DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS

El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó

la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:

Artículo 1.- Artículo 21.-

Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
Artículo 2.- 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta funciones públicas de su país.
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 22.-
Artículo 3.- Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
persona.
Artículo 4.- derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de libre desarrollo de su personalidad.
esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 23.-
Artículo 5.- 1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
degradantes. desempleo.
Artículo 6.- 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su trabajo igual.
personalidad jurídica. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
Artículo 7.- satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación cualesquiera otros medios de protección social.
que infrinja esta Declaración (...). 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
Artículo 8.- de sus intereses.
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales Artículo 24.-
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
fundamentales (...). limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
Artículo 9.- pagadas.
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 25.-
Artículo 10.- 1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
acusación contra ella en materia penal.
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. a igual protección social.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de Artículo 26.-
la comisión del delito. 1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
Artículo 12.- al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. para todos, en función de los méritos respectivos.
Artículo 13.- 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
en el territorio de un Estado. fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
a regresar a su país. desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
Artículo 14.- de la paz.
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
disfrutar de él, en cualquier país. habrá de darse a sus hijos.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente Artículo 27.-
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
principios de las Naciones Unidas. la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
Artículo 15.- en los beneficios que de él resulten.
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad. materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
Artículo 16.- literarias o artísticas de que sea autora.
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin Artículo 28.-
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
fundar una familia (...). en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá plenamente efectivos.
contraerse el matrimonio. Artículo 29.-
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
a la protección de la sociedad y del Estado. 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
Artículo 17.- estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
Artículo 18.- público y del bienestar general en una sociedad democrática.
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
religión (...). oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 19.- Artículo 30.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
Artículo 20.- derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación. derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
 Matemática 6
Primaria

Geometría

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Método EMAM
Método EMAM

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® MATEMÁTICA SIGMA 6, primaria PROHIBIDA

Geometría LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
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los principios de la Ley General de Educación.
 Aperturas
y enfoques
transversales
MÉTODO EMAM

Título de la unidad

Unidades de medida no

brimos
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convencionales

2 De otras
¿Te has preguntado alguna vez cómo
hicieron los egipcios para construir obras tan

e
formas d
impresionantes como las pirámides de Egipto?
Pues bien, año a año, los egipcios padecían las
inundaciones del río Nilo, lo cual traía como

edir
consecuencia que se confundieran los límites
de sus parcelas de cultivo. Es así que surgió en
ellos la necesidad de medir y registrar las áreas

m
de las superficies que les correspondían a cada
uno.
De este modo, fueron desarrollando sus
nociones espaciales y sus conocimientos para
En esta sección
efectuar mediciones de longitud, superficie,
volumen, masa y tiempo. encontrarás temas
novedosos que
Por ejemplo, para los egipcios la unidad de
longitud más importante fue el Codo Real
(0,524 m), que se subdividía en siete palmos
de cuatro dedos cada uno.
Como unidad de superficie básica tuvieron el propician sostener
Sechat equivalente a un cuadrado de 100 codos
de lado, o 10 000 codos cuadrados.
Y como unidades de capacidad tuvieron el
una relación cercana
Hegat (4,8 litros), empleado para medir el trigo
y la cebada; y el Henu (0,48 litros) utilizado con las nociones
para medir cantidades de cerveza, vino, leche
o agua.
de Geometría y
Trigonometría.
Desempeños
• Modela datos de ubicación, cambios de tamaño y movimientos identificados en problemas, así
como rotaciones en el plano cartesiano. Actividades.
• Describe posiciones de objetos en el plano usando puntos cardinales y de referencia, y los 1. Investiga cuáles fueron las unidades de
representa en croquis. También representa de diversas formas, giros en cuartos y medias vueltas, masa y tiempo que utilizaron los egipcios
traslación y dos o más ampliaciones de una figura en el plano cartesiano. antiguos.
• Usa de diversas estrategias para medir la longitud, la superficie o la capacidad de los objetos, 2. Comenta acerca de las unidades de medida
de manera exacta o aproximada. Realiza cálculos numéricos para hacer conversiones de medidas. que usaron otras civilizaciones antiguas
Emplea unidades de medida no convencionales o convencionales, así como instrumentos de como los griegos, sumerios, incas, etc.
dibujo y de medición.

42 cuarenta y dos MATEMÁTICA SIGMA 6 - GEOMETRÍA cuarenta y tres 43

Contiene los desempeños que Lectura entretenida que te muestra

Preguntas sobre la lectura que te
alcanzarás luego del estudio de la la importancia de las nociones
permiten recordar conocimientos
unidad. Estos corresponden a la matemáticas en tu vida y en el
antes adquiridos.
competencia Resuelve problemas de desarrollo del hombre.
forma, movimiento y localización.

Valo
Honestidad Enfoque transversal: Enfoque de búsqueda de la excelencia
res

El Hachade
Oro
Pablo había

Además de aprender sido leñador toda su vida. Él

había usado la misma hacha durante
muchos años y en ocasiones Pablo se sentía

contenidos tan cansado y oxidado como ella.

—Pablo, debes ver cómo trabajo yo. Tengo un hacha

matemáticos
nueva y mis movimientos son rápidos —le decía Warube, un
leñador fanfarrón. Su intención era hacerlo sentir mal mostrándole
que él era más joven.

es importante Un día, mientras Pablo cortaba troncos, el hacha se le escapó de las

manos, y salió volando hasta caer en un lago que había cerca.

que aprendas a —Oh, no. Mi hacha se ha caído al fondo del lago, ¿qué haré? —se lamentaba
Pablo.
—Te he oído. Soy el dios de los lagos y me he enterado que has perdido tu única hacha,
desenvolverte como así que bajaré hasta el fondo y te la devolveré—. Se sumergió y al cabo de unos segundos
salió y le entregó un hacha nueva y liviana.

una persona que —Pero esta no es mi hacha —dijo Pablo. Esta hacha está nueva y la mía era vieja y pesada.
—Uhm— dijo el dios. —Bajaré de nuevo, entonces—. Y bajó y subió nuevamente. —Esta sí debe
Enfoque transversal
practica valores y
ser tu hacha —le dijo.

y valores que —¡No! Esta hacha es de oro, no es la mía —respondió Pablo.

actitudes que te afianzarás con

—Bajaré una vez más. Espero no equivocarme—. Descendió y regresó con el hacha vieja del leñador.
—Esta sí es mi hacha —dijo él.
Lectura que te
permitan una sana las actividades —En realidad eres un hombre bueno, y como premio a tu honestidad además de tu hacha, te regalo el
hacha nueva y el hacha de oro para que puedas trabajar con más comodidad —dijo el dios.
dejará enseñanzas
propuestas. Cerca de allí, había estado Warube, quien sintió mucha ira porque ahora Pablo tendría mejores a partir del análisis
convivencia con herramientas que él, entonces esperó a que Pablo se fuera, arrojó sus tres hachas y fingió llorar.
Al salir el dios, él le dijo que se le habían caído y que por favor lo ayudara a recuperarlas. que realices con
tu entorno social y El dios, que ya conocía sus intenciones, descendió al fondo y sacó sus tres hachas y se las regresó.
Pero Warube le dijo que esas no eran sus hachas, que volviera a buscar debajo del agua.
tu profesor(a) y
ambiental. Y luego de volver a descender, el dios le mostró tres hachas de oro a lo cual Warube dijo que eran suyas, compañeros.
creyendo que había logrado engañar al dios.
El dios, se molestó mucho, le quitó las tres hachas de oro y le dijo que
tampoco le devolvería sus tres hachas originales porque era un
hombre deshonesto.

Responde.
1. ¿Qué opinas de la actitud de Pablo?
2. ¿Fue correcto lo que hizo Warube?

8 ocho

Preguntas de reflexión acerca

de la lectura.

Matemática SIGMA 6 - Geometría

Desarrollo
pedagógico
ia y círculo
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Relacion
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fico :
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1. ¿Qué
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así como ejercicios D 3

y problemas
desarrollados.
Folio para reforzar la lectura Practica lo aprendido
y escritura de los números.
Actividades organizadas en tres niveles de dificultad que tienen por
finalidad consolidar lo aprendido durante la sesión poniendo en práctica
la información adquirida, siguiendo el modelo planteado en una situación
desarrollada y haciendo uso de tu razonamiento y habilidades.

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reforzar junto a tu profesor. 2
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preguntas. Recuerda que
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II. El suplem
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o aprendí nes con
SIGMA 6 - segmento
MATEMÁTICA a solucio s y ángu
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26 veintiséis
 Índice

Enfoque Competencia y Contenidos pedagógicos

Unidad
transversal capacidades

Rodeados de formas Valor

es

Pablo había
Honestidad
Enfoque transversal:

El Hacha
Enfoque de búsqueda
de la excelencia

geométricas Oro Nociones de geometría y segmentos 9

sido leñador
toda su vida.

de
había usado Él
la misma hacha
muchos años
y en ocasiones durante
tan cansado
y oxidado como Pablo se sentía
—Pablo, debes ella.
nueva y mis ver cómo trabajo
movimientos yo. Tengo un
leñador fanfarrón. son rápidos hacha
Su intención —le decía Warube,
que él era más era hacerlo un
joven. sentir mal mostrándole
Un día, mientras
manos, y salió Pablo cortaba
volando hasta troncos, el hacha
caer en un lago se le escapó

Ángulos 14
—Oh, no. Mi que había cerca. de las
hacha se ha
Pablo. caído al fondo
del lago, ¿qué
—Te he oído. haré? —se lamentaba
Soy el dios de
así que bajaré los lagos y me
hasta el fondo he enterado
salió y le entregó y te la que has
un hacha nueva devolveré—. Se sumergió perdido tu única hacha,
—Pero esta y liviana. y al cabo de
no es mi hacha unos segundos

Modela objetos
—dijo Pablo.
—Uhm— dijo Esta hacha está
el dios. —Bajaré nueva y la mía
ser tu hacha de nuevo, entonces—. era vieja y pesada.
—le dijo.
Y bajó y subió
—¡No! Esta hacha nuevamente
es de oro, no . —Esta sí debe
es la mía —respondió

Polígonos 20
—Bajaré una
vez más. Espero Pablo.
no equivocarme
—Esta sí es mi

Rodeados
hacha —dijo —. Descendió
y regresó con

1
él. el hacha vieja
—En realidad del leñador.
eres un hombre
hacha nueva bueno, y como

con formas
y el hacha de premio a tu

de
La geometría en Cerca de allí,
oro para que
puedas trabajar
honestidad
además de
todo lugar herramientas
había estado con más comodidad tu hacha, te
regalo el
que él, entonces Warube, quien sintió mucha —dijo el dios.
Durante el periodo esperó a que
de vacaciones, con Al salir el dios,
él le dijo que Pablo se fuera, ira porque ahora Pablo
visitado muchos certeza has se le habían arrojó sus tres tendría mejores
lugares, plazas, parques, hachas y fingió

1
El dios, que ya caído y que

formas
repente habrás llorar.
tenido la oportunidad etc., o de conocía sus
intenciones,
por favor lo
ayudara a recuperarlas.
tu deporte favorito, de
o tal vez habrás visitadopracticar Pero Warube descendió al

¡Autoevalúate! 25
amigo o familiar le dijo que esas fondo y sacó
en su casa o departamento.a algún no eran sus hachas, sus tres hachas
Y luego de volver que volviera y se las regresó.

geométricas
a descender,

geométricas y sus
Respecto a ello, creyendo que a buscar debajo
quisiera que escojas había logrado el dios le mostró tres hachas del agua.
uno de los lugares en tu mente engañar al dios. de oro a lo cual
a los que has ido Warube dijo
a esta pregunta, y que respondas que eran suyas,
¿hay en este lugar El dios, se molestó
relacionado a la algún elemento mucho, le quitó
Geometría? tampoco le las tres hachas
devolvería sus de oro y le dijo
Puedo asegurarte tres hachas
que tu respuesta
hombre deshonesto. originales porque que
Quizás, a diario, fue: Sí. era un
no
no nos percatemos seamos tan observadores y
nos ponemos a de ciertos detalles,
pero si

transformaciones.
reflexionar, estamos

Triángulos 27
formas y estructuras rodeados de
geométricas.
Vamos a ser más
explícitos, si vas
ejemplo, cada granito a la playa, por
punto. O si miras de arena nos da
al cielo, de noche, la idea de
en el inmenso Universo cada estrella, Responde.
pareciera ser apenas en el que nos encontramos, 1. ¿Qué opinas
un
un polígono formado punto; y cada constelación 2. ¿Fue correcto
de la actitud de
Pablo?
recta. por varios segmentos lo que hizo Warube?
de
En otro contexto,
si estamos jugando 8
baloncesto, fútbol un partido de ocho

Cuadriláteros 32
o vóley, basta con
para poder notar mirar el suelo,
en él líneas rectas
se cortan entre u
sí o que son paralelas.oblicuas, que
O simplemente,
al caminar por la
observar letreros, calle se pueden
ventanas, líneas
rejas de seguridad, en las autopistas,
otros innumerables columnas de edificios, y
objetos que nos
la importancia demuestran
de las nociones
geométricas para espaciales y
la vida del hombre
y su progreso.
Ponte a observar
cada lugar que

Circunferencia y círculo 36
darás la razón. frecuentes y me
Desempeños
• Modela característi
cas de los objetos
(triángulos, cuadriláteros identificados en
• Describe la comprensión y círculos). un problema, con
formas bidimensionales
líneas paralelas del triángulo, cuadrilátero
Actividades.

El hacha de oro
y perpendiculares y círculo a partir
. de reconocer elementos
y 1. Menciona 5
elementos geométricos
encuentres en la que
6 imagen mostrada.
seis 2. Comenta acerca
de un lugar
frecuentado y que hayas

¡Autoevalúate! 40
enumera los
geométricos que elementos
hayas podido observar
MATEMÁTICA SIGMA en él.
6 - GEOMETRÍA

siete 7

Valor: Honestidad

6-7 8

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.

Plano cartesiano y eje de simetría 45
Descubrimos otras Valor
es
Respeto a toda
forma de vida

Traslación de figuras en el plano 48

Enfoque ambiental

El sueño
Luciano

formas de medir
era un niño
sensible. Cierto muy
día, en el colegio,
su maestra les
había de
de la contaminac hablado acerca
había quedado ión ambiental y Luciano
muy preocupado
por ello.
se Luciano
Una mañana,
Luciano despertó
que ese día

Ampliación y reducción de figuras en el plano 51

estaba muy temprano.
poder ir caminando más gris que los otros. Salió de su casa
pero notó de y ver las flores A él le encantaba con destino al colegio
un día para y los árboles salir temprano y vio
había flores, otro de un parque de casa para
y de los frondosos que ya no existía parque que estaba
camino al colegio
ningún ave árboles solo sino
como siempre
había visto. quedaban troncos una pampa casi desértica.
Siguió caminando secos, y sobre No
, bastante extrañado, ellos ya no había
esquina había
rumas de basura. pero su sorpresa
humanos lo Entonces recordó fue mayor cuando
habían contaminad notó que en
o todo y ya lo que su profesora cada
Y cuando ya no quedaban le había dicho:
lo creía ni plantas ni
parecía deshabitada todo perdido, encontró animales». «Los
una pequeña

Rotación de figuras en el plano 54

recogió y empezó . Estaba muy flor roja en el
enferma, a jardín de una
deseó con todas a buscar un lugar donde punto de morir, casa que
viajar por todas sus fuerzas tener algún la pudiera cuidar. así que, con mucho cuidado,

Comunica su
partes y como poder que le Luciano la
tenía unas grandes por arte de permitiera
alas con las magia, vio que
Luciano voló que podía volar.
por todos los
pero estaba lugares del
tan planeta
reconocer que contaminado que tuvo
la que
en ningún lugar. flor no podría sobrevivir
vio la Luna, y Entonces miró
pensó que aquel al cielo y
buen lugar para sería un

comprensión sobre ¡Autoevalúate! 57

cuidar la flor.
Así que subió
con ella hasta
Luna. Lejos la
de
Luciano plantó tanta suciedad,
la flor y vio

2
inmediatam que
ente mejoró
su color.

scubrimos
De pronto,

2
Luciano escuchó
una voz que

De otras
despierta, ya decía –Luciano, Responde.

formas y relaciones
Unidades de medida es hora de
colegio–. Era ir al 1. ¿Qué hubieras
no Luciano comprendió
su madre. Entonces, hecho tú en el
convencionales que todo
Luciano? lugar de

Unidades de longitud 59
había sido un 2. ¿Qué acciones
sueño. propones para

formas de
¿Te has preguntado Transcurrió todo contrarrestar
el daño al medio
el
hicieron los egipcios alguna vez cómo noche, Luciano día y ya llegada la ambiente?
para construir obras miró durante
minutos la Luna algunos

dir
impresionantes tan
como las pirámides que una parte
y curiosamen
de Egipto? te notó

me
Pues bien, año de ella tenía

geométricas.
a año, los egipcios rojo suave parecido de un color
inundaciones del padecían las sueño y recordó al de la flor
río Nilo, lo cual de su
consecuencia que traía como Tierra, llegará que si no cuidamos
se confundieran un la
de sus parcelas
de cultivo. Es así
los límites flores en la Luna. día en que solo haya
ellos la necesidad que surgió en
de medir y registrar

Unidades de superficie 61
de las superficies las
que les correspondían áreas
uno. a cada
De este modo,
fueron desarrollando 44 cuarenta
nociones espaciales sus y cuatro
y
efectuar mediciones sus conocimientos para
volumen, masa de longitud, superfi
y tiempo. cie,
Por ejemplo, para
los egipcios la
longitud más importante unidad de
(0,524 m), que fue el Codo Real

Unidades de tiempo 63
se subdividía en
de cuatro dedos siete palmos
cada uno.
Como unidad de
superficie básica
Sechat equivalente tuvieron el
a un cuadrado de
de lado, o 10 000 100 codos
codos cuadrados.
Y como unidades
de capacidad tuvieron
Hegat (4,8 litros), el
empleado para
y la cebada; y medir el trigo
el Henu (0,48
para medir canti litros)
dades de cerveza, utilizado
o agua. vino, leche

Unidades de masa 66
Desempeños
• Modela datos
de ubicación, cambios
como rotaciones de tamaño y movimientos
en el plano cartesiano. identificados en

El sueño de Luciano
• Describe posiciones problemas, así
representa en croquis.de objetos en el
plano
traslación y dos También representa usando puntos cardinales y de
o más ampliaciones de diversas formas, referencia, y los
• Usa de diversas de una figura en giros en cuartos
estrategias para el plano cartesiano. y medias vueltas, Actividades.
de manera exacta medir
o aproximada. Realiza la longitud, la superficie o la capacidad 1. Investiga cuáles
Emplea unidades cálculos numéricos de fueron las unidades
de
dibujo y de medición.medida no convencionales o para hacer conversioneslos objetos, masa y tiempo de
convencionales, de medidas. que utilizaron los

Unidades de capacidad y volumen 68

así como instrumentos antiguos. egipcios
de
42 cuarenta 2. Comenta acerca
y dos de las unidades
que usaron otras de medida
civilizaciones anti
como los griegos, guas

Valor: Respeto a toda

sumerios, incas,
MATEMÁTICA SIGMA
etc.
6 - GEOMETRÍA

cuarenta y tres
43

forma de vida Construcciones geométricas 71

42 - 43 44 ¡Autoevalúate! 74

Las maravillas de la Valor

es
Fe y confianza
Enfoque de orientación

Áreas y perímetros de triángulos 79

al bien común

chaleco sa

Geometría
s
El lvavida
Cierto día, la
compañeros maestra de
una tarea: «Investiguen Roberto les
dejó a él y

Áreas y perímetros de cuadriláteros 83

–¿Qué es la fe qué es la fe en a sus
tío cuando llegó en Dios? Me Dios».
la dejaron de
a casa. tarea en el colegio
–¿En verdad –le preguntó
quieres saber Roberto a su
lo que es la fe

Usa estrategias y
–Sí –dijo Roberto. en Dios? –respondió
su tío con una
–Bien, vamos amplia sonrisa.
a la playa y te
lo enseñaré.
Una vez que
llegaron, le entregó
–Pero yo no sé un chaleco salvavidas.
nadar –dijo Roberto.
–Lo sé –le dijo
el tío–, póntelo

Áreas de polígonos regulares e irregulares 87

Y así lo hizo Roberto. de todas maneras.

procedimientos
–Ahora, comienza
pies no tocan a caminar hacia
tierra. Déjate el mar de espaldas.
ir y arrójate de Llegará un momento
Roberto estaba espaldas. No en el que sentirás
aterrado: –No te hundirás, ya que tus
tío, no quiero–. que el chaleco
–¡Hazlo! –le respondió. te hará flotar–.
–Estaré junto
Roberto confió a ti para que
en su tío. Mientras no temas. Así
tierra. Dudó, caminaba de que tranquilo.
pero recordó espaldas llegó
las palabras de

para orientarse en
su tío. un momento
En un acto de en el que sintió
valor, dio el siguiente que no tocaba

aravillas
3 Áreas de regiones circulares 91
mar gracias al paso. ¡Ya no

sm
chaleco. Se sintió tocaba tierra!
Ambos salieron emocionado y Sin embargo,

La
feliz ante la experiencia. flotó en el
Un cálculo ingenioso del mar y camino
a casa,

de la
«En esto consiste su tío le explicó:
la
Cierto día, en uno
de a Dios y el chaleco fe en Dios: el mar representa
a Thales de Mileto sus viajes, le preguntaron representa la la vida. Yo represento

Geometría
de la vida y fe. Cuando te
si podía medir la sientas que la

3
majestuosa pirámide altura de la flote de tus problemas, lógica no puede adentres en el mar
de Keops. ayudarte a salir

el espacio.
el chaleco de hasta perder a
Thales reflexionó la fe el piso, debes
unos ti, pero depende te salvará. Dios estará siempre creer que
que no solo la calcularía segundos y contestó de que te atrevas cerca de
sino que la mediría confiar en él, a dar el primer
ayuda de ningún sin vistiéndote el paso de
con él, para que chaleco de la

Poliedros 93
instrumento. fe y arrojándote
puedas
Dicho esto, colocó total paz y tranquilidad». flotar en el mar de
un bastón echado la vida con
la arena y en ella sobre Roberto quedó
marcó la longitud maravillado con
bastón. Luego, levantó de dicho tío, y su maestra la explicación
forma vertical al el bastón y lo apoyó quedó impresionada de su
suelo y al incio de de tanto así que con la tarea,
la marca obtuvo la nota
previamente había más alta de la
hecho. Thales esperó que clase.
la sombra que a que
proyectaba el bastón
misma medida que tuviera la
la
la marca del suelo. distancia del bastón hasta Responde.
Al cabo de unas
coincidieron, y horas, estas 1. ¿Es importante
muy contento, tener fe en Dios?¿Por

¡Autoevalúate! 96
«Ahora ya es muy pudo afirmar 2. Inventa una qué?
fácil conocer la historia semejante
pirámide». altura de la demostrar la en la que se
fe y cuéntala
a tus compañeros. pueda
78 setenta
78
Para calcularla estableció y ocho
la relación:
A= C
1.er Teorema de
B D Thales
Como se conocía
la
(D)y las longitudes longitud de la sombra
del
y B, respectivamente), bastón y su sombra (A

Prismas 98
despejar la variable solo fue cuesti
ón de
C,
altura era 139 metros, logrando calcular que su
aproximadamente.

Rayos solares

C=D× A
B

Desempeños
Altura
• Modela característi C
A bastón

Pirámides 103
cas de los objetos
(prismas rectos, identificados en
cilindros, etc.). un problema, con Altura
• Emplea estrategias formas tridimensionale pirámide
heurísticas, de cálculo s B
para construir formas y procedimientos

El chaleco salvavidas
• Elabora afirmaciones desde perspectivas y desarrollo de composición
y descomposición Sombra bastón D
de sólidos.
propiedades básicas sobre las relaciones entre los Sombra pirámide
y atributos medibles. elementos de las
formas geométricas,
76 setenta y
76
seis Responde.
Comprueba a
qué hora la sombra
MATEMÁTICA SIGMA mismo que el objeto mide lo
6 - GEOMETRÍA que la proyecta.

Cuerpos redondos 109

setenta y siete
77

Valores: Fe y confianza
¡Autoevalúate! 118

76 - 77 78

Rumbo a las nociones Valor

es
Respeto
Enfoque transversal:

El diablo bueno
Enfoque inclusivo
o de atención
a la diversidad
Ángulo trigonométrico 123
trigonométricas
En una
suelen ser malos montaña lejana a un pueblo
pero este era vivía un diablo

Sistemas de medición angular 128

–Qué bueno, de buen corazón. rojo y feo. Los
tenemos una diablos
hombres y eso mañana muy
amistosa. Sí, es justamente bonita –se dijo
ahora mismo lo que voy a el diablo. Me
colocaré mi hacer. Debo gustaría ser
hacer saber
a la gente que amigo de los

Argumenta
El diablo había letrero.
confecciona soy una criatura
té. Les gustará do un letrero
estar aquí–. que decía: –Bienvenidos
En ese momento, . Pueden servirse
el diablo oyó ricas tartas y
pasos y se escondió el mejor
–¿Dónde estoy? para ver quién
–dijo un humano. era.
de algún ladrón. Creo que me
Debo escapar perdí. Ah, una
En eso, el diablo de aquí, pero, casa en el bosque.
¿cómo llegaré Debe ser el escondite
salió y le dijo: a mi casa?

Teorema de Pitágoras 133

Espera, espera.

afirmaciones
Oye tú, esta
no es la casa
–¡Ah!– dijo el de un ladrón.
hombre, asustándose ¿No has leído
persigue–. Y con el el letrero?
así el hombre
huyó corriendo aspecto del diablo. Aléjate
El diablo, ya de la casa del de mí. –Un monstruo
varias veces diablo rojo quedándose me
alejaban despavoridos había intentado
. acercarse a este muy triste.
los hombres
El diablo estuvo pero al verlo
pensando por ellos siempre
hablaba muy qué siempre se
fuerte, casi ocurría esto
¡Oye!, así que gritando, y
se porque cuando y se dio cuenta que
forma de hablar, prometió a sí mismo tener quizás era porque

sobre relaciones
hablaba con
decir siempre más alguien siempre
por favor y ser cuidado la próxima vez les decía

¡Autoevalúate! 137
Con esto, se más cortés. en cuanto a
sintió más entusiasmado su tono y a su
Sin embargo, pensando que
al al fin sería aceptado
trampa. Entonces,día siguiente se acercaron por los humanos.
le gritaron: el diablo dos hombres,
–¡Socorro! ¡Auxilio!salió para calmarlos hablándoles leyeron el letrero
y pensaron
temiendo ser Una bestia tan cortésmente, que
comidos por fea como tú pero los hombres era una

4
él. no puede ser

Rumbo a las
–Soy un diablo buena–, y se al verlo
feo, no hay nada fueron corriendo
pero les doy que pueda cambiar

geométricas.
miedo. Estaré
siempre solo mi mala apariencia.
Pasaron algunos –dijo triste y Quiero ser amigo
días y estando resignado.

4
de los hombres

nociones
azul estaba él en su casa,
El Sistema GPS defenderse
atacando a
los humanos. oyó alboroto
en el pueblo,
pero Los hombres
pudo, se enfrentónada parecía lastimar tenían troncos se asomó y

Razones trigonométricas de ángulos agudos 139

al diablo de madera vio que un diablo
al feroz diablo
Antiguamente, Una vez pasado azul y lo venció. malo. Entonces, el diablo con los que
intentaban
nuestros antepasados el peligro con rojo corrió lo
más veloz que

ométric
ubicaban por la

trigon
posición del Sol se heridas y le el diablo azul,
agradecieron
día y por la estrella durante el juzgar a nadie haberlos ayudado, los humanos se acercaron
Polar ni a excluir a prometiéndo al
este modo, emprendían en las noches. De le ser sus amigos diablo rojo, le curaron

as
él ni a nadie
por ser diferente. y que nunca las
llevar los productos largos viajes para más iban a
que necesitaban
ciudad a otra, por de una
mar o por tierra,
extraviaban. y nunca se
En la actualidad,
debido a los Responde.
tecnológicos, solo avances

Razones trigonométricas de ángulos notables 144

necesitamos un
dispositivo con GPS pequeño 1. ¿Le das
importancia
(Sistema de Posicionamient al aspecto
Global), para conocer o físico de una
persona?
posición. exactamente nuestra 2. ¿Cómo interpretas
la
apariencias engañan»? frase «Las
Pero… ¿cómo funciona?
nos encontramos? ¿Por qué sabe dónde
122 ciento
veintidós
El funcionamiento
del GPS se basa
de 24 satélites en una red
que giran
terráqueo. Así, cualquier alrededor del globo
punto del globo

Ángulos verticales 149

«cubierto» por varios está
satélites.
Para ubicar una
posición, el GPS
triangulación, un se basa en la
principio
(Trigonometría proviene de la trigonometría
trigonon = triángulo de las palabras griegas
y
determina la posición metron= medida) que
conociendo las exacta de un
distancias de este punto
puntos de ubicación a otros tres
conocida.

Desempeños
• Resuelve problemas
Razones trigonométricas de ángulos
El diablo bueno
que involucran el
• Utiliza razones uso del teorema
trigonométricas de Pitágoras.
para determinar
longitudes y medidas
angulares.

complementarios 152
Responde.
120 ciento veinte 1. ¿Has usado alguna
vez el GPS? Comenta.
2. ¿Qué otros usos
tiene la trigonometría?
Investiga.
MATEMÁTICA SIGMA
6 - GEOMETRÍA

Valor: Respeto por las

ciento veintiuno
121

Razones trigonométricas recíprocas 155

diferencias
¡Autoevalúate! 158
120 - 121 122

Matemática SIGMA 6 - Geometría

 deados
Ro
1 formas
s
de
é t ri c a
geom

Desempeños
• Modela características de los objetos identificados en un problema, con formas bidimensionales
(triángulos, cuadriláteros y círculos).
• Describe la comprensión del triángulo, cuadrilátero y círculo a partir de reconocer elementos y
líneas paralelas y perpendiculares.

6 seis
 La geometría en todo lugar
Durante el periodo de vacaciones, con certeza has
visitado muchos lugares, plazas, parques, etc., o de
repente habrás tenido la oportunidad de practicar
tu deporte favorito, o tal vez habrás visitado a algún
amigo o familiar en su casa o departamento.
Respecto a ello, quisiera que escojas en tu mente
uno de los lugares a los que has ido y que respondas
a esta pregunta, ¿hay en este lugar algún elemento
relacionado a la Geometría?
Puedo asegurarte que tu respuesta fue: Sí.
Quizás, a diario, no seamos tan observadores y
no nos percatemos de ciertos detalles, pero si
nos ponemos a reflexionar, estamos rodeados de
formas y estructuras geométricas.
Vamos a ser más explícitos, si vas a la playa, por
ejemplo, cada granito de arena nos da la idea de
punto. O si miras al cielo, de noche, cada estrella,
en el inmenso Universo en el que nos encontramos,
pareciera ser apenas un punto; y cada constelación
un polígono formado por varios segmentos de
recta.
En otro contexto, si estamos jugando un partido de
baloncesto, fútbol o vóley, basta con mirar el suelo,
para poder notar en él líneas rectas u oblicuas, que
se cortan entre sí o que son paralelas.
O simplemente, al caminar por la calle se pueden
observar letreros, ventanas, líneas en las autopistas,
rejas de seguridad, columnas de edificios, y
otros innumerables objetos que nos demuestran
la importancia de las nociones espaciales y
geométricas para la vida del hombre y su progreso.
Ponte a observar cada lugar que frecuentes y me
darás la razón.

Actividades.
1. Menciona 5 elementos geométricos que
encuentres en la imagen mostrada.
2. Comenta acerca de un lugar que hayas
frecuentado y enumera los elementos
geométricos que hayas podido observar en él.

