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Distribuciones Discretas de Probabilidad
Distribuciones Discretas de Probabilidad
Distribuciones Discretas de Probabilidad
ASIGNATURA: Estadística I
PROBABILIDAD
FLORES
Analizar datos recabados, puede tornarse una tarea difícil en cuanto a cuales pueden ser los
Una distribución de los datos en categorías que ha demostrado ser útil al organizar los
palabras, se define una variable discreta como la variable tal que entre 2
Esta distribución tiene muchas variantes, pero entre las más importantes podemos mencionar 5 y
son: Distribución Binomial, la cual mideel número de éxitos en una secuencia de “n” ensayos
es la función FX(x), que asigna a cada evento definido sobre X una probabilidad, que está definida
por:
1. y
3. Es monótona no decreciente.
Para simplificar la notación, cuando no hay lugar a confusión se omite el subíndice X, y se escribe
simplemente F(x).
Para dos números reales cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos
y finalmente
Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable
Para realizar cálculos es más cómodo conocer las distribución de probabilidad, para ver una
Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente
separaciones entre valores observables sucesivos. En otras palabras, se define una variable
discreta como la variable tal que entre 2 valores cualesquiera observables, hay por lo menos un
valor no observable.
Existen 5 tipos de distribuciones de variable discreta que son las más importantes, y estas son:
Distribución binomial
Distribución Poisson
Distribución geométrica
Distribución hipergeométrica
Distribución Binomial
todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener
aleatorios e independientes.
elementos tomados de en )
caras, pero como es lógico si en 12 lanzamientos de una moneda sacamos 5 caras el resto deben
Por lo tanto debemos definir la variable "X: Número de caras obtenidas en 12 lanzamientos de
y resulta:
Observese que para el caso concreto de la moneda al ser la probabilidad de éxito θ = 0,5 la función
Experimento binomial
Se verifica que si son tales que cada una sigue una distribución Bernouilli de
parámetro , y todas ellas independientes entre sí, entonces resulta ser una variable
Además, si n es grande y es pequeño, de modo que el producto entre ambos parámetros tiende
Poisson de parámetro
Por último, se cumple que cuando n es muy grande (n>=30) la distribución binomial se aproxima a
la distribución normal.
Propiedades reproductivas
cada una tiene su propio parámetro (es decir, los n no necesariamente tienen que ser
iguales)
se toma
Entonces:
Por lo tanto, dadas n variables binomiales independientes, donde cada una tiene su propio n pero
todas tienen igual , su suma es también una variable binomial, cuyo parámetro n es la suma de
los n de las variables originales, y cuyo parámetro coincide con el de las originales.
probabilidad discreta.
Esta distribución de variable discreta estudia el número de experimentos, independientes entre si,
realizados hasta la obteción del k-ésimo éxito. Es una variable aleatoria que tiene una distribución
Para
Siendo el combinatorio
Por ejemplo, si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga
es 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en
contraerla?
número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media
La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson(1781–1840) que publicó, junto con su
dónde
k! es el factorial de k,
intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está
1La distribución Poisson es también llamada Poissoniana, análogamente al término Gaussiana para una
distribución de Gauss o distribución normal.
Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa,
encuadernaciones defectuosas.
Como una función de k, ésta es la función probabilidad de masa. La distribución de Poisson puede
ser vista como un caso limitante de la distribución binomial, es decir, que una distribución binomial
valor
Ocurrencia
La distribución Poisson, Se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos
fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un periodo definido de tiempo o en una área
espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución Poisson
incluyen:
El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
radiación.
con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser
El valor esperado de una variable aleatoria con distribución Poisson es igual a λ y también
Las medidas de tendencia central de una variable aleatoria de distribución Poisson con un
λ no entero es igual a (o suelo de λ), el cual es el número entero más grande menor o
Distribución Geométrica
Cuál de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y
conveniencia.
para n = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer éxito es
Por ejemplo, supongamos que un dado ordinario es lanzado repetidamente hasta que aparece "1"
por primera vez. La distribución de probabilidad del número de veces que el dado es lanzado se
(1 − p)/p2;
Como su continua análoga (la distribución exponencial), la distribución geométrica es sin memoria.
Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el
ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que
uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única
De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado
La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible,
parámetros r y p.
1-∏m(1-Pm)
Distribución hipergeométrica
N = Tamaño de población.
n = Tamaño de muestra.
x = Cantidad de éxitos.
Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica
la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al extraer (sin reemplazo)
una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido.
Y su varianza
llamando
, q=1−p entonces:
• Gestiopolis:
http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/distripoisson.htm
• Monografías:
http://www.monografias.com/trabajos27/probabilidadesdiscretas/probabilidades-
• Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad