Anexo 2 - Ejercicios Tarea 2

Guía de actividades y rúbrica de evaluación – Tarea 2 -
Límites y Continuidad
Anexo 2 – Ejercicios Tarea 2
A continuación, se presentan los ejercicios asignados para el
desarrollo de Tarea 2 – Límites y Continuidad. Debe seleccionar un
grupo de ejercicios A, B, C, D, o, E y enunciarlo en el foro de
discusión “Unidad 2 – Tarea 2 – Límites y Continuidad”, ningún
miembro del grupo podrá escoger la misma asignación.
1. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, y de acuerdo

con ella determinar los límites laterales dados, presentar la gráfica
y la respuesta a cada inciso.
Tabla 1. Grupo de ejercicios 1
1.
2. Función Asignada 3. Límites
Ejercicios
lim f ( x )
a. x→−∞
{
1 lim f ( x )
x+3 , x ≤ 4 b. x→+∞
2
f ( x )=
D 1
2
3 c. lim ¿
x − , x> 4 +¿
x→ 4 f ( x ) ¿
2 2
d. lim ¿
−¿
x→ 4 f ( x ) ¿
0
2. Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma presentado
0
el paso a paso del desarrollo y su respuesta.
1. Ejercicios 2. Límites
2−√ x−1
D lim
x →5 x 2−25
respuesta
Para calcular el límite ((2-\sqrt{x-1})/(x^2-25)) cuando (x) tiende a

5, podemos utilizar el método de factorización y simplificación. A
continuación se muestra el desarrollo paso a paso:
Factorización del denominador: ((x^2-25)) se factoriza como

((x+5)(x-5)).
Sustitución directa: Sustituimos (x=5) en la expresión original:
((2-\sqrt{5-1})/(5^2-25) = (2-\sqrt{4})/(25-25) = (2-2)/0 = 0/0).
Simplificación del numerador: Simplificamos el numerador ((2-\
sqrt{x-1})) como ((2-\sqrt{x-1})*(2+\sqrt{x-1})).
Factorización del numerador: Factorizamos el numerador como
((2-\sqrt{x-1})*(2+\sqrt{x-1})).
Simplificación: Simplificamos la expresión original utilizando la
factorización del numerador y del denominador.
El resultado final es (\lim_{{x \to 5}} \frac{2-\sqrt{x-1}}{x^2-25}
= \lim_{{x \to 5}} \frac{(2-\sqrt{x-1})*(2+\sqrt{x-1})}{(x+5)(x-
5)}).
Dado que el numerador y el denominador tienen un factor común de

((x-5)), podemos cancelar este factor.
Respuesta: Después de cancelar el factor común, obtenemos: (\

lim_{{x \to 5}} \frac{2+\sqrt{x-1}}{x+5}).
Por lo tanto, el límite es (\frac{2+\sqrt{5-1}}{5+5} = \frac{2+2}
{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}).
3. Calcular el siguiente límite al infinito y comprobar en GeoGebra
que el límite existe, presentar la gráfica de donde se evidencie la
existencia del límite y el paso a paso del desarrollo analítico del
ejercicio.
1.
2. Límites
Ejercicios
5 3 2
2 x + 4 x −7 x
lim
D x→ ∞
4 3
8 x −3 x +12 x +9
repuesta
Cálculo del límite al infinito
Para calcular el límite (\lim_{x \to \infty} \frac{2x^5 + 4x^3 -
7x^2}{8x^4 - 3x^3 + 12x + 9}), primero dividimos todos los
términos por (x^5) (el término de mayor grado en el numerador y el
denominador) para simplificar:
[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^5 + 4x^3 - 7x^2}{8x^4 - 3x^3 + 12x

+ 9} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4}{x^2} - \frac{7}
{x^3}}{8 - \frac{3}{x} + \frac{12}{x^4} + \frac{9}{x^5}} ]
Dado que (\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0) para cualquier

constante (c) y exponente positivo (n), podemos simplificar la
expresión a:
[ \lim_{x \to \infty} \frac{2}{8} = \frac{1}{4} ]
4. Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentando el paso a

paso del desarrollo y su respuesta (Para su solución no utilizar la
regla L´Hopital).
1. Ejercicios 2. Límites
senx (1−cosx )
D lim
x →0 x2
respuesta
Para evaluar el límite trigonométrico (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1-\
cos x)}{x^2}) sin usar la regla de L'Hôpital, podemos utilizar
identidades trigonométricas para simplificar la expresión.
Primero, utilizamos la identidad trigonométrica (\sin^2 x = 1 - \

cos^2 x), lo que nos permite reescribir ((1-\cos x)) como (\sin^2 x).
Entonces, la expresión se convierte en (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \
sin^2 x}{x^2}).
A continuación, utilizamos la identidad (\sin 2x = 2 \sin x \cos x) para

reescribir (\sin x \sin^2 x) como (\frac{1}{2} \sin 2x \sin x).
Entonces, el límite se convierte en (\lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \
frac{\sin 2x}{x} \sin x).
Finalmente, sabemos que (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1), por
lo que el límite original se convierte en (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0
= 0).
Por lo tanto, el resultado del límite es (0).
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
5. A continuación, se presentan el enunciado que deberá resolver y
sustentar por medio de un video, representando la función y su
respuesta en GeoGebra.
Para las siguientes funciones a trozos, determinar los valores que

hacen que la función sea continúa; incluya el procedimiento
completo para cada caso y su verificación con GeoGebra:
1.
Ejercicio 2. Ejercicio Límites y continuidad.
s
La función definida a trozos modela la intensidad de
recepción de señal de un televisor en diferentes horas del
día:
{
−2 t+20 0 ≤t <8
t
I ( t )= 8 ≤t <16
D 2
24−t 16 ≤ t ≤ 24
a) Comprobar si la intensidad es una función continúa

evaluando los límites laterales y el valor de la función
en t=8 y t=16.
b) ¿Qué intensidad tiene la señal a las 16 horas del día?
respuesta
Para determinar si la función (I(t)) es continua, evaluaremos los límites laterales y

el valor de la función en los puntos (t=8) y (t=16). Primero, veamos los límites
laterales:
Límite lateral por la izquierda en (t=8):
Evaluamos la función cuando (t) se acerca a 8 desde la izquierda: (\lim_{{t \to

8^-}} I(t) = \lim_{{t \to 8^-}} (-2t + 20) = -2(8) + 20 = 4)
Límite lateral por la derecha en (t=8):
Evaluamos la función cuando (t) se acerca a 8 desde la derecha: (\lim_{{t \to

8^+}} I(t) = \lim_{{t \to 8^+}} (t/2) = 8/2 = 4)
Como los límites laterales coinciden en (t=8), el límite de la función en ese

punto existe y es igual a 4. Por lo tanto, la función es continua en (t=8).
Límite lateral por la izquierda en (t=16):
Evaluamos la función cuando (t) se acerca a 16 desde la izquierda: (\lim_{{t \to

16^-}} I(t) = \lim_{{t \to 16^-}} (24 - t) = 24 - 16 = 8)
Límite lateral por la derecha en (t=16):
Evaluamos la función cuando (t) se acerca a 16 desde la derecha: (\lim_{{t \to

16^+}} I(t) = \lim_{{t \to 16^+}} (24 - t) = 24 - 16 = 8)
Nuevamente, los límites laterales coinciden en (t=16), lo que significa que el

límite de la función en ese punto también existe y es igual a 8. Por lo tanto, la
función es continua en (t=16).
En cuanto a la intensidad de la señal a las 16 horas del día, evaluamos la función

en (t=16): [I(16) = 24 - 16 = 8]

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Guía de actividades y rúbrica de evaluación – Tarea 2 -

1. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, y de acuerdo

Tabla 1. Grupo de ejercicios 1

Para calcular el límite ((2-\sqrt{x-1})/(x^2-25)) cuando (x) tiende a

Factorización del denominador: ((x^2-25)) se factoriza como

Dado que el numerador y el denominador tienen un factor común de

Respuesta: Después de cancelar el factor común, obtenemos: (\

[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^5 + 4x^3 - 7x^2}{8x^4 - 3x^3 + 12x

Dado que (\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0) para cualquier

4. Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentando el paso a

Tabla 4. Grupo de ejercicios 4

Primero, utilizamos la identidad trigonométrica (\sin^2 x = 1 - \

A continuación, utilizamos la identidad (\sin 2x = 2 \sin x \cos x) para

Por lo tanto, el resultado del límite es (0).

Para las siguientes funciones a trozos, determinar los valores que

Tabla 5. Grupo de ejercicios 5

a) Comprobar si la intensidad es una función continúa

Para determinar si la función (I(t)) es continua, evaluaremos los límites laterales y

Evaluamos la función cuando (t) se acerca a 8 desde la izquierda: (\lim_{{t \to

Límite lateral por la derecha en (t=8):

Evaluamos la función cuando (t) se acerca a 8 desde la derecha: (\lim_{{t \to

Como los límites laterales coinciden en (t=8), el límite de la función en ese

Límite lateral por la izquierda en (t=16):

Evaluamos la función cuando (t) se acerca a 16 desde la izquierda: (\lim_{{t \to

Límite lateral por la derecha en (t=16):

Evaluamos la función cuando (t) se acerca a 16 desde la derecha: (\lim_{{t \to

Nuevamente, los límites laterales coinciden en (t=16), lo que significa que el

En cuanto a la intensidad de la señal a las 16 horas del día, evaluamos la función

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