La Teoría de Muestreo de

Pierre Gy
 Fundamentos – Descomposición
de los errores
 La Teoría de Muestreo de P. Gy se basa en la
descomposición del error total considerando que el
muestreo se realiza en diversas etapas y separando el
error en las etapas de muestreo del error de análisis:
OE  TE  AE
 OE (overall error) error total
 TE (total sampling error) error total en las etapas de muestreo
 AE (analytical error) error analítico
 Fundamentos – Descomposición
de los errores
 Como el muestreo involucra diversas etapas, el error total
en las etapas de muestreo puede dividirse en una suma de
los errores parciales, cada uno de ellos compuesto por un
error de preparación y uno de selección:

OE   TE i  AE
i

TEi  PEi  SEi

OE   ( PEi  SEi )  AE
i

 PEi error de preparación (p.ej. chancado)

 SEi error de selección (p.ej. división de la muestra)
 Fundamentos – Descomposición
de los errores
 La teoría se construye considerando dos modelos:
 Modelo de selección continuo
 Modelo de selección discreto
 El modelo de selección continuo considera el muestreo de material
como si fuera un flujo unidimensional continuo y permite resolver el
problema de manera simple
 El material se caracteriza por:
 El contenido crítico en un tiempo dado a(t )
 El flujo de material en un tiempo dado
 (t )
 En este modelo se define el error como la suma de una componente
que mide el contenido crítico y otra que mide el flujo:

CE  QE  WE
 CE error de selección continua
 QE error en contenido crítico
 WE error en medición del flujo (weighting error)
 Fundamentos – Descomposición
de los errores
 El error en el contenido crítico puede a su vez
descomponerse en la suma de tres errores:
QE  QE1  QE2  QE3
 QE1 error de fluctuación de corto alcance
 QE2 error de fluctuación de largo alcance no periódica
 QE3 error de fluctuación periódica
 Recordando que el modelo de selección continuo
considera el problema de seleccionar puntos en el eje
temporal, es necesario relacionarlo con la realidad,
donde se cuenta con fragmentos o grupos de
fragmentos (discreta).
 Fundamentos – Descomposición
de los errores
 Al pasar al modelo discreto se encuentra además que el
muestreo se ve afectado por un error de materialización:

 Este error de materialización

SE  CE se
MEcompone de un error de
delimitación y otro de extracción del incremento. Así:

 QE1 error de fluctuación de corto alcance

 QE2 error de fluctuación de largo alcance no periódica
 SE  QE1 periódica
QE3 error de fluctuación QE2  QE3  WE  DE  EE
 WE error en medición del flujo (weighting error)
 DE error de delimitación del incremento
 EE error de extracción del incremento
 Fundamentos – Descomposición
de los errores
 Finalmente, el modelo de selección discreto identifica el lote L con un
grupo discreto de unidades (pueden ser partículas individuales o grupos
de partículas).
 Se definen por esta razón, la heterogeneidad de constitución y de
distribución del lote:
 CHL heterogeneidad de constitución del lote: se debe a las propiedades
intrínsecas de la población de partículas individuales
 DHL heterogeneidad de distribución del lote: se debe a la distribución espacial
de las partículas (y grupos de partículas) en el lote

 El modelo de selección discreto puede relacionarse con el modelo

continuo al nivel del error de fluctuación de pequeño alcance:

QE1  FE  GE
 FE error fundamental
 GE error de agrupamiento y segregación
 Fundamentos – Descomposición
de los errores
 En resumen, el error total se obtiene como:

OE   ( PEi  SEi )  AE
i

OE   ( PEi  QE1i  QE 2i  QE3i  WEi  DEi  EEi )  AE

i

OE   ( PEi  FEi  GEi  QE 2i  QE3i  WEi  DEi  EEi )  AE

i

 PEi error de preparación de la etapa i

 QE1i error de fluctuación de corto alcance
 QE2i error de fluctuación de largo alcance no periódica
 QE3i error de fluctuación periódica
 WEi error en medición del flujo (weighting error)
 DEi error de delimitación del incremento
 EEi error de extracción del incremento
 FEi error fundamental de la etapa i
 GEi error de agrupamiento y segregación de la etapa i
 AE error analítico
El Error Fundamental (FE)
Definiciónmatemática
Cuantificación
 Error fundamental, FE
 Corresponde al mínimo error de muestreo que se tendría
si se seleccionara cada fragmento o partícula
aleatoriamente, una a la vez.
 Para un determinado peso de muestra, el FE es el mínimo
error de muestreo que existiría si el protocolo de muestreo
fuera implementado de manera perfecta. Por lo tanto, para
un estado dado de conminución y un determinado peso de
la muestra, el FE es el menor error posible.
 A pequeña escala, la heterogeneidad de constitución es
responsable del error fundamental.
 El FE puede ser pequeño para constituyentes mayores y
materiales finos, pero puede ser abrumador para
constituyentes menores.
 Mezclando y homogeneizando el lote no reducirá el FE.
 Heterogeneidad
 Corresponde a la variabilidad encontrada en una
población estadística y puede dividirse en:
 Heterogeneidad de constitución (CH): Cada partícula del
lote tiene un contenido crítico diferente.
 Heterogeneidad de distribución (DH): Consiste en las
diferencias observadas de un grupo de fragmentos o
partículas (incremento) a otro.
 Variabilidad se debe a tres factores:
 La heterogeneidad de constitución
 La distribución espacial de los constituyentes o estado de segregación
 La forma del lote que junto a la presencia de la gravedad es
responsable de la segregación.
 Heterogeneidad
 CH: Diferencias entre
fragmentos
CH
 DH: Diferencias entre
grupos de fragmentos
 Si todos los fragmentos
fueran iguales en forma y
DH
contenido (CH=0), entonces
no habría DH: cualquier
grupo de fragmentos de
igual tamaño sería idéntico.
 Cálculo del error
fundamental

Definición matemática de la CH
 Definición matemática de la CH
 Heterogeneidad de un fragmento con respecto
al lote: diferencia en contenido del constituyente
crítico del fragmento respecto al lote
estandarizada: (ai  a L )
hi 
aL

 hi heterogeneidad del fragmento en el lote

 ai contenido crítico del fragmento
 aL contenido crítico del lote
 Considerar el efecto de la masa:
(ai  aL ) M i (ai  aL ) M i
hi    NF  
aL Mi aL ML

 Mi masa del fragmento

 ML masa del lote
 Mi masa media de fragmentos en el lote
 NF número de fragmentos en el lote
 Valor esperado de hi es cero.
 Varianza:
VAR ( hi )  E{h 2 }  ( E{hi }) 2
i

2
1 N  F
(ai  a L ) M i 
   NF 
  
N F i 1  aL ML 
2
NF
 (a  aL ) M i 
 N F    i    CH L
i 1  aL ML 

 Difícil de calcular.
Heterogeneidad intrínseca del lote
 Definición: Heterogeneidad intrínseca del lote IH L

2
CH L  M L N F (ai  aL ) 2 M i
IH L  2

NF i 1 aL ML

 Además:
 Existe fuerte correlación entre ai y su densidad
 Existe muy baja correlación entre ai y su tamaño
 Considerando el lote como un conjunto de fracciones separadas por
rangos de tamaños y densidades, indexados respectivamente por
 y  :
2
NF
(ai  aL ) 2 M i
2
( a  aL ) 2 M F
IH L  2
   N  2

i 1 aL M L   aL ML
Definiendo
 el fragmento medio F de una fracción (o lote) L y
 V su volumen (sólo depende del tamaño)
  su densidad
 M F  V   su masa (depende del tamaño y de la densidad)
 a su contenido crítico
 N es el número de fragmentos en la fracción
 M L es la masa de la fracción
 Equivalentemente:
(a  aL ) 2 M F  M L (a  aL ) 2 M L
IH L  2
  V    2

  aL ML   aL ML
 Puede calcularse en laboratorio o aproximarse:
 a varía más entre fracciones de densidad que entre
fracciones de tamaño  a  a contenido crítico medio de
la fracción de densidad L
 M L / M L varía poco de una fracción de densidad a otra:
M L M L
 
M L ML valor medio en una fracción de tamaño 

M L  M L
 En consecuencia:  M L  
ML
 Heterogeneidad intrínseca queda:

 V  M L   (a  aL ) 2 M L 
IH L         2
   X Y

  ML    aL ML 

 Para simplificar esta expresión se definen una

serie de factores.
 Factor de forma f
 Mide la desviación de la forma de las partículas respecto
a un cubo.

