Scilab Intro Spanish
Scilab Intro Spanish
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SCILAB
i
ÍNDICE GENERAL
1 INTRODUCCIÓN 1
2 GENERALIDADES 3
2.1 Primeros pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Operaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Otros temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Lista de algunas herramientas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 VECTORES Y MATRICES 13
3.1 Creación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Notación y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Solución de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 PROGRAMAS 22
4.1 Guiones (scripts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Carpeta actual o por defecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Operadores relacionales y lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Órdenes y control de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5.1 if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5.2 for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5.3 while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5.4 select . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5.5 Otras órdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6.1 Cálculo numérico del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6.2 Matriz escalonada reducida por filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6.3 Aproximación polinomial por mı́nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6.4 Factores primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ii
ÍNDICE GENERAL
5 GRÁFICAS 40
5.1 Dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Creación de un archivo Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 OPTIMIZACIÓN 46
6.1 Optimización lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.2 Desigualdades y restricciones de caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1.3 Igualdades, desigualdades y restricciones de caja . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Optimización cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Optimización no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3.1 Optimización no restringida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3.2 Restricciones de caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.4 Ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5 Mı́nimos cuadrados no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
iii
ÍNDICE GENERAL
iv
Capı́tulo 1
INTRODUCCIÓN
Este documento es una pequeña introducción a Scilab. Está lejos de ser exhaustivo con respecto a
los temas, es decir, muchos de los temas y posibilidades de Scilab no son tratados aquı́. Además,
tampoco es exhaustivo con respecto al contenido de cada tema, sólo están algunos aspectos de
cada tema.
El autor estará muy agradecido por los comentarios, sugerencias y correcciones enviados a:
hmora@matematicas.unal.edu.co
• interactivo
• programable
www-rocq.inria.fr/scilab/
Allı́ se encuentra información general, manuales, FAQs (frequent asked questions), referencias
sobre reportes, diferencias con Matlab, lista de errores, ...
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
ftp.inria.fr/INRIA/Scilab/distributions/
ftp.inria.fr/INRIA/Projects/Meta2/Scilab/distributions/
www.matematicas.unal.edu.co/software.html
Gomez C. ed.,
Engineering and Scientific Computing with Scilab,
Birkhauser, Boston, 1999.
La utilización es igual para las diferentes plataformas, pero obviamente hay algunas diferencias
intrı́nsecas al usar una u otra plataforma. Este pequeño manual se refiere principalmente a la
versión 2.6 para Windows (la última, a la fecha de hoy: 4 de agosto del 2002).
2
Capı́tulo 2
GENERALIDADES
===========
S c i l a b
===========
scilab-2.6
Copyright (C) 1989-2001 INRIA
Startup execution:
loading initial environment
-->
A partir de ese momento se puede escribir al frente de --> las órdenes de Scilab. Éstas deben
ser acabadas oprimiendo la tecla Enter , denominada también Intro o simplemente ←−| .
La orden
crea la variable t y le asigna el valor 3.5 . Además Scilab muestra el resultado de la orden
desplegando en pantalla lo siguiente:
t =
3
CAPÍTULO 2. GENERALIDADES
3.5
-->
Al dar la orden
T = 4.5;
se crea otra variable diferente con nombre T y se le asigna el valor 4.5. Scilab diferencia las
letras minúsculas de las mayúsculas. La presencia de punto y coma al final de la orden hace que
Scilab no muestre el resultado en la pantalla. Sin embargo, la orden tuvo efecto.
Scilab no hace diferencia entre números enteros y números reales. Los números se pueden
escribir usando la notación usual o la notación cientı́fica. Por ejemplo, son válidos los siguientes
números.
3.5
-4.1234
3.14e-10
3.14E-10
0.0023e20
-12.345e+12
Al usar la orden
who
Scilab muestra las variables que está usando en ese momento. Su respuesta es algo semejante a:
4
2.1. PRIMEROS PASOS
Cuando en la orden no hay ninguna asignación, sino simplemente una operación válida, Scilab
crea o actualiza una variable llamada ans . Por ejemplo,
t+T
produce el resultado
ans =
8.
Las asignaciones pueden incluir operaciones con variables ya definidas, por ejemplo
x = t+T
Si se da la orden
t = 2*t
se utiliza el antiguo valor de t para la operación, pero, después de la orden, t queda valiendo
7.
Si se quiere conocer el valor de una variable ya definida, basta con digitar el nombre de la
variable y oprimir Enter.
Es posible volver a repetir fácilmente una orden dada anteriormente a Scilab. Utilizando las
teclas correspondientes a las flechas hacia arriba y hacia abajo, se obtiene una orden anterior y se
activa oprimiendo ←−| . Por ejemplo al repetir varias veces la orden
x = (x+3/x)/2
√
se obtiene el valor de 3.
También es posible, por medio de las flechas (hacia arriba y hacia abajo), buscar una orden
anterior para editarla y enseguida activarla.
5
CAPÍTULO 2. GENERALIDADES
En una misma lı́nea de Scilab puede haber varias órdenes. Éstas deben estar separadas por
coma o por punto y coma. Por ejemplo,
t1 = 2, t2 = 3; dt = t2-t1
+ - * /
sirven para las 4 operaciones aritméticas. El signo - también sirve para indicar el inverso aditivo.
Por ejemplo
u = -t
u = 2^8, v = 2**8
Scilab utiliza para agrupar los paréntesis redondos: ( ) , como en la orden x = (x+3/x)/2.
Puede haber parejas de paréntesis metidas (anidadas) dentro de otras.
En una expresión puede haber varios operadores. Las reglas de precedencia son semejantes a
las de la escritura matemática usual. Los paréntesis tienen prioridad sobre todos los operadores.
Entre los operadores vistos hay tres grupos de prioridad. De mayor a menor, estos son los grupos
de prioridad:
^ **
* /
+ -
Entre operadores de igual prioridad, se utiliza el orden de izquierda a derecha. Por ejemplo,
2*3+4^5-6/7 es equivalente a ((2*3)+(4^5))-(6/7).
