Curso Basico de Probabilidad

Curso elemental de probabilidad y estad stica
Luis Rincn o Departamento de Matemticas a Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 Mxico DF e
Agosto 2011
Prlogo o
El presente texto contiene material para un curso semestral de probabilidad y estad stica. El objetivo es presentar de manera breve algunas de las ideas fundamentales de estas dos muy utiles ramas de las matemticas. El texto a est dirigido a estudiantes de las distintas carreras de ingenier y otras caa a, rreras cient cas similares, cuyos programas de estudio contemplan un curso en donde se muestre el uso y aplicacin de la probabilidad y la estad o stica en sus respectivas reas de especialidad. Las reas de aplicacin son tan ama a o plias y diversas que no es razonable ni posible intentar mostrarlas todas en un texto como el presente. Se presentan entonces unicamente algunas de las aplicaciones de los resultados tericos. Debido a la orientacin con la que se o o desea abordar estos temas, no se hace nfasis en el rigor matemtico de las e a demostraciones de los resultados, sino en el uso, interpretacin y aplicacin o o de stos. Sin embargo, para una lectura provechosa de este material, se ree quiere, en determinados momentos, tener cierta familiaridad con algunos conceptos elementales de algebra y del clculo diferencial e integral. A lo a largo del texto se presentan numerosos ejemplos, y en la parte nal se encuentra una coleccin de ejercicios y algunas sugerencias para resolverlos. El o A texto fue escrito en el sistema L TEX, la mayor de las ilustraciones fueron a elaboradas usando el paquete pstricks, y las fotos de los personajes fueron tomadas del archivo MacTutor (http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/) de la universidad de St. Andrews en Escocia. Agradezco sinceramente todos los comentarios, correcciones y sugerencias que he recibido por parte de alumnos y profesores para mejorar este material. Toda comunicacin puede enviarse a la cuenta de correo que aparece o abajo. Luis Rincn o Agosto 2011 Ciudad Universitaria UNAM lars@fciencias.unam.mx
Contenido
1. PROBABILIDAD 1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Anlisis combinatorio . . . . . . . . . . . a 1.4. Probabilidad condicional e independencia 1.5. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . 1.6. Funciones de densidad y de distribucin . o 1.7. Esperanza, varianza, momentos . . . . . . 1.8. Distribuciones de probabilidad . . . . . . 2. ESTAD ISTICA 2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . o 2.2. Variables y tipos de datos . . . . 2.3. Estad stica descriptiva . . . . . . 2.4. Vectores Aleatorios . . . . . . . . 2.5. Muestras aleatorias y estad sticas 2.6. Estimacin puntual . . . . . . . . o 2.7. Estimacin por intervalos . . . . o 2.8. Pruebas de hiptesis . . . . . . . o A. Ejercicios B. Solucin a algunos ejercicios o C. Formulario Indice anal tico iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 10 19 27 35 39 48 57 87 88 90 92 95 108 110 117 125 141 183 217 225
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iv
Contenido
Cap tulo 1
PROBABILIDAD
En esta primera mitad del curso estudiaremos algunos conceptos elementales de la teor matemtica de la probabilidad. Esta teor tuvo como uno a a a de sus primeros puntos de partida el intentar resolver un problema particular concerniente a una apuesta de juego de dados entre dos personas. El problema al que nos referimos involucraba una gran cantidad de dinero y puede plantearse de la siguiente forma: Dos jugadores escogen cada uno de ellos un nmero del 1 al u 6, distinto uno del otro, y apuestan 32 doblones de oro a que el nmero escogido por uno de ellos aparece en tres ocasiones antes u que el nmero del contrario al lanzar sucesivamente un dado. u Suponga que el nmero de uno de los jugadores ha aparecido dos u veces y el nmero del otro una sola vez. Cmo debe dividirse el u o total de la apuesta si el juego se suspende? Uno de los apostadores, Antonio de Gombaud, popularmente conocido como el caballero De Mere, deseando conocer la respuesta al problema plantea a Blaise Pascal (1623-1662) la situacin. Pascal a su vez consulta con Pierre o de Fermat (1601-1665) e inician un intercambio de cartas a propsito del o problema. Esto sucede en el ao de 1654. Con ello se inician algunos esn fuerzos por dar solucin a ste y otros problemas similares que se plantean. o e Con el paso del tiempo se sientan las bases y las experiencias necesarias para la bsqueda de una teor matemtica que sintetice los conceptos y u a a los mtodos de solucin de los muchos problemas particulares resueltos a lo e o 1
2 largo de varios aos. n
1. PROBABILIDAD
Blaise Pascal (Francia 16231662)
Pierre de Fermat (Francia 16011665)
En el segundo congreso internacional de matemticas, celebrado en la ciudad a de Paris en el ao 1900, el matemtico David Hilbert (1862-1943) plantea 23 n a problemas matemticos de importancia. Uno de estos problemas es el de ena contrar axiomas o postulados a partir de los cuales se pueda construir una teor matemtica de la probabilidad. Aproximadamente treinta aos dea a n spus, en 1933, el matemtico ruso A. N. Kolmogorov (1903-1987) propone e a ciertos axiomas que a la postre resultaron adecuados para la construccin o de una teor de la probabilidad. Esta teor prevalece hoy en d y ha a a a adquirido el calicativo de teor clsica. Actualmente la teor clsica de la a a a a probabilidad se ha desarrollado y extendido enormemente gracias a muchos pensadores que han contribu a su crecimiento, y es sin duda una parte do muy importante y bien establecida de las matemticas. La teor de la proa a babilidad ha resultado util para resolver problemas puramente matemticos, a pero sobre todo y principalmente, para modelar situaciones reales o imaginarias, en donde el azar es relevante.
1.1.
Introduccin o
Existen dos tipos de fennemos o experimentos en la naturaleza, los detero ministas y los aleatorios. Un experimento determinista es aquel que produce el mismo resultado cuando se le repite bajo las mismas condiciones, por ejemplo, medir el volmen de un gas cuando la presin y la temperatura u o son constantes produce siempre el mismo resultado, o medir el ngulo de a
1.1. Introduccion
un rayo de luz reejado en un espejo resulta siempre en el mismo resultado cuando el ngulo de incidencia es el mismo y el resto de las condiciones a son constantes. Muchas otras leyes de la f sica son ejemplos de situaciones en donde bajo idnticas condiciones iniciales, el resultado del experimene to es siempre el mismo. En contraparte, un experimento aleatorio es aquel que cuando se le repite bajo las mismas condiciones, el resultado que se observa no siempre es el mismo y tampoco es predecible. El lanzar una moneda al aire y observar la cara de la moneda que mira hacia arriba, o registrar el nmero ganador en un juego de loter son ejemplos cotidianos u a, de experimentos aleatorios. Nuestro inters en este curso es estudiar ciere tos modelos matemticos, algunas herramientas y varios resultados que los a matemticos y otros pensadores han encontrado y desarrollado en el estudio a cient co de los experimentos aleatorios. Para ser ms precisos, pediremos a que los experimentos aleatorios que consideraremos cumplan las siguientes caracter sticas: a) El experimento debe poder ser repetible bajo las mismas condiciones iniciales. b) El resultado de cualquier ensayo del experimento es variable y depende del azar o de algn mecanismo aleatorio. u Es necesario mencionar, sin embargo, que en algunas ocasiones no es fcil a clasicar un experimento dado en aleatorio o determinista, esto depender del observador, de lo que l o ella conozca del experimento y de lo a e que esta persona desea observar en el experimento. La teor de la probabilidad es la parte de las matemticas que se encarga a a del estudio de los fenmenos o experimentos aleatorios. En principio no o sabemos cul ser el resultado de un experimento aleatorio, as que por lo a a menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. Denicin 1.1 El espacio muestral o tambin llamado espacio muestra o e de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega (omega).
1. PROBABILIDAD
Ms adelante mostraremos que el espacio muestral no es necesariamente a unico y su determinacin depende del inters del observador o persona que o e realiza el experimento aleatorio. En algunos textos se usa tambin la letra e S para denotar al espacio muestral. Esta letra proviene del trmino same pling space de la lengua inglesa, equivalente a espacio muestral. Por otro lado, llamaremos evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en maysculas: u A, B, C, etc. Con la ayuda de algunos ejemplos ilustraremos a continuacin o los conceptos de espacio muestral y evento. Ejemplo 1.1 Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar el nmero que aparece en la cara superior, entonces claramente u 1, 2, 3, 4, 5, 6. Como ejemplo de el espacio muestral es el conjunto un evento para este experimento podemos denir el conjunto A 2, 4, 6, que corresponde al suceso de obtener como resultado un nmero par. Si al u lanzar el dado una vez se obtiene el nmero 4, decimos entonces que se u observ la ocurrencia del evento A, y si se obtiene por ejemplo el resultado o 1, decimos que no se observ la ocurrencia del evento A. o Ejemplo 1.2 Considere el experimento aleatorio de participar en un juego de lotera. Suponga que hay un milln de nmeros en esta lotera y un ju o u gador participa con un boleto. Cul es un posible espacio muestral para a este experimento? Naturalmente al jugador le interesa conocer su suerte en este juego y puede proponer como espacio muestral el conjunto ganar, perder . Sin embargo puede tambin tomarse como espacio e muestral el conjunto que contiene a todos los posibles nmeros ganadores, es u decir, 1, 2, . . . , 1000000. Este ejemplo sencillo muestra que el espacio muestral de un experimento aleatorio no es unico y depende del inters del e observador. Ejemplo 1.3 Suponga que un experimento aleatorio consiste en observar el tiempo en el que una mquina en operacin sufre su primera descompostura. a o Si se consideran mediciones continuas del tiempo, entonces puede adoptarse como espacio muestral para este experimento el intervalo 0, . El subconjunto A 1, 2 corresponde al evento en el que la primera descompostura se observe entre la primera y la segunda unidad de tiempo. Diremos que un evento es simple cuando consta de un solo elemento del espacio muestral, en cambio, se llamar compuesto cuando consta de mas a
1.1. Introduccion
de un elemento del espacio muestral. Puesto que los conceptos de espacio muestral y evento involucran forzosamente la terminolog de conjuntos, a recordaremos a continuacin algunas operaciones entre estos objetos, y alo gunas propiedades que nos sern de utilidad en el estudio de la probabilidad a y la estad stica. Operaciones con conjuntos Supondremos que el espacio muestral de un experimento aleatorio es una especie de conjunto universal, y cualquier elemento de lo denotaremos por (omega minscula). Al conjunto vac lo denotaremos como es usual u o mbolos usuales son los de pertenencia (), o no por el s mbolo . Otros s pertenencia () de un elemento en un conjunto, y los de contencin ( , ), o o no contencin ( ) de un conjunto en otro. Si A es un conjunto, denotamos o la cardinalidad o nmero de elementos de ese conjunto por el s u mbolo #A. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera de . Recordamos a continuacin o las operaciones bsicas de unin, interseccin, diferencia y complemento: a o o A A B B
AB Ac
: A o : A y : A y : A.
B , B , B ,
Cuando los conjuntos se expresan en palabras, la operacin unin, A B, o o se lee A B y la interseccin, A B, se lee A y B. En la Figura 1.1 se o o muestran en diagramas de Venn estas dos operaciones.
A B A B
A B A B
Figura 1.1: La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A B, y corresponde a aquel conjunto de elementos de A que no pertenecen a B, es decir, A B
1. PROBABILIDAD
se dene como A B c . En general, el conjunto A B es distinto de B A, de hecho estos conjuntos son siempre ajenos. puede usted comprobar tal armacin? en qu caso ambos conjuntos coinciden? Por otro lado el como e plemento de un conjunto A se denota por Ac y se dene como la coleccin de o aquellos elementos de que no pertenecen a A. Mediante un diagrama de Venn ilustramos grcamente las operaciones de diferencia y complemento a en la Figura 1.2.
A B A
AB A
c
Figura 1.2: Ejemplo 1.4 Sea A el conjunto de aquellas personas que tienen hijos, y B la coleccin de aquellas personas que estan casadas. Entonces el conjunto o A B consta de aquellas personas que estan casadas y tienen hijos, mientras a que el conjunto A B c est constituido por aquellas personas que tienen hijos pero no estan casadas. Quin es Ac B? Observe que cada persona es un e elemento de alguno de los siguientes conjuntos: A B, A B c , Ac B a Ac B c . A cul pertenece usted? o Es fcil vericar que el conjunto vac y el conjunto total satisfacen las a o siguientes propiedades elementales: A A, A A, A , , A , A Ac . Adems las operaciones unin e a o A Ac interseccin son asociativas, esto es, satisfacen las siguientes igualdades: o A A
B B
C C
C C
A A A A
B
B B
C, C, C , C .
y tambin son distributivas, es decir, e A A
B B
A B A
1.1. Introduccion
Recordemos tambin la operacin diferencia simtrica entre dos conjuntos e o e A y B, denotada por AB, y denida como sigue AB
B B
A.
En la Figura 1.3 ilustramos grcamente el conjunto resultante de efeca tuar la diferencia simtrica entre los conjuntos A y B. Visualmente es e fcil comprobar que la diferencia simtrica tambin puede escribirse como a e e A B B A. Cmo podr expresarse en palabras al conjunto AB? o a
A B
AB
Figura 1.3: Recordemos adems las muy utiles leyes de De Morgan: a
A A
B c B c
Ac Ac
B c, B c.
La validez de estas dos igualdades puede extenderse a colecciones nitas e incluso arbitrarias de conjuntos. Puede usted escribir estas identidades para n conjuntos? Conjuntos ajenos Cuando dos conjuntos no tienen ningn elemento en comn se dice que son u u ajenos, la denicin formal es la siguiente. o Denicin 1.2 Decimos que dos conjuntos A y B son ajenos o disjuntos o si se cumple la igualdad A B .
1. PROBABILIDAD
Es decir, los conjuntos A y B son ajenos cuando no existe un elemento que pertenezca tanto a A como a B. Por ejemplo, si 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2 y B 3, 4 son ajenos pues no hay entonces los conjuntos A ningn elemento comn entre ellos. El ejemplo general ms importante de u u a c , para cualquier conjuntos o eventos ajenos es la pareja dada por A y A conjunto A. La propiedad de ser ajenos puede extenderse al caso cuando se tienen varios conjuntos. Decimos que n conjuntos A1 , . . . , An son ajenos si A1 An , y se dice que son ajenos dos a dos (o mutuamente ajenos) ndices i, j 1, 2, . . . , n, con si Ai Aj para cualesquiera valores de los i distinto de j. Existe diferencia en estas dos deniciones y explicaremos la 2, 3 y situacin con el siguiente ejemplo. Los conjuntos A 1, 2, B o C 3, 4 son ajenos pues A B C , pero no son ajenos dos a dos o. pues, por ejemplo, el conjunto A B no es vac Es decir, estos conjuntos son ajenos en el sentido de que la interseccin de todos ellos es vac pero o a no son ajenos dos a dos. Las operaciones entre conjuntos que mencionaremos a continuacin no son o elementales y producen nuevos conjuntos que se encuentran en un nivel distinto al de los conjuntos originales. Conjuntos potencia El conjunto potencia de , denotado por 2 , es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles de . En trminos estrictos esta e nueva coleccin deja de ser un conjunto y se le llama clase de subconjuntos o de , aunque seguiremos usando el primer trmino en nuestro tratamiento e elemental de los conjuntos. Por ejemplo, si a, b, c, entonces el conjunto 2 consta de 8 elementos, a saber, 2
, a, b, c, a, b, a, c, b, c, a, b, c .
Observe que los elementos del conjunto potencia son en s mismos conjuntos, y que en esta coleccin estan contenidos todos los eventos que podr ser o an de inters en un experimento aleatorio. No es dif demostrar que e cil #2 2# ,
es decir, el nmero de elementos en el conjunto 2 es exactamente 2 elevado u a la potencia dada por la cardinalidad de . De este hecho proviene la notacin usada para el conjunto potencia: 2 . Observe que la expresin 2 o o
1.1. Introduccion
no tiene sentido matemtico, y debe considerarse como un s a mbolo para denotar al conjunto potencia. Para el ejemplo anterior se comprueba que la cardinalidad de 2 es efectivamente 2# 23 8. Producto Cartesiano Finalmente recordemos que el producto Cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A B, se dene como la coleccin de todas las parejas o ordenadas a, b, en donde a es cualquier elemento de A, y b es cualquier elemento de B. En s mbolos, A B a, b : a A y b B . Ejemplo 1.5 Si A AB
a1 , a2 y B b1 , b2, b3 , entonces a1 , b1 , a1 , b2, a1 , b3 , a2 , b1 , a2 , b2 , a2 , b3 .
Este conjunto puede representarse grcamente mediante un diagrama de a rbol como el que se ilustra en la Figura 1.4 . a
b1 a1 b2 b3 b1 a2 b2 b3
a1 , b1 a1 , b2 a1 , b3 a2 , b1 a2 , b2 a2 , b3
Figura 1.4: Diagrama de rbol. a En general los conjuntos producto A B y B A son distintos pues la pareja a, b es distinta de b, a, sin embargo ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, esto es, ambos tienen el mismo nmero de elementos. u Ms an, si la cardinalidad de A es el nmero n, y la cardinalidad de B es a u u m, entonces la cardinalidad del conjunto A B es el producto n m. Este resultado es llamado principio de multiplicacin y lo usaremos ms adelante. o a
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1. PROBABILIDAD
Un poco ms generalmente, puede considerarse el producto Cartesiano de a n conjuntos y comprobarse que #A1 An #A1 #An .
Ejemplo 1.6 Considere el producto Cartesiano R R, que es el conjunto de todas las parejas de nmeros reales x, y . A este conjunto producto se le u denota usualmente por R2 . Anlogamente se construyen los conjuntos R3 , a 4 , . . ., Rn . R Concluimos aqu nuestra rpida y breve revisin de conjuntos. Recordemos a o que estamos interesados en calcular probabilidades de los diferentes eventos, es decir, de subconjuntos del espacio muestral que se obtienen al estudiar los diversos experimentos aleatorios. En la siguiente seccin estudiaremos o algunas formas de denir matemticamente la probabilidad de un evento. a
1.2.
Probabilidad
La probabilidad de un evento A, es un nmero real en el intervalo 0, 1 u que denotaremos por P A, y representa una medida de la frecuencia con la que se observa la ocurrencia del evento A cuando se efecta el experimento u aleatorio en cuestin. Existen al menos cuatro deniciones de probabilidad, o las cuales explicamos a continuacin. o Probabilidad clsica a Sea A un subconjunto de un espacio muestral de cardinalidad nita. Se dene la probabilidad clsica del evento A como el cociente: a P A #A , #
en donde el s mbolo #A denota la cardinalidad o nmero de elementos del u conjunto A. Claramente esta denicin es slo vlida para espacios mueso o a trales nitos, pues forzosamente necesitamos suponer que el nmero de eleu mentos en es nito. Adems, el espacio debe ser equiprobable, pues a para calcular la probabilidad de un evento A, unicamente necesitamos con tar cuntos elementos tiene A respecto del total , sin importar exactamente a qu elementos particulares sean. Por lo tanto, esta denicin de probabilidad e o
1.2. Probabilidad
11
presupone que todos los elementos de son igualmente probables o tienen el mismo peso. Este es el caso por ejemplo de un dado equilibrado. Para este experimento el espacio muestral es el conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, y si deseamos calcular la probabilidad (clsica) del evento A correspondiente a a obtener un nmero par, es decir, la probabilidad de A 2, 4, 6, entonces u P A #2, 4, 6 #1, 2, 3, 4, 5, 6 3 6 1 . 2
A esta forma denir la probabilidad tambin se le conoce con el nombre e de probabilidad de Laplace, en honor del astrnomo y matemtico francs o a e Pierre-Simon Laplace, quien estableci de una manera sistemtica y riguroo a sa, los principios y propiedades de esta forma de calcular probabilidades.
Pierre-Simon Laplace (Francia 17491827)
Probabilidad frecuentista Suponga que se realizan n repeticiones de un cierto experimento aleatorio y sea A un evento cualquiera. Denotemos por nA el nmero de ocurrencias u del evento A, en las n realizaciones del experimento. Se dene entonces la probabilidad frecuentista de A como indica el siguiente l mite P A
n
l m
nA . n
En este caso, debemos hacer notar que no es humanamente posible llevar a cabo una innidad de veces el experimento aleatorio, de modo que en la
12
1. PROBABILIDAD
prctica no es posible encontrar mediante este mecanismo la probabilidad a de un evento cualquiera. Esta limitacin hace que esta denicin de proo o babilidad no sea enteramente formal, pero tiene algunas ventajas. Veamos un ejemplo concreto. Consideremos nuevamente el experimento aleatorio de lanzar un dado equilibrado y registrar la ocurrencia del evento A denido e como el conjunto 2, 4, 6. Despus de lanzar el dado 20 veces se obtuvieron los siguientes resultados:
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resultado 3 6 2 1 4 6 3 4 2 5 nAn 0/1 1/2 2/3 2/4 3/5 4/6 4/7 5/8 6/9 6/10 No. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Resultado 2 5 1 6 3 1 5 5 2 6 nAn 7/11 7/12 7/13 8/14 8/15 8/16 8/17 8/18 9/19 10/20
nAn 12
Figura 1.5: En la grca de la Figura 1.5 se muestra el singular comportamiento de a este cociente a lo largo del tiempo, al principio se pueden presentar algunas oscilaciones pero eventualmente el cociente se estabiliza en un cierto nmero. u Realizando un mayor nmero de observaciones del experimento, no es dif u cil creer que el cociente nAn se estabiliza en 12 cuando n es grande y suponiendo que el dado esta equilibrado. Se invita al lector intrigado a
1.2. Probabilidad
13
efectuar un experimento similar y corroborar esta interesante regularidad estad stica con ste o cualquier otro experimento aleatorio de su inters. e e Probabilidad subjetiva En este caso la probabilidad de un evento depende del observador, es decir, depende de lo que el observador conoce del fenmeno en estudio. Puede o parecer un tanto informal y poco seria esta denicin de la probabilidad o de un evento, sin embargo en muchas situaciones es necesario recurrir a un experto para tener por lo menos una idea vaga de cmo se comporta o el fenmeno de nuestro inters y saber si la probabilidad de un evento es o e alta o baja. Por ejemplo, Cul es la probabilidad de que un cierto equipo a de ftbol gane en su prximo partido? Ciertas circunstancias internas del u o equipo, las condiciones del equipo rival o cualquier otra condicin externa, o son elementos que slo algunas personas conocen y que podr darnos o an una idea ms exacta de esta probabilidad. Esta forma subjetiva de asignar a probabilidades a los distintos eventos debe, sin embargo, ser consistente con una serie de reglas naturales que estudiaremos a continuacin. o Probabilidad axiomtica a En la denicin axiomtica de la probabilidad no se establece la forma o a expl cita de calcular las probabilidades sino unicamente se proponen las reglas que el clculo de probabilidades debe satisfacer. Los siguientes tres a postulados o axiomas1 fueron establecidos en 1933 por el matemtico ruso a Andrey Nikolaevich Kolmogorov.
Un postulado o axioma es una proposicin que se acepta como vlida y sobre la cual o a se funda una teor a.
14
1. PROBABILIDAD
Axiomas de la probabilidad 1. 2. 3. P A P P A 0. 1. B P A P B , B cuando A

Andrey N. Kolmogorov (Rusia 19031987)
No es dif vericar que las deniciones anteriores de probabilidad satisfacil cen estos tres axiomas. De hecho, estos postulados han sido tomados directamente del anlisis cuidadoso y reexivo de las deniciones de probabilia dad mencionadas anteriormente. Por ejemplo, considerando nuevamente la denicin de probabilidad frecuentista, se realiza una sucesin de n ensayos o o de un experimento aleatorio y se observa el cociente nAn para un evento A cualquiera. Se observa claramente que el cociente nAn es no negativo, esto es el primer axioma. Si A es el evento total , entonces n n y por lo tanto nn 1, esto es el segundo axioma. Finalmente, si A y B son dos eventos ajenos, se tiene que nA B nA nB y por lo tanto nA nB n , n n de donde surge el tercer axioma. Observe adems que este tercer axioma es a vlido no slo para dos eventos ajenos sino para cualquier coleccin nita a o o de eventos ajenos dos a dos. A cualquier funcin P que satisfaga los tres o axiomas de Kolmogorov se le llama medida de probabilidad, o simplemente probabilidad. A partir de estos postulados es posible demostrar que la probabilidad cumple con una serie de propiedades interesantes. Proposicin 1.1 Para cualquier evento A, o P Ac 1 P A. nA B
Demostracin. De la teor elemental de conjuntos tenemos que o a A Ac . Como A y Ac son eventos ajenos, por el tercer axioma, P P A P Ac . Finalmente, como P 1, por el segundo axioma obtenemos P Ac 1 P A.
1.2. Probabilidad
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La proposicin recin demostrada establece que los eventos A y Ac tienen o e probabilidad complementaria, es decir, la suma de las probabilidades de estos eventos es siempre uno. Esta propiedad es bastante util pues en ocasiones es ms sencillo calcular la probabilidad del complemento de un evento que a del evento mismo. Ms adelante tendremos mltiples ocasiones para aplicar a u este resultado. Proposicin 1.2 P o 0.
Demostracin. Como o c , usando la propiedad anterior, tenemos c 1 P 0. que P P Las siguientes dos proposiciones suponen la situacin A B que se muestra o grcamente en la Figura 1.6. a
Figura 1.6: A B, entonces P A
B.
Proposicin 1.3 Si A o
P B .
Demostracin. Primeramente escribimos B A B A. Como A y o B A son eventos ajenos, por el tercer axioma, P B P A P B A. Usando el primer axioma concluimos que P B P A P B A 0. De aqui obtenemos P B P A 0. Proposicin 1.4 Si A o B, entonces P B A P B P A.
Demostracin. Como B A o tercer axioma tenemos que P B
B A, siendo esta unin ajena, por el o P A P B A.
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1. PROBABILIDAD
Por ejemplo, suponga que A y B son eventos tales que A B, P Ac 0.9 y P B c 0.6. Deseamos calcular P B A. En esta situacin es vlida la o a frmula P B A P B P A, en donde, P A 0.1 y P B 0.4. Por o lo tanto P B A 0.4 0.1 0.3. Observe el lector que en este ejemplo sencillo no se especica el experimento aleatorio en cuestin ni tampoco se o denen los eventos A y B. El tratamiento es completamente anal tico y los resultados son vlidos para cualesquiera eventos A y B con las caracter a sticas sealadas. n Proposicin 1.5 Para cualquier evento A, 0 o Demostracin. Como A , se tiene que P A o P desigualdad, 0 P A, es simplemente el primer axioma. Proposicin 1.6 Para cualesquiera eventos A y B, o P A B P A P B P A B . P A 1. 1. La otra
Demostracin. Primeramente observamos que para cualesquiera eventos o A y B se cumple la igualdad A B A A B . Entonces escribimos a o A B como la unin disjunta de los siguientes tres eventos: A B
A B A B B A A A B A B B A
P A A B P A
B . B .
Ahora aplicamos la probabilidad. Por el tercer axioma, Pero A B A, de modo que P A A B P A P A mente P B A B P B P A B . Por lo tanto P A B P A P B P A B . P A B B P B A B . Anlogaa
En la Figura 1.7 (a) el lector puede comprobar la validez de la frmula o anterior identicando las tres regiones ajenas de las que consta A B. El trmino P A abarca las primeras dos regiones de izquierda a derecha, P B e abarca la segunda y tercera regin. Observe entonces que la regin central o o ha sido contada dos veces de modo que el trmino P A B da cuenta de e ello. De esta forma las tres regiones son contadas una sola vez y el resultado es la probabilidad del evento A B.
1.2. Probabilidad
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(a) A B (b) A
C B C
Figura 1.7: 0.3 y P A Ejemplo 1.7 Sean A y B eventos ajenos tales que P B B c 0.2. Deseamos encontrar P A B . Solucin: Usaremos la frmula P A B o o P A P B P A B . a o Conocemos P B . Adems P A B es cero pues por hiptesis los eventos son ajenos, y P A P A B c 0.2. Por qu? Por lo tanto, P A B e 0.2 0.3 0.5. Observe que la frmula anterior es vlida para cualesquiera eventos A y B. o a En particular, cuando son conjuntos ajenos, es decir, cuando A B , entonces la frmula demostrada se reduce al tercer axioma de la probabio lidad, es decir, P A B P A P B . El siguiente resultado es una generalizacin del anterior e involucra tres eventos cualesquiera. La frmula o o que a continuacin se demuestra puede tambin vericarse usando el diao e grama de Venn que aparece en la Fig 1.7 (b). Para ello siga los trminos del e lado derecho de la frmula y compruebe que cada regin es contada una sola o o vez de modo que el resultado nal es la probabilidad del evento A B C. Proposicin 1.7 Para cualesquiera eventos A, B y C, o P A B C P A P B P C P A B B
P A
C P B
C P A
C .
Demostracin. o
Usando la frmula para dos eventos y agrupando adeo
18 cuadamente, P A B C P A P A B P C P A B C
1. PROBABILIDAD
P A C B C P A P B P C P A P B C P A B C .
P A P B P A
B P C
B P A
Las propiedades anteriores son parte del estudio terico y general de la proo babilidad. En general, supondremos que la forma expl cita de calcular estos nmeros es conocida, o que se puede suponer un cierto modelo para llevar a u cabo estos clculos dependiendo del experimento aleatorio en cuestin. Por a o ejemplo, cuando el espacio muestral es nito y cada resultado puede suponerse igualmente probable, entonces usaremos la denicin clsica de probabio a lidad. En otras situaciones asignaremos probabilidades de acuerdo a ciertos modelos conocidos. Regresaremos a este punto ms adelante. A manera de a conclusin presentamos a continuacin un resumen con las propiedades de o o la probabilidad que hemos demostrado. b) P c) Si A d) Si A e) 0 f) P A a) P Ac 1 P A. 0. B, entonces P A B, entonces P B A 1. C P A P B P A P A P B P C P A B . B P A B C P B . P B P A.
P A
g) P A
B B
P B
C P A
C .
Esperamos que, a partir de las propiedades enunciadas y demostradas, el lector haya desarrollado cierta habilidad e intuicin para escribir la deo mostracin de alguna otra propiedad de la probabilidad. Otras propiedades o
1.3. Analisis combinatorio
19
sencillas de la probabilidad pueden encontrarse en la seccin de ejercicios. o Debemos tambin mencionar que las demostraciones no son unicas, y que e es altamente probable que el lector pueda producir alguna demostracin o diferente a las que aqu se han presentado.
1.3.
Anlisis combinatorio a
Consideraremos ahora el caso cuando el experimento aleatorio es tal que su espacio muestral es un conjunto nito y cada elemento de este conjunto tiene la misma probabilidad de ocurrir, es decir, cuando el espacio es nito y equiprobable. En estos casos hemos denido la probabilidad clsica a de un evento A de la siguiente forma P A #A#. Para poder aplicar esta denicin necesitamos saber contar cuntos elementos tiene un evento o a A cualquiera. Cuando podemos poner en una lista todos y cada uno de los elementos de dicho conjunto, entonces es fcil conocer la cardinalidad de a A, simplemente contamos todos los elementos uno por uno. Sin embargo, es comn enfrentar situaciones en donde no es factible escribir en una lista u cada elemento de A. Por ejemplo, cuntos nmeros telefnicos existen que a u o contengan por lo menos un cinco? Es poco factible que alguien intente escribir uno a uno todos estos nmeros telefnicos y encuentre de esta manera u o la cantidad buscada. En las siguientes secciones estudiaremos algunas tcnie cas de conteo que nos ayudarn a calcular la cardinalidad de un evento A en a ciertos casos particulares. El principio de multiplicacin que enunciamos a o continuacin es la base de muchos de los clculos en las tcnicas de conteo. o a e Proposicin 1.8 (Principio de multiplicacin) Si un procedimiento o o A1 puede efectuarse de n formas distintas y un segundo procedimiento A2 puede realizarse de m formas diferentes, entonces el total de formas en que puede efectuarse el primer procedimiento seguido del segundo es el producto n m, es decir, #A1 A2 #A1 #A2 .
Para ilustrar este resultado considere el siguiente ejemplo. Suponga que un cierto experimento aleatorio consiste en seleccionar un dado y despus e seleccionar al azar una letra del alfabeto. Cul es la cardinalidad del coa
20
1. PROBABILIDAD
rrespondiente espacio muestral? El experimento de lanzar un dado tiene 6 resultados posibles y consideremos que tenemos un alfabeto de 26 letras. El correspondiente espacio muestral tiene entonces cardinalidad 6 26 156. El principio de multiplicacin es vlido no solamente para dos procedimieno a tos sino que tambin vale para cualquier sucesin nita de procedimiene o tos. Por ejemplo, si A1 , A2 , . . . , Ak denotan k procedimientos sucesivos, entonces este principio se puede enunciar en s mbolos de la forma siguiente: #A1 Ak #A1 #Ak . Ejemplo 1.8 Un hombre tiene 4 pantalones distintos, 6 camisas, y dos pares de zapatos. De cuntas formas distintas puede el hombre vestirse con a estas prendas? Solucin: 4 6 2 48. Es decir, el hombre se puede vestir o de manera distinta durante 48 das sin repetir una combinacin. o Vamos a considerar a continuacin diferentes esquemas y contextos en donde o es posible encontrar una frmula matemtica para ciertos problemas de o a conteo. En todos ellos aplicaremos el principio de multiplicacin. El esquema o general es el de extraer al azar k objetos, uno a la vez, de una urna con n objetos distintos. Esto se muestra en la Figura 1.8.
n objetos Urna Figura 1.8:
k objetos Muestra
Ordenaciones con repeticin: o muestras con orden y con reemplazo Suponga que tenemos una urna con n objetos distintos. Deseamos realizar k extracciones al azar de un objeto a la vez. Al efectuar una extraccin, o registramos el objeto escogido y lo regresamos a la urna, de esta forma el
21
mismo objeto puede ser extra varias veces. El total de arreglos que se do pueden obtener de esta urna al hacer k extracciones es el nmero nk , pues u en cada extraccin tenemos n objetos posibles para escoger y efectuamos k o extracciones. Esta frmula es consecuencia del principio de multiplicacin o o enunciado antes. A este nmero se le llama ordenaciones con repeticin. Se u o dice que la muestra es con orden pues es importante el orden en el que se van obteniendo los objetos, y es con reemplazo pues cada objeto seleccionado se reincorpora a la urna. Ejemplo 1.9 Suponga que tenemos un conjunto de 60 caracteres diferentes. Este conjunto contiene todas las letras minsculas del alfabeto, las leu tras maysculas, los diez dgitos y algunos caracteres especiales. Cuntos u a passwords o palabras clave de longitud 4 se pueden construir usando este conjunto de 60 caracteres? Este es un ejemplo de una ordenacin de 60 cao racteres en donde se permiten las repeticiones. Como cada caracter de los 60 disponibles puede ser escogido para ser colocado en cada una de las cuatro posiciones de la palabra clave, entonces se pueden construir 60 60 60 60 604 12, 960, 000 distintos passwords de longitud 4.
Ordenaciones sin repeticin: o muestras con orden y sin reemplazo Suponga que se tiene la misma situacin que antes, una urna con n objetos o y de los cuales se deben extraer, uno a uno, k objetos. Suponga esta vez que el muestreo es sin reemplazo, es decir, una vez seleccionado un objeto ste ya no se reincorpora a la urna. El total de arreglos distintos que se e pueden obtener de este modo es el nmero: nn 1n 2 n k 1. u Primeramente debemos observar que hay k factores en la expresin anterior. o El primer factor es n y ello es debido a que tenemos cualesquiera de los n objetos para ser colocado en primera posicin, para la segunda posicin teno o emos ahora n 1 objetos, para la tercera n 2 objetos, y as sucesivamente. Este razonamiento termina al escoger el k-simo objeto para cual tenemos e unicamente n k 1 posibilidades. Nuevamente por el principio multiplica tivo, la respuesta es el producto indicado. La expresin encontrada puede o escribirse como sigue: n! P n, k n k! ,
22
1. PROBABILIDAD
y se le llama permutaciones de n en k. En el caso particular cuando la muestra es exhaustiva, es decir, cuando k n, o bien cuando todos los objetos son extra dos uno por uno, entonces se tienen todas las permutaciones o distintos rdenes en que se pueden colocar n objetos. o Ejemplo 1.10 De cuantas formas distintas pueden asignarse los premios primero, segundo y tercero en una rifa de 10 boletos numerados del 1 al 10? Claramente se trata de una ordenacin sin repeticin de 10 objetos o o en donde se deben extraer 3 de ellos. La respuesta es entonces que existen 10 9 8 720 distintas asignaciones para los tres primeros lugares en la rifa.
Permutaciones: muestras exhaustivas con orden y sin reemplazo La pregunta bsica acerca del total de formas en que podemos poner en a orden lineal (uno detrs de otro y por lo tanto no hay repeticin) n objetos a o distintos tiene como respuesta el factorial de n, denotado por n! y denido como sigue: n! nn 1n 2 3 2 1. A este nmero tambin se le conoce como las permutaciones de n objetos, y u e se usa la notacin P n n! Adicionalmente y por conveniencia se dene o 0! 1. Observe que las permutaciones de n objetos es un caso particular de la situacin mencionada en la seccin anterior sobre ordenaciones sin o o repeticin cuando la muestra es exhaustiva, es decir, cuando se extraen uno o a uno todos los objetos de la urna. Ejemplo 1.11 Si deseamos conocer el total de formas distintas en que podemos colocar una enciclopedia de 5 volmenes en un librero, la respuesta u es claramente 5! 5 4 3 2 1 120. El razonamiento es el siguiente: Cualquiera de los cinco libros puede ser colocado al principio, quedan cuatro libros por colocar en la segunda posicin, restan entonces tres posibilidades o para la tercera posicin, etc. Por el principio de multiplicacin la respuesta o o es el producto de estos nmeros. u
23
Combinaciones: muestras sin orden y sin reemplazo Supongamos nuevamente que tenemos un conjunto de n objetos distinguibles y nos interesa obtener una muestra de tamao k. Supongamos ahora n que las muestras deben ser sin orden y sin reemplazo. Es decir, en la muestra no debe haber elementos repetidos, pues no hay reemplazo, y adems a la muestra debe verse como un conjunto pues no debe haber orden entre sus elementos. Cuntas diferentes muestras podemos obtener de estas a caracter sticas? Para responder a esta pregunta seguiremos el siguiente razonamiento. Cuando el orden importa hemos encontrado antes la frmula o
n k! .
Ahora que no nos interesa el orden, observamos que cada uno de los arreglos de la frmula anterior, est siendo contado k! veces, las veces en que los o a mismos k elementos pueden ser permutados unos con otros, siendo que el conjunto de elementos es el mismo. Para obtener arreglos en donde el orden no importa, debemos entonces dividir por k! La frmula a la que hemos o llegado se llama combinaciones de n en k, que denotaremos como sigue:
n!
n k
n! . k! n k!
A este nmero tambin se le conoce con el nombre de coeciente binomial u e de n en k, pues aparece en el famoso teorema del binomio:
a b
n n k 0
ank bk .
Para los casos n 2 y n 3 el teorema del binomio se reduce a las siguientes frmulas que muy seguramente el lector conoce: o
a b2 a b3
a2 2ab b2 .
a3 3a2 b 3ab2 b3 .
Ejemplo 1.12 Cuntos equipos distintos de tres personas pueden escogerse a de un grupo de 5 personas? Observe que el orden de tres personas escogilas das no es importante de modo que la respuesta es 5 5!3! 5 3! 3 10.
24
1. PROBABILIDAD
El coeciente binomial es tambin una forma de generar las entradas del e as llamado tringulo de Pascal, que puede observarse en Figura 1.9. El a n-simo rengln del tringulo de Pascal, iniciando desde cero, contiene los e o a coecientes del desarrollo de a bn . Existe una forma sencilla de construir este tringulo observando que cada uno de estos nmeros, exceptuando los a u extremos, es la suma de los dos nmeros inmediatos del rengln anterior. A u o este respecto vase por ejemplo el Ejercicio 73 en la pgina 149. e a
1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 1 1 1
4 6 4 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1
Figura 1.9:
Coeciente multinomial Ahora consideremos que tenemos n objetos no necesariamente distintos unos de otros. Por ejemplo, supongamos que tenemos k1 objetos de un primer tipo, k2 objetos de un segundo tipo, y as sucesivamente, hasta km objetos del tipo m, en donde k1 k2 km n. Estos n objetos pueden todos ordenarse uno detrs de otro de tantas formas distintas como indica a el as llamado coeciente multinomial:
n k1 k2 km1 km
n! . k1 ! k2 ! km1 ! km !
Un razonamiento para obtener esta frmula es el siguiente. Si consideramos o que los n objetos son todos distintos, entonces claramente las distintas formas en que pueden escribirse todos estos objetos uno detrs de otro es a n! Pero para cada uno de estos arreglos, los k1 objetos del primer tipo, supuestos inicialmente distintos cuando en realidad no lo son, pueden permutarse entre s de k1 ! formas diferentes, siendo que el arreglo total es el
25
mismo. De aqui que debamos dividir por k1 ! Lo mismo sucede con los elementos del segundo tipo y as sucesivamente hasta los elementos del tipo m. El coeciente multinomial aparece en la siguiente frmula: o
a1 a2 am
k1 km
ak1 ak2 akm , m 1 2
(1.1)
en donde la suma se efecta sobre todos los posibles valores enteros no u negativos de k1 , k2 , . . . , km , tales que k1 k2 km n. Por ejemplo, compruebe el lector que la frmula (1.1) produce la siguiente expresin: o o
hay unicamente dos tipos de objetos, el coeciente multinomial se reduce al coeciente binomial.
a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc. Puede usted desarrollar a b c3 ? Es interesante observar que cuando
Muestras sin orden y con reemplazo Finalmente consideremos el caso de hacer k extracciones de una urna de n objetos con las condiciones de que cada objeto extra es regresado a do la urna (y entonces puede ser elegido nuevamente), y en donde el orden de la muestra no es relevante. Para encontrar una frmula para el total o de muestras que pueden obtenerse con estas caracter sticas usaremos una modelacin distinta pero equivalente. Consideremos el arreglo de n casillas o de la Figura 1.10 junto con la siguiente interpretacin. o
1 2
n1
Figura 1.10: La primera casilla tiene dos cruces y eso indica que la bola uno fue seleccionada dos veces, la segunda casilla esta vac y ello signica que la bola a dos no fue seleccionada, etc. El nmero de cruces en la casilla i indica enu tonces el nmero de veces que la bola i fue seleccionada. En total debe u haber k cruces pues es el total de extracciones. Deseamos entonces conocer el nmero de posibles arreglos que pueden obtenerse con estas caracter u sticas, y debe ser claro, despus de algunos momentos de reexin, que ste e o e
26
1. PROBABILIDAD
es el nmero de muestras de tamao k, con reemplazo y sin orden, que se u n pueden obtener de un conjunto de n elementos distinguibles. Consideremos que las dos paredes en los extremos de este arreglo son jas, estas paredes se encuentran ligeramente remarcadas como puede apreciarse en la Figura 1.10. Consideremos adems que las posiciones intermedias, cruz o l a nea vertical, pueden moverse. En total hay n k 1 objetos movibles y cambiar de posicin estos objetos produce las distintas conguraciones posibles que o nos interesan. El nmero total de estos arreglos es u
nk1 k
que equivale a colocar dentro de las n k 1 posiciones las k cruces, dejando en los lugares restantes las paredes movibles. Resumen de frmulas o En el contexto de muestras de tamao k tomadas de un conjunto de cardin nalidad n, y a manera de resumen parcial, tenemos la tabla de frmulas de o la Figura 1.11.
Muestras con orden
con reemplazo nk
sin reemplazo
n k!
n
k
n!
sin orden
n k 1
k
Figura 1.11: Debemos hacer nfasis, sin embargo, en que para resolver un problema de e conteo en particular, no debemos clasicarlo forzosamente y de manera mecnica en alguno de los esquemas mencionados. Muy posiblemente el a problema en cuestin requerir de un razonamiento especial que involucre o a alguna combinacin de las frmulas encontradas. A menudo los problemas o o
1.4. Probabilidad condicional e independencia
27
de conteo son dif ciles de resolver y en algunos casos uno puede encontrar dos o mas soluciones distintas y aparentemente correctas. A veces ello se debe a que el problema no esta especicado o interpretado de manera completa.
1.4.
Probabilidad condicional e independencia
Los conceptos de probabilidad condicional e independencia surgieron de manera natural en el proceso de encontrar solucin a algunos problemas proveo nientes de situaciones reales. En esta seccin estudiaremos estos conceptos o y demostraremos adems dos resultados de amplia aplicacin: el teorema de a o probabilidad total y el teorema de Bayes. Denicin 1.3 Sean A y B dos eventos en donde B es tal que su probao bilidad es estrictamente positiva. La probabilidad condicional del evento A dado el evento B, denotada por P A B , se dene como sigue: P A B P A B . P B
La expresin P A B se lee probabilidad condicional del evento A dado el o evento B, o simplemente probabilidad de A dado B. Es claro que para que la denicin tenga sentido se necesita suponer que P B o 0, y por otro 0. Ilustraremos a lado no existe denicin para P A B cuando P B o continuacin el signicado de la probabilidad condicional y comprobaremos o que el evento B representa informacin adicional acerca del experimento o aleatorio que modica, en general, las probabilidades de los distintos eventos. El clculo de probabilidades condicionadas a la ocurrencia del evento a B tiene el efecto de reducir el espacio muestral a unicamente el evento B, es decir, slo los resultados contenidos en el evento B pueden ocurrir. o Ejemplo 1.13 Considere el experimento de lanzar un dado equilibrado. o Claramente el espacio muestral es 1, 2, 3, 4, 5, 6, el cual por hiptesis 2 y B 2, 4, 6 Cae par. es equiprobable. Sean los eventos A
28 Entonces P A P A B 16 mientras que P 2 2, 4, 6 P 2, 4, 6 P 2 P 2, 4, 6
1. PROBABILIDAD
16 36
13.
Observe que conocer la informacin de la ocurrencia del evento B, ha afeco tado la probabilidad del evento A, es decir, dada la informacin que el reo sultado del dado es un nmero par, la probabilidad de obtener 2 es ahora u 13.
Denicin 1.4 Se dice que dos eventos cualesquiera A y B son indepeno dientes si se cumple la condicin o P A B P AP B .
Esta igualdad en la denicin de independencia es equivalente a la expresin o o o P A B P A cuando P B 0. La ventaja de esta ultima expresin es que posee una interpretacin sencilla: dice que la probabilidad del evento A o es la misma cuando sabemos que ha ocurrido el evento B (lado izquierdo), que cuando no sabemos nada (lado derecho). Es decir, la ocurrencia del evento B no afecta la probabilidad del evento A y por lo tanto son independientes. De manera anloga puede interpretarse la igualdad equivalente a P B A P B , suponiendo naturalmente que P A 0. En la mayor a de los casos de aplicacin simplemente supondremos que dos eventos dados o son independientes recurriendo unicamente a justicaciones intuitivas. Ejemplo 1.14 Suponga que se lanza una moneda dos veces. Es una hiptesis o natural suponer que el resultado del primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento. De este modo cualquier evento del primer ensayo es independiente de cualquier otro evento en el segundo ensayo. Ejemplo 1.15 Inicialmente uno podra asociar la idea de independencia de dos eventos con el hecho de que stos sean ajenos, pero ello es errneo en e o , entonces general. Considere por ejemplo A un evento cualquier y B es claro que A y B son independientes pues P A P AP y sin
29
embargo, en general, A B . Por lo tanto, el hecho de que dos eventos sean independientes no implica, en general, que sean ajenos. Ejemplo 1.16 Como complemento al ejemplo anterior, ilustraremos ahora el hecho de que dos eventos pueden ser ajenos sin ser independientes. Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado y denamos los eventos A como obtener un nmero par, y B como obtener un nmero impar. u u Es claro que los eventos A y B son ajenos, y sin embargo no son independientes pues P A B P AP B . Por lo tanto, dos eventos pueden ser ajenos y ello no implica necesariamente que sean independientes. La denicin de independencia de dos eventos puede generalizarse al caso o de varios eventos de la siguiente forma. Denicin 1.5 Decimos que n eventos A1 , A2 , . . . , An son independientes o si se satisfacen todas y cada una de las condiciones siguientes: P Ai P A1 P Ai Aj Ak An . . . Aj P Ai P Aj , P Ai P Aj P Ak , P A1 P An . i, j distintos. i, j, k distintos.
En general, para vericar que n eventos son independientes es necesario comprobar todas y cada una de las igualdades arriba enunciadas. Es decir, cualquiera de estas igualdades no implica, en general, la validez de alguna otra, es necesario pues vericarlas todas. No es dif darse cuenta que el cil n n 1. Puede usted justicar este resultado? total de igualdades es 2 Ejemplo 1.17 Sea 1, 2, 3, 4 un espacio muestral equiprobable. Sean 1, 2, B 2, 3 y C 2, 4. Son A, B y C indelos eventos A pendientes? No lo son, pues aunque se cumplen las igualdades P A B P AP B , P A C P AP C , y P B C P B P C , no se cumple que P A B C P AP B P C .
Antes de enunciar el siguiente resultado recordaremos el concepto de particin de un conjunto. Una particin nita de un conjunto es una coleccin o o o
30
1. PROBABILIDAD
B1 , . . . , Bn de subconjuntos de tal que cada uno de estos conjuntos es distinto del vac la coleccin es disjunta dos a dos, esto es, para o, o ndices i y j distintos, se cumple que Bi Bj 0, y adems la unin de toda la a o coleccin produce el total , es decir, B1 B2 Bn . En la Figuo ra 1.12 se muestra grcamente el concepto de particin de un conjunto. a o Ahora podemos enunciar y demostrar el muy util teorema de probabilidad total.
B1 B2 B3 A
Figura 1.12:
Teorema 1.1 (Teorema de probabilidad total) Sea B1 , B2 , . . . , Bn una particin de tal que cada elemento de la particin tiene probabilio o dad estrictamente positiva. Para cualquier evento A, P A
n i 1
P A Bi P Bi .
Demostracin. o como sigue
Primero observemos que el evento A puede escribirse