 Volumen de la partícula se escribe: V  f  d

3

3
V  M L f  d  M L
 Entonces: X  
 ML  ML

 f es constante para fracciones de tamaño:

3
d  M L
X  f 
 ML
 Factor granulométrico g
 Mide la distribución granulométrica de las
partículas.
 Material no calibrado (chancado): g  0.25
 Material calibrado (entre dos mallas): g  0.55
 Material naturalmente calibrado: g  0.75
 Se escribe:
3
d  M L
X  f   f  g d3
 ML
 Factor mineralógico m

 V  M L   (a  aL ) 2 M L 
IH L       
    X Y
M a
2
    L         L   M L 
 
X Y

 Dos extremos de Y :
 En el caso de material homogéneo: Y 0
 En el caso de material liberadoc (máxima heterogeneidad
Y  Ymax
de constitución):

 El factor mineralógico mse define como el valor de

Y en el caso de liberación.
 Factor mineralógico m

 Mineral liberado : LM
 Densidad: M
 Contenido crítico: aM  1
MM M
 Masa: M M aL   M
MM  Mg ML
 Ganga, : Lg

 Densidad: g
 Contenido crítico: a g  0
 Masa: M g
 Factor mineralógico m

 Y se escribe:
(a  a L ) 2 M L ( aM  a L ) 2 M M (a g  aL ) 2 M g
Ymax     2
  M  2
  g  2

 aL M L aL M L aL ML
(1  aL ) 2 (0  a L ) 2 ( M L  M M )
 M  2
 aL  g  2

aL aL ML

(1  a L ) 2
 m  M   g  (1  aL )
aL

 Si aL  0.1  m 
M
aL

 Si a L  0.9  m  (1  aL )  g
 Factor de liberación l
 Permite escribir Y  l  m , con 0  l .1
 Mide el grado de liberación del mineral.
 Material muy homogéneo: l  0.05
 Material homogéneo: l  0.1
 Material medio: l  0.2
 Material heterogéneo: l  0.4
 Material muy heterogéneo: l  0.8
 Dos métodos para estimar este factor:
 Basado en tamaño de liberación del componente crítico.
 Basado en la mineralogía del material.
 Método basado en tamaño de liberación
del componente crítico
El tamaño de liberación dl se define como d95 para el
cual el 95% del constituyente de interés está liberado.

 d el tamaño nominal de los fragmentos del lote

 dl el tamaño de liberación del material
 b parámetro a determinar
b
d 
Se define el factor de liberación como: l  l 
d
con b  0.5

 Generalmente, b  0.5  l  d l d
 Método relativamente nuevo y no hay resultados
experimentales suficientes para determinar el parámetro
libre b .
Método basado en la mineralogía
del material
 aL el contenido crítico del lote
 amax el contenido crítico del fragmento más
grande del lote

 Se define el factor de liberación como:

amax  aL
l
1  aL
 Resumen
 Heterogeneidad intrínseca del lote se expresa como:
IH L  f  g  m  l  d 3

 donde:
 es el factor mineralógico (gr/cm3)
m es el factor de liberación (adimensional)

 es el factor de forma (adimensional)
l

f
es el factor granulométrico (adimensional)
 es el tamaño de fragmento nominal (cm)
g
 se mide en gramos
d
 La heterogeneidad intrínseca relaciona el error
IH L
fundamental (FE) con la masa de las muestras.
 CH L  M L
Recordando que: IH L 
NF

Se puede demostrar:
 Media del error fundamental es despreciable
 Varianza puede expresarse como: 1  P IH L 1  P CH L
2
 FE    
P ML P NF
 P es la probabilidad de seleccionar cualquier muestra en lote

MS  PML

 1 1   1 1 
 FE
2
     IH L      f  g  c  l  d 3
MS ML  MS ML 
 1 1 
     C  d 3
MS ML 
Constante de
C  f  g  ml
Muestreo K C d
 Ecuación de Pierre Gy
 Varianza del error fundamental
 1 1  C  f  g  m l
 FE
2
     C  d 3
 MS ML  con

 MS = masa de la muestra en gramos

 ML= masa del lote en gramos

 d = diámetro (d95) de partículas en cm

 C = constante de muestreo en g/cm3,
depende de d