Documento 4to - 2024 Material para Docentes

2024 • Año del 75° Aniversario de la gratuidad universitaria en la República Argentina
Matemática en 4to
Propuestas de enseñanza para mayo, junio y julio
El propósito de este material es seguir acompañando a las maestras y a los maestros de 4to
año en la planificación de la enseñanza de la Matemática en esta primera parte del año. Tal como
planteamos en el documento de trabajo para las jornadas institucionales del pasado mes de
febrero1, se trata de ofrecer colecciones de problemas para recuperar los conocimientos que las
niñas y los niños tienen disponibles como puntos de apoyo para avanzar. Para ello, se propuso la
presentación de problemas sencillos similares a los resueltos en años anteriores, de modo de dar
continuidad al estudio de la numeración y las operaciones.
Finalizado el mes de abril es buen momento para hacer un alto antes de continuar. ¿Qué
propuestas y problemas que involucran el estudio de la numeración y de las operaciones se
trabajaron en los dos primeros meses de clase? ¿Qué conocimientos comenzaron a circular? ¿Qué
errores aparecieron y pudieron discutirse? ¿Qué avances es posible reconocer respecto de esos
conocimientos iniciales? ¿Qué queda aún pendiente y es preciso retomar con todo el grupo o con
algunas o algunos estudiantes? ¿Qué niñas y niños necesitan más tiempo para interactuar con el
tipo de propuestas presentadas hasta aquí? ¿Qué registros de ideas o de conclusiones pudieron
construirse entre todas y todos? ¿Qué informaciones quedaron disponibles en las carpetas y en las
paredes del aula que sirvan como apoyo y fuente de consulta frente a nuevos problemas?
Este trabajo de reconocimiento de lo trabajado, de lo enseñando, de lo aprendido, de lo
pendiente, es fundamental para docentes y para estudiantes. Les proponemos entonces destinar
un tiempo a retomar y sistematizar lo trabajado hasta el momento y, a partir de allí, presentar
nuevos desafíos para seguir aprendiendo.
¿Qué contenidos matemáticos han sido previstos para la primera parte del año?
Según la propuesta de distribución anual de contenidos incluida en el documento elaborado

para las jornadas institucionales de febrero/24 (pp. 25-27), los contenidos matemáticos previstos
para marzo y abril son los que transcribimos a continuación. Les proponemos volver a su lectura
de modo de identificar cuáles de estos contenidos han sido involucrados en las propuestas de
enseñanza desplegadas en sus aulas en los primeros meses de clase, cuáles requieren de más
tiempo de enseñanza y cuáles quedaron pendientes.
1
Documento para las Jornadas Institucionales de febrero/24. Matemática. Disponible aquí.
 Contenidos previstos para marzo y abril
Numeración:
- Resolver problemas que involucren leer, escribir y ordenar números hasta 10.000
aproximadamente, y luego hasta 100.000 (teniendo disponible información sobre escritura y
nombre de números redondos).
- Analizar el valor posicional a partir de problemas que exijan componer y descomponer
números en sumas y multiplicaciones por la unidad seguida de ceros en el contexto del
dinero y de juegos con puntajes. (Este contenido se vincula con Operaciones: cálculo
mental).
Operaciones:
- Resolver problemas de suma y resta que involucren variados sentidos, diversas maneras de
presentar la información y que requieran de varios pasos.
- Usar la calculadora para resolver cálculos y problemas de sumas y restas y para verificar
resultados.
- Elaborar y usar estrategias de cálculo mental exacto y estimativo para resolver cálculos y
problemas de sumas y restas. (Este contenido se vincula con Numeración: valor posicional).
- Resolver problemas que involucren algunos sentidos más sencillos de la multiplicación y de
la división (series proporcionales, reparto, particiones) por medio de diferentes
procedimientos (dibujos, billetes, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, calculadora,
etc.).
Para enriquecer el análisis recomendamos muy especialmente la lectura del documento

Intensificación de la enseñanza de la Matemática en 3°2. Allí se ofrece una colección de
problemas que involucran la multiplicación y la división junto a orientaciones didácticas para su
enseñanza. Esta lectura en clave de continuidad y progresión pone a la o el docente de 4to en
mejores condiciones de recuperar el trabajo que las alumnas y los alumnos vienen realizando
desde primer ciclo. Encontrarán allí problemas de series proporcionales, reparto y partición, que
pueden presentarse para inicios de 4to; como así también, problemas de organizaciones
rectangulares, combinatoria y análisis del resto, cálculo mental exacto y estimativo, y análisis de las
relaciones entre productos de la tabla pitagórica, propuestos para mayo, junio y julio. A su vez, la
lectura de este documento ofrece a la o el docente de 4to situaciones que podrían resultar
pertinentes para estudiantes menos avanzados que necesiten detenerse por más tiempo en
problemas multiplicativos del mismo tipo pero que presentan menor nivel de complejidad; o bien,
situaciones que podrían compartir estudiantes que cursan 3ero y 4to en un aula plurigrado.
También sugerimos, como ya fue planteado en las jornadas de febrero, recuperar las
Pruebas Escolares 2023 (apartado VII. Evaluar para seguir reflexionando sobre la enseñanza, pp.
11-12). La lectura de las pruebas escolares de 3ro y de 4to permitirá acceder no solo al tipo de
problemas que allí se incluyen sino a los diversos procedimientos desplegados por las niñas y los
niños. Este análisis brindará información sobre cuáles fueron los problemas en los que se obtuvo
2
Podrán acceder a este documento desde este enlace aquí.
mayor porcentaje de respuestas correctas, parcialmente correctas o incorrectas; cuáles quedaron