n n
A en donde los eventos A P A P

n
A
i 1
Bi
i 1
Bi ,
B1 , . . . , A Bi
n i 1
Bn son ajenos dos a dos, de modo que P A Bi

n i 1
A
i 1
P A Bi P Bi .
31
Observe que cuando la particin de consta de unicamente dos elementos, o c , la frmula del teorema de probabilidad total se reduce a la siguiente ByB o expresin. o P A P A B P B P A B c P B c . Ejemplo 1.18 Suponga que tenemos dos cajas: una con 3 bolas blancas y 7 de color gris, la otra con 6 blancas y 6 grises. Esta situacin se ilustra en o la Figura 1.13. Si se elije una caja al azar y despus se saca una bola, cul e a es la probabilidad de que sea blanca?
Caja 1
Caja 2
Figura 1.13: El experimento aleatorio consiste entonces en escoger una caja al azar, con idntica probabilidad cada una de ellas, y despus escoger una bola de la caja e e escogida. Es claro entonces que el espacio muestral puede escribirse como sigue C1 , B , C1 , G, C2 , B , C2 , G, en donde C1 y C2 denotan los eventos en donde las cajas uno y dos fueron escogidas, respectivamente, y B y G denotan los eventos en donde una bola blanca o gris fueron escogidas respectivamente. Nos piden calcular la probabilidad de B. Observe que es fcil calcular la probabilidad de este evento a cuando se conoce la caja que fue escogida. Esto sugiere condicionar sobre el resultado de escoger alguna de las dos cajas y aplicar el teorema de probabilidad total, es decir, P B P B C1 P C1 P B C2 P C2 3 1 6 1 10 2 12 2 2 . 5
32
1. PROBABILIDAD
Observe adems que la particin del espacio muestral consta de dos elea o mentos: C1 , B , C1 , G y C2 , B , C2 , G. Puede usted comprobar que e P G 35? Puede uno tambin preguntarse por situaciones aparentemente extraas como la siguiente: si se obtuvo una bola blanca, cul es la proban a bilidad de que haya sido obtenida de la primera caja? Ejemplo 1.19 Suponga que en una poblacin humana de igual nmero de o u hombres y mujeres, el 4 % de hombres son daltnicos y el 1 % de las mujeres o son daltnicas. Una persona es elegida al azar, Cul es la probabilidad o a de que sea daltnica? Denamos primero los eventos de inters. Sea M el o e evento La persona escogida es mujer, H el evento La persona escogida es hombre y D el evento La persona escogida es daltnica. Deseamos o calcular P D . Por el teorema de probabilidad total, P D P D M P M P D H P H 1 4 1 100 1 100 2 2 1 . 40
El resultado interesante que estudiaremos a continuacin involucra nuevao mente probabilidades condicionales. Fue publicado por primera vez en 1763, dos aos despus de la muerte de su creador, el matemtico y telogo ingls n e a o e Thomas Bayes.
Thomas Bayes (Inglaterra 17021761)
33
Teorema 1.2 (Teorema de Bayes) Sea B1 , . . . , Bn una particin de o tal que cada elemento de la particin tiene probabilidad estrictamente posio tiva. Sea A un evento tal que P A 0. Entonces para cada j 1, 2, . . . , n, P Bj A
n
P A Bj P Bj P A Bi P Bi
i 1
Demostracin. Por la denicin de probabilidad condicional y el teorema o o de probabilidad total tenemos que P Bj A P A Bj P A P A Bj P Bj P A P A Bj P Bj A BiP Bi .
n i 1P
En la Figura 1.12 se encuentra una representacin grca de una particin o a o del espacio muestral y un evento A. Nuevamente observamos que en el caso cuando la particin de consta de slo dos elementos: B y B c , el teorema o o de Bayes, para el evento B, adquiere la forma: P B A P A B P B . P A B P B P A B c P B c
Ejemplo 1.20 En una fbrica hay dos mquinas. La mquina 1 realiza el a a a 60 % de la produccin total y la mquina 2 el 40 %. De su produccin total, o a o la mquina 1 produce 3 % de material defectuoso, la 2 el 5 %. El asunto es a que se ha encontrado un material defectuoso, Cul es la probabilidad de a que este material defectuoso provenga de la mquina 2? a Solucin: Sea M1 el evento La mquina 1 produjo el material escogido, o a M2 en evento La mquina 2 produjo el material escogido y nalmente sea a D el evento El material escogido es defectuoso. El problema es encontrar o P M2 D y obervamos que la informacin que tenemos es P D M2 . Por
34 el teorema de Bayes tenemos entonces que P M2 D
1. PROBABILIDAD
P D M2 P M2 P D M1 P M1 P D M2 P M2 5 100 60 100 40 100 5 40 100 100
3 100 10 . 19 Como un ejercicio al lector se deja comprobar que P M1 D
919.
Ejemplo 1.21 En un laboratorio se descubri una prueba para detectar o cierta enfermedad, y sobre la ecacia de dicha prueba se conoce lo siguiente: si se denota por E el evento de que un paciente tenga la enfermedad y por N el evento de que la prueba resulte negativa, entonces se sabe que o P N c E 0.95, P N E c 0.96 y P E 0.01 . Con esta informacin uno podra pensar que la prueba es muy buena, sin embargo calcularemos las probabilidades P E N y P E N c , usando el teorema de Bayes. P E N P N E P E P N E P E P N E c P E c 0.05 0.01 0.05 0.01 0.96 0.99 0.000526 . Es bueno que esta probabilidad sea pequea, pero por otro lado, n P E N c P N c P N c E P E E P E P N c E c P E c
0.95 0.01 0.95 0.01 0.04 0.99 0.193 .
Esta ultima probabilidad es demasiado pequea y por lo tanto la prueba no n es muy conable en tales casos.
1.5. Variables aleatorias
35
1.5.
Variables aleatorias
Dado un experimento aleatorio cualquiera, una variable aleatoria es una transformacin X del espacio de resultados al conjunto de nmeros reales, o u esto es, X: R. A menudo se escribe simplemente v.a. en lugar del trmino variable aleatoe ria. En sentido estricto una variable aleatoria es una funcin de en R que o satisface adems cierta condicin de medibilidad, pero omitiremos tales teca o nicismos pues no son de utilidad para los propsitos de este curso. Suponga o entonces que se efecta el experimento aleatorio una vez y se obtiene un reu sultado en . Al transformar este resultado con la variable aleatoria X se obtiene un nmero real X x. Podemos entonces suponer que los posiu bles resultados del experimento aleatorio son los diferentes nmeros reales x u que la funcin X puede tomar. Ilustramos de manera grca el concepto de o a variable aleatoria en la Figura1.14. Debemos hacer aqui la siguiente observacin importante: seguiremos la notacin usual de usar la letra mayscula o o u X para denotar una variable aleatoria cualquiera, es decir, X es una funcin de en R, mientras que la letra minscula x denota un nmero real o u u y que es un posible valor de la variable aleatoria. En general, las variables aleatorias se denotan usando las ultimas letras del alfabeto en maysculas, u U, V, W, X, Y, Z, y para un valor cualquiera de ellas se usa la misma letra pero en minscula. u
X x
Figura 1.14:
Ejemplo 1.22 Suponga que un experimento aleatorio consiste en lanzar al aire una moneda y observar la cara superior una vez que la moneda cae.
36
1. PROBABILIDAD
Denotemos por Cara y Cruz los dos lados de la moneda. Entonces claramente el espacio muestral es el conjunto Cara, Cruz. Dena la R de la siguiente forma variable aleatoria X : X Cara y X Cruz 0, 1.
De este modo podemos suponer que el experimento aleatorio tiene dos valores numricos posibles: 0 y 1. Observe que los nmeros 0 y 1 son en realidad e u arbitrarios, otro par de nmeros distintos puede ser escogido para distinguir u los dos resultados del experimento aleatorio. Podemos tambin denir la e variable aleatoria Y : R de la siguiente forma Y Cara Y Cruz 2.
En este caso la variable Y solo toma un valor, el nmero 2. Cualquier u resultado del experimento aleatorio produce, a travs de la funcin Y , el e o nmero 2. Decimos que Y es la variable aleatoria constante 2. u Ejemplo 1.23 Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dardo en un tablero circular de radio uno como se muestra en la Figura 1.15. El espacio muestral o conjunto de posibles resultados del experimento se puede escribir como sigue x, y : x2 y 2 1.
x, y
Figura 1.15: Los siguientes son ejemplos de funciones de en R (variables aleatorias) asociadas a este experimento aleatorio. a) X x, y x, proyeccin sobre el eje horizontal. o
1.5. Variables aleatorias b) Y x, y c) Z x, y d) V x, y y, proyeccin sobre el eje vertical. o x2 y 2 , x distancia al centro del crculo. distancia del taxista.
37
e) W x, y
y,
xy,
producto de las coordenadas.
Considerando el conjunto de valores que una variable aleatoria puede tomar, vamos a clasicar a las variables aleatorias en dos tipos: discretas o continuas. Decimos que una v.a. es discreta cuando el conjunto de valores que sta toma es un conjunto discreto, es decir, un conjunto nito o numerable. e Por ejemplo, el conjunto 0, 1, 2, . . . , n es un conjunto discreto porque es nito, lo mismo pues aunque es innito, es numerable y por lo tanto discreto. Por otra parte, decimos que una variable aleatoria es continua cuando toma todos los valores dentro de un intervalo a, b R. Esta clasicacin o de variables aleatorias no es completa pues existen variables que no son de ninguno de los dos tipos mencionados. Sin embargo, por simplicidad, en este curso estudiaremos unicamente variables aleatorias que son discretas o continuas. Ejemplo 1.24 Las variables X y Y denidas lneas arriba en el ejemplo del lanzamiento de una moneda, son variables aleatorias discretas. En ese ejemplo el espacio muestral mismo es discreto y por lo tanto las variables aleatorias que pueden all denirse tienen que ser discretas forzosamente. En el ejemplo del lanzamiento de un dardo en un tablero circular de radio uno, el espacio muestral (Figura 1.15) es innito no numerable, las variables X, Y, Z, V y W denidas all son todas variables aleatorias continuas. Si se dibujan crculos concntricos alrededor del origen y si se asignan premios e asociados a cada una de las regiones resultantes, puede obtenerse un ejemplo de una variable aleatoria discreta sobre este espacio muestral. Ejemplo 1.25 Un experimento aleatorio consiste en escoger a una persona al azar. La variable aleatoria X evaluada en corresponde a conocer la siguiente caracterstica, o una codicacin de esta caracterstica, de la o persona escogida. En cada caso se trata de una variable aleatoria discreta: a) Edad en aos. n b) Nmero de hijos. u
38 c) Peso. d) Estatura. e) Sueldo.
1. PROBABILIDAD
Usaremos tambin la siguiente notacin importante: si A es un subconjunto e o de R, entonces la expresin X A, incluyendo el parntesis, denota el o e conjunto : X A, es decir,
X A : X A. En palabras, la expresin X A denota aquel conjunto de elementos o
de tales que bajo la aplicacin de la funcin X toman un valor dentro o o del conjunto A. A este conjunto se le llama la imagen inversa de A, y se le o denota por X 1 A, lo cual no debe confundirse con la funcin inversa.
Ejemplo 1.26 Consideremos nuevamente el experimento de lanzar una moneda y la variable aleatoria X que lleva el resultado Cara al valor 0 y el resultado Cruz al valor 1. Tenemos por ejemplo que X 1, o Cruz pues el conjunto de elementos de tales que bajo la funcin X toman un valor mayor o igual a uno, es decir, caen dentro del intervalo 1, , es unicamente el elemento Cruz. Por lo tanto P X 1, P Cruz 12. Del mismo modo puede vericarse que
1, 2 P Cruz 12. b) P X 0, 1 P Cara 12. c) P X 2, 4 P 0. d) P X 1 P Cruz 12. e) P X 1 P 0. f ) P X 0 P 1.

En lo que resta del curso se usar con mucha frecuencia la notacin arriba a o explicada. El lector debe asegurarse de comprender bien que si x es un x es un subconjunto de y por lo tanto un nmero real entonces X u evento. Lo mismo sucede con el complemento de este conjunto que es X
a) P X
1.6. Funciones de densidad y de distribucion
39
x. Podemos escribir entonces la igualdad de conjuntos X x X x . Y aplicando probabilidad se obtiene P X x P X x 1. Nota importante: a travs de una variable aleatoria se puede considerar que e los posibles resultados de un experimento aleatorio no son elementos en sino nmeros reales que la variable aleatoria puede tomar. Esta es una u consideracin radical pues ya no consideraremos experimentos aleatorios o particulares, ni espacios muestrales arbitrarios , ni eventos (subconjuntos) de ; en lugar de ello consideraremos que una cierta variable aleatoria de inters toma valores en un cierto subconjunto de nmeros reales. La probae u bilidad denida antes para subconjuntos de se traslada, como explicamos antes, a probabilidades para subconjuntos de R. Esta perspectiva permite estudiar modelos generales y despus aplicarlos a cualquier situacin partie o cular. A partir de ahora, el trmino variable aleatoria aparecer con bastante e a frecuencia en el presente texto.
1.6.
Funciones de densidad y de distribucin o
En esta seccin vamos a explicar la forma de asociar a cada variable aleatoria o dos funciones que nos proveen de informacin acerca de las caracter o sticas de la variable aleatoria. Estas funciones, llamadas funcin de densidad y o funcin de distribucin, nos permiten representar a un mismo tiempo tanto o o los valores que puede tomar la variable como las probabilidades de los distintos eventos. Deniremos primero la funcin de densidad para una variable o aleatoria discreta, despus para una continua, y nalmente deniremos la e funcin de distribucin para ambos tipos de variables aleatorias. o o Funcin de probabilidad para una v.a. discreta o Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x0 , x1 , . . . con probabilidades respectivas P X x0 , P X x1 , . . .. Esta lista de valores numricos y sus probabilidades puede ser nita o bien innita, pero numere able. La funcin de probabilidad de la variable X denotada por f x : R o 0, se dene como sigue f x P X 0 x si x x0 , x1 , . . . otro caso. (1.2)
En palabras, la funcin de probabilidad es simplemente aquella funcin que o o
40
1. PROBABILIDAD
indica la probabilidad en los distintos valores que toma la variable aleatoria. Recordemos que es importante poder distinguir entre X y x, pues conceptualmente son cosas muy distintas. Denotaremos generalmente a una funcin o de probabilidad con la letra f minscula. A veces escribiremos fX x y el u sub ndice nos ayudar a especicar que tal funcin es la funcin de proa o o babilidad de la variable X. Esta notacin ser particularmente util cuando o a consideremos varias variables aleatorias a la vez. A toda funcin de la foro ma (1.2) la llamaremos funcin de probabilidad. Observe que se cumplen o las siguientes dos propiedades: a) f x b)
i 0
0,
para toda x R. 1.
f x i
Rec procamente, a toda funcin f x : R o 0, 1 que sea cero excepto en ciertos puntos x0 , x1 , . . . en donde la funcin toma valores positivos se le llao mar funcin de probabilidad si cumple con las dos propiedades anteriores. a o Ejemplo 1.27 Considere la variable aleatoria discreta X que toma los valores 1, 2 y 3, con probabilidades 0.3, 0.5 y 0.2 respectivamente. Observe que no se especica ni el experimento aleatorio ni el espacio muestral, unica mente los valores de la variable aleatoria y las probabilidades asociadas. La funcin de probabilidad de X es o f x
0.3
0.5 0.2 0
si x 1, si x 2, si x 3, otro caso.
Esta funcin se muestra grcamente en la Figura 1.16 (a). Alternativao a mente podemos tambin expresar esta funcin mediante la tabla de la Figue o ra 1.16 (b). En esta representacin se entiende de manera implcita que o f x es cero para cualquier valor de x distinto de 1, 2 y 3. En particular, no debe ser difcil para el lector comprobar que las siguientes probabilidades son correctas: P X 2 0.7, P X 1 0.3, y P X 1 0.

f x 0.5 0.3 0.2 x
41
x f x
1 0.3
(b)
2 0.5
3 0.2
2
(a)
3 Figura 1.16:
Ejemplo 1.28 Encontraremos el valor de la constante c que hace que la siguiente funcin sea de probabilidad. o f x c x si x 0, 1, 2, 3, 0 otro caso.
Los posibles valores de la variable aleatoria discreta (no especicada) son 0, 1, 2 y 3, con probabilidades 0, c, 2c y 3c, respectivamente. Como la suma de estas probabilidades debe ser uno, obtenemos la ecuacin c 2c 3c 1. o De aqui obtenemos c 16. Este es el valor de c que hace que f x sea no negativa y sume uno, es decir, una funcin de probabilidad. o
Funcin de densidad para una v.a. continua o Sea X una variable aleatoria continua. Decimos que la funcin integrable o y no negativa f x : R 0, es la funcin de densidad de X si para o cualquier intervalo a, b de R se cumple la igualdad P X
a, b
b
a
f x dx.
Es decir, la probabilidad de que la variable tome un valor dentro del intervalo a, b se puede calcular o expresar como el rea bajo la funcin de densidad a o en dicho intervalo. De esta forma el clculo de una probabilidad se reduce a al clculo de una integral. Vase la Figura 1.17 en donde se muestra esta a e forma de calcular probabilidades. No es dif comprobar que toda funcin cil o de densidad f x de una variable aleatoria continua cumple las siguientes propiedades anlogas al caso discreto. a
42
1. PROBABILIDAD
f x
P X
x
a, b
b
a
f x dx
a b Figura 1.17: La probabilidad como un rea. a a) f x
0,
para toda x R. 1.
b)
Rec procamente, toda funcin f x : R o 0, que satisfaga estas dos propiedades (sin necesidad de tener una variable aleatoria de por medio) se llamar funcin de densidad. a o Ejemplo 1.29 La funcin dada por o f x 12 0 si x 1, 3, otro caso,
f x dx
es la funcin de densidad de una variable aleatoria continua que toma valoo a res en el intervalo 1, 3, y cuya grca aparece en la Figura 1.18. Observe que se trata de una funcin no negativa y cuya integral vale uno. o
f x 1 2 x
1 2 3 Figura 1.18:
43
Ejemplo 1.30 Encontraremos el valor de la constante c que hace que la siguiente funcin sea de densidad. o f x c x 0 si x 1, 1, otro caso.
Se trata de una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo 1, 1. Como esta funcin debe integrar uno tenemos que o
1 1
0
c x dx
2 x dx
c.
Por lo tanto, cuando tomamos c 1 esta funcin resulta ser una funcin o o de densidad pues ahora cumple con ser no negativa e integrar uno. Funcin de distribucin o o Sea X una variable aleatoria discreta o continua. La funcin de distribucin o o de X, denotada por F x : R 0, 1, se dene como F x P X x . (1.3)
Esto es, la funcin de distribucin evaluada en un nmero x cualquiera o o u es simplemente la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a x, o en otras palabras, que tome un valor en el intervalo , x. Siendo F x una probabilidad, sus valores estn siempre entre cero a o y uno. En el caso discreto, suponiendo que f x es la funcin de probabilidad de X, la funcin de distribucin (1.3) se calcula como sigue o o F x
u x
f u.
o En el caso continuo, si f x es la funcin de densidad de X, por (1.3) se tiene que x F x f u du.
Esta funcin resulta ser importante y se le conoce tambin, por razones o e evidentes, con el nombre de funcin de acumulacin de probabilidad. Con o o un par de ejemplo mostraremos la forma de calcular esta funcin a partir o de la funcin de probabilidad o de densidad. o
44
1. PROBABILIDAD
Ejemplo 1.31 (Caso discreto) Considere la variable aleatoria discreta X de la Figura 1.16. Tenemos que la correspondiente funcin de distribucin o o evaluada en x se calcula sumando las probabilidades P X u para valores de u menores o iguales a x, es decir, F x P X x
u x
P X
0.3 0.8 1
si si si si
x 1 2 x
1, x x 3,
2, 3,
cuya grca aparece en la Figura 1.19 (a). Este es el comportamiento tpico a de una funcin de distribucin discreta, es no decreciente, constante por o o pedazos, y si la funcin tiene una discontinuidad en x, entonces el tamao de o n tal discontinuidad es exactamente la probabilidad de que la variable aleatoria tome ese valor.
F x 1 0.8 0.3 x 1
F x
2
(a)
3 Figura 1.19:
2
(b)
Ejemplo 1.32 (Caso continuo) Considere ahora la variable aleatoria continua X de la Figura 1.18. La correspondiente funcin de distribucin se o o obtiene calculando la siguiente integral separando el clculo en tres casos a distintos: F x P X x
x
f u du
x 12
1
si x si 1 si x
1, x 3,
3.
45
La grca de esta funcin aparece en la Figura 1.19 (b). Observe que esta a o funcin es continua y no decreciente. o Ejemplo 1.33 (Caso discreto) Considere la siguiente funcin de probao bilidad 16 si x 1, 2, 3, 4, 5, 6, f x 0 otro caso. Considerando los distintos valores para x, puede encontrarse la funcin de o a distribucin F x, la cual est dada por o
0 1/6 2/6 4/6 5/6
F x
P X
u x
f u
3/6
si si si si si si si
x 1 2 3 4 5 x
1, x x x x x 6,
2, 3, 4, 5, 6,
Se deja como ejercicio al lector gracar con precisin estas funciones. o Ejemplo 1.34 (Caso continuo) Considere la siguiente funcin de densio dad x si x 1, 1, f x 0 otro caso. Integrando esta funcin desde menos innito hasta x, para distintos valores o de x, se encuentra la funcin de distribucin o o F x P X x
u x
f u
1 x2 2 1 x2 2
1
si x 1, si 1 x 0, si 0 x 1, si x 1,
En los ejemplos anteriores se ha mostrado la forma de obtener F x a partir de f x. Ahora explicaremos el proceso contrario, es decir, obtener f x a partir de F x. En el caso continuo tenemos que para toda x en R, F x P X x
x
f u du,
46
1. PROBABILIDAD
de modo que por el Teorema Fundamental del Clculo, y cuando F x es a diferenciable, tenemos que F x f x.
De este modo podemos encontrar f x a partir de F x. En el siguiente ejemplo se muestra la forma de llevar a cabo este procedimiento. Ejemplo 1.35 Considere la funcin de distribucin o o F x
0
1 x3 2
1
si x 1, si 1 x si x 1.
1,
Observamos que se trata de una funcin continua y diferenciable. Derivando o entonces en cada una de las tres regiones de denicin se encuentra que o f x 3x2 2 si 1 x 0 otro caso. 1,
En el caso discreto, la funcin de probabilidad se obtiene de la funcin de o o distribucin del siguiente modo o f x P X x F x F x,
en donde F x es el l mite por la izquierda de la funcin F en el punto x. o mite por la derecha de la Anlogamente, la expresin F x signica el l a o funcin F en el punto x. En s o mbolos, F x F x
h h
l F x h, m l F x h, m
0 0
con h con h
0, 0.
Ejemplo 1.36 Considere la funcin de distribucin o o F x

0
si x 1, 13 si 1 x 0, 23 si 0 x 1, 1 si x 1.
47
Al gracar esta funcin uno puede darse cuenta que se trata de una funcin o o constante por pedazos. Los puntos donde esta funcin tiene incrementos y o los tamaos de estos incrementos determinan la correspondiente funcin de n o probabilidad, la cual est dada por a f x 13 si x 1, 0, 1, 0 otro caso.
Mencionaremos a continuacin algunas propiedades generales vlidas para o a toda funcin de distribucin, sea esta discreta o continua. o o Proposicin 1.9 Toda funcin de distribucin F x satisface las siguieno o o tes propiedades: a) l F x m
x
1. 0. F x2 .
b)
l F x m
c) Si x1 d) F x
x2 , entonces F x1 F x.
Demostracin. o a) Cuando x tiende a innito el conjunto X x se aproxima al conjunto X que es idntico a , por lo tanto, cuando x e , F x P X P 1.
b) Anlogamente el conjunto X a x se aproxima al conjunto X cuando x tiende a menos innito. Por lo tanto, cuando x , F x P X P 0. X x2 puede descomponerse en la c) Observe que el evento x1 diferencia X x2 X x1 , en donde X x1 X x2 . Por lo tanto P x1 X x2 P X x2 P X x1 F x2 F x1 .
d) Para h xP x
0 tenemos que F x h P X x h P X X xh, de modo que cuando h tiende a cero, el conjunto
48
1. PROBABILIDAD
X x h tiende al conjunto vac Concluimos entonces que, o. cuando h 0 con h 0, F x h F x P F x.
Rec procamente, toda funcin F x : R o 0, 1 que cumpla las cuatro propiedades anteriores (sin tener una variable aleatoria de por medio) se le llama funcin de distribucin. La propiedad (c) signica que F x es una o o funcin montona no decreciente, mientras que la propiedad (d) establece o o que F x es una funcin continua por la derecha. Como una propiedad o adicional, se deja como ejercicio al lector demostrar la siguiente igualdad P x1 X x2 F x2 F x1 ,
en donde X es una variable aleatoria con funcin de distribucin F x, y o o x1 x2 . Ejemplo 1.37 Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin o o F x
0
si x 1, 13 si 1 x 0, 23 si 0 x 1, 1 si x 1.
Como un ejemplo del clculo de probabilidades usando la funcin de disa o tribucin, verique el lector los siguientes resultados. o a) P X c) P 0 b) P X 0 X 0 1 1. 1 13. 13. 13.
d) P X
1.7.
Esperanza, varianza, momentos
Todos los seres humanos tenemos caracter sticas numricas que nos identie can y nos distinguen de otras personas, por ejemplo, la edad, la estatura, la talla, el peso, etc. Si pudiramos considerar la totalidad de todos ese tos nmeros para una persona en particular, la identicar u amos de manera
1.7. Esperanza, varianza, momentos
49
unica. Algo similar sucede con las variables aleatorias. En esta seccin estu o diaremos algunas caracter sticas numricas asociadas a las variables aleatoe rias que, bajo ciertas condiciones, las identican de manera unica. Esperanza La esperanza de una variable aleatoria X es un nmero denotado por E X u y que se calcula como sigue: si X es discreta con valores x0 , x1 , . . ., entonces EX
i 0
xi P X
xi ,
suponiendo que esta suma es absolutamente convergente. El nmero de u sumandos puede ser nito o innito, dependiendo del conjunto de valores de la variable aleatoria. Si X es continua con funcin de densidad f x, o entonces la esperanza es EX
xf x dx,
suponiendo que esta integral es absolutamente convergente. Si la suma o integral anteriores no cumplen esta condicin de convergencia absoluta, eno tonces se dice que la esperanza no existe. La esperanza de una variable aleatoria es entonces un nmero que indica el promedio ponderado de los u diferentes valores que puede tomar la variable. A la esperanza se le conoce tambin con los nombre de: media, valor esperado o valor promedio. En e general se usa la letra griega (mu) para denotarla. Hemos sealado que n la integral o suma arriba mencionados pueden no ser convergentes y en ese caso se dice que la variable aleatoria no tiene esperanza nita, en los ejercicios 151 y 152 pueden encontrarse ejemplos en donde se ilustra esta situacin. La esperanza es uno de los conceptos ms importantes en probao a bilidad y tiene un amplio uso en las aplicaciones y otras ramas de la ciencia. Mediante algunos ejemplos ilustraremos a continuacin la forma de calcular o este nmero. u Ejemplo 1.38 (Caso discreto) Sea X una variable aleatoria discreta con funcin de densidad dada por la siguiente tabla. o x f x -1 1/8 0 4/8 1 1/8 2 2/8
50 La esperanza de X es el nmero u E X
1. PROBABILIDAD
x f x
1 18 0 48 1 18 2 28 12.
Observe que la suma su efecta para todos los valores de x indicados en la u tabla, es decir, 1, 0, 1 y 2. Tambin es instructivo observar que la esperanza e no es necesariamente uno de los valores tomados por la variable aleatoria. En este ejemplo el valor 12 nunca es tomado por la variable aleatoria, pero es su valor esperado. Ejemplo 1.39 (Caso continuo) Considere la variable aleatoria continua X con funcin de densidad f x 2x, para x 0, 1, siendo cero fuera de o este intervalo. La esperanza de X es E X
Observe que la integral slo es relevante en el intervalo 0, 1, pues fuera de o dicho intervalo la funcin de densidad se anula. o Ejemplo 1.40 Considere una variable aleatoria continua X con funcin o de densidad f x x , para 1 x 1. Compruebe que la esperanza de esta variable aleatoria es cero. Ejemplo 1.41 Sea X una variable aleatoria discreta con posibles valores en el conjunto 1, 2, . . . , n, y tal que la probabilidad de que tome cualquiera de estos valores es 1n. Compruebe que la esperanza de X es n 12. Esperanza de una funcin de una variable aleatoria o En algunos casos es necesario calcular la esperanza de una funcin de una o variable aleatoria. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria, entonces es X 2 es una funcin de X y es tambin una variable aleatoria. o e claro que Y Si quisiramos calcular la esperanza de Y segn la denicin tendr e u o amos que calcular E Y
x f x dx
x 2x dx
0
2 3 1 x 3 0
2 . 3
y fY y dy,
51
para lo cual se necesita encontrar primero la funcin de densidad de Y , y ello o en general no es fcil. El siguiente resultado es muy util y nos dice la forma a de calcular esta esperanza conociendo unicamente la funcin de densidad o de X. A este resultado a veces se le reere como el teorema del estad stico inconsciente. Proposicin 1.10 Sea X una variable aleatoria continua y sea g : R o R una funcin tal que gX es una variable con esperanza nita. Entonces o E gX
gxfX x dx.
(1.4)
En general, la demostracin de este resultado es complicada, asi es que la o omitiremos y nos concentraremos en su uso y aplicacin. El resultado esta o enunciado en el caso continuo pero tambin es vlido en el caso discreto, en e a donde en lugar de la integral aparece una suma. X 2 , y X es la variable Ejemplo 1.42 Calcularemos E Y en donde Y aleatoria continua del ejemplo anterior, es decir, con funcin de densidad o f x 2x para x 0, 1. Por la proposicin anterior tenemos que o E Y E X 2
x2 f x dx
1
0
2x3 dx
12.
Ahora, como un ejercicio para el lector, intente encontrar la funcin de o densidad de Y y calcule E Y usando la denicin de esperanza. El resultado o debe ser nuevamente 12. Ejemplo 1.43 Sea X una variable aleatoria con funcin de probabilidad o dada por la tabla que aparece abajo.
x fX x -2 2/8 -1 1/8 0 2/8 1 1/8 2 2/8
Nos interesa calcular la esperanza de la variable aleatoria Y X 2 . Un primer mtodo consiste en calcular primero la funcin de probabilidad de la e o
52 variable Y . Esta funcin es o

y f Y y 0 2/8 1 2/8 4 4/8
1. PROBABILIDAD
Entonces usando la denicin de esperanza para variables aleatorias discreo tas tenemos que 9 2 2 4 E Y 0 1 4 . 8 8 8 4 Ahora calcularemos la misma esperanza pero usando (1.4). El resultado es el mismo. 2 1 2 1 2 9 . E Y 22 12 02 12 22 8 8 8 8 8 4 He aqu algunas propiedades generales de la esperanza. Proposicin 1.11 Sean X y Y con esperanza nita y sea c una constante. o Entonces a) E c b) E c X c) Si X d) E X c. c E X . 0, entonces E X 0. E X E Y .
La primera propiedad es evidente de demostrar pues si X es la variable aleatoria constante c, entonces por denicin, E X c P X c c 1 c. o El segundo inciso se sigue directamente de la denicin de esperanza pues o tanto en el caso de la suma como en el caso de la integral, la constante c puede siempre colocarse fuera. El tercer inciso tambin es evidente pues e cuando se cumple la hiptesis, en la integral o suma correspondiente solo o aparecern trminos que son no negativos. La ultima propiedad, en cambio, a e no es sencilla de demostrar y an en el caso discreto requiere de detalles u tcnicos que preferimos omitir. Observe que la segunda y cuarta propiedad e establecen que la esperanza es lineal, es decir, separa sumas y tambin separa e multiplicaciones por constantes.
53
Varianza Vamos ahora a denir otra caracter stica numrica asociada a las variae bles aleatorias llamada varianza. Se denota por VarX y para una variable aleatoria discreta con valores x0 , x1 , . . . se dene como sigue VarX
i 0
xi 2 f xi,
en donde es la esperanza de X y suponiendo que dicha suma es convergente. Por supuesto, cuando la variable aleatoria slo toma un nmero nito o u de valores, la suma es nita. Observe que se necesita conocer la esperanza de X para calcular su varianza. En el caso continuo, para una variable aleatoria continua X con funcin de densidad f x se dene o VarX
x 2 f x dx.
Es interesante observar que la varianza puede escribirse en ambos casos (discreto y continuo) en una sola expresin como sigue o VarX E
X 2
La varianza es una medida del grado de dispersin de los diferentes valores o tomados por la variable. Se le denota regularmente por la letra 2 (sigma cuadrada). A la ra cuadrada positiva de la varianza, esto es , se le llama z desviacin estndar. Como en el caso de la esperanza, la anterior suma o o a integral puede no existir (no ser convergente), y en ese caso decimos que la variable aleatoria no tiene varianza nita. Veamos algunos ejemplos sencillos. Ejemplo 1.44 Calcularemos la varianza de la variable aleatoria discreta X con funcin de densidad dada por la siguiente tabla. o
x f x -1 1/8 0 4/8 1 1/8 2 2/8
Recordemos primeramente que por clculos previos, a
12. Aplicando la
54 denicin de varianza tenemos que o VarX
1. PROBABILIDAD
x 2 f x
1 122 18 0 122 48 1 122 18 2 122 28

