ANDALUCÍA / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS / JUNIO 18 /

EXAMEN RESUELTO

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde.

d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para
almacenar o transmitir datos.

e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos
necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.

OPCIÓN A

Ejercicio 1

a) (1 punto) Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a
optimizar: “Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kilogramo de maíz
aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de
pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita
diariamente como mínimo 1800 g de hidratos de carbono y 2400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz
cuesta 0,50 euros y 1 kg de pienso cuesta 0,25 euros, calcule cuántos kilogramos de cada
producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto
mínimo.”

b) (1,5 puntos) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus
vértices

x ≥0 x ≤ 2y + 2 x+y ≤5

Calcule el máximo de F ( x , y=
) 4 x + 3y en dicho recinto, así como el punto donde se alcanza.

Ejercicio 2

La función de costes de una empresa se puede determinar mediante la expresión

f ( x ) = 40 − 6 x + x 2 , para x ≥ 0 donde x representa la cantidad producida de un determinado
artículo.

a) (1 punto) ¿Disminuye el coste alguna vez? Determine la cantidad producida de dicho artículo
cuando el coste es mínimo y cuál es dicho coste.

b) (0,8 puntos) ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo? Si el coste fuese 80,
¿cuántas serían las unidades producidas?

c) (0,7 puntos) Represente gráficamente la función.

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Ejercicio 3

En una determinada población residen 5000 personas en el centro y 10 000 en la periferia. Se sabe
que el 95 % de los residentes en el centro y que el 20 % de los que viven en la periferia opina que
el Ayuntamiento debería restringir el acceso de vehículos privados al centro urbano. Se elige al
azar un residente de la población.

a) (1,25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos
privados al centro de la ciudad?

b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción
de acceso?

c) (0,75 puntos) Si la persona elegida opina que se debería restringir el acceso, ¿cuál es la
probabilidad de que resida en el centro de la ciudad?

Ejercicio 4

Se dispone de cuatro tornillos de 1, 2, 3 y 4 gramos de peso respectivamente.

a) (1,25 puntos) Mediante muestreo aleatorio simple, exprese todas las muestras posibles de
tamaño 2.

b) (1,25 puntos) Determine la media y la varianza de los pesos medios muestrales.

OPCIÓN B

Ejercicio 1

(
Se consideran las matrices A = −1 0 y B = 2 1 .
1 2 0 −1 ) ( )
a) (1,2 puntos) ¿Se verifica la igualdad ( A + B ) = A2 + B 2 + 2AB ?
2

= 2Bt + I2 .
b) (1,3 puntos) Resuelva la ecuación XA

Ejercicio 2

 x 3 + ax 2 si x < 1
Sea la función f ( x ) =  2 .
bx + si x ≥ 1
 x

a) (1,5 puntos) Calcule los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x = 1.

b) (1 punto) Para b = 3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el

punto de abscisa x = 2.

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Ejercicio 3

Un campus universitario dispone de 3000 plazas numeradas de aparcamiento para vehículos,

distribuidos en tres zonas A, B y C. La zona A está constituida por las plazas del 1 al 1500,
estando 1350 de ellas protegidas del sol. La zona B la conforman las plazas numeradas desde
1501 a 2500, estando el 80 % protegidas del sol. La zona C contiene plazas numeradas desde 2501
hasta 3000, estando protegidas solamente 250 protegidas del sol. Aleatoriamente se elige una de
las plazas de aparcamiento del campus.

a) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que esté en la zona A o en la B?

b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no esté protegida del sol?

c) (1 punto) Si se ha elegido una plaza protegida del sol, ¿cuál es la probabilidad de que esté
ubicada en la zona B?

Ejercicio 4

En un estudio sobre la utilización de nuevas tecnologías entre los estudiantes de Bachillerato, se

ha realizado una encuesta a 500 estudiantes elegidos mediantes muestreo aleatorio simple,
resultando que 380 de ellos son usuarios de una determinada red social.

a) (1,5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 97 % para estimar la proporción de

estudiantes que son usuarios de esa red social

b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, determine el número mínimo de

estudiantes a los que sería preciso entrevistar para que, con un nivel de confianza del 96 %, el
error cometido al estimar la proporción de usuarios de la citada red social no supere el 2 %.

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SOLUCIÓN DE LA OPCIÓN A
Ejercicio 1

a) Las variables de decisión: x kg de maíz y kg de pienso

Los datos del problema se pueden organizar en la siguiente tabla:

Hidratos de carbono (g/kg) Proteínas (g/kg)

Maíz (x) 600 200
Pienso (y) 300 600
Necesidades (g) 1800 2400

El objetivo es minimizar el gasto: G(=

x, y ) 0,50x + 0,25y

600x + 300y ≥ 1800

200x + 600y ≥ 2400
Sujeto a: 
x ≥ 0
 y ≥ 0

b) La restricción x ≥ 0 es el semiplano situado a la derecha del eje Y.

