2t) m/s
2
y
viaja a lo largo de la pista
horizontal mostrada. Determine
la magnitud y direccin de la
aceleracin cuando pasa por B
Ejemplo 03
La posicin de la caja en
cualquier instante es S medida
a partir del punto fijo en A.
La velocidad en cualquier
instante se determina a partir de
la aceleracin tangencial, esto
es
0 0
2
0.2 (1)
0.2
0.1 (2)
t
v t
a v t
dv tdt
v t
= =
=
=
} }
Ejemplo 03
Para determinar la velocidad en
B, primero es necesario
determinar S = f(t), despus
obtener el tiempo necesario
para que la caja llegue a B. es
decir
De la geometra se tiene
s
B
= 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos
2
2
0 0
3
0.1
0.1
0, 0333 (3)
S t
ds
v t
dt
ds t dt
S t
= =
=
=
} }
3
6,142 0, 0333
5, 69
t
t s
=
=
Ejemplo 03
Remplazando el tiempo en las
ecuaciones (1) y (2) resulta
En el punto B el radio de curvatura
es = 2 m, entonces la
aceleracin ser
La aceleracin total ser
Su modulo y direccin sern
2
2
( ) 0.2(5.69) 1.138 /
0.1(5.69) 3.238 /
B t B
B
a v m s
v m s
= = =
= =
2
2
( ) 5.242 /
B
B n
B
v
a m s
= =
2
,
1,138 5, 242
B
B t B t n
B t n
v
a a e e
a e e
= +
= +
2 2 2
2
1,138 [5, 242]
5, 36 /
a
a m s
= +
=
1
5.242
[ ] 77, 75
1,138
tg u
= =
Ejemplo 04
Una partcula se mueve en una trayectoria curva de
tal manera que en cierto instante tiene una velocidad
v y una aceracin a. Demuestre que el radio de
curvatura puede obtenerse a partir de la ecuacin
3
1
vxa
v
=
Ejemplo 04
Sabemos que la aceleracin en
cualquier instante es
Multiplicando ambos miembros
por la velocidad v tenemos
Debido a que la aceleracin
tangencial son colineales su
producto vectorial es nulo.
Entonces tenemos
Remplazado la aceleracin
normal tenemos
t n
a a a = +
( )
t n
t n
t n
a a a
vxa vx a a
vxa vxa vxa
= +
= +
= +
0
90
n
n n
n
n
vxa vxa
vxa vxa
vxa vxa va sen va
= +
=
= = =
2
3
( )
1
v
vxa v
vxa
v
=
=
Ejemplo
Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja
alrededor de una trayectoria circular de radio r =
50 m con una velocidad . Determine la magnitud
de la velocidad y de la aceleracin del bote en t
= 3 s.
Ejemplo
Un avin viaja a lo largo de
una trayectoria parablica
vertical . En el punto A el
avin tiene una velocidad
de 200 m/s la cual se
incrementa a razn de 0,8
m/s
2
. Determine la
magnitud de la aceleracin
del avin cuando pase por
A.
2
0, 4 y x =
Ejemplo
El jugador de bisbol lanza una pelota con una
velocidad inicial de v
0
= 30 m/s a un ngulo = 30
como se muestra en la figura. Hallar el radio de
curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente
despus del lanzamiento y (b) en el vrtice. Calcular
en cada caso, la variacin de celeridad por unidad de
tiempo.
ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS
PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN
Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una
partcula usando un marco de referencia fijo.
Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del
movimiento de una partcula es complicada, de modo que es ms
factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms marcos
de referencia.
Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice
de un avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo
si observamos primero el movimiento del avin a partir de un
sistema de referencia fijo y despus se superpone vectorialmente
el movimiento circular de la partcula medida a partir de un marco
de referencia mvil unido al aeroplano.
ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS
PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN
En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a
marcos de referencia en traslacin. El anlisis del movimiento
relativo de partculas usando marcos de referencia en rotacin se
tratar en el curso de Dinmica.
MOVIMIENTO RELATICO: POSICIN
Consideremos dos partculas A y
B movindose en las trayectorias
mostradas
Las posiciones absolutas de A y
B con respecto al observador fijo
en el marco de referencia OXYZ
sern
El observador B slo
experimenta traslacin y se
encuentra unidos al sistema de
referencia mvil Oxyz
La posicin relativa de A con
respecto al observador B , es
A
r OA =
B
r OB =
/ A B A B
r r r = +
Movimiento relativo: Velocidad
Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene
/ A B A B
v v v = +
Movimiento relativo: Aceleracin
Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene
/ A B A B
a a a = +
Ejemplo 01
Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza
una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil A est
viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h.