1. Ejemplo 1.45 Calcularemos la varianza de la variable aleatoria continua X con funcin de densidad f x 2x para x 0, 1. En un clculo previo o a habamos encontrado que 23. Por lo tanto, VarX
x 2 f x dx
1
0
x 232 2x dx
118.
Ahora enunciamos algunas propiedades de la varianza. Proposicin 1.12 Sean X y Y dos variables aleatorias, y sea c una conso tante. Entonces a) VarX b) Varc c) Varc X d) VarX e) f) 0. 0. c2 VarX .
c VarX . VarX E X 2 E 2 X . En general, VarX Y VarX VarY .
Demostracin. o El inciso a es evidente a partir de la denicin de o varianza pues en ella aparece una suma o integral de trminos no negativos. e Para el inciso b la constante c es una v.a. con un unico valor, de modo que
1.7. Esperanza, varianza, momentos E c c y entonces VarX VarcX E c c2 E cX
55 0. Para el inciso c tenemos que
E cX 2 E cX cE X 2 c2 E X E X 2 c2 VarX .
El inciso d se sigue del siguiente anlisis: a
c E X c2 E X E X 2 VarX . Para demostrar la propiedad e se desarrolla el cuadrado en la denicin o

de varianza, y se usa la propiedad de linealidad de la esperanza: VarX E X
VarX
E X
X, en general y por lo demostrado antes, no se Puede tomarse el caso Y cumple que Var2X 2 VarX . De estas propiedades generales se obtiene en particular que la varianza es siempre una cantidad no negativa, y que no cumple la propiedad de linealidad pues en general no separa sumas y la multiplicacin por constantes se o separa de la varianza elevndolas al cuadrado. a Ejemplo 1.46 Considere una variable aleatoria continua X con funcin o ex , para x 0. Usando la denicin de o de densidad dada por f x esperanza y varianza puede comprobarse que E X 1, y VarX 1. Ejemplo 1.47 Sea X una variable aleatoria con varianza nita y sean a y b dos constantes. Usando las propiedades demostradas para la varianza puede vericarse la frmula o VaraX
E X 2 E X 2 2XE X E 2 X E X 2 2E X E X E 2 X E X 2 E 2 X . Finalmente para demostrar la propiedad f es suciente dar un ejemplo.
a2 VarX .
56
1. PROBABILIDAD
Momentos Finalmente denimos el n-simo momento de una variable aleatoria X, e cuando existe, como el nmero u E X n para n 1, 2, . . .
el cual se calcula, para variables aleatorias discretas, como sigue E X n
i 0
xn f xi , i
mientras que para variables aleatorias continuas la frmula es la siguiente o E X n
xn f x dx.
Observe que el primer momento es simplemente la esperanza de la variable aleatoria, y recordando la frmula VarX E X 2 E 2 X , puede decirse o ahora que la varianza es el segundo momento menos el primer momento al cuadrado. Existen interpretaciones conocidas para los primeros momentos pero es dif encontrar alguna interpretacin para todos ellos, indican, sin cil o embargo, alguna caracter stica numrica de la variable aleatoria. e Ejemplo 1.48 Considere una variable aleatoria continua con funcin de o densidad la que aparece abajo. No es difcil comprobar que el primer mo mento es cero y el segundo momento es 16.
1 1x f x
0
si 1 x 0, si 0 x 1, otro caso.
Ejemplo 1.49 El n-simo momento de una variable aleatoria continua X e con funcin de densidad f x x2, para x 0, 2, es o E X n 2n1 . n2
Denimos tambin el n-simo momento central de X, cuando existe, como e e el nmero u E X n para n 1, 2, . . .
1.8. Distribuciones de probabilidad
57
en donde E X . Observe que el segundo momento central es la varianza. Tenemos entonces que si X es una variable aleatoria discreta con valores x0 , x1 , . . ., entonces el n-simo momento de X, si existe, se calcula como e sigue E X Para el caso continuo, E X
xi n f xi . x n f x dx.
i 0
Ejemplo 1.50 Considere una variable aleatoria X con funcin de densidad o f x si 0 x 1, 2 x si 1 x 2, 0 otro caso.
Resolviendo la integral correspondiente puede encontrarse el n-simo moe mento central de esta variable aleatoria, dicho momento es E X 1 n n 1n 2 1 1n .
1.8.
Distribuciones de probabilidad
Estudiaremos a continuacin algunas distribuciones de probabilidad de vao riables aleatorias importantes. Estas distribuciones son modelos particulares para asignar probabilidades a subconjuntos de nmeros reales. Empezareu mos con las distribuciones de tipo discreto y continuaremos despus con las e de tipo continuo. Es importante sealar que presentaremos solamente una n lista parcial de algunas distribuciones, aquellas posiblemente de mayor uso, pero existen muchas mas de las que podemos mencionar en este texto. Distribucin uniforme discreta o Decimos que una variable aleatoria X tiene una distribucin uniforme discreo ta sobre el conjunto nito de nmeros x1 , . . . , xn si la probabilidad de que u X tome cualquiera de estos valores es constante 1n. Esta distribucin surge o en espacios de probabilidad equiprobables, esto es, en situaciones en donde
58
1. PROBABILIDAD
tenemos n resultados diferentes y todos ellos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Los juegos de loter son un ejemplo donde puede aplicarse esta a distribucin de probabilidad. Se escribe X unifx1 , x2 , . . . , xn , en donde o o el s mbolo se lee se distribuye como. La funcin de probabilidad de esta variable aleatoria es f x P X x 1n si x x1 , x2 , . . . , xn . 0 otro caso.
Es inmediato comprobar que la esperanza y la varianza para esta distribucin se calculan del siguiente modo: o E X y VarX 1 xi , ni 1
n
1 xi 2 . ni 1
n
Ejemplo 1.51 La grca de la funcin de probabilidad de la distribucin a o o uniforme en el conjunto 1, 2, 3, 4, 5 aparece en la Figura 1.20, junto con la correspondiente funcin de distribucin. Cada salto en la funcin de diso o o tribucin es de tamao 15. o n
f x 15 F x
5 Figura 1.20:
Ejemplo 1.52 Al generar un nmero aleatorio en una computadora dentro u del intervalo unitario 0, 1, y debido a que la precisin de la computadora o es necesariamente nita, se obtienen siempre valores dentro de un conjunto nito de elementos. Por ejemplo, si la precisin de la computadora fuera o
59
de dos decimales, entonces slo se pueden generar los nmeros : 0.00, 0.01, o u 0.02,. . ., 0.99, 1.00. La precisin de una computadora actual es claramente o mayor pero siempre es nita, y la misma situacin de imprecisin prevalece, o o es decir, en trminos prcticos se tiene una distribucin uniforme discreta. e a o Distribucin Bernoulli o Un ensayo Bernoulli se dene como aquel experimento aleatorio con unica mente dos posibles resultados, llamados genricamente xito y fracaso, con e e probabilidades respectivas p y 1 p. Si se dene la variable aleatoria X como aquella funcin que lleva el resultado xito al nmero 1 y el resultado fracaso o e u al nmero 0, entonces decimos que X tiene una distribucin Bernoulli con u o o parmetro p 0, 1, y escribimos X Berp. La funcin de probabilidad a es entonces px 1 p1x si x 0, 1. P X x 0 otro caso. La grca de la funcin de densidad de esta distribucin para p 0.7 aparece a o o en la Figura 1.21, junto con la correspondiente funcin de distribucin. En o o este caso es muy sencillo vericar que E X p y VarX p1 p. En la realizacin de todo experimento aleatorio siempre es posible preguntarnos o por la ocurrencia o no ocurrencia de un evento cualquiera. Por ejemplo, ganar o no ganar en un juego de loter que llueva o no llueva hoy por la a, tarde, etc. Este es el esquema general donde surge esta distribucin, que o aunque sencilla, es importante y de amplia aplicacin. o
f x F x
1 0.7 0.3
1 0.3 x
x 0
1 Figura 1.21:
Ejemplo 1.53 Considere el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire. Suponga que 1 y 2 son los dos resultados posibles, con probabilidades
60
1. PROBABILIDAD
p y 1 p, respectivamente. Sea X la variable aleatoria dada por X 1 1, y X 2 0. Entonces X tiene distribucin Berp. Puede usted encontrar o la distribucin de la variable 1 X? o Ejemplo 1.54 Sea el espacio muestral de un experimento aleatorio cualquiera, y sea A un evento tal que P A p 0. Sea X la variable aleatoria dada por la funcin indicadora del conjunto A, es decir, X o 1A que aparece denida abajo. Entonces X tiene distribucin Berp. o X 1A 1 si 0 si
A, A.
Distribucin binomial o Supongamos ahora que tenemos una serie de n ensayos independientes Bernoulli en donde la probabilidad de xito en cualesquiera de estos ene sayos es p. Si denotamos por E el resultado xito y por F el resultado fracae so, entonces el espacio muestral consiste de todas las posibles sucesiones de longitud n de caracteres E y F. Usando el principio multiplicativo, es fcil a ver que el conjunto tiene 2n elementos. Si ahora denimos la variable aleatoria X como aquella que cuenta el nmero de xitos en cada una de u e estas sucesiones, esto es, X EE EE X F E EE . . . X F F n, n 1, 0,
FF
entonces tenemos que X puede tomar los valores 0, 1, 2, . . . , n con las probabilidades que aparecen abajo. Decimos entonces que X tiene una distribuo cin binomial con parmetros n y p, y escribimos X binn, p. La funcin o a de probabilidad de esta variable aleatoria es f x P X x
n px 1
pnx
si x
0, 1, 2, . . . , n.
otro caso.
61
Esta frmula puede justicarse de la siguiente forma. Deseamos obtener el o evento de que en n ensayos Bernoulli aparezcan x xitos y n x fracasos. e Preliminarmente la probabilidad de este evento es el nmero u 1 p p 1 p p
x n x
px 1 pnx ,
pero hemos colocado los x xitos en los primeros x ensayos, tenemos entonces e que multiplicar por las diferentes formas en que estos x xitos pueden dise tribuirse en los n ensayos, este factor es el coeciente binomial n . Para x esta distribucin puede demostrarse que E X np, y VarX np1 p. o Ejemplo 1.55 Cuando n 10 ensayos, con probabilidad p 0.3, se puede 10 2 102 0.2334. La grca a calcular, por ejemplo, P X 2 2 0.3 0.7 de esta funcin de probabilidad con estos parmetros aparece en la Figuo a ra 1.22. f x
0.3 0.2 0.1
n p
10 0.3 x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 1.22:
Ejemplo 1.56 Un examen tiene diez preguntas y cada una de ellas tiene tres opciones como respuesta, siendo solamente una de ellas la correcta. Si un estudiante contesta cada pregunta al azar, cul es la probabilidad de que a apruebe el examen? Solucin: Si X denota el nmero de preguntas contestadas correctamente, o u entonces X tiene distribucin binn, p con n 10 y p 13. Suponiendo o la calicacin mnima aprobatoria es 6, entonces la respuesta es o P X 6
10 x 6
10 x
13x 2310x .
62
1. PROBABILIDAD
Distribucin geomtrica o e Supongamos que tenemos ahora una sucesin innita de ensayos indepeno dientes Bernoulli, en cada uno de los cuales la probabilidad de xito es p. e Para cada una de estas sucesiones denimos la variable aleatoria X como el nmero de fracasos antes de obtener el primer xito. Por ejemplo, u e
X EF F EEE X F F F EF E
X F EF EF F
1, 0, 3.
Observamos que X puede tomar los valores 0, 1, 2, . . . La probabilidad de 0 es p1 px . Decimos entonces que X que X tome el valor entero x tiene una distribucin geomtrica con parmetro p, y escribimos X geop o e a cuando su funcin de probabilidad es o f x P X x p 1 px si x 0, 1, 2, . . . 0 otro caso.
El nombre de esta distribucin proviene del hecho de que cuando escribimos o la suma de todas las probabilidades, obtenemos una suma geomtrica. Para e esta distribucin es posible demostrar que o E X y VarX 1p , p 1p . p2 0.4 se muestra en
La grca de la distribucin geomtrica de parmetro p a o e a la Figura 1.23.
Ejemplo 1.57 La inspeccin sucesiva de artculos hasta encontrar uno deo fectuoso, posiblemente en un proceso de control de calidad, puede modelarse usando una distribucin geomtrica. o e Ejemplo 1.58 Una persona participa cada semana con un boleto en un juego de lotera en donde la probabilidad de ganar el primer premio es 106 11, 000, 000. Cuntos aos en promedio debe esta persona a n p participar en el juego antes de obtener el primer premio?
63
f x 0.4 0.3 0.2 0.1 p 0.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 1.23:
Solucin: Si X denota el nmero de participaciones en el juego antes de o u obtener el primer premio, entonces X tiene distribucin geomtrica de pao e 6 . Y por lo tanto la esperanza de la variable X 1 es el rmetro p a 10 nmero promedio de semanas que deben transcurrir para obtener el primer u premio. Este nmero es u 1p p
1 p
106
1, 000, 000.
Lo que es equivalente a 19, 230 aos aproximadamente. n Ejemplo 1.59 Sea X una variable aleatoria con distribucin geop. Efeco tuando las sumas parciales de la funcin de probabilidad puede encontrarse o la correspondiente funcin de distribucin y la cual tiene la siguiente expreo o sin o
0 1
F x
P X
u x
f u
... 1
1 p1 1 1 p2
...
1 pk1
si x si 0 si 1 ... si k ...
0, x x x
1, 2, k 1,
En algunos textos se dene la distribucin geomtrica contando el nmero o e u de ensayos (no el de fracasos), antes del primer xito. En este caso la variable e es 1 X, es decir, la distribucin se desplaza hacia la derecha una unidad, o la esperanza es ahora 1p y la varianza permanece constante 1 pp2 .
64
1. PROBABILIDAD
Distribucin Poisson o Supongamos que deseamos observar el nmero de ocurrencias de un cieru to evento dentro de un intervalo de tiempo dado, por ejemplo, el nmero u de clientes que llegan a un cajero automtico durante la noche, o tal vez a deseamos registrar el nmero de accidentes que ocurren en cierta avenida u durante todo un d Para modelar este tipo de situaciones podemos denir a. la variable aleatoria X como el nmero de ocurrencia de este evento en el u intervalo de tiempo dado. Es claro entonces que X puede tomar los valores 0, 1, 2, . . ., y en principio no ponemos una cota superior para el nmero u de observaciones del evento. Adicionalmente supongamos que conocemos la tasa media de ocurrencia del evento de inters, que denotamos por la lee tra (lambda). El parmetro es positivo y se interpreta como el nmero a u promedio de ocurrencias del evento, por unidad de tiempo. La probabilidad 0 se denir a a de que la variable aleatoria X tome un valor entero x continuacin. Decimos que X tiene una distribucin Poisson con parmetro o o a 0, y escribimos X Poisson cuando P X x
x e
x!
si x
0, 1, 2, . . .
otro caso.
Puede demostrarse que la funcin f x arriba denida es efectivamente una o funcin de probabilidad para cada valor de o 0 jo. La forma de esta 2. Despus de algunos e funcin se muestra en la Figura 1.24 cuando o clculos sencillo puede tambin comprobarse que E X , y VarX . a e
f x 0.3 0.2 0.1
1 2 3 4 5 6 7 8 Figura 1.24:
65
Ejemplo 1.60 En promedio se reciben 2 peticiones de acceso a una pgina a web durante un minuto cualquiera. Utilice el modelo Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto dado a) nadie solicite acceso a la pgina. a b) se reciban mas de dos peticiones. Solucin: Sea X el nmero de peticiones por minuto, y supongamos que X o u tiene distribucin Poisson, con 2. Para el primer inciso se tiene que o P X 0 e2 20 0! 0.135 . 0 P X 1 P X 2
Para el segundo inciso, P X 2 1 P X 2 1 P X 1 e2 20 0! 21 1! 22 2!
0.323 .
Puede adems demostrarse que cuando X a binn, p y hacemos tender n a innito y p a cero de tal forma que el producto np se mantenga constante igual a , entonces la variable aleatoria X adquiere la distribucin Poisson o con parmetro . Este resultado sugiere que cuando n es grande, la disa tribucin binomial puede ser aproximada mediante la distribucin Poisson o o a de parmetro np. Esto es particularmente util pues el clculo de proa babilidades de la distribucin binomial involucra el clculo de factoriales y o a ello puede ser computacionalmente dif El siguiente ejemplo ilustrar esta cil. a situacin. o Ejemplo 1.61 En promedio uno de cada 100 focos producido por una ma quina es defectuoso. Use la distribucin Poisson para estimar la probabilidad o de encontrar 5 focos defectuosos en un lote de 1000 focos. Solucin: Sea X el nmero de focos defectuosos en el lote de 1000 focos. o u 1000 y p 1100. Nos Entonces X tiene distribucin binn, p con n o piden calcular P X 5
1000 5
11005 99100995
np e10 105 5!
0.0374531116 . 10,
Usando la aproximacin Poisson, con o P X 5
1000100
0.0379841747 .
66
1. PROBABILIDAD
Hemos denido a la variable aleatoria Poisson como el nmero de ocurrenu cias de un cierto evento dentro de un intervalo de tiempo dado, supongamos de longitud unitaria, 0, 1. Suponga ahora que nos interesa observar las ocurrencias del evento en un intervalo de longitud diferente, por ejemplo 0, t, con t 0. Tal conteo de ocurrencias tambin sigue una distribucin e o 2, entonces el Poisson pero esta vez de parmetro t. Por ejemplo, si t a nmero de ocurrencias del evento en el intervalo 0, 2 tiene distribucin u o o Poisson2. El siguiente ejemplo ilustra esta situacin. Ejemplo 1.62 El nmero de aviones que llegan a un aeropuerto internau cional tiene una distribucin Poisson con una frecuencia de 3 aviones cada o 10 minutos. Es decir, la unidad de medicin del tiempo son diez minutos. o Entonces a) La probabilidad de que no llegue ningn avin en un periodo de 20 miu o nutos (dos unidades de tiempo) es P X 0, con 3 2 6. b) La probabilidad de que llegue slo un avin en el minuto siguiente es o o P X 1, con 3 110 310. c) La probabilidad de que lleguen dos o mas aviones en un periodo de 15 minutos es P X 2, con 3 1.5 4.5. Distribucin binomial negativa o Consideremos nuevamente el experimento de llevar a cabo una sucesin de o ensayos independientes Bernoulli, en cada uno de los cuales la probabilidad de xito es p. Sea r un parmetro jo que toma alguno de los valores 1, 2, . . .. e a Si la variable aleatoria X cuenta el nmero de fracasos antes de obtener u el r-simo xito, entonces decimos que X tiene una distribucin binomial e e o negativa con parmetros r y p, y escribimos X bin negr, p. Es claro que a la variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, . . . con probabilidades como indica su funcin de probabilidad dada por o f x P X x
r
x 1 pr 1 px
x
si x
0, 1, 2, . . .
otro caso.
En esta frmula aparece el trmino pr pues la sucesin de ensayos Bernoulli o e o no concluye sino hasta obtener r xitos. Podemos tener un nmero variable e u

67
de fracasos, de ah el trmino 1 px , y nalmente el factor rx1 que e x nos dice las diferentes formas en que los r xitos pueden aparecer en los e r x 1 ensayos realizados antes del ultimo, que necesariamente fue un xito. La grca de esta funcin aparece en la Figura 1.25 cuando los valores e a o de los parmetros son r 3 y p 0.2. a
f x
0.06 0.04
0.02 x r p 3 0.2
10 15 20 Figura 1.25:
25
30
Es claro que esta distribucin es una generalizacin de la distribucin geoo o o a mtrica, la cual se obtiene tomando r 1. Se puede adems demostrar que e E X r 1 pp y VarX r 1 pp2 . Ejemplo 1.63 Se lanza repetidas veces una moneda honesta, cuyos dos resultados son cara y cruz. Cul es la probabilidad de obtener la tercera cruz a en el quinto lanzamiento? Solucin: Sea X el nmero de caras (fracasos) o u antes de obtener la tercera cruz. Entonces X bin negr, p con r 3, 6 125 p 12, y nos preguntan P X 2. Por lo tanto, P X 2 2 1532 0.46875 . El nombre de la distribucin binomial negativa surge del siguiente hecho. La o denicin de coeciente binomial puede extenderse para cualquier nmero o u real a, y cualquier entero natural x de la siguiente manera. Se dene

a x
aa 1 a x 1 x!
Puede entonces demostrarse la identidad
nx1 x
n. 1 x
x
68
1. PROBABILIDAD
De esta frmula adquiere su nombre esta distribucin. o o Distribucin hipergeomtrica o e Supongamos que tenemos un conjunto de N objetos de los cuales K son de una primera clase y N K son de una segunda clase. Supongamos que de este conjunto tomamos una muestra aleatoria de tamao n, la muesn tra es sin reemplazo y el orden de los objetos seleccionados no importa. El espacio muestral de este experimento consiste de todas las posibles muestras de tamao n que se pueden obtener conjunto mayor de tamao N . n del n N La cardinalidad del espacio muestral es n . Si para cada muestra denimos la variable aleatoria X como el nmero de objetos de la primera clase u contenidos en la muestra seleccionada, entonces X puede tomar los valores K. La probabilidad de que X tome un va0, 1, 2, . . . , n, suponiendo n lor x estar dada por la frmula que enunciamos a continuacin. Decimos a o o que X tiene una distribucin hipergeomtrica con parmetros N , K y n, y o e a escribimos X hipergeoN, K, n si P X

K N K x nx
N n
si x
0, 1, . . . , n,
otro caso.
El trmino K nos dice las diferentes formas en que de los K objetos de e x la primera clase se pueden escoger x de ellos, y el trmino N K es nuee nx vamente las diferentes formas de escoger n x objetos de la totalidad de N K objetos de la segunda clase. Usamos el principio multiplicativo para obtener el nmero total de muestras diferentes en donde x objetos son de u la primera clase y n x objetos son de la segunda clase. La grca de esa ta funcin de densidad para ciertos valores de los parmetros aparece en o a nK N , y la Figura 1.26. En este caso es posible comprobar que E X VarX n K N NK N n . N N 1 Con esto concluimos la revisin de algunas distribuciones de probabilidad de o tipo discreto. Ahora estudiaremos algunas distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas. No construiremos estas distribuciones a partir de experimentos aleatorios particulares como en el caso de algunas de las distribuciones discretas, mas bien, las deniremos sin mayor justicacin. En o algunos casos mostraremos la forma de obtener estas distribuciones a partir

f x 0.4 0.3 0.2 0.1 x N K n 20 7 5
69
2 3 4 Figura 1.26:
de considerar ciertas funciones de variables aleatorias conocidas. Algunos usos y aplicaciones de estas distribuciones sern mostrados en la segunda a parte del texto correspondiente al tema de estad stica. Distribucin uniforme continua o Decimos que una variable aleatoria X tiene una distribucin uniforme cono unifa, b, cuando su funcin o tinua en el intervalo a, b, y escribimos X de densidad es 1 si x a, b, ba f x 0 otro caso. La grca general de esta funcin se muestra en la Figura 1.27(a), y es a o evidente que se trata de una funcin de densidad pues es no negativa e o integra uno. En este caso es muy fcil encontrar la correspondiente funcin a o de distribucin, y sta se muestra en la Figura 1.27(b). Los parmetros de o e a esta distribucin son los nmeros a y b. Es fcil vericar que o u a VarX E X
a b2, b a2 12.
Observe que la esperanza corresponde al punto medio del intervalo a, b. Adems la varianza o dispersin crece cuando a y b se alejan uno del otro, y a o por el contrario, cuando estos parmetros estan muy cercanos, la varianza a es pequea. Esta distribucin es una de las ms sencillas, y sea usa naturaln o a mente para cuando no se conoce mayor informacin de la variable aleatoria o de inters, excepto que toma valores continuos dentro de cierto intervalo. e
70
f x 1 ba x a (a) b a 1 F x
1. PROBABILIDAD
x b (b)
Figura 1.27: Ejemplo 1.64 En el experimento aleatorio terico de generar un nmero o u al azar X en el intervalo unitario 0, 1 se considera regularmente que X tiene distribucin uniforme en dicho intervalo. o Ejemplo 1.65 Integrando la funcin de densidad uniforme en el intervalo o a, b, desde menos innito hasta un punto x cualquiera, puede encontrarse la funcin de distribucin, la cual tiene la siguiente expresin y cuya grca o o o a se muestra en la Figura 1.27(b). F x
0
xa ba 1
si x si a si x
a, x b. b,
Distribucin exponencial o Decimos que una variable aleatoria continua X tiene una distribucin expoo nencial con parmetro 0, y escribimos X exp, cuando su funcin a o de densidad es ex si x 0, f x 0 si x 0. La grca de esta funcin cuando el parmetro toma el valor particular 3 a o a se muestra en la Figura 1.28(a). La correspondiente funcin de distribucin o o aparece a su derecha. Es muy sencillo vericar que la funcin f x arriba o denida es efectivamente una funcin de densidad para cualquier valor del o parmetro a 0. Se trata pues de una variable aleatoria continua con
71
conjunto de valores el intervalo 0, . Aplicando el mtodo de integracin e o por partes puede tambin comprobarse que E X 1, y VarX 12 . e Esta distribucin se usa para modelar tiempos de espera para la ocurrencia o de un cierto evento.
f x F x 1
3 2 1 1
(a) 3 x
1
(b)
Figura 1.28:
Ejemplo 1.66 Suponga que el tiempo en minutos que un usuario cualquiera permanece revisando su correo electrnico sigue una distribucin exponeno o cial de parmetro 15. Calcule la probabilidad de que un usuario cualquiera a permanezca conectado al servidor de correo a) menos de un minuto. b) mas de un ahora. Solucin. Sea X el tiempo de coneccin al servidor de correos. Para el o o primer inciso tenemos que P X Para el segundo inciso, P X 60
60
1
0
15 ex5 dx
0.181 .
15 ex5 dx
0.0000061 .
Ejemplo 1.67 Sea X una variable aleatoria con distribucin exp. Inteo grando la funcin de densidad desde menos innito hasta una valor arbio trario x se encuentra la funcin de distribucin. La grca de esta funcin o o a o
72
1. PROBABILIDAD
se muestra en la Figura 1.28(b) y tiene la siguiente expresin. o F x 1 ex si x 0 si x 0, 0.
Distribucin gamma o La variable aleatoria continua X tiene una distribucin gamma con paro a 0 y 0, y escribimos X gamman, , si su funcin de o metros n densidad es n1 x ex si x 0, n f x 0 si x 0. La grca de esta funcin de densidad para varios valores de los parmea o a tros se muestra en la Figura 1.29, y a partir de la expresin anterior puede o observarse que los posibles valores para una variable aleatoria con esta distribucin son aquellos nmeros dentro del intervalo 0, . o u
f x 5 4 1/2 3 1/2 n 5 n 7 n 10 f x
4
5
6 Figura 1.29:
4
3
(a) n
(b)
En la expresin anterior aparece el trmino n. Esta es la funcin gamma o e o que se dene como la siguiente integral n
tn1 et dt,
73
para cualquier nmero real n tal que esta integral sea convergente. Esta u funcin no es el tipo de funciones a las que estamos acostumbrados en los o cursos de matemticas elementales, en donde regularmente se conoce la a expresin exacta de una cierta funcin y se utiliza esta expresin para evao o o luarla. En este caso, para evaluar la funcin gamma es necesario substituir el o valor de n en el integrando y efectuar la integral innita. Afortunadamente no evaluaremos esta integral para cualquier valor de n, slo para algunos o pocos valores, principalmente enteros, y nos ayudaremos de las siguientes propiedades que no son dif ciles de vericar. a) n 1 b) n 1 c) 2 d) 12 n n. n! si n es entero. 1.
1 .
El nombre de esta distribucin se deriva del hecho de que en su denicin o o aparece la funcin gamma. Observemos adems que la distribucin expoo a o nencial es un caso particular de la distribucin gamma. En efecto, si en la o distribucin gamma tomamos el parmetro n igual a 1, obtenemos la diso a tribucin exponencial con parmetro . Resolviendo un par de integrales se o a puede demostrar que E X n, y VarX n2 . Distribucin beta o Decimos que la variable aleatoria continua X tiene una distribucin beta o con parmetros a a 0 y b 0, y escribimos X betaa, b, cuando su funcin de densidad es o f x

1 xa1 1 xb1 si x 0, 1, B a, b 0 otro caso.
El trmino B a, b se conoce como la funcin beta, y de all adquiere su e o nombre esta distribucin. La funcin beta se dene como sigue o o B a, b
1
0
xa1 1 xb1 dx,
74
1. PROBABILIDAD
para nmeros reales a u 0 y b 0. Esta funcin est relacionada con la o a funcin gamma, antes mencionada, a travs de la identidad o e B a, b ab . a b
Vase la seccin de ejercicios para una lista de propiedades de esta fune o aa b, y cin. Para la distribucin betaa, b se tiene que E X o o 2 . La grca de la funcin de densidad VarX aba b 1a b a o para la distribucin beta se muestra en la Figura 1.30, para distintos valoo res de los parmetros a y b. a
f x a b 4 4
Figura 1.30:
Distribucin Weibull o La variable aleatoria continua X tiene una distribucin Weibull con paro a metros 0 y 0 si su funcin de densidad est dada por la siguiente o a expresin o ex x1 si x 0, f x 0 otro caso. A la constante se le llama parmetro de forma, y a se le llama parmetro a a a o de escala. Se escribe X Weibull, . La grca de la funcin de densidad para varios valores de los parmetros se encuentra en la Figura 1.31. a La distribucin Weibull se ha utilizado en estudios de conabilidad y durao bilidad de componentes electrnicos y mecnicos. El valor de una variable o a aleatoria X con esta distribucin puede interpretarse como el tiempo de vio da util que tiene un componente en particular. Despus de algunos clculos e a

f x f x
75
1 1 1 2
4 3 2 1
x
8 5 2
x
3 Figura 1.31: 2
puede encontrarse que la esperanza y varianza de este tiempo de vida util son E X y VarX 1 1 1, 1 1 2 21 1. 2
Por otro lado, llevando a cabo un cambio de variable puede demostrarse que la correspondiente funcin de distribucin es o o F x 1 ex 0
si x
0,
otro caso.
Cuando el parmetro toma el valor uno, la distribucin Weibull se reduce a o a la distribucin exponencial de parmetro . o a Distribucin normal o Esta es posiblemente la distribucin de probabilidad de mayor importancia. o Decimos que la variable aleatoria continua X tiene una distribucin normal o si su funcin de densidad est dada por la siguiente expresin o a o f x 1 2 2 ex
2
22 ,
76
1. PROBABILIDAD
en donde R y 0 son dos parmetros. Escribimos entonces X a 2 . La grca de esta funcin de densidad tiene forma de campana N, a o como se puede apreciar en la Figura 1.32, en donde se muestra adems el a signicado geomtrico de los dos parmetros. e a
f x
Figura 1.32: Es claro que los posibles valores de una variable aleatoria con esta distribucin es la totalidad de los nmeros reales. Por otro lado, no es dif o u cil , y ello signica que la campana esta centrada demostrar que E X en este valor, el cual puede ser negativo, positivo o cero. Tambin puede e demostrarse que VarX 2 , y que la distancia del punto a cualquiera de los dos puntos en donde la funcin tiene puntos de inexin es , por o o lo tanto la campana se abre o se cierra de acuerdo a la magnitud de este parmetro. a Distribucin normal estndar o a En particular, decimos que la variable aleatoria X tiene una distribucin o normal estndar si tiene una distribucin normal con parmetros 0 y a o a o o 2 1. En este caso la funcin de densidad se reduce a la expresin f x 1 2 ex 2 . 2
Es posible transformar una variable aleatoria normal no estndar en una a estndar mediante la siguiente operacin. a o
77
Proposicin 1.13 Sea X una variable aleatoria con distribucin normal o o 2 . Entonces la siguiente variable aleatoria tiene una con parmetros y a distribucin normal estndar. o a Z X
(1.5)
Al procedimiento anterior se le conoce con el nombre de estandarizacin, y o bajo tal transformacin se dice que la variable X ha sido estandarizada. Es o comn usar la letra Z para denotar una variable aleatoria con distribucin u o normal estndar, y seguiremos nosotros tambin esa costumbre. Se deja coa e mo ejercicio al lector vericar que realmente la variable aleatoria Z tiene 0 y VarZ 1. Este resultado una distribucin normal, y que E Z o parece muy modesto pero tiene una gran importancia operacional pues establece que el clculo de las probabilidades de una variable aleatoria normal a cualquiera se reduce al clculo de las probabilidades para la normal estndar. a a Explicaremos ahora con ms detalle esta situacin : suponga que X es una a o variable aleatoria con distribucin N, 2 , y que deseamos calcular, por o ejemplo, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo a, b, es u decir, P a X b, para a b nmeros dados. Tenemos entonces que Pa X b Pa a P a P X b X b b Z .
La igualdad de estas probabilidades es consecuencia de la igualdad de los eventos correspondientes. De esta forma una probabilidad que involucra a la variable X se ha reducido a una probabilidad que involucra a Z. Funcin de distribucin N0, 1 o o Es comn denotar a la funcin de distribucin de una variable aleatoria con u o o distribucin normal estndar Z como x, es decir, o a
78
x
1. PROBABILIDAD
P Z
1 2 eu 2 du, 2
cuyo signicado geomtrico se muestra en la Figura 1.33(a). Seguramente el e lector se sorprender al enterarse que, sin importar el mtodo de integracin a e o que se utilice, no es posible resolver esta integral y encontrar una expresin o exacta para x. Puede usted intentar resolver esta integral si lo desea y vericar la dicultad del problema. En la prctica lo que se hace es usar a mtodos numricos para encontrar aproximaciones de x para distintos e e valores de x. En la parte nal del texto aparece una tabla con estos valores aproximados. Cada rengln de esta tabla corresponde a un valor de x hasta o el primer d gito decimal, las distintas columnas corresponden al segundo d gito decimal. El valor que aparece en la tabla es x. Por ejemplo, el rengln marcado con 1.4 y la columna marcada con 0.05 corresponden al o valor x 1.45, tenemos entonces que 1.45 0.9265 . Abajo aparecen algunos ejemplos que ilustran el uso de esta tabla. Observe adems que a para x 3.5, la probabilidad x es muy cercana a uno, es decir, para esos valores de x la campana prcticamente ha decaido a cero en el lado derecho. a Esto quiere decir que, con probabilidad casi idndica a uno, los valores que e toma una variable aleatoria normal estndar estn comprendidos entre -3.5 a a y +3.5.
f x x f x
x x (a) (b)
Figura 1.33: Ejemplo 1.68 Use la tabla de la distribucin normal estndar para como a
1.8. Distribuciones de probabilidad probar que b) 1.65 a) 1.65 0.9505 . 0.0495 . 0.1587
79
c) 1
Ejemplo 1.69 Use la tabla de la distribucin normal estndar para encono a trar el valor de x tal que a) x b) x 0.3 0.75 Respuesta: x Respuesta: x
0.53 .
0.68 .
Ejemplo 1.70 Sea X con distribucin N5, 10. Use el proceso de estandao rizacin y la tabla de la distribucin normal estndar para comprobar que o o a a) P X c) P X b) P 0 7 X 10 5 0.7357 . 0.2357 . 0.0571 .
A partir del hecho de que si X tiene distribucin normal estndar, eno a e o a tonces la variable X tambin tiene distribucin normal estndar, puede demostrarse que x 1 x. Un argumento geomtrico tambin puede utilizarse para darse cuenta de e e la validez de esta igualdad. En particular, este resultado ayuda a calcular o valores de x para x negativos en tablas de la distribucin normal como la presentada al nal del texto en donde slo aparecen valores positivos para x. o A continuacin deniremos el nmero z , el cual ser usado con regularidad o u a en la segunda parte del texto. Notacin z . Para cada valor en el intervalo 0, 1, el nmero z denoo u tar el punto en el eje real para el cual el rea bajo la curva a la derecha a a de z es . Esto es, z 1 . El signicado geomtrico del nmero z se muestra en la Figura 1.33(b). e u
80
1. PROBABILIDAD
Ejemplo 1.71 Usando la tabla de la distribucin normal estndar puede o a comprobarse que, de manera aproximada, a) z0.1 1.285 . b) z0.2 0.845 . Acerca de la distribucin normal tenemos el siguiente resultado de suma o importancia, y cuya amplia gama de aplicaciones ilustraremos por el momento con unicamente un par de ejemplos. En la segunda parte del curso veremos algunos otros ejemplos y situaciones que se presentan en el estudio de la estad stica matemtica, en donde se usa este resultado para aproximar a y simplicar el clculo de algunas probabilidades. El teorema menciona el a concepto de independencia de varias variables aleatorias, el cual ser revisaa do ms adelante en la pgina 105. Dicho concepto est estrechamente ligado a a a al concepto de independencia de eventos estudiado antes. Teorema 1.3 (Teorema central del l mite) Sea X1 , X2 , . . . una sucesin innita de variables aleatorias independientes e idnticamente diso e 2 . Entonces la funcin de distribuidas, con media y varianza nita o tribucin de la variable aleatoria o Zn
X1 Xn n
n 2
tiende a la funcin de distribucin normal estndar cuando n tiende a o o a innito.
En trminos matemticos este resultado establece que para cualquier nmero e a u real x, l FZn x FZ x, m
n
sin importar la distribucin de las variables X1 , X2 , . . ., as es que stas o e pueden tener distribucin Bernoulli, binomial, exponencial, gamma, etc., en o general pueden ser discretas o continuas, y siempre se tendr que Zn tiene a una distribucin aproximada normal estndar. Esto nos permitir aproximar o a a probabilidades de eventos que involucren sumas de variables aleatorias en trminos de probabilidades de la distribucin normal estndar. Observe que e o a
1.8. Distribuciones de probabilidad dividiendo el numerador y denominador entre n, y deniendo X Xnn, la variable Zn puede escribirse de la siguiente forma Zn X
81
X1
. 2 n
Ejemplo 1.72 Se lanza una dado repetidas veces y sean X1 , X2 , . . . los resultados de estos lanzamientos. Es razonable suponer que estas variables aleatorias son independientes y con idntica distribucin uniforme en el e o conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6. En particular, la esperanza es 3.5 y la varian 6. za es 2 2.91 Sabemos que el promedio parcial X X1 Xn n se aproxima a la media 3.5 conforme n crece. Cuntas veces debe lanzarse a se encuentre entre 3 y 4 con una probabilidad el dado de tal forma que X de 0.99? Solucin. Se busca el valor de n tal que o P 3 X 4 0.99 .
Restando en cada lado de las desigualdades la media y dividiendo entre 2 n, la igualdad anterior es equivalente a la ecuacin o P 3 3.5 2 n X
3.5 2 n
4 3.5 2 n
0.99 .
Por el teorema central del lmite, la probabilidad indicada es aproximada 2 n Z 0.5 2 n, en donde Z es una vamente igual a P -0.5 riable aleatoria con distribucin normal estndar. Es decir, tenemos ahora o a la ecuacin o 0.5 -0.5 0.99 . 2 n 2 n De tablas de la distribucin normal estndar puede vericarse que el valor o a de x tal que x x 0.99 es x 2.58 . De este modo se tiene que 0.5 2 n 2.58, de donde se obtiene n 226.5 . Ejemplo 1.73 Se desea construir un estacionamiento de coches para un conjunto de 200 departamentos que se encuentran en construccin. Supono ga que para cada departamento, el nmero de automviles ser de 0, 1 o u o a 2, con probabilidades 0.1, 0.6 y 0.3, respectivamente. Se desea que con una
82
1. PROBABILIDAD
certeza del 95 % haya espacio disponible para todos los coches cuando los departamentos se vendan. Cuntos espacios de estacionamiento deben consa truirse? Solucin. Sean X1 , . . . , X200 las variables aleatorias que denotan el nmero o u de automviles que poseen los futuros dueos los departamentos. Podemos o n suponer que estas variables aleatorias discretas son independientes unas de otras y todas ellas tienen la misma distribucin de probabilidad: P X o 0 0.1, P X 1 0.6, y P X 2 0.3. De esta forma la vao riable aleatoria suma X1 X200 denota el total de automviles que habr en el complejo de departamentos. Se desconoce la distribucin de esa o ta variable aleatoria, sin embargo se desea encontrar el valor de n tal que P X1 X200 n 0.95 . Haremos uso del teorema central del lmite para resolver este problema, y para ello se necesita calcular la esperanza y varianza de X. Puede comprobarse que E X 1.2 y VarX 0.36 , cantidades que denotaremos por y 2 respectivamente. La ecuacin planteada o es entonces P X1 X200 n 0.95 , en donde la incgnita es el valor de n. Restando en ambos lados de la deo sigualdad 200 y dividiendo entre 200 2 , la ecuacin anterior es equivao lente a X1 X200 200 n 200 P 0.95 . 2 200 200 2 Por el teorema central del lmite, la probabilidad indicada es aproximada a o n 200 200 2 . De este modo tenemos ahora la ecuacin n 200 200 2
0.95 .
Observe que la variable aleatoria del lado izquierdo de la desigualdad y cuya distribucin de probabilidad se desconoce y en general es difcil conocer, se o ha aproximado por una variable aleatoria normal estndar, y all radica la a utilidad del teorema central del lmite. De la tabla de la distribucin normal o podemos ahora vericar que el valor de x tal que x 0.95 es x 1.65. De este modo se llega a la igualdad n 200 200 2 1.65 , de donde se obtiene que n 253.99 . Es decir, el tamao del estacionamiento debe ser n de aproximadamente 254 lugares.
83
Distribucin ji-cuadrada o Decimos que la variable aleatoria continua X tiene una distribucin jio cuadrada con n grados de libertad (n entero positivo), si su funcin de o densidad est dada por la siguiente expresin a o f x

1 n2 0
n2
1 2
xn21 ex2 si x si x
0, 0.
Se trata de una variable aleatoria continua con posibles valores en el intervalo 0, . Esta distribucin tiene un solo parmetro denotado aqu por o a la letra n, y al cual se le llama grados de libertad. A pesar de su aparente expresin complicada, no es dif comprobar que f x es efectivamente una o cil funcin de densidad, y para ello se utiliza la denicin de la funcin gamma. o o o La grca de esta funcin de densidad para varios valores del parmetro n a o a aparece en la Figura 1.34. Escribiremos simplemente X 2 n, en donde la letra griega se pronuncia ji o tambin chi. Por lo tanto la expresin e o 2 n se lee ji cuadrada con n grados de libertad. Puede demostrarse que E X n y VarX 2n. La distribucin ji-cuadrada puede obtenerse o como indican los siguientes resultados que dejaremos sin demostrar.
f x 12 n n 1 2 n 3 n 4 x
3 4 5 6 Figura 1.34:
Proposicin 1.14 Si X o
N0, 1, entonces X 2
2 1.
84
1. PROBABILIDAD
Es decir, el cuadrado de una variable aleatoria con distribucin normal o estndar tiene distribucin ji-cuadrada con un grado de libertad. Por otro a o lado, el siguiente resultado establece que la suma de dos variables aleatorias independientes con distribucin ji-cuadrada tiene distribucin nuevamente o o ji-cuadrada con grados de libertad la suma de los grados de libertad de los sumandos. Proposicin 1.15 Si X 2 n y Y o 2 m son dos variables aleatorias o independientes, entonces X Y tiene distribucin 2 n m.
Este resultado puede extenderse al caso cuando se tienen varias variables aleatorias independientes con distribucin 2 . En particular, si X1 , . . . , Xn o son independientes con distribucin normal estndar, entonces la suma de o a 2 X 2 tiene distribucin 2 n. o los cuadrados X1 n Distribucin t o Decimos que la variable aleatoria continua X tiene una distribucin t con o n grados de libertad si su funcin de densidad est dada por o a f x n 12 1 x2nn12 , n n2
para
En tal caso se escribe X tn. La grca de esta funcin de densidad a o aparece en la Figura 1.35. Es posible demostrar que E X 0, y VarX nn 2 para n 2. La distribucin t se puede encontrar en los siguientes o contextos. Proposicin 1.16 Si X o tonces N0, 1 y Y X Y n 2 n son independientes, en-
tn.
85
f x n n n 100 3 1
0.1
4 3 2 1
1 2 Figura 1.35:
Proposicin 1.17 Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes o cada una de ellas con distribucin N, 2 . Entonces o X S n en donde X
1 n n i 1 Xi ,
tn 1,
1 n n i 1
y S2
Xi X 2.
Distribucin F o La variable aleatoria continua X tiene una distribucin F de Fisher con o parmetros 1 a 0 y 2 0 si su funcin de densidad est dada por la o a siguiente expresin o f x

1 2 1 1 2 1 21 2 x 1 1 x1 22 2 21 2 2 2 0 E X y VarX
si x si x
0, 0.
En este caso se escribe X
F1 , 2 . Se puede demostrar que 2 si 2 2, 2 2 2 22 1 2 2 si 2 4. 1 2 22 2 4
86
1. PROBABILIDAD
La distribucin F aparece como resultado de la siguiente operacin entre o o variables aleatorias. Proposicin 1.18 Sean X o independientes. Entonces 2 1 y Y X 1 Y 2 F1 , 2 . 2 2 variables aleatorias
Con esto terminamos con una revisin elemental de algunas distribuciones o de probabilidad continuas. Recuerde el lector que existen muchas mas distribuciones de este tipo, algunas ms conocidas que otras, pero todas ellas a utiles como modelos probabil sticos en las muy diversas areas de aplicacin o de la probabilidad. En la segunda parte del curso usaremos algunas de estas distribuciones al considerar algunos problemas dentro de la estad stica.
Cap tulo 2
ESTAD ISTICA
Originalmente cualquier coleccin de datos acerca de la poblacin o econom o o a de un estado era del inters exclusivo del estado, es por ello que a las e primeras colecciones de datos se les llamara estad sticas, como una derivacin o de la palabra estado. Los primeros registros de una recoleccin sistemtica o a de datos de una poblacin surgen durante el Renacimiento en las ciudades o italianas de Venecia y Florencia, y despus tales prcticas se extienden a e a otras ciudades europeas. Para mediados del siglo XVI, varios gobiernos europeos, a travs de las parroquias, llevaban registros de nacimientos, mate rimonios y decesos. De particular importancia en aquellos aos eran los n registros de decesos pues las tasas de mortalidad eran con frecuencia altas debido a las recurrentes epidemias y plagas que diezmaban de manera importante a la poblacin. Esta recoleccin de datos por parte de los gobiernos o o sigui desarollndose durante los siglos XVII y XVIII, en donde los esfuerzos o a y recursos se orientaron principalmente a obtener censos, es decir, informacin de la poblacin completa. A nales del siglo XIX, y teniendo a Francis o o Galton (1822-1911) como precursor, y a personajes como Adolphe Quetelet (1796-1874) y Florence Nightingale (1820-1910), por nombrar slo algunos, o surgen las primeras ideas para inferir informacin de toda una poblacin o o a partir de datos estad sticos parciales. Los mtodos estad e sticos y su formalizacin como teor matemtica se desarrollaron a partir de los inicios o a a del siglo XX gracias a los trabajos de Karl Pearson (1857-1936), Ronald A. Fisher (1890-1962), Egon Sharpe Pearson (1895-1980) hijo de Karl Pearson, y Jerzy Neyman (1894-1981), entre muchos otros matemticos y estad a sticos 87
88
2. ESTAD ISTICA
importantes. Hoy en d los mtodos de la estad a e stica son usados con mucha frecuencia y con bastante provecho en muy diversas reas del conocimiento a humano, sean stas cient e cas, sociales, econmicas, o de cualquier o dole. Sus mtodos y conclusiones son usados como respaldo cient e co para rechazar o aceptar armaciones, y tambin para tomar decisiones importantes tanto a e nivel personal como organizacional, incluyendo cuestiones de los gobiernos en todos sus niveles. Por otro lado, de manera cotidiana, todo ciudadano se encuentra expuesto a informacin que contiene elementos de estad o stica descriptiva a travs de los peridicos, la radio, la televisin e internet; e o o en donde es frecuente encontrar informacin resumida en forma de grcas o a y tablas, as como la presentacin del comportamiento cualitativo o cuan o titativo de ciertas variables de inters. En general es comn encontrar en e u los medios de informacin datos estad o sticos que requieren de una correcta interpretacin y una razonada evaluacin. Este es justamente el tema de ino o ters en la segunda parte de nuestro curso. Estudiaremos algunos conceptos e bsicos y ciertas tcnicas elementales de la estad a e stica matemtica. a
Florence Nightingale (Inglaterra 18201910)
Francis Galton (Inglaterra 18221911)
2.1.
Introduccin o
Supongamos que tenemos una poblacin de inters, esto es, un conjunto aro e bitrario de personas, mediciones u objetos cualesquiera, y deseamos conocer cierta informacin de esta poblacin. Debido a la imposibilidad o no cono o
2.1. Introduccion
89
veniencia de tener informacin de todos y cada uno de los elementos de la o poblacin, tomamos un pequeo subconjunto de ellos, al cual llamaremos o n muestra. Con base en esta muestra trataremos de inferir la informacin de la o poblacin en su totalidad. El llevar a cabo tal ejercicio de inferencia a partir o de informacin parcial traer consigo el riesgo de cometer errores. A pesar o a de ello, es preferible alguna informacin o armacin con conanza cercana o o al 100 % en su veracidad que ninguna informacin. El objetivo tambin es o e buscar cuanticar el posible error en nuestras armaciones y procurar que los errores tengan poca probabilidad de ocurrir.
muestra poblacin o
Figura 2.1:
Estad stica descriptiva e inferencial Daremos ahora una denicin de la estad o stica como rama de estudio y despus daremos una primera clasicacin en dos de sus quehaceres generales. e o La estad stica es la ciencia que se encarga de recolectar, organizar, resumir y analizar datos para despus obtener conclusiones a partir de ellos. De manee ra general, la estad stica puede ser dividida en dos grandes reas: estad a stica inferencial y estad stica descriptiva. La estad stica descriptiva es una coleccin de mtodos para la organizacin, resumen y presentacin de datos. La o e o o estad stica inferencial, en cambio, consiste de un conjunto de tcnicas para e obtener, con determinado grado de conanza, informacin de una poblacin o o con base en la informacin de una muestra. o
90
2. ESTAD ISTICA
2.2.
Variables y tipos de datos
Una variable es una caracter stica de inters de un elemento en una poblacin e o en estudio. Por ejemplo, si la poblacin consta de personas, los siguientes son o ejemplos de variables que podr ser de inters: edad, peso, sexo, estatura, an e estado civil, etc. Veremos a continuacin algunos criterios bajo los cuales o las variables pueden ser clasicadas. Las variables pueden ser cuantitativas, cuando se realiza una medicin y el resultado es un nmero, o pueden ser o u cualitativas, cuando solamente registran una cualidad o atributo del objeto o persona en estudio. La edad, el peso y la estatura son ejemplos de variables cuantitativas en una poblacin de personas, mientras que el sexo y el o estado civil son variables cualitativas. Variable cualitativa cuantitativa
Por otro lado, de acuerdo al nmero total de sus posibles valores, una vau riable cuantitativa puede ser clasicada como discreta cuando slo puede o tomar un nmero discreto (es decir, nito o numerable) de valores, o conu tinua, cuando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo a, b de la recta real. Variable cuantitativa discreta continua
De acuerdo con la posible relacin que pudieran guardar los valores de una o variable, se cuenta por lo menos con cuatro escalas de medicin. Las vao riables cualitativas pueden ser clasicadas de acuerdo a dos escalas: escala nominal o escala ordinal, Variable cualitativa Escala nominal Escala ordinal
Mientras que las variables cuantitativas pueden clasicarse mediante la escala de intervalo o la escala de razn. o Variable cuantitativa Escala de intervalo Escala de razn o
2.2. Variables y tipos de datos
91
Escala nominal Se dice que una variable es de tipo nominal cuando sus posibles valores no tienen alguna relacin de orden o magnitud entre ellos. Bsicamente o a los valores de este tipo de variables son etiquetas sin un orden entre ellos. Por ejemplo, si estamos estudiando una poblacin humana, a la variable o sexo podemos asignarle dos posibles valores: F para femenino, y M para masculino. Los s mbolos F y M son etiquetas arbitrarias, y no existe un orden en ellas ni podemos realizar operaciones aritmticas. La religin o la e o nacionalidad son tambin ejemplos de variables nominales. e Escala ordinal En esta escala los valores de la variable tienen un orden pero no se pueden hacer operaciones aritmticas entre estos valores pues no hay nocin de e o distancia entre ellos. Por ejemplo, para calicar las caracter sticas de un objeto podemos suponer los siguientes valores: 0=Psimo, 1=malo, 2=Rege ular, 3=Bueno, 4=Excelente. En este caso la escala de medicin es ordinal o pues existe un orden entre sus valores, pero no se puede decir, por ejemplo, que dos valores regulares, 2 2, hacen un valor excelente, 4. Escala de intervalo En este tipo de escala existe un orden entre los valores de la variable y existe adems una nocin de distancia aunque no se pueden realizar operaciones. a o No existe el valor natural cero para este tipo de escala. Por ejemplo, suponga que los valores de una cierta variable estn dados por los d del mes. Entre a as el d 10 y el d 20 hay una distancia de diez d pero no se puede decir a a as, que el d 20 es dos veces el d 10. La temperatura es otro ejemplo de este a a tipo de variable, el posible valor cero depende de la escala que se use para medir la temperatura (Celsius, Kelvin, Fahrenheit, etc.). Escala de razn o En una escala de razn la magnitud tiene un sentido f o sico y existe el cero absoluto. Por ejemplo, la variable edad en aos estudiada en una poblacin n o humana. Debemos mencionar, sin embargo, que la clasicacin de variables en alo guna de las escalas de medicin mencionadas antes puede no ser un asunto o
92
2. ESTAD ISTICA
sencillo, dicha clasicacin depender del uso que de tal variable haga el obo a servador o persona que lleva a cabo el estudio. A continuacin se muestran o algunos ejemplos de variables con distintas escalas de medicin. o Ejemplo 2.1 Para las siguientes variables determinaremos si es cualitativa o cuantitativa. Si es cualitativa, diremos si su escala de medicin es nominal o u ordinal. Si es cuantitativa, especicaremos si es discreta o continua, y diremos su escala de medicin. o a) Apreciacin o punto de vista acerca de una idea o propuesta usando la o escala: De Acuerdo, En desacuerdo, Indiferente. Esta es una variable cualitativa nominal. b) Evaluacin de un curso de acuerdo a las siguientes categoras: Acreditado, o No Acreditado, Ausente. Esta es una variable cualitativa ordinal. c) Nmero de hijos en una familia. u Esta es una variable cuantitativa, discreta, de razn. o d) Salario en unidades monetarias. Esta es una variable cuantitativa, discreta, de razn. o e) Nivel de salario en alguna de las categoras: Bajo, Medio, Alto. Esta es una variable cualitativa ordinal. f ) Longitud de un tornillo. Esta es una variable cuantitativa, continua, de razn. o g) Preferencia sexual. Esta es una variable cualitativa nominal. h) Lugar de nacimiento de una persona. Esta es una variable cualitativa nominal. i) Peso de un beb recin nacido. e e Esta es una variable cuantitativa, continua, de razn. o
2.3.
Estad stica descriptiva
Supongamos que tenemos un conjunto de datos numricos x1 , . . . , xn , que e representan mediciones de alguna variable cuantitativa de inters en un exe perimento aleatorio. Para conocer algunas caracter sticas globales de esta
2.3. Estad stica descriptiva
93
variable se pueden calcular ciertas medidas de tendencia central como la media, moda y mediana; y tambin otras medidas llamadas de dispersin e o como la varianza, la desviacin estndar y el rango. Deniremos estos cono a ceptos a continuacin, as como algunos otros relativos a la representacin o o grca de datos no agrupados. a Media La media o media aritmtica de una coleccin de datos numricos x1 , . . . , xn , e o e denotada por x, es simplemente el promedio aritmtico e x x1 xn . n
Moda La moda es el valor numrico que aparece con mayor frecuencia en el cone junto de datos. Si ningn valor se repite, se dice que no hay moda. Si existe u un unico valor con mayor nmero de repeticiones, entonces a ese valor se u le llama la moda, y el conjunto de datos se dice que es unimodal. Pueden existir, si embargo, dos o mas valores que sean los que mayor nmero de u veces se repiten, en tal caso la moda consta de esos valores, y se dice que el conjunto de datos es bimodal si hay dos valores con mayor nmero de u repeticiones. Si hay mas de dos valores con mayor nmero de repeticiones u se dice que el conjunto de datos es multimodal. Mediana Para calcular la mediana procedemos como sigue. Se ordena la muestra de nmeros x1 , . . . , xn de menor a mayor incluyendo repeticiones, y se obtiene u a n la muestra ordenada x1 , . . . , xn , en donde x1 denota el dato ms pequeo a y xn es el dato ms grande. La mediana, denotada por x, se dene como sigue 1 n n si n es par, 2 x 2 x 2 1 x x n1 si n es impar.
2
Esta denicin establece que cuando tenemos un nmero impar de datos, la o u mediana es el dato ordenado que se encuentra justo a la mitad. Y cuando tenemos un nmero par de datos, la mediana se calcula promediando los u dos datos ordenados que estn enmedio. a
94
2. ESTAD ISTICA
a) 5, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 5. La media es 0.875, las modas son 2 y 4, y la mediana es 2.
Ejemplo 2.2 Calcularemos la media, moda y mediana de cada uno de los siguientes conjuntos de datos.
b) 3.5, 2, 7.5, 3.5, 1.5, 4.5, 7.5. La media es 4.285, las modas son 3.5 y 7.5, y la mediana es 3.5. c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. La media es 5.5, no hay moda, y la mediana es 5.5.
Medidas de dispersin o Deniremos ahora algunas medidas que ayudan a cuanticar la dispersin o que puede presentar un conjunto de datos numricos x1 , . . . , xn . La varianza, e denotada por s2 , se dene como sigue s2 n1i 1
n 1
xi x2 ,
en donde x es la media muestral denida antes. La desviacin estndar es o a la ra cuadrada positiva de s2 , y se le denota naturalmente por s. El rango z es el dato ms grande menos el dato ms pequeo, es decir, xn x1 . a a n Ejemplo 2.3 Calcularemos la varianza, la desviacin estndar y el rango o a de los conjuntos de datos del ejercicio anterior. a) 5, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 5. La varianza es 13.839, la desviacin estndar es 3.720, y el rango es 10. o a b) 3.5, 2, 7.5, 3.5, 1.5, 4.5, 7.5. La varianza es 5.821, la desviacin estndar es 2.412, y el rango es 6. o a c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. La varianza es 9.16, la desviacin estndar es 3.027, y el rango es 9. o a
Grca de pastel (Pie chart) a Esta es una grca circular dividida en sectores que permite comparar via sualmente las frecuencias relativas o porcentajes de los valores de una variable. El ngulo en grados de un sector con frecuencia o porcentaje pi a
2.4. Vectores Aleatorios
95
est dado por la frmula i a o 360 pi . Por ejemplo, un equipo de futbol que en la temporada ha jugado 15 partidos, de los cuales ha perdido 5 (33.3 %), empatado 3 (20 %), y ganado 7 (46.66 %), puede representar su desempeo mediante la grca que se muestra en la Figura 2.2. n a
Juegos perdidos Juegos empatados
33.33 % 20 %
46.66 %
Juegos ganados
Figura 2.2: Hasta ahora hemos considerado conjuntos de datos numricos x1 , x2 , . . . , xn . e Pero podemos pensar que el valor x1 es la observacin o valor numrico o e tomado por una variable aleatoria X1 , x2 es la observacin de una variable o aleatoria X2 , y as sucesivamente. Esta idea nos lleva a considerar conjun tos de variables aleatorias X1 , X2 , . . . , Xn en lugar del conjunto de nmeros u x1 , x2 , . . . , xn . De esta forma X1 representa el resultado de la primera observacin, X2 es el resultado de la segunda observacin, etctera, y por lo o o e tanto desde el punto de vista matemtico no estaremos tratando con valores a numricos particulares sino con variables aleatorias, las cuales constituirn e a el elemento bsico para hacer inferencias. A estos conjuntos de variables a aleatorias los llamaremos vectores aleatorios, estudiaremos algunas de sus propiedades y conceptos relacionados en las siguientes secciones, y se ejemplicar su utilidad en lo que resta del curso. a
2.4.
Vectores Aleatorios
Esta seccin contiene una breve introduccin al tema de variables aleatorias o o multidimensionales o tambin llamadas vectores aleatorios. Para hacer la e escritura corta se consideran unicamente vectores aleatorios de dimensin o
96
2. ESTAD ISTICA
dos, aunque las deniciones y resultados que se mencionan pueden extenderse fcilmente, en la mayor de los casos, para vectores de dimensin a a o superior. Para el material que se presenta a continuacin ser provechoso o a contar con algunos conocimientos elementales del clculo diferencial e intea gral en varias variables. Vector aleatorio Un vector aleatorio de dimensin dos es un vector de la forma X, Y en o donde cada coordenada es una variable aleatoria. De manera anloga se a pueden tener vectores aleatorios multidimensionales X1 , . . . , Xn . Nuevamente diremos que un vector aleatorio es discreto, o continuo, si las todas las variables aleatorias que lo conforman lo son. Por simplicidad, consideraremos unicamente vectores aleatorios cuyas coordenadas son variables aleatorias todas discretas, o continuas, pero no mezclas de ellas. Un vector aleatorio X, Y puede considerarse como una funcin de en R2 como se o muestra en la Figura 2.3.
X, Y
R2
X , Y x, y
Figura 2.3:
Es decir, el vector X, Y evaluado en es X, Y X , Y con u posible valor x, y . Nuevamente observe que el vector con letras maysculas X, Y es el vector aleatorio, mientras que el vector con letras minscuu o las x, y es un punto en el plano. Estudiaremos a continuacin algunas funciones asociadas a vectores aleatorios, las cuales son anlogas al caso a unidimensional estudiado antes. Funcin de probabilidad conjunta o Vamos a estudiar primero el caso ms sencillo que es el discreto. Considera emos un vector aleatorio discreto X, Y tal que la variable X toma valores
97
en el conjunto x1 , x2 , . . ., y la variable Y toma valores en y1 , y2 , . . .. La funcin de densidad del vector X, Y , que se denota por f x, y , se encueno tra denida sobre R2 y toma valores en el intervalo 0, 1 de acuerdo a la siguiente denicin o f x, y P X 0 x, Y y si x, y x1 , x2 , . . . y1 , y2 , . . ., otro caso.
Es decir, el nmero f x, y es la probabilidad de que la variable X tome u el valor x y al mismo tiempo la variable Y tome el valor y. Tal funcin se o llama tambin funcin de densidad conjunta de las variables X y Y , y para e o enfatizar este hecho a veces se escribe fX,Y x, y , pero en general omitiremos los sub ndices para hacer la notacin ms corta. Toda funcin f x, y de la o a o forma anterior cumple las siguientes dos propiedades, e inversamente, toda funcin denida sobre R2 que sea cero excepto en un conjunto discreto de o parejas x, y que cumpla estas propiedades se llama funcin de probabilidad o bivariada o conjunta, sin necesidad de contar con dos variables aletorias previas que la denan. a) f x, y b)
x,y
0. 1.
f x, y
o Ejemplo 2.4 Considere el vector aleatorio discreto X, Y con funcin de densidad dada por la siguiente tabla.
xy -1 1 0 0.3 0.4 1 0.1 0.2
De este arreglo se entiende que la variable X toma valores en el conjunto 1, 1, mientras que Y toma valores en 0, 1. Adems las probabilidades a conjuntas estn dadas por las entradas de la tabla, por ejemplo, P X a 1, Y 0 0.3, esto es, la probabilidad de que X tome el valor 1 y al mismo tiempo Y tome el valor 0 es 0.3. La misma informacin puede o
98 escribirse de la siguiente manera

0.3 si x 0.1 si x 0.2 si x
2. ESTAD ISTICA
f x, y
P X
x, Y
1, 1,
1, y 1, y
y y
0, 1, 0, 1,
0.4 si x 0
otro caso.
Como todos estos valores son probabilidades, naturalmente son no negativos, o y todos ellos suman uno. Por lo tanto, f x, y es efectivamente una funcin de probabilidad bivariada. Ejemplo 2.5 Encontraremos la constante c que hace a la siguiente una funcin de probabilidad conjunta. o f x, y cxy si x, y 1, 2 1, 2, 0 otro caso.
Los posible valores del vector X, Y son 1, 1, 1, 2, 2, 1 y 2, 2, con probabilidades respectivas c, 2c, 2c y 4c. Como la suma de estas probabilidades debe ser uno, se llega a la ecuacin 9c 1, de donde se obtiene que o o c 19. Se deja como ejercicio al lector el gracar esta funcin. Funcin de densidad conjunta o Veamos ahora la situacin en el caso continuo. Sea X, Y un vector aleatorio o continuo. Se dice que la funcin integrable y no negativa f x, y : R2 o o 0, es la funcin de densidad del vector X, Y si para todo par x, y en R2 se cumple la igualdad P X x, Y y
x y
Toda funcin de densidad f x, y de estas caracter o sticas satisface las siguientes dos propiedades que son anlogas al caso discreto. a a) f x, y

f u, v dv du.
0. f x, y dx dy 1.
b)
99
Rec procamente, decimos que una funcin f x, y : R2 o 0, es una funcin de densidad conjunta o bivariada si cumple con las dos condiciones o arriba mencionadas. Ejemplo 2.6 La siguiente funcin es una de las funciones de densidad o o conjunta ms sencillas. Sean a b, c d, y dena la funcin a 1 b ad c si a x b, c y d, f x, y 0 otro caso, cuya grca aparece en la Figura 2.4. Se trata de una funcin constante en a o o el rectngulo a, b c, d. Esta funcin es de densidad pues es no negativa a e integra uno sobre R2 . f x, y
c a b
x Figura 2.4: Ejemplo 2.7 Comprobaremos que la siguiente funcin es de densidad. o f x, y xy 0 si 0 x, y 1, otro caso.
Claramente f x, y 0 para cualquier x, y R2 . Resta vericar que la funcin integra uno sobre el plano. El lector puede vericar que o

f x, y dxdy
11
0 0
x y dxdy
1 2
1 2
1.
100
2. ESTAD ISTICA
Ejemplo 2.8 Encontraremos la constante c para que la siguiente funcin o sea de densidad. f x, y cxy 0 si 0 x y 1, otro caso.
La constante c debe ser tal que la funcin f x, y sea no negativa y que su o integral sobre todo el plano sea uno. De esta ultima condicin obtenemos o que 1y 1 c c 3 f x, y dxdy cxy dxdy y dy . 8 0 0 0 2 Por lo tanto c 8.
Funcin de distribucin conjunta o o Adems de la funcin de densidad, existe la funcin de distribucin para a o o o e o un vector X, Y , sea ste discreto o continuo, y su denicin es muy semejante al caso unidimensional. La funcin de distribucin del vector X, Y , o o denotada por F x, y : R2 0, 1, se dene para cualquier par de nmeros u reales x, y como sigue F x, y P X x, Y y .
La pequea coma que aparece en el lado derecho de esta igualdad signica n y , es decir, el nmero F x, y u la interseccin de los eventos X x y Y o es la probabilidad del evento X x Y y . Ms precisamente, esta a funcin debe escribirse como FX,Y x, y , pero omitiremos los sub o ndices para mantener la notacin simple. Siempre asociaremos la variable X con el valor o x, y la variable Y con el valor y. A esta funcin se le conoce tambin con o e el nombre de funcin de acumulacin de probabilidad del vector X, Y , y o o tambin se dice que es la funcin de distribucin conjunta de las variables e o o X y Y . Enunciamos a continuacin algunas propiedades que cumple toda o funcin de distribucin conjunta. o o 1. 2.
x,y x
l F x, y m
1. 0. Anlogamente cuando es la variable y quien tiende a
l F x, y m
a menos innito.
2.4. Vectores Aleatorios 3. F x, y es continua por la derecha en cada variable.
101
o o 4. F x, y es una funcin montona no decreciente en cada variable. 5. Para cualesquiera nmeros a u b, y c d, se cumple la desigualdad 0. F b, d F a, d F b, c F a, c
Observe que las primeras cuatro propiedades son anlogas al caso unidia mensional, y puede comprobarse geomtricamente que la quinta propiedad e X b c Y d. corresponde a la probabilidad del evento a 2 0, 1 es una funRec procamente, decimos que una funcin F x, y : R o cin de distribucin conjunta o bivariada si satisface las anteriores cinco o o propiedades. En el caso continuo supondremos que la funcin de distribuo cin bivariada F x, y puede expresarse de la siguiente forma o F x, y
x y
o o en donde f x, y es una funcin no negativa y corresponde a la funcin de densidad bivariada asociada. El concepto de funcin de distribucin bivariao o da puede extenderse al caso de vectores multidimensionales de la siguiente forma. La funcin de distribucin del vector aleatorio X1 , . . . , Xn es la o o n 0, 1 dada por funcin F x1 , . . . , xn : R o F x1 , . . . , xn P X1 x1 , . . . , Xn xn . Las funciones F x, y y f x, y son equivalentes y en nuestro caso es siempre posible encontrar una a partir de la otra. Explicaremos este procedimiento a continuacin. Conociendo la funcin de densidad f x, y , se puede encono o trar la funcin de distribucin F x, y simplemente integrando en el caso o o continuo o sumando en el caso discreto. Para el caso continuo tenemos F x, y
x y
f u, v dv du,
En el caso discreto se suman todos los valores de f u, v para valores de u menores o iguales a x, y valores de v menores o iguales a y, es decir, F x, y

u xv y
f u, v dv du.
f u, v .
102
2. ESTAD ISTICA
Rec procamente, puede encontrarse la funcin f x, y a partir de F x, y o de la siguiente forma. En el caso continuo sabemos que f x, y y F x, y guardan la relacin o F x, y
x y
f u, v dv du,
y por el Teorema Fundamental del Clculo tenemos entonces que a f x, y En el caso discreto, f x, y F x, y F x, y . x y F x, y .
Funcin de densidad marginal o Sea f x, y la funcin de densidad del vector aleatorio continuo X, Y . Se o dene la funcin de densidad marginal de la variable X como la siguiente o integral f x
f x, y dy,
es decir, se integra simplemente respecto de la variable y para dejar como resultado una funcin que depende unicamente de x. Esta funcin resultante o o es la funcin de densidad marginal de X. De manera completamente anloo a ga, la funcin de densidad marginal de la variable Y se obtiene integrando o ahora respecto de la variable x, es decir, f y
o Ejemplo 2.9 Sea X, Y un vector aleatorio continuo con funcin de densidad f x, y dada por f x, y 4xy si x, y 0, 1 0 otro caso.
f x, y dx.
Es sencillo vericar que esta funcin es efectivamente una funcin de deno o sidad bivariada pues es no negativa e integra uno,

f x, y dxdy
11
0 0
4xy dxdy
1 1 2 2
1.
103
Calcularemos ahora las funciones de densidad marginales f x y f y . Para x 0, 1, f x
f x
f x, y dy
1
0
4xy dy
2x.
Por lo tanto,
2x si x 0, 1, 0 otro caso. 2y si y 0, 1, 0 otro caso.
De manera anloga, o por simetra, a f y
Es inmediato vericar que estas funciones son funciones de densidad univariadas. Observe que en este caso particular se cumple la identidad f x, y f xf y , lo cual est relacionado con el importante concepto de indepena dencia que mencionaremos ms adelante. a La denicin de funcin de densidad (o probabilidad) marginal para vectores o o discretos involucra una suma en lugar de la integral, por ejemplo, f x
f x, y ,
de manera anloga se dene la funcin de densidad (o probabilidad) marginal a o f y . Es sencillo vericar que estas funciones de densidad marginales, tanto en el caso discreto como en el continuo, son efectivamente funciones de densidad (o probabilidad) univariadas. o Ejemplo 2.10 Sea X, Y un vector aleatorio discreto con funcin de probabilidad f x, y dada por f x, y
x 2y30
0
si x, y 1, 2, 3 1, 2 otro caso.
No es difcil comprobar que esta funcin es una funcin de probabilidad o o bivariada, es decir, es no negativa y suma uno,
2 3 x x 1y 1
2y
30
1.
104
2. ESTAD ISTICA
Las funciones de probabilidad marginales f x y f y son f x

2 y 1
f x, y
8 30
si x 1, 1030 si x 2, 1230 si x 3, 0 en otro caso.

12 30
y f y
3 x 1
f x, y 1830
0
si y 1, si y 2, en otro caso.
Estas funciones son funciones de probabilidad univariadas. Un poco ms generalmente, la funcin de densidad marginal de la variable a o X1 a partir de la funcin de densidad del vector X1 , . . . , Xn es, en el caso o continuo, f x 1
f x1 , . . . , xn dx2 dxn .
De manera anloga se obtiene la funcin marginal de cualquiera de las vaa o riables que componen el vector multidimensional. Y tambin de manera e anloga se pueden calcular estas densidades marginales para vectores disa cretos de cualquier dimensin. o Funcin de distribucin marginal o o o Sea X, Y un vector aleatorio, continuo o discreto, con funcin de distribucin F x, y . La funcin de distribucin marginal de la variable X se dene o o o como la funcin o F x l F x, y , m
y
y la correspondiente funcin de distribucin marginal de la variable Y es la o o funcin o l F x, y . m F y

x
No es dif comprobar que estas funciones de distribucin marginales son cil o efectivamente funciones de distribucin univariadas. Todo lo mencionado o en estas ultimas secciones tiene como objetivo poder enunciar con precisin o
105
el concepto de independencia entre variables aleatorias. Veremos a continuacin este importante concepto que ser una hiptesis recurrente en los o a o procedimientos de la estad stica inferencial. Independencia de variables aleatorias Sea X1 , . . . , Xn una coleccin de variables aleatorias con funcin de diso o tribucin conjunta F x1 , . . . , xn . Suponga que las respectivas funciones de o distribucin marginales son F x1 , . . . , F xn . Se dice que estas variables o aleatorias son independientes si para cualesquiera nmeros reales x1 , . . . , xn u se cumple la igualdad F x 1 , . . . , x n F x1 F xn .
Alternativamente, puede denirse la independencia en trminos de la fune cin de densidad como sigue o f x 1 , . . . , x n f x1 f xn .
Nuevamente esta igualdad debe vericarse para cualesquiera valores x1 , . . ., xn . Puede demostrarse que las dos condiciones anteriores son equivalentes. En el caso particular cuando las variables aleatorias son discretas, la condicin de independencia se escribe de la forma siguiente: para cualesquiera o nmeros x1 , . . . , xn , u P X1 x1 , . . . , Xn xn P X1 x1 P Xn xn .
Ejemplo 2.11 Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con funcin o de densidad conjunta f x, y dada por f x, y exy si x, y 0, 0 otro caso. ey si y 0, 0 otro caso.
Pueden calcularse las funciones de densidad marginales y encontrar que f x ex si x 0, 0 otro caso, y f y
Se verica entonces que f x, y f xf y para cualesquiera nmeros reales u x y y, y ello demuestra la independencia de las variables X y Y .
106
2. ESTAD ISTICA
Ejemplo 2.12 Sean X y Y dos variables aleatorias discretas con funcin o de probabilidad f x, y dada por f x, y 14 si x, y 0, 1 0 otro caso.
Las funciones de probabilidad marginales son f x 12 si x 0, 1 0 otro caso, y f y 12 si y 0, 1 0 otro caso.
u Por lo tanto f x, y f xf y para cualesquiera nmeros reales x y y, y se concluye entonces que X y Y son independientes. Adicionalmente, se dice que un conjunto innito de variables aleatorias son independientes si cualquier subconjunto nito de ellas lo es. Este es el sentido en el que la sucesin innita de variables aleatorias debe entenderse en el o enunciado del Teorema Central del L mite. Covarianza Sean X y Y dos variables aleatorias con esperanza nita y con funcin de o densidad o de probabilidad conjunta f x, y . La covarianza entre X y Y es un nmero que se denota por CovX, Y y se dene como la esperanza de u la variable aleatoria X E X Y E Y . Denicin 2.1 La covarianza entre las variables aleatorias X y Y es el o nmero u CovX, Y E X E X Y E Y . Como veremos ms adelante, la covarianza est estrechamente relacionaa a da con otro concepto que se dene para dos variables aleatorias llamado coeciente de correlacin, y para el cual se cuenta con una interpretacin o o bastante clara. Dejaremos entonces la interpretacin de la covarianza en o trminos del coreciente de correlacin. Explicaremos ahora la forma de e o calcular la covarianza segn la denicin anterior. Cuando X y Y son vau o riables aleatorias discretas la covarianza se calcula de la forma siguiente CovX, Y
x,y
x E X y E Y f x, y,
107
en donde, observe, la suma es doble, se suma sobre todos los posibles valores x y tambin sobre todos los posibles valores y. En el caso cuando las variables e aleatorias son continuas se tiene que CovX, Y

