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Circulo de Morh
Circulo de Morh
Circulo de Morh
Conceptos Básicos
Esfuerzo de Compresión
Esfuerzo de Compresión
Esfuerzo de Tensión
Decimos que un elemento está sometido a un esfuerzo de tensión cuando sobre él actúan
fuerzas que tienden a estirarlo. Los tensores son elementos resistentes que aguantan muy
bien este tipo de esfuerzos.
Esfuerzo de Tensión
Esfuerzo Cortante
Es el esfuerzo al que está sometida a una pieza cuando las fuerzas aplicadas tienden a
cortarla o desgarrarla. El ejemplo más claro de cortadura lo representa la acción de cortar
con unas tijeras.
Esfuerzo Cortante
Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más
resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, es por eso que de aquí nace la
importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede
ser más desfavorable para un material.
En el análisis del esfuerzo plano se emplea una situación en donde dos caras de un cubo
diferencial de material se encuentren libres de esfuerzos, es importante recalcar que el
esfuerzo plano se encuentra en cualquier punto de la superficie del elemento que no se
encuentre sujeto a una fuerza externa.
Ya definido el modo de análisis de esfuerzo plano, mediante una rotación de ángulo Theta
sobre el eje del plano se busca obtener los esfuerzos máximos de compresión tensión del
material.
Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar
cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas.
Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en un área ‘da’. Se tiene que este
trozo de cuña tiene un área basal ‘da Cos a’ y un área lateral ‘da Sen a’.
x’ da = x da cos θ cos θ + y da sen θ sen θ + xy da cos θ sen θ + xy sen θ cos θ
x’ = x sen2 θ + y cos2 θ + 2 xy cos θ sen θ
x’ = (x + y)/2 + (x - y)/2 (cos 2 θ) + xy (sen 2 θ) θ
x’y’ da = y da cos θ sen θ - xy da sen θ sen θ + xy cos θ cos θ - x da sen θ cos θ
x’y’ = y cos θ sen θ - xy sen2 θ + xy cos2 θ - x sen θ cos θ
Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir
de un estado inicial.
El esfuerzo normal máximo se deduce derivando x’ con respecto al ángulo θ
Al evaluar usando estos valores para el ángulo θ se obtienen los esfuerzos normales
máximo (1) y mínimo (2). Es importante destacar que si se iguala x’y’ = 0 se obtiene la
misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para
encontrar los esfuerzos principales (1 y 2) se produce que el esfuerzo cortante vale
cero.
Por lo tanto los esfuerzos principales o máximos son:
tan 2 = - ( x - y ) / 2 xy
Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes
máximos y se obtiene:
1 = +
2 = -
x’ = ( x + y )/2 + (( x - y )/2 (cos 2)) + xy (sen 2)
(x’ - (x + y)/2)2 =(x - y)2/4 (cos 2)2 + (x - y) (cos 2) xy (sen 2) + xy2 (sen 2)2
x’y’2 = xy2 (cos 2)2 - xy (cos 2) (x - y) (sen 2) + (x - y)2/4 (sen 2)2
Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, por lo que:
xy2 + (( x - y )2/2)2 = b2
( x + y )/2 = a
Reescribiendo queda:
x = x’
y = x’y’
( x - a )2 + y2 = b2
Caso bidimensional
En dos dimensiones el círculo de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir
de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje
vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los
valores del círculo quedan representados de la siguiente manera:
Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:
Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en
este caso viene dado por:
Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica del círculo de Mohr que se usó
para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de
inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, el círculo de Mohr puede ser utilizado para
obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En e ste caso
las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio del círculo de Mohr para
momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:
Ejercicios Resueltos
Bibliografía
Campus Toluca
Mecánica de Materiales I
Círculo de Mohr
1101924
1102537
2 de Diciembre de 2008