Scilab tiene predefinidas muchas funciones matemáticas. A continuación está la lista de las
funciones elementales más comunes.
6
2.2. OPERACIONES Y FUNCIONES
cotg : cotangente
coth : cotangente hiperbólica
exp : función exponencial: ex
fix : redondeo hacia cero (igual a int)
floor : parte entera inferior
int : redondeo hacia cero (igual a fix)
log : logaritmo natural
log10 : logaritmo decimal
log2 : logaritmo en base dos
max : máximo
min : mı́nimo
modulo : residuo entero
rand : número aleatorio
round : redondeo
sin : seno
sinh : seno hiperbólico
sqrt : raiz cuadrada
tan : tangente
tanh : tangente hiperbólica
Otra función matemática, ésta ya con dos parámetros de entrada, es modulo. Sus dos parámetros
deben ser enteros. El resultado es el residuo de la división entera.
modulo(17,5)
da como resultado 2.
Para tener información más detallada sobre alguna función basta con digitar help y a
continuación el nombre de la función o de la orden. Por ejemplo
help floor
7
CAPÍTULO 2. GENERALIDADES
apropos polynomial
da información sobre las funciones que tienen que ver con polinomios. En cambio,
help polynomial
Además de estas funciones elementales, Scilab tiene muchas más funciones como las funciones
de Bessel, la función gama, ... Mediante la barra de menú, con la opción Help seguida de
Help Dialog se obtiene un catálogo resumido de las herramientas de Scilab.
Se puede modificar el formato utilizado por Scilab para mostrar los resultados, mediante format.
Si se da la orden
format(16)
8
2.4. COMPLEJOS
a partir de ese momento, Scilab utilizará 16 “columnas” (16 posiciones) para mostrar cada número.
Estas 16 columnas incluyen el espacio para el signo la parte entera y el punto. Por defecto, Scilab
usa 10 posiciones.
format(’e’,14)
La orden anterior sirve para utilizar notación cientı́fica con 14 posiciones. También se puede
utilizar simplemente format(’e’)
Para regresar al formato inicial, el formato “variable” (el predefinido por Scilab) se usa
format(’v’)
o, por ejemplo,
format(’v’, 10)
r = log(1/%e)
2.4 Complejos
Scilab maneja de manera sencilla los números complejos. Estos pueden ser definidos de varias
maneras. Por ejemplo, suponiendo que r vale −5, las dos órdenes siguientes
a = 3 + 4*r*%i
b = sqrt(-4)
Para las operaciones con números complejos (suma, resta, multiplicación, ...) se utilizan
exactamente los mismos sı́mbolos + - * / ** ^.
Las funciones real, imag y conj permiten obtener la parte real, la parte imaginaria y el
conjugado de un complejo. Si se utiliza la función abs con un complejo, se obtiene la magnitud
o módulo de él.
Las funciones de Scilab usadas para funciones reales elementales que tienen generalizaciones
en complejos, se pueden usar también para los complejos, por ejemplo, sin, cos, log, ... Ası́,
es completamente lı́cito
z = 3 + 4*%i; r = sin(z)
9
CAPÍTULO 2. GENERALIDADES
r =
3.853738 - 27.016813i
2.5 Polinomios
Un polinomio se puede definir de dos maneras: por sus coeficientes o por sus raı́ces. Es necesario
además indicar la variable simbólica para el polinomio. La orden
define en la variable q el polinomio −30 + 31x − 10x2 + x3 cuyas raı́ces son exactamente 2, 3
y 5. Escribir q = poly([2 3 5], "x") produce exactamente el mismo resultado, o sea, "roots"
es el tipo de definición por defecto.
La doble comilla " puede ser remplazada por la comilla sencilla ’. Más aún, se puede
remplazar ’coeff’ por ’c’ y ’roots’ por ’r’ . Es lı́cito escribir
La función roots calcula las raı́ces de un polinomio, sean éstas reales o complejas. Por ejemplo
roots(p)
Con polinomios se pueden hacer sumas, multiplicaciones, restas, multiplicación por un número.
Deben ser polinomios en la misma variable. Por ejemplo:
v = p + q + p*q - 3.1*q
r = p^3
k = coeff(q, 2)
Si se utiliza simplemente
c = coeff(q)
10
2.6. LISTA DE ALGUNAS HERRAMIENTAS
se obtendrán todos los coeficientes. La variable c será un vector (ver capı́tulo siguiente sobre
matrices y vectores).
Si se utiliza p = poly(a, ’x’), donde a es una matriz cuadrada (ver capı́tulo siguiente sobre
matrices y vectores), se obtiene el polinomio caracterı́stico de de la matriz a.
horner(p, t)
Por ejemplo horner(q, 1) dará como resultado −8. Si q es un polinomio, es lı́cito utilizar
la orden
r = horner(p, q)
• Gráficas (capı́tulo 5)
• Optimización
• Procesamiento de señales
• Simulación
11
CAPÍTULO 2. GENERALIDADES
• Funciones de distribución
• Control robusto
12
Capı́tulo 3
VECTORES Y MATRICES
En Scilab no hay vectores como tales, los vectores se deben asimilar a matrices de una sola fila o
vectores fila (tamaño 1 × n) o a matrices de una sola columna o vectores columna (tamaño n × 1).
3.1 Creación
La matriz
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
se puede definir por medio de
o por
a = [ 11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35]
a =
13
CAPÍTULO 3. VECTORES Y MATRICES
La definición de la matriz se hace por filas. Los elementos de una misma fila se separan por
medio de espacios en blanco o por medio de comas. Una fila se separa de la siguiente por medio
de punto y coma o por medio de cambio de lı́nea.