x E X y E Y f x, y dxdy.
Mencionaremos a continuacin algunas propiedades generales de la covario anza. Desarrollando el producto que aparece en la denicin de covarianza y o aplicando la linealidad de la esperanza se encuentra que la covarianza puede calcularse tambin como indica la siguiente frmula e o CovX, Y E XY E X E Y .
Por otro lado, a partir de la denicin misma de covarianza, o a partir o de la frmula recin enunciada, es inmediato observar que la covarianza es o e CovY, X . Otra propiedad interesante y simtrica, es decir, CovX, Y e fcil de obtener se encuentra cuando se calcula la covarianza entre una vaa riable aleatoria X y ella misma, en este caso la covarianza se reduce a la varianza de X. Es posible demostrar tambin que si X y Y son indepene dientes, entonces CovX, Y 0. El rec proco es en general falso, es decir, el hecho de que la covarianza sea cero no implica necesariamente que las variables aleatorias en cuestin sean independientes. Por ultimo, recordeo mos que hemos mencionado que la varianza de la suma de dos variables aleatorias no es, en general, la suma de las varianzas, sin embargo se cuenta con la siguiente frmula general la cual puede ser encontrada a partir de la o denicin de varianza. o VarX
VarX VarY 2 CovX, Y .
Coeciente de correlacin o Habiendo denido la covarianza podemos ahora dar la denicin del coeo ciente de correlacin entre dos variables aleatorias. Supondremos que tales o variables aleatorias tienen esperanza y varianza nitas. Denicin 2.2 El coeciente de correlacin entre las variables aleatorias o o X y Y se dene como el nmero u X, Y CovX, Y . VarX VarY
108
2. ESTAD ISTICA
Al nmero X, Y se le denota tambin por X,Y , en donde es la letra u e griega ro. El lector puede observar inmediatamente que la diferencia entre la covarianza y el coeciente de correlacin radica unicamente en que este o ultimo se obtiene al dividir la covarianza por el producto de las desviaciones estndar de las variables aleatorias. Puede demostrarse que este cambio de a escala tiene como consecuencia que el coeciente de correlacin tome como o valor mximo 1, y como valor m a nimo 1, es decir,
X, Y
1.
Explicaremos ahora la interpretacin del coeciente de correlacin. Cuando o o X y Y son tales que X, Y 1, entonces existen constantes a y b, con a positiva tales que Y aX b, es decir, se puede establecer una dependencia lineal directa entre las dos variables aleatorias. En el otro caso extremo, cuando X, Y 1, entonces nuevamente existen constantes a y b, pero aX b. De nuevo, se trata de una ahora con a negativa, tales que Y relacin lineal entre las dos variables aleatorias pero ahora tal relacin es o o inversa en el sentido de que cuando una de las variables aleatorias crece la otra decrece. De esta forma el coeciente de correlacin es una medida del o grado de dependencia lineal entre dos variables aleatorias. Existen varias formas en que dos variables aleatorias pueden depender una de otra, el coeciente de correlacin no mide todas estas dependencias, unicamente o mide la dependencia de tipo lineal. As hemos mencionado que cuando , el coeciente de correlacin es 1, 1, la dependencia lineal es exacta. o o Como en el caso de la covarianza, puede demostrarse que si dos variables aleatorias son independientes, entonces el coeciente de correlacin es cero, o y nuevamente, el rec proco es en general falso, es decir, la condicin de que o el coeciente de correlacin sea cero no es suciente para garantizar que o las variables aleatorias sean independientes, excepto en el caso cuando las variables tienen distribucin conjunta normal. o
2.5.
Muestras aleatorias y estad sticas
En la teor estad a stica que desarrollaremos en esta parte del curso no consideraremos muestras particulares de datos numricos x1 , . . . , xn , sino cone juntos de variables aleatorias X1 , . . . , Xn . Estas variables aleatorias pueden, en particular, tomar los valores numricos mencionados. De esta manera e
2.5. Muestras aleatorias y estad sticas
109
y de forma general, estaremos considerando cualesquiera resultados que se puedan obtener al llevar a cabo un proceso de muestreo bajo algunas hiptesis adicionales que mencionaremos a continuacin. o o Denicin 2.3 Una muestra aleatoria (escribimos simplemente m.a.) es o una coleccin de variables aleatorias X1 , . . . , Xn que son independientes e o idnticamente distribuidas. e
De este modo, cuando se diga, por ejemplo, que una muestra aleatoria es tomada de una poblacin normal con media y varianza 2 , ello signica o que las variables aleatorias que forman la m.a. son independientes entre s , y todas ellas tienen la misma distribucin normal con los mismos parmeo a tros. Una muestra aleatoria constituye el elemento bsico para llevar a cabo a inferencias estad sticas. Denicin 2.4 Una estadstica es una funcin cualquiera de una muestra o o aleatoria X1 , . . . , Xn , que no depende de parmetros desconocidos. Por lo a tanto, una estadstica es una variable aleatoria.
Veremos a continuacin algunos ejemplos de estad o sticas que sern usados a con frecuencia ms adelante. a Ejemplo 2.13 Considere una muestra aleatoria X1 , . . . , Xn . La funcin X o denida como aparece abajo es un ejemplo de una estadstica, y se le conoce con el nombre de media muestral. X 1 Xi , ni 1
n
Ejemplo 2.14 La varianza muestral, denotada por S 2 , es otro ejemplo de una estadstica pues es una funcin de una muestra aleatoria denida de la o forma siguiente n 1 Xi X 2 . S2 n1i 1
110
2. ESTAD ISTICA
Ejemplo 2.15 Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria. Las siguientes variables aleatorias son ejemplos de estadsticas. 1. Xn 2. X1 3. X mxX1 , . . . , Xn . a m X1 , . . . , Xn . n Xn X1 .
2.6.
Estimacin puntual o
Sea X una variable aleatoria de inters en un experimento aleatorio, y sue pongamos que X tiene una distribucin de probabilidad con funcin de o o a a densidad f x; , en donde es el parmetro o el conjunto de parmetros de la distribucin. En esta nueva notacin se hace nfasis en que la diso o e tribucin depende de un parmetro denotado genricamente por la letra o a e griega , y el cual consideraremos desconocido. Por ejemplo, si la distribucin es exp, entonces representa el parmetro , si la distribucin es o a o a N, 2 , entonces representa el vector de parmetros , 2 . El problema de estimacin puntual consiste en encontrar un nmero, con base en las obo u servaciones realizadas de la variable aleatoria, que sirva como estimacin del o parmetro desconocido . Ilustraremos el problema con un par de ejemplos. a Ejemplo 2.16 Se desea conocer la calidad de un lote de mil artculos. Dada la imposibilidad de someter a prueba a todos ellos, se escogen 20 artculos al azar obtenindose los siguientes resultados: e 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, en donde cero indica que el artculo no pas el control de calidad y uno o indica que el artculo pas el control de calidad. Suponga que X es la varia o ble que indica si un artculo escogido al azar pasa o no pasa el control de a calidad. Entonces X tiene una distribucin Berp, en donde el parmetro o p es desconocido. Cmo podra estimarse el verdadero valor de p con base o en los datos de la muestra? Ejemplo 2.17 El tiempo en minutos que un conjunto de 10 empleados escogidos al azar invierte en trasladarse de la casa al lugar de trabajo es:
2.6. Estimacion puntual
111
30,70,65,10,25,15,5,50,20,15. Suponga que tal variable puede modelarse meo diante la distribucin exp. Cmo podra estimarse el valor de con base o en las observaciones realizadas? De esta forma, habiendo supuesto una distribucin de probabilidad para o una variable aleatoria de inters en donde la distribucin depende de un e o parmetro no especicado en su valor, el problema consiste en encontrar un a mecanismo para estimar el parmetro desconocido tomando como elementos a una serie de observaciones de la variable aleatoria. Denicin 2.5 Un estimador puntual para el parmetro es una funcin o a o de una muestra aleatoria X1 , . . . , Xn que se usa para estimar .
A un estimador del parmetro se le denota regularmente por (se lee teta a circunejo). Observe que un estimador puntual es una estad stica y puede X1 , . . . , Xn . Veremos a continuacin dos mtodos escribirse como o e para encontrar estimadores puntuales. Mtodo de mxima verosimilitud e a Este mtodo fue ampliamente popularizado a travs de los trabajos que e e public el estad o stico y genetista ingls Ronald Aylmer Fisher durante la e segunda dcada del siglo XX, aunque la idea fundamental del mtodo hab e e a sido usada con anterioridad por algunos matemticos importantes como a Gauss y Laplace. Explicaremos a continuacin el mtodo. Sea X1 , . . . , Xn o e una muestra aleatoria de una poblacin con funcin de densidad f x; . o o Esto signica que todas las variables de la muestra aleatoria tienen funcin o a de densidad f x que depende de un parmetro desconocido . Denicin 2.6 La funcin de verosimilitud de una muestra aleatoria o o X1 , . . . , Xn , denotada por L , se dene como la funcin de densidad cono junta L fX1 ,...,Xn x1 , . . . , xn ; .
112
2. ESTAD ISTICA
Ronald A. Fisher (Inglaterra 18901962)
La letra L proviene del trmino en ingls likelihood, que tradicionalmente e e se ha traducido como verosimilitud, aunque tal vez el trmino credibilidad e sea ms acertado. El mtodo de mxima verosimilitud consiste en obtener a e a el valor de que maximice la funcin de verosimilitud L . La idea intuo itiva es muy interesante: se debe encontrar el valor de de tal forma que los datos observados tengan mxima probabilidad de ocurrir. La probabia lidad de ocurrencia est dada por la funcin de verosimilitud y por ello es a o que hay que maximizarla. El valor de en donde se alcanza el mximo se a llama estimador de mxima verosimilitud, o estimador mximo veros a a mil. Ilustraremos este mtodo con algunos ejemplos. e Ejemplo 2.18 (Estimacin de un parmetro) Encontraremos el estio a mador mximo verosmil para el parmetro de una distribucin exponena a o cial. La funcin de verosimilitud es o L fX1 x1 fXn xn ex1 exn
x n en .
o Maximizar la funcin L es equivalente a maximizar la funcin ln L, o pues la funcin logaritmo es continua y montona creciente en su dominio o o de denicin. Hacemos lo anterior porque la nueva funcin resulta ms fcil o o a a de maximizar como veremos a continuacin. Tenemos que o ln L n n ln n. x
Derivando respecto a e igualando a cero se llega a la ecuacin o
n x
0,
2.6. Estimacion puntual de donde se obtiene 1x. El estimador es entonces 1X.
113
Como se ha ilustrado en el ejemplo anterior, a menudo resulta ms convea niente maximizar el logaritmo de la funcin de verosimilitud que la funcin o o de verosimilitud misma. Idntica situacin se presentar en los ejemplos que e o a a continuacin se exponen. Por otro lado, es util observar que el procedio miento de maximizacin utilizando derivadas es vlido cuando el parmetro o a a correspondiente puede tomar un continuo de valores, la funcin de verosimilo itud es diferenciable, y cuando tal mximo existe. a Ejemplo 2.19 Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblacin con o a distribucin geop. Comprobaremos que el estimador por mxima verosimilo itud para el parmetro p est dado por p a a 11 X . La funcin de o verosimilitud es L p fX1 x1 fXn xn ln Lp p 1 px1 p 1 px1 n ln p n ln1 p. x
x pn 1 pn .
Tomando logaritmo,
Derivando respecto a p e igualando a cero se llega a la ecuacin o n x 1np 0, p de donde se obtiene p 11 x. El estimador es entonces p
11 X .
Ejemplo 2.20 (Estimacin de dos parmetros) Encontraremos los eso a timadores de mxima verosimilitud para los parmetros y 2 de una disa a tribucin normal. Por denicin la funcin de verosimilitud es o o o fX1 x1 fXn xn 2 2 1 2 1 2 ex1 2 exn 2 2 2 2 2 n 1 1 ne 22 i 1xi 2 . 2 2 Nuevamente el logaritmo de esta funcin es ms sencillo de maximizar. o a Tenemos que ln L,
2
L, 2
n n 1 2 2 ln2 22 xi 2 . i 1
114 Por lo tanto ln L, 2 ln L, 2

n 1 xi , 2 i 1
2. ESTAD ISTICA
n 1 22 24
n i 1
xi 2 .
Igualando a cero ambas derivadas encontramos un sistema de dos ecuaciones con dos variables:
n 1 x i 2 i 1
0, 0.
n 22
n 1 xi 2 2 4 i 1
n n 1 1 2 2 De estas ecuaciones se obtiene i 1 xi , y i 1 xi . n n 2 de una distribucin Por lo tanto los estimadores para los parmetros y a o normal por el mtodo de mxima verosimilitud son e a
y
2
1 Xi , ni 1
n
1 Xi 2 . ni 1
n
Ejemplo 2.21 Este ejemplo tiene el objetivo de mostrar que el procedimiento de maximizar la funcin de verosimilitud para encontrar el estimador o mximo verosimil como lo hemos presentado en los ejemplos anteriores no a siempre funciona. Considere una muestra aleatoria X1 , . . . , Xn de una diso tribucin uniforme en el intervalo 0, , es decir, la funcin de densidad es o f x 1, para 0 x , en donde 0 es el parmetro a estimar. a . La funcin de verosimilitud es entonces L 1 n , para x1 , . . . , xn o a Es fcil vericar que la funcin L no tiene un mximo en el intervaa o lo 0, . Qu hacer en este caso? Con base en el argumento intuitivo e mostrado en la Figura 2.5, puede proponerse como estimador a la estadsti mxX1 , . . . , Xn . ca a
2.6. Estimacion puntual
115
x3
x1
x2
Figura 2.5: Mtodo de momentos e Este mtodo fue introducido por el estad e stico ingls Karl Pearson (n Carl e e Pearson) a principios del siglo XX. Sea nuevamente f x; la funcin de o densidad de una variable aleatoria X que depende de un parmetro desconoa cido . Recordemos que el k-simo momento poblacional de X es el nmero e u E X k , cuando esta esperanza existe. Ahora, dada una muestra aleatoria X1 , . . . , Xn de esta distribucin, se dene el k-simo momento muestral coo e 1 mo n n 1 Xik . i
Karl Pearson (Inglaterra 18571936)
El mtodo de momentos para estimar el parmetro es muy sencillo, cone a siste en igualar los momentos muestrales con los correspondientes momentos poblacionales, y resolver esta ecuacin o sistema de ecuaciones para el o parmetro cuando ello sea posible. Veamos algunos ejemplos. a Ejemplo 2.22 Nuevamente estimaremos los parmetros y 2 de una disa tribucin normal. Esta vez usaremos el mtodo de momentos. Como neceo e sitamos estimar dos parmetros usamos los dos primeros momentos. El a primer y segundo momento poblacionales son E X y E X 2 2 2 , 1 respectivamente. El primer y segundo momento muestrales son n n 1 xi y i
116
1 n n 2 i 1 xi ,
2. ESTAD ISTICA respectivamente. La igualacin respectiva produce el sistema de o 1 xi , ni 1

n
ecuaciones
2
1 2 x . ni 1 i
n
La primera ecuacin es explcita mientras que la segunda ecuacin se puede o o reescribir como sigue 2 1 2 x 2 ni 1 i
n
1 2 1 xi xi 2 ni 1 ni 1
n n
1 xi 2 . ni 1
n
En este caso los estimadores por el mtodo de momentos coinciden con los e estimadores mximo verosmiles. a
Insesgamiento Siendo un estimador una variable aleatoria que se utiliza para estimar el parmetro , es interesante saber si el valor promedio de es . Esta ser a a una buena propiedad para un estimador, y es lo que motiva la siguiente denicin. o Denicin 2.7 Un estimador del parmetro es insesgado si o a E .
Si no es insesgado, entonces se dice que es sesgado, y a la diferencia se le llama sesgo. De esta forma, un estimador puntual es un E estimador insesgado para el parmetro desconocido si, en promedio, el a valor de coincide con el valor desconocido de . En los siguientes ejemplos se muestra la forma en la que se verica la propiedad de insesgamiento a pesar de desconocer el valor del parmetro . a
2.7. Estimacion por intervalos
117
Ejemplo 2.23 Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblacin con o media desconocida . Comprobaremos que la media muestral X 1 Xi ni 1
n
es un estimador insesgado para el parmetro . Observe que X es el estia y es el parmetro desconocido . Por la propiedad de linealidad mador , a de la esperanza, E E X E 1 Xi ni 1
n
1 E Xi ni 1
n
1 ni 1
n
Ejemplo 2.24 Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblacin con o 2 . Recordemos que la varianza muestral es una esvarianza desconocida tadstica denida de la forma siguiente S2 n1i 1
n
Xi X 2 .
En este caso el estimador es S 2 y el parmetro desconocido a estimar es a 2 . Esta estadstica resulta ser un estimador insesgado para la varianza 2 . Comprobar esta armacin requiere de algunos clculos que por cuestin o a o de espacio omitimos, de modo que se deja al lector tal comprobacin, lo o unico que es necesario hacer es desarrollar el cuadrado, usar la propiedad de linealidad de la esperanza y observar que E Xi Xj 2 2
si i 2 si i
j, j.
2.7.
Estimacin por intervalos o
En algunos casos es preferible no dar un nmero como estimacin de un u o parmetro sino un intervalo de posibles valores. En esta seccin se estudia a o brevemente el tema de estimacin de parmetros usando intervalos. En este o a tipo de estimacin se busca un intervalo de tal forma que se pueda decir, o con cierto grado de conabilidad, que dicho intervalo contiene el verdadero
118
2. ESTAD ISTICA
valor del parmetro desconocido. A este tipo de intervalos se les llama ina tervalos de conanza, y fueron introducidos por el matemtico y estad a stico norteamericano de origen ruso-polaco Jerzy Neyman en 1937.
Jerzy Neyman (Moldova 18941981)
Denicin 2.8 Sea 0, 1. Un intervalo de conanza para un o parmetro desconocido de una distribucin de probabilidad es un intervalo a o aleatorio de la forma 1 , 2 , en donde 1 y 2 son estadsticas (funciones de una muestra aleatoria) tales que P 1 2 1 . (2.1)
A las estad sticas 1 y 2 se les conoce como l mites inferior y superior, respectivamente, del intervalo de conanza. Al nmero 1 se le conoce u como grado o coeciente de conanza. En general, se toma el valor de cercano a 0 de tal forma que el grado de conanza, 1 , es cercano a 1. En la prctica es comn tomar 0.05, de modo que el grado de conanza es a u 1 0.95 . Decimos entonces que el grado de conanza es del 95 %. Observe que las estad sticas 1 y 2 dependen de una muestra aleatoria X1 , . . . , Xn , de modo que al tomar estas variables aleatorias distintos valores se generan distintos intervalos de conanza. Esta situacin se ilustra en la Figura 2.6. o Observe adems que no es correcto decir la probabilidad de que perteneza a ca al intervalo 1 , 2 es 1 , pues el parmetro no es el elemento aleatorio. En cambio, se dice la probabilidad de que el intervalo 1 , 2
119
Figura 2.6: contenga el valor de es 1 . De esta forma se entiende que es constante, aunque desconocido, y el intervalo es el que cambia dependiendo de la muestra. Naturalmente el problema es encontrar 1 y 2 de tal forma que la igualdad (2.1) se cumpla. La idea general es encontrar una funcin de la o muestra y del parmetro desconocido: q X1 , . . . , Xn ; , con distribucin de a o probabilidad completamente conocida. A tal funcin se le llama cantidad o pivotal, y a partir de ella puede, en algunos casos, encontrarse un intervalo de conanza para . En los siguientes prrafos mostraremos la forma de a resolver este problema en algunos casos particulares. Intervalo para la media de una distribucin normal o con varianza conocida Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblacin normal con media o 2 . Encontraremos un intervalo de condesconocida y varianza conocida anza para el parmetro . Como cada una de las variables de la muestra tiene a n 1 distribucin N, 2 , la media muestral X o o i 1 Xi tiene distribucin n 2 n. De modo que, estandarizando, N, X n N0, 1.
En esta situacin, esta es la cantidad pivotal que nos ayudar a encontrar o a un intervalo de conanza para , y explicaremos a continuacin el procedio miento. Para cualquier valor de 0, 1 podemos encontrar un valor z2
120
2. ESTAD ISTICA
en tablas de probabilidad normal estndar, vase la Figura 2.7, tal que a e P z2 X n z2

f x
1 .
1
2
z2
z2
Figura 2.7: Despejando la constante desconocida se obtiene el siguiente resultado. Proposicin 2.1 Un intervalo de conanza para la media de una diso tribucin normal con varianza conocida 2 est dado por la siguiente exo a presin o P X z2 X z2 1 . (2.2) n n De esta forma, el intervalo X z2 n , X z2 n es un intervalo de conanza para el parmetro desconocido , pues contiene a dicho parmetro a a con probabilidad 1 . Observe que todas las expresiones que aparecen en este intervalo son conocidas. Ilustraremos la aplicacin de esta frmula o o mediante un ejemplo. Ejemplo 2.25 Suponga que la vida promedio util, medida en horas, de focos de 100 watts producidos por cierta compaa, puede ser modelada mediante n una variable aleatoria con distribucin normal de media y varianza 2 . o Suponga que la desviacin estndar es conocida y es igual a 30 horas. o a El objetivo es encontrar un intervalo de conanza para la vida promedio util de los focos producidos por esta compaa. Para ello se toma una n
121
muestra de 20 focos y mediante pruebas de laboratorio se determina la vida util de cada uno de ellos. Los resultados x1 , . . . , x20 arrojan una me dia muestral x de 1050 horas. Si consideramos un nivel de conanza del 95 %, es decir, 0.05, de la tabla de probabilidad normal se encuentra que z2 z0.025 1.96, y entonces puede ahora calcularse el intervalo
x z2
, x z2 n n
1050 1.96 30 , 1050 1.96 20 1050 13.148, 1050 13.148 1036.852, 1063.148.
30 20
De esta forma, con una conanza del 95 %, podemos armar que la vida promedio util de este tipo de focos es de 1050 13.148 horas. Observe que la longitud del intervalo aleatorio que aparece en (2.2) es 2z2 . n
De aqu pueden obtenerse varias observaciones interesantes. Primero, la lon gitud del intervalo decrece conforme el tamao de la muestra crece, es decir, n mientras mayor informacin se tenga ms preciso es el intervalo. Adems, si o a a la conanza requerida crece, es decir, si 1 aumenta, entonces z2 crece, vase la Figura 2.7, y por lo tanto la longitud del intervalo tambin crece. e e Ejemplo 2.26 Un intervalo de conanza al 90 % para la media de una poblacin normal con 5 cuando se ha tomado una muestra de tamao o n 25 cuya media muestral es 60 est dado por a
x z2
, x z2 n n
60 1.65 5 , 60 1.65 25 58.35, 61.65.
5 25
Intervalo para la media de una distribucin normal o con varianza desconocida Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribucin normal con media o 2 . El resultado terico desconocida pero ahora con varianza desconocida o
122
2. ESTAD ISTICA
fundamental en la siguiente derivacin es que la variable aleatoria o T X S n
tiene una distribucin t con n 1 grados de libertad. Observe que esta es la o distribucin exacta de la variable T , sin importar el tamao de la muestra y o n sobre todo, sin suponer que la varianza de la muestra es conocida. A partir de lo anterior podemos construir un intervalo de conanza para el parmetro a desconocido de forma anloga al caso normal mencionado antes. Para a cualquier valor de 0, 1 podemos encontrar un valor t2 en tablas e de probabilidad de la distribucin t de n 1 grados de libertad (vase la o Figura 2.8) tal que P t2 X S n t2 1 .
f x
2 t2
t2
2 x
Figura 2.8: Despejando la constante desconocida de la ecuacin anterior se obtiene el o siguiente resultado. Proposicin 2.2 Un intervalo de conanza para la media de una diso tribucin normal est dado por la siguiente expresin o a o PX
t2
S n
t2
S n
1 .
(2.3)
123
De este modo, el intervalo X t2 Sn , X t2 Sn es un intervalo de conanza para la media de una poblacin normal sin suponer la varianza o conocida. No lo hemos escrito de manera expl cita en la frmula anterior pero o o el valor t2 corresponde a la distribucin t con n 1 grados de libertad. Para mayor precisin se escribe tambin t2,n1 . o e Intervalo aproximado para la media de una distribucin cualquiera o Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribucin cualquiera con o media desconocida . Supongamos que el tamao n de la muestra es grande, n i.e. n 30. Entonces, por el teorema central del l mite, la variable aleatoria X , S n
tiene una distribucin aproximada normal estndar. Se puede encontrar un o a intervalo aproximado de conanza para el parmetro desconocido siguiena do el procedimiento antes mencionado. Para cualquier valor de 0, 1 podemos encontrar un valor z2 en tablas de probabilidad normal estndar a tal que P z2 X S n z2 1 .
Despejando nuevamente la constante desconocida se obtiene PX
z2
S n
z2
S n
1 .
De esta forma, el intervalo X z2 Sn , X z2 Sn es un intervalo de conanza aproximado para el parmetro desconocido pues contiene a dia cho parmetro con probabilidad 1 . Observe nuevamente que todas las a expresiones que aparecen en este intervalo son conocidas. A manera de resumen se tiene la siguiente tabla.
124
2. ESTAD ISTICA
Hiptesis o Distribucin normal con o varianza 2 conocida
Intervalo para la media P X z2
z2
S n
1 .
Distribucin normal con o varianza 2 desconocida
P X t2,n1
S n
t2,n1
1 .
Cualquier distribucin o Muestra grande, n 30
P X z2
Intervalo aproximado: S X z2 Sn n
1 .
Intervalo aproximado para una probabilidad o proporcin desconocida o Sea A un evento de inters de un experimento aleatorio cualquiera, y sea p la e probabilidad de dicho evento. Deseamos encontrar un intervalo de conanza para estimar esta probabilidad desconocida. Supongamos que se realiza una sucesin de repeticiones independientes del experimento aleatorio y que nos o interesa observar la ocurrencia (valor uno) o no ocurrencia (valor cero) del evento de inters en cada uno de estos ensayos. Sean X1 , . . . , Xn los resule tados de estas observaciones, es decir, cada una de estas variables aleatorias tiene distribucin Bernoulli de parmetro p. Sea X X1 Xn . Entonces o a X tiene distribucin binn, p. Un estimador puntual para p es p X n, en o p y Varp p1 pn. Por el teorema central del l mite, donde E p la variable aleatoria p tiene una distribucin aproximada Np, p1 pn. o Por lo tanto puede encontrarse en tablas de probabilidad de la distribucin o normal estndar un valor z2 tal que a P z2 pp p1 pn z2 1 . (2.4)
La intencin es despejar el valor de p en las desigualdades que denen a este o evento, y presentamos a continuacin tres formas en que tal tarea puede o llevarse a cabo.
2.8. Pruebas de hipotesis
125
a) Una simplicacin al problema planteado consiste substituir el denomio o nador p1 pn por la estimacin puntual p1 pn. Esto lleva a obtener el intervalo aproximado P p z2 p1 pn p p z2 p1 pn 1 .
b) Otra alternativa para despejar el parmetro p en (2.4) es usar la desiguala dad 4p1 p 1, la cual es vlida para valores de p entre cero y uno. De a esta forma se tiene la estimacin p1 pn 12 n, y en consecuencia o despejar el parmetro p de (2.4) produce el siguiente intervalo aproximado a con longitud mayor al presentado anteriormente P p z2 2 n p p z2 2 n 1 .
c) Como una tercera alternativa, observemos que el evento en cuestin puede o escribirse como p p z2 p1 pn. Elevando al cuadrado y desarrollando se llega a la desigualdad Las ra ces de esta ecuacin cuadrtica en p son p1 o a p1 z 2 n y p2 2 n1 z 2 n. Por lo tanto la ecuacin cuadrtica es no positiva o a p z cuando p1 p p2 , es decir, se tiene entonces el intervalo de conanza no simtrico e P p1 z 2 n p p2 1 z 2 n p2 z 2 n p2 p 0.
p z2n1 z2 n
1 .
2.8.
Pruebas de hiptesis o
Empezaremos ilustrando la idea bsica de una prueba de hiptesis mediante a o un ejemplo muy sencillo. Consideremos una situacin en la que se efecta o u slo uno de los siguientes dos experimentos aleatorios: se lanza un dado equio librado y se registra el nmero obtenido, o bien se lanza una moneda cinco u veces y se registra el nmero de cruces totales que se obtienen (suponiendo u que los lados de cada moneda se denominan cara y cruz). Supongamos que unicamente conocemos el resultado de uno u otro experimento, y se nos pide determinar cul de los dos experimentos se realiz con base en el nmero a o u reportado. Tenemos entonces una situacin de dos hiptesis o o H0 : Dado vs H1 : Moneda,
126
2. ESTAD ISTICA
en donde la primera hiptesis es H0 y representa la situacin en la que o o el nmero observado proviene del experimento de lanzar una dado, y la u segunda hiptesis H1 representa lo correspondiente al experimento de lanzar o una moneda cinco veces. Como unica informacin sobre este experimento o tenemos entonces un nmero dentro del conjunto 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y con u base en l debemos decidir si se llev a cabo un experimento o el otro. e o Observe que si el nmero reportado es 0, entonces con seguridad se realiu z el experimento de la moneda. Si se reporta el nmero 6, entonces con o u seguridad el dado fue lanzado. Qu decisin tomar para cualquier otro valor e o reportado? En la siguiente tabla se muestran las probabilidades de obtener los posibles nmeros bajo cada uno de los dos experimentos. u
x H0 : Dado H1 : Moneda 0 0 132 1 16 5/32 2 1/6 1032 3 1/6 1032 4 1 6 5/32 5 16 1/32 6 16 0
Debe ser claro que una estrategia natural es decidir por el experimento que tenga mayor probabilidad de producir el valor reportado. Estas probabilidades mayores se encuentran remarcadas en la tabla anterior. De esta forma 0, 2, 3, entonces se rese llega a la siguiente regla de decisin: si x C o chaza H0 , en caso contrario se acepta H0 . Por razones naturales al conjunto C se le llama regin de rechazo de la hiptesis H0 . La regla de decisin o o o anterior es razonable, sin embargo no est libre de errores, por ejemplo, si a x 2, se decide por el experimento de la moneda, pero el resultado bien 1, se decide por el dado pero pudo provenir del dado. Igualmente, si x es factible que el resultado haya sido obtenido por la moneda. Estas dos formas de cometer errores al efectuar una toma de decisin en una prueba o de hiptesis se formalizan en las siguientes deniciones. o
Denicin 2.9 (Tipos de error) o a) El error tipo I se comete cuando se rechaza H0 siendo sta verdadera. e b) El error tipo II se comete cuando no se rechaza H0 siendo sta falsa. e
127
Para el ejemplo particular anterior, las probabilidades de estos errores pueden ser calculadas del siguiente modo. P Error tipo I P Rechazar H0 H0 es verdadera P x 0, 2, 3 Se us el dado o 0 16 16 13. Por otro lado, P Error tipo II P No rechazar H0 H0 es falsa 532 532 132 0 1132. P x 1, 4, 5, 6 Se usaron las monedas
Naturalmente, si se cambia la regla de decisin modicando la regin de o o rechazo, entonces cambian las probabilidades de los errores. En un problema de decisin de este tipo se desea encontrar una regla de decisin que sea o o razonable y que tenga errores menores. Vamos ahora a estudiar pruebas de hiptesis en el contexto de la estimacin de parmetros en las distribuciones o o a de probabilidad. Denicin 2.10 Una hiptesis estadstica o simplemente hiptesis es una o o o armacin o conjetura acerca de la distribucin de una o mas variables o o aleatorias. Una hiptesis es simple si especica por completo la distribuo cin de probabilidad en cuestin, en caso contrario, la hiptesis se llama o o o compuesta.
Ejemplo 2.27 Si X tiene una distribucin binn, p, entonces la armao cin p 0.2 es una hiptesis. Si X tiene una distribucin N, 2 , eno o o o tonces la armacin 0 es otro ejemplo de hiptesis estadstica. o Ejemplo 2.28 Si X tiene una distribucin exp, entonces la armacin o o o o 5 es una hiptesis simple. Si X tiene una distribucin N, 1, entonces la armacin 0 es otro ejemplo de hiptesis simple. Si X tiene o o
128
2. ESTAD ISTICA
una distribucin Poisson, entonces 20 es una hiptesis compueso o 2 n, entonces n 5 es otro ejemplo de ta. Si X tiene una distribucin o una hiptesis compuesta. o En general, contrastaremos dos hiptesis de acuerdo al siguiente esquema y o notacin. o H0 : hiptesis nula vs H1 : hiptesis alternativa. o o Tanto la hiptesis nula (H0 ) como la hiptesis alternativa (H1 ) pueden ser o o simple o compuesta. De este modo tenemos cuatro diferentes tipos de contraste de hiptesis: simple vs simple, simple vs compuesta, compuesta vs o simple, y compuesta vs compuesta. Denicin 2.11 Una prueba de hiptesis es una regla para decidir si se o o acepta la hiptesis nula o se rechaza en favor de la hiptesis alternativa. o o
Como hemos mencionado, al tomar una decisin de este tipo se corre el riesgo o de cometer errores. Al rechazo de la hiptesis nula cuando sta es verdadera o e se le conoce como error tipo I, y a la probabilidad de cometer este primer tipo de error se le denota por la letra . En cambio, a la aceptacin de la o hiptesis nula cuando sta es falsa recibe el nombre de error tipo II, y a la o e probabilidad de cometer este segundo tipo de error se le denota por la letra . Estas deniciones de errores se resumen en la siguiente tabla.
H0 cierta Rechazar H0 Eror tipo I probabilidad Decisin o correcta H0 falsa Decisin o correcta Error tipo II probabilidad
No rechazar H0
La informacin para obtener una regla de decisin que nos lleve a rechazar o o o no rechazar un hiptesis estad o stica provendr de una muestra aleatoria de a
129
la distribucin de que se trate. Observe adems que al aceptar una hiptesis o a o no se arma que sta sea absolutamente cierta, sino simplemente que es e consistente con los datos de la muestra aleatoria y la regla de decisin. Si la o informacin de la muestra cambia, posiblemente la decisin de rechazar o no o o rechazar tambin cambie. Antes de presentar algunas pruebas de hiptesis e o particulares mencionaremos algunos trminos adicionales que se usan en e estos procedimientos. Denicin 2.12 Se le llama regin crtica a la regin de rechazo de H0 , o o o y a la probabilidad de cometer el error tipo I, esto es , se le llama tamao n de la regin crtica. A esta probabilidad se le conoce tambin con el nombre o e de nivel de signicancia.
Habiendo establecido las ideas principales y la notacin que usaremos, podeo mos ahora mostrar la forma en la que se pueden encontrar algunas reglas de decisin para ciertas pruebas de hiptesis en estad o o stica. Prueba acerca de la media de una distribucin normal o con varianza conocida Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblacin normal con media o desconocida y varianza conocida 2 . Sabemos que X tiene distribucin o 2 n. Por lo tanto N, X n N 0, 1.
Sea 0 un nmero real particular. Deseamos contrastar las hiptesis u o H0 : 0 vs H1 : 0 .
El problema es encontrar una regla para decidir cundo rechazar H0 en favor a de H1 con base en los datos de la muestra aleatoria. Cuando H0 es cierta, esto es, cuando es efectivamente 0 , tenemos que X N 0 , 2 n y por lo tanto X 0 N 0, 1. n
130
2. ESTAD ISTICA
X 0 La estad stica Z es una medida natural de la distancia entre X, n un estimador de , y su valor esperado 0 cuando H0 es cierta. Es entonces razonable rechazar H0 cuando la variable Z sea grande. Es por ello que k, para cierta tomamos como criterio de decisin rechazar H0 cuando Z o constante k. Cmo encontramos el nmero k? En una tabla de la distribuo u cin normal podemos encontrar un valor z2 tal que P Z o z2 , en donde lo determina la persona que lleva a cabo la prueba de hiptesis, o t picamente 0.1 . Vase la Figura 2.9. Este valor z2 es precisamente e la constante k buscada pues con ello se logra que la regin de rechazo sea o de tamao . n
f x
z2
z2
Regin de rechazo o
Figura 2.9:
A la variable aleatoria Z se le llama la estad stica de la prueba, y la prueba se denomina prueba de dos colas pues la regin de rechazo consta de las dos o colas de la distribucin normal que se muestran en la Figura 2.9. Llevar a o cabo esta prueba de hiptesis consiste en usar los datos de la muestra para o z2 , entonces se rechaza H0 , en encontrar el valor de Z, si resulta que Z caso contrario no se rechaza H0 . En la siguiente tabla se muestra resumida la informacin de esta prueba. o
131
Prueba: Estad stica de prueba: Regin de rechazo: o Error tipo I: Error tipo II:
H0 : 0 vs H1 : 0 X 0 Z n Z z2 , (prueba de dos colas) z2 01 z2 01 , 1 n n
0 .
Vamos a comprobar la frmula que aparece en la tabla anterior acerca del o 0 . Calcularemos la error tipo II. Sea 1 cualquier nmero tal que 1 u probabilidad del error tipo II dado que el verdadero valor de es 1 . 1 P No rechazar H0 cuando P Z z2 1 X 0 P z2 1 n X 0 z2 P 0 z2 1 n n 0 1 0 1 X 1 P z2 z2 n n n 0 1 0 z2 z2 1 . n n 1
Ejemplo 2.29 En ciertas zonas de la ciudad y durante varios aos se ha n calculado el pago por el consumo de agua suponiendo un consumo promedio de 20,000 litros mensuales en cada casa. Para determinar si tal cantidad ha cambiado, se han medido los consumos mensuales de 15 casas obtenindose e los siguientes resultados: 23456, 18325, 21982, 22371, 13292, 25073, 22601, 20930, 18788, 19162, 21442, 23935, 20320, 19095, 17421. Debe cambiar el consumo promedio mensual estimado para el clculo de los pagos o pera manecer igual? Suponga 2000. Solucin. Supondremos un modelo normal para el consumo de agua con o media desconocida y varianza conocida 2 20002 . Llevaremos a cabo la prueba de hiptesis o H0 : 20000 vs H1 : 20000.
Los datos proporcionados corresponden a los valores de una muestra aleatoria de tamao 15, y haciendo el promedio de estos valores se obtiene una n
132 media muestral X valor Z
2. ESTAD ISTICA 20546.2. La estadstica de prueba toma entonces el X 0 n 20546.2 20000 2000 15 1.0577.
Por otro lado, tomando 0.1, de la tabla de probabilidades de la distribuo cin normal se encuentra que z2 1.65. Como no se cumple la condicin o o Z z2 , la estadstica de prueba Z cae fuera de la regin de rechazo y por lo tanto no se rechaza la hiptesis H0 , es decir, no existen evidencias o para armar que el consumo de agua por casa en la zona de estudio haya cambiado. Puede tambin considerarse la prueba H0 : e 0 contra H1 : 0 llamada prueba de cola inferior pues la regin de rechazo consta de la cola o izquierda de la distribucin normal como se muestra en la Figura 2.10. Se o rechaza la hiptesis H0 slo cuando los datos de la muestra son tales que X o o se encuentra muy a la izquierda de 0 . Prueba: Estad stica de prueba: Regin de rechazo: o Error tipo I: Error tipo II: H0 : 0 vs H1 : 0 X 0 Z n Z z , (prueba de cola inferior) 1 z 01 , 1 0 n
f x
z
Regin de rechazo o
Figura 2.10:
133
Las caracter sticas de la prueba H0 : 0 contra H1 : 0 llamada prueba de cola superior se muestran en la siguiente tabla, y la regin de o rechazo se presenta en la Figura 2.11. Se rechaza la hiptesis H0 slo cuando o o la muestra provee evidencia de que X se encuentra muy a la derecha de 0 . Prueba: Estad stica de prueba: Regin de rechazo: o Error tipo I: Error tipo II: H0 : 0 vs H1 : 0 X 0 Z n Z z , (prueba de cola superior) z
0 1 n
, 1
0 .
f x
z
Regin de rechazo o
Figura 2.11:
Prueba acerca de la media de una distribucin normal o con varianza desconocida Sea nuevamente X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribucin noro mal con media desconocida , pero ahora con varianza desconocida 2 . Dado un valor numrico para la constante 0 , nos interesa nuevamente encontrar e una regla de decisin para llevar a cabo los siguientes tipos de pruebas de o
134 hiptesis o H0 : H0 : H0 : 0 vs H1 : 0 vs H1 : 0 vs H1 : X , S n 0 , 0 , 0 .
2. ESTAD ISTICA
El resultado terico que hemos usado antes es que la variable aleatoria o T
tiene una distribucin t con n 1 grados de libertad, en donde, recordemos, o 2 es la varianza muestral S S2 n1i 1
n
Xi X 2 .
El razonamiento para resolver este problema es completamente anlogo al a realizado en la seccin anterior, slo que ahora en lugar de usar la diso o tribucin normal se usa la distribucin t. Por ejemplo, la prueba H0 : o o 0 vs H1 : 0 , se denomina prueba de dos colas y nuevamente es razonable rechazar la hiptesis nula H0 cuando la diferencia entre y 0 es o grande. Los detalles de la prueba se encuentran en el recuadro siguiente y la regin de rechazo se muestra grcamente en la Figura 2.12. o a Prueba: Estad stica de prueba: Regin de rechazo: o Error tipo I: Error tipo II: H0 : 0 vs H1 : 0 0 t X n S t t2,n1 , (prueba de dos colas) F t2,n1 01 F t2,n1 01 , S n S n para 1 0 .
a El nmero t2,n1 corresponde a aquel valor real tal que el rea bajo la u funcin de densidad de la distribucin t con n 1 grados de libertad a la o o derecha de ese valor es 2, vase la Figura 2.12. e El error tipo I lo establece la persona que lleva a cabo la prueba y el error tipo II puede calcularse de manera anloga al caso cuando la varianza es a
135
f x
t2,n1
t2,n1
Regin de rechazo o
Figura 2.12:
conocida. Comprobaremos ahora la frmula del error tipo II para la prueba o de dos colas. Sea 1 cualquier nmero real distito de 0 . Calcularemos la u probabilidad del error tipo II dado que el verdadero valor de la media es 1 .
P No rechazar H0 cuando P t P X 0 S n t2,n1 1 t2,n1 S n X
1 1
P 0 t2,n1 P t2,n1 F t2,n1
0 t2,n1
X 1 0 1 0 1 t2,n1 S n S n S n 0 1 0 1 F t2,n1 S n , S n
S n
en donde F es la funcin de distribucin t con n 1 grados de libertad. La o o 0 vs H1 : 0 se llama nuevamente prueba de cola prueba H0 : inferior y tiene las siguientes caracter sticas.
136
2. ESTAD ISTICA
H0 : 0 vs H1 : 0 0 t X n S t t,n1 , (prueba de cola inferior) 1 F t,n1 01 , 1 0 S n 0 vs H1 : 0 se
Y nalmente para la prueba de cola superior H0 : conocen los siguientes resultados. Prueba: Estad stica de prueba: Regin de rechazo: o Error tipo I: Error tipo II:
H0 : 0 vs H1 : 0 0 t X n S t t,n1 , (prueba de cola superior) F t,n1 01 , 1 0 . S n
Ejemplo 2.30 Se desea determinar si la aplicacin de un cierto medicao mento afecta la presin arterial sistlica en el ser humano. Para ello se o o escogen al azar diez personas, se les mide la presin aterial, despus se les o e aplica el medicamento y una vez que ste ha tenido efecto se mide muevae mente la presin de las personas. Se calcula entonces la diferencia entre la o primera medicin de la presin y la segunda. Los nmero obtenidos fueron o o u los siguientes: 2, 1, 0, 5, 3, 2, 5, 3, 0, 4.
Supondremos que la diferencia calculada puede modelarse mediante una variable aleatoria con distribucin normal con media y varianza 2 desconoo cidas. Deseamos llevar a cabo la prueba de hiptesis o H0 : 0 vs H1 : 0.
La primera hiptesis establece que el medicamento no inuye signicativao mente en la presin arterial de las personas. La segunda hiptesis indica o o que el medicamento s afecta la presin arterial. Con los datos obtenidos o
2.8. Pruebas de hipotesis podemos calcular la media y la varianza muestral x s