sin resolver; cuáles fueron los errores más frecuentes. Estas reflexiones, sin dudas, enriquecerán la
mirada sobre los contenidos previstos para mayo, junio y julio que se presentan a continuación.
 Contenidos previstos para mayo, junio y julio
Operaciones:
- Resolver problemas que involucren algunos sentidos más complejos de la multiplicación y
de la división (organizaciones rectangulares, combinatoria, análisis del resto, cantidad de
veces que entra un número en otro) por medio de diferentes procedimientos (dibujos,
sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, calculadora, etc.).
- Ampliar y usar un repertorio de multiplicaciones y divisiones a partir del análisis de
relaciones entre productos de la tabla pitagórica. Multiplicación por 0, por 1 y por la unidad
seguida de ceros. División por la unidad seguida de ceros.
- Elaborar y usar estrategias de cálculo mental exacto y estimativo para resolver cálculos de
multiplicaciones y divisiones. (Este contenido se vincula con Numeración: valor posicional).
- Resolver problemas que involucren cálculos mentales estimativos de multiplicaciones y
divisiones verificando resultados con calculadora. (Este contenido se vincula con
Numeración: valor posicional).
Materiales para consultar:

➔ Cuaderno 4º y 5º año Programa ATR 2020
➔ Programa +ATR año 2021 - Operaciones IV
➔ Matemática 1° a 6° - Tercera entrega- Comunicación 54/21 - 9/8
➔ Matemática - Quinta entrega (2020) - Cálculos mentales - 4º año.
Proporcionalidad:
- Resolver problemas de proporcionalidad directa con números naturales (presentados con
enunciados o con cuadros de doble entrada) por medio de diferentes procedimientos.
- Analizar características y propiedades de las relaciones de proporcionalidad directa
(dejando esta información disponible para resolver nuevos problemas).
- Analizar relaciones que no cumplen con las propiedades de la proporcionalidad directa
(edad y altura, ofertas, etc.).
➔ DGCyE - La proporcionalidad - Capítulos 1, 2 y 3.
Geometría. Circunferencia y círculo:

- Usar el compás para dibujar figuras que contienen circunferencias.
- Resolver problemas que impliquen construir o copiar figuras con regla y compás.
- Resolver problemas que impliquen identificar la circunferencia como el conjunto de puntos
que equidistan de un centro.
- Resolver problemas que impliquen identificar al círculo como el conjunto de puntos que
están a igual o menor distancia de un centro.
➔ Propuestas Didácticas para el Estudio de la Geometría en Segundo Ciclo - Parte 1: Retomar
primer ciclo.
➔ Propuestas Didácticas para el Estudio de la Geometría en Segundo Ciclo - Parte 2:
Circunferencia y Círculo.
Cuaderno 4º y 5º año Programa ATR 2020
En el Anexo 1 presentamos un conjunto de propuestas para cada contenido que podrían

plantearse a las alumnas y a los alumnos en estos meses.
Contenido. Operaciones: Multiplicación y división
1. Resolver problemas que involucren algunos sentidos más complejos de la multiplicación y

de la división
De acuerdo a la distribución anual de contenidos, en los primeros meses se proponía

destinar un tiempo al estudio de problemas que involucren algunos sentidos más sencillos de la
multiplicación y de la división: series proporcionales, reparto y partición. A partir del mes de mayo,
se propone avanzar hacia algunos sentidos más complejos de estas operaciones: organizaciones
rectangulares, combinatoria, análisis del resto y cantidad de veces que entra un número en otro,
por medio de diferentes procedimientos (dibujos, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones,
calculadora, etc.). Será importante recuperar los conocimientos que las niñas y los niños hayan
elaborado al interactuar con estos tipos de problemas a lo largo del primer ciclo como puntos de
apoyo para los nuevos aprendizajes.
- Problemas que involucran organizaciones rectangulares