Algunas veces es útil, especialmente para gráficas de funciones (tema que se vera en un capı́tulo
posterior), crear vectores con elementos igualmente espaciados, por ejemplo
x = 1:0.2:2.6
Los valores 1.0, 0.2 y 2.6 corresponden respectivamente al lı́mite inferior, al incremento y al lı́mite
superior. Si no se especifica incremento se supone que es uno. Escribir y = 2:9 es equivalente
a y = 2:1:9. Cuando se desea una columna basta con utilizar el operador de trasposición, por
ejemplo, z = (1:0.2:2.6)’
a(1:2,2:5) denota la submatriz de tamaño 2 × 4, formado por los elementos que están en las
filas 1, 2 y en las columnas 2, 3, 4, 5, o sea, la matriz
· ¸
12 13 14 15
·
22 23 24 25
La anterior definición de submatrices se puede generalizar utilizando vectores fila (o vectores
columna). Por medio de las siguientes órdenes
14
3.2. NOTACIÓN Y OPERACIONES
Por medio de * se puede hacer el producto entre un número y una matriz. Los signos
+ y - permiten hacer sumas y restas entre matrices del mismo tamaño. Cuando el producto
de matrices es posible (número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la
segunda), éste se indica por medio de * . La transposición de una matriz se indica por medio de
comilla, por ejemplo,
c = a’*a
Para matrices del mismo tamaño se puede hacer la multiplicación elemento a elemento utilizando
.* . De manera análoga se puede hacer la división elemento a elemento. Por ejemplo:
También es posible elevar a una potencia los elementos de una matriz, por ejemplo,
H = a.^3
Para matrices cuadradas, es posible calcular directamente una potencia. Por ejemplo,
G = rand(6,6)^3
Si los tamaños son compatibles, dos o más matrices se pueden “pegar” para obtener una matriz
de mayor tamaño, por ejemplo,
AA = [a rand[3,2)]
B = [rand(2,5); a; eye(5,5)]
15
CAPÍTULO 3. VECTORES Y MATRICES
x = [2 3 5 7 11]; x(2) = []
produce el resultado
x =
! 2. 5. 7. 11. !
1 1 1
eC = I + C + C 2 + C 3 + C 4 + · · ·
2 6 24
• diag(c) produce un vector columna con los elementos diagonales de la matriz cuadrada c.
• diag(x) produce una matriz diagonal con los elementos del vector (fila o columna) x.
16
3.3. FUNCIONES ELEMENTALES
• m = max(a, ’r’) : m es un vector fila (row) que contiene los máximos de las columnas
de a.
• [m, k] = max(a, ’r’) : m es un vector fila que contiene los máximos de las columnas
de a, k es un vector fila que contiene las posiciones de los máximos.
• m = mean(a, ’r’) : m es un vector fila (row) que contiene los promedios las columnas de
a.
• m = mean(a, ’c’) : m es un vector columna que contiene los promedios las filas de a.
17
CAPÍTULO 3. VECTORES Y MATRICES
• norm(a, ’inf’) calcula, para la matriz a, la norma matricial generada por la norma l∞ ,
o sea,
X n
max |aij |.
1≤i≤m
j=1
• La orden fc = size(a) proporciona un vector fila 1×2 con el número de filas y el número de
columnas de a. La orden size(a,1) proporciona el número de filas de a. Análogamente,
size(a,2) proporciona el número de columnas de a.
• Por medio de tril se puede obtener la parte triangular inferior (low) de una matriz
cuadrada. Por ejemplo,
a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; L = tril(a)
produce el resultado
L =
! 1. 0. 0. !
! 4. 5. 0. !
! 7. 8. 9. !
18
3.3. FUNCIONES ELEMENTALES
v = spec(a)
produce el resultado
a =
! 1. 2. 3. 4. !
! 0. 1. 2. 3. !
! 1. - 1. 2. - 2. !
! 1. 1. 1. 0. !
V =
! - 1.8315145 0. 0. 0. !
! 0. 2.7705494 - 2.5629538 0. !
! 0. .0959230 2.7087334 0. !
! 0. 0. 0. .3522317 !
19
CAPÍTULO 3. VECTORES Y MATRICES
U = chol(A)
A = QR
donde Q es una matriz ortogonal y R es una matriz del tamaño de A, “triangular ” (no
necesariamente cuadrada). Por ejemplo,
[q, r] = qr(a)
P A = LU
donde P es una matriz de permutación, L es una matriz triangular inferior con unos en la
diagonal y U es una matriz triangular superior. Por ejemplo,
[L, U, P] = lu(A)
[U, D, V] = svd(A)
a1 = pinv(a)
20
3.5. OTRAS FUNCIONES
Si A es una matriz cuadrada e invertible, el sistema tiene, teóricamente, una única solución
y se puede resolver por una de las dos órdenes siguientes. La primera conlleva el cálculo de la
inversa. La segunda usa un algoritmo eficiente de Scilab para hallar la solución.
x1 = inv(A)*b
x2 = A\b
Teóricamente, el resultado debe ser el mismo. Desde el punto de vista de precisión numérica, los
resultados son semejantes. Para matrices medianamente grandes hay diferencias en tiempo. La
primera forma gasta, aproximadamente, tres veces más tiempo que la segunda.
Fuera del caso de solución única hay otros dos casos: el caso de sistema inconsistente (sin
solución) y el caso de muchas soluciones (número infinito de soluciones).
x = A\b
help backslash
21
Capı́tulo 4
PROGRAMAS
En Scilab hay dos tipos de programas: los guiones o libretos (scripts) y las funciones. Un guión es
simplemente una secuencia de órdenes de Scilab. No tiene parámetros (“argumentos”) de entrada
ni de salida. En cambio una función sı́ los tiene.