2
137
0.7, 9.7888,
y entonces el valor de la estadstica de la prueba es t x 0 s n 0.6712.
Para llevar a cabo la prueba tenemos que comparar este valor con t2,n1 . Tomaremos 0.1, y de la tabla de la distribucin t encontramos que o o t2,n1 , t2,n1 1.833. La regla de decisin es rechazar H0 cuando t pero ello no sucede, por lo tanto concluimos que con base en la muestra obtenida y la prueba estadstica aplicada, no existen evidencias para armar que el medicamento afecte la presin arterial de las personas. o
Prueba acerca de la diferencia entre las medias de dos distribuciones normales con varianza conocida 1 1 2 2 Sean X1 , . . . , Xn1 y X1 , . . . , Xn2 dos muestras aleatorias independientes de dos poblaciones, ambas con distribucin normal, pero con distintos paro a 2 metros, la primera con media desconocida 1 y varianza conocida 1 , y la 2 segunda con media desconocida 2 y varianza conocida 2 . Observe que el tamao de las muestras puede ser distinto. En esta seccin encontraremos n o un criterio para llevar a cabo las siguientes pruebas de hiptesis o H 0 : 1 2 H 0 : 1 2 H 0 : 1 2 vs H1 : 1 2 vs H1 : 1 2 vs H1 : 1 2 , , ,
en donde es una constante. Mediante estas pruebas se puede decidir si las medias de las dos poblaciones normales dieren en la constante o en una cantidad diferente. Consideraremos primero el caso H 0 : 1 2 vs H1 : 1 2 .
Denotaremos por X1 a la media muestral de la primera muestra, y por 2 a la media de la segunda muestra. Sabemos que X1 tiene distribucin X o
138
2. ESTAD ISTICA
2 2 N1 , 1 n1 y X2 tiene distribucin N2 , 2 n2 . Entonces o
X1 X2
N1 2 ,
2 1 n1
2 . n
2
Este es el resultado que nos llevar a encontrar una regla para decidir cundo a a rechazar H0 en favor de H1 , con base en los datos de la muestra aleatoria. , tenemos que X1 X2 Cuando H0 es cierta, esto es, cuando 1 2 2 n 2 n , y por lo tanto tiene distribucin N, 1 1 o 2 2 X1 X2
2 1 n1
2 2 n2
N 0, 1.
La estad stica Z es nuevamente una medida natural de la distancia entre X1 X2 y . Es entonces razonable rechazar H0 cuando la variable Z sea grande. Es por ello que tomamos como criterio de decisin rechazar H0 o k, para cierta constante k. En una tabla de la distribucin o cuando Z z2 , normal estndar podemos encontrar un valor z2 tal que P Z a en donde es el error tipo I. Este valor z2 es la constante k buscada y con ello se logra que la regin de rechazo sea de tamao . Los detalles de o n esta prueba se resumen en la siguiente tabla. Prueba: Estad stica de prueba: Regin de rechazo: o Error tipo I: Error tipo II: H0 : 1 2 vs H1 : 1 2 2 2 1 2 Z X1 X2 Z z2 ,
n1 n2
(prueba de dos colas)

2 1 n1 2 2 2
z2 1
n z2 1 , n n
2 1 1 2 2 2
Comprobaremos la frmula que aparece en la tabla anterior acerca del error o tipo II. Sea 1 cualquier nmero distinto de . Calcularemos la probabilidad u
139
del error tipo II dado que el verdadero valor de la diferencia 1 2 es 1 . 1 P No rechazar H0 cuando 1 2 P Z z2 1 2 1 1 X2 X P z2 1 2 2 2
1 n1
1 1 z2
2 1 n1 2
2 2
P z2
2 n2 2 1 2 1 1 X2 1 X 1 1 P z2 z2 n n n n n n 1 1 z2 z2 . n n n n
2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2
2 1 n1
2 n
X1 X2
Para la prueba H 0 : 1 2 vs H1 : 1 2 ,
los detalles se muestran en el siguiente cuadro. Prueba: Estad stica de prueba: Regin de rechazo: o Error tipo I: Error tipo II: Y para la prueba H 0 : 1 2 vs H1 : 1 2 , H0 : 1 2 vs H1 : 1 2 2 2 1 2 Z X1 X2 Z
z,
n1
n2
(prueba de cola inferior)

2 1 n1
1 z 1
, n
2 2 2
los detalles se muestran a continuacin. o
140
2. ESTAD ISTICA H0 : 1 2 vs H1 : 1 2 2 2 1 2 Z X1 X2
n1 n2
z ,
(prueba de cola superior)

2 1 n1
z 1
, n
2 2 2
Ejemplo 2.31 En una muestra aleatoria, el tiempo promedio en el que 50 mujeres terminaron una prueba escrita fue de 30 minutos, mientras que 45 hombres terminaron la prueba en un promedio de 35 minutos. Para nes ilustrativos supondremos una varianza de 9 unidades en ambas poblaciones. Hay alguna diferencia entre hombres y mujeres en el tiempo promedio real para concluir la prueba? Para contestar a esta pregunta podemos llevar a cabo la prueba de hiptesis o H 0 : 1 2 0 vs H1 : 1 2 0,
en donde 1 corresponde a la media de la poblacin de mujeres, y 2 a la o media de la poblacin de hombres. Con lo datos recabados la estadstica de o la prueba toma el valor z x1 x2
2 1 n1
2 2 2
-8.11 .
Con 0.10 se tiene que z2 1.65. Entonces z z2 y por lo tanto se rechaza la hiptesis nula, es decir, las poblaciones de hombres y mujeres o muestran tiempos promedios diferentes para terminar la prueba escrita. Con esto concluimos nuestra breve exposicin sobre pruebas de hiptesis. o o Existen muchas otras pruebas para rechazar o no rechazar muy diversas hiptesis estad o sticas que el lector interesado puede localizar en textos como [3] y [11], o en la literatura especializada en el rea de inters. Esto a e concluye nuestro curso.
Apndice A e
Ejercicios
Espacio muestral y eventos 1. Determine un espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios. a) Lanzar una moneda tres veces. b) Lanzar a un mismo tiempo tres monedas indistinguibles. c) Escoger un nmero real al azar dentro del intervalo u despus elevarlo al cuadrado. e
1, 1
d) Registrar el nmero de llamadas telefnicas que llegan a un conu o mutador en un minuto dado. e) Colocar al azar dos bolas distinguibles en cuatro celdas numeradas. f ) Colocar al azar dos bolas indistinguibles en cuatro celdas numeradas. 2. Encuentre un espacio muestral para el experimento aleatorio de observar el marcador nal de un juego de ftbol soccer. Es un espacio u muestral nito o innito? 3. Suponga que se tiene en operacin una sala de cmputo con 100 como o putadoras. Encuentre un espacio muestral para el experimento de observar la conguracin de mquinas, desde el punto de vista de uso o o a no uso del equipo, en un momento cualquiera del d a. 141
142
A. Ejercicios
4. Un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado hasta que se obtiene un 6. Proponga dos espacios muestrales para este experimento. 5. Determine un experimento aleatorio para los siguientes espacios muestrales. a) b) c)
0, 1, 2, . . .. 0, . 0, 1.
B, entonces B c A Ac . B.
Operaciones con conjuntos 6. Demuestre que si A 7. Demuestre que si A
B, entonces A
8. Demuestre las leyes distributivas: a) A b) A
B B
B c B c
A C A
Ac Ac Bc. Bc.
A B A
C . C .
9. Demuestre las leyes de De Morgan: a) A b) A
10. Enuncie y demuestre las leyes de De Morgan para tres conjuntos. Para la demostracin use la validez del mismo resultado para dos conjuntos. o 11. Demuestre que A 12. Demuestre que A 13. Demuestre que A 14. Demuestre que A 15. Demuestre que A 16. Demuestre que
A
B B B B
B B A B A
A A B A B
B c . B c . Ac . B c . Ac .
143 a) A B b) A B A A B .
B B.
17. Demuestre que a) A b)
B C A B A C . A C B C A B C. A B B A. A B A B . AB C.
18. Demuestre que las siguientes dos deniciones de la operacin diferencia o simtrica son equivalentes. e a) AB b) AB
19. Compruebe grcamente las siguientes propiedades bsicas de la difea a rencia simtrica. e a) ABC b) A c) A d) AA e) AAc A. Ac .
20. Considere los subconjuntos de nmeros reales A x R : x2 u 1 y B x R : x 0. Encuentre y represente en el eje real los conjuntos: A B, A B, A B y B A. 4 y B x R : x 1 2. Muestre 21. Sean A x R : x 2 grcamente los conjuntos A, B, Ac , B c , A B, A B, A B, B A a y AB. 22. Sean A x R : x 1 2 y B x R : x2 2. Muestre grcamente los conjuntos A, B, Ac , B c , A B, A B, A B, B A a y AB. 23. Sean A x, y R2 : x2 y2 1 y B x, y R2 : y x2 . Muestre grcamente los conjuntos Ac , B c , A B, A B, A B, a B A y AB.
144
A. Ejercicios
24. Sean A x, y R2 : 2x2 3y 2 6 y B x, y R2 : y x2 . Muestre grcamente los conjuntos Ac , B c , A B, A B, A B, a B A y AB. 25. Ellos. Si el 70 % de los hombres son feos, el 60 % son fuertes, y el 50 % son formales. Cul es el porcentaje m a nimo y mximo posibles de a hombres que son feos, fuertes y formales? 26. Ellas. Si el 90 % de las mujeres son bonitas, el 80 % son sensibles, y el 70 % son sinceras. Cul es el porcentaje m a nimo y mximo posibles a de mujeres que son bonitas, sensibles y sinceras? 27. Una compa constructora est llevando a cabo tres proyectos de na a manera independiente. Sean A, B y C los eventos de que los proyectos 1, 2 y 3 sean completados a tiempo, respectivamente. Describa los siguientes eventos en trminos de A, B y C. e a) Los tres proyectos son terminados a tiempo. b) Slo dos proyectos son terminados a tiempo. o c) Slo uno de los proyectos es terminado a tiempo. o d) Ningn proyecto es terminado a tiempo. u e) Slo los proyectos A y C son terminados a tiempo. o Conjuntos ajenos 28. Compruebe que los conjuntos A y B A son siempre ajenos. 29. Demuestre que que si A B
, entonces A
Bc y B
Ac .
30. Suponga que A es el conjunto de ra ces de la ecuacin cuadrtica o a 0, y B es el intervalo 0, 3. Son los conjuntos A y B x2 x 2 ajenos? 31. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Compruebe que la coleccin o de conjuntos: A B, Ac B, A B c y Ac B c son ajenos dos a dos. Dibujar un diagrama de Venn podr ayudar a entender la situacin. a o 32. Son los conjuntos x, y R2 : y ex y x, y R2 : y 1 x ajenos? En caso negativo, Cuntos puntos en comn tienen? a u
145 33. Sean A y B ajenos, y sea A1 A. Compruebe que A1 y B son ajenos. Intuitivamente la armacin es evidente, el reto consiste en encontrar o una justicacin matemtica de ello. o a 34. Cuntas igualdades son necesarias vericar en general para comproa bar que n conjuntos son ajenos dos a dos? Conjunto potencia 35. Quin es 2 ? e 36. Sea
a. Escriba expl citamente al conjunto 2 .

B, entonces 2A 2B .
37. Demuestre que si A Producto Cartesiano
38. Sean A a1 , a2 , B b1 , b2 , b3 y C c1 , c2 . Escriba expl citamente a los doce elementos del producto Cartesiano A B C. 39. Sea 40. Sea A
a, b, c. Escriba expl citamente al conjunto . 0, 1. Cuntos elementos tiene el conjunto ? a A A

n
Probabilidad 41. Compruebe que la denicin de probabilidad clsica cumple con los o a tres axiomas de la probabilidad. 42. Compruebe que la denicin de probabilidad frecuentista cumple con o los tres axiomas de la probabilidad. 43. Sean P1 y P2 dos medidas de probabilidad denidas sobre la misma clase de subconjuntos de . Sea un nmero real en el intervalo 0, 1. u P1 1 P2 satisface los tres axiomas de la Demuestre que P probabilidad. 44. Demuestre que P 0, sin usar P 1.
146 45. Demuestre que P B eventos A y B. 46. Demuestre que 0 47. Demuestre que P A
A. Ejercicios
A
B
P B P A
P A
B , para cualesquiera P AP B 0.3 y P B 2.
P A B
P A B
P A P B 1. 0.2 .
48. Sean A y B eventos ajenos tales que P A Encuentre a) P A b) P c) P Ac Ac
B . B .
d) P A
e) P AB .
B c .
49. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) Si P A b) Si P A c) Si P A 0, entonces P A P B , entonces A P B , entonces A 0, entonces P A 0, entonces P A 12 y P B 0, entonces P B B. B. B B 0.
50. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) Si P A b) Si P A c) Si P A 0. 0. B 0.
d) Si P A a) P B A c) Si P A b) P A
12, entonces P A
Ac
0.
51. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. B P B P A. 12, entonces P Ac 0, entonces P A P AP B . 12. 0. P A B c .
d) Si P Ac e) Si A B
, entonces P A
147 52. La probabilidad de un cierto evento es tal que duplica la probabilidad de su complemento. Cunto vale la probabilidad de este evento? a 53. Demuestre que P AB P A P B 2P A B . Esta es la probabilidad de que suceda exactamente uno de los eventos A y B. Recuerde que la operacin AB es la diferencia simtrica entre A y o e B, y se dene como A B A B . 54. Demuestre que P Ac Anlisis combinatorio a 55. De cuntas formas distintas pueden seis personas formarse en una a la lineal? 56. Diez personas votarn por uno de tres candidatos. a a) De cuntas formas distintas pueden los votos ser registrados uno a despus de otro? e b) De cuntas formas distintas pueden los votos ser registrados en a conjunto? 57. En un partido de ftbol hubo 4 goles en el marcador nal. Cuntas u a historias distintas de marcadores llevan a un marcador nal donde hay 4 goles? 58. De cuntas formas distintas pueden dos equipos de ftbol terminar a u en la clasicacin general de un torneo en donde compiten 20 equipos? o 59. Una enciclopedia de 5 volmenes es colocada en el librero de modo u aleatorio. Demuestre que la probabilidad de que los volmenes queden u colocados apropiadamente de derecha a izquierda o de izquierda a derecha es 160. 60. Cuntas diagonales se pueden trazar en un pol a gono convexo de n lados? No se considera que los lados sean diagonales. 61. De cuntas maneras diferentes pueden clasicarse los tres primeros a lugares de una carrera de 15 corredores ? B c 1 P A P B P A B .
148
A. Ejercicios
62. Cuntos enteros positivos de a lo mas cinco d a gitos son divisibles por 2? Cuntos hay que empiecen con el d a gito 1? 63. Cuntos equipos de 3 personas se pueden formar de un grupo de 5 a personas? 64. Al nal de una reunin de 10 personas, stas se despiden con un saludo o e de mano. Cuntos saludos ha habido en total? a 65. Al nal de una cena, cuatro parejas (cada una de ellas compuesta por un hombre y una mujer) se despiden de la siguiente forma. Si se despiden mujer-mujer o mujer-hombre, el despido es a travs de un e beso. Entre dos hombres el despido es a travs de un abrazo. Cuntos e a despidos de cada tipo ha habido? Por supuesto, las dos personas que son marido y mujer no se despiden. 66. La novela Rayuela del escritor argentino Julio Cortzar contiene 56 a cap tulos que aparentemente pueden ser le dos en cualquier orden. De cuntas formas distintas puede ser le esta novela? a da 67. En un popular juego de loter se pide adivinar los seis nmeros que a u a sern escogidos al azar dentro del conjunto 1, 2, . . . , 49. Cul es el a total de arreglos con los cuales un jugador puede participar en este juego? Si se establece que un jugador obtiene un segundo lugar si acierta unicamente a cinco de los seis nmeros seleccionados, cuntos u a segundos lugares puede haber para un arreglo dado de seis nmeros? u 68. Un cierto partido de ftbol termin con un marcador de 4-4. De u o cuntas formas distintas pudieron los equipos alternarse en anotar a para llegar a tal resultado? Cree usted que todos estos resultados son igualmente probables? 69. Cuntas distintas funciones existen denidas en el conjunto 1, 2, . . . , k a y con valores en el conjunto 1, 2, . . . , n?

70. Demuestre que 71. Demuestre que
n k n k
nk1 k nk n
n1 . k
k1
149
72. Demuestre que
n n1 73. Demuestre que k k construir el tringulo de Pascal. a
n1 k
k1 n . n k1
n1 . Esta es la frmula para o k1
74. De cuntas formas distintas pueden cinco candidatos terminar en una a eleccin? Suponga que es posible observar empates mltiples. o u 75. Debido a un error, 50 tornillos defectuosos fueron mezclados con 200 tornillos en buen estado. Si se venden 20 tornillos tomados al azar, cul es la probabilidad de que k de ellos sean defectuosos? (0 k a 20). 76. Cuntos nmeros binarios diferentes se pueden obtener al usar los a u siete d gitos 1010101 ? 77. Cuntas palabras diferentes se pueden formar con todos los caraca teres (incluyendo repeticiones) de la palabra AMAR? 78. Cumpleaos. Calcule la probabilidad de que en un conjunto de n pern sonas, al menos dos de ellas tengan la misma fecha de cumpleaos. n Sugerencia: Considere el complemento del evento de inters. e 79. Encuentre el total de nmeros enteros de cuatro d u gitos sin repeticin, o u u tomados del conjunto 0, 1, 2, . . . , 9 de tal manera que ningn nmero empiece con 0. Cuntos de ellos son pares y cuntos son impares? a a 80. En una clase de 25 estudiantes hay 15 mujeres y 10 hombres. a) De cuntas formas puede seleccionarse un comit de tres homa e bres y tres mujeres? b) De cuntas formas puede seleccionarse un comit de seis estua e diantes? c) De cuntas formas puede seleccionarse un comit de seis estua e diantes todos del mismo sexo? 81. De cuntas formas diferentes se pueden colocar los nmeros 1, 2, 3, 4, 5 a u y 6 en las seis caras de un dado? Observe que originalmente las caras del dado son indistinguibles.
150
A. Ejercicios
82. Demuestre que #2 2# . Sugerencia: Use el mtodo de induccin e o sobre el valor de n, denido como la cardinalidad de . 83. Tenemos n jugadores nalistas en un torneo de ajedrez. Para escoger al ganador se establece que cada jugador debe jugar contra cada uno de los otros nalistas. a) Cuntas partidas se llevarn a cabo? a a b) Suponiendo que no hay empates y que cada jugador gana un punto por cada juego ganado, De cuntas formas distintas se pueden a asignar la totalidad de puntos en el conjunto de jugadores? c) Cuntas conguraciones nales existen en donde haya un unico a jugador con mayor nmero de puntos? u 84. Demuestre que el nmero mximo de regiones en las que n l u a neas rectas dividen un plano es 1 nn 12. 85. Sea An en nmero mximo de regiones en los que n planos dividen el u a espacio. Demuestre que An1 An 1 nn 12. 86. Demuestre que el nmero mximo de regiones en los que n c u a rculos n. dividen el plano es 2 87. Sea An en nmero mximo de regiones en los que n esferas dividen el u a espacio. Demuestre que An1 An n2 n 2.
88. Cuntos divisores diferentes tiene el nmero 53 74 ? a u
89. Se asignan 40 problemas para un examen de probabilidad. El examen consistir de 4 problemas escogidos al azar, y cada problema tendr un a a peso de 25 puntos. Si un alumno resuelve unicamente 20 de los pro blemas asignados, Cul es la probabilidad de que el alumno obtenga a a) cero puntos? b) 25 puntos? c) 50 puntos? d) 75 puntos? e) 100 puntos?
151 90. Cuntos subconjuntos podemos obtener de un conjunto de n elea mentos? Escriba expl citamente todos los subconjuntos del conjunto a, b, c, d. 91. Sea E el conjunto de vectores de Rn para los cuales alguna de sus coordenadas es cero. Cuntas regiones conexas tiene el conjunto Rn a E? 92. Cuntas conguraciones diferentes se pueden obtener en un tablero a de ajedrez despus de e a) la primera jugada del primer jugador? b) la primera jugada del segundo jugador? 93. Use el mtodo de induccin para demostrar el teorema del binomio: e o para cualesquiera nmeros reales a y b, y para cualquier entero n 1, u
a b
n k 0
n nk k a b . k
94. En una sala de cmputo hay seis computadoras numeradas del 1 al o 6. De cuntas formas distintas pueden las seis computadoras estar a siendo usadas o no usadas? 95. De cuntas formas posibles se puede ordenar el conjunto 1, 2, . . . , 2n a 1 de tal forma que cada nmero impar ocupe una posicin impar? u o 96. De cuntas formas posibles se puede ordenar el conjunto 1, 2, . . . , 2n a de tal forma que cada nmero par ocupe una posicin par? u o 97. Cuntas palabras diferentes podemos obtener usando todas las lea tras (incluyendo repeticiones) de la palabra manzana? 98. Cuntas palabras diferentes podemos obtener usando todas las a s labas (incluyendo repeticiones) de la palabra cucurrucuc? u 99. Sea n 1 un entero. Cuntas soluciones enteras no negativas tiene a la ecuacin o a) x1 x2 xk n?
152 b) x1 x2 xk c) x1 x2 xk n? n?
A. Ejercicios
100. Sean n k dos enteros positivos. Cuntos vectores con entradas a enteras no negativas x1 , x2 , . . . , xk satisfacen las restricciones 1 x1 x2
xk
n?
101. Desarrolle la expresin a b c3 usando la frmula de coecientes o o multinomiales (1.1) en la pgina 25, y despus compruebe la frmula a e o directamente multiplicando el trinomio por si mismo. Probabilidad condicional e independencia 102. Sean A y B dos eventos independientes. Demuestre que a) Ac y B son independientes. b) A y B c son independientes. c) Ac y B c son independientes. 103. Sean A y B eventos independientes tales que P A 0.5. Encuentre a) P A b) P c) P A Ac d) P Ac B . B c . B . e) P A f) P g) P A B B . B . B c . 0.1 y P B
Ac
B c .
h) P Ac 0.5 y P A
B c .
104. Suponga que P A
0.6. Encuentre P B cuando
a) A y B son disjuntos. b) A y B son independientes. c) P A B 0.4.
105. Sea P una medida de probabilidad y B un evento con probabilidad positiva. Demuestre que la probabilidad condicional P B satisface los tres axiomas de la probabilidad, es decir, cumple
153 a) P A B b) P B c) P A1 0. 1. P A1 B P A2 B cuando A1 P A B P A P C A B C B p3 . A2
A2 B
106. Suponga que P B
p. Demuestre que
107. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) El nmero P A B nunca es cero. u b) P A B c) P A B P B A. P A.
108. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) P A B P Ac B b) P A B P A c) P A A B P B A Bc
1.
P A. B 1.
109. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) P B c) P A A b) P B 1. P A. B2 P A B1 P A B2 cuando B1 y B2 son ajenos. P A1 B P A2 B cuando A1 y A2 son ajenos. P A B1 P A B2 . P A1 B P A2 B . 0.
110. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) P A B1 b) P A1 A2 B
d) P A1
c) P A B1
A2 B
B2
111. Demuestre que a) el conjunto
es independiente consigo mismo.
b) el conjunto es independiente consigo mismo.
154
A. Ejercicios
112. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) A, B independientes b) A, B ajenos A, B ajenos.
A, B independientes.
113. Sea A un evento cualquiera. Demuestre que a) A y
son eventos independientes.
b) A y son eventos independientes. 114. Sean A y B eventos independientes. Demuestre que P A B 1 P Ac P B c .
115. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) A, B independientes B, A independientes. A, C independien-
b) Para cualquier evento A, A es independiente con A. c) A, B independientes y B, C independientes tes.
116. Sean A y B eventos independientes tales que P A p1 y P B p2 . Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de estos eventos. 117. Sean A y B eventos independientes y ajenos. Demuestre que forzosamente alguno de estos eventos tiene probabilidad cero. 118. Considere un experimento aleatorio con espacio muestral 0, 1. Denimos la probabilidad de un intervalo a, b 0, 1 como P a, b b a. Encuentre eventos A y B tales que a) sean independientes y ajenos. b) sean independientes pero no ajenos. c) sean ajenos pero no independientes. d) sean no ajenos y no independientes. 119. Cuntas igualdades son necesarias vericar para demostrar que n a eventos son independientes? Justique su respuesta.
155 120. Regla del producto. Sean A1 , . . . , An eventos tales que P A1 Compruebe que P A1
An1
0.
An
P A1 P A2 A1 P A3 A1
P An A1
An1 .
A2
121. La urna de Polya. El siguiente experimento se conoce como la urna de Polya. Suponga que en una urna se tienen b bolas blancas y r bolas rojas. Un experimento aleatorio consiste en seleccionar una bola al azar y regresarla a la urna junto con c bolas del mismo color. Use la regla del producto para calcular la probabilidad de obtener bolas rojas en las tres primeras extracciones. Teorema de probabilidad total 122. La urna de Polya. Suponga que en una urna se tienen b bolas blancas y r bolas rojas. Un experimento aleatorio consiste en seleccionar una bola al azar y regresarla a la urna junto con c bolas del mismo color. Sea Rn el evento Se selecciona una bola roja en la n-sima e extraccin. Compruebe que para cada n 1, o P Rn r . rb
123. Una persona toma al azar, con idntica probabilidad, uno de los nmeros e u 1, 2 3, y luego tira un dado equilibrado tantas veces como indica el o nmero escogido. Despus suma el resultado de las tiradas del dado. u e Cul es la probabilidad de que obtenga un total de 5? a Teorema de Bayes 124. En una urna se encuentran b bolas de color blanco y n bolas de color negro. A un mismo tiempo se extraen k bolas al azar y resulta que todas son del mismo color. Cul es la probabilidad de que las bolas a sean de color negro?
156
A. Ejercicios
125. Se escoge al azar un d gito binario para ser enviado a travs de un canal e de transmisin. Se escoge el 0 con probabilidad 0.4, y se escoge el o 1 con probabilidad 0.6. El canal de comunicacin es ruidoso de modo o que un 0 se distorsiona en un 1 con probabilidad 0.2, y un 1 se distorsiona en un 0 con probabilidad 0.1. Encuentre la probabilidad de que a) se reciba un 0. b) se reciba un 1. c) se haya enviado un 0 dado que se recibi un 0. o d) se haya enviado un 1 dado que se recibi un 1. o 126. El problema de las tres puertas (Monty Hall). Se le presentan a un concursante tres puertas cerradas detrs de una de las cuales hay a un premio. El concursante debe adivinar la puerta que contiene el premio para ganarlo. Una vez que el concursante elige una puerta, y antes de abrirla, el presentador del concurso abre alguna de las puertas restantes y de la cual sabe que no contiene ningn premio. Entonces u le pregunta al concursante si desea cambiar su decisin. Qu debe o e hacer el concursante? Justique su respuesta. Variables aleatorias 127. Determine en cada caso si la variable aleatoria en cuestin es discreta o o continua. Cules son sus posible valores? a a) Tiempo de vida de una persona escogida al azar. b) Nmero de errores tipogrcos en una pgina escogida al azar de u a a un libro. c) Tiempo de servicio en una transaccin escogida al azar realizada o por una persona en un cajero automtico. a d) Monto de una reclamacin por accidente automovil o stico escogida al azar del conjunto de reclamaciones efectuadas a una compa na aseguradora. 128. Considere el experimento aleatorio de escoger un nmero al azar u dentro del intervalo unitario 0, 1. Suponga que cada resultado de este
157 experimento se escribe en su expansin decimal como 0.x1 x2 x3 o Determine en los siguientes casos el conjunto de valores de la variable aleatoria denida y clasique sta como discreta o continua. e a) X c) X b) X . 1 . x1 .
d) X w
0.0x1 x2 x3
129. Considere un experimento aleatorio con espacio muestral equiprobable 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dena la variable aleatoria X 2 3. 0, P X Cules son los posibles valores de X? Calcule P X a 2, 3, P X 0, P X 0, P X 2 1, P 2X 4 0, y P X 2 4. 130. Considere el ejemplo del experimento aleatorio de lanzar un dardo en un tablero circular de radio uno, Figura 1.15, junto con las variables x, Y x, y y y Z x, y x2 y 2 . Suponga aleatorias X x, y a que para cada regin A cuya rea puede ser calculada se dene o AArea. Calcule P X 0, P X 0, P Y P A Area X , 1, P Z 12 y P 13 Z 12. P X Y Funciones de densidad y de distribucin o 131. Encuentre el valor de la constante c para que f x sea una funcin o de probabilidad. Graque esta funcin y calcule P X 2, 3, 4 y o P X 3 en cada caso. a) f x b) f x c x si x 1, 2, . . . , 10, 0 otro caso. c x2 si x 1, 2, . . . , 10, 0 otro caso.
132. Encuentre el valor de la constante c para que la siguiente funcin sea o de densidad. Graque f x y calcule P X y P X , 2 . f x c 1 sen x si x 0, 2 , 0 otro caso.
158
A. Ejercicios
133. Encuentre el valor de la constante c para que la siguiente funcin sea o de densidad. Graque f x y calcule P X 1, . f x c e x , para
134. Explique porqu no es posible encontrar un valor de la constante c e para que la siguiente funcin sea de probabilidad o de densidad. o a) f x b) f x c x si x 2, 1, 0, 1, 2, 0 otro caso. c sen x si x , , 0 otro caso.
135. Sea X una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad dada o por la siguiente tabla. Graque f x y calcule P X 0, P X 0 y P X 2 1. x -1 0 1 f x 0.2 0.3 0.5 136. Sea X una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad dada o o por la tabla que aparece abajo. Graque f x. Calcule la funcin de probabilidad de las siguientes variables aleatorias Y X 2, Z X y W 2X 5. Graque en cada caso. x f x -2 0.1 -1 0.15 0 0.4 2 0.1 3 0.15 5 0.1
137. Sea X una variable aleatoria discreta con funcin de densidad dada o por la tabla que aparece abajo. Encuentre el valor de c y graque f x. X 2. Calcule y graque la funcin de probabilidad de la variable Y o x f x -2 0.1 0 c 2 0.1
138. Sea X una variable aleatoria continua con funcin de densidad o f x 110 si k x 0 otro caso. 4k
159 a) Determine el valor de la constante k y graque f x. c) Calcule P 1 X 3, P X 2 y P X m 0.
b) Calcule y graque F x.
139. Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin F x como o o aparece abajo. Es X discreta o continua? Graque F x. Encuentre y graque la correspondiente funcin de densidad f x. Calcule adems o a P X 2 y P 1 X 2. F x
0
d) Encuentre m tal que P X 1
12.
si x 13 si 1 1 si x
1, x 2.
2,
140. Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin F x como o o aparece abajo. Es X discreta o continua? Graque F x. Encuentre y graque la correspondiente funcin de densidad f x. Calcule adems o a P X 12 y P X 12. F x
0
si x x si 0 1 si x
0, x 1.
1,
141. Una urna contiene cuatro bolas numeradas 1, 2, 3 y 4. Se extraen dos bolas al azar, una a la vez y sin reemplazo. Sea X la variable aleatoria que denota la suma de los nmeros de las dos bolas seleccionadas. u b) Calcule y graque f x. d) Calcule P X 6, P 3 a) Determine .
c) Calcule y graque F x. X
5 y P X
6.
142. Determine si la siguiente funcin es de probabilidad. Graque la funo cin y justique su respuesta. o f x
1 6 si x
0, 1, 23 si x 2, 0 otro caso.
160
A. Ejercicios
143. Determine si la siguiente funcin es de probabilidad. Graque la funo cin y justique su respuesta. o f x
4 3 4
x 144x
si x
0, 1, 2, 3, 4,
otro caso.
144. Determine si cada una de las siguientes funciones es de densidad. Graque la funcin en cada caso y justique su respuesta. o a) f x b) f x 4x5 si x 0, 2, 0 0 otro caso. otro caso. 2x2 3 2x 43 si x 0, 3,
145. Sea X una variable aleatoria con la siguiente funcin de distribucin. o o Encuentre y graque f x. Calcule P 0 X 10. F x
1
12n1
si n x n 1, para n 0, 1, 2, . . . otro caso.
146. Sea X una variable aleatoria continua con la funcin de densidad o que aparece abajo. Encuentre el valor de la constante c y graque la funcin f x. Encuentre y graque adems la funcin de distribucin o a o o F x . 2x9 si 0 x c, f x 0 otro caso. 147. Sea X una variable aleatoria con funcin de densidad o f x cxex 0
2
si x 0, otro caso.
a) Determine el valor de la constante c. b) Calcule la funcin de distribucin asociada. o o
161 Esperanza, varianza, momentos 148. Sea a un nmero jo. Construya una variable aleatoria X tal que u E X a. 149. Calcule la esperanza de la variable aleatoria discreta X cuya funcin o de probabilidad es a) f x
1 3
b)
f x 12
0
16 0
1 4
si x 0, 1, si x 2, 3, otro caso.
si x 1, 1, si x 0, otro caso.
150. Calcule la esperanza de la variable aleatoria continua X cuya funcin o de densidad es a) f x b) f x ex , 6x1 x, para x 0. x 1.
para 0
151. Sea X una variable aleatoria discreta con la funcin de probabilidad o que aparece abajo. Demuestre que f x es efectivamente una probabilidad de densidad y que la esperanza de X no existe. Este es un ejemplo de una variable aleatoria discreta que no tiene esperanza nita. f x

xx 1 0
si x
1, 2, 3, . . .
otro caso.
152. Sea X una variable aleatoria continua con la funcin de densidad que o aparece abajo. Demuestre que esta funcin es efectivamente una funo cin de densidad. Compruebe adems que la esperanza de X no existe. o a Este es un ejemplo de una variable aleatoria continua que no tiene esperanza nita. Es una caso particular de la distribucin Cauchy. o f x 1 x2 1 , para x .
153. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso.
162 a) La esperanza de una v.a. puede ser cero.
A. Ejercicios
b) No hay dos v.a.s distintas con la misma esperanza. c) La esperanza de una v.a. nunca es negativa. d) La varianza de una v.a. puede ser cero. e) La varianza de una v.a. nunca es negativa. f ) No hay dos v.a.s distintas con la misma varianza. 154. Demuestre que a) E E X b) VarVarX c. E X . 0. cn . c) VarX
155. Sea X la variable aleatoria constante c. Compruebe que a) E X b) E X n 0.
156. Calcule la media y varianza de la variable aleatoria X con funcin de o probabilidad 19 si x 0, 1, 2, f x 29 si x 3, 4, 5, 0 otro caso. 157. Calcule la media y varianza de la variable aleatoria X cuya funcin o de probabilidad es f x 0
12x1
si x 0, 1, 2, 3, . . . otro caso.
158. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) VarE X b) E VarX 0. VarX .
159. Sea X una variable aleatoria continua con funcin de densidad f x o 1 x , para x . Demuestre que f x es efectivamente una 2e funcin de densidad y compruebe que o a) E X 0.
163 b) E X 2 Xn 2. 2. n! para n par.
d) E
c) VarX
160. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta en cada caso. a) E X b) c)
E X . VarX VarX . E VarX VarE X .

Var0 VarX
161. Encuentre el error en la siguiente demostracin de la armacin de o o que la varianza de cualquier variable aleatoria es cero. 0
X VarX VarX VarX VarX 2 VarX .
162. Encuentre el n-simo momento de una variable aleatoria X con funcin e o 1 , para 0 de densidad dada por f x x x 1, en donde a 0, es un parmetro. Distribucin uniforme discreta o 163. Sea X con distribucin uniforme en el conjunto 1, . . . , n. Demuestre o que a) E X b) c)
n 12. E X 2 n 12n 16. VarX n2 112.
164. Se escogen completamente al azar y de manera independiente dos nmeros a y b dentro del conjunto 1, 2, . . . , 9, 10. Cul es la probau a bilidad de que el cociente ab sea menor a uno?
164 Distribucin Bernoulli o
A. Ejercicios
165. Sea X una variable aleatoria con distribucin Berp. Verique que o f x es efectivamente una funcin de densidad. Demuestre adems o a que a) E X b) E c)
VarX
Xn
p. p, para n p1 p. 1.
Distribucin binomial o 166. Sea X una variable aleatoria con distribucin binn, p. Verique que o o f x es efectivamente una funcin de densidad.
167. Sea X una variable aleatoria con distribucin binn, p. Demuestre o que a) E X b) VarX np. np1 p.
168. Sea X una variable aleatoria con distribucin binn, p tal que E X o 4 y VarX 2. Cules son los valores de n y p? a
169. Sea X una variable aleatoria con distribucin binn, p. Demuestre que o la variable Y n X tiene distribucin binn, 1 p. Proporcione o una explicacin probabil o sta de este resultado.
170. Sea X con distribucin binn, p. Demuestre que para x 0, 1, . . . , n o 1, se cumple la siguiente frmula. Esta expresin permite calcular las o o probabilidades de esta distribucin de una forma iterativa. o P X x 1
n x P X 1 p x 1
p
x.
171. Se lanza una moneda equilibrada 6 veces. Calcule la probabilidad de que cada cara caiga exactamente 3 veces. 172. Se lanza una moneda equilibrada 2n veces. Calcule la probabilidad de que ambas caras caigan el mismo nmero de veces. u
165 173. Sea X una variable aleatoria con distribucin binn, p. Demuestre o que 0 VarX E X . 174. Suponiendo que es igualmente probable que nazca un hombre (H) o una mujer (M), y considerando la observacin de 6 nacimientos. Cul o a de los siguientes tres eventos es ms probable que ocurra? a a) MHHMHM b) MMMMHM c) HMHMHM Distribucin geomtrica o e 175. Sea X una variable aleatoria con distribucin geop. Verique que la o funcin f x es efectivamente una funcin de densidad. o o a) E X 1 pp. b) VarX 1 pp2 .
176. Sea X una variable aleatoria con distribucin geop. Demuestre que o
177. Prdida de memoria. Sea X una variable aleatoria con distribucin e o geop. Demuestre que para cualesquiera a, b 0, 1, 2, . . . se cumple la siguiente propiedad llamada de prdida de memoria: e P X ab X a P X b.
178. Considere una urna con 3 bolas negras y 5 bolas blancas. Se escoge una bola al azar, se registra su color, y despus se regresa a la urna. e Cuntas extracciones en promedio se necesitan realizar hasta obtener a una bola negra por primera vez? Distribucin Poisson o 179. Sea X una variable aleatoria con distribucin Poisson. Verique o o que f x es efectivamente una funcin de densidad y demuestre que E X , y VarX .
180. Sea X una variable aleatoria con distribucin Poisson. Demuestre o o o que para x 0, 1, 2, . . . se cumple la siguiente frmula. Esta expresin permite calcular las probabilidades Poisson de una forma iterativa. P X x 1
x 1 P X
x.
166
A. Ejercicios
181. Sea X una variable aleatoria con distribucin Poisson. Demuestre o que la probabilidad de que X tome un valor par es 1 e2 2. 182. El nmero de computadoras que fallan por mes en un laboratorio de u cmputo tiene una distribucin Poisson con un promedio mensual de o o a 2 mquinas descompuestas. El laboratorio tiene capacidad para reparar hasta dos mquinas por mes. Cuando se descomponen mas a de dos mquinas, las restantes se env fuera del laboratorio para su a an reparacin. o a) Cul es la probabilidad de que en un mes cualquiera sea necea sario enviar mquinas fuera del laboratorio para su reparacin? a o b) Responda al inciso anterior cuando se reduce la capacidad de reparacin del laboratorio a una computadora por mes. o c) Cul es el nmero de computadoras con falla ms probable en a u a un mes? Distribucin binomial negativa o 183. Sea X una variable aleatoria con distribucin bin negr, p. Verique o o que f x es efectivamente una funcin de densidad. 184. Sea X una variable aleatoria con distribucin bin negr, p. Demuestre o que E X r 1 pp, y VarX r 1 pp2 . 185. Sea X una variable aleatoria con distribucin bin negr, p. Demuestre o o o que para x 1, 2, . . . se cumple la siguiente frmula. Esta expresin permite calcular las probabilidades de esta distribucin de una forma o iterativa. P X x
1 p r x 1 P X x
x 1.
Distribucin hipergeomtrica o e 186. Sea X con distribucin hipergeoN, K, n. Verique que f x es efeco tivamente una funcin de probabilidad. o
167 Distribucin uniforme continua o 187. Sea X con distribucin unifa, b. Verique que f x es efectivamente o una funcin de densidad. o 188. Sea X con distribucin uniforme en el intervalo a, b. Demuestre que o a) E X b)
a b2. VarX b a2 12.