En el Anexo 1 se presenta una colección de problemas que involucran organizaciones
rectangulares organizada bajo dos títulos: Problemas con filas y columnas I y Problemas con
filas y columnas II.
Los problemas 1 y 2 de Problemas con filas y columnas I permiten, a quienes lo

necesiten, apoyarse en el conteo para resolver.
Si bien las imágenes habilitan el conteo de cada flor o de cada cuadradito, la organización
en filas y columnas favorece el uso de sumas reiteradas o multiplicaciones: 11 + 11 + 11, 3 x 11,
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 u 11 x 3 para el problema 1; 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, 6 x 5,
6 + 6 + 6 + 6 + 6 o 5 x 6 para el problema 2. Será interesante generar espacios para analizar y
comparar estos diferentes procedimientos, sin apresurar el abandono de aquellos en los que las
chicas y los chicos se sienten más seguros (aunque sean menos avanzados). Estas distintas
maneras de resolver podrán convivir en el aula hasta que, progresivamente y luego de un tiempo
de trabajo, la mayoría de las y los estudiantes comience a reconocer que la multiplicación permite
resolver este tipo de problemas y resulta un medio económico de hacerlo.
El problema 3 presenta un nuevo desafío: algunos casilleros se encuentran tapados y
obliga a encontrar una manera de responder sin contarlos uno por uno.
En los problemas 4 y 5 se trata de identificar cuál o cuáles de los cálculos propuestos

permiten averiguar la cantidad de baldosas sin contarlas.
En cambio, en los problemas 6 y 7 serán las y los estudiantes quienes propongan cálculos
para determinar la cantidad de cuadraditos sin contar. En el caso del problema 7, la organización
espacial de la cuadrícula podría requerir de varios cálculos para averiguar la cantidad total de
cuadraditos. Es probable que las alumnas y los alumnos propongan diferentes combinaciones de
sumas, restas o multiplicaciones que será interesante comparar y analizar entre todas y todos
luego de su resolución.
Los enunciados de los problemas que se plantean en Problemas con filas y columnas II
no presentan dibujos ni representaciones, por ejemplo los problemas 1 y 2.
Si bien las y los estudiantes podrían realizar dibujos o esquemas para iniciar la resolución,
se busca que reinviertan el trabajo realizado en clases anteriores en torno a los diversos cálculos
que permiten representar este tipo de situaciones.
El problema 3 presenta un nuevo desafío. A diferencia de los problemas anteriores, en los
que se conoce la cantidad de filas y la cantidad de elementos por fila y se pregunta por la cantidad
total de elementos (a x b = c), aquí se informa el total de plantines y la cantidad de filas en el item
a) y el total de plantines y la cantidad de plantines por fila en el item b).
Si bien las niñas y los niños podrán ensayar diferentes procedimientos de resolución
(dibujos, conteo, restas sucesivas, multiplicaciones parciales), se espera que comiencen a
establecer relaciones entre la multiplicación y la división. Por ejemplo, para el item a), reconocer
que “hay que averiguar qué número multiplicado por 7 da 35” o que “hay que dividir 35 por 7”. El
item c) invita a las alumnas y a los alumnos a proponer distintas maneras de organizar los 48
plantines. Para ello podrán apelar a distintas multiplicaciones cuyo producto es 48 (6 filas de 8
plantines, 8 filas de 6 plantines, 12 filas de 4 plantines, 4 filas de 12 plantines, etc.), o bien, buscar
divisiones en las que se obtenga resto 0. Estas ideas serán retomadas en 5to y 6to al estudiar
múltiplos y divisores.
Dada la mayor complejidad de este problema podría proponerse para resolver en parejas o
en pequeños grupos, seguido de un espacio colectivo para analizar en qué se parece y en qué se
diferencia de los problemas anteriores. Las conclusiones a las que arriben podrían registrarse en
carpetas o carteles para su consulta. Con esta misma intención, se propone la sección final:
En esta instancia también podría ser interesante ofrecer a las alumnas y a los alumnos un
conjunto de cálculos para que inventen situaciones problemáticas que se resuelvan con los
mismos.
Las situaciones que se incluyen en Problemas con filas y columnas III apuntan a identificar
los diversos cálculos que permiten resolver cada problema, por ejemplo en el ítem a) del problema
1.
Será interesante, luego de la resolución, solicitar a las y los estudiantes que justifiquen sus
elecciones para seleccionar o descartar cada cálculo.
El problema 2 involucra la realización de varios cálculos. Para resolverlo las alumnas y los
alumnos podrían apoyarse en esquemas, sumas o multiplicaciones. Si la o el docente lo considera
pertinente, podría proponerse para realizar en parejas o grupos, de modo de enriquecer las
discusiones, dar lugar a la justificación de las decisiones y a la búsqueda de acuerdos.
La sección final retorna sobre el problema 2 y busca analizar el significado de cada

número y de cada cálculo con la intención de cargar de sentido esas escrituras en relación al
contexto del problema.
- Problemas que involucran combinaciones
Se propone un conjunto de problemas de un sentido más complejo de la multiplicación. Se

trata de determinar la cantidad de posibilidades que resultan de combinar dos colecciones. Es
probable que, a pesar de haber interactuado con este tipo de problemas en años anteriores y de
saber bastante sobre sumas y multiplicaciones, no recurran a ellas al iniciar la resolución de los
primeros problemas. Por ejemplo, en el problema 1 podrán trazar flechas vinculando cada tipo de
fuente con cada tipo de formato para encontrar la respuesta al problema a partir del conteo de las
combinaciones posibles.
En cambio, el enunciado del problema 2 presenta la información sin el apoyo de imágenes