Determine la magnitud y direccin de la velocidad relativa del tren
con respecto al auto.
SOLUCIN
La velocidad relativa es medida
desde el observador ubicado en el
auto al cual se le asocial el sistema
de referencia OXY,
Como las velocidades de T y A son
conocidas, entonces la velocidad
relativa se obtiene de
/
/
/
90 (67.5cos 45 67.5sin 45 )
{42.3 47.7 ) /
T A T A
T A
T A
v v v
i i j v
v i j km h
= +
= + +
=
solucin
La magnitud de la velocidad relativa ser
La direccin de la velocidad
relativa es
2 2 2
/
(42.3 47.7 ) 63.8 /
T A
v km h = + =
( )
( )
/
/
47.7
tan
42.3
48.40
T A
y
T A
x
v
v
u
u
= =
=
solucin
Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como
se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y
en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una
aceleracin de 50 km/h2. El avin B est volando en una trayectoria
curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y est
decreciendo su rapidez a razn de 100 km/h2. Determine la velocidad y
la aceleracin relativa de B medida por el piloto A
Solucin
Al avin A esta movindose
rectilneamente y se asocia un
marco de referencia mvil Oxy.
La velocidad relativa de B respecto
de A es
El avin B tiene aceleracin
normal y tangencial pues se
mueve en una curva.
La aceleracin normal ser
Aplicando la ecuacin para
determinar la aceleracin
relativa se tiene
/
/
/
600 700
100 / 100 /
B A B A
B A
B A
v v v
v
v km h km h
= +
= +
= = +
( )
2
2
900 /
B
B
n
v
a km h
= =
{ }
/
/
2
/
900 100 50
900 150 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j j a
a i j km h
= +
= +
=
Solucin
En un determinado instante los
carros A y B estn viajando con
velocidades de 18m/s y 12m/s,
respectivamente. Adems en
dicho instante la velocidad de A
est disminuyendo a razn de
2m/s2 y B experimenta un
incremento de su velocidad a
razn de 3 m/s2. Determine la
velocidad y la aceleracin de B
con respecto de A
Solucin
El sistema de referencia fijo est
en tierra y el marco mvil en el
auto A. Por tanto se tiene
La direccin de la velocidad
relativa ser
La aceleracin normal ser
La aceleracin relativa ser
Su direccin ser
( )
{ }
/
/
/
2 2
/
12 18cos 60 18sin 60
9 3.588 /
9 3.588 9.69 /
B A B A
B A
B A
B A
v v v
j i j v
v i j m s
v m s
= +
= +
= +
= + =
( )
( )
/
/
3.588
tan
9
21.7
B A
y
B A
x
v
v
u
u
= =
=
( )
2
2
1.440 /
B
B
n
v
a m s
= =
( ) ( )
{ }
/
/
2
/
1.440 3 2cos 60 2sin60
2.440 4.732 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j i j a
a i j m s
= +
= + +
= =
2
/
5.32 /
62.7
B A
a m s
|
=
=
Ejemplo
Los pasajeros que viajan en el
avin A que vuela horizontalmente a
velocidad constante de 800 km/h
observan un segundo avin B que
pasa por debajo del primero
volando horizontalmente. Aunque el
morro de B est sealando en la
direccin en la direccin
45noreste, el avin B se presenta
a los pasajeros de A como
separndose de ste bajo el ngulo
de 60 representado. Halle la
velocidad verdadera de B
Solucin
El marco mvil est asociado al
avin A donde se efectan las
observaciones relativas
La velocidad de A es conocida en
mdulo y direccin, el ngulo de
60 de la velocidad relativa de B
respecto de A es conocido y la
velocidad verdadera de B tiene
una direccin de 45. Entonces
tenemos.
Aplicando estas ecuaciones en
la velocidad relativa se tiene
Resolviendo estas ecuaciones
se obtiene
/ B A B A
v v v = +
/ / /
(800 ) /
[ cos 45 45 ]
[ cos 60 60 ]
A
B B B
B A B A B A
v i km h
v v i v sen j
v v i v sen j
=
= +
= +
/
/
:
cos 45 800 cos 60
:
45 60
B B A
B B A
componente i
v v
componente j
v sen v sen
=
=
/
586 / ; 717 /
B A B
v km h v km h = =