4
189. Sea X con distribucin uniforme en el intervalo a, b tal que E X o y VarX 3. Encuentre los valores de a y b.
191. Sea X con distribucin uniforme en el intervalo a, b. Demuestre que o E X n bn1 an1 n 1b a .
190. Sea X con distribucin uniforme en el intervalo 0, 1. Demuestre que o el n-simo momento de X es 1n 1. e
192. Sea X una variable aleatoria con distribucin uniforme en el intervalo o 1, 1. Demuestre que E X n 1n 1 si n es par, 0 si n es impar.
193. Sea X con distribucin unif0, 1. Obtenga la distribucin de la variao o ble Y 10X 5. 194. Sea X con distribucin unifa, b. Demuestre que la media y la mediana o de X coinciden. Distribucin exponencial o 195. Sea X una variable aleatoria con distribucin exp. Verique que o o f x es efectivamente una funcin de densidad. 196. Sea X con distribucin exp. Demuestre que o a) E X 1.
168 b) VarX 12 .
A. Ejercicios
197. Prdida de memoria. Sea X una variable aleatoria con distribucin e o exp. Demuestre que para cualesquiera nmeros x, y 0 se cumple u la igualdad que aparece abajo. La distribucin exponencial es la unica o distribucin continua que satisface esta propiedad llamada de prdida o e de memoria. P X xy X x P X y .
198. Sea X con distribucin exp. Demuestre que para cualesquiera nmeros o u x, y 0, F x y F x F y F x F y . 199. Suponga que el tiempo que un usuario cualquiera permanece conectado a un servidor en una red de cmputo se puede modelar como una o variable aleatoria con distribucin exponencial con media igual a 10 o minutos. De mil usuarios, cuntos tienen un conexin superior a una a o hora? Calcule adems la probabilidad de que un usuario cualquiera a a) no permanezca conectado mas de 10 minutos. b) permanezca conectado mas de 10 minutos pero menos de una hora. Distribucin gamma o 200. Sea X una variable aleatoria con distribucin gamman, . Verique o o que f x es efectivamente una funcin de densidad. 201. Sea X con distribucin gamman, . Demuestre que o a) E X b) VarX n. n 2 .
c) E X m
m n m n . n n .
202. Demuestre las siguientes propiedades de la funcin gamma. o a) n 1
169 b) 2 1 . 1.
d) 12
c) n 1
n! si n es entero.
Distribucin beta o 203. Sea X con distribucin betaa, b. Verique que f x es efectivamente o una funcin de densidad. o 204. Sea X con distribucin betaa, b. Demuestre que o a) E X b) VarX aa b. ab a b 1a b2 .
205. Demuestre las siguientes propiedades de la funcin beta. o a) B a, b c) B 1, b b) B a, 1 B b, a. 1b. 1a.
d) B a 1, b e) B a 1, b
f ) B a, b 1 g) B 12, 12
a B a, b 1. b a B a, b. ab b B a, b. ab .
206. Sea X una variable aleatoria con distribucin betaa, b, con a b 1. o Demuestre que X tiene una distribucin uniforme en el intervalo 0, 1. o 207. Sea X con distribucin beta12, 12. En este caso se dice que X tiene o una distribucin arcoseno. o a) Calcule y graque f x. b) Demuestre que f x es una funcin de densidad. o c) Calcule E X y VarX .
170
A. Ejercicios 0 y
208. Sea X con distribucin betaa, b. Demuestre que cuando a o o o b 1, la funcin de distribucin de X toma la forma F x
0
xa 1
si x si 0 si x
0, x 1.
1,
209. Sea X con distribucin betaa, b. Demuestre que cuando a o b 0, la funcin de distribucin de X toma la forma o o F x
0
1 y
1 1 x 1
si x si 0 si x
0, x 1.
1,
210. Sea X con distribucin betaa, b. Demuestre que para cualquier entero o n 0, B a n, b E X n . B a, b Distribucin Weibull o 211. Mediante el cambio de variable ux x , demuestre que la funcin o o de densidad Weibull, es efectivamente una funcin de densidad. 212. Nuevamente mediante el cambio de variable ux x , compruebe que la funcin de acumulacin de la distribucin Weibull, , es o o o F x 213. Distribucin normal o 214. Sea X con distribucin N, 2 . Verique que f x es efectivamente o una funcin de densidad. o 215. Sea X con distribucin N, 2 . Demuestre que E X o 2. , y VarX 1 ex 0
si x
0,
otro caso.
171 216. Sea X con distribucin N, 2 . Demuestre que la variable Z X o tiene distribucin normal estndar. Rec o a procamente, demuestre que si Z tiene distribucin normal estndar, y o a 0, entonces la 2 . o variable X Z tiene distribucin N, 217. Sea X con distribucin N10, 25. Use la tabla de la distribucin noro o mal para calcular a) P X b) P X c) P 0 10. 0. X 10. 10.
d) P X
218. Sea X con distribucin N0, 100. Use la tabla de la distribucin noro o mal para calcular a) P X b) P X c) P 0 10. 0. X 40. 10.
e) P 20
20. X
d) P X
e) P 10
30. X
220. Sea X una variable aleatoria con distribucin N, 2 . Demuestre que o la variable Y aX b, con a 0, tambin tiene una distribucin e o normal. Encuentre los parmetros correspondientes. a 221. Sea X una variable aleatoria con distribucin N, 2 . Demuestre que o la variable Y X tambin tiene una distribucin normal. Encuentre e o los parmetros correspondientes. a 222. Sea X una variable aleatoria con distribucin N0, 1. Demuestre que o 0, FX 2 x X 2 tiene una distribucin 2 1. Sugerencia: Para x o 2 P X x P x X x .
219. Use la tabla de la distribucin normal para encontrar el valor de x tal o que a) x 0.8666 . b) 1 x 0.9154 .
172
A. Ejercicios
223. Sea X una variable aleatoria con distribucin normal estndar. Eno a X. cuentre la funcin de densidad de Y o 224. Una mquina automtica despachadora de refresco en un restaurant a a est ajustada para llenar vasos de 300 ml en promedio. Debido a cuesa tiones mecnicas, el llenado de los vasos no es enteramente exacto y a hay pequeas uctuaciones. El fabricante de la mquina sabe que el n a llenado de los vasos se puede modelar como una variable aleatoria normal con media de 300 ml. y desviacin estndar 10 ml. o a a) Qu fraccin de los vasos sern servidos con ms de 310 mililie o a a tros? b) Cul es la probabilidad de que un vaso sea servido entre 290 y a 305 mililitros? c) Si el restaurant utiliza vasos de 320 ml. qu porcentaje de ellos e se derramarn? a d) Si los clientes reclaman por vasos servidos con 270 ml. o menos, de mil clientes, cuntos de ellos reclamarn? a a Distribucin ji cuadrada o 225. Sea X con distribucin 2 n. Compruebe que la correspondiente funo cin de densidad f x efectivamente lo es. o 226. Compruebe que la distribucin 2 n se reduce a la distribucin exp12 o o cuando n 2. 227. Sea X con distribucin 2 n. Demuestre que E X o VarX 2n. Compruebe adems que E X m 2m n a 2 para m 0. Distribucin t o 228. Sea X con distribucin tn. Verique que f x es efectivamente una o funcin de densidad. o 229. Sea X con distribucin tn. Demuestre que E X o nn 2, para n 2. 0, y VarX n, y que m n , 2
173 Vectores aleatorios 230. En una urna hay cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas, una despus de la otra, sin reemplazo. Sea X el nmero e u de la primera bola extra da, y sea Y el nmero de la segunda bola u extra da. Encuentre la funcin de probabilidad del vector aleatorio o o discreto X, Y . A partir de esta funcin encuentre las funciones de probabilidad marginales de X y Y . o 231. Sea X, Y un vector aleatorio discreto con funcin de probabilidad f x, y dada por la siguiente tabla.
x y 1 2 -1 0.3 0.05 0 0.5 0.15
a) Graque f x, y y demuestre que efectivamente se trata de una funcin de densidad. o b) Calcule y graque las densidades marginales f x y f y . Verique que ambas son efectivamente funciones de densidad.
c) Calcule y graque las distribuciones marginales F x y F y . Verique que ambas son efectivamente funciones de distribucin. o d) Son X y Y independientes? 232. Sea X, Y un vector aleatorio discreto con funcin de densidad f x, y o dada por la siguiente tabla.
xy 1 2 0 0.2 0.7 1 0 0.1
c) Calcule y graque las distribuciones marginales F x y F y . Verique que ambas son efectivamente funciones de distribucin. o d) Son X y Y independientes?
174
A. Ejercicios
233. Sea X, Y un vector aleatorio continuo con distribucin uniforme en o el cuadrado 1, 1 1, 1. a) Graque f x, y y demuestre que efectivamente se trata de una funcin de densidad. o b) Calcule y graque las densidades marginales f x y f y . Verique que ambas son efectivamente funciones de densidad.
c) Calcule y graque las distribuciones marginales F x y F y . Verique que ambas son efectivamente funciones de distribucin. o d) Son X y Y independientes? 234. Sea X, Y un vector aleatorio continuo con funcin de densidad f x, y o dada por la siguiente expresin. o f x, y exy si x, y 0, 0 otro caso.
c) Calcule y graque las distribuciones marginales F x y F y . Verique que ambas son efectivamente funciones de distribucin. o d) Son X y Y independientes? Covarianza 235. A partir de la denicin de covarianza, demuestre que o CovX, Y E XY E X E Y .
236. Demuestre las siguientes dos propiedades de la covarianza. Esto comprueba que la covarianza es lineal en cada argumento. a) Covc X, Y b) CovX1 X2 , Y c CovX, Y , CovX1 , Y CovX2 , Y . c constante.
175 237. Sean X y Y dos variables aleatorias discretas con funcin de probabio lidad conjunta dada por la siguiente tabla. xy -1 1 -1 3/8 1/8 1 1/8 3/8
Compruebe que la covarianza entre X y Y es 12. 238. Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con funcin de densidad o conjunta dada por f x, y 4xy si 0 x, y 0 otro caso. 1,
Compruebe que la covarianza entre X y Y es cero. Coeciente de correlacin o 239. Variables y tipos de datos 240. Clasique cada una de las siguiente variables de acuerdo a si es cualitativa o cuantitativa, y tambin de acuerdo a su posible escala de e medicin. o a) Evaluacin de un curso usando la siguiente escala: MB=Muy Bien, o B=Bien, S=Suciente, NA=No Acreditado. b) Nmero de hijos de una persona. u c) Escolaridad de una persona. d) Porcentaje de art culos defectuosos producidos en una fbrica. a e) Nivel de satisfaccin de una persona al adquirir un producto. o f) Preferencia electoral por alguna de las siguientes propuestas pol ticas: A,B,C,D,E,F. g) Uso o no uso de lentes de una persona. h) Principal pa de visita para una persona que viaja al extranjero. s i) Costo econmico en un accidente automovil o stico.
176 Estad stica descriptiva
A. Ejercicios
241. Calcule la media, moda, mediana, varianza, desviacin estndar y rano a go del conjunto de datos 4, 2, 0, 9, 4, 2, 1, 1, 4, 2. 242. Pregunte a diez personas sus estaturas. Registre todos estos datos y calcule la media, moda, mediana, varianza, desviacin estndar y o a rango. 243. Mediante el uso de una calculadora genere diez nmeros al azar dentro u del intervalo unitario 0, 1. Escriba estos datos y calcule la media, moda, mediana, varianza, desviacin estndar y rango. o a 244. Demuestre que
n i 1 n i 1
x i x xi x2 n1
1
0.
n i 1 n i 1
245. Demuestre que
x2 n2 . x i 1 xi2 . n i 1
n n
246. Demuestre que s2
x2 i
247. Encuentre el valor de c que minimiza la funcin xc o
xi c2 .
i 1
248. Calcule la media, varianza, desviacin estndar, mediana y moda o a aproximados del siguiente conjunto de datos agrupados. Elabore adems a un histograma.
Intervalo de clase 10 x 20 20 x 30 30 x 40 40 x 50 50 x 60 Frecuencia 4 3 6 5 5
249. Calcule la media, varianza, desviacin estndar, mediana y moda o a aproximados del siguiente conjunto de datos agrupados. Elabore adems a
177 un histograma.
Intervalo de clase 0 x 5 5 x 10 10 x 15 15 x 20 25 x 30 30 x 35 35 x 40 Frecuencia 12 23 10 14 6 10 5
Muestras aleatorias y estad sticas 250. Sea X1 , X2 , X3 una muestra aleatoria de la distribucin Berp. Eno cuentre la distribucin de la estad o stica X X1 X2 X3 . 251. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblacin con distribuo 2 , en donde los parmetros y 2 son desconocidos. Diga cin N, o a si las siguientes variables aleatorias son estad sticas. a) T1 b) T3 c) T5 4X1 Xn .
n i 1
d) T2 e) T4 f) T6
Xi Xi1 2.
Xn .
X1 Xn . 2 X1 X2 . mxX1 , . . . , Xn . a
252. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblacin con distribuo 2 . Encuentre la distribucin de la estad o stica cin N, o S Estimacin puntual o 253. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con funcin de probabilidad o o Berp. Calcule la esperanza y la varianza del estimador puntual p X. 254. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con funcin de densidad o o exp. Calcule la esperanza y la varianza de los siguientes estimadores para . a) 1 X1 Xn . X1 Xn .
178 b) 2 c) 3
1 2
A. Ejercicios
X1 X2 .
X.
Insesgamiento 255. Sean 1 y 2 dos estimadores insesgados para un parmetro , y sea a 1 1 2 es tambin un una constante. Demuestre que e estimador insesgado para . 256. Sean 1 y 2 dos estimadores insesgados para un parmetro . Ena cuentre condiciones sobre las constantes k1 y k2 para que el estimador k1 1 k2 2 sea insesgado. 257. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con funcin de densidad o o de probabilidad unif0, . Determine si los siguientes estimadores son insesgados para . b) 2 2X. a) 1 X. c) 3 1 X1 Xn . 2 258. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con media conocida y o 2 desconocida. Demuestre que la siguiente estad varianza stica es un estimador insesgado para 2 ,
2
1 Xi 2. ni 1
n
259. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con media desconocida y o varianza 2 desconocida. Demuestre que la siguiente estad stica es un estimador insesgado para 2 , S2 n1i 1
n 1
Xi X 2 .
260. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con media desconocida y o varianza nita 2 desconocida. Demuestre que la siguiente estad stica es un estimador insesgado para 2 , 2 2n 1 1
n 1 i 1
Xi1 Xi 2.
179 261. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con media y varianza o 2 desconocidas. Recuerde que la varianza muestral S 2 se ha denido n 1 2 como sigue S 2 i 1 Xi X . Demuestre que S no es un n1 estimador insesgado para . Modique S para que sea insesgado. Su gerencia: n21 S 2 2 n 1. 262. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con funcin de densidad o o 2 N0, . Demuestre que la estad stica X12 Xn n es un estimador insesgado para . Compruebe adems que su varianza es a 2 2 n. Mtodo de momentos e 263. Dada una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin uniforme n o en el intervalo 0, a, use el mtodo de momentos para encontrar un e estimador para el parmetro a. a 264. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria con funcin de densidad unio forme en el intervalo a, b. Obtenga los estimadores para a y b por el mtodo de momentos. e 265. Dada una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin exponencial n o con parmetro desconocido 0, use el mtodo de momentos para a e encontrar un estimador del parmetro . a 266. Dada una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin Poisson n o con parmetro desconocido 0, use el mtodo de momentos para a e encontrar un estimador del parmetro . a Mtodo de mxima verosimilitud e a 267. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de la distribucin Berp. o Demuestre que el estimador mximo veros a mil para el parmetro desa conocido p est dado por p X. a 268. Dada una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin Poisson n o 0, use el mtodo de mxima verosimilitud para e a con parmetro a encontrar un estimador del parmetro . a
180
A. Ejercicios
269. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con funcin de probabilidad o o en donde p 0, 1 es un parmetro. Use el mtodo de mxima a e a verosimilitud para encontrar un estimador para p. 270. Sea X1 , . . . , Xn una m.a. de una poblacin con funcin de densidad o o en donde 0, es un parmetro. Use el mtodo de mxima a e a verosimilitud para encontrar un estimador para . 271. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de la distribucin uniforme o a miles en el intervalo a, b. Justique que los estimadores mximo veros para los parmetros a y b pueden ser a a y b m X1 , X2 , . . . , Xn , n mx X1 , X2 , . . . , Xn . a f x x1 para 0 x 1, f x p1 px1 para x 1, 2, . . .
272. Sea X1 , X2 , . . . , Xm una muestra aleatoria de tamao m de la disn tribucin binn, p. Justique que los estimadores mximo veros o a miles para los parmetros n y p pueden ser a n y p mx X1 , X2 , . . . , Xm , a n. X
Estimacin por intervalos o 273. Se sabe que la vida en horas de un foco de 100 watts de cierta marca tiene una distribucin aproximada normal con desviacin estndar o o a 30 horas. Se tom una muestra al azar de 50 focos y result que o o la vida media fue de 1550 horas. Construya un intervalo de conanza del 95 % para el verdadero promedio de vida util de estos focos. 274. Se realizan 20 pruebas de resistencia de un cierto material obtenindose e los siguientes datos: 2225, 2300, 2217, 2190, 2295, 2285, 2195, 2255, 2232, 2252, 2272, 2231, 2223, 2211, 2219, 2231, 2218, 2262, 2257, 2261. Construya un intervalo de conanza del 98 % para la resistencia media de este material, suponiendo una distribucin normal. o
181 275. Suponga que se tiene una muestra aleatoria con funcin de densidad o de probabilidad Berp. Se desea obtener un intervalo de conanza al 90 % para p de tal forma que la longitud del intervalo sea a lo sumo 0.05. Qu tamao de muestra debe tomarse? e n Pruebas de hiptesis o 276. Suponga que se tiene una sola observacin X de una poblacin con o o distribucin uniforme en el intervalo 0, . Suponga que se desea llevar o a cabo la prueba de hiptesis o H0 : 1 vs H1 : 2.
Calcule las probabilidades de cometer los errores tipo I y II cuando la regin cr o tica (o regin de rechazo) est dada por el intervalo X 1.5. o a Pruebas para la media de una distribucin normal o con varianza conocida 277. Se cree que la estatura de cierta poblacin humana sigue una distribuo cin normal con media de 1.70 metros. Realice la prueba de hiptesis o o H0 : 1.70 vs H1 : 1.70,
con el siguiente conjunto de datos: 1.65, 1.75, 1.63, 1.81, 1.74, 1.59, 1.73, 1.66, 1.65, 1.83, 1.77, 1.74, 1.64, 1.69, 1.72, 1.66, 1.55, 1.60, 1.62. Use un nivel de signicancia del 10 %, y suponga 0.10 . 278. Las mediciones del nmero de cigarros fumados al d por un grupo u a de diez fumadores es el siguiente: 5, 10, 3, 4, 5, 8, 20, 4, 1, 10. Realice la prueba de hiptesis o H0 : 10 vs H1 : 10,
suponiendo que los datos provienen de una muestra tomada al azar de 1.2 . Use un nivel de signicancia del una poblacin normal con o 5 %. 279. Considere cualquiera de las tres pruebas de hiptesis para la media o de una poblacin normal con 2 conocida. Demuestre que en cualquier o caso la probabilidad de cometer el error tipo II tiende a cero cuando el tamao de la muestra n tiende a innito. n
182 Pruebas para la media de una distribucin normal o con varianza desconocida
A. Ejercicios
280. Una compa que produce cierto tipo de bebidas est utilizando una na a nueva maquinaria en el llenado de sus envases de 600ml. La nueva mquina es ms rpida que las anteriores pero se desea saber si debido a a a a la rapidez no se pierde precisin en el llenado. Se toman al azar o 100 envases llenados por la nueva mquina y se mide con cuidado el a 601.5ml. y la varianza muestral fue contenido. El promedio fue x s2 5.2. Con un nivel de signicancia del 5 %, lleve a cabo la prueba de hiptesis o H0 : 600ml. vs H1 : 600ml.
281. Por la falta de suciente alimento, se cree que la longitud de cierta especie de peces en un lago ha decrecido de su promedio habitual que es de 20cm. Con base en la muestra 20.3, 19, 18.5, 20, 19.5, 17, 19.3, 18.4, 19.5, 21, y con un nivel de signicancia del 10 % lleve a cabo la prueba de hiptesis o H0 : 20cm vs H1 : 20cm. 282. El nmero de preguntas promedio contestadas correctamente en un u examen de 100 preguntas es de 65. Una escuela ofrece un curso de preparacin para presentar dicho examen y garantiza un resultado o promedio mayor para aquellas personas que toman el curso. Con base en la muestra 62, 80, 55, 20, 97, 70, 68, 64, 71, 55, 57, 60, 88, de resultados de personas que han presentado el examen despus de e haber tomado el curso, y para un nivel de signicancia del 10 % lleve a cabo la prueba de hiptesis o H0 : 65 vs H1 : 65.
Apndice B e
Solucin a algunos ejercicios o

Esta seccin contiene algunas sugerencias de solucin a los ejercicios planteao o dos. Para algunos ejercicios es necesario ser ms expl a cito al dar una solucin o o al justicar una respuesta, considere por tanto que este material contiene simplemente ideas para generar una solucin completa y bien escrita. La o mayor de las grcas han sido omitidas. Recuerde adems que los mtoa a a e dos empleados o sugeridos para llegar a una solucin no son necesariamente o unicos. Espacio muestral y eventos 1. a) b) c) d)
AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS . AAA, AAS, ASS, SSS . 0, 1. 0, 1, 2, . . ..
e) Considere que las bolas tienen las etiquetas 1 y 2. Considere el arreglo C1 , C2 , C3 , C4 en donde cada coordenada Ci corresponde al conjunto de bolas que han sido depositadas en la celda i. Entonces 1, 2, , , , , 1, 2, , ,. . . , 1, 2, , ,. . . . El nmero total de elementos en es 16. u Puede usted escribir todos los arreglos?
f ) 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1. 183
184 2.
B. Solucion a algunos ejercicios
0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, . . . .
3. Suponiendo que las computadoras se encuentran numeradas,
x1 , . . . , x100 : xi 0, 1 para i
1, . . . , 100.
4. Si nos interesa observar el nmero de lanzamientos hasta obtener un 6 u se puede tomar 1, 2, . . . . Si nos interesa registrar con detalle los resultados, 6, N 6, N N 6, N N N 6, . . . , en donde cada N puede ser cualquiera de los nmeros 1, 2, 3, 4 5. u o 5. a) Nmero de hijos de una persona escogida al azar. b) Tiempo que u una persona tiene que esperar para la llegada de un autobs. c) Este u es el espacio muestral ms frecuente. El nmero 1 puede representar a u ganar en un juego de loter mientras que el nmero 0 corresponde a a u perder en el juego. Este es uno de los muchos ejemplos que pueden construirse para este espacio. Operaciones con conjuntos 6. e 7. Sea x en A. Como A A B, x tambin pertenece a B. Por lo tanto todo x elemento de A es tambin un elemento de B, es decir, A B. e 8. a) Sea x A B C . Entonces x A y x B C. La ultima armacin puede descomponerse en: x B x C, esto incluye el caso o o de pertenencia a ambos conjuntos. Si es el primer caso, es decir, si x B, entonces se obtiene que x A B, y por lo tanto x es un elemento del lado derecho de la igualdad. La misma conclusin se obtiene si o o x C. Esto demuestra la contencin A B C A B A C . De manera anloga se prueba la contencin contraria. b) Anlogo al a o a inciso anterior. 9. a) Demostraremos la contencin A B c Ac B c . Sea x A B c . o Entonces x A B , esto es, x A y x B. Por lo tanto x Ac y x B c . Es decir, x Ac B c . De manera anloga se prueba la a contencin contraria y de esa forma se demuestra la igualdad. b) o Pruebe ambas contenciones como en el inciso anterior.
185 10. Los enunciados son: a) A b) bA B B C c C c Ac Ac Bc Bc C c. C c.
Para el primer inciso se tiene que A B C c A B C c A B c C c Ac B c C c. De manera anloga se demuestra al segundo a inciso. 11. A 12. B A Bc Bc A
B B B
B c A A
A B B
A B B
B c . A A
A A
B c B c
A.
13. Anlogo al anterior. a 14. B B A.
15. Anlogo al anterior. a 16. a) A A B A A B c A A B c A B c A B. A B c B B c A B c B c A Ac A B c b) A B B A B B c A B c A B. B Ac C c A A B C c A B C . A B C c A B C .
Ac
17. a) A B A C A B A C c B Ac A B C c A B C c b) AC B C A C c B C c 18. A B A A B Ac
B A B A B c A B Ac B c A B B c B Ac A B c B A AB .
19. Compruebe que ambos lados de la igualdad del inciso (a) corresponden al evento que se muestra en la Figura B.1. El resto de los incisos de obtiene fcilmente de la denicin. a o 20. 21. Grcamente los conjuntos A y B son como se muestran en la Figua ra B.2. Se tiene entonces que A 2, 6, B , 1 3, , Ac , 2 6, , B c 1, 3, A B 2, 1 3, 6, A B R, A B 1, 3, B A , 2 6, , AB , 2 1, 3 6, .
186
C Figura B.1: ABC.
A B
2 1
0 0 3
Figura B.2: 22. Grcamente los conjuntos A y B son los que se muestran en la Figua , 2 2, , Ac ra B.3. Por lo tanto A 3, 1, B c 2, 2, A B 3, 2, A , 3 1, , B B , 1 2, , A B 2, 1, B A , 3 2, , AB , 3 2, 1 2, .
A B
3
2
0 0
2 Figura B.3:
23. Los conjuntos A y B son los que se muestra en la Figura B.4 (a). All pueden identicarse grcamente las operaciones que se solicitan. a 24. Los conjuntos A y B son los que se muestran en la Figura B.4 (b). All pueden identicarse grcamente las operaciones que se solicitan. a
187
B A A
(a)
(b)
Figura B.4: 25. El mximo es 50 % y el m a nimo es 0 %. 26. El mximo es 70 % y el m a nimo es 40 %. 27. a) A B C. b) A B C c A B c C Ac c) A B c C c Ac B C c Ac B c C . d) Ac B c C c . e) A B c C. Conjuntos ajenos 28. A B C .
B A
Ac
29. Sea x en A, entonces x no puede pertenecer a B pues A B . Por lo tanto x pertenece a B c . Esto demuestra que A B c . La otra contencin es anloga. o a 30. 31. 32. No son ajenos, tienen un unico punto en comn que es 0, 1. u 33. A1 B A B
34. nn 12.
188 Conjunto potencia 35. 2 36. 37. Sea A1 2A , entonces A1 consecuencia A1 2B . Producto Cartesiano
.
A B. Por lo tanto A1 B y en
38. A B C a1 , b1 , c1 , a1 , b1 , c2 , a1 , b2 , c1 , a1 , b2 , c2 ,a1 , b3 , c1 , a1 , b3 , c2 ,a2 , b1 , c1 ,a2 , b1 , c2 , a2 , b2, c1 ,a2 , b2 , c2 , a2 , b3 , c1 , a2 , b3 , c2 . 39. 40. 2n . Probabilidad #A# 0, y P ## 1. Adems, a 41. Claramente P A cuando A y B son ajenos, #A B #A #B, y de all se sigue la tercera propiedad. 42. Para cualquier valor natural de n, se cumple que nAn 0, y nn nn 1. Cuando A y B son ajenos, nA B nAnB . Ahora tome l mite cuando n tiende a innito y obtenga el resultado requerido. 43. a) P P1 1 P2 1 1. b) P A P1 A1 P2 A 0. c) Cuando A y B son disjuntos, P A B P1 A B 1 P2 A B P1 A P1 B 1 P2 A P2 B P1 A 1 P2 A P1 B 1 P2 B P A P B . 44. P nos. P
a, a,a, b,a, c,b, a,b, b,b, c,c, a,c, b,c, c.
P P . Ahora cancele uno de los trmie
189 45. B B A B Ac , siendo esta unin ajena. Aplicando proo c . El segundo sumando es P B A P B A babilidad, P B P B A. A, se tiene que 46. La primera desigualdad es evidente. Como A B P A B P A. Anlogamente como A A B, P A P A B . a La siguiente desigualdad es consecuencia de la frmula P A B o P A P B P A B . Finalmente la ultima desigualdad se obtiene de P A P 1. 47. El resultado se obtiene de 1 P A B 0.7 . 0.5 . P A P B P A c) P Ac B 0.2 . B . d) 48. a) P A B 0.5 . b) P Ac P A B c 0.3 . e) P AB
49. a) Verdadero, pues A B A. b) Falso, considere por ejemplo el experimento de lanzar una moneda equilibrada. Ambos resultados tienen la misma probabilidad pero evidentemente no son iguales. c) Falso, en el experimento de lanzar un dado equilibrado, considere por ejemplo los eventos A 1 y B 2, 3. Claramente P A P B pero A no est contenido en B. a 50. a) Verdadero, pues A A B. b) Falso, A y B pueden ser ajenos. c) Verdadero, P A B P A P B P A B 12 12 P A B 1 P A B 0. d) Falso, A puede ser . 51. a) Falso. En el experimento de lanzar una moneda equilibrada, sea A el resultado de obtener una de las caras y B obtener la otra cara. Entonces P B A P B 12, mientras que P B P A 12 12 0. El resultado es cierto bajo la condicin A o B. b) Falso, excepto cuando A y B son independientes. Considerando el ejemplo del inciso anterior, P A B 0, mientras que P AP B 12 12 14. c) Verdadero. P Ac 1 P A 1 12 12. d) Falso, A puede ser . e) Cierto pues A B c . 52. P A 53. 54. 23.
190 Anlisis combinatorio a 55. 6! 56. a 720. 310 59, 049. b

12 10
66.
57. 16. 58. 380. 59. El total de casos posibles es 5! 120. Los casos favorables son dos: 12345 y 54321. Por lo tanto la probabilidad buscada es 2120 160.

60.
n 2
nn 12. 2730.
61. 15 14 13
62. Un entero positivo de a lo sumo cinco d gitos que es divisible por 2 es de la forma xxxxy en donde x puede ser cualquiera de 0, 1, . . . , 9 y y puede ser 0, 2, 4, 6, 8. Por lo tanto el total es 10 10 10 10 5 50000, excepto que debemos omitir el entero 00000. Si empiezan con el nmero 1, entonces son de la forma 1xxxy, y entonces la respuesta u es 10 10 10 5 5000 y esta vez no hay necesidad de omitir ninguno de ellos.

63.
5 3
10.
64.
10 2
45.
8
2
6. El total de saludos es 65. El total de abrazos es 4 2 24. Por lo tanto el total de besos es 24 6 18. 66. 67. 68. 70. 69. nk
28 4
191 70. Simplique el lado derecho. 71. Simplique el lado derecho. 72. Simplique el lado derecho. 73. Simplique el lado derecho. 74.

75.
50 k
200 20 k
250 . 20
76. Considerando inicial y articialmente que los siete d gitos son todos distintos, la respuesta preliminar es 7! 5040. Como los cuatro d gitos 1 son idnticos, cualquier permutacin entre ellos produce el mismo e o nmero y por lo tanto debemos dividir el resultado preliminar por 4! u Anlogamente con los tres d a gitos 0. La respuesta nal es 7!4! 3! 504024 6 35. 77. Razonando como en el ejercicio anterior, la respuesta es 4!2! 1! 1! 6. 78. Suponiendo que cada ao tiene 365 d n as, la respuesta es 1 364 365 n 1365n .
365
79. El total es 4536. No es cierto que la mitad de ellos sean pares y la otra mitad impares. Existen 2296 pares y 2240 impares.
80. a) 81. 82. 83. 84. 85. 86.
10 3
15 . b) 3
25 . c) 6
15 6
10 . 6
192 87. 88. 89.
90. Se pueden obtener un total de 2n subconjuntos distintos de un conjunto de cardinalidad n. Los 16 subconjuntos de a, b, c, d son: , a, b, c, d, a, b, a, c, a, d, b, c, b, d, c, d, a, b, c, b, c, d, a, c, d, a, b, d, a, b, c, d. 91. 2n . El conjunto E corresponde al conjunto de los n ejes coordenados, o uniones de stos. e 92. a) 20. 93. 94. 26 . 96. n!2 . 95. n! n 1! b) 400.
97. 7!3! 2!.
98. 11!5! 4! 2!. 99. Considere que se tienen k casillas numeradas 1, 2, . . . , k en donde se desean colocar n bolas sin ninguna restriccin en el nmero de bolas o u que caben en cada casilla. De esta forma, el nmero de bolas en la u casilla 1 es el valor de x1 , lo mismo para las casillas 2, 3, . . . , k. Las respuestas son entonces n mk1 nk1 . b) . c) Innito. a) n m m 0
100. Considere que los nmeros 1, 2, . . . , n representan casillas que se enu cuentran ordenadas de manera natural. El problema puede entonces traducirse en colocar k bolas en este arreglo de casillas en donde cada casilla admite a lo sumo una bola. La respuesta es entonces n . k 101. a b c3 a3 b3 c3 3ab2 3ac2 3a2 b 3a2 c 3b2 c 3bc2 6abc.
193 Probabilidad condicional e independencia 102. a) Como B Ac B A B , se tiene que P Ac B P B P A B P B P AP B P B 1 P A P B P Ac . c c B 1 P A B b) Anlogo al primer inciso. c) P A a 1 P A P B P A B 1 P A P B P AP B 1 P A1 P B P Ac P B c . 103. a) P A d) P A 104. a) P B B B 110 0.05 0.55 b) P Ac e) P Ac b) P B B B 0.45 0.95 c) P B c) P A B c 0.05 f) P A B c 0.55. 16.
15
105. a) P A B 0 b) P B P B P B 1 c) Sean A1 y e A2 ajenos. Entonces A1 B y A2 B tambin son ajenos. Por lo tanto P A1 A2 B P A1 A2 B P B P A1 B A2 B P B P A1 B P B P A2 B P B P A1 B P A2 B . 106. P A B C P C A B P A B P B ppp p3 .
se obtiene P A B 0. b) Falso. Tmese o 107. a) Falso. Con A A y B tal que 0 P B 1. Entonces P A B 1 mientras que c) Falso. Tmese A B con 0 P A 1. o P B A P B 1. Entonces P A B 1 mientras que P A 1.
108. a) Verdadero y ello es consecuencia del hecho de que P B es una medida de probabilidad. Alternativamente P A B P Ac B P A B P B P Ac B P B P A B Ac B P B c B P B P A A P B P B 1. b) Falso. Tmese A . o El lado izquierdo es 2 mientras que el lado izquierdo es 1. c) Cierto. P A A B P A B P A B 1. El clculo es idntico para a e P B A B . 109. Todos los incisos son ciertos. Solo es cuestin de escribir la denicin o o de cada probabilidad condicional. 110. a) Falso. Tmese por ejemplo A B1 B2 . Entonces el lado izquierdo o es uno mientras que el lado derecho es dos. b) Cierto. P A1 A2 B P A1 A2 B P B P A1 B P B P A2 B P B
194
B. Solucion a algunos ejercicios P A1 B P A2 B . c) Falso. Tmese B1 B2 . El lado derecho es o A2 . El lado el cuadrado del lado izquierdo. d) Falso. Tmese A1 o derecho es el cuadrado del lado izquierdo.
111. a) P P 1 P P .
P P .
b) P
112. a) Falso. Tmese B . Entonces A y B son independientes pero no o son ajenos. b) Falso. Considere el experimento de lanzar una moneda honesta, y sean A y B los eventos de que caiga una cara y la otra respectivamente. Entonces claramente A y B son ajenos pero no son independientes. 113. a P A b P A
P A
P AP .
P AP .
114. P A B 1 P Ac B c 1 P Ac P B c pues Ac y B c tambin e son independientes. Alternativamente desarrolle P A B y factorice adecuadamente. 115. a) Cierto pues la denicin es simtrica respecto de los eventos A y o e B. b) Falso en general. Tmese A tal que 0 P A 1. Entonces o P A A P A mientras que P AP A P A. Cuando P A es cero o uno la propiedad es vlida. a c) Falso. Tmese 1, 2, 3, 4 o equiprobable con A 1, 2, B 2, 3 y C 3, 4. Entonces se cumple P A B 14 P AP B y P B C 14 P B P C , pero P A C 0 distinto a P AP C 14. 116. La probabilidad de que no ocurra ninguno de los eventos es P Ac B c , que por la independencia es igual a P Ac P B c 1 p1 1 p2 . 117. Como A y B son independientes y ajenos, 0 P A B P AP B . Para que este producto se anule forzosamente alguno de los factores tiene que ser cero. 118. a) 0, 0, 0, 12. d) 0, 12, 0, 12. b) 0, 12, 14, 34. c) 0, 12, 12, 1.
195 119. El subconjuntos de cardinal 1, 2, . . . , n respectivamente es total de n n n n , , ..., . De modo que la respuesta es n 1 2 n 1 n 2n n 1. 120. 121. Teorema de probabilidad total 122. Se puede usar el mtodo de induccin sobre n. Claramente P R1 e o r r b. Suponga entonces vlida la igualdad P Rn a r r b. Se condiciona la probabilidad del evento Rn1 dado el resultado de la primera extraccin, y en tal situacin puede considerarse que la o o conguracin inicial de la urna cambia, de modo que el evento Rn1 se o reere ahora a la n-sima extraccin y all es donde se usa la hiptesis e o o de induccin. Entonces por el teorema de probabilidad total, o P R n 1
c c P Rn1 R1 P R1 P Rn1 R1 P R1 rc r b r b r r c r c rbc b r . rb
123. Sean N1 , N2 y N3 los eventos correspondientes a escoger los nmeros u 1, 2 y 3 respectivamente. Sea A el evento obtener 5 al lanzar el dado. Entonces P A P A N1 P N1 P A N2 P N2 P A N3 P N3 11108. Teorema de Bayes 124. Sea A el evento cuando todas las bolas son del mismo color, y N cuando en particular son todas negras. Entonces P N A P A N P N P A
n n
k
b .
k
125. Sea R0 el evento se recibe un cero, y E0 el evento se env un cero. a Anlogamente se denen los eventos R1 y E1 . Entonces a
196
B. Solucion a algunos ejercicios a) P R0 P R0 E0 P E0 P R0 E1 P E1 0.8 0.4 0.1 0.6 0.38. b) P R1 P R1 E0 P E0 P R1 E1 P E1 0.2 0.4 0.9 0.6 0.62. c) P E0 R0 P R0 E0 P E0 P R0 0.8 0.40.38 0.84. d) P E1 R1 P R1 E1 P E1 P R1 0.9 0.60.62 0.87.
126. Variables aleatorias 127. a) Discreta, los valores pueden ser 0, 1, 2, . . . si la escala de medicin o son aos. b) Discreta con posibles valores 0, 1, 2, . . . c) Puede ser n continua y considerarse tericamente el intervalo 0, . d) Discreta o con posibles valores 0, 1, 2, . . . si slo se consideran unidades moneo tarias. 128. a) Continua con valores en 0, 1. b) Discreta con valores en el conjunto 0, 1, 2, . . . , 8, 9. c) Continua con valores en 0, 1. d) Continua con valores en 0, 12. 0 129. El rango de X es el conjunto 4, 2, 0, 2, 4, 6. P X P X 2, 3 16, P X 0 23, P X 0 13, P X 2 0, P 2X 4 0 16 y P X 2 4 13. 16, 1
130. P X 0 12, P X 0 12, P Y 1 34 2, P Z 12 14 y P 13 Funciones de densidad y de distribucin o
X 12, P X Y Z 12 536. 355. 1.
131. a) c 155, P X 2, 3, 4 955, P X 3 1385, P X 2, 3, 4 9385, P X 3 3385. 132. c 133. c 12, P X 12, P X
b) c
1,
22, P X , 2 12e.
134. a) y b) La constante c no puede ser cero. Tampoco puede ser positiva o negativa pues en ambos casos la funcin de probabilidad toma valores o negativos, lo cual no es permitido.
197 135. P X 0 0.8, P X 0 0, P X 2 1 0.7.
136. La funcin de probabilidad de X 2 es o x f x La de X es x f x Y la de 2X 0 0.4 1 0.15 2 0.2 3 0.15 5 0.1 0 0.4 1 0.15 4 0.2 9 0.15 25 0.1
5 es
x f x -9 0.1 -7 0.15 -5 0.4 -1 0.1 1 0.15 5 0.1
137. El valor de c es 0.8. La funcin de probabilidad de X 2 es o x f x 138. a) k 2. b) F x despus. c) P 1 e 15. d) m 52. 0 0.8 4 0.2
x 210 para x 2, 8, cero antes, uno X 3 25, P X 2 35, P X 0
139. Se trata de una variable aleatoria discreta cuya funcin de probabio lidad es f 1 13 y f 2 23. Por lo tanto P X 2 23, y P 1 X 2 0. 140. La funcin de densidad es f x o 12 x, para x 0, 1. P X 12 0 y P X 12 F 1 F 12 1 1 2. 141. a) 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 1, 2, 3, 2, 4, 3, 1, 3, 2, 3, 4, 4, 1, 4, 24, 3. b) La funcin de probabilidad de X es o x f x d) P X 6 3 2/12 4 2/12 X 5 5 4/12 6 2/12 7 2/12 6 16.
13, P 3
12, P X
198
142. Es funcin de densidad pues es no negativa y es tal que f 0 f 1 o f 2 1. 143. Es funcin de densidad pues es no negativa y por el teorema del bio nomio se cumple que 4 0 f x 34 144 1. Esta es la funcin o x de probabilidad de la distribucin binn, p con n 4 y p 34. o 144. Ninguna de las funciones es de densidad. La primera no integra uno, y para la segunda se tiene que f 32 0. 145. La funcin de probabilidad es f x o Por lo tanto P 0 X 10 F 9 146. c 147. a) c 3. F x 2 b) F x
12x1 , para x 1 1210 .