o representaciones.
Para resolverlo, las alumnas y los alumnos podrían realizar dibujos o gráficos, usar flechas,
sumas o multiplicaciones como los siguientes.
En un espacio de trabajo colectivo será interesante comparar los distintos procedimientos e

identificar qué representa cada número en los distintos cálculos (qué es lo que se cuenta, suma o
multiplica en cada caso). Este tipo de trabajo colabora en otorgar sentido a lo que van produciendo
y aprendiendo.
Para avanzar en esta tarea, el problema 3 introduce un conjunto de cálculos. Se trata de
identificar cuál o cuáles permiten averiguar la cantidad de combinaciones posibles.
Un aspecto a analizar al resolver este tipo de problemas consiste en controlar que se hayan
considerado todas las combinaciones posibles sin repetir ninguna. Con este propósito se plantea la
tarea colectiva final.
- Problemas que involucran el análisis del resto. Problemas en los que se analiza la cantidad
de veces que un número entra dentro de otro.
En los primeros meses del año se propuso el abordaje de problemas de reparto y partición.
A partir del mes de mayo, se analiza un nuevo aspecto de los problemas que involucran la división:
analizar cuántas partes son necesarias para completar el reparto, incluso cuando alguna de las
partes no quede completa al máximo de su capacidad. En los problemas que se plantean bajo el
título ¿Alcanza justo o falta?, como el cociente no resulta suficiente para definir la respuesta, es
necesario considerar el resto.
En los problema 1 y 2 se conoce la cantidad de elementos a distribuir (26 empanadas o
145 personas) y la cantidad de elementos que entran en cada parte (6 empanadas por bandeja o
14 personas por viaje), y se trata de averiguar cuántas bandejas o cuántos viajes serán necesarios
para completar la distribución. Por ejemplo, el problema 1:
Para resolverlo las alumnas y los alumnos podrán dibujar las empanadas, agruparlas de a 6
y contar cuántas bandejas pueden completarse. A su vez, identificar que será preciso usar una
bandeja más para colocar las 2 empanadas restantes.
Los problemas 3, 4 y 5 avanzan en promover el análisis acerca de cuántos elementos son
necesarios para completar una nueva parte. Por ejemplo, el problema 3:
Otro procedimiento que las y los estudiantes podrían poner en juego es restar
sucesivamente a la cantidad inicial los 4 globos que se colocan en cada puerta. O bien, identificar
que como 4 x 10 = 40 y 2 x 4 = 8, entonces se pueden decorar 12 puertas usando 48 globos y
sobran 2. A partir de esta información, será posible determinar que se necesitan 2 globos más para
decorar otra puerta.
La sección final apunta a explicitar los procedimientos de resolución utilizados, aspecto
central en los procesos de estudio. Si bien la resolución de problemas es un eje fundamental del
trabajo matemático en las aulas, no resulta suficiente. Es preciso reflexionar sobre lo realizado,
tomar conciencia de los procedimientos puestos en juego para resolver el problema (incluso los
caminos que las y los estudiantes abandonaron o no funcionaron). Este trabajo de toma de
conciencia de lo que van produciendo y aprendiendo es indispensable. En este caso se propone de
manera colectiva, pero también es posible plantearlo en pequeños grupos, en parejas e
individualmente.
2. Ampliar y usar un repertorio de multiplicaciones y divisiones a partir del análisis de

relaciones entre productos de la tabla pitagórica. Multiplicación por 0, por 1 y por la unidad
seguida de ceros. División por la unidad seguida de ceros.
Los problemas que se incluyen en este apartado permiten retomar y profundizar el estudio
de la multiplicación y de la división. En este caso, apoyándonos en el cuadro con multiplicaciones
que presenta los productos que resultan de multiplicar entre sí los factores del 1 al 10. El modo en
que están organizados habilita que se puedan establecer nuevas relaciones entre productos. Se
trata de un trabajo que inicia en 3er año y se profundiza en 2do ciclo. Será entonces necesario
destinar un espacio a la exploración del cuadro o a la evocación de los conocimientos que tienen
disponibles antes de avanzar.
Tal como planteamos en el documento Intensificación de la enseñanza de la Matemática
en 3° (pp. 20-26), la memorización de los productos no se plantea como punto de partida, sino que,
a partir de su uso y análisis, se espera que las niñas y los niños vayan ampliando su repertorio
multiplicativo progresivamente. Es por ello que volvemos a insistir en la importancia de disponer del
cuadro con multiplicaciones para su consulta, en las paredes del aula y en las carpetas.
Posiblemente, mientras algunas y algunos estudiantes aún precisen consultar esos carteles, para
otras y otros progresivamente dejará de ser necesario.
Las siguientes propuestas están organizados bajo los títulos Un cuadro con
multiplicaciones I, Un cuadro con multiplicaciones II y Usar la tabla pitagórica para dividir.
Los problemas 1 y 2 que inician Un cuadro con multiplicaciones I presentan cuadros
incompletos. Para completar las filas solicitadas en cada caso las alumnas y los alumnos podrán
recurrir al conteo o sobreconteo, sumar o restar, o bien, establecer relaciones de dobles, triples,
mitades o tercios entre los productos de las distintas filas y columnas disponibles. Por ejemplo, en
el problema 1, para completar la fila del 2, las niñas y los niños podrían considerar que se trata de
la mitad de los productos de la tabla del 4; para completar la tabla del 10 podrían sumar los
productos de las tablas de 4 y de 6, o los de las tablas de 3 y 7; para completar la tabla del 5
podrían buscar la mitad de los productos de la tabla del 10, entre otras relaciones posibles.
Además, el problema 1 ofrece la oportunidad de analizar las multiplicaciones por 1 y por