Matemática SIGMA 6 - Geometría siete 7

 Valo
Honestidad Enfoque transversal: Enfoque de búsqueda de la excelencia
res

El Hachade
Oro
Pablo había
sido leñador toda su vida. Él
había usado la misma hacha durante
muchos años y en ocasiones Pablo se sentía
tan cansado y oxidado como ella.
—Pablo, debes ver cómo trabajo yo. Tengo un hacha
nueva y mis movimientos son rápidos —le decía Warube, un
leñador fanfarrón. Su intención era hacerlo sentir mal mostrándole
que él era más joven.
Un día, mientras Pablo cortaba troncos, el hacha se le escapó de las
manos, y salió volando hasta caer en un lago que había cerca.
—Oh, no. Mi hacha se ha caído al fondo del lago, ¿qué haré? —se lamentaba
Pablo.
—Te he oído. Soy el dios de los lagos y me he enterado que has perdido tu única hacha,
así que bajaré hasta el fondo y te la devolveré—. Se sumergió y al cabo de unos segundos
salió y le entregó un hacha nueva y liviana.
—Pero esta no es mi hacha —dijo Pablo. Esta hacha está nueva y la mía era vieja y pesada.
—Uhm— dijo el dios. —Bajaré de nuevo, entonces—. Y bajó y subió nuevamente. —Esta sí debe
ser tu hacha —le dijo.
—¡No! Esta hacha es de oro, no es la mía —respondió Pablo.
—Bajaré una vez más. Espero no equivocarme—. Descendió y regresó con el hacha vieja del leñador.
—Esta sí es mi hacha —dijo él.
—En realidad eres un hombre bueno, y como premio a tu honestidad además de tu hacha, te regalo el
hacha nueva y el hacha de oro para que puedas trabajar con más comodidad —dijo el dios.
Cerca de allí, había estado Warube, quien sintió mucha ira porque ahora Pablo tendría mejores
herramientas que él, entonces esperó a que Pablo se fuera, arrojó sus tres hachas y fingió llorar.
Al salir el dios, él le dijo que se le habían caído y que por favor lo ayudara a recuperarlas.
El dios, que ya conocía sus intenciones, descendió al fondo y sacó sus tres hachas y se las regresó.
Pero Warube le dijo que esas no eran sus hachas, que volviera a buscar debajo del agua.
Y luego de volver a descender, el dios le mostró tres hachas de oro a lo cual Warube dijo que eran suyas,
creyendo que había logrado engañar al dios.
El dios, se molestó mucho, le quitó las tres hachas de oro y le dijo que
tampoco le devolvería sus tres hachas originales porque era un
hombre deshonesto.

Responde.
1. ¿Qué opinas de la actitud de Pablo?
2. ¿Fue correcto lo que hizo Warube?

8 ocho
 Nociones de geometría y segmentos
Relaciona
lo que sabes

Los estudiantes del 6.° grado

participan en un campeonato
deportivo.
Responde.
¿Qué formas geométricas
observas en la imagen?

Descubre
y construye

métricos
Elementos geo

El punto La recta El plano El segmento

El orificio que deja Un hilo estirado nos Una hoja de papel Es una porción de línea
un alfiler en una da la idea de recta. nos da la idea de recta comprendida
hoja de papel Esta se extiende plano. Este es una entre dos puntos.
nos da la idea ilimitadamente en superficie formada
de punto. Este se sus dos extremos por infinitos puntos y O B
representa con una conteniendo a rectas.
letra mayúscula. infinitos puntos.
•A: se lee punto A. A B OB: se lee segmento OB.
P

AB : se lee recta AB. P: se lee plano P.

1 Escribe a qué elemento geométrico se asemeja cada imagen.

a) b) c)

punto segmento plano

Matemática SIGMA 6 - Geometría nueve 9
2 Si P es punto medio de MN, calcula el 3.º Finalmente traza CD que pasa por los
valor de MP. puntos C y D.
3a – 1 a +5 MN // CD

1
M P N

2
3
Resolución:

4
C

5
Punto medio de un segmento D
M
a a
N
A M B
Recta perpendicular (usando el compás)
Si M es punto medio de AB, entonces M
divide a AB en dos segmentos de igual
1.º Traza RS.
medida. Es decir:
AM = MB = a
2.º Con el compás dibuja un arco con
centro en R.

En el problema:
MP = PN
Entonces:
3a – 1 = a + 5 → a =3 R S
Luego:
MP = 3a – 1 3.º Con la misma abertura forma un arco
con centro en S.
MP = 3(3) – 1 = 8 u

3 Estudia cómo construir rectas paralelas

y perpendiculares.
Recta paralela (usando la escuadra)
R S
1.º Con la escuadra marca el punto C a
2 cm de MN.
4.º Une los dos puntos donde se unen los
arcos.
5

RS ⊥ MN
4

C M
3
2

R S
N
1

M
N
2.º Con la escuadra marca un punto D, 4 Observa el gráfico e indica el número
también a 2 cm de MN. total de segmentos.

A a B b C c D d E
5

Resolución:
4

C
3

D Con 1 letra: a, b, c, d =4
2

Con 2 letras: ab, bc, cd =3

10 segmentos
1

M Con 3 letras: abc, bcd =2

N Con 4 letras: abcd =1
10 diez
 5 Escribe la notación simbólica de las 8 Si AB = 5 cm y BC = 2AB; calcula AC.
representaciones gráficas.
A B C
a)
D ED Resolución:
Del gráfico:
E
AB + BC = AC
Además: BC = 2AB y AB = 5 cm
b) H Punto H BC = 2(5) = 10

Luego: AC = 5 + 10
AC = 15 cm
c) M N MN
9 Grafica dentro de un plano MF OR;
punto H y EL // NP.

O
d) Plano R F E L

M R
R N P
H

MF OR se lee: la recta MF es
6 Grafica dentro de un plano AB ; PQ ; EF
y el punto M. perpendicular a la recta OR.
EL // NP se lee: la recta EL es paralela a
la recta NP.
B
P Q Recuerda que:
A
Dos rectas son paralelas si
no tienen ningún punto en
M
E F común.

Dos rectas son secantes si

tienen un único punto en
7 Si NO = 7 cm y MO = 15 cm; determina el común.
valor de MN.
Dos rectas secantes son
perpendiculares si al cortarse
M N O forman 90°.

Resolución: 10 De la figura, encuentra el valor de x.

NO = 7 cm; MO = 15 cm 24 cm

Además: A B C D E
MN + NO = MO 4 4 x 7 cm

Entonces: Resolución:
MN + 7 = 15 x + 4 + 4 + 7 = 24
MN = 15 – 7 x + 15 = 24
MN = 8 cm x = 9 cm

Matemática SIGMA 6 - Geometría once 11

 Practica 4 Si M es punto medio de AC, determina el
lo aprendido
valor de AM.
Nivel
1 Grafica PQ, MN, punto B y LR dentro del 4x – 2 2x + 8
plano A.
A M C
4 x – 2 = 2x + 8 AM = 4(5) – 2
4 x – 2x = 8 + 2 AM = 18
M L R 2x = 10
x=5
Q
B
P
N
A
A 18 cm B 15 cm
C 14 cm D 10 cm

2 Grafica IJ ⊥ MN, EF // IJ.

5 Se sabe que EH = 15 cm, EG = 9 cm
y G es punto medio de FH. Encuentra el
E valor de FG.
I
N 9 cm 6 cm
6 cm
F
J E F G H
M 15 cm

Pinta el círculo de la alternativa que

A 6 cm B 7 cm
corresponde a la respuesta.
C 9 cm D 12 cm

3 Se tiene que AD = 12 cm; AC = 9 cm y 6 Si N es punto medio de AB, halla el valor

BD = 10 cm. Calcula el valor de BC. de MN.

4x – 6 x 29 cm
2 cm 10 cm
A M N B
9 cm 3 cm
4x – 6 + x = 29
A B 7 cm C D 5x – 6 = 29
12 cm 5x = 35
x =7

A 9 cm B 8 cm A 6 cm B 7 cm
C 7 cm D 5 cm C 8 cm D 10 cm

12 doce
 Nivel Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta. corresponde a la respuesta.

7 Si AD = 12 cm y AC = BD = 7 cm; 10 Sobre una recta se ubican los puntos

calcula el valor de BC. consecutivos A, M, N y B, tal que N es
punto medio de AB, AM = NB cm y
7 cm 5
NB = (25 + 8)cm. Halla MN.
2 cm
7 cm 5 cm

A B C D 8 x 40
12 cm A M N B
8 + x = 40
AD = AB + BC + CD
x = 40 – 8
12 = 7 + CD ⇒ CD = 5 cm
BD = BC + CD x = 32 cm
7 = BC + 5 ⇒ BC = 2 cm
A 15 cm B 32 cm
A 5 cm B 3 cm C 20 cm D 42 cm
C 2 cm D 1 cm
11 Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D, tal que:
8 Se tiene que AC = BD = 12 cm y AD = 20 cm;
AD = 15 cm; AC = 9 cm y BD = 8 cm.
determina el valor de BC.
Encuentra el valor de BC.

12 cm
15
4 cm x
12 cm 8 cm A B C D
9 6
A B C D
8
AB + BC + BC + CD = 24 cm x+6=8
20 + BC = 24 cm x=8–6
BC = 4 cm x = 2 cm

A 1 cm B 3 cm
A 6 cm B 4 cm C 2 cm D 4 cm
C 5 cm D 7 cm
12 Sobre una recta se toman los puntos
9 Si AD = 24 cm; halla el valor de BD. consecutivos A, B, C y D, tal que AD = 40 cm;
CD = 16 cm y AB = 3BC. Calcula BC.

x 2x 3x 40
3x x 16
A B C D
A B C D
6x = 24 BD = 5(4) 40 = 4x + 16
x=4 = 20 cm 24 = 4x
6 cm = x

A 4 cm B 8 cm A 4 cm B 6 cm

C 12 cm D 20 cm C 5 cm D 7 cm

Matemática SIGMA 6 - Geometría trece 13

 Ángulos
Relaciona
lo que sabes

En muchas ocasiones hacemos movimientos o

vemos objetos que nos dan idea de ángulos.
Comenta con tus compañeros.
1. ¿En qué otras ocasiones observas ángulos en tu
entorno?
2. ¿Cómo podrías clasificar los ángulos?
3. ¿Cuántos ángulos internos tiene un cuadrado?
4 ¿Cuánto mide el ángulo de la ilustración?

Descubre
y construye
Clases de ángulos según su medida
Ángulos
B
Ángulo agudo

Un ángulo está formado por dos 0º < a < 90º

rayos (lados) que parten del mismo
a
punto inicial (vértice).
O A
Ángulo recto

B B
Lado a = 90º
Vértice
α a
A
O A O
Lado
Ángulo obtuso

Notación: AOB B 90º < a < 180º

Se lee ángulo AOB. a

O A

También son conocidos:

Ángulo nulo
m AOB = 0º
O B A

Ángulo llano
m AOB = 180º
B O A

Ángulo de una vuelta

m AOB = 360º
O B A

14 catorce
 Bisectriz de un ángulo 4 Observa cómo usar el transportador y la
regla para graficar un ángulo.
Es un rayo que al ser trazado por
la región interior de un ángulo,
determina dos ángulos de igual 1.° Dibuja un rayo y marca el punto O
medida. (vértice).
B

P O
a
a
O A

Para el ángulo AOB, OP es su bisectriz. 2.° Haz que coincida el punto O con el
centro del transportador y dibuja un
punto en 60º.
1 En la figura OP es bisectriz de QOR.
Halla el valor de x.

Q Solución:
P 3x = x + 16°
3x
2x = 16°
x + 16°
O x = 8°
R
O

2 Calcula el complemento de cada

ángulo.

3.° Une el vértice O con la marca de 60º

Dos ángulos son complementarios y traza el otro lado del ángulo.
si sus medidas suman 90°.

a) C(80°) = 90° – 80° = 10°

b) C(46°) = 90° – 46° = 44°
c) C(72°) = 90° – 72° = 18°
d) CC(35°) = 90° – (90° – 35°) = 35°
O
3 Encuentra el suplemento de cada ángulo.

Dos ángulos son suplementarios 4.° Completa la representación con los

si sus medidas suman 180°. vértices y la medida del ángulo.

a) S(105°) = 180° – 105° = 75° B

b) S(82°) = 180° – 82° = 98°
c) SS(120°) = 180° – (180° – 120°) = 120° 60º
d) SC(75°) = 180° – (90° – 75°) O A
= 180° – 15°
= 165° Notación: AOB
Matemática SIGMA 6 - Geometría quince 15
 e transversal
tas paralelas y una recta secant
Ángulos formados por dos rec

Ángulos conjugados L3 Ángulos alternos

a b
Son ángulos suplementarios L1 Se encuentran en
tomados de cada recta c d sentidos opuestos y son
paralela. congruentes.
e f
Internos L2 Internos
g
m c+m e = 180º h m c=m f
m d+m f = 180º m d=m e
Externos Externos
Ángulos correspondientes
m a+m g = 180º
m a=m h
m b+m h = 180º Ocupan la misma posición entre las
m b=m g
rectas y son congruentes.

m c=m g m d=m h
m a=m e m b=m f

5 Si L1 // L2, identifica los ángulos que se 7 Halla el valor de x, L1 // L2 son paralelas.

solicitan.
L1
15º
b c 85º
L1
d a
80º
78º
u x
L2 x L2
z w
Resolución:
Ángulos internos : a; d; x; u
La suma de los ángulos
Ángulos externos : b; c; z; w abiertos hacia la derecha es
Ángulos alternos externos : c y z; b y w igual a la suma de los ángulos
abiertos hacia la izquierda.
Opuestos por el vértice :
b y a; c y d; u y w; x y z 15º + 80º + x = 85º + 78º
95º + x = 163º
6 Si L1 // L2, determina el valor de x. x = 68º
L3 8 Calcula el valor de x, si L1 // L2 .
L1
78º 18º
20º
L2 26º
78º 2x
47º
32º
Resolución:
53º
78º + 2x = 180º 2x
2x = 180º – 78º
18º + 26º + 32º + 2x = 20º + 47º + 53º
2x = 102º
76º + 2x = 120º
x = 51º 2x = 44º → x = 22º
16 dieciséis
 Practica 4 Grafica la bisectriz OP utilizando el
lo aprendido
transportador. Observa el ejemplo.
Nivel E
1 ¿Cuánto mide cada ángulo? m EOF = 70°
P m EOP = 35°
D C
E m POF = 35°

B O F

a) P
F O A
M N

a) m AOB = 20°
O
b) m AOC = 55°
c) m COF = 125° m MON = 110°
m MOP = 55°
d) m DOF = 80°
m NOP = 55°
e) m EOF = 40°
b) R
2 Completa.
O
a) El complemento de 25° es 65° .

90 – 25
P
b) El suplemento de 30° es 150° . S

180 – 30 m ROS = 160°

m ROP = 80°
c) El complemento de 45° es 45° . m SOP = 80°
90 – 45
Pinta el círculo de la alternativa que
d) El suplemento de 128° es 52° . corresponde a la respuesta.
180 – 128
5 Calcula el valor de x, si OM es bisectriz
del ángulo AOB.
Pinta el círculo de la alternativa que A
corresponde a la respuesta.
x – 10°
O M
20°
3 ¿Cuánto mide el complemento del
suplemento de 140°? B
90 – (180 – 140) x – 10° = 20°
x = 20° + 10°
x = 30°
A 80° B 70° A 35° B 30°

C 60° D 50° C 20° D 10°

Matemática SIGMA 6 - Geometría diecisiete 17

 Nivel
7 Calcula el valor de x , sabiendo que
Observa los gráficos y encuentra el valor L1 // L2.
6
de la incógnita.

a) a) 3
P
N
1
5x +10°

123° 2m 60°
m 2
M O

5x + 10° = 60°
m + 2m = 123°
5x = 50°
3m = 123° 10°
x = 10° x=
m = 41°

b)
3
1
3x + 20°
m= 41°
120° + x
2
b) A

x + 25° 120° + x + 3x + 20° = 180°

C 132° 4x = 40°
x = 10° 10°
3x + 3° x=

B
Pinta el círculo de la alternativa que
x + 25° + 132° + 3x + 3° = 360° corresponde a la respuesta.
4x + 160° = 360°
4x = 360° – 160°
4x = 200° 8 Las medidas de dos ángulos
x = 50°
suplementarios son (3x – 3)° y (5x + 15)°.
¿Cuánto mide el menor ángulo?
3x – 3° + 5x +15° = 180°
8x + 12° = 180°
8x = 168°
x= 50° x = 21°
piden: 3(21) – 3 = 60
c) A 30° B 60°
C 20° D 40°
2x 3x – 5°

9 Dos ángulos complementarios miden

2x + 90° + 3x – 5° = 180°
5x + 85° = 180°
(7x – 3)° y (38 – 2x)°, ¿cuánto mide el
5x = 95° mayor ángulo?
x =19°
7x – 3 + 38 – 2x = 90°
5x + 35° = 90°
5x = 55°
x = 11°
74° y 16°
A 16° B 36°
x= 19°
C 74° D 82°

18 dieciocho
 Nivel d) 1

Pinta el círculo de la alternativa que 25°

corresponde a la respuesta.
2x 2
40°
10 Halla el valor de x en cada caso, 3x 50°
sabiendo que, L1 // L2 .
10°

a) 3 25° + 40° + 50° = 5x + 10°

1 115° = 5x + 10°
100 – 2x 105° = 5x
21° = x

58° 2

58° = 100° – 2x
2x = 42° A 21° B 30°
x = 21°
C 25° D 36°

A 21° B 36°
e)
C 41° D 40° 25° 1
x
40°
50°
b) 1
30° 47°
2
x
25° 25° + 40° + 47° = x + 50°
2   112° = x + 50°
62° = x
x = 30° + 25° = 55°

A 45° B 55°
C 60° D 65° A 93° B 31°
C 60° D 62°

c)
x 1
30°
3x f)
45° 28°
40° 1
2x 15°
2 2x + 2°
x + 18
2
x + 3x + 2x = 30° + 45° + 15°
6x = 90°
x = 15° 40° + x + 18° = 28° + 2x + 2°
58° + x = 30° + 2x
28° = x

A 10° B 25° A 24° B 28°

C 15° D 30° C 32° D 56°

Matemática SIGMA 6 - Geometría diecinueve 19

 Polígonos
Relaciona
lo que sabes

Responde a partir de la imagen.

a) ¿Cuántos lados tiene la piscina que se
muestra en la imagen?
b) ¿Se puede afirmar que los lados de la piscina
forman un polígono regular?, ¿por qué?

Descubre
y construye

Polígonos
Convexo
Al trazar una secante
solo hay dos puntos
Definición
de corte.
Pueden ser

No convexo o cóncavo
Figura geométrica cerrada
formada por la unión de Hay más de dos puntos
segmentos. de corte al trazar
una secante.
Elementos

vértice
Los más conocidos

lado • Triángulo : 3 lados • Nonágono : 9 lados

• Cuadrilátero : 4 lados • Decágono : 10 lados
ángulo exterior
• Pentágono : 5 lados • Endecágono : 11 lados
• Hexágono : 6 lados • Dodecágono : 12 lados
diagonal
• Heptágono : 7 lados • Pentadecágono : 15 lados
ángulo interior
• Octágono : 8 lados • Icoságono : 20 lados

Teoremas:
Para polígonos convexos

Suma de las medidas de Suma de las medidas de

Número total de
los ángulos internos los ángulos externos
diagonales
S i = 180º(n – 2) La suma de los ángulos externos
de un polígono es 360º. En todo polígono se
donde cumple:
n: número de lados S e = 360º
n(n – 3)
D=
2
Para polígonos regulares donde

Medida del ángulo interno Medida del ángulo externo D: número de

diagonales
180º(n – 2) 360º n: número de lados
m = m e =
i n
n
n: número de lados n: número de lados

20 veinte
 1 Calcula la suma de las medidas de los 3 ¿Cómo se llama el polígono regular en
ángulos internos de cada polígono. el cual el ángulo externo mide 30º?
a) Resolución:

360° = 30°
n
360°
=n
30°
Resolución: n = 12
S i = 180º(n – 2) Rpta. El polígono se llama dodecágono.
S i = 180º(3 – 2)
S i = 180º
4 ¿Cuánto mide cada ángulo interno de
b) un nonágono regular?
Resolución:

m i = 180º(n − 2)
n

Resolución: 180º(9 − 2)
m i=
9
Si = 180º(n – 2)
m i = 140º
Si = 180º(6 – 2)
Si = 180º(4)
Si = 720º 5 El número total de diagonales de un
c) polígono regular es igual al triple del
número de vértices. Halla la medida
del ángulo externo de dicho polígono.
Resolución:
lados
El número de
D = 3n ono es
Resolución: de un políg
ero de
S = 180º(n – 2) n(n – 3) igual al núm
i = 3n vértices.
S 2
i = 180º(4 – 2)
n(n – 3) = 6n
S i = 180º(2)
S i = 360º 6n
n –3= n –3=6 n =9
n
2 Si la suma de las medidas de ángulos
internos de un polígono es 1260°, ¿cómo Para hallar la medida
se llama dicho polígono? de un ángulo externo
Resolución: 360º
se divide .
n

180°(n – 2) = 1260°
180ºn – 360° = 1260°
180ºn = 1260° + 360° Reemplazando:

180ºn = 1620° m e = 360º m e = 40º

9
n =9
Rpta. El ángulo externo mide 40°.
Rpta. El polígono se llama nonágono.
Matemática SIGMA 6 - Geometría veintiuno 21
 Practica 5 Relaciona mediante una línea.
lo aprendido

Pinta el círculo de la alternativa que Polígono

corresponde a la respuesta. convexo

Nivel
1 El polígono de nueve lados recibe el
nombre de:
A nonágono
B octágono
Polígono
C endecágono cóncavo
D nonádecágono

2 ¿Cuál es el nombre del polígono que

tiene todos sus lados y ángulos iguales?

A irregular
B cóncavo
C convexo
D regular

6 Escribe V o F según corresponde y

3 Es el segmento que une un par de
argumenta tu respuesta.
vértices no adyacentes en un polígono:
a) El triángulo no tiene diagonales. V
A vértice
B diagonal B
Por ejemplo, del vértice
C lado A solo se puede trazar
rectas hacia B y C que
D ángulo
son lados del triángulo.

4 A C
Calcula el perímetro de cada figura.

a) b) La suma de ángulos interiores

125 cm
F
de un hexágono es 820°.

n=6
Por propiedad
180°(n – 2) = 180°(6 – 2) = 180° (4)
2p = 125 × 5 = 720°
2p = 625 cm

b) c) Un cuadrilátero tiene 2 diagonales. V

23 cm
B C
En el cuadrado ABCD
solo es posible trazar 2
diagonales: AC y BD.
2p = 23 × 6 A D
2p = 138 cm
22 veintidós
 Nivel 11 Halla la suma de las medidas de los
Pinta el círculo de la alternativa que ángulos interiores de un polígono, si su
corresponde a la respuesta. número de diagonales es igual a diez
veces su número de lados.
7 ¿Cuál es el polígono cuya suma de las n (n – 3)
medidas de sus ángulos interiores es 2
= 10n
1800°?
n(n – 3) = 20n
n – 3 = 20
180(n – 2) = 1800 n = 23
n – 2 = 10
n = 10 + 2 180(n – 2) = 180(21)
n = 12 = 3780°

A dodecágono B icoságono
C encoságono D nonágono
A 2456° B 3780°
C 3200° D 1982°
8 ¿Cuántas diagonales se pueden trazar
en un polígono convexo de 14 lados?

14 (14 – 3) 12 Determina cuál es el polígono regular

D=
2 cuyo ángulo interior mide 60o.
14 × 11
D= = 77
2 180°(n – 2)
<i= = 60°
n

A 66 B 74 180n – 360 = 60n

120n = 360
C 77 D 82 n=3

9 ¿Cuántos lados tiene un polígono, si

A hexágono B pentágono
la suma de las medidas de sus ángulos
internos es 2340°? C cuadrilátero D triángulo

180 (n – 2) = 2340
n – 2 = 13 13 Si la figura es un pentágono regular,
n = 15 ¿cuánto mide el ángulo x?

A 12 B 16
x
C 13 D 15

10 ¿Cuántas diagonales se puede trazar

Ángulo exterior de un
en un icoságono? pentágono regular:
360o
<e =
20 (20 – 3) n
D=
2 360o
<e =
20 × 17 5
D= = 170 <e = 72o
2

A 150 B 120 A 36° B 64°

C 170 D 104 C 60° D 72°

Matemática SIGMA 6 - Geometría veintitrés 23

14 Calcula el número de diagonales de un Nivel
polígono regular cuyo ángulo interior Pinta el círculo de la alternativa que
mide 144°. corresponde a la respuesta.
180(n – 2)
144 =
n 17 El número total de diagonales de un
144n = 180(n – 2) polígono regular es 119. Si uno de sus
144n = 180n – 360 lados mide 13 cm, determina el perímetro
10 = n de dicho polígono.
n (n – 3) 10(7)
= = 35 n(n – 3) = 119
2 2
2
n(n – 3) = 238
17 (14) = 238
n = 17
A 30 B 35 Entonces:

C 60 D 75 P = 13 + 13 + ... + 13 = 17 × 13 = 221

17 veces

15 Halla la suma de las medidas de los A 252 cm B 221 cm

ángulos interiores de un polígono cuyo
C 238 cm D 156 cm
ángulo exterior mide 40°.
360o
e= n
= 40
18 Encuentra la suma de las medidas de los
9=n ángulos interiores de un polígono, si su
número de diagonales es igual a ocho
S i = 180(n – 2) veces su número de lados.
S i = 180(7)
n(n – 3)
S i = 1260o = 8n
2
n(n – 3) = 16n
n – 3 = 16
n = 19
A 1620° B 1560° Entonces:
180(n – 2) = 180(17)
C 1420° D 1260° = 3060°

A 4020° B 3060°
16 ¿Cómo se llama el polígono regular que
tiene como ángulo interior 162°? C 1260° D 540°

180(n – 2) 19 Un ingeniero civil está nivelando un

162 =
n terreno que tiene la figura de un
162n = 180n – 360 pentágono. Si calculó cuatro de sus
360 = 18n ángulos interiores, cuyas medidas son:
20 = n
125°; 85°; 130° y 80°, ¿cuánto medirá el
quinto ángulo?

A nonágono S i = 180(5 – 2) = 540°

B pentágono x + 125° + 85° + 130° + 80° = 540°

x + 420° = 540°
C icoságono
x = 120°
D octágono
A 200° B 160°
C 140° D 120°

24 veinticuatro
 ¡Autoevalúate!

1 Grafica según lo indicado. 4 Encuentra el valor de AOM.

• A∉P • GH ⊂ P
B M
• QR ⊂ P • GH QR 3x + 15° + 2x = 90°
3x + 15° 5x + 15° = 90°
• EF ⊂ P • EF // GH
5x = 75°
x = 15°
AOM = 2x = 30°
•A 2x

G O A
Q E
R
H
F
P A 15° B 30°

C 45° D 60°
Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.
5 Calcula el valor de x.

2 Si N es un punto medio de CD, halla el

valor de MN. Por ángulos opuestos
2x + 35° por el vértice:

5x – 2 x 22 cm 2x + 35° = 75°
2x + 35° = 75°
C M N D 75° 2x = 40°
x = 20°
5x – 2 + x = 22
6x = 24
x = 4 cm

A 2 cm B 3 cm A 10° B 15°

C 5 cm D 4 cm C 20° D 30°

3 Determina el valor de verdad de cada 6 Halla el valor de m a partir de la figura.

expresión.

I. El complemento de 56 es 44. F m + 15°

3m
II. El suplemento de 102 es 78. V
72° 2m – 3°
III. CC(42) = 42 V

IV. SC(61) = 151 V 72° + 3m + m + 15° + 2m – 3° = 180°

6m + 84° = 180°
180 – (90 – 61)
6m = 96°
180 – 29
151 m = 16°

A FVVF B FVVV A 16° B 28°

C VFVF D VFFV C 20° D 32°

Matemática SIGMA 6 - Geometría veinticinco 25

 ¡Autoevalúate!

7 Calcula el valor de la incógnita, si se 9 La suma de las medidas de los ángulos

sabe que L1 // L2. internos de un polígono es 1080°. ¿Cuántos
lados tiene dicho polígono?
L1
2a
180°(n – 2) = 1080°
3a – 20°
L2 n–2=6
n=8
2a = 3a – 20°
20° = a
A 40° B 20°

C 50° D 30° A 6 B 7
C 8 D 9

8 Si L1 // L2, determina el valor de x.

10 ¿Cuántas diagonales tiene un polígono
de 15 lados?
1 20°
76° 6
36° n(n – 3) 15(12)
n = 15 → = = 90
x + 6° 2 2
1
54°
2

20° + 36° + 54° = 76° + x + 6°

110° = 82° + x
28° = x

A 14° B 28° A 90 B 86
C 42° D 56° C 54 D 78

10. A 9. C 8. B 7. B 6. A 5. C 4. B 3. B 2. D 1. – Claves:

Coevaluación
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las
respuestas.

Metacognición
¿Qué y cómo aprendí?
1. ¿Cómo aprendí a resolver operaciones con segmentos y ángulos?

2. ¿Cómo aprendí a solucionar situaciones con polígonos?

26 veintiséis
 Triángulos
Relaciona
lo que sabes

Los niños de 6.° grado han decorado su aula para

un concurso.

a) ¿Qué forma tienen las guirnaldas que se han

usado?

b) ¿En qué otros objetos encuentras triángulos?

Descubre
y construye

Triángulo
Teoremas: Clasificación

Es un polígono de 3 lados. Suma de las medidas de Según la medida de sus lados

los ángulos interiores
Elementos
Equilátero
S i = a + b + q = 180º
B y
Suma de las medidas de Isósceles
los ángulos exteriores
S e = x + y + z = 360º Escaleno
z
C La suma de las medidas
A x de dos ángulos interiores Según la medida de sus ángulos
es igual a la medida
del ángulo exterior no Acutángulo
Vértices: A, B, C
adyacente a ellos. α, b, θ < 90°
Lados: AB, BC, AC
x =α+β Rectángulo
Ángulos interiores: a, b, q
y =α+θ θ = 90°
Ángulos exteriores: x, y, z z =β +θ
Obtusángulo
θ > 90°

1 Calcula la medida del ángulo B. 2 Halla la medida de C.

B
B 5x
12a –10°

4a + 5° a + 32°
A C 2x x + 50°
C A
Resolución:
4a + 5° + a + 32° + 12a – 10° = 180° Resolución: 2x + x + 50° = 5x
17a + 27° = 180° 3x + 50° = 5x
17a = 153° 50° = 2x
a = 9° 25 = x

Luego: m b = 12a – 10° = 12(9°) – 10° = 98° Entonces m C = 2x = 2(25) = 50°

Matemática SIGMA 6 - Geometría veintisiete 27
 Líneas notables en un triángulo 5 Halla el perímetro del ∆ABC, si BM y AN
son medianas y AB = AM + BN.
B B
mediana
ceviana
B
3 cm
A H C A C N
J
3 cm
B A C
B 6 cm M 6 cm
mediatriz
altura

Resolución:
A C A C AB = AM + BN
H
L AB = 6 + 3
AB = 9
B B Perímetro:
bisectriz
interior 9 + 6 +12 = 27 cm
A C
A D
C 6 Si BD es bisectriz, calcula el valor de x.
bisectriz exterior
A

3 Determina el valor de m, si FM es mediana. D

F x
2x – 10º
B C

Resolución:
E G x = 2x – 10º
m +1 M 15 cm
10º = 2x – x
Resolución: 10º = x
m + 1 = 15
m = 14 cm
7 En la figura, AP es bisectriz del BAC.
Determina el valor de β.
4 Encuentra el valor de a.
B
110º
80°
P
30°
5a
A C
130º + a

Resolución:
Resolución:
Como AP es bisectriz
110º + 130º + a + 5a = 360º del BAC, entonces:
240º + 6a = 360º m BAP = β
6a = 120º 30º + 80º + 2β = 180°
a = 20º
β = 35º
28 veintiocho
 Practica 2 Halla el valor de cada incógnita.
lo aprendido

Nivel a)
1 Traza las líneas notables con los colores A
indicados.

: mediana : bisectriz interior B

C
42 cm
: altura : mediatriz x

x = 84 cm
a) Mediatriz
b)
A

morado

C B
x
28 cm

x = 14 cm
b) Bisectriz interior

c) BP: Bisectriz interior

verde

53° y

D C
c) Altura P

y = 53°
naranja

d) DP: Bisectriz exterior

D 63°
d) Mediana
z

P
azul
C E

z = 63°

Matemática SIGMA 6 - Geometría veintinueve 29

3 Calcula el valor de cada incógnita. 5 Escribe V o F según corresponde.

a) El triángulo escaleno tiene sus tres V

a)
lados de diferente medida.
x

b) La suma de las medidas de los ángulos V

64° 63° interiores en un triángulo es 180°.