Por otro lado, las variables definidas en un guión son globales, es decir, después del llamado del
guión estas variables siguen existiendo. En cambio en una función, las variables definidas dentro
de la función dejan de existir una vez finalizada la ejecución de la función, son variables locales.
c:\coloq\ensayo01.sce
n = 100;
A = rand(n,n);
x0 = rand(n,1);
b = A*x0;
x = A\b;
22
4.1. GUIONES (SCRIPTS)
residuo = norm(x-x0)
exec c:\coloq\ensayo01.sce
Esto hace que se ejecuten todas las órdenes contenidas en el archivo. Mediante who, o de cualquier
otra forma, se puede verificar que las variables n, A, x0, ... fueron creadas y todavı́a existen.
Dar la orden exec c:\coloq\ensayo01.sce también se puede hacer por medio de la barra
de menú con las opciones File y después Exec. Subiendo y bajando de nivel se busca la carpeta
adecuada y se hace doble clic con el botón derecho del ratón en el archivo ensayo01.sce.
Si se desea, se puede editar el archivo, hacer algunos cambios, guardarlos y de nuevo activar
el guión mediante exec ...
Ax = b.
AT Ax = AT b.
Sea c:\estad\ensayo02.sce el archivo que define los datos y lleva a cabo este proceso. Su
contenido puede ser:
Las lı́neas que empiezan por // son lı́neas de comentarios (como en C++).
23
CAPÍTULO 4. PROGRAMAS
exec c:\estad\ensayo02.sce
De manera natural aparece la pregunta: ¿Cómo hacer el mismo proceso con otro sistema de
ecuaciones sin tener que cambiar el archivo? Las funciones son la respuesta.
4.2 Funciones
En un archivo ASCII puede haber varias funciones. Generalmente el nombre de los archivos de
funciones tienen la extensión .sci. El esquema general de una función es el siguiente:
24
4.2. FUNCIONES
function fx = f(x)
fx = x(1)^2 + x(2)^2
endfunction
getf c:\coloq\misfunc.sci
Una vez cargado el archivo, las funciones se pueden utilizar como las otras funciones de Scilab.
Por ejemplo, son válidas las siguientes órdenes:
Cuando una función produce más de un resultado, también se puede utilizar asignando menos de
los resultados previstos. Por ejemplo, la utilización completa de polarCartGr puede ser
[a, b] = polarCartGr(3,30)
b =
1.5
a =
2.5980762
En cambio, la orden
c = polarCartGr(3,30)
produce el resultado
c =
2.5980762
Otra caracterı́stica de las funciones es que una función puede llamar una o varias funciones.
Obsérvese que la función polarCartGr utiliza la función polarCart.
25
CAPÍTULO 4. PROGRAMAS
En los ejemplos anteriores de funciones, hay simplemente una secuencia de órdenes que siempre
se repite de la misma manera. Con mucha frecuencia esto no es ası́. Normalmente dentro de una
función, dependiendo de los datos o de resultados intermedios, hay que tomar algunas decisiones,
repetir un proceso, abortar un proceso, ... Esto se logra mediante los operadores relacionales, los
operadores lógicos y las estructuras de control. Esto se verá en secciones posteriores de este mismo
capı́tulo.
Al arrancar, Scilab tiene definido un subdirectorio (o carpeta) preferencial, actual o por defecto.
Para saber el nombre de esta carpeta, se da la orden
pwd
ans =
C:\WINDOWS\Escritorio
Esto quiere decir que si un archivo de funciones o un archivo tipo guión están ubicados allı́, no es
necesario, al utilizar getf o exec, escribir la ubicación completa del archivo, basta dar el nombre
del archivo. Por ejemplo, si el archivo ejemplo4.sce está en la carpeta C:\WINDOWS\Escritorio,
no es necesario, dar la orden
exec \WINDOWS\Escritorio\ejemplo4.sce
Basta digitar
exec ejemplo4.sce
Para decir a Scilab que cambie la carpeta por defecto, se usa la orden chdir, por ejemplo,
chdir ’c:\algebra\matrices\’
26
4.4. OPERADORES RELACIONALES Y LÓGICOS
• if
• select y case
• for
• while
4.5.1 if
Una forma sencilla de la escritura de la escritura if es la siguiente:
if condición then
...
...
end
27
CAPÍTULO 4. PROGRAMAS
La palabra then puede ser reemplazada por una coma o por un cambio de lı́nea. Entonces se
puede escribir
if condición
...
...
end
if condición
...
else
...
end
Estas estructuras se pueden utilizar directamente dentro del ambiente interactivo de Scilab. Por
ejemplo, se puede escribir directamente, sin necesidad de un guión
Resulta ineficiente hacer un guión únicamente para las órdenes de la lı́nea anterior. Pero, cuando
hay muchas órdenes y muchos controles y es necesario depurar el proceso, es casi indispensable
hacer un guión o una función.
4.5.2 for
La estructura for tiene la siguiente forma:
for var=lim1:incr:lim2
...
...
end
Esto quiere decir que la variable var empieza en el lı́mite inferior lim1, después va incrementar
el valor en el incremento incr (puede ser negativo). Si el incremento es 1, éste se puede suprimir.
A continuación algunos ejemplos.
for i=2:3:14
...
...
end
for j=2:-3:-10
...
...
28
4.5. ÓRDENES Y CONTROL DE FLUJO
end
for k=2:8
...
...
end
Una estructura for puede estar anidada dentro de otro for o dentro de un if.
4.5.3 while
La forma general es:
while condición
...
...
end
Por ejemplo
e = 1;
while e+1 > 1
e = e/2;
end
4.5.4 select
La forma general es:
select variable
case valor1 then
...
...
case valor2 then
...
...
case valor3 then
...
...
case valor4 then
...
...
...
else
...
29
CAPÍTULO 4. PROGRAMAS
...
end
La palabra then puede ser reemplazada por una coma o por un cambio de lı́nea. La parte
else es opcional. Entonces se puede escribir
select variable
case valor1
...
...
case valor2, ...
case valor3
...
...
case valor4
...