10 en el contexto del cuadro con multiplicaciones.
El problema 3 y el recuadro de la sección final apuntan a explicitar y analizar dichas

relaciones, que serán profundizadas en 5to y 6to a partir del estudio de las propiedades de la
multiplicación y de la división. Estas relaciones se apoyan en las propiedades conmutativa y
asociativa, aunque aún no se las mencione de ese modo.
En Un cuadro con multiplicaciones II se busca que las alumnas y los alumnos puedan
identificar que es posible obtener los resultados de filas o columnas sumando o restando los
productos de otras filas y columnas. Los problemas 1, 2 y 3 proponen la exploración de estas
relaciones que se apoyan en la propiedad distributiva, aunque no se la mencione aún de ese modo.
La propuesta de la sección final busca profundizar este análisis y avanzar en la

elaboración colectiva de explicaciones.
En relación a la construcción y ampliación del repertorio multiplicativo se encuentran

disponibles varios contenidos digitales interactivos (CDI), por ejemplo Adivinar el producto -
Continuemos estudiando (abc.gob.ar) en donde se trata de identificar entre los números que se
ofrecen cuál es el producto que corresponde al casillero indicado, o sea, el resultado de 6 x 3 o 3 x
6. En este caso, la oferta de números posibles acota la búsqueda por parte de las niñas y niños, lo
que representa una ayuda para decidir.
Otro CDI es La tabla incompleta - Continuemos estudiando (abc.gob.ar). Allí se proponen

distintos recortes de la tabla incompletos. En las sucesivas situaciones se va aumentando la
cantidad de filas que se presentan hasta llegar al cuadro completo. En cada caso, se ofrecen
diferentes números para ubicar en los lugares correspondientes.
Otras propuestas de CDI que colaboran en este trabajo son: Encontrar los productos -
Continuemos estudiando (abc.gob.ar), Completar los productos- Continuemos estudiando
(abc.gob.ar), Productos intrusos - Continuemos estudiando (abc.gob.ar) y Columnas de las tablas -
Continuemos estudiando (abc.gob.ar).
Retomando el Anexo 1, los problemas que se presentan en Usar la tabla pitagórica para
dividir ofrecen una nueva oportunidad para analizar las relaciones entre la multiplicación y la
división. Por ejemplo, en el problema 1 se conoce uno de los factores y el producto, y es preciso
identificar el factor desconocido usando el cuadro de multiplicaciones. Para ello las y los
estudiantes podrían localizar el 48 en la fila o la columna del 8 y reconocer la fila o la columna con
la que se cruza, en este caso con la del 6. Será interesante proponer luego la escritura de los
cálculos que permitirían representar esta situación, por ejemplo, para el ítem a) podría ser 8 x…. =
48, o bien, 48: 8 =….
Estas relaciones podrán reinvertirse para resolver las divisiones del problema 2. En c), por
ejemplo, se trata de encontrar qué número multiplicado por 4 da 36 como resultado.
Todas las divisiones que se incluyen en el problema 2 tienen resto 0. El problema de la

sección final apunta a analizar qué sucede cuando las divisiones tienen resto distinto de 0. Estas
ideas serán retomadas y profundizadas en 5to y 6to al estudiar las relaciones entre Dividendo,
divisor, cociente y resto, con resto mayor o igual que 0 y menor que el divisor. Por el momento, se
espera que, por ejemplo en a), puedan encontrar qué número multiplicado por 6 da como resultado
un número cercano y mayor a 13 (6 x 2 = 12) y, a partir de allí, determinar que la distancia entre 12
y 13 es 1, por lo tanto, el resto es 1. Es decir que, 13 : 6 = 2 y el resto es 1, porque 6 x 2 + 1 = 13.
En Multiplicaciones y divisiones por 10, 100 y 1.000 se propone un conjunto de problemas

que apunta a que las alumnas y los alumnos exploren estrategias de cálculo mental vinculadas con
multiplicaciones y divisiones por números terminados en cero. Será una oportunidad para retomar
el trabajo realizado en torno a tablas y cuadros con multiplicaciones en los que se incluyen
multiplicaciones por 10 o 100. Estas multiplicaciones ocupan un lugar privilegiado dentro del
repertorio multiplicativo, ya que se constituyen en potentes herramientas para anticipar y controlar
resultados. Será pues importante elaborar carteles para el aula en los que se registren ejemplos de
estos cálculos para que las y los estudiantes puedan consultar cada vez que lo necesiten.
Si la o el docente lo considera oportuno, podrá situar algunos de estos cálculos en el
contexto del dinero o de juegos de emboque para ayudar a las alumnas y a los alumnos que lo
necesiten a recuperar o elaborar conocimientos que les resulten punto de apoyo para resolver los
problemas que se proponen. Por ejemplo, “Caro tiene 8 billetes de $100 en la billetera, ¿cuánto
dinero tiene?”, “Joaquín embocó 3 pelotitas en la lata que vale 1.000 puntos, ¿cuántos puntos se
anota?”, o bien, “Nacho tiene $12.000 en billetes de $1.000, ¿cuántos billetes tiene?”. La
calculadora puede funcionar como un recurso para explorar y para controlar los resultados que
obtienen con cierta autonomía.
Los productos con los que hay que completar cada columna de la tabla que se presenta en
el problema 1 están vinculados. En cada caso se trata de multiplicar un mismo número por 10, por
100 y por 1.000 (por ejemplo, 2 x 10, 2 x 100 y 2 x 1.000).
El problema 2 extiende el mismo tipo de trabajo. Luego de resolver ambos problemas será
interesante ofrecer un espacio para analizar de manera colectiva “por qué creen que se agregan
ceros al multiplicar por 10, por 100 y por 1.000”.
Los problemas 3 y 4 apuntan a que las chicas y los chicos se apoyen en las ideas que
comenzaron a circular en los problemas anteriores para identificar cuáles de los números
propuestos pueden ser productos de multiplicaciones de un número natural por 10 o por 100. Si
bien no se solicita, en un espacio colectivo la o el docente podrá propiciar que compartan cómo se
dieron cuenta de cuáles de los números que se presentan pueden ser productos de
multiplicaciones por 10 o por 100 y cuáles no. Si la o el docente lo considera pertinente, se podrá
apelar al contexto del dinero para colaborar en la comprensión del problema, por ejemplo: “Amelia
tiene varias bolsas con monedas de $10. ¿Cuál o cuáles de estas cantidades podrían corresponder
al dinero que contiene cada una de esas bolsas?”.
El problema 5 introduce el trabajo con divisiones por 10, por 100 y por 1.000, que se
vincula al realizado anteriormente en torno a las multiplicaciones. En la primera fila de cálculos, por
ejemplo, se trata de encontrar un número que multiplicado por 10, 100 o 1.000 dé 8.000.
Luego de resolver estos cálculos será interesante ofrecer un espacio para analizar de
manera colectiva por qué creen que se quitan ceros al dividir por 10, por 100 y por 1.000. La
sección final va en la misma dirección, esta vez proponiendo un momento para volver a analizar
los problemas resueltos y elaborar explicaciones en parejas. Será interesante generar una
instancia colectiva para poner en diálogo esas distintas explicaciones, analizar qué tienen en
común e invitar a revisar sus producciones para mejorarlas.
3. Elaborar y usar estrategias de cálculo mental exacto y estimativo para resolver cálculos de
multiplicaciones y divisiones. (Este contenido se vincula con Numeración: valor posicional).
Uno de los aspectos centrales del trabajo en torno al cálculo mental consiste en reconocer
que algunos cálculos conocidos pueden resultar puntos de apoyo para resolver cálculos
desconocidos. Este tipo de tarea no es novedosa, dado que las y los estudiantes han tenido
numerosas oportunidades en el primer ciclo de usar sumas o restas conocidas para resolver otras
nuevas. Los primeros problemas del apartado Calcular mentalmente y estimar apuntan a
profundizar este trabajo, esta vez entre multiplicaciones y divisiones.
El problema 1 presenta una tabla en la que los cálculos de una misma fila están asociados
de diferentes maneras. La primera y la última fila apuntan a retomar las multiplicaciones por 0, por
1, por 10 y por 100 trabajadas anteriormente. Será interesante analizar cómo varían los productos
cuando uno de los factores permanece igual. La segunda fila invita a analizar qué sucede cuando
se divide la misma cantidad entre divisores que guardan relaciones de dobles o mitades. En este
caso, ¿cómo cambia el cociente si se reparte 48 entre 2 o 48 entre 4?, ¿si el divisor es el doble
también será el doble el cociente? Tanto en la segunda como en la tercera fila es posible
establecer una relación entre multiplicaciones y divisiones, por ejemplo, como 12x4=48, entonces
48:4=12.
En el problema 2 también es posible establecer relaciones entre cálculos y apoyarse en

unos para resolver otros. En un espacio colectivo luego de la resolución se podrá invitar a las
alumnas y a los alumnos a que compartan en qué cálculos se apoyaron y cómo los usaron.
El problema 3 introduce el trabajo en torno a cálculos aproximados. Este tema ha sido

abordado en 3er año, incluso ha formado parte de la Prueba Escolar. Será interesante indagar
cómo, los actuales estudiantes de 4to, resolvieron este tipo de problemas.
Este problema se propone para hacer en parejas porque presenta un nuevo desafío:
elaborar una explicación escrita. En las aulas suelen presentarse con mayor frecuencia espacios
para elaborar explicaciones orales y de manera colectiva, quedando el registro escrito a cargo de la
o el docente. Entendemos que es preciso ampliar estas instancias a otras grupales, en parejas o
individuales, en las que los alumnos y las alumnas asuman la escritura de las explicaciones que
producen. Esta es la intención de los problemas 4 y 5.
El problema 6 propone un conjunto de cálculos. Se trata de encuadrar los productos en

distintos intervalos. Una estrategia posible consiste en redondear el primer factor, por ejemplo, para
99 x 3, apoyarse en 100 x 3 y determinar que se encontrará entre 201 y 400. Al finalizar podrán
controlar sus anticipaciones usando una calculadora.
El problema 7 presenta un conjunto de preguntas que apuntan a determinar si los

resultados de cada cálculo serán mayores o menores que un número dado. Por ejemplo, para
anticipar si 1.234 x 5 da más o menos que 5.000 también podrían recurrir a redondear el primer
factor y determinar que como 1.000 x 5 da 5.000, 1.234 x 5 va a ser mayor que 5.000. Al igual que
en el problema anterior, se solicita la elaboración de una explicación en parejas.
La sección final propone un retorno a los cálculos resueltos para explicar cómo usaron
algunos cálculos para resolver otros. Será una buena oportunidad para revisar y enriquecer las
explicaciones producidas de manera colectiva, en grupos, en parejas o individualmente. El registro
de esta información podrá resultar de mucha utilidad para resolver nuevos problemas.
4. Resolver problemas que involucren cálculos mentales estimativos de multiplicaciones y

divisiones verificando resultados con calculadora. (Este contenido se vincula con
Numeración: valor posicional).
Se presenta una colección de problemas que apuntan a que las alumnas y los alumnos
avancen en el uso del cálculo estimativo para anticipar y controlar sus decisiones. Tal vez sea
necesario que la o el docente aclare que no se trata de obtener resultados exactos, sino que
resulta suficiente con estimar. Los problemas 1, 2 y 3 apuntan a poner en juego esta cuestión.
Para resolver el problema 1, por ejemplo, podrán redondear la cantidad de asientos y

determinar que como 3 x 30 = 90, no alcanzan las combis para trasladar a todas y todos sentados.
El problema 2 podría ponerse en diálogo con el problema 7 del apartado anterior ya que se
trata de determinar si los cálculos 600 x 2, 540 x 2 ó 450 x 2 dan más o menos de 1.000. Será
posible que comiencen descartando aquellos que “se pasan” de 1.000, por ejemplo “6x2=12
entonces ya sé que 600x2=1.200”, o bien, “500x2=1.000, como es 540 va a dar más de 1.000”.
Encontrar la respuesta descartando aquellas que no son posibles es una manera posible de
resolver estos problemas.
El problema 3 puede resultar más complejo porque involucra números más grandes y
mayor cantidad de información. Si la o el docente lo considera necesario, podría plantearse para
resolver en parejas. Si bien no se requiere un resultado exacto, es probable que las chicas y los
chicos registren cálculos parciales para controlar lo que van realizando.
En un espacio de intercambio colectivo podrían analizar en qué casos redondearon uno de

los factores y en cuáles ambos. Por ejemplo, para 5 x 490 podrían redondear el segundo factor y
calcular 5 x 500 = 2.500; mientras que para 9 x 110 podrían redondear uno solo (9 x 100) o bien
ambos factores (10 x 100).
La sección final apunta a analizar entre todas y todos que no siempre los problemas
requieren respuestas exactas.
Contenido. Proporcionalidad
Desde el primer ciclo y en estos primeros meses de 4to, las y los estudiantes han resuelto
problemas de series proporcionales a través de distintos procedimientos: conteo, sobreconteo,
sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Estas distintas maneras de resolver se apoyan en las
propiedades de la proporcionalidad que han funcionado hasta el momento de manera implícita o
intuitiva. Para retomar lo realizado y avanzar en el trabajo propio de segundo ciclo, en el Anexo 1
se presenta una colección de problemas que invita a alumnas y alumnos a acercarse a situaciones
conocidas con un nuevo propósito, a la vez que incorpora propuestas que desafían sus
conocimientos. Ya no se trata sólo de completar o resolver, sino de explorar, analizar y explicitar las
relaciones entre las magnitudes involucradas introduciéndose de este modo en el estudio de las
propiedades de la proporcionalidad, que se profundizará a lo largo del segundo ciclo. Será
interesante vincular estas reflexiones con las relaciones de proporcionalidad que analizaron al
interactuar con la tabla pitagórica.
Los problemas de esta colección se encuentran organizados en tres apartados: Problemas
de Proporcionalidad directa I y II, y Problemas para seguir aprendiendo sobre la
proporcionalidad.
1. Resolver problemas de proporcionalidad directa con números naturales (presentados con

enunciados o con cuadros de doble entrada) por medio de diferentes procedimientos.
Los problemas que se presentan en el primer apartado, Problemas de Proporcionalidad

directa I, apuntan a explorar relaciones de dobles entre las magnitudes involucradas. En el ítem a)
del problema 1 se trata de calcular el doble de 120 baldosas y en el ítem b) el cuádruple de 120 o
el doble de 240 a partir de sumas reiteradas o multiplicando. Estas diversas maneras podrán ser
analizadas entre todas y todos luego de su resolución.
En el problema 2 se informa la cantidad de ruedas por camión y se solicitan en a) y en b)

que averigüen la cantidad que se necesita para 5 y 10 camiones. En a) podrán realizar sumas
sucesivas o multiplicar 5 x 6 = 30. En b) se trata del doble de camiones que a) por lo que podrían
sumar 30 + 30, calcular el doble de 30 o multiplicar 10 x 6 = 60. En c) se informa la cantidad de
ruedas disponibles (90 ruedas) y se trata de averiguar para cuántos camiones alcanza. Para
resolverlo, las alumnas y los alumnos advertir que como 90 = 30 + 60 (la cantidad de ruedas que se
usan para 5 y para 10 camiones), podrían sumar 5 + 10 para saber que 90 ruedas alcanzan para
15 camiones. Otra posibilidad sería apelar a la división 90 : 6 = 15.
El problema 3 presenta una tabla incompleta. A partir de la información que allí se ofrece
se espera que las alumnas y los alumnos puedan establecer algunas relaciones que les permitan
completarla. Es posible que apelen a sumar reiteradamente el valor de una entrada ($120), o bien,
multiplicar ese valor por la cantidad de entradas en cada caso. También podrían apoyarse en
estrategias aditivas, por ejemplo, “como sabemos el valor de 3 entradas y el de 6 entradas, al
sumarlas tenemos el precio de 9 entradas”.
Los problemas 4 y 5 ofrecen la oportunidad de reinvertir estas relaciones.
2. Analizar características y propiedades de las relaciones de proporcionalidad directa

(dejando esta información disponible para resolver nuevos problemas).
El problema 1 de Problemas de Proporcionalidad directa II presenta tres tablas para

completar. Será interesante recuperar el análisis realizado a propósito de las relaciones (de dobles,
mitades, cuádruples y cuartos) entre productos de la tabla pitagórica.
La intención de la sección final es analizar, luego de la resolución, las relaciones que

establecieron para completarlas.
A partir de allí, se avanza en explicitar las propiedades de la proporcionalidad directa que se

sistematizan en el cuadro con información que se propone para leer de manera colectiva.
3. Analizar relaciones que no cumplen con las propiedades de la proporcionalidad directa

(edad y altura, ofertas, etc.).
En Problemas para seguir pensando sobre la proporcionalidad directa se presentan

tres problemas que apuntan a analizar que no siempre las relaciones que se establecen entre
magnitudes son de proporcionalidad directa. Será preciso entonces identificar cuáles son las
propiedades de la proporcionalidad directa y analizar cada problema para determinar si se cumplen
o no. Por ejemplo, en el problema 1 se ponen en relación edad, peso y altura, magnitudes que no
conservan relaciones proporcionales.
La sección final propicia un espacio para analizar y explicitar estas ideas.

Es importante mencionar que este contenido se retoma y profundiza en otros períodos del
año.
Agosto y septiembre
- Resolver problemas de proporcionalidad directa con enteros, medios, cuartos y octavos.
Octubre, noviembre y diciembre
- Resolver problemas de proporcionalidad directa en el contexto de la medida apelando a

equivalencias entre unidades.
Contenido. Geometría. Circunferencia y círculo
En relación a los contenidos geométricos previstos para este período remitimos a la lectura
de la Parte 1: Retomar primer ciclo y la Parte 2: Circunferencia y círculo. Allí encontrarán
colecciones de problemas para las y los estudiantes acompañadas de orientaciones didácticas
para docentes.

➔ Propuestas Didácticas para el Estudio de la Geometría en Segundo Ciclo - Parte 1: Retomar
primer ciclo.
➔ Propuestas Didácticas para el Estudio de la Geometría en Segundo Ciclo - Parte 2:
Circunferencia y Círculo.

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2024 • Año del 75° Aniversario de la gratuidad universitaria en la República Argentina

Según la propuesta de distribución anual de contenidos incluida en el documento elaborado

 Contenidos previstos para marzo y abril

Para enriquecer el análisis recomendamos muy especialmente la lectura del documento

mayor porcentaje de respuestas correctas, parcialmente correctas o incorrectas; cuáles quedaron

 Contenidos previstos para mayo, junio y julio

Materiales para consultar:

Geometría. Circunferencia y círculo:

En el Anexo 1 presentamos un conjunto de propuestas para cada contenido que podrían

Contenido. Operaciones: Multiplicación y división

1. Resolver problemas que involucren algunos sentidos más complejos de la multiplicación y

De acuerdo a la distribución anual de contenidos, en los primeros meses se proponía

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Los problemas 1 y 2 de Problemas con filas y columnas I permiten, a quienes lo

En los problemas 4 y 5 se trata de identificar cuál o cuáles de los cálculos propuestos

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Se propone un conjunto de problemas de un sentido más complejo de la multiplicación. Se

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