0.
0, 1, 2, . . .
x2 9 para x 0, 3, cero antes, uno despus. e 1 ex , para x

2
Esperanza, varianza, momentos 148. Puede considerarse la variable aleatoria constante X a. Alternativamente puede tomarse a X como aquella variable aleatoria que toma los valores a 1 y a 1 con idntica probabilidad 12. Puede usted e construir una variable aleatoria continua con la propiedad indicada? 149. a) E X 150. a) E x 76. 1. b) E X 0. 43. b) E X
151. La funcin es no negativa. Usando fracciones parciales se comprueba o la identidad 1 1 1 x 1. xx 1 x o Entonces la suma x 1 f x es telescpica y vale uno. Por otro la1 do la esperanza no existe pues la suma x 1 xf x x 1 x1 es divergente.
152. Para demostrar que esta funcin es de densidad es necesario recordar o que la derivada de la funcin hx arctan x es h x 11 x2 . Por o 1 1 d 1 1 lo tanto 1x2 dx dx arctan x dx arctan x 2 2 1. La esperanza no existe por que la integral resultante
199 no es absolutamente convergente:

2 x 1 1 x2 1 x 1x2 dx x 2 0 1 x2
dx
2 x 1 x2 x2
dx
1 1 1 x
dx
dx
153. a) Cierto, la constante cero cumple tal condicin. b) Falso, las sio guientes dos distribuciones son distintas y ambas tienen esperanza cero. x -1 0 1 f1 x 1/2 0 1/2 f2 x 1/3 1/3 1/3 c) Falso, si X es una variable aleatoria con esperanza nita y positiva, entonces X tiene esperanza negativa. d) Cierto, por ejemplo todas las constantes son variables aleatorias con varianza cero. e) Cierto, pues la varianza es la esperanza de una variable aleatoria no negativa. f) Falso, dos variables aleatorias constantes distintas tienen varianza cero. 154. Tanto la esperanza como la varianza son constantes. Los resultados se siguen del hecho de que la esperanza de una constante es la constante misma y la varianza de una constante es cero. 155. a) E X c P X c cn 1 cn . c) VarX 156. E X 3 y VarX c 1 c. b) E X n cn P X c c E X 2 P X c c c2 1 0.
249.
12. Usaremos resultados de 157. Esta es la distribucin geop con p o x x1 . x12x1 sumas geomtricas. E X e x 0 x 1 y 1 12 Intercambiando el orden de las sumas se encuentra la expresin o x1 y 1. Para la varianza encontraremos y 1 x y 12 y 1 12 primero el segundo momento, y para ello usaremos la identidad x2 2 x1 x1 xx 1 x. E X 2 x 1 x 12 x 0 xx 112 x1 . La segunda suma acaba de ser calculada y vale uno. x 0 x12 Para la primera suma escriba xx 1 como 2 x 1 y. Intercambiando y ahora el orden de las sumas se llega a E X 2 2 y 1 y x y 12x1 1 2 y 1 y 12y 1 22 y 1 y 12y1 1 4 1 3. Por lo tanto la varianza es VarX E X 2 E 2 X 3 1 2.
200
158. Ambos incisos son ciertos pues tanto E X como VarX son constantes. 159. La funcin es de densidad pues es no negativa y la integral 1 e x dx o 2 1 puede ser escrita como 2 0 2 ex dx 0 ex dx 1. a) La esperanza de X es x 1 e x dx. Separando la parte positi2
1 1 va y la negativa se obtiene 0 x 2 ex dx x 2 ex dx. Mediante el x se comprueba que la segunda integral es cambio de variable y el negativo de la primera, se obtiene que la esperanza es cero. 1 b) El segundo momento es x2 2 e x dx. Nuevamente separando la 0 0
1 parte positiva de la negativa se obtiene 0 x2 2 ex dx x2 1 ex dx. 2 Ahora al hacer el cambio de variable y x en la segunda integral se obtiene que es idntica a la primera integral. Por lo tanto se obtiene e el doble de la primera, es decir, 0 x2 ex dx. Usando integracin por o partes puede comprobarse que esta integral vale 2. c) Por los clculos anteriores VarX E X 2 E 2 X 2. a d) El n-simo momento es xn 1 e x dx. Nuevamente separando la e 2 0 parte positiva de la negativa se obtiene 0 xn 1 ex dx xn 1 ex dx. 2 2 x en la segunda integral se obAl hacer el cambio de variable y 1 tiene que es 1n2 0 xn 2 ex dx. Cuando n es impar se trata del negativo de la primera integral, de modo que la suma es cero. Cuando n es par, es idntica a la primera integral, y entonces el resultado es e e o xn ex dx. Aplicando repetidas veces el mtodo de integracin por 0 partes se comprueba que esta integral vale n!
160. a) Cierto pues la esperanza es lineal. b) Falso pues en general VarcX c2 VarX . c) Falso. El lado izquierdo es VarX y el lado derecho es siempre cero. 161. La tercera igualdad no es correcta pues la varianza en general no es lineal. 162. E X n n, para n 0.
Distribucin uniforme discreta o 163. a) E X

n 1
i 1
1 i ni 1
n
1 nn 1 n 2
n 12.
201 b) E X 2 c) VarX 164. 45100. 112.

n i 1
i2
12n 16.
1 n
1 2 i ni 1
n
1 nn 12n 1 n 6
E X 2 E 2 X
n 12n 1 n 12 n2 6 4
Distribucin Bernoulli o 165. Es muy sencillo vericar que f x 0, y f 0 f 1 a) E X 0 1 p 1 p p. b) E X n 0n 1 p 1n p p. c) VarX E X 2 E 2 X p p2 p1 p. Distribucin binomial o a 166. Claramente f x 0. Adems por el teorema del binomio n x n p 1 pnx p 1 pn 1. x 0 x

n x 0f
1. Adems a
n n x nx . La suma puede em167. La esperanza es E X x 0 x x p 1 p pezar desde uno. Factorizando np y escribiendo n x n 1x 1 se encuentra la expresin o
np
n x
n 1! x1 n1x1 , n 1 x 1!x 1! p 1 p 1

1 lo cual es np n 1 n1 px1 1 pn1x1 . Haciendo el cambio de x x variable y x 1 en la suma, sta se convierte en la suma completa e de la distribucin binn 1, p y vale uno. El resultado es entonces o np. Para la varianza se usa la misma tcnica. Se calcula primero el e segundo momento escribiendo x2 xx 1 x, es decir,
E X
2
n x 0 n x 0
n x p 1 pnx x
n x n x x p 1 pnx p 1 pnx . x x x 0
n
xx 1
202
B. Solucion a algunos ejercicios La segunda suma acaba de ser calculada y vale np. La primera suma puede empezar desde 2, y procediendo como en el caso de la esperanza puede escribirse como nn 1p
2 n x
n 2! n2x2 , x2 n 2 x 2!x 2! p 1 p 2

2 lo cual es nn 1p2 n 2 n2 px2 1 pn2x2 . Haciendo el x x cambio de variable y x 2 en la suma, sta se convierte en la e suma completa de la distribucin binn 2, p y vale uno. El segundo o momento es entonces nn 1p2 np. Por lo tanto VarX E X 2 E 2 X nn 1p2 np n2 p2 np1 p.
168. n 8yp 12. 169. P Y x P n X x P X n x. Al substituir la funcin o de probabilidad de X resulta que Y tiene distribucin binomial con o el mismo nmero de ensayos n, pero la probabilidad de xito es ahora u e u e 1 p. Si X cuenta el nmero de xitos en n ensayos Bernoulli, entonces Y cuenta el nmero de fracasos. u 170. Desarrolle el lado derecho.

171.
6 3
126 . 122n .
npq y E X np. Entonces efectivamente
172.
2n n
173. Recuerde que VarX npq np pues q 1.
174. Los tres eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, cada uno de ellos tiene probabilidad 126 . Distribucin geomtrica o e 175. f x 0. Adems a
x 0
f x
x 0
p1 px
p1p
1.
203
x 176. Usaremos resultados de sumas geomtricas. E X e x 0 xp1 p x x x 1 y 1 p1 p . Intercambiando el orden de las sumas se eny cuentra la expresin y 1 x y p1 px o 1 pp. y 1 1 p Para la varianza encontraremos primero el segundo momento, y para 2 x ello usaremos la identidad x2 xx 1 x. E X 2 x 1 x p1 p x x x 0 xx 1p1 p x 0 xp1 p . La segunda suma acaba de ser calculada y vale (1-p)/p. Para la primera suma escriba xx 1 como 2 x 1 y. Intercambiando ahora el orden de las sumas se llega y a E X 2 2 y 1 y x y p1 px 1 pp 2 y 1 y 1 py 2 1 pp p y 1 yp1 py 1 pp 21 pp2 1 pp. Por lo tanto la varianza es VarX E X 2 E 2 X 21 pp2 1 pp 1 p2p2 1 pp2 .
178. 83=2.66 extracciones. Distribucin Poisson o
177. P X ab X a x p x p x a 1 p
P X a bP X a p x ab 1 ab 1 pa b 1 p 1 p P X b.
179. La funcin f x es no negativa y es tal que x 0 f x o x 0e x! x e x 0 e e 1. Para la esperanza tenemos que E X x! x x x1 x e x 0 x 1e x! x1! x 1 e x1! . Usando xx 1 x, puede encontrarse que el segundo la igualdad x2 momento es E X 2 2 . Por lo tanto VarX E X 2 E 2 X 2 2 .
x
180. Desarrolle el lado derecho. 181. Sume las series e 2 2! 3 3! 1 2 2! 3 3! , y e 1
182. a) 0.323 b) 0.593 c) Una o dos computadoras descompuestas tienen probabilidad mxima 0.2706. a Distribucin binomial negativa o 183. Este ejercicio no es f Una forma de resolverlo es a travs de la acil. e n a x k nk 1 , y la expansin 1 ta frmula k o o 1 k x 0 x t
204 para a real y 1. Entonces t r x r 1 px p x 0 1 x pr
184. Para la esperanza, factorice el rx1 r p 1 px . Observe que la suma puede empezar E X x 1x x desde 1. La suma resultante es uno pues se trata de las probabilidao des de la distribucin bin negr, p. Para la varianza use la frmula o x2 xx 1 x para calcular primero E X 2 , separando las sumas. El procedimiento es anlogo al caso de la esperanza, el resultado es a E X 2 r r 11p2 p2 r 1pp. Al substituir estos resultados en la frmula VarX E X 2 E 2 X se obtiene VarX r 1 pp2 . o 185. Factorice el trmino 1 pr x 1x en la expresin de P X e o Distribucin hipergeomtrica o e 186. El resultado se sigue de la frmula o Distribucin uniforme continua o 187. Claramente f x 0, y la integral de f x es el rea del rectngulo a a de base b a y altura 1b a que vale uno. x.
px pr 1 p 1r 1. x 0 x p 1 trmino r 1 pp en la expresin e o
x 0
rx1 r p 1 x r x
n m r k 0 k r k
nm
r
b2 a2 2b a a b2. b) 188. a) E X a x 1b a dx b 2 b3 a33b a a2 ab b23. E X 2 a x 1b a dx Por lo tanto Varx E X 2 E 2 X a2 ab b2 3 a b2 4 b a212.

b
189. a
1yb
7.
1 n 0 x 1 dx b
190. E X n
1n 1.
n1 n1ba x a 1
n 191. E X n a x 1b a dx 1b a. 1
bn1 an1 n
1 n1 n 192. E X n 1 x 12 dx 2n1 x 1 . Si n es impar, entonces n 1 es par y la integral se anula. Si n es par, entonces n 1 es impar y la integral es 1n 1.
205 193. X toma valores en 0, 1 y Y toma valores en 5, 5. Para cualquier P Y y P 10X 5 y P X y y 5, 5, FY y 510 FX y 510. Derivando fY y fX y 510 110. Pero o fX y 510 vale uno slo cuando 0 y 510 1, es decir, si 5 y 5. Por lo tanto, Y tiene distribucin unif5, 5. o 194. La mediana en este caso es unica y vale m a b2 pues cumple la condicin P X m P X m 12. Vea un ejercicio anterior o para la demostracin de que la media es tambin a b2. o e Distribucin exponencial o 195. f x 0y
0
ex dx
ex 0
1.
x dx. Usando integracin por partes con u x y o 196. E X 0 xe x dx, se obtiene E X ex dx 1 0 ex dx dv e 0 1. Para la varianza calcule primero el segundo momento, usan2 x dx do nuevamente integracin por partes, E X 2 o 0 x e x dx 2 x ex dx 22 . Por lo tanto VarX 2 0 xe 0 E X 2 E 2 X 22 12 12 .
197. P X ey x y X x P X y . P X x y P X x exy ex
1 ex ey exy 198. F x F y 1 ex 1 ey 1 ex 1 ey 1 exy F x F y F x y. 10 1. 199. Suponga que el tiempo se mide en minutos. E X Por lo tanto 110. Entonces P X 60 1 P X 60 1 1 e6010 e6 0.002478 . Por lo tanto de 1000 usuarios, aproximadamente 2.47 tienen conexin mayor a una hora. a) o P X 10 F 10 1 e1010 1 e1 0.6321 . b) P 10 6 1 e1 0.3654 . X 60 F 60 F 10 1 e Distribucin gamma o 200. La funcin es no negativa, adems haciendo el cambio de variable o a xn1 ex dx n 1 n1 et dt 1. t x se obtiene 0 n n 0 t n
206
xn1 x dx n1 xn x dx. La in201. a) E X 0 x n e n 0 n1 e tegral vale uno, y usando la propiedad n 1 n n se obtiene n1 x dx 2 x E X n. b) E X 2 0 x n e n2 xn1 x dx n1n2 . Por lo tanto VarX E X 2 2 n 0 n2 e E 2 X n 1n2 n2 2 n2 . c) Anlogo al inciso anterior. a
tn y tn et dt. Use integracin por partes con u o 202. a) n 1 t dt. b)0Por el inciso anterior, 2 1 1, por lo tanto es dv e t dt 1. c) Esto suciente demostrar que 1 1, pero 1 0 e es consecuencia de los dos incisos anteriores. d) Haciendo el cambio 2 12 et dt t, 12 2 0 ex 2 dx de variable x2 2 0 t 2 1 2 2 1 . El ultimo integrando es la densidad ex 2 dx 2 2 normal estndar. a Distribucin beta o 203. Claramente f x xb1 dx
B a,b B a,b
1.
0, y
1 1 0 B a,b
a 1
1xb1 dx
1 B a,b
1 0
xa1 1
204. a) E X
xb1 dx para obtener E X aa b. 1 x2 a1 1 xb1 dx b) E X 2 0 B a,b x xb1 dx

B a 2,b B a,b
1 x 0 B a,b B a 1,b B a,b .
B a1,b 1 1 b1 a1 a x 1 x dx B a,b 0 B a1,b x 1 Ahora se usa la identidad B a 1, b a ab B a, b B a 2,b B a,b
. En donde B a 2, b a1 a 1 a a B a, b. Por lo tanto E X 2 a1 ab , y entonces VarX ab1 ab b a1 a2 ab a ab1 ab ab2 ab1ab2 .
1 1 0 B a 2,b a 1 a b 1B a
a1 x 1 1, b
205. a) Efecte el cambio de variable y 1 x. u 1 a1 dx b) B a, 1 1a. 0 ax 1 b1 dx c) B 1, b 1b. 0 a1 x 1 a b1 dx. Use integracin por partes con o d) B a 1, b 0 x 1 x a 1 a1 b1 dx para llegar a B a 1, b a y dv u x 1 x 1 b 0x a b dx x B a, b 1. b e) Puede usarse la identidad B a, b aba b. B a 1, b
207
a a a 1ba b 1 ab aba b ab B a, b. b b f) Por el inciso anterior, B a, b1 B b1, a ab B b, a ab B a, b. g) Efecte el cambio de variable x cos2 . u
206. Simplemente sustituya esos valores para los parmetros a y b en la a distribucin betaa, b. Recuerde que B 1, 1 1. o 207. a) f x 1 x1 x, para 0 x 1. b) Efecte el cambio de variable x cos2 . u B 1 12, 12B 12, 12 1212 12 c) E X Para la varianza use E X 2 B 2 12, 12B 12, 12. 208. Compruebe que B a, 1 xa , para x 0, 1. 1a. Por lo tanto F x
12.
x 0 ua1 duB a, 1 x 0 1ub1 duB 1, b
209. Compruebe que B 1, b 1b. Por lo tanto F x 1 1 xb , para x 0, 1. 210. E X n

1 0 xn xa1 1 xb1 dxB a, b
B a n, bB a, b.
Distribucin Weibull o 211. La funcin es claramente no negativa, por lo que unicamente hace o falta vericar que integra uno sobre el eje real. Haciendo el cambio de variable indicado tenemos que
f x dx
eux u x dx
eux 0
1.
212. Haciendo el cambio de variable indicado, para valores positivos de x, F x 213.

x
0
eut u t dt
eut 0
1 eux
1 ex .
208 Distribucin normal o
214. Este ejercicio no es fcil pero puede resolverse por varios mtodos. El a e siguiente mtodo hace uso de coordenadas polares. e 2 2 1 1 x2 2 dx. Entonces I 2 ex 2 dx Sea I 2 2 e
en donde la ultima integral se obtiene de spus del cambio de variable a coordenadas polares x, y r cos , r sen . e 2 Entonces I 2 0 er 2 r dr 1.
1 x 2 dx. Hacien215. Considere la esperanza E X x 22 e do el cambio de variable u x se encuentra que E X E Z , en donde Z N0, 1. Por lo tanto es suciente dea mostrar que E Z 0, pero ello es fcil pues el integrando de E Z 2 u 1 eu 2 du es una derivada excepto por el signo. Por lo tanto 2 E X . Para la varianza considere el segundo momento E X 2 1 x2 22 dx. Efecte nuevamente el cambio de variable 2 u x 22 e y x y encuentre que E X 2 2 2E Z 2 E Z 2 . Resta y2 2 dy. Esta integral puede realizarse 2 1 encontrar E Z 2 y 2 e
2 2
2 2 1 e x 2 dx 2 2 1 r 2 2 r dr d, 0 2 e 0
2 1 e y 2 dy 2
1 2 e
x2 y2 2 dx dy
10 P Z 218. a) P X P 0 X 40 P 0
10 12. b) P X 0 P Z 2 0.0228 . c) 217. a) P X X 10 P 2 Z 0 0.4772 . d) P X 20 P 0 P Z 2 0.0228 . e) P 20 X 10 P 6 Z 0 12. 1 Z 0.8413 . b) P X 0 12. c) 4 12. d) P X 30 P Z
216. Suponga X N, 2 . Sea Z X . Entonces FZ u P Z u P X u P X u FX u . Derivando respecto a u, fZ u fX u . Substituya la expresin para fX x y eno cuentre la densidad normal estndar. El procedimiento es reversible. a Suponga Z N0, 1. Sea X Z. Entonces FX x P X x P Z x P Z x FZ x . Derivando reo specto a x, fX x fZ x . Substituya la expresin de fZ x 2 . y encuentre la densidad N,
por partes con u y y dv y 1 ey 2 dy. El resultado es 1. Por lo 2 tanto E X 2 2 2 , y entonces VarX 2 2 2 2 .

2
209 3 219. a) x 220. 0.0013 . e) P 10 1.115 . b) x X 10 P 1 Z 1 0.6826 .
1.375 . Suponga a 0. Entonces FY y P Y y P aX b y P X y ba FX y ba. Derivando, fY y fX y baa. Substituya ahora en esta expresin la funcin de densidad N, 2 o o y encuentre la funcin de densidad normal ahora con media a o
b y varianza a2 2 . Haga un anlisis semejante para el caso a a 0, tenga cuidado al dividir por tal cantidad. Los nuevos parmetros son a idnticos al caso anterior. e
X. Entonces FY y P Y y P X y P X 221. Sea Y y 1 P X y 1 FX y. Derivando, fY y fX y. Substituya ahora la funcin de densidad de X evaluada en y y como pruebe que se trata de la densidad normal con media y varianza 2 .
x FX x 222. Para x 0, FX 2 x P X 2 x P x X 1 FX x. Derivando, fX2 x fX x 2 x fX x 2 1 x o fX x 1x . Ahora substituya la expresin para fX x y encuentre la funcin de densidad de la distribucin 2 1. o o
223. Para y 0, FY y P Y y P X y P y X y FX y FX y . Derivando, fY y fX y fX y 2fX y . Ahora substituya la funcin de densidad de X. o 224. Sea X el llenado de un vaso cualquiera. Suponga X N320, 100. 310 P Z 1 0.1587 . b) P 290 X Entonces a) P X 305 P 1 Z 12 0.5328 . c) P X 320 P Z 2 0.0228 . d) P X 270 P Z 3 0.0013 . De mil clientes, 1.3 reclamarn por vasos servidos con 270 ml. o menos. a Distribucin ji cuadrada o 225. La funcin es no negativa. Efecte el cambio de variable t x2 dentro o u de la integral. La integral resultante es la funcin gamma evaluada en o n2.
210
B. Solucion a algunos ejercicios 2 en la densidad 2 n. Recuerde
226. simplemente substituya el valor n que 1 1.
227. En estos clculos es conveniente hacer el cambio de variable t x2 en a cada una de las integrales. Para la esperanza, el exponente de t es n2, que puede ser escrito como n2 1 1. Reconstruya la integral como la funcin gamma evaluada en n2 1. Despus simplique usando o e la propiedad n 1 n n. Para la varianza, calcule primero el segundo momento, el exponente de t es n2 1, que puede ser escrito como n2 2 1. Ahora reconstruya la integral resultante como la e a funcin gamma evaluada en n2 2. Despus simplique. El clculo o del m-simo momento sigue las mismas l e neas. Distribucin t o 228. La funcin es no negativa. Para comprobar que esta funcin integra o o uno efecte el cambio de variable 1 u 1 x2 n1 y reconstruya u la integral de B 12, n2. 229. La integral E X es absolutamente convergente y el integrando es una funcin impar, por lo tanto la integral es cero. Dado este resultado, o la varianza es el segundo momento. Efecte el cambio de variable u 1 u 1 x2 n1 en la integral E X 2 , y reconstruya la integral e de B 32, n 22, despus simplique. Vectores aleatorios 230. X, Y tiene distribucin uniforme en el conjunto que consta de los o doce elementos: 1, 2,1, 3,1, 4,2, 1,2, 3,2, 4,3, 1,3, 2,3, 4, 4, 1,4, 2,4, 3. Tanto X como Y tienen distribucin uniforme en el o conjunto 1, 2, 3, 4. 231. a) Se trata de una funcin no negativa, cuyos valores suman uno. b) o La funcin de densidad marginal de X es f 1 0.8 y f 2 0.2. La o 0.35 y f 0 0.65. c) La funcin de o de la variable Y es f 1 distribucin marginal de X es F x 0 para o x 1, F x 0.8 a para 1 x 2, F x 1 para x 2. Anlogamente se construye la funcin de distribucin de Y . d) No lo son pues por ejemplo P X o o
211 1, Y 1 0.35=0.28. 0.3 que es distinto a P X 1P Y
0.8
232. a) Nuevamente se trata de una funcin no negativa, cuyos valores o suman uno. b) La funcin de densidad marginal de X es f 1 0.2 o y f 2 0.8. La de la variable Y es f 0 0.9 y f 1 0.1. c) La funcin de distribucin marginal de X es F x 0 para o o x 1, 0.2 para 1 x 2, F x 1 para x 2. Anlogamente a F x se construye la funcin de distribucin de Y . d) No lo son pues por o o ejemplo P X 1, Y 1 0 que es distinto a P X 1P Y 1 0.2 0.1=0.02. 233. a) Tal funcin toma el valor 14 sobre el cuadrado 1, 1 1, 1 y o vale cero fuera de l. Por lo tanto se trata de una funcin no negativa e o que integra uno. b) Las funciones de densidad marginales coinciden en la funcin f x 12 para x en 1, 1, con valor nulo fuera de este o intervalo. c) Las funciones de distribucin marginales son por tanto o coincidentes y son F x 0 para x 1, F x x 12 para 1 x 1, F x 1 para x 1. d) Estas variables aleatorias f xf y , son independientes pues se cumple la identidad f x, y para cualquier valor de x y y. 234. a) La funcin es no negativa y puede comprobarse que integra uno o 2 . b) y c) Las distribuciones marginales de estas variables sobre R son exp con 1. d) Las variables son independientes pues se cumple la identidad f x, y f xf y , para cualquier valor de x y y. Covarianza XY XE Y Y E X E X E Y . 235. X E X Y E Y Ahora aplique esperanza y simplique, recuerde que E X y E Y son constantes. 236. a) CovcX, Y E cX E cX Y E Y E cX E X Y E Y c CovX, Y . b) X1 X2 E X1 X2 X1 X2 E X1 E X2 X1 E X1 X2 E X2 . Introduzca este clculo en la denicin para a o CovX1 X2 , Y y simplique.
212 237. E X E Y
B. Solucion a algunos ejercicios 0. Compruebe adems que E XY a 12. yY
238. E X E Y 23, E XY son independientes. Coeciente de correlacin o 239. Variables y tipos de datos 240. Estad stica descriptiva 241. 242. 243. 244. 245.
232 . O bien observe que X
xi x n 1 xi n n 1 xi n 1 xi 0. x i i i n n n 2 2 2 2 x n x2 i 1 xi x i 1 xi 2xi x x i 1 xi 2 i 1 xi n n n 2 2n2 n2 2 n2 . x x x i 1 xi i 1 xi
n i 1
246. Idntico al ejercicio anterior. e 247. Derive la funcin xc respecto de la variable c, iguale a cero y eno cuentre que c x. Compruebe que la segunda derivada es negativa. 248. 249. Muestras aleatorias y estad sticas 250. X tiene distribucin bin3, p. o 251. a) si. b) si. c) si. d) no. 252. Nn, n 2 e) no. f) si.
213 Estimacin puntual o 253. La esperanza es p y la varianza es p1 pn. 254. Insesgamiento 255. E 256. k1 k2 257. 258. E 2 259. 260. E
2
E 1 1 2 1.
E 1 1 E 2
1 E Xi 2 ni 1
n
1 VarXi ni 1
n
1 2 ni 1
n
2.
1 1
2n 1
n 1 i 1 n 1
n 1 i 1
E Xi1 Xi 2
2n 1 2n 1 261. 262.
E Xi21 2E Xi1 E Xi E Xi2 2

2 2 2 2 2
i 1
2n 1
n 1 i 1
2 2
2.
Mtodo de momentos e 263. 264. 265. 266.
214
Mtodo de mxima verosimilitud e a

x pn 1 pn1x . 267. La funcin de verosimilitud est dada por Lp o a Tomando logaritmo, derivando, e igualando a cero se encuentra que p x.
268. 269. p
X. nX.
270. Derivando el logaritmo de la funcin de verosimilitud e igualando a o cero se encuentra que n n 1 ln xi . i 271. En este caso el mximo de la funcin de verosmilitud no existe. Ninguno a o de los valores observados x1 , x2 , . . . , xn puede ser mayor a b, ni menor n a a a. Es por ello que se propone a m xi y b mx xi . 272. El parmetro n es un nmero entero positivo que no puede ser menor a u a ninguna de las observaciones x1 , x2 , . . . , xm . Es por ello que se toma n mx x1 , x2 , . . . , xm . Conociendo entonces n se calcula la funcin a o de verosimilitud como funcin de p, se toma logaritmo, se deriva, se o iguala a cero y se encuentra que p xn en donde x x 1 x 2 xm m. Estimacin por intervalos o 273. 274. 275. Pruebas de hiptesis o 276. Pruebas para la media de una distribucin normal o con varianza conocida 277. Se acepta H0 .
215 278. Se rechaza H0 . , el cociente 01 diverge a innito o menos innito 279. Cuando n n dependiendo del signo de la diferencia 0 1 . Pruebas para la media de una distribucin normal o con varianza desconocida 280. 0.05, t0.025,99 1.960 y t x 0 s n 6.57. Por lo tanto se rehaza la hiptesis H0 , es decir, la nueva mquina parece estar o a llenando cantidades distintas de 600ml. 281. x 19.25, s2 1.251, 0.10, t0.10,9 1.383 y t x0 s n o -2.11990. Por lo tanto, t t,n1 , y entonces se rechaza la hiptesis H0 . Los peces parecen estar disminuyendo en tamao. n 282. x 65.153, s2 347.641, 0.10, t0.10,12 1.356 y t x 0 s n 0.029. Por lo tanto, no se cumple que t t,n1 y no se rechaza la hiptesis H0 , es decir, no parece que el curso de preparacin o o tenga algn efecto positivo en el resultado del examen. u
216
Apndice C e
Formulario
Notacin o
N Z Q R Conjunto Conjunto Conjunto Conjunto de de de de nmeros u nmeros u nmeros u nmeros u naturales 1, 2, 3, . . . enteros 0, 1, 2, 3, . . . racionales ab en donde a, b Z con b reales.
0.
El alfabeto griego
A B E , Z H ,
alfa beta gamma delta epsilon zeta eta teta
I K M N Oo
iota kapa lambda mu nu xi omicron pi
P , , T , X
ro sigma tau upsilon ji psi omega
217
218
C. Formulario
Exponentes
a) x1 b) x0 c) x1 d) xn xm e)
xn xm
x. 1, x
1 x,
0. x 0.
xnm . xnm . xnm . xn y n .

xn yn . 1 xn ,
n
g) xy n h)
f) xn m
x n y
i) xn j) xmn
0.
xm .
Logaritmos
a) log ab b) log
a b
log a log b. n log a.

1 n
log a log b.
c) log an d) log
n
a 0.
log a.
e) log 1 f) loga a
1.
Sumas
a)
n k m
xk
xm xm1 xn , na, a constante.
n.
b)
n k 1
219
n k 1
c)
nn 1 . 2 nn 12n 1 . 2 nn 12n 1 2 am an1 , a 1a ex , x R. ak bnk

2
d)
n k 1 n k 1
k2
e)
k3
f)
n k m
ak
1.
g)
xk
k 0
k!
h)
n n k 0
a bn,
a, b R, n N.
Derivadas
a) b) c) d) e) f) g) d c dx d x dx d n x dx d x e dx d ln x dx d sen x dx d cos x dx 0, 1. nxn1 . ex . 1 . x cos x. c constante.
sen x.
220 d f x gx dx d f x gx dx d f x dx gx f x g x. f x g x f x gx.
C. Formulario
h) i) j) k)
gxf x f xg x . g 2 x f gx g x. (Regla de la cadena)
d f gx dx

Integrales
a) b)
df x a dx xn dx
f x dx dx.
f x c.
c)
x n 1 n1 ln x c.
c,
1.
d)
dx x eax dx
e)
1 ax e c. a x ln x x c.
f)
ln x dx sen x dx
g) h)
cos x c.
sen x c.
cos x dx u dv
i)
uv
v du. (Integracin por partes) o
221
Tabla de la distribucin normal estndar o a
x
x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997
1 2
0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
et
2 dt
0.06 0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8399 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998
0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
222
C. Formulario
Tabla de la distribucin t(n) o
P T
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0.005 0.01
t,n
t,n
0.05 0.1
0.025
63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.291 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.576
31.821 6.965 4.541 3.474 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.326
12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 1.960
6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.645
3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.282
Bibliograf a
[1] Blake I. F. An introduction to applied probability. John Wiley & Sons, 1979. [2] Blomm G., Holst L., Sandell D. Problems and snapshots from the world of probability. Springer-Verlag, 1994. [3] Devore J. Probability and statistics for the engineering and the sciences. Duxbury Press, 2008. [4] Garza T. Elementos de clculo de probabilidades. UNAM, 1983. a [5] Granville W. A. Clculo diferencial e integral. Limusa, 1982. a [6] Hernndez-Del-Valle A. y Hernndez-Lerma O. Elementos de probaa a bilidad y estadstica. Serie Textos No. 21, Nivel Elemental. Sociedad Matemtica Mexicana, 2003. a [7] Hoel P. G., Port S. C., Stone C. J. Introduction to probability theory. Houghton Miin, 1971. [8] Hoel P. G., Port S. C., Stone C. J. Introduction to statistical theory. Houghton Miin, 1971. [9] Hogg R. V., Tanis E. A. Probability and statistical inference. Pearson/Prentice Hall, 2006. [10] Kolmogorov A. N. Foundations of the theory of probability. Chelsea Publishing Company, 1950. [11] Mendenhall W., Sincich T. Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. Prentice Hall, 1997. 223
224
Bibliograf a
[12] Mood A. M., Graybill F. A., Boes D. C. Introduction to the theory of statistics. McGraw Hill, 1983. [13] Miller I., Miller M. John E. Freunds mathematical statistics. Prentice Hall, 1999. [14] Olofsson P. Probability, statistics, and stochastic processes. Wiley, 2005. [15] Ross S. M. A rst course in probability. Prentice Hall, 2009. [16] Ross S. M. Introduction to probability and statistics for engineers and scientists. Academic Press, 2009. [17] Ross S. M. Simulation. Academic Press, 2006. [18] Wisniewski P. M., Bali G. Ejercicios y problemas de la teora de las probabilidades. Trillas, 1998. [19] Velasco G., Wisniewski P. Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. Thomson, 2001.
Indice anal tico

Axioma, 13 Cantidad pivotal, 119 Coeciente de correlacin, 107 o multinomial, 24 Combinaciones, 23 Conjunto potencia, 8 Conjuntos ajenos, 7 operaciones, 5 Covarianza, 106 Densidad conjunta, 96, 98 marginal, 102 Desviacin estndar, 53 o a de un conjunto de datos, 94 Diagrama de rbol, 9 a Diferencia simtrica, 7 e Distribucin o arcoseno, 169 Bernoulli, 59 beta, 73 binomial, 60 binomial negativa, 66 conjunta, 100 225 exponencial, 70 F, 85 gamma, 72 geomtrica, 62 e hipergeomtrica, 68 e ji-cuadrada, 83 marginal, 104 normal, 75 normal estndar, 76 a Poisson, 64 t, 84 uniforme continua, 69 uniforme discreta, 57 Weibull, 74 Ensayo Bernoulli, 59 Escala de intervalo, 91 de razn, 91 o nominal, 91 ordinal, 91 Espacio equiprobable, 10 muestral, 3 Esperanza, 49 propiedades, 52 Estad stica, 89, 109
226 descriptiva, 89 inferencial, 89 Estandarizacin, 77 o Estimacin o por intervalos, 117 puntual, 110 Estimador de mxima verosimilitud, 112 a insesgado, 116 mximo veros a mil, 112 puntual, 111 sesgado, 116 sesgo de un, 116 Evento, 4 evento compuesto, 4 simple, 4 Eventos ajenos, 7 Experimento aleatorio, 3 determinista, 2 Funcin o beta, 73 de distribucin, 48 o N0, 1, 77 de verosimilitud, 111 gamma, 72 indicadora, 60 Funcin de densidad, 41 o conjunta, 98, 99 marginal, 102 Funcin de distribucin, 43 o o bivariada, 101 conjunta, 100 de un vector, 100
Indice anal tico marginal, 104 Funcin de probabilidad, 39 o conjunta, 96 Grca de pastel, 94 a Grado de conanza, 118 Imagen inversa, 38 Independencia de dos eventos, 28 de variables aleatorias, 105 de varios eventos, 29 Insesgamiento, 116 Intervalo de conanza, 118 grado de conanza, 118 lim inferior, 118 lim superior, 118 Leyes de De Morgan, 7 Mtodo e de mxima verosimilitud, 111 a de momentos, 115 Media, 49 aritmtica, 93 e de un conjunto de datos, 93 muestral, 109 Mediana de un conjunto de datos, 93 Medidas de dispersin, 94 o Moda de un conjunto de datos, 93 Momento s, 56 s centrales, 56 muestral, 115 poblacional, 115
Indice anal tico Muestra, 89 aleatoria, 109 Nivel de signicancia, 129 Ordenaciones con repeticin, 20 o sin repeticin, 21 o Prdida de memoria e dist exponencial, 168 dist geomtrica, 165 e Particin, 29 o Permutaciones, 22 Poblacin, 88 o Postulado, 13 Principio de multiplicacin, 19 o Probabilidad axiomtica, 13 a clsica, 10 a condicional, 27 de Laplace, 11 de un evento, 10 frecuentista, 11 subjetiva, 13 Producto Cartesiano, 9 Prueba de hiptesis, 128 o nivel de signicancia, 129 regin cr o tica, 129 Rango de un conjunto de datos, 94 Regin cr o tica, 129 tamao de la, 129 n Regla del producto, 155 Sesgo, 116 Teorema
227 central del l mite, 80 de Bayes, 33 de probabilidad total, 30 del binomio, 151 del estad stico inconsciente, 51 Tringulo de Pascal, 24 a Urna de Polya, 155 Valor esperado, 49 promedio, 49 Variable, 90 aleatoria, 35 cualitativa, 90 cuantitativa, 90 Varianza, 53 de un conjunto de datos, 94 muestral, 109 propiedades, 54 Vector aleatorio, 96 continuo, 96 discreto, 96

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Curso elemental de probabilidad y estad stica

2 largo de varios aos. n

Blaise Pascal (Francia 16231662)

Pierre de Fermat (Francia 16011665)

y tambin son distributivas, es decir, e A A

Figura 1.3: Recordemos adems las muy utiles leyes de De Morgan: a

a1 , a2 y B b1 , b2, b3 , entonces a1 , b1 , a1 , b2, a1 , b3 , a2 , b1 , a2 , b2 , a2 , b3 .

Pierre-Simon Laplace (Francia 17491827)

Axiomas de la probabilidad 1. 2. 3. P A P P A 0. 1. B P A P B , B cuando A

Figura 1.6: A B, entonces P A

Demostracin. Como B A o tercer axioma tenemos que P B

B A, siendo esta unin ajena, por el o P A P B A.

Usando la frmula para dos eventos y agrupando adeo

1.3. Analisis combinatorio

n objetos Urna Figura 1.8:

1.3. Analisis combinatorio

1.3. Analisis combinatorio

1.3. Analisis combinatorio

ak1 ak2 akm , m 1 2

Muestras con orden

1.4. Probabilidad condicional e independencia

Probabilidad condicional e independencia

28 Entonces P A P A B 16 mientras que P 2 2, 4, 6 P 2, 4, 6 P 2 P 2, 4, 6

1.4. Probabilidad condicional e independencia

Demostracin. o como sigue

Primero observemos que el evento A puede escribirse

A en donde los eventos A P A P

Bn son ajenos dos a dos, de modo que P A Bi

1.4. Probabilidad condicional e independencia

Thomas Bayes (Inglaterra 17021761)

1.4. Probabilidad condicional e independencia

34 el teorema de Bayes tenemos entonces que P M2 D

P D M2 P M2 P D M1 P M1 P D M2 P M2 5 100 60 100 40 100 5 40 100 100

3 100 10 . 19 Como un ejercicio al lector se deja comprobar que P M1 D

0.95 0.01 0.95 0.01 0.04 0.99 0.193 .

1.5. Variables aleatorias

producto de las coordenadas.

38 c) Peso. d) Estatura. e) Sueldo.

X A : X A. En palabras, la expresin X A denota aquel conjunto de elementos o

1, 2 P Cruz 12. b) P X 0, 1 P Cara 12. c) P X 2, 4 P 0. d) P X 1 P Cruz 12. e) P X 1 P 0. f ) P X 0 P 1.

1.6. Funciones de densidad y de distribucion

Funciones de densidad y de distribucin o

En palabras, la funcin de probabilidad es simplemente aquella funcin que o o

1.6. Funciones de densidad y de distribucion

a b Figura 1.17: La probabilidad como un rea. a a) f x

1.6. Funciones de densidad y de distribucion

o En el caso continuo, si f x es la funcin de densidad de X, por (1.3) se tiene que x F x f u du.

1.6. Funciones de densidad y de distribucion

Ejemplo 1.36 Considere la funcin de distribucin o o F x

1.6. Funciones de densidad y de distribucion

0 tenemos que F x h P X x h P X X xh, de modo que cuando h tiende a cero, el conjunto

X x h tiende al conjunto vac Concluimos entonces que, o. cuando h 0 con h 0, F x h F x P F x.

Esperanza, varianza, momentos

1.7. Esperanza, varianza, momentos

1.7. Esperanza, varianza, momentos

52 variable Y . Esta funcin es o

1.7. Esperanza, varianza, momentos

Recordemos primeramente que por clculos previos, a

54 denicin de varianza tenemos que o VarX

1 122 18 0 122 48 1 122 18 2 122 28