64° + 63° + x = 180° c) La bisectriz divide al ángulo en dos F

ángulos que no son de igual medida.
x = 53°
d) El triángulo obtusángulo tiene un V
ángulo mayor a 90°.
b)

72°
60° Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.

y 6 Halla el valor de x, en cada caso.

a)
72° + 60° + y = 180° B
y = 48°

Nivel
A C
13 cm 2x – 3
4 Completa y determina el perímetro de
cada triángulo. 13 = 2x – 3
16 = 2x
x=8

a) C
A 5 cm B 8 cm
20 cm 36° 20 cm C 9 cm D 10 cm

72° 72°
B D b) AD: Bisectriz
14 cm
B

4x + 5°
perímetro = 54 cm A D
53°

b)
A C
23 cm 23 cm 4x + 5 = 53°
64° 4x = 48°
x = 12°

58° 58°
C B
25 cm

A 16° B 15°
perímetro = 71 cm C 12° D 10°

30 treinta
 Nivel 11 Si PE es mediana y QR = 24 cm, determina
Pinta el círculo de la alternativa que el valor de x.
Q
corresponde a la respuesta.
12
12 = x – 1
13 = x
7 Encuentra el valor de x.
E

(x – 1)
x = 74° + 28°
28°
x = 102° P R
A 11 cm B 12 cm
x C 13 cm D 14 cm
74°

A 116° B 122° 12 Si FM es mediana y MD = 18 cm, halla el

valor de y.
C 102° D 106°
D

8 Halla el valor de y. 36 = y + 24

24
M 36 – 24 = y

y+
12 = y
y
y = 65° + 55°
E F

65° 55° A 12 cm B 13 cm
C 14 cm D 15 cm

A 115° B 110°
C 105° D 120° 13 Si EH es altura, calcula el valor de x.
F
9 Calcula el valor de x. x
62° + x = 90°
x = 74 + 82 H x = 28°
82° x = 156°
62°

x D E
74°
A 21° B 25°
A 182° B 156° C 28° D 34°
C 74° D 25°

14 Encuentra el valor de x, si BH es la altura

10 Determina el valor de m.
trazada al lado AC y el ángulo ABC
mide 120°.
m = 78° + 45° B
78°
m = 123°
x 50° x + 50° = 120°
x = 70°
m
45°
40°
A H C

A 123° B 118° A 120° B 70°

C 93° D 33° C 60° D 50°

Matemática SIGMA 6 - Geometría treinta y uno 31

 Cuadriláteros
Relaciona
lo que sabes

Analiza los polígonos y responde.

a) Según su número de lados, ¿cómo se clasifican estos polígonos?

b) ¿Cuántas figuras son paralelogramos?

Descubre
y construye

S
CUADRILÁTERO

Paralelogramo Trapecio Trapezoide

Elementos
Los lados opuestos son Solo un par de lados Ningún par de
paralelos dos a dos. opuestos son paralelos. lados opuestos
A son paralelos.
Romboide
a Escaleno
B
b

d c
D
C
Rombo Las diagonales de
Vértices: A, B, C y D Isósceles un paralelogramo se
cortan en su punto
Lados: AB, BC, CD y DA medio y las de un
Ángulos internos: a, b, c y d cuadrado o rombo
son perpendiculares.
Diagonales: AC y BD
Rectángulo
Rectángulo

Cuadrado
Propiedades

a b

α + β + φ + γ = 360° α +β +φ=x a +b =c+d

32 treinta y dos
 1 Calcula la mediana del trapecio. b) P

Q x
B b C 105°
110° O
La mediana es
M N el segmento
Mediana que une los 45°
puntos medios
A a D de los lados no R
paralelos del
Resolución:
MN = a + b trapecio.
2 x+ 110° + 45° + 105° = 360°
x = 100º
a) B 8 cm C
3 ¿Cuántos centímetros mide el perímetro
M
x
N del cuadrado?

B C

2x + 8
A 10 cm D

Resolución: A D
3x + 6
10 + 8
x =
2
Resolución:
x = 9 cm
3x + 6 = 2x + 8
x=2
b) B 12 mm C
Cada lado mide 12 cm.

M
x
N Perímetro: 4(12) = 48 cm

A 20 mm D 4 Halla la medida de x.

Resolución: a)
20 + 12
x = Resolución:
2 x
x + 53° + 45° = 144º
x = 16 mm x + 98º = 144°
x = 144° – 98°
53° 45° x = 46°
2 Determina el valor de la incógnita en 144°
cada caso.

a) E
F b)
x
120°

x
Resolución:
80° 72° 88° + 73° = x + 80°
D G 88° 73° 161° = x + 80°
161° – 80° = x
Resolución: 80° 81° = x
x+ 80° + 120° + 72° = 360°
x = 88º
Matemática SIGMA 6 - Geometría treinta y tres 33
 Practica 5 Determina el valor de cada incógnita.
lo aprendido

Nivel a) (2x + 4) cm

Pinta el círculo de la alternativa que

corresponde a la respuesta.
(x +12)
1 ¿En qué cuadrilátero las diagonales son
perpendiculares? x+ 12 = 2x + 4
12 – 4 = 2x – x
A romboide B rectángulo 8=x
C trapezoide D cuadrado x = 8 cm

2 Observa el trapecio y calcula el valor

de x. b)
B C (4x + 9)
90° + 90° + 13x + 5x = 360°
13x
180° + 18x = 360° (3x + 14) cm
18x = 360° – 180°
5x 18x = 180°
A D 4x + 9 = 3x + 14
x = 10°
4x – 3x = 14 – 9
A 30° B 20° x=5

C 15° D 10° x = 5 cm

3 Halla el valor de x + y.

80° x
c)
(5x – 8) (2x + 10) cm
y 40°

x = 40
5x – 8 = 2x + 10
y = 40
3x = 18
x + y = 40° + 80° x=6
x + y = 120°
A 130° B 160° x = 6 cm
C 120° D 140°

4 Escribe V si la expresión es verdadera o

F si es falsa. d)
(6x – 3) (27 – 4x) cm
a) Todo paralelogramo es un F
cuadrado.
b) Todo trapecio es un F
paralelogramo. 6x – 3 = 27 – 4x
6x + 4x = 27 + 3
c) La suma de las medidas de V 10x = 30
los ángulos interiores en un
x=3
paralelogramo es 360°.
d) Los trapecios no tienen lados F
opuestos paralelos. x = 3 cm

34 treinta y cuatro
 Nivel Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta. corresponde a la respuesta.

6 Determina la mediana del trapecio. 9 Calcula la mediana del trapecio.

B 3 cm C
b
11 + 3 b + 11
=m =b+3
m 2 2
M N b+3 b + 11 = 2b + 6
7=m 5=b
A D
11 cm 11 cm b +3=5+3=8

A 4 cm B 5 cm A 5 cm B 6 cm

C 6 cm D 7 cm C 7 cm D 8 cm

7 Halla el valor de b. 10 En el siguiente paralelogramo, determina

el valor de x.

8 cm B C
8+b 3x + 20°
= 19
19 cm 2
2x + 30°
8 + b = 38 A D
b = 30
b
2x + 30° + 3x + 20° = 180°
5x + 50° = 180°
5x = 130°
x = 26°
A 29 cm B 30 cm
A 24° B 25°
C 31 cm D 32 cm
C 26° D 27°
8 Encuentra el valor de x.
11 Si ABCD es un romboide, halla el valor
de x.
76°
B C
74° x (12 1)
–a
) (a +
68° – 3) a
(2x
A D
74° + x° = 76° + 68°
74° + x = 144° 12 – a = a
x = 70° 12 = 2a
6=a
2x – 3 = 7
A 60° B 70° A 2 x=5 B 3

C 80° D 90° C 4 D 5

Matemática SIGMA 6 - Geometría treinta y cinco 35

 Circunferencia y círculo
Relaciona
lo que sabes

De acuerdo al gráfico:

1. ¿Qué figura representa a un

círculo?
2. ¿Qué objeto nos da la noción
de circunferencia? ¿Por qué?
3. ¿En qué otros objetos podemos
reconocer al círculo y a la
circunferencia?

Descubre
y construye

Circunferencia
Es la línea curva cerrada y plana cuyos Elementos de la circunferencia
puntos están a la misma distancia del centro.
o cuerda
D E
Su longitud es: Lc = 2 × π × r
arco
diámetro
B C
Círculo secante radio A
P Q
Es la superficie limitada por la circunferencia.
T M
Ac = π × r2
Su área es: tangente

Teoremas básicos de la circunferencia Teoremas referidos a arcos

Radio y tangente Tangentes Ángulo central Ángulo inscrito

1
A A
A
x° θ° C x° θ°
P
B B
P
B
θ
OP AP = BP x =θ x =
1 2

1 Estudia cómo se construye una circunferencia usando el compás.

1.er paso 2.° paso

Traza la abertura Coloca la punta del
que será el radio de compás y el lápiz en
la circunferencia. la hoja; luego, gira el
compás.

36 treinta y seis
 2 Calcula el valor de x. 3 Encuentra el valor de x.

a)
A A
3x
4x + 24

P P
45 cm B 56 cm B
Resolución:
4x + 24 = 56
3x = 45 cm
x = 15 cm 4x = 56 – 24
4x = 32
b) A x = 8 cm
76º
C x
4 Si la longitud de la circunferencia mide
26π cm, ¿cuánto mide su radio?
B
Resolución:
Resolución:
2x = 76º m
xc
x = 38º

c) O es el centro de la circunferencia.

26π = 2 × π· x
26 = 2x
O 45º 5x 13 = x

Rpta. El radio de la circunferencia mide

13 cm.
Resolución:
5 La rueda de una camioneta tiene 30 cm
5x = 45º de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión
x = 9º cuando la rueda ha dado 200 vueltas?

Resolución:
d)
A Lc = 2· π· r

x Lc = 2· π· 30
C 64º
Lc = 60π cm
B En 200 vueltas:
60 π· 200
Resolución: 12 000π cm
0,12π km
2 . 64º = x
Rpta. La camioneta ha recorrido 0,12π km.
128º = x

Matemática SIGMA 6 - Geometría treinta y siete 37

 Practica
lo aprendido
Pinta el círculo de la alternativa que
Nivel corresponde a la respuesta.

1 Traza los elementos de la circunferencia 3 ¿Cuál de las siguientes expresiones es

del color indicado. correcta? Prueba I. Enlace, año 2010

d A El radio de la circunferencia
b también es una cuerda.
a
B El radio de la circunferencia mide
el doble del diámetro.

c C La medida del diámetro de

la circunferencia equivale al
cuadrado del radio.
radio a diámetro b
D El diámetro de la circunferencia es
la cuerda más grande.
cuerda c Tangente d

4 Aplica las propiedades y resuelve.

2 Realiza las construcciones. a) A

a) Dibuja una circunferencia de 1 cm de x
radio y traza una recta perpendicular x = 2 × 74°
con ayuda del transportador.
C x = 148°
74°
L
P

x= 148°
O

b)
A C m BC = 2 × x
x
128° = 2x
128° 64° = x
b) Dibuja una circunferencia de 1 cm de
radio, traza dos rectas tangentes que B
se intersecten en el punto P y con la
regla, demuestra que las distancias
de los puntos de tangencia al punto
P tienen igual medida.
x= 64°
c) A
A
m x
nc
76° x = 76°
AP = BP B
P θ

nc
m
B

x= 76°

38 treinta y ocho
 Nivel Nivel
5 Calcula el valor de x en cada caso. Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.
a) 7x + 5
AP = PB 6 ¿Cuánto vale x en la figura?
A 5 P
7x + 5
=x+9
5 B
7x + 5 = 5(x + 9) x
x +9 C Por ángulo central:
7x + 5 = 5x + 45 m = 180°
2x = 40
B A O
x = 20 Por ángulo inscrito:
180° 2x = 180°
x = 90°
m

x= 20
A 45° B 60°

C 90° D 180°
b) A
5x = 2x + 60° 7 ¿Cuánto mide el ángulo AOC sabiendo
2x + 60° 5x – 2x = 60°
O 5x
3x = 60° que O es centro?
x = 20°
B C

B 20° O x m

x= 20º A

Por ángulo inscrito:

m = 2 × 20° = 40°
c) 220° C
220° = 2(x + 10°) Por ángulo central:
220° = 2x + 20° m = 40°
200° = 2x x = 40°
100° = x
x + 10° A 10° B 40°
A B
C 20° D 60°

8 ¿Cuánto mide el ángulo central de la

x= 100º figura?

x x

d) A x

126° = 2 (3x)
B 3x 126° x
126° = 6x
21° = x
Por ángulo central:
3x = 360°
C x = 120°

A 72º B 90º
x= 21º
C 120º D 180º

Matemática SIGMA 6 - Geometría treinta y nueve 39

 ¡Autoevalúate!

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

1 Calcula el perímetro de la figura. 4 Halla el valor de y.

y
60°
15 15 cm a + 27° 45° – a

60° 60° y = a + 27° + 45° – a

15 y = 72°

Perímetro = 15 + 15 + 15 A 72° B 68°

= 45 cm
C 60° D 56°
A 60 cm B 48 cm
C 55 cm 5 ¿Cuántos metros mide el perímetro del
D 45 cm
rombo?

2 Sabiendo que BN es mediana, encuentra

x
4 5x – 4 = x + 20

+
el valor de x. –

20
5x

5x – x = 20 + 4
B 2x – 6 = 44 4x = 24
2x = 50 x =6m
x = 25 cm

A C Cada lado del rombo mide 26 m.

N Perímetro: 4(26) = 104 m
2x – 6 44 cm

A 108 m B 104 m

A 23 cm B 24 cm C 96 m D 102 m

C 25 cm D 28 cm
6 En la siguiente figura, calcula el valor
de x.
3 Si CE es bisectriz del ángulo C, determina C
B
la medida del ángulo x. a 110°
a
x
B P b
2x + 120° = 180° 70° b
80° 2x = 60° A D
E x = 30°
En ABCD → 2a + 2b = 180°
x a + b = 90°
40° x En BCDP → a + b + x + 110° = 360°
A C 90° + x + 110° = 360°
200° + x = 360°
x = 160°
A 70° B 40° A 160° B 200°

C 30° D 25° C 240° D 270°

40 cuarenta
 ¡Autoevalúate!

7 Si la figura es un rombo, encuentra el 9 Si O es el centro de la circunferencia,

valor de x. halla el valor de x.
B

x A
A 36° 36° C x = 50°
x x
50°

D
B
2x + 72° = 360°
2x = 288°
x = 144°

A 30° B 60°
A 72° B 100°
C 20° D 50°
C 125° D 144°

10 Calcula el valor del AOB.

8 Determina el valor de x.
A 2(2x) = 76°
B 5x – 3 C 4x = 76°
5x – 3 = 37 x = 19°
5x = 40 O 2x 76°
m AOB = 38°
x = 8 cm

A 37 cm D
B

A 6 cm B 8 cm A 19° B 38°

C 5 cm D 10 cm C 57° D 28°

10. B 9. D 8. B 7. D 6. A 5. B 4. A 3. C 2. C 1. D Claves:

Coevaluación
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las
respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a resolver problemas sobre triángulos y cuadriláteros?

2. ¿Cómo aprendí a resolver problemas sobre circunferencia?

Matemática SIGMA 6 - Geometría cuarenta y uno 41

 cub rimos
s
2
e
D otras
m a s d e
for
edir
m

Desempeños
• Modela datos de ubicación, cambios de tamaño y movimientos identificados en problemas, así
como rotaciones en el plano cartesiano.
• Describe posiciones de objetos en el plano usando puntos cardinales y de referencia, y los
representa en croquis. También representa de diversas formas, giros en cuartos y medias vueltas,
traslación y dos o más ampliaciones de una figura en el plano cartesiano.
• Usa de diversas estrategias para medir la longitud, la superficie o la capacidad de los objetos,
de manera exacta o aproximada. Realiza cálculos numéricos para hacer conversiones de medidas.
Emplea unidades de medida no convencionales o convencionales, así como instrumentos de
dibujo y de medición.

42 cuarenta y dos
 Unidades de medida no
convencionales

¿Te has preguntado alguna vez cómo

hicieron los egipcios para construir obras tan
impresionantes como las pirámides de Egipto?
Pues bien, año a año, los egipcios padecían las
inundaciones del río Nilo, lo cual traía como
consecuencia que se confundieran los límites
de sus parcelas de cultivo. Es así que surgió en
ellos la necesidad de medir y registrar las áreas
de las superficies que les correspondían a cada
uno.
De este modo, fueron desarrollando sus
nociones espaciales y sus conocimientos para
efectuar mediciones de longitud, superficie,
volumen, masa y tiempo.
Por ejemplo, para los egipcios la unidad de
longitud más importante fue el Codo Real
(0,524 m), que se subdividía en siete palmos
de cuatro dedos cada uno.
Como unidad de superficie básica tuvieron el
Sechat equivalente a un cuadrado de 100 codos
de lado, o 10 000 codos cuadrados.
Y como unidades de capacidad tuvieron el
Hegat (4,8 litros), empleado para medir el trigo
y la cebada; y el Henu (0,48 litros) utilizado
para medir cantidades de cerveza, vino, leche
o agua.

Actividades.
1. Investiga cuáles fueron las unidades de
masa y tiempo que utilizaron los egipcios
antiguos.
2. Comenta acerca de las unidades de medida
que usaron otras civilizaciones antiguas
como los griegos, sumerios, incas, etc.

Matemática SIGMA 6 - Geometría cuarenta y tres 43

 Valo
Respeto a toda forma de vida Enfoque ambiental
res

Luciano
era un niño muy
El sueño
de
sensible. Cierto día, en el colegio,
su maestra les había hablado acerca
de la contaminación ambiental y Luciano se
Luciano
había quedado muy preocupado por ello.
Una mañana, Luciano despertó muy temprano. Salió de su casa con destino al colegio y vio
que ese día estaba más gris que los otros. A él le encantaba salir temprano de casa para
poder ir caminando y ver las flores y los árboles de un parque que estaba camino al colegio
pero notó de un día para otro que ya no existía parque sino una pampa casi desértica. No
había flores, y de los frondosos árboles solo quedaban troncos secos, y sobre ellos ya no había
ningún ave como siempre había visto.
Siguió caminando, bastante extrañado, pero su sorpresa fue mayor cuando notó que en cada
esquina había rumas de basura. Entonces recordó lo que su profesora le había dicho: «Los
humanos lo habían contaminado todo y ya no quedaban ni plantas ni animales».
Y cuando ya lo creía todo perdido, encontró una pequeña flor roja en el jardín de una casa que
parecía deshabitada. Estaba muy enferma, a punto de morir, así que, con mucho cuidado, la
recogió y empezó a buscar un lugar donde la pudiera cuidar. Luciano
deseó con todas sus fuerzas tener algún poder que le permitiera
viajar por todas partes y como por arte de magia, vio que
tenía unas grandes alas con las que podía volar.
Luciano voló por todos los lugares del planeta
pero estaba tan contaminado que tuvo que
reconocer que la flor no podría sobrevivir
en ningún lugar. Entonces miró al cielo y
vio la Luna, y pensó que aquel sería un
buen lugar para cuidar la flor.
Así que subió con ella hasta la
Luna. Lejos de tanta suciedad,
Luciano plantó la flor y vio que
inmediatamente mejoró su color.
De pronto, Luciano escuchó Responde.
una voz que decía –Luciano, 1. ¿Qué hubieras hecho tú en el lugar de
despierta, ya es hora de ir al Luciano?
colegio–. Era su madre. Entonces, 2. ¿Qué acciones propones para
Luciano comprendió que todo contrarrestar el daño al medio ambiente?
había sido un sueño.
Transcurrió todo el día y ya llegada la
noche, Luciano miró durante algunos
minutos la Luna y curiosamente notó
que una parte de ella tenía de un color
rojo suave parecido al de la flor de su
sueño y recordó que si no cuidamos la
Tierra, llegará un día en que solo haya
flores en la Luna.

44 cuarenta y cuatro
 Plano cartesiano y eje de simetría
Relaciona Eje Y
lo que sabes 7
6
El siguiente plano cartesiano muestra la ubicación de
algunos lugares públicos de una ciudad. 5
4
a) ¿En qué punto del mapa se sitúa el colegio?
3
b) ¿En qué punto del mapa se sitúa el hospital? 2
1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Eje X
Descubre
y construye

Plano cartesiano

formado por
El eje de las abscisas El eje de las ordenadas

Es la recta horizontal Es la recta vertical

conocida como el eje X. conocida como el eje Y.

1 Encuentra la ubicación de la casa de 2 Observa las figuras y traza el eje de

Teresa en el plano cartesiano. simetría.
Y
8
7
6
5
4
3
P
2 Un eje de simetría es una línea recta
1 que divide a una figura tal que los
puntos opuestos que se forman están a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 X la misma distancia de la línea.

Resolución:
Con respecto al eje X, ¿cuál es la 3 Grafica la figura simétrica si el eje de
ubicación de la casa? 3 simetría es la línea roja.

Con respecto al eje Y, ¿cuál es la Y

ubicación de la casa? 4 6
Entonces, la casa se ubica en la 5
coordenada (3 ; 4). 4
Eje X Eje Y 3
2
1
Las coordenadas de un punto en el plano
cartesiano se representan con un par ordenado.
Todo punto se denota con una letra mayúscula.
0 1 2 3 4 5 6 X

Matemática SIGMA 6 - Geometría cuarenta y cinco 45

4 Determina el valor de a + b + c. Practica
lo aprendido
Y
B(3 ; 2b + 4) Nivel
8
7 Pinta el círculo de la alternativa que
6 A corresponde a la respuesta.
5 C(2a ; 5)
4 El pirata Barba Roja tiene el mapa de
1
3 un tesoro que se encuentra en una isla
2 lejana. De acuerdo con el mapa, ¿en
1 D(c + 1; 1) qué coordenadas se encuentra el tesoro
que está marcado con un ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 X Y
8
Resolución:
7
Las coordenadas del punto B son:
6
(3 ; 8) = (3 ; 2b + 4)
5
Entonces: 2b + 4 = 8 → b=2
4
Las coordenadas del punto C son:
3
(6 ; 5) = (2a ; 5)
Entonces: 2a = 6 → a=3 2
1
Las coordenadas del punto D son:
(4 ; 1) = (c + 1 ; 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X
Entonces: c + 1 = 4 → c=3
A (1; 2) B (2; 1)
Luego: a + b + c → 3+2+3=8
C (1; 1) D (2; 2)

5 Observa la imagen y responde. 2 Escribe las coordenadas de cada figura.

¿Cuántas figuras simétricas encuentras?
Y
Justifica tu respuesta.
8
7
6 F

5
A E G
4
3 O P

2 D Q
R
1 B C T S
0 1 2 3 4 5 6 7 8 X

EFG : E(4; 4), F(6; 6), G(8; 4)

Resolución:
Son simétricas: La lámpara colgante, ABCDE : A(1;4), B(1; 1), C(2; 1), D(4; 2), E(4; 4)
la ventana, el florero, la mesa, el cubre
platos.
OPQRST: O(5; 3), P(8; 3), Q(8; 2), R(6; 2),
Nota: El niño no es simétrico por el peinado
y la posición de las manos. S(6; 0), T(5; 0)
46 cuarenta y seis
Nivel

3 Busca las imágenes en la página de adhesivos y pega completando las figuras simétricas.
Luego, responde.

¿Cuántas figuras simétricas hay en total en la imagen? Rpta. 6

reloj, ventana, ropero, cama, velador y lámpara
Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

4 Determina el valor de x + y + z. 5 Si los pares ordenados A(2; 5), B(2b + 4; 5),

C(8; 2) y D(2; 2a – 10) corresponden a los
Y vértices de un rectángulo, halla el valor
7 de (a + b)2. Y

Q 8

6 A 4 En B:
7
6
2b + 4 = 8 5 A B
5 B 36 b=2 4

R(x – 3; 2y) En D:
3
4 P C 64 2a – 10 = 2
2
D C
1
B C a=6
3 D 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X

2 Entonces: (6 + 2)2 = 64

1 D 6 Si los puntos E(3; 7), F(8; 2c + 1), G(b + 2; 2)

A(z2; 1)
y H(3; a – 7) forman un cuadrado, calcula
0 1 2 3 4 5 6 7 X el valor de bc ÷ a. Y
8
E F
A 30 7

x =8;y=2;z=1 b+2 =8→b=6

6
5
B 25 2c + 1 = 7 → c = 3 4
A 2 B 3 a–7 =2→a=9 3
C 24 2
H G
1
C 9 D 11 D 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X

Matemática SIGMA 6 - Geometría cuarenta y siete 47

 Traslación de figuras en el plano
Relaciona
lo que sabes

Y
El gráfico muestra el recorrido que hizo 8
una mariposa durante cierto tiempo.
7
6
D
Responde. 5
B
4
a) ¿Qué varió en la imagen con relación C
al paso del tiempo? 3
2 A
b) Describe la trayectoria que siguió la 1
mariposa del punto A al B.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

Descubre
y construye

Sucede cuando una figura trazada en el plano cartesiano

uras es desplazada hacia la derecha, izquierda, arriba o abajo
Traslación de fig sin sufrir variación en su tamaño o en su forma.

Una traslación hacia la derecha o hacia arriba

Recuerda sugiere una adición.

Una traslación hacia la izquierda o hacia abajo

sugiere una sustracción.

1 Traslada al EMA 3 unidades a la izquierda y 4 unidades hacia arriba. Luego, escribe las
coordenadas de los nuevos vértices.

Resolución: Y
8 M1
Regla de traslación :
7
3 unidades a la izquierda y 4 unidades 6
hacia arriba. 5
E1 A1
4
Posición inicial Posición final M
3
(x; y) (x – 3; y + 4)
2
E (4; 1) E1 ( 1 ; 5 ) 1
E A
M (4; 3) M1 ( 1 ; 7 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 X
A (7; 1) A1 ( 4 ; 5 )

48 cuarenta y ocho
 Practica Nivel
lo aprendido
Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.
Nivel
3 Dados los pares ordenados A(10; 8),
B(10; 5), C(8; 5) y D(8; 7). Si esta figura
1 Interpreta la regla de traslación, escribe
se traslada siendo sus nuevos vértices
las coordenadas y grafica la figura
A1(6; 7), B1 (6; 4), C1(4; 4) y D1(4; 6), halla
trasladada.
la regla de traslación.
Y
C1 Y
8 A
7 8
B1 A1 D
6 C 7
6 D1
5
B 5
4 C B
A1 4
3 C1 B1
2 3
A 2
1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
(x; y) (x + 5; y + 2)

A (2; 2) A1 (7 ; 4) A (x – 4; y + 1)

B (3; 5) B1 (8 ; 7) B (x + 4; y – 1)
C(0; 6) C1 (5 ; 8) C (x – 4; y – 1)

D (x – 1; y – 4)
2 Observa la imagen, completa siguiendo
la regla de traslación y grafica.
4 Dados los puntos A(3;5), B(5;2) y C(3;2)
El WXYZ se traslada 4 unidades hacia la se da la regla de traslación (x + 2; y + 3).
izquierda y 2 hacia abajo. Encuentra las nuevas coordenadas del
triángulo.
Y
Y
8 A1
Z 8
7
Z1 7
6
6
5 A
W Y 5
4 C1 B1
4
3
W1 Y1 3
2
X 2
1 C B
X1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

(x; y) ( x – 4; y – 2 )
W ( 5; 5 ) W1 ( 1; 3 ) A A1(6; 7) , B1(7; 5) , C1(5; 8)

X ( 7; 2 ) X1 ( 3; 0 ) B A1(5; 9) , B1(7; 5) , C1(5; 5)

Y ( 9; 5 ) Y1 ( 5; 3 ) C A1(5; 7) , B1(6; 5) , C1(7; 5)

Z ( 7; 8 ) Z1 ( 3; 6 ) D A1(5; 8) , B1(7; 5) , C1(5; 5)

Matemática SIGMA 6 - Geometría cuarenta y nueve 49

 5 Busca las imágenes en la página de adhesivos y pega en el lugar correspondiente.

Y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 X

• El se desplazó 4 m hacia la derecha y 2 m hacia abajo.

• La se desplazó siguiendo la regla (x – 2 ; y + 5).

• La se desplazó 6 m hacia abajo para buscar alimentos.

• El se trasladó 4 m a la izquierda y 3 m hacia arriba.

• La se trasladó según la regla (x + 5 ; y + 5).

• La se desplazó 20 m hacia la derecha.

• El se desplazó según la regla (x – 1 ; y – 5).

• La se desplazó según (x + 2 ; y – 3) por el movimiento del mar.

Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

6 Dados los puntos A(2; 2), B(6; 2) y C(4; 6) 7 Dados los puntos A(3; 8), B(6; 7) y C(6; 4)
que son los vértices de un triángulo, se y D(3; 5). Se da la regla de traslación
da la regla de traslación (x + 3; y + 5). (x + 5; y – 2). Determina la suma de las
Si los vértices del triángulo trasladado nuevas abscisas.
son representados por A1(a + 1; 2b + 1);
B1(3c; 4d – 1) y C1(5e – 3; 3f + 2), halla el A1 (8; 6), B1 (11; 5), C1 (11; 2), D1 (8; 3)
valor de ac – bd + ef. 8 + 11 + 11 + 8 = 38
a+1=5 (x; y) ( x + 3; y + 5 )
a=4 A(2; 2) → A1 ( 5 ; 7 )
2b + 1 = 7 B (6; 2) → B1 ( 9 ; 7 )
b=3 C(4; 6) → C1 ( 7 ; 11 )
3c = 9
c = 3 4d – 1 = 7 ; 5e – 3 = 7 ; 3f + 2 = 11 Luego: 43 – 32 + 23 = 34
d=2 e=2 f=3

A 34 B 26 C 30 D 32 A 32 B 38 C 42 D 44
50 cincuenta
 Ampliación y reducción de figuras en el plano
Relaciona
lo que sabes

Laura ha ampliado la foto que más

le agrada de su último viaje.
Observa y responde.

a) ¿Qué cambió en la figura?

b) Mide la longitud de los lados de
ambas figuras y encuentra la
regla de ampliación.
c) Si Laura desea colocar detrás
de la fotografía ampliada una
madera para colgarla en su
habitación, ¿qué área debe
tener esta madera?

Descubre
y construye

s en el plano
Transformacione
Ampliación Reducción

Es cuando el tamaño de la figura aumenta Es cuando el tamaño de la figura disminuye

proporcionalmente pero mantiene su forma. proporcionalmente pero mantiene su forma.

1 Reduce el DAFG a la mitad de sus lados. 2 Amplía el DOC al triple de sus lados.
Y
Y
A F 10
8 C1
9
7
8
6
7
5
A1 F1 6
4 D G 5
3
4
2 D1 G1 C
3 D1 O1
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 1 D O

Posición inicial Posición final

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
(x; y) (x ÷ 2; y ÷ 2)
Posición inicial Posición final
D (6; 4) D1 (3 ; 2)
A (8; 8) A1 (4 ; 4) D (1; 1) D1 (3 ; 3)
F (10; 8) F1 (5 ; 4) O (3; 1) O1 (9 ; 3)
G (12; 4) G1 (6 ; 2) C (1; 3) C1 (3 ; 9)

Matemática SIGMA 6 - Geometría cincuenta y uno 51

3 Reduce el MNQ a la tercera parte Practica
lo aprendido
de sus lados.
Nivel
Y
Q
12 1 Reduce a la mitad las coordenadas y
11 grafica la figura resultante.
10
9 M N Y
8 9
7 8 C
6 7
5 6 D
Q1
4 5
3 4
C1
M1 N1 D1 A B
2 3
1 2 A1 B1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

Posición inicial Posición final

(x; y) (x ÷ 3; y ÷ 3) (x; y) (x ÷ 2; y ÷ 2)
M (3; 9) → M1 (1 ; 3) A (6; 4) A1 ( 3 ; 2 )
N (12; 9) → N1 (4 ; 3) B (10; 4) → B1 ( 5 ; 2 )
Q (3; 12) → Q' (1 ; 4) C(10; 8) → C1 ( 5 ; 4 )
D (6; 6) → D1 ( 3 ; 3 )
4 Amplía PQRSTU según indica la regla.

2 Amplía al triple las coordenadas de la

Y
figura. Grafica y completa.
10
T1
9 Y
8
7 10
U1 S1 9
6 B1 C1
5 Q1 8
4 7
T
3 6
2 U S P1 R1
5
Q
1 P R 4
B C A1 D1
0 X 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
1 A D
Posición inicial Posición final
(x; y) (3x; 3y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

P (2; 1) → P1 ( 6 ; 3)
Q (3; 2) → Q1( 9 ; 6) (x; y) → (3x; 3y)
R (4; 1) → R1 (12 ; 3) A (1; 1) → A1 ( 3 ; 3 )
S (4; 2) → S1 (12 ; 6) B (1; 3) → B1 ( 3 ; 9 )
T (3; 3) → T1 ( 9 ; 9) C   (3; 3) → C1 ( 9 ; 9 )
U (2; 2) → U1 ( 6 ; 6) D (3; 1) → D1 ( 9 ; 3 )

52 cincuenta y dos
 Nivel Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta. corresponde a la respuesta.

3 Sea el plano cartesiano: 4 Reduce a la cuarta parte la figura de las

coordenadas P(12; 20), Q(20; 20), R(16; 16)
Y
E F y S(12; 16) e indica la suma de las abscisas
14 de las nuevas coordenadas.
13
12 P1(3; 5), Q1(5; 5), R1(4; 4), S1(3; 4)
11
Luego: 3 + 5 + 4 + 3 = 15
10
9
H I
8 A 4 B 5
7
D G C 10 D 15
6
5
B
4 K J
3 5 A(1; 2), B(3; 1), C(3; 5) y D(1; 4) son los
2 A vértices de un trapecio. Si se da la regla
C
1 de ampliación (3x; 3y) y los nuevos
puntos son: A1(m; n), B1(p; m), C1(p; q) y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X D1(m; r), halla el valor de pq – 3mn + r .
3
a) Al reducir a la mitad los lados del
trapecio HIJK las nuevas coordenadas m = 3; n = 6; p = 9 q = 15; r = 12
de los vértices I y K serán: (9)(15) – 3(3)(6) + 12
Luego:
3
A I1 (4; 5), K1 (4; 2) 135 – 54 + 12 93 = 31
=
3 3
B I1 (4; 5), K1 (4; 4)

C I1 (5; 4), K1 (2; 4)

A 31 B 25
D I1 (5; 4), K1 (4; 2)
C 36 D 29
b) Al ampliar los lados del paralelogramo
DEFG, las nuevas coordenadas serán
D1(3; 21), E1(12; 42), F1(30; 42) y G1(21; 21). 6 A(2; 2), B(6; 2) y C(4; 6) son los vértices
de un triángulo. Si se da la regla de
Halla la regla de ampliación. ampliación (4x; 4y) y los nuevos vértices
D(1; 7); E(4, 14); F(10; 14); G (7; 7) de la figura ampliada son:
A1(a + 1; b – 3), B1(3c; 4d) y C1(4e; f + 2)
A (3x; x ÷ 3) B (2x; 3y)
halla (a + b + f) – (d + e + c).
C (3x; 3y) D (x ÷2; y ÷2)

A1(8; 8) ; B1(24; 8) ; C1(16; 24)

c) Si los lados del ΔABC se quintuplican,
halla la suma de las nuevas a=7 c=8 e=4
b = 11 d=2 f = 22
coordenadas de B1.
B1(20; 20) → 20 + 20 = 40

A 20 B 40 A 24 B 26
C 50 D 80 C 28 D 29
Matemática SIGMA 6 - Geometría cincuenta y tres 53
 Rotación de figuras en el plano
Relaciona
lo que sabes

Sandra gira el lápiz con un ángulo de 90° en sentido antihorario y con respecto al punto O.

Y
9
C1
8
7 D1 B1 Responde.
6
a) ¿Cambió el tamaño y forma del
5
E1 A1 E D lápiz?
4
3 C b) ¿Cambió la posición y la orientación
90º
2 del lápiz?
O A B
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

Descubre
y construye

uras
Rotación de fig Sucede cuando una figura se mueve alrededor de un
en el pl an o punto y de acuerdo a un ángulo dado.

1 Marca con un en el si se trata de 2 Dibuja cómo quedarían AB y AF si rotan

una rotación. 90° en sentido antihorario con respecto
al punto A.

a) Resolución:
a) B
B

90º
A B1 A1

Resolución:
b)
b) F F1 F
90º

A A1

3 Dibuja cómo quedaría la figura si rota

90° en sentido antihorario con respecto
c) al punto A.
Resolución:
C
B1

A B C1 A1

54 cincuenta y cuatro
 4 Rota la figura 90º en sentido horario con Practica
lo aprendido
respecto al punto O.

Y Nivel
10
9 1 Rota las figuras en sentido antihorario
8 con respecto al punto O y con un ángulo
C
7 de 180°.
6
5
B1
4 B A a)
Y
3
8
2 90º
1 7
O A1 C1 6
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 5 180°
A1
4 B1
O A B
3
Rota la figura 90º en sentido horario con 2 C1
5
respecto al punto O. 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
Y
C
12
11
10 B
B1 b)
9
8 A Y
7 8 S R
6 180° Q P
O A1 C1 7
5
6
4 N1
5
3 M1 O M N
2 4
1 3 P1
Q1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X R1 S1
1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
6 Rota la figura 180º en sentido horario con
respecto al punto P.

Y c)
10 Y
B1 C1
9 8
8 E1 7 Ñ
7 180º D1 6 N
6
F G 180°
5
D P G1 F1 M1 L1
5 4
O L M
4 3
E
3 2 N1
C B
2 1 Ñ1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

Matemática SIGMA 6 - Geometría cincuenta y cinco 55

 Nivel Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que
5 Al rotar la figura con respecto al punto
corresponde a la respuesta.
O y con un ángulo de 90° en sentido
horario se obtiene el vértice A1(a; b);
2 Rota la figura con respecto al punto B1(c + 2; d) y C1(e; f – 2).
O con un ángulo de 90° en sentido
horario y halla la suma de las nuevas Halla (a + b + c) + (d – e + f).
coordenadas del vértice A.
Y
Y
10
9 9 C B
C
8 8 C1
B 7
7
D1
6 C1 6 A
5 D 5
A O A1
4
4
O A1 B1 3 B1
3 2
2 1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
A1(7; 5) B1(10; 3) C1(10; 8)
7 + 4 = 11
a=7 e = 10
A 12 B 11 A 28 b=5 f = 10 B 23
c=8
C 10 D 9 C 35 D 30
d=3
(7 + 5 + 8) + (3 – 10 + 10)
3 Rota la figura con respecto al punto
O con un ángulo de 180° en sentido
antihorario y halla la suma de las 6 Rota la figura 90° en sentido antihorario
coordenadas del nuevo vértice Q. con respecto al punto A. Luego, amplía
Y
la imagen resultante al doble y halla la
suma de sus abscisas.
8
7
R Q Y
6
5 12
P1 11
4 C2 B2
O P
3 10
2
9
Q1 R1 D2 E2
8
1
7
F2 D C
6 A2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X C1 B1F E
5
Q1(4; 2) 4D E
A 4 B 6 1 1
3 F1 A1A B
C 8 D 12 2
1
4 De acuerdo al ejercicio anterior, halla 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
la suma de las nuevas coordenadas de
los vértices P y R. P1(3; 4) R1(6; 2)
A2(6; 6) B2(6; 10) C2(0; 10) D2(0; 8) E2 (2; 8) F2 (2; 6)
3 + 4 + 6 + 2 = 15
A 12 B 14 A 32 B 26
6 + 6 + 0 + 2 + 2 = 16
C 15 D 16 C 24 D 16

56 cincuenta y seis
 ¡Autoevalúate!

1 Ubica en el plano cartesiano los siguientes Observa el plano cartesiano, resuelve y pinta
puntos: el círculo de la alternativa que corresponde
a la respuesta.
A(3; 2) B(4; 1) C(0; 5)
Y
D(5; 8) E(7; 6)
12 G F
Y 11
10 10
9 9 B1
D
8 8 D E
7
E 7
6 6
C
5
5 A1 C1
4
3
4
A
2 3 G1 F1 B
B
1 2 A C
D1 E1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

2 Une los puntos A(1; 3), B(1; 5), C(3; 5), 4 Amplía al triple los lados del Δ ABC y
D(3; 2) y traslada la figura según la regla dibuja la figura ampliada en el plano
de traslación (x + 2; y + 5). cartesiano, luego calcula la suma de las
nuevas abscisas. 9 + 12 +12
Y
B1 C1 A 32
10
9
8 A1 B 33
7 D1
6 C 34
5 B C
4 D 36
3
A
2 D
1 5 Reduce a la cuarta parte los lados del
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X DEFG y dibuja la nueva figura en el plano
cartesiano. Luego, calcula la suma de las
nuevas ordenadas.
3 Ubica las coordenadas A(8; 4), B(8; 6), A 8
C(6; 8), D(4; 6), E(4; 4). Luego, reduce la
B 9 D1(1; 2) , E1(2; 2) , F1(2; 3) , G1(1; 3)
figura a la mitad.
2+2+3+3
C 10
Y
D 12
10
9
C
8 6 Si amplías al quíntuple los lados del Δ ABC,
7
D B halla el producto de las coordenadas
6
5
del nuevo vértice B.
C1 E
4 A A 100
3 D1 B1
2 B 150
B1(20; 15) 20 × 15 = 300
E1 A1
1
C 200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

D 300

Matemática SIGMA 6 - Geometría cincuenta y siete 57

 ¡Autoevalúate!

7 Rota la figura con respecto al punto O y 9 Rota las figuras con respecto al punto
con un ángulo de 90° en sentido horario. O y con un ángulo de 180° en sentido
antihorario.

Y Y
8 10
9 Ñ
7
6 S T R1 8 N
S1 180°
P1 Q1 7
5
M1 L1
4 Q 6 L M
R O
3 5
2 4
T1 N1
P O1 3
1 Ñ1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

10 Rota las figuras con respecto al punto

8 Grafica la figura simétrica.
O y con un ángulo de 180° en sentido
antihorario.
Y Y
8 12
7 M1 L1
11
6 180°
10
N1 P N
5 9
P1 O
4 8
3 7
L M
2 6
1 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

10. - 9. - 8. - 7. - 6. D 5. C 4. B 3. - 2. - 1. - Claves:

Coevaluación
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a representar puntos y figuras en el plano cartesiano?

2. De todas las transformaciones en el plano cartesiano, ¿cuál aprendí con mayor
facilidad? ¿Por qué? ¿Cómo lo hice?

58 cincuenta y ocho
 Unidades de longitud
Relaciona
lo que sabes

El Amazonas es uno de los ríos más largos y

caudalosos del mundo. Responde.
a) ¿Cuál es la longitud del río Amazonas?
Investiga en www.peruecologico.com.pe
b) ¿Una misma longitud se puede expresar de
diferentes formas? Explica.

Descubre
y construye

Tabla de conversiones de las unidades de longitud

× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10

1 Completa las equivalencias. 3 De un grupo de tres amigos se sabe que

Patricio mide 92 cm, Eli mide 9 dm y Alan
a) 6 800 000 m = 6800 km mide 980 mm. ¿Quién es más bajo?
b) 125 dam = 12 500 dm
c) 124 000 dm = 124 hm
d) 143 000 cm = 1430 m
e) 13 400 m = 134 hm
f ) 4 dam = 0,04 km Patricio
Eli
2 Calcula el perímetro de la figura en Alan
milímetros.

15 cm

Resolución:
Resolución: Patricio mide 92 cm.
Es un hexágono regular, entonces:
Eli mide 9 dm × 10 = 90 cm.
P = 15 cm × 6 = 90 cm
Alan mide 980 mm ÷ 10 = 98 cm.
90 cm × 10 = 900 mm
Rpta. El perímetro de la figura es 900 mm. Rpta. Eli es la más baja.
Matemática SIGMA 6 - Geometría cincuenta y nueve 59
 Practica
lo aprendido
Nivel

Nivel 3 Calcula cuántos metros mide el perímetro

de la figura.
5 km + 4 km + 440 dam + 86 hm
1 Completa la tabla. 9 km + 440 dam + 86 hm
9000 + 4400 + 8600
22 000 m
Convertir a 86
m dm

5 km
Medida hm

18 km 18 000 180 000

am 4 km
440 d
74 hm 7400 74 000

29 dam 290 2900

Rpta. 22 000 m
12 800 cm 128 1280

123 km 123 000 1 230 000 4 Si Eva recorre 18 000 cm en cada viaje
de ida a su centro de estudios, ¿cuántos
215 000 mm 215 2150 metros de ida y vuelta recorrerá en dos
semanas, sabiendo que estudia de lunes
a sábado?
2 Escribe la distancia en la unidad indicada. 18 000 cm ÷ 100 = 180 m de ida
2 × 180 m = 360 m de ida y vuelta
360 × 12 = 4320 m (dos semanas de
lunes a sábado)

Rpta. 4320 m

Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.

5 Si Juana puede hacer un listón con 5 dm

La distancia de Lima a Cusco es de de cinta, ¿cuántos de los mismos listones
115 163 dam. podrá hacer con 90 m de la misma cinta?
1151,63 km 90 m × 10 = 900 dm
900 dm ÷ 5dm = 180 listones

A 180 B 185

C 190 D 192

6 Para hacer una instalación eléctrica

en una casa se necesita 2,4 km de
cable. Si el cable lo venden en rollos de
8 hm, ¿cuántos rollos de cable se tendrá
que comprar?
2,4 km × 1000 = 2400 m Entonces:
8 hm × 100 = 800 m 2400 ÷ 800 = 3 rollos
La distancia de Lima a Huánuco es de
410 000 m. A 9 B 6
4100 hm C 4 D 3

60 sesenta
 Unidades de superficie
Relaciona
lo que sabes

El Perú está ubicado en la parte central y occidental de América del

Sur. Tiene por territorio total una superficie de 1 285 215,60 km2, la cual
se distribuye en Costa, con una superficie de 150 370,23 km2; Sierra,
con 359 860,37 km2 y Selva, con 774 985 km2.
a) ¿Qué unidad de medida se ha usado para representar la superficie
del Perú?
b) ¿Es posible expresar esta cantidad usando otras unidades?,
¿cuáles?

Descubre
y construye

perficie
siones de las unidades de su
Tabla de conver

× 100 × 100 × 100 × 100 × 100 × 100

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100

1 Convierte a las unidades indicadas. 2 Si una pared cuadrada tiene 400 cm

de lado, ¿a cuántos hectómetros
cuadrados equivale su área?
a) 5 m2 a dm2
Resolución: Resolución:
5 × 100 = 500 dm2 Área = (400)2 = 160 000 cm2

b) 900 mm2 a cm2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2

Resolución: ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100

900 ÷ 100 = 9 cm2

Entonces:

c) 3,2 hm2 a m2 160 000 ÷ 100 000 000 = 0,0016 hm2

Resolución:
3,2 × 10 000 = 32 000 m2 Rpta. Su área equivale a 0,0016 hm2.

Matemática SIGMA 6 - Geometría sesenta y uno 61

 Practica Nivel
lo aprendido
Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.
Nivel
3 Esteban tiene 2,4 hm2 de cultivo. Si la
1 Expresa el área en la unidad indicada. tercera parte está sembrada de camote
y el resto de papa, ¿cuántos metros
cuadrados están sembrados de papa?
a)

camote: 1 papa: 2 (2,4) = 1,6 hm2

Ancash 3 3
A = 35 041,39 km2 1,6 hm2 × 10 000 = 16 000 m2

350 413 900 dam2

A 8000 m2 B 16 000 m2

C 80 000 m2 D 1600 m2

b) 4 Don Antonio ha sembrado solo la cuarta

parte de su chacra. Si esta mide de
largo 50 hm y de ancho 25 hm, ¿cuánta
superficie ha sido sembrada?
Arequipa
A = 63 345 km2
50 × 25 = 312,5
4
6 334 500 hm2

A 304,5 hm2 B 308,5 hm2

C 312,5 hm2 D 315 hm2

c)

Lima Nivel
A = 34 802 km2

5 En un terreno de 0,025 ha se desea plantar

348 020 000 dam2
césped. Si el costo para plantar césped
es de S/ 12 por cada metro cuadrado,
¿cuánto será el costo total por dicha
actividad? Prueba I. Enlace, año 2013
(Considera 1 ha = 10 000 m2).

2 Escribe >, < o =.

a) 7 400 hm2 = 74 km2

0,025 ha × 10 000 = 250 m2
b) 14 000 m2 = 140 dam2 250 × 12 = S/ 3000
c) 3,2 hm2 > 1 dm2
d) 7,5 mm2 > 0,009 cm2
A S/ 1500 B S/ 1800
e) 91 000 mm2 > 9,01 dm2
C S/ 2000 D S/ 3000

62 sesenta y dos
 Unidades de tiempo
Relaciona
lo que sabes

El movimiento de rotación es el que realiza la Tierra al

girar sobre su propio eje. Este movimiento dura un día
(24 horas), aproximadamente.

El movimiento de traslación tarda un año (365 días),

aproximadamente. Es el movimiento con el que la Tierra
da una vuelta alrededor del Sol.

Responde.
a) Investiga cuánto duran exactamente estos dos movimientos.
b) ¿Qué movimiento de la Tierra determina el día y la noche?

El símbolo ≡ se lee
Descubre
y construye «equivale a».

× 60 × 60
Además
1 día ≡ 24 horas
hora minutos segundos 1 lustro ≡ 5 años
1 década ≡ 10 años
h min s
1 año ≡ 12 meses
1 año ≡ 52 semanas
÷ 60 ÷ 60 1 año ≡ 365 días

1 Jenny ha vivido 520 semanas. 3 ¿Cuántos minutos hay en 3 días?

Indica su edad en años.
Resolución:
Resolución: En 1 hora hay 60 minutos.
En 1 día hay 24 horas o 1440 minutos.
Recuerda que 1 año ≡ 52 semanas,
Entonces, en 3 días: 3 × 1440 = 4320
520 ÷ 52 = 10 años
Rpta. En 3 días hay 4320 minutos.
Rpta. Jenny tiene 10 años.
4 A Jaime le preguntaron su edad y él
respondió: He vivido 2 lustros y 730 días.
2 De acuerdo a la información anterior, ¿Qué edad tiene Jaime?
calcula la edad que tendrá Jenny en
Resolución:
312 semanas.
1.° Convierte los lustros y días en años.
Resolución:
2 lustros 2(5 años) = 10 años
312 ÷ 52 = 6 730 días 730 ÷ 365 = 2 años
Entonces: 10 + 6 = 16. 2.° Suma: 10 + 2 = 12
Rpta. Jenny tendrá 16 años. Rpta. Jaime tiene 12 años.
Matemática SIGMA 6 - Geometría sesenta y tres 63
 Practica 5 Observa la imagen de la familia Sánchez.
lo aprendido

Nivel

1 Completa.

a) 240 s = 4 min

b) 600 min = 10 h Lee y calcula la edad en años. Luego, busca

las imágenes en la página de adhesivos y
c) 6 min = 360 s pega en el lugar que corresponde.
d) 720 min = 12 h

He vivido 6 décadas y 104

2 Reduce cada medida a la unidad semanas. Mi nombre es Alan.
indicada.
Tengo 62 años.

a) 35 min = 2100 segundos

b) 2 h 24 min = 144 minutos
Tengo 3 lustros y 36 meses y me
c) 8 semanas = 56 días encanta el fútbol.
d) 6 lustros = 360 meses Tengo 18 años.
e) 10 800 s = 3 horas

Pinta el círculo de la alternativa que Mi edad equivale a 8 lustros y

corresponde a la respuesta. 52 semanas. Mis hijos disfrutan
cuando les preparo postres.
3 Pamela practica natación 3 horas al
Tengo 41 años.
día. Si practicó durante 12 semanas,
¿cuántas horas practicó en total?

3 × 7 × 12 = 252

Tengo 5 décadas y 96 meses.

A 250 h B 251 h
Tengo 58 años.
C 252 h D 253 h

4 Si la hermana de
He vivido 1 lustro y 156
Felipe tiene un lustro
semanas.
de edad, ¿cuántos
días ha vivido? Tengo 8 años.

1 lustro = 5 años
365 × 5 = 1825
Mi edad equivale a 4 décadas,
A 1725 B 1825 36 meses y 730 días.

C 1900 D 1925 Tengo 45 años.

64 sesenta y cuatro
 Nivel Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que
6 Jenny tiene 520 semanas de vida y
Fernando tiene 9 años de vida. ¿Quién corresponde a la respuesta.
de los dos nació primero?
9 Hernán tiene una deuda que terminará
de pagar en 2 lustros con 52 semanas.
Jenny = 10 años Fernando = 9 años ¿Cuántos años le falta para cancelar la
Rpta. Jenny deuda?

A 14 B 13
7 Luisa demoró 2190 días en estudiar su
profesión y Renato demoró 5 años. C 12 D 11
¿Quién estudió más tiempo?

10 Un grupo de cigüeñas vuela durante

Luisa = 6 años Renato = 5 años 35 min 40 s. ¿A cuántos segundos
Rpta. Luisa representa?
Tiempo de vuelo 35 min 40 s
35 min + 40 s
8 Observa y calcula la edad de cada 35 min = 35 × 60 = 2100 s
niño. Luego, busca las imágenes y 2100 s + 40 s = 2140 s
completa. 10 – 2 = 8
A 2010 s B 2040 s
Me faltan 365 días y 52 semanas
para tener 1 década. C 2140 s D 2250 s

11 Un albañil demoró en levantar una

pared 3h 45 min y en levantar otra pared
Tengo 1 Tengo 84 más pequeña 1h 36 min. ¿Cuál fue el
lustro y 12 meses y
meses. tiempo que demoró en levantar ambas
730 días.
paredes?
5+1=6
7+2=9 3h 45´ → 4h + 81´
1h 36´ 5h 21´

A 4h 21 min B 4h 30 min
a)
C 5h 20 min D 5h 21 min

12 En un concurso de matemática en el
que se evalúa la nota y el tiempo, se
es el(la) mayor. sabe que:
- Ana obtuvo 16 de nota y acabó en 48
b)
minutos y 16 segundos.
- Fabiola obtuvo 15 de nota y acabó en
37 minutos y 52 segundos.
- Kely obtuvo 16 de nota y acabó en 47
minutos y 58 segundos.
es el(la) menor.
¿Quién de ellas ganó?
c)
48 × 60 + 16 = 2896 segundos: Ana
47 × 60 + 58 = 2878 segundos: Kely
Gana la que acaba en menos tiempo.
A Kely B Ana
es el (la) de edad
intermedia. C Fabiola D Empate
Matemática SIGMA 6 - Geometría sesenta y cinco 65
 Unidades de masa
Relaciona
lo que sabes

La minería ilegal en el Perú cada vez cobra mayor presencia; sin embargo, es cuestionada por
el daño que causa al ambiente. Observa el texto discontinuo y responde.

Madre de Dios produce unos

1 Se extrae el oro 16 000 kg de oro al año.
de los bosques
previamente Para este fin, se ha deforestado más
deforestados de 30 mil hectáreas en esta región.
usando equipos
especiales.

draga

2 Se muelen las rocas

extraídas (oro no puro) Amalgama
y se agrega mercurio,
formándose así la
amalgama (por cada
5 g de oro se usa 15 g de
mercurio).

3 Se quema la amalgama, el mercurio se

evapora (contamina el suelo, el aire y el agua)
y se obtiene oro puro.

a) ¿Qué unidades de masa encuentras en la información mostrada?

b) ¿De qué manera influye la extracción del oro en el ambiente?

Descubre
y construye
masa
siones de las unidades de
Tabla de conver

× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

tonelada quintal miriagramo kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo
t q mag kg hg dag g dg cg mg

÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10

Observa cómo convertir 5 gramos en miligramos.

× 10 × 10 × 10
5 × 1000 = 5000
g dg cg mg
∴ 5 g = 5000 mg
66 sesenta y seis
 Practica Nivel
lo aprendido
Pinta el círculo de la alternativa que
Nivel corresponde a la respuesta.

3 La masa de un camión es 10 t y la masa de

1 Expresa las medidas en las unidades la carga es 1203 kg. ¿Cuánto es la masa
indicadas. en toneladas del camión con su carga?
a) 5800 mag = 58 t 1203 kg = 1203 ÷ 1000 = 1,203 t
b) 70 g = 0,07 kg 10 t + 1,203 t = 11,203 t
c) 84 dg = 0,84 dag
A 10,205 t B 11 t
d) 16 q = 1,6 t
C 11,203 t D 11,205 t
e) 5201 cg = 5,201 dag

4 En la tienda venden los siguientes sacos

2 Jaime ha anotado en una hoja qué de comida para perro. Si el señor Pérez
cantidad de frutas, verduras y hortalizas quiere comprar el que tenga más peso,
tiene listas para la venta. ¿cuál de ellos debe escoger?

1 3
4 kg 4 kg 0,50 kg 0,60 kg

21 530 dag de apio

1530 hg de zanahorias
296 007 dg de cebolla
83 507 dag de manzanas
29 607 g de peras Canito Mmk Bobys Delidog
8,507 t de berenjena 0,25 kg 0,75 kg 0,50 kg 0,60 kg

Si Jaime ha hecho etiquetas para ver A Canito B Mmk

cuántos kilogramos tiene de cada uno,
C Bobys D Delidog
busca las imágenes en la página de
adhesivos y completa.
Nivel
835,07 kilogramos de manzana
5 Si se transporta 5,45 t de papas en cajas
de 10 kg cada una. Calcula el número
de cajas utilizadas.
29,607 kilogramos de pera
5,45 t = 5,45 × 1000 = 5450 kg
5450 kg ÷ 10 kg = 545
n.° de cajas utilizadas: 545

215,3 kilogramos de A 520 B 532

apio
C 545 D 575

8507 kilogramos de berenjena 6 Miguel traslada 5 t de maíz. Si en un

almacén descarga 1800 kg y en otro
deja 1,4 t; ¿cuántos kilogramos de maíz
traslada ahora?
153 kilogramos de zanahoria
5 t = 5000 kg
5000 – (1800 + 1400) = 1800 kg

29,6007 kilogramos de A 1200 kg B 1800 kg

cebolla
C 2200 kg D 1400 kg
Matemática SIGMA 6 - Geometría sesenta y siete 67
 Unidades de capacidad y volumen
Relaciona
lo que sabes

1 litro
Se sabe que al vaciar el contenido de la botella en el
recipiente, este queda lleno. 10 cm

Responde.
¿Qué relación existe entre el volumen del recipiente y la

cm
capacidad de la botella?

10
10 cm

Rpta. El volumen del cubo y la capacidad de la botella son equivalentes, la cual se expresa:

1000 cm3 ≡ 1

Descubre
y construye

Tabla de conversiones de las unidades de volumen

× 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000 × 1000

kilómetros hectómetros decámetros metros decímetros centímetros milímetros

cúbicos cúbicos cúbicos cúbicos cúbicos cúbicos cúbicos

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000

Tabla de conversiones de las unidades de capacidad

× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

k h da d c m
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10

Además:
1 ≡ 1 dm3
1 k ≡ 1 m3
1 m ≡ 1 cm3

1 Completa las equivalencias. Resolución:

n.° de litros P. compra (S/)
a) 8,24 dam3 ≡ 0,00824 hm3 81 729 –
–
1 x
b) 3600 m ≡ 0,0036 k
1 × 729
x = = S/ 9
c) 7,2 dm3 ≡ 7,2 81
Ganancia = P. Venta – P. Compra
2 Compré 81 dm3
de insecticida a S/ 729. S/ 1 = P. Venta – S/ 9
¿A cuánto debo vender un litro para S/ 10 = P. Venta
ganar S/ 1 por cada litro?
Rpta. Debo vender el litro a S/ 10.
68 sesenta y ocho
 3 Compré unos litros de vino a S/ 195 y los 6 Mariana prepara 0,048 m3 de jugo de
vendí en S/ 193,75, perdiendo S/ 0,25 durazno. Si desea envasar el jugo en
por cada litro. ¿Cuántos litros compré? botellas de 750 m , ¿cuántas botellas
necesitará?
Resolución:

P = P.C. – P.V.
Donde
P : pérdida
P.C. : precio de compra
P.V. : precio de venta

P = S/ 195 – S/ 193,75 Resolución:

P = S/ 1,25 Recuerda que 1 k = 1 m3
Luego: Pérdida (S/) Capacidad ( ) 0,048 m3 ≡ 0,048 k
0,25 1 Convierte a m
+ +
1,25 x 0,048 k × 1 000 000 = 48 000 m
1,25 × 1 Capacidad n.° de botellas
x = =5 750 1
0,25 + +
48 000 x
Rpta. Compré 5 litros.
48 000
x= = 64
750
4 ¿Cuántos centímetros cúbicos tiene un
tonel de 412,25 ? Rpta. Necesitará 64 botellas.

Resolución: 7 Antonio llena una piscina con cinco

1 1000 cm3 cisternas. Si cada cisterna contiene 5,2 m3
412,25 x de agua, ¿cuántos litros de capacidad
tiene la piscina?
x = 412,25 × 1000
Resolución:
x = 412 250 cm3
Recuerda que 1 m3 = 1 k , entonces:
5 Manuel produce 0,36 m3 de vino. Si 5,2 m3 ≡ 5,2 k
desea envasar en botellas de 800 m ,
¿cuántas botellas necesitará? 5,2 k × 1000 = 5200
n.° de cisternas capacidad
1 5200
+ +
5 x
x = 5 × 5200
x = 26 000

Rpta. La piscina tiene 26 000 de capacidad.

Resolución:
Recuerda que 1 m = 1 cm3 8 Un jacuzzi tiene un volumen de 3,06 m3.
¿Cuántos litros de capacidad tiene el
800 m ≡ 800 cm3 jacuzzi?
0,36 m3 × 1 000 000 = 360 000 cm3 Resolución:
Volumen n.° de botellas Convierte a dm3.
800 1
+ + 3,06 m3 × 1000 = 3060 dm3
360 000 x
Aplica 1 = 1 dm3
360 000
x = = 450
800 3060 dm3 ≡ 3060
Rpta. Necesitará 450 botellas. Rpta. El jacuzzi contiene 3060 litros.
Matemática SIGMA 6 - Geometría sesenta y nueve 69
 Practica Nivel
lo aprendido
Pinta el círculo de la alternativa que
Nivel corresponde a la respuesta.

4 Calcula el volumen del cubo si se sabe que

1 Escribe V si la equivalencia es verdadera
el área de una de sus caras mide 16 cm2.
o F si es falsa.

a2 = 16 cm2 V = a3
a = 16 cm2 V = (4 cm)3
A B
C a = 4 cm V = 64 cm3
D a
a

5 litros 2 litros 1 litro 1

litro A 8 cm3 B 27 cm3
2
C 64 cm3 D 81 cm3
a) A = B + C + D F

b) 4D = 2C V 5 Un porongo de chicha de jora alcanza

para llenar 12 botellas de 1700 m cada
c) A + B + C = 3B + 2D F
una. ¿Cuántos litros entran en el porongo?
d) 2B < A V 12 × 1700 = 20 400 ml
20 400 ml a litros
2 Una caja mide 4 cm de ancho, 6 cm 20 400 ÷ 1000 = 20,4 l
de largo y 8 cm de alto. Se quiere llenar
la caja con cubos de 2 cm de arista sin A 17 m B 17
que queden espacios vacíos. ¿Cuántos
cubos se puede colocar en la caja? C 20,4 D 24 c
V1 = 4 × 6 × 8

Entonces:
V1 Nivel
V2
6 ¿Cuántos mililitros hay en 600 c de
8cm 4×6×8
= agua?
23
600 cl a ml
4×6×8 600 × 10 = 6000 ml
= = 24
8 600 cl = 6000 ml

6cm 2cm A 0,6 m B 60,0 m

V2 = 2 × 2 × 2
4cm
C 6,0 m D 6000 m
Rpta. Se puede colocar 24 cajas.
7 El auto A gasta 7,5 litros de gasolina cada
3 Con 5 litros de agua, ¿cuántas botellas 100 km, y otro auto B gasta 8,2 litros cada
1 100 km. Si la distancia de Lima a Ica es
de se pueden llenar?
2
de 325 km, ¿cuánto es la diferencia del
consumo de litros de gasolina del auto B
litros n.° de botellas con respecto al auto A?
1
1
+ 2 +
Consumo de B – Consumo A
5 x
1
8,2 × 325 – 7,5 × 325 = 26,65 – 24,375
x =5 100 100
2 = 2,275
1 x = 10
5 litros litro A 24,375 m B 2,275
2
Rpta. Se pueden llenar 10 botellas. C 26,5 m D 50,875
70 setenta
 Construcciones geométricas
Relaciona
lo que sabes

Observa las construcciones geométricas elaboradas por Sandra y responde.

Con la regla y el compás

se puede construir el
C triángulo (rectángulo,
B
isósceles y equilátero), el
cuadrado, el rombo, las
B B rectas paralelas, etc.
A
P
M
A O A D
Punto medio Bisectriz
de un segmento Mediatriz

a) ¿Te parece sencillo utilizar la regla y el compás en los dibujos?

b) ¿Qué figura puedes elaborar con el compás?

Descubre
y construye

para trazar una recta determinada

Regla
por dos puntos.
s instrumentos
Construccione
se como
necesitan geométricos
geométricas
para trazar una circunferencia a partir
Compás de un punto llamado centro y
una distancia llamada radio.

1 Construye el punto medio de un segmento.

A B A B A B A B

1.° Traza el segmento 2.° Dibuja una 3.° Dibuja una 4.° Une los puntos
AB. circunferencia de circunferencia de intersección
radio AB. de radio BA. cortando el
segmento AB en
dos segmentos de
igual medida.

Matemática SIGMA 6 - Geometría setenta y uno 71

 Practica
2 Observa los pasos para construir la lo aprendido
bisectriz de un ángulo.

1.° Traza dos rayos que coincidan en Nivel

un vértice y con el compás traza el
arco comprendido entre dichos rayos
cortándolos en los puntos 1 y 2. 1 Halla el punto medio del segmento
usando regla y compás.

Utiliza los pasos indicados en la página

anterior.
2

A M B
O
1

2.° Con una abertura cualquiera del

compás, traza un arco desde el punto
1 y con la misma abertura, otro arco
desde el punto 2.
2 Traza la mediatriz de cada segmento
usando el compás y la escuadra.
a) Construye el punto medio y traza
2 2 con una escuadra una recta
perpendicular que pase por O.

O O
1 1
N

O
3.° Dichos arcos se cortan en el punto 3.

3
O
b)

4.° Uniendo el vértice del ángulo con el

punto 3, se obtiene la bisectriz.
P O Q

72 setenta y dos
 Nivel Nivel

Realiza las siguientes construcciones 6 Dibuja un ángulo de 70° y traza su

utilizando solo regla y compás. bisectriz.

3 Dibuja un ángulo recto y traza su bisectriz. Bisectriz

C
Bisectriz B
C
B
A

7 Construye un triángulo rectángulo.

1.° Construye un ángulo recto.
2.° Construye la bisectriz. C

4 Dibuja un ángulo de 100° y traza su A

B M
bisectriz.

Bisectriz
1.° Dibuja dos líneas perpendiculares. (CB⊥BA)
C 2.° Prolonga los segmentos que forman un
ángulo de 90°.
B
3.° Al unir las prolongaciones, se obtiene el tercer
lado del triángulo (AC).

8 Construye un rectángulo.

5 Dibuja dos rectas perpendiculares.

B C
L2

A D

A B L1

L1 ⊥ L2
1.° Traza un segmento y construye las
1.° Traza un segmento AB. perpendiculares de los dos puntos extremos
2.° Construye un arco de radio AB. (A y D).
3.° Construye un arco de radio BA. 2.° Prolonga las medidas de los puntos A y D
4.° Une los puntos de intersección. hasta B y C (que sean iguales).
3.° Completa el rectángulo uniendo BC.

Matemática SIGMA 6 - Geometría setenta y tres 73

 ¡Autoevalúate!

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

1 Tito va todos los días al gimnasio y luego 4 ¿Cuántos minutos hay en 2 horas y
a la juguería. De su casa al gimnasio media?
hay una distancia de 15 dam y entre
1h ≡ 60 minutos
el gimnasio y la juguería hay 200 dm
de distancia. Si retorna a su casa por el 2 h ≡ 120 minutos
mismo camino, ¿cuántos metros recorre
1
diariamente? h ≡ 30 minutos
2

Ida:
casa - gimnasio: 15 dam ≡ 150 m Entonces: 120 + 30 = 150 min
gimnasio - juguería: 200 dm ≡ 20 m

En total de ida y vuelta: 2(150 + 20) ≡ 340 m

A 150 min B 135 min

A 160 m B 280 m C 90 min D 160 min

C 320 m D 340 m
5 La casa de Susana dista 1 km, 4 hm y 6 dam
de su colegio. Cada día Susana recorre esta
2 Convierte a las unidades indicadas.
distancia dos veces. ¿Cuál es la distancia
I. 5,92 cm2 a mm2 592 mm2 en metros que recorre diariamente?

II. 9,5 dam2 a m2 950 m2

1 km + 4 hm + 6 dam
III. 82,3 m2 a dm2 8230 dm2
1000 m + 400 m + 60 m
IV. 27 m2 a cm2 270 000 cm2 1460 m (de ida)

Entonces: Total = 2(1460) = 2920 m

A 59,2 mm2 ; 950 m2 ; 82,30 dm2 ; 2700 cm2

B 592 mm2 ; 95 m2 ; 8,230 dm2 ; 27 000 cm2

A 1480 m B 1840 m
C 592 mm2 ; 950 m2 ; 8230 dm2 ; 270 000 cm2
C 2490 m D 2920 m
D 0,592 mm2 ; 95 m2 ; 0,8230 dm2 ; 270 cm2

6 Un ladrillo pesa 9 hg y otro ladrillo pesa

670 g. ¿Cuánto más pesa el primer
3 Luis ha vivido 480 meses, ¿qué edad ladrillo con respecto al segundo?
tiene?
9 × 100 = 900 g
12 meses ≡ 1 año Entonces: 900 g – 670 g = 230 g

Entonces:
480
= 40
12

A 36 años B 30 años A 150 g B 190 g

C 40 años D 44 años C 200 g D 230 g

74 setenta y cuatro
 ¡Autoevalúate!

7 Julia compró 4,5 kg de arroz, 260 dag de 9 ¿A cuántos mililitros equivalen 3,25 l ?
papas y 1500 g de carne. ¿Cuánto es el
peso total en gramos?

3,25 = 3,25 × 1000 = 3250 m

4,5 kg = 4,5 × 1000 = 4500g
260 dag = 260 × 10 = 2600g
+1500g
8600g

A 1764,5 g B 7600 g A 32,5 m B 3250 m

C 8600 g D 9600 g C 325 m D 32,500 m

8 La capacidad de un tanque es de 10 Dibuja 60° y traza su bisectriz usando

0,52 m3. Si el tanque está lleno hasta regla y compás.
sus tres cuartas partes, ¿cuántos litros le
falta para estar lleno totalmente?
1
Falta para estar lleno: (0,52) = 0,13 m3 = 0,13 k
4
De k a : 0,13 × 1000 = 130

30°
30°

A 1300 B 130

C 13 D 0,13

10. - 9. B 8. B 7. C 6. D 5. D 4. A 3. C 2. C 1. D Claves:

Coevaluación
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

Metacognición
¿Qué y cómo aprendí?
1. ¿Cómo aprendí a resolver situaciones en el sistema de unidades?
2. ¿Qué instrumento(s) geométrico(s) me fueron más fáciles de emplear?¿Por qué?
a) Transportador b) Escuadras c) Compás

Matemática SIGMA 6 - Geometría setenta y cinco 75

 ar avillas
m

3
s
La de la
e t r í a
Geom

Desempeños
• Modela características de los objetos identificados en un problema, con formas tridimensionales
(prismas rectos, cilindros, etc.).
• Emplea estrategias heurísticas, de cálculo y procedimientos de composición y descomposición
para construir formas desde perspectivas y desarrollo de sólidos.
• Elabora afirmaciones sobre las relaciones entre los elementos de las formas geométricas,
propiedades básicas y atributos medibles.

76 setenta y seis
 Un cálculo ingenioso
Cierto día, en uno de sus viajes, le preguntaron
a Thales de Mileto si podía medir la altura de la
majestuosa pirámide de Keops.
Thales reflexionó unos segundos y contestó
que no solo la calcularía sino que la mediría sin
ayuda de ningún instrumento.
Dicho esto, colocó un bastón echado sobre
la arena y en ella marcó la longitud de dicho
bastón. Luego, levantó el bastón y lo apoyó de
forma vertical al suelo y al incio de la marca que
previamente había hecho. Thales esperó a que
la sombra que proyectaba el bastón tuviera la
misma medida que la distancia del bastón hasta
la marca del suelo. Al cabo de unas horas, estas
coincidieron, y muy contento, pudo afirmar
«Ahora ya es muy fácil conocer la altura de la
pirámide».

Para calcularla estableció la relación:

A = C 1.er Teorema de Thales

B D
Como se conocía la longitud de la sombra
(D)y las longitudes del bastón y su sombra (A
y B, respectivamente), solo fue cuestión de
despejar la variable C, logrando calcular que su
altura era 139 metros, aproximadamente.

Rayos solares

C=D× A
B

Altura C
A bastón Altura
pirámide
B
D
Sombra bastón
Sombra pirámide

Responde.
Comprueba a qué hora la sombra mide lo
mismo que el objeto que la proyecta.
Matemática SIGMA 6 - Geometría setenta y siete 77
 Valo
Fe y confianza Enfoque de orientación al bien común
res

leco sa as
ch a lv a vi d
El
Cierto día, la maestra de Roberto les dejó a él y a sus
compañeros una tarea: «Investiguen qué es la fe en Dios».
–¿Qué es la fe en Dios? Me la dejaron de tarea en el colegio –le preguntó Roberto a su
tío cuando llegó a casa.
–¿En verdad quieres saber lo que es la fe en Dios? –respondió su tío con una amplia sonrisa.
–Sí –dijo Roberto.
–Bien, vamos a la playa y te lo enseñaré.
Una vez que llegaron, le entregó un chaleco salvavidas.
–Pero yo no sé nadar –dijo Roberto.
–Lo sé –le dijo el tío–, póntelo de todas maneras.
Y así lo hizo Roberto.
–Ahora, comienza a caminar hacia el mar de espaldas. Llegará un momento en el que sentirás que tus
pies no tocan tierra. Déjate ir y arrójate de espaldas. No te hundirás, ya que el chaleco te hará flotar–.
Roberto estaba aterrado: –No tío, no quiero–.
–¡Hazlo! –le respondió. –Estaré junto a ti para que no temas. Así que tranquilo.
Roberto confió en su tío. Mientras caminaba de espaldas llegó un momento en el que sintió que no tocaba
tierra. Dudó, pero recordó las palabras de su tío.
En un acto de valor, dio el siguiente paso. ¡Ya no tocaba tierra! Sin embargo, flotó en el
mar gracias al chaleco. Se sintió emocionado y feliz ante la experiencia.
Ambos salieron del mar y camino a casa, su tío le explicó:
«En esto consiste la fe en Dios: el mar representa la vida. Yo represento
a Dios y el chaleco representa la fe. Cuando te adentres en el mar
de la vida y sientas que la lógica no puede ayudarte a salir a
flote de tus problemas, hasta perder el piso, debes creer que
el chaleco de la fe te salvará. Dios estará siempre cerca de
ti, pero depende de que te atrevas a dar el primer paso de
confiar en él, vistiéndote el chaleco de la fe y arrojándote
con él, para que puedas flotar en el mar de la vida con
total paz y tranquilidad».
Roberto quedó maravillado con la explicación de su
tío, y su maestra quedó impresionada con la tarea,
tanto así que obtuvo la nota más alta de la clase.

Responde.
1. ¿Es importante tener fe en Dios?¿Por qué?
2. Inventa una historia semejante en la que se pueda
demostrar la fe y cuéntala a tus compañeros.

78 setenta y ocho
 Áreas y perímetros de triángulos
Relaciona
lo que sabes

Juan sembró césped en toda la región señalada.

Determina el perímetro y el área de la superficie
indicada.
Resolución:
50 m
Perímetro = 30 + 40 + 50 = 120 m m
30 m 40
Área = 40 × 30 = 600 m2
2
Rpta. El perímetro mide 120 m y el área es 600 m2.

Descubre
y construye

1 Estudia el proceso para hallar el área del triángulo usando el plano cartesiano.

a) Sea el EFGH trazado en el plano. b) Sea el ABCD trazado en el plano.

• Los vértices son:
• Área = 6 × 4 = 24 u2
E(3; 1) F(3; 5) G(7; 5) H(7; 1)
• La mitad del rectángulo es un
• Área = 4 × 4 = 16 u2 triángulo.
• La mitad del cuadrado es un triángulo. • El área del triángulo DBC es la mitad
del área del rectángulo.
• Nota que el área del triángulo EFH
24 6 × 4
es la mitad del área del cuadrado. Área = = = 12 u2
2 2
16 4 × 4
Área = = = 8 u2
2 2
Y Y
7 7
6 A B
6
5 F G
5
Altura

4 4
3 3
2 2
1 D Base C
1
E H
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

En general:

El área de un triángulo es igual a la mitad del

producto de su base y su altura.
Es decir: b×h
A =
2

Matemática SIGMA 6 - Geometría setenta y nueve 79

2 Calcula el área del triángulo equilátero 4 ¿El área sombreada es la mitad del área
MNL. total? Argumenta tu respuesta.
N
A B

6
cm

cm
6
M L
6 cm
D C
Resolución:
Reemplaza el dato en la fórmula: Resolución:
2
3
A=
4
Al trazar una línea
por el centro
Donde del rectángulo
A: Área se obtienen dos
: lado del triángulo cuadrados.

En el problema:
= 6 cm
1.° Dibuja la línea que divide el
Entonces: 62 3 rectángulo.
A =
4
36 3
A = 4

A = 9 3 cm2

3 Halla el área de cada figura.

2.° Traslada el área elegida.
a)
6×3
3 cm A =
2
A = 9 cm2
6 cm

b) 3.° Observa si es la mitad del área total.

6×4
A =
4 cm 2

A = 12 cm2
6 cm

c)
8×4 Rpta. Al trasladar las figuras se demuestra
A =
2 que el área sombreada es la
4 cm
mitad del área total.
A = 16 cm2
8 cm

80 ochenta
 Practica Nivel
lo aprendido
Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.
Nivel
4 En el paralelogramo ABCD; encuentra
1 Calcula el área del ΔABC. el área de la región sombreada.

4∙4
4×6 B A1 =
2
=8
A =
2 A2 =
5∙4
= 10 B K C
2
A = 12 cm2 A3 =
2∙4
=4
2
6 4 cm

A1 A2 A3
A C D A F E D
4 10 cm 4 cm 5 cm 2 cm
14 cm

AS = 12 cm2 A 22 cm² B 20 cm2

C 18 cm² D 17 cm²
2 Halla el área sombreada, si el área del
rectángulo LMNO es 36 cm2.
5 Calcula el área sombreada.

L M 5 cm
10 ∙ 8
A1 =
2
8 cm
A1 A1 = 40 cm2
O N
M 8 ∙ 10
L P A2 =
A. verde =
A A2 2
2
36 cm2
A2 = 40 cm2
A. verde = = 18 cm2
2 40 + 40 = 80 cm2
O Q N

AS = 18 cm2
A 24 cm² B 34 cm²
C 40 cm² D 80 cm²
3 Determina el área de la región
sombreada.

16 · 8 16 · 6 6 La medida de la base de un cartel

– F triangular es 16 cm. Si su altura es igual
2 2
a las tres cuartas partes de la base,
16 · 4 – 16 · 3
halla el área de dicho cartel.
64 – 48 = 16 8

16 x 12
6 cm 2
E G
16 cm

A 64 cm² B 84 cm²

AS = 16 cm2 C 92 cm² D 96 cm²

Matemática SIGMA 6 - Geometría ochenta y uno 81

7 El perímetro del cuadrado MARI es Nivel
igual a 336 cm. Halla la mitad del área
pintada de rosado. Pinta el círculo de la alternativa que
(MB = BA = AC = CR) corresponde a la respuesta.

M B A 10 La suma de las medidas de la base

y altura de un triángulo es 27 cm. Si la
medida de la base es 3 unidades menos
84 42 que la medida de la altura, encuentra
C
el área de dicho triángulo.
A1 A2

I 42 42 R b=x–3 b + h = 27 12 x 15
A = = 90 cm2
h=x x – 3 + x = 27 2
x = 15
A 3205 cm2
As = A1 + A2
B 1323 cm2 42 × 42 = 2646
As = 42 × 84 +
2 2 A 90 cm² B 75 cm²
C 415 cm2 La mitad: 2646 ÷ 2 = 1323 cm2
C 85 cm² D 72 cm²
D 346 cm2

11 Carlos necesita pintar un trozo de

8 Un jardín con forma de triángulo isósceles
tiene un perímetro de 48 m. Si la medida madera de forma triangular cuya base
de uno de sus lados congruentes es mide 120 cm y su altura mide 60 cm.
18 m, calcula la medida de su lado no Si cada balde de pintura alcanza para
congruente. pintar 400 cm2, ¿cuántos baldes se
necesitan para pintar la madera?

120 × 60
A= = 3600 cm2
P = x + 18 + 18 = 48 2
x = 48 – 36
3600 ÷ 400 = 9
18
18

x = 12 m
x A 2 B 3
C 8 D 9
A 12 m B 14 m
C 15 m D 18 m
12 Saúl necesita cercar un terreno recién
sembrado para protegerlo de los
invasores. Dicho terreno tiene forma
9 La cuarta parte del área total del triangular y las medidas de sus lados son
cuadrado ABCD es 36 cm². Si M y N son números consecutivos. Sabiendo que,
puntos medios, determina el área de la Saúl usará 39 m de materiales, halla la
región verde. medida del lado mayor.

A B x + x + 1 + x + 2 = 39
1
3x + 3 = 39
4
5 A = 4(36) = 144 cm2
N 1 3x = 36
8 3
1 A verde = (144) = 54 x = 12 m
1 8
8 4
C Lado mayor: 12 + 2 = 14
D M

A 54 cm² B 64 cm² A 10 m B 12 m
C 68 cm² D 144 cm² C 14 m D 15 m

82 ochenta y dos
 Áreas y perímetros de cuadriláteros
Relaciona
lo que sabes

Daniel pinta una pared y observa que la medida del

largo y ancho de cada ladrillo es de 16 cm y 7 cm,
respectivamente. ¿Cuánto mide el área de la cara
de un ladrillo?

Descubre
y construye

Área del cuadrado Área del rectángulo Área del romboide

a h
A = ×
A = 2 b
b

A =a×b A =b×h

Área del rombo Área del trapecio Perímetro

b a

a h b b
a ×b
A =
2 a a
b
a +b h 2p = 2a + 2b
A =
2

1 Resolución:
Observa cómo se resuelve la situación
inicial. • Las medidas de las líneas rojas suman
16 cm.
Resolución: • Las medidas de las líneas verdes
16 cm suman 12 cm.
A = 16 cm × 7 cm
7 cm
2p = 16 cm + 16 cm + 12 cm + 12 cm
A = 112 cm2 2p = 56 cm
Rpta. El área de la cara de un ladrillo Rpta. El perímetro mide 56 cm.
mide 112 cm2.
3 Determina el área del cuadrilátero.
2 Halla el perímetro de la figura. 6 cm
Resolución:
4 cm

2 cm
10 cm A = 12 + 6 10
2
6 cm
A = 90 cm2
16 cm 12 cm

Matemática SIGMA 6 - Geometría ochenta y tres 83

4 Kely desea sembrar césped en su jardín 7 En un paralelogramo de 75 cm2, la base
cuya superficie está representada en la mide (x + 2) cm y la altura mide 15 cm.
figura, ¿cuántos metros cuadrados de ¿Cuánto es el valor de la base del
césped necesitará? paralelogramo?
24 m

A = 75 cm2 15 cm

10 m
(x + 2)
8m

Resolución:
8m 8m
15 (x + 2) = 75
Resolución: 15x + 30 = 75
15x = 75 – 30
A = 24 × 10 = 240 m2
15x = 45
A = 82 = 64 m2 x=3

As = 240 – 64 = 176 m2
Luego: x + 2 = 3 + 2 = 5
Rpta. Necesitará 176 m2 de césped.
Rpta. La base mide 5 cm.

5 Si el área de un trapecio es 25 cm2 y

su altura es 5 cm, ¿cuánto suman sus 8 Halla la medida del lado de cada
bases? cuadrado a partir de sus áreas.
Resolución:
a +b a) A = 169 m2 b) A = 625 m2
5 = 25
b 2
a+b 25
=
2 5
5 cm A = 25 cm2
25
a+b= ×2
5
a a +b=5×2 = 169
a + b = 10 cm = 13 m = 625
Rpta. Las bases suman 10 cm. = 25 m

9 Determina el área pintada de celeste.

6 Calcula el perímetro de cada figura.
14 cm
3 cm
12 cm
b 4 cm
12 cm
8 cm

7 cm a
c
15 cm

Resolución: Resolución:
Pa = 2(7) + 2(3) = 14 + 6 = 20 cm As = A – A = (12 × 14) – (8 × 12)
Pb = 2(4) + 2(15 – 3) = 8 + 24 = 32 cm As = 168 – 96
Pc = 2(15 – 3) + 2(7 – 4) = 24 + 6 = 30 cm As = 72 cm2
84 ochenta y cuatro
 Practica 2
lo aprendido El gráfico muestra el área total de una
plaza. ¿Cuánto mide el área cubierta de
pasto, el área que ocupan las flores y la
Nivel del monumento?

100 m
1 Encuentra el perímetro y el área de
A1

45 m
cada figura.
20 m
5m
a) 8 cm

120 m
30 m

10 m
A4 A2
m

10 cm
c
12

45 m
A3
20 cm
40 m 40 m

Perímetro del trapecio Pasto

Flores
2P = 12 + 12 + 8 + 20
Monumento
2P = 24 + 28
2P = 52 cm a) Área del monumento

2P = 52 cm Amonumento = 5 × 10 = 50 m2

Área del trapecio

(20 + 8)10
A=
2
A = 14 × 10 Amonumento = 50 m2
A= 2
140 cm
b) Área que ocupan las flores
b) Aflores = Aroja – Amonumento
Aflores = 600 – 50 = 550 m2
8 cm

cm
16

20 cm

Perímetro del romboide

Apasto = 550 m2

2P = 16 + 16 + 20 + 20
c) Área que ocupa el pasto
2P = 32 + 40
Apasto = Atotal – Aflores – Amonumento
2P = 72 cm Apasto = (120) (100) – 20(30) = 11 400 m2

Área del romboide

A = 20 × 8
Apasto = 11 400 m2
A = 160 cm2

Matemática SIGMA 6 - Geometría ochenta y cinco 85

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Nivel Nivel
3 Calcula el área del trapecio ABCD, si 6 En el gráfico se muestra la región que
PBCD es un romboide de área 24 m2. ocupa el jardín de Enrique. Si la región
A = 6h = 24 h = 4 m verde representa el área sembrada,
¿cuánto mide el área sembrada?
B C

4m 12 m

A P D
5m 6m
A = A + A

8m
A 5 × 4 24 = 34 m2
= +
2
A = 4 × 16
A 15 m2 B 18 m2

C 34 m2 D 39 m2
A 64 m2 B 60 m2

C 36 m2 D 24 m2

4 La cuarta parte del área de un 7 Encuentra el área sombreada si se conoce

cuadrado es igual a 9 cm2. Determina que el perímetro del cuadrado es 48 cm.
el perímetro de dicho cuadrado.

A 6 cm 6 cm
=9 2P = 48 cm
4
A = 36 cm2 6 cm 48
L = 4 =12 cm
L = 6 cm
2P = 4 × 6 = 24 cm
6 cm A = 6 × 12
72 cm2
A 36 cm B 32 cm

C 24 cm D 18 cm
A 78 cm2 B 72 cm2

C 64 cm2 D 60 cm2
5 Si las áreas de las regiones poligonales
son equivalentes, halla el valor de x.

8 Calcula el área de la región sombreada.

8m 10
x
5
18 m
25

x2 = 8 × 18 = 144 350
25

15
150

x = 12 30 15 5
5 225 15
150
25
50
A 12 m B 11 m A 100 u2 B 130 u2

C 10 m D 9m C 400 u2 D 900 u2

86 ochenta y seis
 Áreas de polígonos regulares e irregulares
Relaciona
lo que sabes

Se desea alfombrar una habitación que tiene la forma de

un hexágono regular. El lado del hexágono mide 6 m y su
apotema 4 m. ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra
se necesitará?

Descubre
y construye

Áreas de polígonos regulares Áreas de polígonos irregulares

p × ap P: perímetro Se descompone el polígono en otras figuras

A= ap: apotema como triángulos, rectángulos, trapecios, etc.
2

1 Observa cómo resolver la situación 2 Calcula el área de los polígonos

inicial. regulares.

Resolución:
a) 7 cm
1.a forma

5 cm

ap: apotema = 4 m 6(7) × 5

A = = 105 cm2
2
6m

b) 3 cm
Atotal = 6 veces el área de un triángulo

Atotal = 6 6 × 4 = 6 × 12 = 72 m2
2
4
cm

2.a forma

Perímetro × apotema 8(3) × 4

A = A = = 48 cm2
2 2

A 36 m × 4 m c)
=
2
cm
A 4
= 72 m2
2c
Nota que en ambos casos la respuesta m
6 cm
coincide.
5(4) × 6
Rpta. Se necesitará 72 m2 de alfombra. A = = 60 cm2
2
Matemática SIGMA 6 - Geometría ochenta y siete 87
3 Si el área de cada triángulo es 8 m2, 6 Halla el área total.
¿cuánto mide el área del polígono
regular? Resolución:
3m
AS = A – A
// AS = (6)2 – (3)2
3m AS = 36 – 9
AS = 27 m2
6m

7 En la casa de Daniel hay un jardín que

A = 8(8) = 64 m2 tiene la forma de un hexágono regular.
Encuentra el área que está sembrada
con césped.
4 Determina el área total del polígono
irregular.

cm
C

10
8 cm
7 cm
M
B 4 cm D
N 12 cm
Resolución:
9 cm As = A T – A
6(10) × 7 10 × 7
As = –2×
2 2
A 6 cm E
As = 210 – 70
Resolución:
As = 140 cm2
AT = A BCD + A ABN + A NAED

16 × 8 4×9 12 + 6 8 Si el lado de cada cuadrado mide

AT = + + × 9
2 2 2 2 cm, determina el área sombreada.
AT = 64 + 18 + 81 2 cm

AT = 163 cm2

5 Calcula el área total de la figura.

2 cm

Resolución:
4 cm
8 cm A1
A1 A2
4 cm
A3 A2
// //
10 cm
A3
Resolución:

AT = A + 2(A ) + 2(A ) 1.° Traslada A1.

8×2 1×4 2.° Traslada A3.
AT = + 2(8 × 4) + 2( )
2 2 As = A + A
AT = 8 + 64 + 4 As = (6 × 10) + (8 × 4)
AT = 76 cm2 As = 60 + 32 = 92 cm2
88 ochenta y ocho
 Practica 3 Encuentra el área de cada polígono
lo aprendido
regular.

Nivel a) 24
cm

4 cm
1 Si el área de cada mide 1 m2, calcula
el área de los polígonos.
2
5(24) × 4
a) A=
2
(18 + 6) m2 1

A = 120 × 2 A = 240 cm2

b)
Rpta. 24 m 2

20
cm
8 cm
b)

(4 + 14) m2
4
6(20) × 8
A=
2
1
A = 120 × 4 A = 480 cm2
Rpta. 18 m2

c)
15
cm
2 Si el lado de cada mide 2 cm, halla
el área de la región sombreada.
3 cm

8 × 4 cm2
a) 2 4
8(15) × 3
16 cm2 A=
8 cm 64 cm2
2
8 cm2 1

8 × 2 cm2 A = 60 × 3 A = 180 cm2

8 cm
2

Rpta. 88 cm2
d)
15
cm

b)
6 cm

4 cm2 8 cm2
16 cm2
64 cm2 8 cm

3
8(15) × 6
8 cm 8 cm A=
2
1
Rpta. 92 cm2 A = 120 × 3 A = 360 cm2
Matemática SIGMA 6 - Geometría ochenta y nueve 89
 Nivel Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que
4 Encuentra el área de los polígonos corresponde a la respuesta.
irregulares.
6 El área del siguiente polígono regular es
a) 160 m2 y cada lado mide 8 m. ¿Cuánto

4 cm 5 cm
mide su apotema?
6 cm 6 cm
18 cm
8m
30 cm

18 × 4
AD = = 36 cm2
2
160 = 8 (8) × ap
A = 30 × 5 = 150 cm2 2
320
= ap
64
ATOTAL= 186 cm2 5 = ap

A 4m B 5m

b) 6 cm C 6m D 8m
4 cm

A1 A2
12 cm

9 cm 7 Si el área de un octágono regular es de

A1 = 6 × 4 = 24 252 m2 y su apotema mide 7 m, ¿cuánto
A4 A3
3×4 mide un lado del octágono?
A2 = =6
2
A3 = 9 × 8 = 72 5 cm Medida de lado del octágono: x
8 × 5 20
A4 = =
2
p × ap
Piden: A1 + A2 + A3 + A4 A= 252 = 8x × 7 x =9
2 2
24 + 6 + 72 + 20 = 122 cm2

A 9m B 8m

ATOTAL= 122 cm2 C 7m D 6m

8 El área de un polígono regular es 480 m2,

5 Si el área de cada mide 1 m2, calcula además su apotema mide 12 m y su
el área del polígono. lado mide 16 m. ¿Cómo se llama dicho
polígono?
A = 480
ap = 12 m
: 16 m
n: número de lados

A nonágono

B octógono 12 × 16n
480 =
2
C hexágono 5=n
Rpta. 30 m 2 D pentágono
90 noventa
 Áreas de regiones circulares
Relaciona
lo que sabes

La profesora de Rodrigo le ha pedido que elabore

4 íconos mostrados para señalizar su salón. Si cada
figura debe tener de radio 10 cm, ¿cuántos metros
cuadrados de cartulina se empleará?

Descubre
y construye

m A = p × (4 cm2)
es la superficie limitada por 4c
Círculo la circunferencia.
A = 16p cm2
su área es

A = p × r2
donde: p = 3,14159...
r: radio

1 Observa cómo se resuelve la situación 3 Halla el área sombreada.

inicial.

Resolución: m
8c
Halla el área de una figura.
6 cm

A = p × (10 cm2)

A = 100p cm2 Resolución:

AS = π· (8)2 – π· (6)2
AS = 64π – 36π
Si son cuatro figuras iguales, entonces:
AS = 28π cm2
ATotal = 4(100p cm2)
ATotal = 400p cm2 4 Calcula el valor del área sombreada.

2 Si el área del círculo mide 36π cm2,

6 cm
¿cuánto mide su radio?

Resolución: 6 cm
36π = π· (x)2
m Resolución:
xc
36 = x2
36 = x Entonces:
6=x 3 cm 3 cm
A = p × (3 cm)2
A = 9p cm2
Rpta. Su radio mide 6 cm.
Matemática SIGMA 6 - Geometría noventa y uno 91
 Practica Nivel
lo aprendido
Pinta el círculo de la alternativa que
Nivel corresponde a la respuesta.

1 Calcula el área sombreada, si ABCD es 5 Determina el área sombreada.

un cuadrado.
A
B 7 cm C A=A –
4
2 π. (4)2
A = π × r2 4 cm A=4 –
3,5 cm
4
A = π × 3,52 A = 16 – 4π
7 cm A = 4(4 – π) cm2
A = 12,25π cm2
3,5 cm 4 cm

A D A 8(4 – 2π)cm2 B (4 – π)cm2

A = 12,25π cm2
C 4(4 – π)cm2 D 2(8 – 2π)cm2

2 Halla el área de la región sombreada si 6 Encuentra el área sombreada.

r = 6 cm.
B C A=A –A
2
Traslada las regiones
π × (4)2
sombreadas y forma 4 cm A=4×8–
2
un semicírculo. A = 32 – 8π
A 62 A 4 cm D
A= =π× 4 cm A = 8(4 – π ) cm2
2 2
A = 18π cm2
A 2(π – 4)cm2 B 8(4 – π)cm2
AS = 18π cm2 C 4(2π – 4)cm2 D (8 – 2π)cm2

Nivel 7 ¿Cuál es el área de la parte pintada, si

O es el centro de la semicircunferencia
3 Encuentra el área de la región no de radio 8 cm?
π × (8)2
sombreada. (π = 3,14) A=
4
π × 64 cm2
A=A –A A=
4
A = 62 – π × 32
A = 36 – 9π 8 cm O 8 cm A = 16π cm2
6 cm
A = 36 – 9 (3,14)
A = 36 – 28, 26 A 64π cm2 B 48π cm2
A = 7, 74 C 16π cm2 D 8π cm2
6 cm
ANS = 7, 74 cm2 8 Halla el área sombreada.

A π × (12)2 π × (6)2
4 Determina el área de la zona coloreada. A= –
4 2
144π 36π
A= –
4 2
A = π62 – π42 A = 36π – 18π
6 cm
A = 36π – 16π A = 18π cm2
B C
4 cm A = 20π cm2 6 cm 6 cm

A 48π cm2 B 38π cm2

AS = 20π cm2 C 36π cm2 D 18π cm2

92 noventa y dos
 Poliedros
Relaciona
lo que sabes

Los niños de sexto grado elaboraron maquetas con poliedros.

Responde.
a) ¿Qué poliedros elaboraron los niños?
b) ¿Qué características tienen estos
poliedros?
c) ¿Todo poliedro es un cuerpo
geométrico?
d) ¿Todo cuerpo geométrico es un
poliedro?

Descubre
y construye

Son cuerpos geométricos que tienen

Poliedros caras planas en forma de polígonos.

Prismas Pirámides Poliedros regulares

Todas sus caras son polígonos regulares

tetraedro cubo octaedro

dodecaedro icosaedro

1 En un poliedro la suma del número de caras, vértices y aristas es 48. Calcula el número de
aristas de dicho poliedro.

Resolución: En todo poliedro se cumple la Fórmula de Euler

C + V + A = 48 n.° de caras + n.° de vértices = n.° de aristas + 2

A + 2 + A = 48
2A = 46
A = 23

Rpta. El poliedro tiene 23 aristas.

Matemática SIGMA 6 - Geometría noventa y tres 93

2 Escribe los elementos de cada poliedro. 3 Observa el sólido y determina en cuántos
prismas se pueden descomponer.
a) E

C D

B A
Resolución:
Al trazar líneas imaginarias en este sólido
se observa que hay tres formas de
descomponerlo, en dos y tres prismas,
Vértices A, B, C, D, E respectivamente.
Aristas de la base AB, BC, CD, DA
1.a Forma 2.a Forma
Aristas laterales AE, BE, CE, DE

2
1
B 2 1
b)
A C
E D 3.a Forma

G
F H 1
J I 2
3

Vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J 4 Observa los cubos e indica qué

AB, BC, CD, DE, EA, proyección pertenece a este gráfico si
Aristas de la base se mira desde arriba.
FG, GH, HI, IJ, JF
Aristas laterales AF, BG, CH, DI, EJ

c) B C
A D
F E

N P
M Q
S R

A B

Vértices A, B, C, D, E, F, M, N, P, Q, R, S
AB, BC, CD, DE, EF, FA,
Aristas de la base
MN, NP, PQ, QR, RS, SM
Aristas laterales AM, BN, CP, DQ, ER, FS
C D
94 noventa y cuatro
 Practica 4
lo aprendido Juan forra una caja con forma de
hexaedro. Si una de sus caras mide
36 cm2, ¿cuántos centímetros cuadrados
Nivel
de papel en total empleará para forrar
la caja?
1 Completa la tabla.
36 cm2 × 6 = 216 cm2
n.° de n.° de n.° de
Poliedro
caras vértices aristas
Rpta. Empleará 216 cm2 de papel.
Tetraedro 4 4 6
Hexaedro 6 8 12
5 En un poliedro regular la suma del
Octaedro 8 6 12
número de caras, vértices y aristas es 26.
Dodecaedro 12 20 30 Calcula el número de aristas y escribe el
nombre del poliedro regular, sabiendo
Icosaedro 20 12 30
que el número de caras es menor que el
Usa el teorema de Euler: C + V = A + 2 número de vértices.
C + V + A = 26
2 a + 2 + a = 26
Hay una opción que no presenta el 2a = 26 – 2
desarrollo de un hexaedro (cubo). 2a = 24
n.º de aristas: 12
Identifica cuál es esta opción. a = 24 ÷ 2
Hexaedro
a = 12

Rpta. Tiene 12 aristas. Hexaedro.

A B

Nivel
C D Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.

Nivel 6 ¿En qué poliedro regular se cumple que el

número de aristas y el número de vértices
están en la relación de dos a uno?
3 Relaciona el desarrollo de cada poliedro
regular con su respectivo nombre. aristas 12 2
= =
vértices 6 1

Observa el cuadro de la pregunta 1

A tetraedro B octaedro
C hexaedro D dodecaedro

7 En un poliedro regular el número de

caras y el número de vértices están en
hexaedro icosaedro la relación de 4 a 3, respectivamente.
Si el número de caras, vértices y aristas
suman 26, ¿cómo se llama el poliedro
regular?
C + V + A = 26  C + V + A = 26
a + 2 + a = 26 4k + 3k + 12 = 26
2a = 24 7k = 14
a = 12 k=2
C = 8 V = 6 A = 12

A tetraedro B octaedro
dodecaedro tetraedro C hexaedro D dodecaedro
Matemática SIGMA 6 - Geometría noventa y cinco 95
 ¡Autoevalúate!

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

1 Calcula la altura. 4 Si AB = 14 cm CD = 10 cm, determina

el área del trapecio ABCD cuya altura
mide 4 cm.
D C

h
48 cm2
A B

A = 14 + 10 × 4= 48 cm2
8 cm 2
8×h
48 =
2
A 18 cm2 B 28 cm2
h = 12 cm
C 38 cm2 D 48 cm2

A 12 cm B 13 cm
C 14 cm D 15 cm 5 Si el área de cada mide 1 m2,
encuentra el área del polígono.

2 Se quiere colocar mayólicas a una

porción de una pared que tiene forma
triangular, cuya base mide 8 m y su
altura 3 m. Si cada mayólica cubre 3 m2,
¿cuántas mayólicas se necesitan?

8×3 A 15 m2 B 20 m2
= 12
2
12 ÷ 3 = 4 C 18 m2 D 24 m2

A 2 B 3
C 4 D 6 6 Calcula el área de los polígonos
regulares.

I.
14

3 Halla el área de la figura. 14 × 6 × 6

A =
cm

2
6 cm

10 A = 252 cm2
cm
8 cm

12
14 cm cm
II. 12 × 5 × 9
A =
2
9 cm

A = 270 cm2
A = 14 × 8 = 14 × 4 = 56 cm2
2
A 252 cm2; 270 cm2
B 126 cm2; 280 cm2
A 52 cm2 B 70 cm2 C 252 cm2; 190 cm2
C 56 cm2 D 42 cm2 D 240 cm2; 320 cm2

96 noventa y seis
 ¡Autoevalúate!

7 Si el área del círculo mide 144π cm2, 9 Determina el área de la zona coloreada.
¿cuánto mide su radio?

A = π . r2 π82 – π52
r m
144π = π r2 8c 64π – 25π
144 = r2 5 cm
39π
√144 = r
12 cm = r

A 12 cm B 72 cm A 9π cm2 B 19π cm2

C 12π cm D 72π cm C 29π cm2 D 39π cm2

8 Halla el área de la región sombreada. 10 Encuentra el área sombreada, si el lado

del cuadrado es 6 cm.
π . r2
B C B C AS = 4
A=A –A π . 62
AS = 4
A = 82 – π × 42
8 cm AS = 9π cm2
A = 64 – 16π
A = 16 × 4 – 16π
A = 16(4 – π ) cm2
A A D
8 cm D

A 4(p – 4)cm2 B 16(4 – p)cm2 A 9π cm2 B 18π cm2

C 8(2p – 1)cm2 D (4p – 8)cm2 C 36π cm2 D 27π cm2

10. A 9. D 8. B 7. A 6. A 5. C 4. D 3. C 2. C 1. A Claves:

Coevaluación
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a calcular el área de regiones planas?

a) Aplicando fórmulas. b) Trasladando figuras.
2. ¿Cómo aprendí a reconocer poliedros?

Matemática SIGMA 6 - Geometría noventa y siete 97

 Prismas
Relaciona
lo que sabes
Horno
microondas

En nuestro entorno encontramos

prismas como los de las imágenes,
¿qué otros objetos con forma de
prisma conoces?

Cocina

Cajones

Refrigeradora

Descubre
y construye

Prisma Donde
AT : Área total
poliedro que tiene dos caras AL = Pb × h
Ab : Área de la base
paralelas e iguales llamadas es un se AT = AL + 2 × Ab AL : Área lateral
bases y caras laterales en cumple
V = Ab × h Pb : Perímetro de la base
forma de paralelogramos.
h : Altura
V : Volumen
elementos
se clasifica en

Prismas regulares Prismas irregulares

Vértice

Arista
lateral Altura

Cara lateral
Arista de
Base Son los prismas cuyas bases Son los prismas cuyas bases
la base
son polígonos regulares. son polígonos irregulares.

El cubo es un prisma que El paralelepípedo es un

tiene sus tres medidas (largo, prisma cuyas caras son
ancho y altura) iguales. paralelogramos.

d
c

a b

98 noventa y ocho
 1 Calcula el volumen del prisma rectangular. 4 Una piscina tiene la forma de un prisma
rectangular con base de dimensiones
12 m y 18 m, respectivamente. Si la
5 cm profundidad de la piscina mide 2 m,
¿cuánto es su volumen?
7 cm
Resolución:
9 cm
V = Ab × h
Resolución: V = (12 × 18) × 2
V = Ab × h V = 216 × 2
V = (9 × 7) × 5 V = 432 m3
V = 63 × 5
Rpta. Su volumen es 432 m3.
V = 315 cm3

5 Determina el área total del prisma

2 Si el área de la base de un cubo es 36 cm2,
pentagonal regular, si el apotema de su
encuentra el valor de su volumen.
base mide 3 cm.

x 12 cm
x

Resolución:
x2 = 36
x = 6 cm 4 cm

V = (x)3 Resolución:
V = (6)3
1.° Calcula el área lateral.
V = 216 cm3
AL = Pb × h

3 Si el volumen del prisma es 784 cm3, halla AL = 4 × 5 × 12

el perímetro de la base. AL = 20 × 12
AL = 240 cm2

14
2.° Halla el área de la base.
Pb × ap
Ab =
x 2
4×5×3
7 Ab =
2
Resolución: Ab = 30 cm2
(7x) . 14 = 784
98x = 784 3.° Reemplaza.
x = 784 ÷ 98
AT = AL + 2 × Ab
x = 8 cm

Se pide el perímetro de la base: AT = 240 + 2 × 30

Pb = 7 + 7 + 8 + 8 = 30 cm AT = 240 + 60
Rpta. El perímetro mide 30 cm. AT = 300 cm2
Matemática SIGMA 6 - Geometría noventa y nueve 99
 Practica e) Prisma irregular
lo aprendido

Nivel

1 Busca las imágenes en la página de

adhesivos y pega en el lugar que
corresponde.

a) Prisma triangular
2 ¿Qué prisma puedo formar con esta
plantilla?

b) Prisma hexagonal

A B C D

3 Completa la siguiente tabla.

Prisma Prisma Prisma

Nombre
hexagonal cuadrangular triangular
c) Prisma cuadrangular
n.° de caras 8 6 5
n.° de vértices 12 8 6
n.° de aristas 18 12 9

4 Halla el área lateral de un prisma

cuadrangular regular, si la arista de la
base mide 6 cm y la altura 16 cm.

d) Prisma pentagonal 6 cm

16 cm AL = Pb × h
AL = 6 cm × 4 × 16 cm
AL = 384 cm2

6 cm

AL = 384 cm2
100 cien
 5 Determina el volumen de la siguiente 8 Calcula el área total del siguiente prisma.
caja, si su altura mide 15 cm.

AT = AL + 2 × Ab
AL = 4 cm × 4 cm × 3
AL = 48 cm2
3 cm × 4 cm = 6 cm2
Ab =
2
4 cm
4c
m
cm 3c
m
40 AT = 48 cm2 + 2 × 6 cm2
AT = 48 cm2 + 12 cm2 = 60 cm2
25 c V = Ab × h
m 5 cm
V = 40 cm × 25 cm × 15 cm
V = 15 000 cm3
3
V = 15 000 cm
Rpta. 60 cm2

Nivel 9 Si el área de dos de las caras de un

prisma miden 8 cm2 y 25 cm2, ¿cuál es el
6 área total de la figura?
Para decorar una caja, Pedro pegó en
todos sus bordes una cinta azul. Observa
las medidas de la caja e indica qué A = 8 cm2
longitud de cinta utilizó para decorarla. AT = 25 cm2 × 4 + 8 cm2 × 2
AT = 100 cm2 + 16 cm2
AT = 116 cm2

A = 25 cm2
8 cm

24 cm × 4 + 6 cm × 4 + 8 cm × 4
96 cm + 24 cm + 32 cm
152 cm
cm
24

6 cm Rpta. El área total es 116 cm2.

Rpta. Necesitó 152 cm.

10 Las dimensiones de una barra de oro
en forma de paralelepípedo son 4 cm,
7 ¿Cuánto papel se necesita para forrar 6 cm y 12 cm. ¿Cuántas de estas barras
media docena de cajas en forma como máximo se pueden colocar en
de prisma pentagonal regular cuyas una caja en forma de cubo cuya arista
dimensiones se muestran en la siguiente mide 12 cm?
figura?
AT = AL + 2 × Ab
AL = 20 cm × 30 cm × 5
14 cm AL = 3000 cm2

20 cm × 5 × 14 cm
Ab =
30 cm 2
Ab = 700 cm2

AT = 3000 cm2 + 2 × 700 cm2

AT = 4400 cm2 Barra de oro: 4 x 6 x 12 = 288 cm3
Caja: 123 = 1728
6 × 4400 = 26 400 cm2
20 cm 123 ÷ (4 × 6 × 12) = 6

Rpta. Se necesita 26 400 cm2. Rpta. Se pueden colocar 6 barras.

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento uno 101
11 Las dimensiones de un depósito de 14 Observa las cajas A y B, utilizadas para
agua son 1,2 m de largo, 85 cm de guardar alimentos.
ancho y 100 cm de altura. Calcula su
V = 20 × 40 × 20 = 16 000 cm3
volumen.
100 cm
85 20 cm
cm A
m
1,2 20 c m
Al expresar en metros se m 40 c
tiene:
1,2 × 0,85 × 1 = 1,02
V = 20 × 20 × 20 = 8000 cm3
Rpta. Su volumen es 1,02 m3.

Nivel 20 cm
Pinta el círculo de la alternativa que B
corresponde a la respuesta.
20
cm cm
20
12 Mauricio va a forrar una caja con
papel de regalo. ¿Cuántos centímetros
cuadrados necesitará si la caja tiene
forma de un prisma hexagonal? ¿Cuál de las siguientes afirmaciones,
respecto al espacio ocupado por las
A = 102 cm2 cajas A y B, es correcta?

A Dos cajas tipo A ocupan el mismo

espacio que tres cajas tipo B.

A = 124 cm2 B La caja B ocupa el doble de

espacio utilizado por la caja A.
AT = 102 cm2 × 6 + 124 cm2 × 2
AT = 612 cm2 + 248 cm2
C La caja A ocupa el doble de
AT = 860 cm2
espacio utilizado por la caja B.
A 860 cm2 B 720 cm2
D Dos cajas tipo B ocupan el mismo
C 880 cm2 D 640 cm2 espacio que tres cajas tipo A.

13 ¿Cuál de las siguientes expresiones no es

verdadera acerca del paralelepípedo? 15 Determina el volumen del siguiente
F paralelepípedo.
G
B
C
E
H 8m
A D

A Las medidas de las áreas de los 10 m 5m

rectángulos ABCD y EFGH son
iguales. V = (5 × 10) × 8
A 200 m3 V = 50 × 8
B Los segmentos AE y DH son de V = 400 m3
igual medida. B 400 m3
C Todas sus caras son iguales.
C 600 m3
D Sus caras opuestas tienen la
D 700 m3
misma superficie.
102 ciento dos
 Pirámides
Relaciona
lo que sabes

Los antiguos egipcios edificaron las

pirámides hace más de 4500 años
para enterrar a sus gobernantes y
protegerlos en el más allá.
Hay más de 80 pirámides en Egipto y
las más conservadas son las de Guiza
(Keops, Kefrén y Micerino).
Pirámide Kefrén
Otras civilizaciones las tomaron como
modelo, e incluso, hoy en día se
realizan construcciones en base a esta
figura.
n Itzá
Chiché Responde a partir de las imágenes.
¿En qué objetos o lugares encontramos
pirámides?
Pirámide de Francia

Descubre
y construye

Es un poliedro que tiene una sola base en Elementos

forma de polígono y cuyas caras laterales
son triángulos que coinciden en un punto
llamado vértice. Arista lateral Vértice

Altura
Pirámide
Se cumple: Apotema
Donde
Pb × ap Cara
AT: Área total
AL = lateral
2 Ab: Área de la base
AL: Área lateral
AT = AL + Ab Pb: Perímetro de la base Base
h: Altura Arista de la base
1
V= A ×h ap: Apotema
3 b
V: Volumen

1 Calcula el área lateral de la pirámide cuadrangular.

Pb × ap
14 cm AL =
2
(8 × 4) × 14
AL =
2
AL = 32 × 7
AL = 224 cm2
8 cm

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento tres 103

2 Halla el volumen de la pirámide regular 5 ¿Cuál es el área total de la pirámide
sabiendo que el área de su base mide cuadrangular cuya apotema mide 9 cm?
36 cm2.
8 cm Resolución:
AT = AL + Ab

AT = (4 × 4) × 9 + (4)2
2
Resolución: 4 cm AT = 72 + 16

1 AT = 88 cm2
V = × Ab × h
3
1 6 Calcula el área total de la pirámide.
V = × 36 × 8
3
V = 96 cm3 ap = 11,25 cm

Resolución:
3 Determina el área lateral de la pirámide
AT = AL + Ab
hexagonal regular.
(6 × 4) × 11,25
+ (6)2

m
24 cm AT =
2

6c
6 cm
AT = 135 + 36
AT = 171 cm2

12 cm 7 Encuentra el área total y el volumen de

Resolución: una vela piramidal cuadrangular, si la
Pb × ap arista de su base es 14 cm y su apotema
AL = mide 23 cm.
2
(12 × 6) × 24
AL = 2

AL = 864 cm2 9 cm

4 La arista de la base de una pirámide

hexagonal regular mide 9 cm. Si el 14
cm cm
apotema de la pirámide mide 13,5 cm, 14
¿cuánto mide su área lateral?
Resolución:
Resolución: 1
AT = AL + Ab V = × Ab × h
3
Pb × ap (14 × 4) × 23
AL = AT = + (14)2 1
2 2 V = × (14)2 × 9
3
3 AT = 644 + 196
6(9) × 13,5 V = 588 cm3
AL =
2 AT = 840 cm2
1

AL = 364,5 cm2 Rpta. El área total es 840 cm2 y el

volumen es 588 cm3.
104 ciento cuatro
 Practica
lo aprendido

Nivel
1 Completa la tabla.

Nombre n.° de caras n.° de vértices n.° de aristas

Pirámide triangular 4 4 6
Pirámide cuadrangular 5 5 8
Pirámide pentagonal 6 6 10
Pirámide hexagonal 7 7 12

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

2 Identifica qué alternativa señala el 4 La arista de la base de una pirámide

desarrollo plano con el que se puede cuadrangular es la mitad de la altura de
construir una pirámide cuadrangular. la pirámide. Si la altura mide 16 cm y el
apotema 18 cm; halla el área lateral de
la pirámide.
A
E
18 cm
P × ap
16 cm AL = b
2
32 cm × 18 cm
B
C AL =
D 2
AL = 288 cm2
B
8 cm
A

A 240 cm2 B 288 cm2

C
C 172 cm2 D 160 cm2

5 Construye la pirámide del anexo.

Identifica sus elementos y comprueba
que se cumple la fórmula de Euler.
D
Dibuja el sólido que elaboraste.

3 Si una pirámide está formada por

cuatro triángulos equiláteros, ¿cuál es
su nombre?
D

A cuatropirámide C C+V=A+2
B
B tetraedro 5+5 =8+2
A 10 = 10
C pirámide cuadrangular
D bicaedro ∴Se cumple la fórmula de Euler.

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cinco 105

 Nivel 9 La altura de una pirámide hexagonal es
12 cm. Si el volumen es igual a 222,4 cm3,
6 Halla el área lateral y el área de la base ¿cuánto mide el área de la base de dicha
de la siguiente pirámide hexagonal pirámide?
regular.

P × ap 1
AL = b V= × Ab × h
9 cm 2 3
6 cm × 6 × 9 cm 1
AL = 222,4 cm3 = A × 12 cm
2 3 b
AL = 162 cm2 222,4 = 4 Ab
6 cm × 6 × 5 cm 55,6 = Ab
Ab =
2 Ab = 55,6 cm2
Ab = 90 cm2
6 cm
5 cm

AL = 162 cm2 ; Ab = 90 cm2 Ab = 55,6 cm2

10 La arista de la base de una pirámide

7 Calcula el volumen de la pirámide cuadrangular es la mitad de la altura
hexagonal regular si el apotema de su de la pirámide. Si la altura mide 32 cm
base mide 6,8 cm. y el apotema 36 cm; determina el área
lateral de la pirámide.
8 cm × 6 × 6,8 cm
Ab =
2 E
Ab = 163,2 cm2 36
10 cm
P × ap
1 AL = b
V= × Ab × h 32 2
3 64 × 36
1 C AL =
V= × 163,2 × 10 D 2
3
AL = 1152 cm2
V = 544 cm3 B
8 cm A
16

V = 544 cm3
AL = 1152 cm2

8 La arista de la base de una pirámide 11 El perímetro de la base de una pirámide

hexagonal regular es 9 cm. Si el
cuadrangular es 28 cm. Si el apotema
apotema de la pirámide mide
mide 14 cm, ¿cuánto mide el área
13,5  cm, ¿cuánto mide el área lateral
lateral de dicha pirámide?
de la pirámide?

E
P × ap 14 cm P × ap
AL = b 2 AL = b 2
9 cm × 6 × 13,5 cm 28 cm × 14 cm
AL = AL =
2 2
AL = 364,5 cm2 C
D AL = 196 cm2

B
A

AL = 364,5 cm2 AL = 196 cm2

106 ciento seis
 Nivel 14 El volumen de una pirámide
cuadrangular es de 288 cm3. Si la altura
Pinta el círculo de la alternativa que mide 24 cm, ¿cuánto mide la arista de
corresponde a la respuesta. su base?

12 Encuentra el área total de una pirámide

de 10 cm de apotema, si su base
es un pentágono regular cuyo lado 24 cm
y apotema miden 12 cm y 8,9 cm,
respectivamente.

Ap = 10 cm

Sea x: arista
Ab × h
A 6 cm V=
3
AT = AL + Ab (x cm)2 × 24 cm
288 cm3 =
AT = 300 cm2 + 267 cm2 B 12 cm 3
AT = 567 cm2 Pb x ap
AT = 288 cm3 = x2 × 8 cm3
2
C 24 cm 288 ÷ 8 = x2
60 cm x 10 cm 36 = x2
AL =
A 266 cm2 2 36 = x
D 36 cm
AL = 300 cm2 6=x
B 267 cm2
12 cm × 5 x 8,9 cm
Ab =
2
C 567 cm2
Ab = 267 cm2 15 El área lateral de una pirámide
D 667 cm2 pentagonal regular mide 210 cm2. Si el
apotema mide 12 cm, ¿cuánto mide la
arista de su base?

13 El perímetro de la base de una pirámide

cuadrangular mide 40 cm. Si su altura
mide 7 cm más que el apotema de 12 cm
su base, ¿cuánto mide el volumen de
dicha pirámide?
12 cm
5 cm

10 cm

P × ap
A 6 cm AL = b
A 200 cm3 h = 5 cm + 7 cm = 12 cm 2
A ×h 5x cm × 12 cm
V = b3 210 cm2 =
2
B 250 cm3 (10 cm)2 × 12 cm B 7 cm 60 × cm2
V= 210 cm = 2
3 2
C 365 cm3 V = 400 cm3 C 8 cm 210 = 30x
210 ÷ 30 = x
D 400 cm3 7=x
D 10 cm

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento siete 107

16 La altura de una pirámide hexagonal 18 La altura de una pirámide cuadrangular
regular es el cuádruple de la arista de mide 10 cm. Si la arista de su base
su base. Si el perímetro y el apotema mide 12 cm, ¿cuánto es el valor de su
de la base miden 48 cm y 6,8 cm, volumen?
respectivamente; ¿cuánto mide el
volumen de dicha pirámide?

Ab × h
V=
3
12 × 12 × 10
V=
3
8 cm V = 4 × 120
V = 480 cm3
P = 48
6a = 48
a=8
A 2407,8 cm3 h = 4 (8) A 240 cm3
h = 32
48 × 6,8 32
V =
B 1804,6 cm3 2
V = 1740,8 cm3
3 B 360 cm3

C 4180,7 cm3 C 480 cm3

D 1740,8 cm3 D 660 cm3

17 La altura de una pirámide pentagonal 19 El área de la base de una pirámide

regular mide 6 cm y su apotema mide regular es 45 cm2. ¿Cuánto es el valor
10 cm. Si la arista de su base mide de su volumen si se sabe que su altura
4,7 cm, ¿cuánto mide su volumen? mide 9 cm?

10 cm

Ab × h
8 V=
3
45 × 9
V=
3
V = 15 × 9
V = 135 cm3
Pitágoras
102 = 62 + x2
A 640 cm3 x = 8 apotema de la
A 135 cm3
6 10 base
B 376 cm3 4,7 × 5 × 8 6 B 175 cm3
V =
2 3
x
C 188 cm3 V = 188 cm 3
C 255 cm3

D 81cm3 D 405 cm3

108 ciento ocho

 Cuerpos redondos
Relaciona
lo que sabes

Las imágenes muestran distintas formas geométricas que existen en el mundo. Menciona los
nombres de los cuerpos redondos que observas.

Edificio Cuatro Cilindros Monumento al balón Cerro Masatrigo

(Alemania) (Ucrania) (España)

Descubre
y construye
sólidos geométricos
dos
Cuerpos redon son
que tienen superficies
laterales curvas.
pueden ser

Cilindro Cono Esfera

Sólido con una superficie Sólido que tiene un solo Superficie curva cerrada
curva y dos bases circulares vértice y dos superficies, cuyos puntos equidistan
planas y paralelas. una de ellas plana circular del centro.
y la otra curva.

Eje de giro Eje de giro

Eje de giro
Vértice Superficie
Base circular lateral
curva
Altura
triz

Superficie
Generatriz

lateral
ner

Altura
curva
Ge

Radio Superficie lateral Radio Base circular Radio

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento nueve 109

 Área y volumen

Cilindro Cono Esfera

g
r
h h

r r

Área lateral Área lateral Área de la superficie

AL = 2π × r × h AL = π × r × g de la esfera

Área total A = 4π × r2
Área total
AT = π × r × (g + r)
AT = 2π × r × (h + r) Volumen
Volumen 4π × r3
Volumen V=
π r2 h
V = π × r2 × h V= × × 3
3
Donde
Generatriz (g)
Donde A: Área de la esfera
g2 = r2 + h2 V: Volumen
AT : Área total
Donde r : Radio
AL : Área lateral
AT: Área total
h : Altura
AL: Área lateral
r : Radio h : Altura
r : Radio
g : Generatriz

1 Un recipiente tiene forma de cilindro. Si su radio y altura miden 6 cm y 12 cm,

respectivamente; calcula las cantidades indicadas.

a) Área total b) Volumen

Resolución: Resolución:
AT = 2π × r × (h + r) V = π × r2 × h
AT = 2π × 6 cm × (12 cm + 6 cm) V = π × (6 cm)2 × 12 cm
AT = 2π × 6 cm × 18 cm V = 432π cm3
AT = 216π cm2

2 Halla el volumen del cono.

Resolución:
π × r2 × h
V=
18 cm

3
π × (9 cm)2 × 18 cm V = 486π cm3
9 cm V=
3

110 ciento diez

 3 Determina el área de una pelota de baloncesto cuyo radio mide 15 cm.

Resolución:
A = 4π × r2
A = 4π × (15 cm)2
A = 900π cm2

4 La generatriz de un cono mide 15 cm y el radio de su base mide 9 cm. Encuentra el área total.

Resolución:
AT = π × r × (g + r)
15 cm AT = π × 9 cm × (15 cm + 9 cm)
AT = 216π cm2
Rpta. El área total del cono es 216π cm2.
9 cm

5 Calcula el área total del cono.

Resolución:
1.° Calcula el valor de la generatriz
usando el teorema de Pitágoras.
g2 = r2 + h2
g2 = 52 + 122 = 169
12 cm g g = 13 cm

2.° Halla el área total del cono.

AT = π × r × (g + r)
5 cm
AT = π × (5) × (13 + 5)
AT = 90π cm2

6 ¿Qué volumen tiene el depósito?

Resolución:
V = π × r2 × h
30 cm
V = π × (6)2 × 30
V = π × 36 × 30
V = 1080π cm3

6 cm

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento once 111

7 Halla el área lateral del cilindro. 10 El diámetro de la base de un cono es
6 cm. Si la altura del cono es 5 cm,
¿cuánto mide el volumen del cono?

4 cm

5 cm

2 cm

Resolución: 6 cm
AL = 2π × r × h
AL = 2π × 2 × 4 Resolución:
AL = 16π cm2
π × r2 × h
V=
3
π × (3)2 × 5
8 Determina el volumen de un cilindro V=
cuya altura mide 5 cm y su base tiene 3
4 cm de radio.
V = 15 cm3
Resolución:

V = π × r2 × h 11 Calcula el volumen de la lata, sabiendo

que su altura mide 12,25 cm y que el
V = π × (4)2 × 5 diámetro de su base mide 8 cm.
V = π × 16 × 5
V = 80 π cm3

9 Encuentra el volumen de una pelota

de fútbol cuyo radio mide 6 cm.

Resolución:

V = π × r2 × h
Se sabe que d = 2r (d: diámetro)
Entonces: 8 = 2r
4=r
Resolución:
Luego:
4π × r3 V = π × (4)2 × 12,25
V=
3
V = π × 16 × 12,25
4π × (6)3
V= V = 196 π cm3
3

V = 288π cm3

112 ciento doce

 Practica
lo aprendido
Nivel
1 Encierra la figura que corresponde al desarrollo de un cilindro.

2 Relaciona cada figura plana con el cuerpo geométrico que se genera al girar dicha figura.

3 Identifica tres cuerpos redondos en la 4 Encierra los objetos que tengan

imagen. Luego, describe qué forma forma de esfera.
tienen.

1. El pino tiene forma de cono.

2. El tronco de árbol de la banca tiene forma de cilindro.

3. El foco de luz de la casa tiene forma de esfera.

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento trece 113

 5 Clasifica los objetos en cilindros, conos o esferas.

cilindro esfera cono esfera cilindro

6 Forma el nombre de un cuerpo redondo 9 Halla el volumen del cilindro.

con estas letras.

N O L C I I R D
V = π r2 × h
V = π × (3 cm2) × 15 cm

15 cm
CILINDRO V = π × 9 cm2 × 15 cm
V = π × 135 cm3
7 Observa la siguiente imagen e indica V = 135π cm3
cuántos cuerpos redondos hay.
3 cm

10 Calcula el volumen del cono.

× r2 × h
V= 3
π × (9 cm)2 × 18 cm
V= 3
π × 81 cm2 × 18 cm
18 cm

V= 3
π × 1458 cm3
V= 3
Hay 3 cuerpos redondos. 9 cm

V = π × 486 cm3
8 Encuentra el nombre de los tres cuerpos V= 486π cm3
redondos en la siguiente sopa de letras.

11 Determina el área de la esfera.

U P L I S M A C
C I L I N D R O
M X V O T J U N
A = 4π × r2
T E S F E R A O
P I R A M I D E A = 4π × (16 cm)2
16 cm
O M E L N O I R A = 4π × 256 cm2
L P R I S M A A A = 1024π cm2
I U V P C U B O

114 ciento catorce

 Nivel 13 La figura muestra cómo gira un triángulo
rectángulo. Halla el volumen del cuerpo
redondo que se forma.
12 Encuentra el área lateral de cada cono.

20
16
a) 12
2
16 cm V= π×r ×h
45 cm 3
2
AL = π × r × g V = π × 12 × 16
3
AL = π × 40 cm × 45 cm 12 cm
V = 768 π cm3
AL = 1800π cm2
40 cm

14 Determina el volumen del gorro, si el

radio de su base mide 8 cm.

b) π × r2 × h
V= 3
50 cm 18 cm π × (8 cm)2 × 18 cm
V= 3
AL = π × r × g
V = 384π cm3
AL = π × 30 cm × 50 cm
AL = 1500π cm2
30 cm

15 Si el cono tiene un radio igual a 12 cm.

Halla el área total en cada caso.

a)
c)
24 cm
AT = π × r × (g + r)
AT = π × 12 × (24 + 12)
31 cm
AL = π × r × g AT = 432 π cm2
AL = π × 15 cm × 31 cm
AL = 465π cm2
15 cm

b)
13 cm AT = π × r × (g + r)
AT = π × 12 × (13 + 12)
AT = 300π cm2
d)

10 cm c)
AL = π × r × g
AL = π × 8 cm × 10 cm
20 cm AT = π × r × (g + r)
AL = 80π cm2
8 cm
AT = π × 12 × (20 + 12)
12 cm AT = 384π cm2

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento quince 115

 Nivel 19 Calcula el volumen del papel higiénico
Pinta el círculo de la alternativa que que hay en el siguiente rollo.
corresponde a la respuesta.
10 cm
16 El diámetro de un cilindro es igual a
3
12 cm. Si su altura es igual a del diámetro, 2 cm

9,5 cm
2
¿cuál es el área lateral?

h = 3 (12) = 18 cm AL = 2π × r × h
2 AL = 2π × 6 × 18 = 216π Vcilindro mayor – Vcilindro menor
π × r2 × h – π × r2 × h
π × 52 × 9,5 – π × 12 × 9,5
A 216π cm² B 228π cm²
237,5π – 9,5 π
C 230π cm² D 248π cm² 228π cm3

17 En la figura, halla el volumen del cilindro A 76π cm3 B 85,5π cm3

que está dentro del cubo.
C 218π cm3 D 228π cm3

10 cm 20 Si el radio de un cilindro mide 4 m y

su altura mide el doble que el radio;
¿cuánto mide el área total de dicho
cilindro?
r = 4 h = 8
20 cm AT = 2π × r × (h + r)
AT = 2π × 4 × (8 + 4)
V = π ⋅ r2 ⋅ h AT = 2π × 4 × 12 = 96π
V = π ⋅ 100 ⋅ 20 = 2000π cm3
A 2000π cm³ A 95π m²
B 96π m²
B 2300π cm³
C 97π m²
C 2500π cm³
D 98π m²
D 4500π cm³

21 En la figura, determina el área total del

18 Una pileta con forma de un cilindro tiene un cilindro.
radio de 4 m y su altura es 1,5 m. ¿Cuánto
5 cm
es la capacidad de dicha pileta?

16 cm
V = π ⋅ r2 ⋅ h
V = π ⋅ 42 ⋅ (1, 5)
V = 24π

A 195π cm²
r = 5 h = 16
B 200π cm² AT = 2π × r × (h + r)
A 20π m³ B 22π m³ C 205π cm AT = 2π × 5 × (16 + 5)
AT = 2π × 5 × 21 = 210π cm2
C 23π m³ D 24π m³ D 210π cm²

116 ciento dieciséis

22 Un recipiente de forma esférica tiene 25 Calcula el área de la superficie esférica
un radio de 9 cm, ¿cuánta agua es de una bola navideña de radio igual a
necesaria para llenarlo completamente? 2,5 cm.

A = 4π × r2

4 A = 4π × (2,5 cm)2
V = π × r3 A = 25π cm2
3
4
V= π × (9 cm)3
3
V = 972π cm3

A 1024π cm3 B 512π cm3 A 50π cm3 B 25π cm3

C 972π cm3 D 896π cm3 C 20π cm3 D 45π cm3

23 Encuentra el volumen de una esfera de 26 Si el área de una esfera es 100π cm2,

12 cm de diámetro. ¿cuánto mide su diámetro?

A = 4 π × r2
4
V = π × r3
3 100 π cm2 = 4π × r2
4 25 = r2
V= π × (6 cm)3 r
3
V = 288π cm3 25 = r
5 cm = r
12 cm
diámetro: 5 cm × 2 = 10 cm

A 196π cm3 B 144π cm3 A 10 cm B 12 cm

C 250π cm3 D 288π cm3 C 15 cm D 18 cm

24 Halla el área de la esfera sabiendo que 27 Si el volumen de una pelota de vóley es

AO + BO = 14 cm. igual a 2304π cm3, ¿cuál es el valor de
su radio?

AO + BO = 14
r + r = 14 4
B V = π × r3
2r = 14 3
r = 7 4π
2304π cm3 = × r3
3
O A A = 4π r2
A = 4π × (7 cm)2 1728 = r3
3
A = 4π × 49 cm2 1728 = r3
A = 196π cm2
12 cm = r

A 144π cm3 B 178π cm3 A 12 cm B 16 cm

C 158π cm3 D 196π cm3 C 20 cm D 24 cm

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento diecisiete 117
 ¡Autoevalúate!

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

1 Calcula el volumen de un paralelepípedo 4 Halla el perímetro de la base de un cubo

si sus dimensiones son 8 cm, 6 cm y 5 cm. cuyo volumen es 512 cm3.

5cm
l V = l 3 = 512 cm3
6cm l 3 = 8 cm
8cm
V = (8 × 6) × 5 Perímetro
V = 48 × 5
V = 240 cm3 8 cm P = 4(8) = 32 cm

A 360 cm3 B 120 cm3 A 32 cm B 43 cm

C 180 cm3 D 240 cm3 C 27 cm D 24 cm

2 Una piscina tiene 8 metros de largo, 6 m 5 Si la base de un cono tiene 15 cm de

de ancho y 1,5 m de profundidad. Si se radio y su altura es igual al diámetro de
pinta la piscina a razón de S/ 12 por metro la base, determina el volumen del cono.
cuadrado, ¿cuánto costará pintarla?
10 cm
2
1,5cm V = p × (15 cm) × 30 cm
3
6cm 30 cm V = p × 225 cm2 × 10 cm
Se debe pintar:
8cm
a) Base Abase = 8 × 6 = 48 m2 V = 2250 p cm3
b) Las paredes
15 cm
2A 2
1 = 2 × 8 (1,5) = 2 × 12 = 24 m
2A 2
2 = 2 × 6 (1,5) = 2 × 9 = 18 m
A 1225p cm3 B 2250p cm3
En total:
A S/ 1080 48 + 24 + 18 B S/ 1170 C 1250p cm3 D 2575p cm3
2
90 m
Costo:
C S/ 1380 D S/ 1656
90 × 12 = S/ 1080
6 Se tiene un cono de tránsito
donde la generatriz es igual
3 La altura de una pirámide es 12 m. Si a 32 cm y el radio es igual
la base de la pirámide es un cuadrado a 16 cm, ¿cuánto mide el
área total del cono?
cuyo lado mide 3 m, ¿cuál es el valor de
su volumen?
AT = p × r × (g + r)
1
V = A ×h AT = p × 16 × (32 + 16)
32 cm
3 b
AT = p × 16 × 48
1
V = (32) × 12 AT = 768 p cm2
3
16 cm
V = 3 × 12 = 36 m2
3m
A 256p cm2 B 768p cm2
A 20 m2 B 48 m2
C 564p cm2 D 680p cm2
C 36 m2 D 24 m2

118 ciento dieciocho

 ¡Autoevalúate!

7 El volumen de un cilindro es 896π cm³. Si 9 Si la pelota de fútbol tiene un radio de

su diámetro mide 16 cm, ¿cuánto mide 18 cm, ¿cuál es el área de la superficie?
su altura?

V = π × r2 × h A = 4π × r2
896π = π × 82 × h A = 4π × (18 cm)2
h = 14
A = 4π × 324 cm2
A = 1296π cm2

A 18 cm B 17 cm A 1144p cm2 B 1442p cm2

C 14 cm D 12 cm C 1296p cm2 D 1380p cm2

8 Si el volumen de una pelota de tenis es 10 Tom quiere pintar un tanque de forma

igual a 36 cm3, ¿cuánto es el valor de su cilíndrica, cuyo radio es 3 m y su altura
radio? 10 m. Encuentra el área de la región que
4 quiere pintar Tom.
V = π × r3
3
4π AT = 2π × r × (h + r)
36π = r3
3 AT = 2π × 3 × (10 + 3) = 78π
27 = r3
3
27 = r
3 cm = r

A 3 cm B 4 cm A 70π cm² B 72π cm²

C 5 cm D 6 cm C 75π cm² D 78π cm²

10. D 9. C 8. A 7. C 6. B 5. B 4. A 3. C 2. A 1. D Claves:

Coevaluación
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a resolver ejercicios y problemas con poliedros?

2. Entre el cono, el cilindro y la esfera, ¿cuál me fue más fácil de aplicar sus propiedades?

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento diecinueve 119

 Rumbo a las

4 nociones
n o m ét r
r igo i c as
t

Desempeños
• Resuelve problemas que involucran el uso del teorema de Pitágoras.
• Utiliza razones trigonométricas para determinar longitudes y medidas angulares.

120 ciento veinte

 El Sistema GPS

Antiguamente, nuestros antepasados se

ubicaban por la posición del Sol durante el
día y por la estrella Polar en las noches. De
este modo, emprendían largos viajes para
llevar los productos que necesitaban de una
ciudad a otra, por mar o por tierra, y nunca se
extraviaban.
En la actualidad, debido a los avances
tecnológicos, solo necesitamos un pequeño
dispositivo con GPS (Sistema de Posicionamiento
Global), para conocer exactamente nuestra
posición.
Pero… ¿cómo funciona? ¿Por qué sabe dónde
nos encontramos?
El funcionamiento del GPS se basa en una red
de 24 satélites que giran alrededor del globo
terráqueo. Así, cualquier punto del globo está
«cubierto» por varios satélites.
Para ubicar una posición, el GPS se basa en la
triangulación, un principio de la trigonometría
(Trigonometría proviene de las palabras griegas
trigonon = triángulo y metron= medida) que
determina la posición exacta de un punto
conociendo las distancias de este a otros tres
puntos de ubicación conocida.

Responde.
1. ¿Has usado alguna vez el GPS? Comenta.
2. ¿Qué otros usos tiene la trigonometría?
Investiga.

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento veintiuno 121

 Valo
Respeto Enfoque transversal: Enfoque inclusivo o de atención a la diversidad
res

El diablo bueno
En una montaña lejana a un pueblo vivía un diablo rojo y feo. Los diablos
suelen ser malos pero este era de buen corazón.
–Qué bueno, tenemos una mañana muy bonita –se dijo el diablo. Me gustaría ser amigo de los
hombres y eso es justamente lo que voy a hacer. Debo hacer saber a la gente que soy una criatura
amistosa. Sí, ahora mismo colocaré mi letrero.
El diablo había confeccionado un letrero que decía: –Bienvenidos. Pueden servirse ricas tartas y el mejor
té. Les gustará estar aquí–.
En ese momento, el diablo oyó pasos y se escondió para ver quién era.
–¿Dónde estoy? –dijo un humano. Creo que me perdí. Ah, una casa en el bosque. Debe ser el escondite
de algún ladrón. Debo escapar de aquí, pero, ¿cómo llegaré a mi casa?
En eso, el diablo salió y le dijo:
Espera, espera. Oye tú, esta no es la casa de un ladrón. ¿No has leído el letrero?
–¡Ah!– dijo el hombre, asustándose con el aspecto del diablo. Aléjate de mí. –Un monstruo me
persigue–. Y así el hombre huyó corriendo de la casa del diablo rojo quedándose este muy triste.
El diablo, ya varias veces había intentado acercarse a los hombres pero al verlo ellos siempre se
alejaban despavoridos.
El diablo estuvo pensando por qué siempre ocurría esto y se dio cuenta que quizás era porque
hablaba muy fuerte, casi gritando, y porque cuando hablaba con alguien siempre les decía
¡Oye!, así que se prometió a sí mismo tener más cuidado la próxima vez en cuanto a su tono y a su
forma de hablar, decir siempre por favor y ser más cortés.
Con esto, se sintió más entusiasmado pensando que al fin sería aceptado por los humanos.
Sin embargo, al día siguiente se acercaron dos hombres, leyeron el letrero y pensaron que era una
trampa. Entonces, el diablo salió para calmarlos hablándoles cortésmente, pero los hombres al verlo
le gritaron: –¡Socorro! ¡Auxilio! Una bestia tan fea como tú no puede ser buena–, y se fueron corriendo
temiendo ser comidos por él.
–Soy un diablo feo, no hay nada que pueda cambiar mi mala apariencia. Quiero ser amigo de los hombres
pero les doy miedo. Estaré siempre solo –dijo triste y resignado.
Pasaron algunos días y estando él en su casa, oyó alboroto en el pueblo, se asomó y vio que un diablo
azul estaba atacando a los humanos. Los hombres tenían troncos de madera con los que intentaban
defenderse pero nada parecía lastimar al diablo malo. Entonces, el diablo rojo corrió lo más veloz que
pudo, se enfrentó al feroz diablo azul y lo venció.
Una vez pasado el peligro con el diablo azul, los humanos se acercaron al diablo rojo, le curaron las
heridas y le agradecieron haberlos ayudado, prometiéndole ser sus amigos y que nunca más iban a
juzgar a nadie ni a excluir a él ni a nadie por ser diferente.

Responde.
1. ¿Le das importancia al aspecto
físico de una persona?
2. ¿Cómo interpretas la frase «Las
apariencias engañan»?

122 ciento veintidós

 Ángulo trigonométrico
Relaciona
lo que sabes

Usando el ángulo trigonométrico es posible calcular

la altura de objetos sumamente grandes.

Responde.
El sentido del ángulo mostrado, ¿es el mismo
que realizan las agujas de un reloj?

Ángulo
trigonométrico

10 m

Descubre
y construye

Se obtiene girando un B
rayo alrededor de un OA : Lado inicial
Ángulo punto fijo llamado vértice, OB : Lado final
trigonométrico desde una posición inicial
O : Origen
hasta una posición final. O A

Antihorario La rotación
del ángulo
α es positivo determina el signo
del ángulo.
Sentido de giro
Horario

β es negativo

Ángulo de una vuelta Más de una vuelta

Es el ángulo generado cuando la Los ángulos trigonométricos son

posición inicial y final coinciden ilimitados. Estos van desde –∞ a +∞.
por primera vez.

1 vuelta

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento veintitrés 123

 1 Representa con ecuaciones los siguientes c) –60°
gráficos.

a) lado inicial
– 60°

Rpta. + – = 90° 3 Halla el valor de x en cada caso.

a)
b)
170º + 4x 3x

170º + 4x – 3x = 180º
x= 180º – 170º
Rpta. + – – = 90° x= 10º

c) b)

3x – 110º

6x – 80º

Rpta. – – = 180° 6x – 80º – 3x + 110º = 90º

3x + 30º = 90º
3x = 90º – 30
2 Grafica los ángulos, haciendo uso de tu
transportador. 3x = 60º
60º
a) +90° x=
3
x= 20º

c)
2x + 8º
90°
lado
inicial 18º + 8x 3x – 80º

b) –30° 18º + 8x – 2x – 8º – 3x + 80º = 180º

3x + 90º = 180º
lado inicial 3x = 180º – 90º
– 30°
3x = 90º
x= 30º
124 ciento veinticuatro
 Practica b)
lo aprendido

Nivel

1 Escribe V si la expresión es verdadera o –x – α + = 180°

F si es falsa.
x= – α – 180°

a) x= – α – 180°

c)
α es negativo
F

x+ – α = 360°
b)
x= 360° – + α

x= 360° – + α

α es positivo Nivel
V
3 Determina el valor de x y pinta el círculo
de la alternativa que corresponde a la
respuesta.
c)
a)
17x – 4° 5x – 40°

α es negativo 17x – 4° – 5x + 40° = 180°

V 12x = 180° – 40° + 4°
12x = 144°
x = 12°

2 En cada caso, calcula x en función de

A 3° B 12° C 16° D 8°
y .

a) b)

13x – 20°

4x – 65°

13x – 20° – 4x + 65° = 360º

x+α – = 90° 9x = 360° – 65° + 20°
9x = 315°
x= 90° + – α x = 35°

x= 90° + – α A 5° B 15° C 35° D 25°

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento veinticinco 125
 c) b) –100°

150°
45° + 4x x – 84° x

45° + 4x – x + 84° = 180° –x + 100° = 150°

3x = 180° – 45° – 84°
–x = 150° – 100°
3x = 51°
x = 17° –x = 50°
x = –50°

A 15° B 20° C 27° D 17°

x= –50°
d)

9(x + 3°) 6(x – 11°) c)

9x + 27° – 6x + 66° = 180° x – 130° 3x – 10°

3x = 180° – 27° – 66°
3x = 87°
x = 29° 3x – 10° – x + 130° = 180°
3x – x = 180° – 130° + 10°
A 29° B 31° C 16° D 7° 2x = 60°
60°
x=
2
e) x = 30°
3 (10x – 15°)
5 x= 30°

11x + 16°
5 Halla el valor de x; si OM es bisectriz del
11x + 16° – 6x + 9° = 90°
5x = 90° – 9° – 16° AOB.
5x = 65°
x = 13°
A

A 13° B 21° C 23° D 17°

20° – x
O M
3x – 40°
4 Determina el valor de x, en cada caso.
B
a)

30° – 6x 3x + 30°
20° – x = –3x + 40°
–x + 3x = 40° – 20°
3x + 30° + 90° – 30° + 6x = 180°
2x = 20°
9x + 90° = 180°
x = 10°
9x = 180° – 90°
9x = 90°
90° A 10° B 20°
x =
9
x= 10° C 15° D 25°

126 ciento veintiséis

 Nivel 9 De la figura, halla el valor de x.
Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.

6 Calcula el valor de x si se sabe que

L1 // L2.

x
L1
50° – 3x
x+ 90° = 360°
x = 360° – 90°
x = 270°
2x – 20°
L2
A 60° B 90°
2x – 20° = –50° + 3x
C 180° D 270°
2x – 3x = –50° + 20°
–x = –30°
x = 30° 10 Calcula el valor de x.

A 10° B 20° C 30° D 40°

7 Encuentra el valor de 3x.

11° – 3x 17x – 19°

3° – 7x

4x – 6° 17x –19° + 90° + 90° – 11° + 3x = 360°

20x + 150° = 360°
4x – 6° + 7x – 3° = 90° 20x = 360° – 150°
11x – 9° = 90° 20x = 210°
11x = 90° + 9° x = 10,5°
11x = 99°
A 5,5° B 7,5°
x = 9°
Entonces: 3x = 27° C 10,5° D 13,5°

A 9° B 18° C 27° D 36°

8 En la figura, determina el valor de α. 11 Encuentra el valor de x, si L1 // L2.

L1
α
–( + 6°) L2
x
α α + 50°
3(α + 2°)

α – x = α + 50°
A 19,5° 3(α + 2°) + (α + 6°) = 90° –x = 50°
3α + 6° + α + 6° = 90° = –50°
B 19° x
4α + 12° = 90°
4α = 90° – 12°
C 18,3° A –50° B –40°
4α = 78°
D 18° α = 19,5° C 60° D 70°

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento veintisiete 127

 Sistemas de medición angular
Relaciona
lo que sabes

Rueda babilónica
Babilonia fue una antigua ciudad de la Baja Mesopotamia
que actualmente corresponde a Irak. Debido al comercio
y a las guerras necesitaron crear un medio eficaz de
transporte. Así fue que se inventó la rueda, luego de haber
intentado con rodillos y trineos.
La invención de la rueda les permitió descubrir las
propiedades de la circunferencia, y con ello, el sistema
sexagesimal; es decir, de base 60. Además, lograron
deducir que 60 segundos equivalen a un minuto; 60 Carruaje de
guerra
minutos, a una hora y 360 grados, a la circunferencia
completa.
Actualmente, usamos el sistema sexagesimal para
representar ángulos. Por ejemplo, al construir una pared
observamos que el ángulo que forma esta con el suelo
mide noventa grados sexagesimales o 90°.

Lee y responde.
a) ¿En qué otros casos se usan medidas angulares cotidianamente?
b) ¿Conoces otros sistemas para medir ángulos?

Descubre
y construye

Sistema Divide el ángulo de

l
sexagesima una vuelta en 360
(inglé s) partes iguales.
Un ángulo se puede medir en el...

De forma gráfica:

B
Sistema Divide el ángulo
centesimal de una vuelta en 400
(francés) partes iguales.
O S° = Cg = R rad

Su unidad es el A
Sistema radián, el cual se
radial obtiene cuando Un mismo ángulo medido en los
(internacion el arco y el radio tres sistemas tiene expresiones
al)
tienen igual longitud. diferentes pero es equivalente.

128 ciento veintiocho

 SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL

• Grados y minutos • Grados y minutos

1° = 60' 1g = 100m r
L=r
• Minutos y segundos • Minutos y segundos 1 rad
1m = 100s O r
EQUIVALENCIAS

1' = 60''
• Grados y segundos • Grados y segundos
1° = 3600'' 1g = 10 000s

1 vuelta 1 vuelta 1 vuelta

1° = 1g = 1 rad =
360 400 2π
1v = 360° 1v = 400g 1v = 2π rad
RELACIÓN ENTRE

1 vuelta = 360° = 400g = 2π rad Además:

÷2 S C R
= = =k
SISTEMAS

180 200 π S C
180° = 200g = π rad • =
9 10
πk
S = 9k ; C = 10k ; R = S 9°
20 • =
C 10g

Forma práctica para convertir un ángulo de un sistema a otro

factor de conversión

Sistema que se pide

(Ángulo) ×
Sistema en el que se encuentra el ángulo

1 Convierte 45° a grados centesimales. 3 Convierte 150g a grados sexagesimales.

Resolución: Resolución:

Sistema que se pide Sistema que se pide

g g
10 450 9° 1350°
45° × = = 50g 150g × = = 135°
9° 9 10g 10
Sistema en que se encuentra Sistema en que se encuentra

2 Convierte 120º a radianes. 3

4 Convierte π rad a grados sexagesimales.
4
Sistema que se pide
Sistema que se pide
π rad 120π rad 2
120° × = = π rad 3 180° 3 × 180
180° 180 3 π rad × = = 135°
4 π rad 4
Sistema en que se encuentra
Sistema en que se
encuentra

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento veintinueve 129

 5 Determina el valor de M. 1º 1g 9º
8 Halla E = + m + .
1' 1 5g
1º
M = 85’ +
2
Recuerda: 1º = 60'
Resolución: 1g = 100m
1º 9º = 10g
Convierte en minutos.
2

1º 60’ Resolución:
× = 30’ Recuerda:
2 1º Reemplaza en E.
1º = 60’
1º 60' 100m 10g
Luego
2 = 30’ E= + +
1' 1m 5g
M = 85’ + 30’
M = 115’ E = 60 + 100 + 2 = 162

6 Si se sabe que S + C = 38, calcula el valor 3º4’

9 Simplifica: F = .
de S en grados sexagesimales. 4’

Resolución: F = 3º + 4’ No es
4’ correcto
S = 9k ; C = 10k
hacer esto:
F = 180’ + 4’
9k + 10k = 38 4’ 3º 4’
= 3º
4’
19k = 38 F = 184’
4’
38
k = F = 46
19
k =2
π rad
10 Halla a + b, sabiendo que: = aºb'.
Reemplaza el valor k = 2. 8
S = 9(2) Resolución:
S = 18º Equivalencia: π rad = 180º
π 180º 180º 45º
rad × = =
7 Simplifica. 8 π rad 8 2
π 44º + 1º
rad + 70g =
2 2
A=
9º 1º
= 22º +
Resolución: 2
= 22º + 30'
Convierte a sexagesimales.
= 22º 30'
π rad 180º
× πrad = 90º π rad
2 Luego: = aºb' = 22º30'
8
9º
70g × = 63º Comparando:
10g
a = 22
90º + 63º 153º b = 30
M= =
9º 9º
Luego:
M = 17 a + b = 22 + 30 = 52

130 ciento treinta

 Practica e) 80° a radianes
lo aprendido
π 4π
80° × rad = rad
180° 9
Nivel

1 Realiza las conversiones.

4π
a) 70g a sexagesimales 80° = rad
9

9°
70g × = 63°
10g
Nivel

2 Encuentra el valor de x en el sistema

70g = 63° sexagesimal.

x + 70g + 70g = 180°

b) 90° a centesimales x x + 140g = 180°

x + 140g .
9° = 180°
10g 10g
90° × = 100g x + 126° = 180°
9°
x = 180° – 126°
70g 70g
x = 54°

x= 54°
90° = 100g

3 Del gráfico, calcula el valor de n.

π
c) rad a centesimales C
5
A = 80g × 9°g = 72°
6n 10
π 200g
rad × = 40g
5 π rad Luego:
6n + 72° = 90°
6n = 18°
80g n = 3°
A B

π
rad = 40g
5 n= 3°

d) π rad a sexagesimales 4 Halla el valor de x.

3
π 180° x + 90° + 90° + 50g = 360°
rad × = 60° x
9°
3 π rad x + 180° + 50g × = 360°
10g
x + 180° + 45° = 360°

50g x = 135°

π
rad = 60° x= 135°
3
Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento treinta y uno 131
 5 Halla el valor de N. Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que
30g + 13°
N= corresponde a la respuesta.
π
rad
9
8 Determina el valor de x + y, sabiendo que:
9° π
30g × = 27° rad = x° y'.
10g 16

π 180° = 20° π rad × 180° = 180° = 45°

rad ×
9 rad 16 π rad 16 4
44° + 1°
27° + 13° 40° = = 11° + 60' = 11° + 15'
N= = =2 4 4
20° 20° Luego:
π
rad = x° y' = 11°15'
16
N= 2 Comparando: x = 11 Luego:
y = 15 x + y = 26

1° 1g
6 Calcula el valor de M = + m. A 11 B 15
1' 1
C 26 D 30
1° <> 60'
1g <> 100m 9 Halla la medida del ángulo expresado
60' 100m en radianes, si 3S – 2C = 14.
+ = 60 + 100 = 160
1' 1m πk
S = 9k ; C = 10k ; R=
20
3(9k) – 2(10k) = 14
27k – 20k = 14
7k = 14
k=2
π (2) π
Entonces: R = = rad
M = 160 20 10
π π
A rad B rad
2 3
g π π π
7 Encuentra el valor de φ = 70 – rad; en C rad D rad
4 5 10
el sistema sexagesimal.

10 Si se cumple que S +
C
= 14, calcula la
Convierte al sistema sexagesimal. 6 5
medida del ángulo en el sistema radial.
9º πk
S = 9k ; C = 10k ; R=
70g × = 63º 20
10g
π rad 180º 9k 10k 3k 2k 14
× = 45º + = 14 → + = → 3k + 4k = 28
6 5 2 1 1
4 π rad k=4
π (4) π
φ = 63º – 45º Entonces: R = = rad
20 5
φ = 18º
π π
A rad B rad
3 4
π π
φ = 18º C rad D rad
5 6
132 ciento treinta y dos
 Teorema de Pitágoras
Relaciona
lo que sabes

B
Observa las medidas de la escalera y realiza lo
que se indica.

a) ¿De qué manera puedes calcular la distancia

que hay desde el punto A hasta el punto B? ? 3m

b) ¿Cuánto mide?
4m
A
Descubre
y construye

Teorema de
Pitágoras
En todo triángulo
Se aplica en el
c rectángulo, el
a cuadrado de la
Triángulo rectángulo hipotenusa es igual
b a la suma de los
cuadrados de los
hip
ot a2 + b2 = c2 catetos.
cateto

en
us
a

cateto Se encuentra en el lado

opuesto del ángulo recto.

Son los lados que

forman el ángulo recto.

1 Determina el valor de la incógnita en cada triángulo rectángulo.

a) c) x2 + 242 = 252
x2 = 162 + 122
x2 = 256 + 144 x2 + 576 = 625
x x 24 cm 2
16 cm x = 49
x2 = 400
x = 49
x = 400
x = 7 cm
x = 20 cm 25 cm
12 cm

b) 2 d) x2 + 12 = 22
x2 = 3 + 12
x2 = 3 + 1 x2 + 1 =2
2 cm
x
x2 = 4 x2 =1
x
3 cm
x= 4 x = 1
x = 2 cm x = 1 cm
1 cm 1 cm
Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento treinta y tres 133
 2 Una escalera de 10 m de longitud está 5 Encuentra el perímetro de las figuras.
apoyada sobre la pared. El pie de la
escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué a) Resolución:
altura alcanza la escalera sobre la
92 + 122 = x2
pared?
x 81 + 144 = x2
Resolución: 9 cm 225 = x2
x2 + 62 = 102 225 = x
10 m x2 + 36 = 100
2 12 cm 15 cm = x
x = 100 – 36
x
x2 = 64
Perímetro: 12 cm + 9 cm + 15 cm = 36 cm
x = 64
6m x= 8m

b) Resolución:

Rpta. La altura alcanzada es 8 m.

x
12 + 3 2 = x2
// //
1 + 3 = x2
3 cm
4 = x2
3 Determina el valor de x. 1 cm
4 =x
2 cm = x

//
//
x
m
5

13 m Perímetro:
Resolución: 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 8 cm

x2 + 52 = 132
x2 + 25 = 169 6 Halla el área del cuadrado.
x2 = 169 – 25
x2 = 144
x2 = 144
x = 12 m cm
18 x

4 Calcula el lado desconocido.

Resolución:
m
50 14 m
x2 + x2 = ( 18 )2
2x2 = 18
18
b x2 =
2
x2 = 9
Resolución:
x = 9
b2+ (14)2 = (50)2 x = 3 cm
b2 + 196 = 2500
b2 = 2500 – 196 A = 2
b2 = 2304 A = (3)2 = 9 cm2
b = 2304
b = 48 m Rpta. El área del cuadrado es 9 cm2.
134 ciento treinta y cuatro
 Practica 2 Calcula el valor del perímetro.
lo aprendido

a)
Nivel
5=x+2 3 cm

1 Determina el valor de x en cada caso.

x+1=4

a)
x2 + (7)2 = (25)2
(x + 1)2 + 32 = (x + 2)2
x2 + 49 = 625
x2 + 2x + 1 + 9 = x2 + 4x + 4
25 cm x2 = 625 – 49
7 cm 10 – 4 = 4x – 2x
x2 = 576 6 = 2x → 3 = x
x = 576
x = 24 cm
x
Rpta. El perímetro es 12 cm.
x= 24 cm

b)
b)
x2 + (4)2 = (8)2
10 = x + 4 6 cm
x2 + 16 = 64
x x2 = 64 – 16
4 cm
x2 = 48 x+2=8
x = 48
8 cm
x = 4 3 cm
(x + 4)2 = (x + 2)2 + 62
x + 8x + 16 = x2 + 4x + 4 + 36
2
x=4 3 cm 8x – 4x = 40 – 16
4x = 24 → x = 6

c) Rpta. El perímetro es 24 cm.

12 + 12 = x2
1 + 1 = x2
1 cm x
x2 = 2
x= 2 3 Encuentra el perímetro del cuadrado.

1 cm

x= 2
13 cm
x

5 cm
d)
x2 + (21)2 = (35)2
x2 + 441 = 1225
35 cm x2 = 1225 – 441 x2 + 25 = 169
x
x= 784 x2 = 144 → x = 12 cm
x = 28 cm Entonces:
21 cm Perímetro = 4(12) = 48 cm

x= 28 cm Rpta. El perímetro es 48 cm.

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento treinta y cinco 135

 Nivel Nivel
Pinta el círculo de la alternativa que
4 Si las áreas de los cuadrados C y B miden corresponde a la respuesta.
400 cm2 y 256 cm2, respectivamente.
¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado A? 7 ¿Cuánto mide el lado mayor del
AC = p2 = 400 → p = 20
triángulo rectángulo, si las longitudes de
p AB = n2 = 256 → n = 16 las semicircunferencias A y B miden 6π y
Por T. Pitágoras: 8π cm, respectivamente?
C m2 + n2 = p2
m2 + 256 = 400
A m m2 = 400 – 256 2πrA
En A: = 6π → rA = 6
m2 = 144 2
m = 144
x
A 2πrB
B m = 12 cm En B: = 8π → rB = 8
2
Entonces: Entonces:
Perímetro A = 4(12) = 48 cm B x2 = (6 + 6)2 + (8 + 8)2 = 400
n x = 20 cm

A 10 cm B 14 cm
Rpta. El perímetro es 48 cm.
C 20 cm D 30 cm

5 Los perímetros de los hexágonos

regulares A y B miden 30 cm y 72 cm, 8 Halla el área del triángulo.
respectivamente. ¿Cuánto mide el
perímetro del hexágono C?
x2 = 122 + (x – 4)2
Hexágono A: x2 = 144 + x2 + 16 – 8x
x 12 cm 8x = 160
n = 12 6m = 30 → m = 5 x = 20 cm
Hexágono B: (x – 4)12 16 × 12
m=5 B 6n = 72 → n = 12
A =
2
= 2 = 96 cm2
x–4
A Aplica T. Pitágoras:
m2 + n2 = p2
52 + 122 = p2
A 24 cm2 B 32 cm2
25 + 144 = p2
C 169 = p2 C 40 cm2 D 96 cm2
p = 13 cm
Entonces:
p Perímetro C = 6(13) = 78 cm

9 En un juego de billar, luego de hacer

Rpta. El perímetro es 78 cm. algunos movimientos con el taco, las
bolas quedaron dispuestas de la forma
mostrada. Calcula la distancia entre la
6 Los radios de las circunferencias A y B miden bola roja y la bola amarilla.
6,5 cm y 2,5 cm, respectivamente. ¿Cuánto
mide el radio de la circunferencia C?

p
p = 6,5 + 6,5 = 13
80 cm
6,5 m = 2,5 + 2,5 = 5 48 cm
Por T. Pitágoras:
A
n
52 + n2 = 132 x
C 25 + n2 = 169
n2 = 144
B n = 12 cm
2,5 Entonces: x2 + 482 = 802
m Radio de C = 12 ÷ 2 = 6 cm x2 = (80 + 48)(80 - 48)
x2 = 128 . 32
x2 = 4096
x = 64 cm
A 32 cm B 64 cm
Rpta. El radio de C es 6 cm. C 50 cm D 72 cm

136 ciento treinta y seis

 ¡Autoevalúate!

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

g
1 Calcula el valor de x en función de α y β. 4 Reduce 100 + 30° .
π
rad
3

x –α=–β
90° + 30° 120°
= =2
x =α–β 60° 60°
x

A α–β B β–α A 8 B 6

C α+β D –α – β C 4 D 2

2° 2'
2 Simplifica . 5 Encuentra el valor de 2x.
2'
2° <> 120'
120' + 2' 122'
= = 61
2' 2'
2x – 130°
6x – 20°

6x – 20° – 2x + 130° = 180°

4x = 180° – 110°
4x = 70° → 2x = 35°

A 20 B 41 A 35,5° B 35°

C 61 D 80 C 17,5° D 17°

3 Determina el valor de x. 6 En el triángulo mostrado, halla el valor

de x.
110°
Por triángulo isósceles:
x
160° π 180°
x = rad · = 60°
3 π

π
rad
x + 110° = 160° 3 x
x = 50°

A 70° B 50° A 30° B 45°

C –50 D –70° C 60° D 75°

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento treinta y siete 137

 ¡Autoevalúate!

7 Calcula el valor de x. 9 Simplifica y halla el valor de M.

6º12’
M=
x 24 m 12’

6° <> 360'

30 m 360' + 12’ 372’

x2 + 242 = 302 M= = = 31
x2 = 900 – 576 12’ 12’
x2 = 324
x = 324
x = 18
A 16 m B 18 m A 6 B 18

C 20 m D 21 m C 31 D 36

8 Determina el área del cuadrado. 10 Realiza las conversiones.

g
a) 70 a grados sexagesimales
b) 60º a radianes
cm x2 + x2 = ( 20 )2
x 20 9°
2x2 = 20 a) 70g × = 63°
10g
x2 = 10
π rad
b) 60° × =
180° 3
El área del cuadrado es x2 = 10 cm2

π π
A 10 cm2 B 10 cm2 A 84° ; B 105° ;
6 6
C D 5 cm2 C 42° ;
π D 63° ; π
5 cm2
3 3

10. D 9. C 8. B 7. B 6. C 5. B 4. D 3. B 2. C 1. A Claves:

Coevaluación
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las
respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a expresar un mismo ángulo en los tres sistemas de medición angular?
2. ¿Cómo aprendí a resolver situaciones usando el teorema de Pitágoras?

138 ciento treinta y ocho

 Razones trigonométricas de ángulos agudos
Relaciona
lo que sabes

Analiza y responde.

¿Cuánto mide la altura de la puerta

del edificio?
Resolución:
Los dos triángulos rectángulos tienen
16 m

los mismos ángulos, entonces se

puede establecer la relación:

x 16 x 4
= 12 = x= 4m
3 3 3
x
α Rpta. La altura de la puerta del
α edificio mide 4 m.
3m
12 m

Descubre
y construye

Triángulo rectángulo
Cateto opuesto (C. O.) En todo triángulo
Lado que está frente al rectángulo la hipotenusa es
C
ángulo analizado. el lado de mayor medida.
Cateto adyacente (C. A.)
H
C. O. Lado que está junto al ángulo
analizado.
α Hipotenusa (H)
A C. A. B Lado que está frente al
ángulo recto (90°).

Lectura y representación
A C. O. C. O.
sen α = = b sen β = = a
β
H c H c
c C. A. C. A.
b cos α = = a cos β = = b
H c H c
α
C. O. C. O.
C a B tg α = = b tg β = = a
C. A. a C. A. b

C. A. C. A.
ctg α = = a ctg β = = b
C. O. b C. O. a
Seno : sen
Coseno : cos H H
Tangente : tg sec α = = c sec β = = c
C. A. a C. A. b
Cotangente : ctg
Secante : sec H H
Cosecante : csc csc α = = c csc β = = c
C. O. b C. O. a

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento treinta y nueve 139

1 Completa las razones trigonométricas 2 Determina el valor de sen2 α + cos2 α .
de cada ángulo.

a)
x
8
β

4 5 α
6
Resolución:
α
1.° Halla x usando T. de Pitágoras.
3
82 + 62 = x2
4 3
sen α = sen β =
5 5 64 + 36 = x2
100 = x
3 4
cos α = cos β =
5 5 10 = x
4 3 2.° Reemplaza el valor de x en la
tg α = tg β =
3 4 expresión sen2 α + cos2 α.
8 2 6 2
ctg α =
3
ctg β =
4 ( ( + ( (
4 3
10 10
64 36
+
5 5 100 100
sec α = sec β =
3 4 100
= 1
100
5 5
csc α = csc β =
4 3 3 Calcula el valor de sec2 β – tg2 β.

b) 3
25
x

β
3 3 6
7
β Resolución:
1.° Determina el valor de x.
72 + x2 = 252
3 3 3
sen β =
6
sen θ =
6
49 + x2 = 625
x2 = 576
3 3
cos β = 3 cos θ = x = 576
6 6
x = 24
3
tg β = tg θ = 3 3 2.° Reemplaza en la expresión.
3 3 3
sec2β – tg2β
3
ctg β = 3 3 ctg θ = 2 2
( 25 ( (24(
3 3 3
–
7 7
6 6
sec β = sec θ = 625 576
3 3 3 –
49 49
6 6
csc β = csc θ = 49
3 3 3 = 1
49
140 ciento cuarenta
 Practica 3 Completa.
lo aprendido

Nivel a)
φ
1 Observa la figura y completa. 25
24

B
γ
γ 7

7 24
• sen = • sen γ =
25 25
θ
24 7
C A • cos = 25 • cos γ =
25

a) Para el ángulo θ se cumple que: 7 24

• tg = • tg γ =
24 7
• El lado BC es el cateto opuesto.
• ctg = 24 • ctg γ =
7
• El lado AC es el cateto adyacente. 7 24

b) Para el ángulo γ se cumple que: 25 25

• sec = • sec γ =
24 7
• El lado AC es el cateto opuesto.
25 25
• El lado AB es la hipotenusa. • csc = 7 • csc γ =
24

2 Marca con una X en V si la expresión es

verdadera o en F si es falsa. b)

5 5
a)
• sen α = 5 V F
13 γ θ
5 2
β • cos α = 13 V F
12
13
= 5
5 5 5
• tg β V F
12 • sen θ = • sen γ =
5 2 5 2
α
12 • csc β = 13 V F 5 5
12 • cos θ = 5 2 • cos γ = 5 2

5 5
b) • tg θ = • tg γ =
6 5 5
• cos θ = V F
61 5 5
• ctg θ = • ctg γ =
φ 5 5
• tg φ = 5 V F
61 6
6 5 2 • sec γ = 5
2
61 • sec θ =
• sec φ = V F 5 5
θ 6
5 5 2 • csc γ = 5
2
• ctg θ = 6 V F • csc θ =
5 5
5

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cuarenta y uno 141

 Escribe las razones trigonométricas del b)
4
ángulo α. β
5
a) 1

8 5
8 b =2
α 1.° Aplica el teorema de Pitágoras.
16
12 + b2 = 52
8 16 8
sen α = ; cos α = ; tg α = 1 + b2 = 5
8 5 8 5 16 b2 = 4
b=2
16 8 5 8 5
ctg α = ; sec α = ; csc α =
8 16 8 2.° Las razones trigonométricas son:
2 1
b) sen β = ctg β =
5 2

7 24 1 5
cos β = sec β =
α 5 1
25
2 5
tg β = csc β =
7 24 7 1 2
sen α = ; cos α = ; tg α =
25 25 24
24 25 25
ctg α = ; sec α = ; csc α = Nivel
7 24 7

6 Si tg = 3 ; halla M = 5sen .
5 Calcula el lado que falta y halla las 4
razones trigonométricas del ángulo β. tg = C. O. = 3
C. A. 4
a) c
3
Por T. Pitágoras:
32 + 42 = c2
α 9 + 16 = c2
4
c = 25 → c=5
c
10 = 1 Luego:
3
M=5× =3
5
β
3
Rpta. El valor de M es 3.
1.° Aplica el teorema de Pitágoras.
12 + 32 = c2 1
1 + 9 = c2 7 Si sen β = ; determina N = 3 sec β.
2
10 = c2
10 = c C.O. 1
sen β = =
H 2
2 1
2.° Las razones trigonométricas son: Por T. Pitágoras:
3 12 + b2 = 22
1
sen β = ctg β = 1 + b2 = 4
10 1 b
b2 = 3 → b= 3
3 10 Luego:
cos β = sec β = 3 × 2 =2
10 3 N=
3
1 10
tg β = csc β = Rpta. El valor de N es 2.
3 1

142 ciento cuarenta y dos

 8 7 Nivel
Si cos = ; encuentra A = 15 sen .
8
Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.
C. A. 7
cos = =
H 8
Por T. Pitágoras: 11 En un triángulo rectángulo, el mayor
8
b b2 + 72 = 82 cateto mide el doble del otro cateto.
α b2 = 64 – 49 ¿Cuál es el valor de la secante de su
7 b2 = 15 mayor ángulo agudo?
Luego: b = 15
A = 15 × 15 = 15
8 8 (2x)2 + (x)2 = h2
4x2 + x2 = h2
h
5x2 = h2 2x
5x=h α
15
A= 8 Luego: x
sec α = h = 5 x = 5
x x

9 Si csc β = 2; calcula B = tg β × ctg β.

A 2 B 5
C 1 D 5
2
csc β = H = 2
C. O. 1
2 1 Por T. Pitágoras:
a2 + 12 = 22 12 El perímetro de un triángulo es 36 cm.
β Si los catetos están en razón de 3 a 4,
a2 = 4 – 1
a
a= 3 ¿cuánto mide su área?
Luego:
B= 1 × 3 =1 =1 5x + 3x + 4x = 36 → 12x = 36 → x = 3 cm
3 1 1
3(3) × 4(3)
A = 2 = 54 cm2

5x 4x

B= 1 3x

A 32 cm2 B 48 cm2

10 Del gráfico, halla el valor de C 54 cm2 D 108 cm2

M = tg × ctg β.
13 Determina la tangente del menor ángulo
agudo.
a x2= 576 + x2 + 144 – 24x → 24x = 720 → = 30
tg = 5 x

Luego: tg α = 30 – 12 = 3
a 3 24 4
ctg = a
Luego:
2 3 a 3
M= × 30 = x
5 a x – 12 = 18
3
M=
5
24

1 3
A B
2 4
3 4
M= 5 C 1 D
3
Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cuarenta y tres 143
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos notables
Relaciona
lo que sabes

Según el gráfico mostrado, ¿cuánto mide la altura de la palmera?

Resolución:
x C. O.
= = tg 53°
6 C. A.
Para poder
calcular la altura
x 4 de la palmera es
= 3 necesario conocer
6
los triángulos
3x = 6 . 4 rectángulos notables.
x 6.4
x = x =8
3
53°
Rpta. La palmera mide 8 m.
6m

Descubre
y construye

Triángulos rectángulos notables

Recuerda
53° 5k 30° 45° C. O. : cateto opuesto
2k 2k
3k 3k 1k C. A. : cateto adyacente
37° 60° H : hipotenusa
45°
4k 1k 1k

1 Efectúa. 2 ¿Cuánto mide la altura del edificio?

2
a) sec 30° × csc 60° +
3
2 2 2 4 2
× + = + =2
3 3 3 3 3 x

b) sen 30° + cos 60° + sec 60°

37°
1 1
+ +2=1+2=3 60 m
2 2

c) cos 37º × csc 53° + csc 30° x C. O.

= = tg 37º
60 C. A.
4 5
× +2=1+2=3
5 4
x 3 60 ∙ 3
= x= x= 45
d) tg 45° + sen 45° × sec 45° 60 4 4
1 2
1+ × 2 =1+ =1+1=2
2 2 Rpta. La altura del edificio mide 45 m.
144 ciento cuarenta y cuatro
 3 Resuelve. 45º
tg 45º + sen2 60º + sen2 30º 1
sen 2
Resolución: 1
cos
3 2 1 2 2
1+ (
2
( 2(
+ ( tg 1

3 1
1+ + ctg 1
4 4
1+ 1=2 sec 2

csc 2

4 Si A = csc 30º + sen 30º ∧ B = sen 37°,

calcula A + B.
6 Halla el valor de x en cada caso.
Resolución:
a)
A = csc 30° + sen 30º B = sen 37º
20 m
1 5 3 x
A=2+ = B=
2 2 5
37º
5 3 25 + 6 31
A+B= + = = = 3,1
2 5 10 10
Resolución:

x C. O.
5 Completa las tablas. = = sen 37º
20 H

30º 60º
x 3
1 =
sen
3 20 5
2 2
3 1 20 . 3
cos x=
2 2 5
1 x = 12 m
tg 3
3
1
ctg 3 3
b)
2
sec 2
3
2
18 cm
csc 2
3
60º
37º 53º x

3 4 Resolución:
sen 5 5
4 3 x C. A.
cos = = cos 60º
5 5 18 H
3 4
tg 4 3

ctg
4 3 x 1
3 4 =
18 2
5 5
sec 4 3 18 . 1
x=
5 5 2
csc 3 4 x= 9 cm
Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cuarenta y cinco 145
 Practica 4
lo aprendido ¿Cuánto mide la altura de cada edificio?

Nivel a)
53° 76 = 4k
1 Completa. 19 = k
x x = 3k
1
a) sen 45° = x = 3.19
2
37° x = 57 m
1
b) cos 60° = 76 m
2
4
c) ctg 37° = 3 x = 57 m
5
d) csc 53° = 4
3
e) cos 53° = b)
5
1 30°
f) sen 30° = x = 12 3 m
2
x

2 Pega si el enunciado es verdadero o 60°

si es falso. Busca las imágenes en la 12 m
página de adhesivos.

4
a) cos 37° = 5 V x = 12 3 m

b) ctg 30° = 3 V
4 c)
c) tg 37° = 5 F
1 45°
d) tg 30° = 2 F
x
x = 12 m
e) tg 45° = 1 V
45°
1 F 12 m
f) sen 60° = 2

x = 12 m
3 Resuelve.
csc 53° + sen 30°

5 1 5 2 7 d)
+ = + =
4 2 4 4 4
60°
m
0 x 2k = 150
15
k = 75
x=k
30°
x = 75 m
3 1
A B
4 4
7
C D 2
4 x = 75 m
146 ciento cuarenta y seis
 Nivel 6 Calcula el valor de x en cada caso.

5 Resuelve paso a paso. a)

9 3
53° tg 37° = x =
a) Si cos α = 0,8; halla el valor de α. 4
9
9.4
=x
1.° Expresa como fracción. 3
37°
8 4 x 12 = x
cos α = 0,8 = → cos α =
10 5
x = 12
2.° Ubica los datos en un triángulo
rectángulo y compara con el T. R. N.

b) x 1
cos 60° = =
60° 24 2
24
x 24 . 1
x=
2
30° x = 12
Recuerda que:
≅ Se lee «congruente» (mismo
x = 12
tamaño y forma)

c) x 4
α
37° sen 53° = =
53° 20 5
4 5 ≅ 5 20
4 20 . 4
x=
5
53° 37° x = 16
3 x

Por lo tanto: x = 16
α= 37°

d) 2
b) Si sen φ = 0,5; determina el valor de φ. x
csc 45° = 7 =
45° 1
1.° Expresa como fracción. 7 x 7. 2
x=
1
5 1
sen φ = 0,5 = → sen φ = 45°
x= 7 2
10 2

2.° Ubica los datos en un triángulo x= 7 2

rectángulo y compara con el T. R. N.

φ
30°
e) x 3
2 2 cos 30° = =
≅ 60°
14 2
14 14 . 3
60° x=
2
1 1
30° x= 7 3
x
Por lo tanto:
x= 7 3
φ= 30°
Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cuarenta y siete 147
7 Efectúa. b)
x+ 7
a) sen2 45° + cos2 45° x+ 3
2 2
1 1 37°
+
2 2
3
1 1 2 sen 37° = x + 3 =
+ = =1 x+7 5
2 2 2
5(x + 3) = 3(x + 7)
5x + 15 = 3x + 21
2x = 6
x=3

b) sen 37° × cos 60° × csc 37° × sec 60°

3 1 5 2
× × ×
5 2 3 1
A 1 B 3 C 4 D 5
30
=1
30
9 Calcula el valor de E.
E = (sec2 45° + tg 45°) ctg 37° – 2cos 60°

c) tg 45° + csc 30° × tg 37° 2 2 4 1

E= +1 –2×
1 3 2
3
1 + 2 × 4
4 E=3× –1=3
3
6
1 +
4
3 5
1 + =
2 2

Nivel

Pinta el círculo de la alternativa que

corresponde a la respuesta. A 3 B 2 C 1 D 0

8 Encuentra el valor de x en cada triángulo 10 Del gráfico, halla sen α.

rectángulo.
3x 3
tg 37° = =
a) 5x – 1 4
12x = 15x – 3
x+ 3 3 = 3x → 1 = x
α
1= x
45° 5
3x = 3
2x + 1
37°
x+3 5x – 1= 4
tg 45° = =1
2x + 1
x + 3 = 2x +1
x=2 Entonces:
C. O. 1
sen α = = = 0,2
H 5

A 1 B 2 C 3 D 4 A 0,1 B 0,2 C 0,3 D 0,4

148 ciento cuarenta y ocho
 Ángulos verticales
Relaciona
lo que sabes
Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de una iglesia con un ángulo de
elevación de 53°. Si el punto se encuentra a una distancia de 12 m de la base de la iglesia,
¿cuánto mide la altura de la iglesia?
Resolución:
x C. O.
= = tg 53º
12 C. A.

x
x 4 12 ∙ 4
= x= x = 16
12 3 3
53º Rpta. La altura de la iglesia mide 16 m.
12 m

Descubre
y construye

Objeto Cuando no
se menciona
Observador
la altura del
A Línea horizontal observador, se
B
A: Ángulo de elevación le considera
B: Ángulo de depresión como un
punto de
referencia.
Objeto

1 Desde la parte más alta de un edificio 2 Desde un punto en el suelo se observa la

se observa un punto en el suelo con un parte más alta de un semáforo con un
ángulo de depresión de 45º. Si la distancia ángulo de elevación de 37º. Si el punto
de la base del edificio al punto es de 8 m, se encuentra a una distancia de 4 m de
¿cuánto mide la altura del edificio? la base del semáforo, ¿cuánto mide el
semáforo?
45º 60 m

60 m
4m 37°

Resolución: Resolución:
x C. O. x C. O.
= = tg 45º = = tg 37º
60 C. A. 4 C. A.

x x 3 4.3
=1 x= 1 . 60 = 4 x=
60 4 4
x = 60 x =3
Rpta. La altura del edificio mide 60 m. Rpta. El semáforo mide 3 m.
Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cuarenta y nueve 149
 Practica Nivel
lo aprendido

Nivel 2 Cacula la altura, en cada caso.

1 Con ayuda de un transportador, grafica a)

los ángulos indicados.
53°

a) Un ángulo de elevación de 45°

x
h

4,8 m
1,4 m
ángulo de
elevación
45°
horizontal x 3
ctg 53° = =
4,8 4
4,8 . 3
x=
4
b) Un ángulo de elevación de 53° x = 3,6

Entonces:
h = 3,6 + 1,4 = 5 m

ángulo de
elevación Rpta. La altura de la casa es 5 m.
53°
horizontal

b)

c) Un ángulo de depresión de 37°

horizontal x
h
37°
ángulo de
depresión 37°
6m
1,5 m

d) Un ángulo de depresión de 60° 3

tg 37° = x =
6 4
horizontal 6.3
x=
4
60°
ángulo de x = 4,5
depresión
Entonces:
h = 4,5 + 1,5 = 6 m

Rpta. La altura del árbol es 6 m.

150 ciento cincuenta

 3 Una persona situada a 28 m del pie de Nivel
un edificio observa su parte más alta con
un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuánto 6 Una hormiga observa el alto de un poste
mide la altura del edificio? con un ángulo de elevación de 60°. Si la
distancia entre la hormiga y el poste es de
2 3 m; ¿cuánto mide la altura del poste?
3
tg 37° = h =
28 4 53°
28 × 3
h=
4 h
30° h 3
h = 21 m = = tg 60°
2 3 1
37° h
h=2 3× 3
28 m
60° h=6m
Rpta. El edificio mide 21 m de altura. 2 3m

4 Se observa un árbol desde un punto Rpta. El poste mide 6 m de altura.

ubicado a 20 m del pie del mismo. Si el
ángulo de elevación mide 37°, halla la
7 Desde lo alto de una torre se observa
altura del árbol.
un punto del suelo con un ángulo de
depresión de 45°. ¿Cuánto mide la
altura de la torre, si el punto observado
se encuentra a 24 m del mismo?

h
37° 24 m
20 m 45° h 1
= = tg 45°
h 3 24 1
tg 37° = = h h = 24 m
20 4
45°
20 × 3
h= = 15 m
4

Rpta. El árbol tiene una altura de 15 m.

Rpta. La torre mide 24 m de altura.

5 Desde un punto ubicado a 24 m de una

torre, se divisa su parte más alta con un 8 Desde lo alto de un edificio se divisa
una piedra en el suelo con un ángulo
ángulo de elevación de 53°. ¿Cuánto
de depresión de 53°. Si la piedra se
mide la altura de la torre?
encuentra a 18 m de la base del edificio,
¿cuánto mide la altura del edificio?

18 m
h 53° h 4
= = tg 53°
18 3
53o
h 18 × 4
24 m h h=
h 4 3
tg 53° = = 37°
24 3 h = 24 m
24 × 4
h= = 32 m
3

Rpta. La torre mide 32 m de altura. Rpta. La altura del edificio mide 24 m.

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cincuenta y uno 151
 Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Relaciona
lo que sabes a y b son ángulos
complementarios.

Alicia analiza las razones trigonométricas de

dos ángulos que suman 90°.
+ = 90°
Analiza la relación entre tg 60° y ctg 30°.

Descubre
y construye

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Ángulos Además se cumple que:

entarios
complem • sen b = cos a
• tg b = ctg a
• sec b = csc a

Halla el valor de x en cada caso, si los ángulos son complementarios.

a) sen (x + 2º) = cos (x – 2º) e) sen (13x – 15º) = cos 2x

Resolución: Resolución:
x+ 2º + x – 2º = 90º 13x – 15º + 2x = 90º
2x = 90º 15x = 105º
x = 45º x = 7º

b) tg 3x = ctg 2x f) tg 6x = ctg 3x
Resolución:
Resolución:
6x + 3x = 90º
3x + 2x = 90º
9x = 90º
5x = 90º
x = 10º
x = 18º

g) sen (6x – 12º) = cos (4x – 8º)

c) cos 53º = sen (2x + 3º)
Resolución:
Resolución: 6x – 12° + 4x – 8º = 90º
53° + 2x + 3º = 90º 10x – 20° = 90º
2x = 34º 10x = 110º
x = 17º x = 11º

d) sec (4x – 20º) = csc 7x h) tg (8x + 6º) = ctg (2x – 16º)

Resolución: Resolución:
4x – 20º + 7x = 90º 8x + 6° + 2x – 16º = 90º
11x = 110º 10x – 10° = 90º
x = 10º 10x = 100º
x = 10º
152 ciento cincuenta y dos
 Practica Nivel
lo aprendido

Nivel 4 Relaciona, mediante una línea, las razones

trigonométricas complementarias.
1 Pinta los carteles que contienen ángulos
complementarios.
csc 45° sen 45°
60° y 30° 37° y 43°

sec 30° tg 37°

18° y 72° 16° y 74°

ctg 53° sec 45°

15° y 65° 9° y 81°

sen 60° csc 60°

2 Pega si el enunciado es verdadero o
si es falso. Busca las imágenes en la
página de adhesivos. cos 45° cos 30°

a) sen 40° = sen 50° F

b) tg 15° = ctg 75° V 5 Si sen (a + 20°) = cos (a + 30°),

calcula el valor de a.
c) sec 20° = cos 70° F

d) sen 14° = cos 76° V a + 20° + a + 30° = 90°

2a + 50° = 90°
e) csc 10° = sec 80° V 2a = 40°
a = 20°
f) ctg 53° = tg 60° F

3 Escribe el ángulo complementario que

falta.
a = 20°
a)
82°
6 Si sen (a + 3°) = cos (a – 5°), determina el
valor de a.

a + 3° + a – 5° = 90°
8°
2a – 2° = 90°
b) a = 46°
11°

79° a = 46°

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cincuenta y tres 153

 7 Si sen (6x – 10°) = cos (5x – 10°), halla el Nivel
valor de x. Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.
6x – 10° + 5x – 10° = 90°
11x = 110° 11 Determina el valor de 5x, sabiendo que
x = 10° tg (8x – 9º) = ctg 3x.

8x – 9 + 3x = 90°
11x = 99 x = 9º
Entonces:
x = 10° 5(9) = 45°

A 45° B 18°
8 Si tg 2x = ctg 4x, encuentra el valor de x. C 9° D 5°

2x + 4x = 90° 12 Si sen x = cos 2x, calcula: R = tg 2x . tg x.

6x = 90°
x = 15° x + 2x = 90° x = 30°
3 . 1
R = tg 60° . tg 30° = =1
1 3

A 8 B 5
x = 15°
C 3 D 1

π 3π
9 Si tg = ctg + x , calcula el valor de x.
5 10 13 Si sen2 x – cos2 2x = 0, encuentra el valor de
tg (x + 15°).
sen2 x = cos2 2x
π 3π
+ + x = 90° sen x = cos 2x
5 10
x + 2x = 90°
36° + 54° + x = 90°
x = 30°
90° + x = 90°
x = 0° Entonces:
tg (30° + 15°)
A 1 tg 45° = 1 3
B
2
1 3
C D
x = 0° 2 4

10 Si sen (x + 40°) = cos (x – 20°), determina el 14 Si tg (2x + 8°) – ctg (3x + 7°) = 0, halla el
valor de x. valor de tg 2x.

tg (2x + 8°) = ctg (3x + 7°)

x + 40° + x – 20° = 90° 2x + 8° + 3x + 7° = 90°
2x = 70° 5x = 75°
x = 15°
x = 35°
Entonces:
1 tg (2 × 15°)
A 1 B 1
3 tg 30° =
3 3
x = 35° C 3 D
4
154 ciento cincuenta y cuatro
 Razones trigonométricas recíprocas
Relaciona
lo que sabes

Carlos representa en la pizarra algunas razones trigonométricas del ángulo a.

Curiosamente,
ambas razones h
están formadas x y
x
y
= tg a ; x
= ctg a
por los mismos
números, pero no
a
son iguales.
y

Responde.
¿Cuánto es el producto que resulta al multiplicar las razones trigonométricas que representó
Carlos?

Descubre
y construye

sen θ . csc θ =1
onométricas
Razones trig cos θ . sec θ =1
recíprocas tg θ . ctg θ =1

Ejemplo: cos 53° ∙ sec 53°

Al multiplicar dos razones
trigonométricas recíprocas, el 3 5
∙
producto es igual a uno. 5 3
1

Halla el valor de x en cada caso.

a) Si sen 4x . csc 48º = 1 c) Si tg 3x . ctg (80º – 5x) = 1

Resolución: Resolución:
4x = 48º 3x = 80º – 5x
x = 12° 8x = 80º
x = 10º

b) Si cos (60º – 5x) . sec x = 1

d) Si sen 10x . csc (75º + 5x) = 1
Resolución:
Resolución:
60° – 5x = x
60° = 6x 10x = 75º + 5x
x = 10º
5x = 75º
x = 15º

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cincuenta y cinco 155

 Practica b) tg 60° × ctg 60° = 1
lo aprendido
3 . 1 =1
Nivel 1 3
3 =1
1 Pinta del mismo color las razones 3
trigonométricas recíprocas.

tg 30° cos 53°

a b c) ctg 30° × tg 30° = 1

3 . 1 =1
sen 37° sec 53° 1 3
d b
3 =1
3
sec 45° csc 37°
c d

ctg 30° cos 45°

a c
d) csc 45° × sen 45° = 1

cos 60° sec 60° 2 . 1 =1

f f
1 2
2 =1
2
2 Completa.

a) sen 27° . csc 27° =1

b) cos 80° . sec 80° =1

c) tg 35° . ctg 35° =1 e) tg 45° × ctg 45° = 1

d) csc 13° . sen 13° =1 1.1=1

1=1
e) sec 5° . cos 5° =1

f) sen 2y . csc 2y =1

3 Comprueba la propiedad de las razones

trigonométricas recíprocas.
f) cos 53° × sec 53° = 1
a) sen 37° × csc 37° = 1
3 . 5
=1
5 3
3 . 5
=1 15
5 3 =1
15
15
=1
15

156 ciento cincuenta y seis

 Nivel 7 Sabiendo que: sen 4x . csc 40º = 1;
encuentra el valor de cos 6x.
4 Calcula el valor de x.
sen 4x . csc 40º = 1 → 4x = 40º
a) Si sen 16x . csc 80° = 1
= 10º x
16x = 80° 1
x = 5°
Luego: cos 6x = cos 60º =
2
x = 5°

b) Si cos (100° – 2x) . sec 3x = 1 A 1 B 3

2 4
100° – 2x = 3x
4
100º = 5x C D 2
x = 20º 3
x = 20°

8 Calcula el valor de x en:

c) Si sen (7x + 20°) . csc (16°+ 9x) = 1
sen 2x . csc 40º = tg 45º.
7x + 20° = 16º + 9x
4° = 2x sen 2x . csc 40º = 1
2° = x 2x = 40º → x = 20°
x = 2°

Nivel A 40 B 30

Pinta el círculo de la alternativa que C 20 D 10

corresponde a la respuesta.

5 Si tg 4x . ctg 80° . sen 30° . csc 30° = 1, 9 Sabiendo que:

determina el valor de x. tg(2x – 3y – 20°)× ctg(5x – 3y – 50°) =1;

determina el valor de x.
tg 4x . ctg 80° . sen 30°. csc 30° = 1
tg 4x . ctg 80° . 1 =1 2x – 3y – 20° = 5x – 3y – 50°
Entonces: 30° = 3x
4x = 80° 10° = x
x = 20° A 8 B 10

C 12 D 16
A 10° B 20°

C 30° D 40°

10 Si sen 2x . sec y = 1; halla:

6 Halla el valor de x.
P = csc2 2x + y + csc2 2x + y .
( ( (
tg 8x + 1 . ctg x + 7 = 1
5 2 ( 3 2

8x + 1 = x + 7 1
sen 2x . =1
cos y P = csc2 90° + csc2 90°
5 2 3 2
sen 2x = cos y P = csc2 30° + csc2 45°
2(8x + 1) = 5(x + 7) 2x + y = 90° P=4+2=6
16x + 2 = 5x + 35
11x = 33
A 3 B 5 A 3 B 4
x=3
C 7 D 11 C 5 D 6

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cincuenta y siete 157

 ¡Autoevalúate!

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

1 Calcula el valor de la hipotenusa. Desde un punto ubicado a 40 m de una

4
torre, se divisa su parte más alta con un
ángulo de elevación de 45°. ¿Cuánto
h
16 cm mide la altura de la torre?

12 cm x 1
tg 45° = =
40 1 x
122 + 162 = h2 x = 40 m
45°
144 + 256 = h2
40 m
400 = h2
400 = h A 40 m B 60 m
h = 20 cm
C 80 m D 100 m
A 20 cm B 24 cm

C 28 cm D 32 cm
5 Indica el valor de:
E = sen2 30° + cos2 30°.
2 Halla el perímetro.

1 2 3 2
242 + 72 = h2
2 + 2
25

576 + 49 = h2
=
h

7 1 3 4
625 = h2
4 + 4 = 4 =1
24
625 = h
25 = h
Perímetro: 24 + 7 + 25 = 56 cm

A 108 m B 1
A 25 cm B 31 cm 3 1
C D
C 32 cm D 56 cm 5 2

6 Encuentra el valor de:

1
3 Si sen β = ; determina tg β. M = cos 60° + tg 45° + cos 37° × sec 37°
2
1
x2 + 12 = 22
x2 + 1 =4 1
+1+1
2
x =3
2 1 2
x= 3 1 5
β +2=
Entonces: x= 3
2 2
1
tg β =
3

1 1 2
A B 1 A B
2 2 5
3
5
C 2 D
C 2 D 3 2

158 ciento cincuenta y ocho

 ¡Autoevalúate!

7 Una persona ubicada a 36 m del pie de 9 Si sen(6x – 20°) = cos(4x + 30°), determina el
un edificio observa su parte más alta con valor de x.
un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuánto
mide la altura del edificio?
6x – 20° + 4x + 30° = 90°
10x + 10° = 90°
x 4 10x = 80°
tg 53° = =
36 3 x x = 8°
36 × 4
x= 53°
3 36 m
x = 48 m

A 27 m B 36 m A 20° B 18°

C 48 m D 60 m C 10° D 8°

8 Si csc 5x = sec 4x, calcula el valor de x. 10 Si tg 2x = ctg 4x, halla el valor de x.

5x + 4x = 90° 2x + 4x = 90°
9x = 90° 6x = 90°
x = 10° x = 15°

A 20° B 10° A 15° B 30°

C 60° D 30° C 60° D 90°

10. A 9. D 8. B 7. C 6. D 5. B 4. A 3. B 2. D 1. A Claves:

Coevaluación
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? Metacognición

1. Entre las seis razones trigonométricas, ¿cuál me pareció más fácil de aprender?
2. ¿Cómo prefiero resolver situaciones con ángulos verticales?
a) Usando el teorema de Pitágoras b) Aplicando razones trigonométricas de
ángulos notables

Matemática SIGMA 6 - Geometría ciento cincuenta y nueve 159

www.eactiva.pe
 LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA

BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL

LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825

EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos, económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
compromiso es el Acuerdo Nacional.
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
3. Competitividad del país
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. a fomentar el espíritu de competitividad en las
Estos son tan importantes que serán respetados como empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
políticas permanentes para el futuro. y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o la colocación de nuestros productos en los mercados
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
internacionales.
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
4. Estado eficiente, transparente y descentralizado
siguientes:
Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus
1. Democracia y Estado de Derecho obligaciones de manera eficiente y transparente para
La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una se compromete a modernizar la administración pública,
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
Nacional es garantizar una sociedad en la que los el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
derechos son respetados y los ciudadanos vivan el poder y la economía para asegurar que el Estado
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
sirva a todos los peruanos sin excepción.
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
2. Equidad y justicia social desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
Para poder construir nuestra democracia, es necesario estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
que cada una de las personas que conformamos esta constantemente sus acciones a la sociedad en general.
Matemática

6
La serie Matemática Sigma se ajusta a los estándares educativos
nacionales e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos
actuales establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo secuencial de la
competencia matemática de los niños a partir de nociones.
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas,
el cual promueve y facilita que los estudiantes desarrollen la competencia:
Primaria

Resuelve problemas de movimiento, forma y localización

Además de una propuesta en valores acordes

con los enfoques transversales y vinculada con
el saber matemático.