...
end
Por ejemplo
select indic
case 0, a = b;
case 1
a = b*b;
b = 1;
case 3
a = max(a,b);
b = a*a;
else
a = 0;
b = 0;
end
Otra orden que sirve para interrumpir una función, en este caso interrumpiendo la evaluación,
es abort.
30
4.5. ÓRDENES Y CONTROL DE FLUJO
indic = 0
maxcd = 0
if round(a) ~= a | round(b) ~= b
return
end
if a < 1 | b < 1
return
end
if a < b
t = a
a = b
b = t
end
indic = 1
while 1 == 1
r = modulo(a, b)
if r == 0
maxcd = b
return
end
a = b
b = r
end
endfunction
En el ejemplo anterior, el último return está anidado en un solo bucle y después acaba la
función, luego se podrı́a cambiar por un break. La condición del while siempre es cierta,
luego la salida del bucle se obtiene siempre en la mitad del cuerpo del while.
En una función no es necesario el punto y coma después de una orden, pues de todas maneras
Scilab no muestra el resultado de la asignación. Si definitivamente, en una función, se desea
mostrar en pantalla algunos valores intermedios se debe hacer por medio de disp o por medio
de printf. Por ejemplo, después del cálculo de r se puede utilizar la orden
disp(a, b, r)
31
CAPÍTULO 4. PROGRAMAS
Esta emulación utiliza una comilla en lugar de la comilla doble. Además, al acabar una orden de
escritura, automáticamente hay cambio de lı́nea. Aquı́ no se necesita el \n de C.
fprintf
print
write
4.6 Ejemplos
Los siguientes ejemplos, son simplemente casos que pretenden ilustrar la manera de programar en
Scilab. En ellos se busca más la claridad que la eficiencia numérica.
//----------------------------------------------------------
function fx = f(x)
fx = 3*x(1)^2 + 5*x(2)
endfunction
//----------------------------------------------------------
function g = gradf(x)
// gradiente de la funcion f en el punto x
//********
h = 0.001
//********
h2 = 2*h
n = max(size(x))
g = zeros(n,1)
for i =1:n
xi = x(i)
x(i) = xi+h
32
4.6. EJEMPLOS
f1 = f(x)
x(i) = xi-h
f2 = f(x)
x(i) = xi
g(i) = (f1-f2)/h2
end
endfunction
Habiendo cargado, mediante getf ..., el archivo que contiene estas dos funciones, su uso se
puede hacer mediante órdenes semejantes a:
Si se desea una función que evalúe el gradiente de varias funciones diferentes sin tener que editar
cada vez la misma función f, entonces se debe pasar la función como uno de los parámetros.
//----------------------------------------------------------
function fx = func1(x)
fx = 3*x(1)^2 + 5*x(2)
endfunction
//----------------------------------------------------------
function fx = func2(x)
fx = 3*x(1) + 5*x(2)^3
endfunction
//----------------------------------------------------------
function g = grad(funcion, x)
// gradiente de funcion en el punto x
//********
h = 0.001
//********
h2 = 2*h
n = max(size(x))
g = zeros(n,1)
for i =1:n
xi = x(i)
x(i) = xi+h
f1 = funcion(x)
x(i) = xi-h
f2 = funcion(x)
x(i) = xi
g(i) = (f1-f2)/h2
end
endfunction
//----------------------------------------------------------
33
CAPÍTULO 4. PROGRAMAS
34
4.6. EJEMPLOS
35
CAPÍTULO 4. PROGRAMAS
a(i,j+1:n) = a(i,j+1:n)/a(i,j)
a(i,j) = 1
for k = 1:m
if k ~= i
a(k,j+1:n) = a(k,j+1:n) - a(k,j)*a(i,j+1:n)
a(k,j) = 0.0
end
end
if IRP == 1
printf(’buscar ceros en la columna %d’, j)
escrMatr(a, ’A’)
end
i = i+1
else
a(i:m,j) = zeros(m+1-i,1)
end
j = j+1
end
endfunction
resolver (AT A) c = AT y,
donde,
£ ¤T
c = c0 c1 c2 ... cn ,
p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn ,
ỹ = Ac.
Si n = m − 1, no hay que resolver el sistema dado por las ecuaciones normales, se resuelve
directamente,
A c = y.
36
4.6. EJEMPLOS
37
CAPÍTULO 4. PROGRAMAS
c = (A’*A)\(A’*y)
end
p = poly(c, ’x’, ’coeff’)
yy = A*c
endfunction
38
4.6. EJEMPLOS
indic = 0
if n < 2
printf(’FACTORES: n < 2.’), return
end
if int(n) <> n
printf(’FACTORES: n no es entero.’), return
end
ind = 1
while n > 1
pi = primerDiv(n)
p = [p pi]
n = n/pi
end
endfunction
39
Capı́tulo 5
GRÁFICAS
a = -2; b = 3;
x = a:0.01:b;
y = sin(x);
plot2d(x, y)
a=-2; b=3;
x=a:0.5:b;
y = sin(x);
plot2d(x,y)
dará una gráfica continua pero poligonal y no suave. De hecho siempre Scilab hace lı́neas poligo-
nales, pero si el espaciamiento es muy pequeño la lı́nea poligonal se confunde con una curva suave.
En resumen, el espaciamiento debe ser pequeño, pero es inoficioso hacerlo muy pequeño.
En una sesión de Scilab la primera vez que se hace una gráfica, esta aparece inmediatamente
en la pantalla. Cuando se da la orden para una segunda gráfica, ésta es creada pero no aparece
automáticamente en la pantalla. Es necesario, mediante un clic, activar la ventana de la gráfica.