La x ≤ 2y + 2 designa el semiplano situado a la izquierda de la recta

x
x = 2y + 2 ⇔ y = − 1.
2

La inecuación x + y ≤ 5 determina los puntos del plano situados a la

izquierda de la recta x + y =
5.

En todos los casos se incluyen los puntos de las rectas.

El recinto es el sombreado en la figura adjunta:

Los vértices son los puntos de corte de cada par de rectas.

x = 0 5
x + y = x = 0
A:  ⇒ A(0, 5); B:  ⇒ B(4, 1); C:  ⇒ C(0, −1).
5
x + y = x 2y + 2
= x 2y + 2
=

) 4x + 3y , se da en alguno de los vértices

Como se trata de una región cerrada el máximo de F ( x, y=
anteriores.

El valor en cada uno de esos vértices es:

En A, F (0,5) = 0 + 3 ⋅ 5 = 15 En C, F (0, −1) =0 + 3 ⋅ (−1) =−3

En B, F (4,1) = 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ 1 = 19 .

El máximo se alcanza en el punto B(4, 1); su valor es 19.

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Ejercicio 2

a) La función f ( x ) = 40 − 6x + x 2 es cuadrática; se trata de una parábola convexa (∪).

Su crecimiento y decrecimiento se deduce del signo de su derivada.

f ( x ) = 40 − 6x + x 2 ⇒ f '( x ) =−6 + 2x ⇒ se anula en x = 3.

Para x < 3, como f '( x ) < 0 ⇒ la función es decreciente.

Para x > 3, como f '( x ) > 0 ⇒ la función es creciente.

Por tanto, en x = 3 se tiene el coste mínimo y ese coste mínimo será f (3) = 40 − 6 ⋅ 3 + 32 = 31 .

b) Para x = 0 el coste sería: f (0) = 40 .

Si el coste fuese 80: f ( x ) = 80 ⇒ 40 − 6x + x 2 =

80 ⇒

6 ± 62 − 4 ⋅ (−40) 6 ± 14
6x − 40 =
⇒ x2 − = 0 ⇒ x = ⇒ x = 10 o x = −4.
2 2

Deben producirse 10 unidades de ese artículo. (La solución negativa no tiene sentido económico).

c) Como se trata de una parábola su gráfica puede trazarse dando algunos valores; entre ellos el
correspondiente al vértice (al mínimo).

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Ejercicio 3

Sean los sucesos:

C = “vivir en el centro”

P = “vivir en la periferia”

R = “restringir los vehículos”.

Por el enunciado se conocen las siguientes probabilidades:

5000 1 10000 2
P(C )
= = ; P(P )
= = ; P ( R | C ) = 0,95 ; P ( R | P ) = 0,20 .
15000 3 15000 3

a) Por la probabilidad total:

1 2
P ( R ) = P (C ) ⋅ P ( R | C ) + P ( P ) ⋅ P ( R | P ) = ⋅ 0,95 + ⋅ 0,20 = 0,45 .
3 3

b) Hay que calcular P (C ∩ R ) .

Se ha indicado arriba:

1
P (C ∩ R ) =P (C ) ⋅ P ( R | C ) = ⋅ 0,95  0,70
3

c) Por Bayes:

1
P (C ∩ R ) ⋅ 0,95
(C | R )
P= = 3= 95  0,70 .
P (R ) 0,45 135

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Ejercicio 4

a) En el muestreo aleatorio simple en cada elección debe mantenerse la misma probabilidad para cada
uno de los elementos de la muestra. Por tanto, el muestreo debe hacerse con reposición.

Sea la variable Xi: “El peso medio del i – ésimo par de tornillos”

En la siguiente tabla se dan los resultados posibles.

Par elegido 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44

Xi 1 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 3 2 2,5 3 3,5 2,5 3 3,5 4

b) La media de las muestras es:

16

∑X i
1⋅ 1 + 1,5 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 2,5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 3,5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 40
=
X =
i =1
= = 2,5
16 16 16

La varianza, que resolvemos con la calculadora para aligerar los cálculos, es:
16

∑( X − X ) i

=σx = 0,625 ⇒ σ x = 0,625

i =1
16

Nota:

Puede observarse la media de las muestras que coincide con la media de la población:

1+ 2 + 3 + 4 5
=µ = 2,5 σ=
4 2

σ 5
También se cumple que la desviación típica muestral es σ= = = 0,625
x
2 2 2

En general, se tiene que las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media µ y
 σ 
desviación típica σ, N(µ, σ), se distribuye según una normal N  µ, .
 n

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