Muy posiblemente después de la segunda orden plot2d, en la gráfica aparecerán las dos “cur-
vas” superpuestas. Para limpiar la ventana gráfica se utiliza xbasc(). Observe la diferencia entre
los dos grupos de órdenes siguientes:
40
5.1. DOS DIMENSIONES
plot2d(x,sin(x))
plot2d(x,cos(x))
plot2d(x,sin(x))
xbasc(), plot2d(x,cos(x))
En la misma figura pueden aparecer varias funciones. Para esto, los datos de plot2d deben
estar en columnas o en matrices. Si x, y, z son vectores columna con el mismo número de
filas, entonces se puede dar la orden
plot2d(x, [y z] )
cuyo efecto es tener en la misma figura las gráficas producidas por las órdenes plot2d(x,y) y
plot2d(x, z) . Por ejemplo,
En este caso Scilab asigna colores diferentes a cada una de las curvas. Para conocer la correspon-
dencia entre colores y curvas se pueden colocar letreros (“legend”) para las curvas. Se utiliza la
opción leg separando los letreros por medio de @.
Después de haber hecho una gráfica, se le pueden agregar letreros. Se usa xtitle , que tiene 3
parámetros, todos los tres deben ser cadenas. El primero para el letrero general, el segundo para
el eje horizontal y el tercero para el eje vertical. Por ejemplo
En resumen, una de las formas de utilizar plot2d es plot2d(x, a), donde x es un vector
columna y a es una matriz con el mismo número de filas que x. En la figura habrá tantas
gráficas como columnas tenga la matriz a.
Una forma más general es plot2d(u, v), donde u y v son matrices del mismo tamaño,
de m filas y n columnas. Entonces en la misma figura aparecerán la gráfica de la primera columna
de u con la primera columna de v, la gráfica de la segunda columna de u con la segunda
columna de v, etc. En la figura producida por el siguiente ejemplo está la gráfica de seno entre 0
y 3.14 y la gráfica de la tangente entre −1 y 1.
n = 100;
a=0; b=3.14;
h = (b-a)/n;
x1 = (a:h:b)’;
y = sin(x1);
41
CAPÍTULO 5. GRÁFICAS
a = -1; b = 1;
h = (b-a)/n;
x2 = (a:h:b)’;
z = tan(x2);
plot2d([x1 x2], [y z]);
También se puede, usando fplot2d , obtener la gráfica de una función f definida mediante una
función de Scilab. En este caso, sólo se necesita el vector de valores de xi . Este vector debe ser
monótono, es decir, creciente o decreciente. Supongamos que se ha definido la siguiente función
function fx = func4(x)
fx = sin(x)-tan(x)
endfunction
y que se ha cargado el archivo donde está definida, mediante getf ... Entonces se puede obtener
la gráfica mediante
u = (-1:0.01:1)’;
fplot2d(u, func4)
u = (-2:0.05:2)’;
v = (-3:0.1:3)’;
m = size(u,1); n = size(v,1);
w = zeros(m,n);
for i=1:m
for j = 1:n
w(i,j) = 5*u(i)^2 - v(j)^2;
end
end
plot3d(u, v, w);
De manera análoga a dos dimensiones, es posible graficar por medio de fplot3d una función f
definida por medio de una función de Scilab. Basta con dar dos vectores, uno con las coordenadas
de la primera variable y otro con las coordenadas de la segunda variable.
42
5.2. TRES DIMENSIONES
y que se ha cargado el archivo donde está definida, mediante getf ... Entonces se puede obtener
la gráfica mediante
u = (-4:0.05:4)’;
v = (-5:0.05:3)’;
fplot3d(u, v, func5)
indicando que el tamaño de la pila no es suficiente para lo solicitado. Este tamaño se puede
modificar mediante la función stacksize, por ejemplo,
stacksize(2000000)
Se pueden obtener curvas de nivel mediante la función contour. Su uso es muy semejante al de
plot3d pero con un parámetro adicional que indica el número de curvas de nivel. Por ejemplo:
u = (-2:0.05:2)’;
v = (-3:0.1:3)’;
m = size(u,1); n = size(v,1);
w = zeros(m,n);
for i=1:m
for j = 1:n
w(i,j) = 5*u(i)^2 + v(j)^2;
end
end
contour(u, v, w, 5);
También, mediante fcontour, se pueden obtener curvas de nivel de una función definida en una
función de Scilab. Su uso es análogo al de fplot3d pero con un parámetro adicional que indica
el número de curvas de nivel. Por ejemplo:
u = (-4:0.2:4)’;
v = (-4:0.2:5)’;
fcontour(u, v, func5, 7)
43
CAPÍTULO 5. GRÁFICAS
driver(’Pos’)
xinit(’archivo’)
orden Scilab para crear la gráfica
xend()
driver(’Rec’)
orden Scilab para crear la gráfica
xbasimp(0, ’archivo’)
44
5.4. CREACIÓN DE UN ARCHIVO POSTSCRIPT
Esta segunda manera agrega la extensión .0 al archivo. Supongamos que queremos enviar
dos gráficas a dos archivos en la carpeta \xx\. Entonces las órdenes pueden ser:
a=-2; b=3;
x=(a:0.01:b)’;
driver(’Pos’)
xinit(’\xx\dibujo1.ps’);
plot2d(x, sin(x))
xend();
driver(’Pos’)
xinit(’\xx\dibujo2.ps’);
plot2d(x, [sin(x) cos(x)])
xend();
La creación de archivos Postscript también puede ser realizada por medio de la barra de menú
de la ventana de la gráfica, con las opciones
La segunda parte, la colocación del preámbulo (y la union de dos o más archivos) se hace, en
el sistema operativo, fuera del ambiente Scilab, por medio de blpr que está en la carpeta
...\scilab\bin\. Por ejemplo
El archivo final.ps puede ser manejado (visto o impreso) directamente por GSview .
45
Capı́tulo 6
OPTIMIZACIÓN
min z = cT x
Ai x = bi , i = 1, ..., m0
(6.1)
Ai x ≤ bi , i = m0 + 1, ..., m
u ≤ x ≤ v.
Obviamente, siempre se puede pasar de una forma a otra sin dificultad. Para el caso de Scilab,
todos los problemas deben ser de minimización y las desigualdades, si las hay, diferentes de las
restricciones de caja (u ≤ x ≤ v), deben ser de la forma
6.1.1 Desigualdades
El problema más sencillo para resolver por medio de linpro es el siguiente:
min cT x
Ax ≤ b.
46
6.1. OPTIMIZACIÓN LINEAL
para resolver
min cT x
Ax ≤ b
u ≤ x ≤ v.
El problema (6.2) se puede resolver con las siguientes órdenes:
47
CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN
Es interesante observar que como no hay restricciones superiores de caja, entonces se utiliza un
vector “vacı́o”. En el problema (6.2) la restricción x1 ≤ 300 se puede considerar como una
restricción de caja.
x1 ≤ 300
x ≥ 0.
El siguiente problema
x1 ≤ 300
x ≥ 0,
se resuelve mediante:
48
6.2. OPTIMIZACIÓN CUADRÁTICA
H = [ 2 0; 0 2];
c = [-6; -8];
A = [ 1 2; 3 1];
b = [ 3 ; 4];
[x, lagr, qx ] = quapro(H, c, A, b, zeros(2,1), [])
49
CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN
min f (x)
Para su solución en Scilab se usa la función optim . Se necesita haber definido previamente una
función en Scilab donde se calcule f (x) y el gradiente f 0 (x). Esta función que por el momento
llamaremos f_obj debe tener la siguiente forma
Parámetros de entrada:
x: punto donde se va a evaluar f (x);
si ind1 = 2, se evalúa f (x);
si ind1 = 3, se evalúa f 0 (x);
si ind1 = 4, se evalúan f (x) y f 0 (x).
Parámetros de salida:
fx: valor f (x);
gr: gradiente f 0 (x);
si ind2 < 0, no se puede evaluar f (x);
si ind2 = 0, se interrumpe la optimización.
Consideremos dos problemas, el primero está dado por la llamada función de Rosenbrock. Las
soluciones de estos problemas son x = (1, 1) y x = (3, 4).
Antes de resolver estos dos problemas de minimización mediante optim es necesario construir
un archivo, por ejemplo de nombre func.sci
50
6.3. OPTIMIZACIÓN NO LINEAL
51
CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN
u = [3; 2];
v = [5; 10];
x0 = [0; 0];
[fx, x] = optim(rosenbr, ’b’, u, v, x0)
El parámetro ’b’ (bound ) indica que los dos vectores columna siguientes son las cotas de caja.
También es posible escoger el criterio de parada, para ello se usa el parámetro ’ar’ . Ver la
ayuda de la función optim.
x21 + x1 x2 + x3 − 3 = 0 ,
2x1 + 3x2 x3 − 5 = 0 ,
(x1 + x2 + x3 )2 − 10x3 + 1 = 0 .
La función f debe estar definida en una función de Scilab, donde dado un vector columna x calcule
el vector columna f (x). Una vez escrita la función y cargado el archivo donde está f , se utiliza
fsolve . Para el ejemplo anterior la función puede ser
function fx = f3(x)
n = size(x,1)
fx = zeros(n,1)
fx(1) = x(1)^2 + x(1)*x(2) + x(3) - 3
fx(2) = 2*x(1) + 3*x(2)*x(3) - 5
fx(3) = (x(1) + x(2) + x(3))^2 - 10*x(3) + 1
endfunction
52
6.5. MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES
Si se dispone de una función donde está definida la matriz jacobiana, entonces fsolve trabajará
mucho mejor. Por ejemplo,
function J = jacf3(x)
t = 2*(x(1)+x(2)+x(3))
J = [ 2*x(1)+x(2) x(1) 1
2 3*x(3) 3*x(2)
t t t-10 ]
endfunction
f (x1 , x2 , x3 ) = (x21 +x1 x2 +x3 −3, 2x1 +3x2 x3 −5, (x1 +x2 +x3 )2 −10x3 +1, 10(x1 +x2 +x3 )−3.3).
function fx = fmc(x)
m = 4;
fx = zeros(m,1);
fx(1) = x(1)^2+x(1)*x(2)+x(3)-3;
fx(2) = 2*x(1)+3*x(2)*x(3)-5;
fx(3) = (x(1)+x(2)+x(3))^2-10*x(3)+1;
fx(4) = 10*(x(1)+x(2)+x(3)-3.3);
endfunction
53
CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN
También el método trabaja mejor si se tiene una función de Scilab donde se calcula la matriz con
las derivadas parciales. Por ejemplo,
function D = derfmc(x)
t = 2*(x(1)+x(2)+x(3));
D = [ 2*x(1)+x(2) x(1) 1
2 3*x(3) 3*x(2)
t t t-10
10 10 10 ];
endfunction
También se puede resolver el problema de mı́nimos cuadrados no lineales con restricciones de caja:
u = [1.2 0 1.1]’;
v = [10 10 10]’;
[fx, x] = leastsq(fmc, ’b’, u, v, [4 5 6]’)
54
ÍNDICE ANALÍTICO
π, 9 asignación, 3
’Pos’, 44 asin, 6
’Rec’, 44 asinh, 6
’b’, 52 atan, 6
’c’, 10 atanh, 6
’coeff’, 10 ayuda, 7
’e’, 9
’gc’, 51 ’b’, 52
’nd’, 51 backslash, 21
’qn’, 51 barra de menú, 8, 23
’r’, 10 bdiag, 19
’roots’, 10 blpr, 45
’v’, 9 break, 30
.eps, 45
C, 31
.sce, 22
c, 10
.sci, 24
C++, 23
\, 21
carpeta
%, 9
actual, 26
abort, 30 por defecto, 26
abs, 6, 9 case, 29
acos, 6 ceil, 6, 7
acosh, 6 chdir, 26
aleatorio, 7 chol, 20
algoritmo de Euclides, 30 Cholesky, 20
anidamiento, 29 coeff, 10
ans, 5 coeficiente, 10
apropos, 8 columna, 13, 14
aproximación polinomial por mı́nimos c., 36 comentarios, 23
archivo Postscript, 44 complejos, 9
arcocoseno, 6 conj, 9
arcocoseno hiperbólico, 6 conjugado, 9
arcoseno, 6 constantes predefinidas, 9
arcoseno hiperbólico, 6 contour, 43
arcotangente, 6 control de flujo, 27
arcotangente hiperbólica, 6 cos, 6
55
ÍNDICE ANALÍTICO
coseno, 6 eye, 14
coseno hiperbólico, 6
cosh, 6 factores primos, 38
cotangente, 7 factorización
cotangente hiperbólica, 7 de Cholesky, 20
cotg, 7 LU, 20
coth, 7 QR, 20
cuasi Newton,, 51 fcontour, 43
curvas de nivel, 43 fila, 14
File, 23, 25, 45
derivadas parciales, 54 fix, 7
descomposición en valores singulares, 20 floor, 7
desigualdades, 46–48 for, 28
desigualdades lineales de matrices, 54 format, 8
desviación estándar, 17 formato, 8
det, 16 formato “variable”, 9
determinante, 16 formato por defecto, 9
diag, 16 formato predefinido, 9
diagonal de una matriz, 16 fplot2d, 42
Dialog, 8 fplot3d, 42
diferente, 27 fprintf, 32
disp, 31 Frobenius, 18
división, 6, 9 fsolve, 52
elemento a elemento, 15 ftp, 2
driver, 44 función (programa), 22, 24
función exponencial, 7
e, 9 funciones, 6
ecuaciones no lineales, 52 funciones elementales, 6
else, 28, 29 funciones matemáticas, 6
end, 27, 29, 30 function, 24
endfunction, 24
ENPC, 1 ’gc’, 51
enteros, 4 Getf, 25
espacios en blanco, 5 getf, 25, 26
espectro, 19 GIF, 45
estructuras de control, 26, 27 Gomez, 2
evaluar un polinomio, 11 gradiente, 50
Exec, 23 gradiente conjugado, 51
exec, 23, 24, 26 gradiente numérico, 32
exp, 7 gráficas, 40
expm, 16 en dos dimensiones, 40
exponencial en tres dimensiones, 42
de una matriz, 16 GSview, 45
Export, 45 guión (programa), 22
56
ÍNDICE ANALÍTICO
Help, 8 matriz
help, 7 aleatoria, 14
Help Dialog, 8 de ceros, 14
horner, 11 de derivadas parciales., 54
de unos, 14
i, 9 definida positiva, 20
if, 27 diagonal, 16
igual, 27 diagonal por bloques, 19
igualdades, 48
escalonada reducida por filas, 16, 34
imag, 9
identidad, 14
incremento, 28
inversa, 16
INRIA, 1
jacobiana, 53
int, 7
simétrica, 20
inv, 16
“vacı́a”, 16
inversa de una matriz, 16
max, 7, 17
inversa generalizada, 20
máximo, 7, 17
inverso aditivo, 6
máximo común divisor, 30
jacobiana, 53 mayor, 27
mayor o igual, 27
Karmarkar, 54 mayúsculas, 4
karmarkar, 54 mean, 17
median, 17
leastsq, 53
mediana, 17
leg, 41
libro, 2 menú, 8
lı́mite menor, 27
inferior, 28 menor o igual, 27
superior, 28 min, 7, 17
linear matrix inequalities, 54 mı́nimo, 7, 17
linpro, 46 mı́nimos cuadrados no lineales, 53
LMI, 54 minúsculas, 4
lmisolver, 54 modulo, 7
lmitool, 54 módulo de un complejo, 9
log, 7 multiplicación, 6, 9, 10
log10, 7 de matrices, 15
log2, 7 elemento a elemento, 15
logaritmo decimal, 7 por escalar, 15
logaritmo en base dos, 7
logaritmo natural, 7 ’nd’, 51
lu, 20 negación, 27
LU, factorización, 20 no, 27
no diferenciable, 51
Matlab, 1 nombres de variables, 5
matrices, 13 norm, 18
57
ÍNDICE ANALÍTICO
norma, 18 Postscrip-Latex, 45
norma matricial, 18 Postscript, 44
notación cientı́fica, 4, 9 Postscript encapsulado, 45
número PostscriptNoPreamble, 45
de columnas, 18 potencia, 6, 10, 15
de filas, 18 precedencia, véase prioridad
número aleatorio, 7 print, 32
printf, 31
o, 27 prioridad, 6
ones, 14 prod, 17
operaciones, 6 producto
operadores de elementos de ..., 17
lógicos, 27 producto de matrices, véase multiplicación ...
relacionales, 27 programación ..., véase optimización ...
optim, 50 programación lineal, véase optimización l...
optimización, 46 programas, 22
cuadrática, 49 promedio, 17
lineal, 46 pwd, 26
no lineal, 50
no restringida, 50 ’qn’, 51
semidefinida, 54 QR, 20
ordenamiento, 16 qr, 20
quapro, 49
parámetro
de entrada, 24 r, 10
de salida, 24 raiz cuadrada, 7
paréntesis, 6 rand, 7, 14
parte rango, 16
imaginaria, 9 rank, 16
real, 9 real, 9
parte entera reales, 4
inferior, 7 redondeo, 7
superior, 6, 7 residuo entero, 7
parte triangular resta, 6, 9, 10
inferior, 18 de matrices, 15
superior, 19 restricciones de caja, 47, 48, 51, 54
pegar matrices, 15 return, 30, 31
pinv, 20 roots, 10
plot2d, 40 Rosenbrock, 50
plot3d, 42 round, 7
polinomios, 10 rref, 16
poly, 10, 11
polynomial, 8 sce, 22
Pos, 44 sci, 24
58
ÍNDICE ANALÍTICO
spec, 19
valor absoluto, 6, 9
valores propios, 19
variable, 3
variables
globales, 22
59