Modulo #2FFII24

Física Cuarto Diversificado
MOVIMIENTO BIDIMENCIONAL
El movimiento en 2D, se puede trabajar como la suma de dos movimientos, uno movimiento
rectilíneo con velocidad constante en dirección horizontal X y otro con aceleración constante
(gravedad) en dirección vertical Y. El movimiento se desarrolla en un plano del espacio 3D.
A nivel de Y el movimiento es acelerado y está presente la gravedad de la Tierra, que actúa

sobre todos los cuerpos.
El movimiento bidimensional puede dividirse en:

• Tiro de proyectil horizontal (Tiro Horizontal)
• Tiro de proyectil con un angulo de lanzamiento (Tiro de Proyectil)
Un proyectil que se desplaza con un movimiento compuesto por un movimiento horizontal y

uniforme y por un movimiento descendente naturalmente acelerado, describe, en este
movimiento, una línea semi-parabólica
Tiro horozontal
Consideramos un objeto que se lanza horizontalmente con una velocidad inicial vo y desde
una cierta altura Y. El movimiento teórico del avance horizontal ha de ser uniforme y, en
consecuencia, tendrá la siguiente ecuación de la posición: 1 ∙
Para variaciones de la altura pequeñas, el movimiento teórico de caída vertical ha de ser

uniformemente acelerado, igual que una caída libre con aceleración g. Cumplirá la siguiente
ecuación de la posición: ∙
Se llama tiro horizontal al movimiento de un cuerpo que se lanza horizontalmente con una
velocidad en el eje X, ) desde una cierta altura, y, sobre la superficie de la Tierra este
movimiento es el resultado de dos movimientos perpendiculares entre si:
Un movimiento rectilíneo y uniforme en el eje X, con velocidad ) .

Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado según el eje Y, con velocidad nula y
aceleración .
Así pues, en el movimiento horizontal las coordenadas de la posición son:

COMPONENTE HORIZONTAL COMPONENTE VERTICAL
3 43 ∙ 5
2
N.R. Componente Horizontal
"# $"%
! &
Component e
Vertical
+ g = 9.8 m/ s²
Otras ecuaciones útiles para este movimiento:
7
Tiempo de caída: 6
Velocidad de la particula: 6 ) 8 79
">
Ángulo de la velocidad: : ;< =
! &
"?
138
Unidad 3: Cinemática
EJEMPLO:
Desde una altura de 5 m, se lanza una esfera con una velocidad horizontal de 6 m/s.
Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al piso. b) La distancia horizontal “x”
SOLUCIÓN:
∙7
a) Tiempo que tarda en llegar al piso: 6
∙ @
6 1.01
../
b) Alcance horizontal: 1 () ) ∙
1 () 6 ∙ 1.01 1 () 6.01
EJEMPLO:
Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en dirección paralela al

río, éste hace impacto en el agua a 2000 m del lugar del disparo. Determinar:
a) ¿Qué velocidad inicial tenía el proyectil?. b) ¿Cuánto tardó en tocar el agua?.
SOLUCIÓN:
a) Para calcular la velocidad inicial del proyectil, primero
debemos calcular el tiempo de caída, esto lo hacemos con la
∙7 ∙ -
ecuación: 6 6 2.02
../
Conociendo el tiempo se puede calcular la velocidad de

lanzamiento, con la ecuación: 1 () ) ∙
2000 ) ∙ 2.02 ) 990 +
,
b) El tiempo tardo en caer al agua fue de 2.02 segundos.
EJEMPLO:
Una pelota esta rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a los
0.5 s de haberse caído de la mesa esta a 0.2 m de ella. Calcular:
a) ¿Qué velocidad traía?.
b) ¿A qué distancia de la mesa estará al llegar al suelo?.
c) ¿Cuál era su distancia al suelo a los 0.5 s?.
SOLUCIÓN
a) Como el alcance a los 0.5 seg es 0.2 m podemos utilizar la
ecuación de distancia: 1 ) ∙ ; 0.2 ) ∙ 0.5 ) 0.4 +,
b) Para calcular la distancia a la que llega, se debe calcular

∙7 ∙
primero su tiempo de caída 6 ; 6
../
0.639
El alcance será de: 1 () ) ∙
1 0.4 ∙ 0.639 1 0.256
c) La distancia que separa del suelo se obtiene calculando la distancia que ha caído y
luego restando a la altura de la mesa
Distancia que ha caído el objeto: - 9.8 . 5
1.22
Distancia que falta para llegar al suelo: 2 1.22 0.77
139
EJERCICIOS 3.6
Un avión vuela horizontalmente a 1200 m de altura, con una velocidad de 500 km/h y deja
caer un paquete. Calcular:
1) El tiempo que tarda en llegar al suelo el paquete
A) 11.1 s B) 15.6 s C) 22.1 s D) 31.2 s E) Otra
2) Qué distancia antes de llegar al suelo tiene que soltar la carga el

avión para que llegue en el punto correcto
A) 1.54 km B) 5.55 km C) 2.17 km D) 7.80 km
E) Otra
3) Calcular la rapidez con la que el paquete llegar al suelo.

A) 108.8 m/s B) 152.9m/s C) 176.4 m/s D) 206.5 m/s E) Otra
θ=31.6° SE θ=50.5° SE θ=31.6° SE θ=50.5° SE
4) En los tiros horizontales mostrados en la figura, 4F G HI y las alturas de lanzamiento son

las que se indican, 10 y 5 m. Hallar cual debe ser la rapidez de 4J para que el alcance
de ambos tiros sea el mismo.
A) 1.43 m/s B) 1.01 m/s

C) 5.71 m/s D) 5.65 m/s
E) Otra
Una torre de agua se halla situado a 3 m del suelo. Si el agua sale horizontalmente y
alcanza una distancia de 2 m. Calcular:
5) Qué rapidez debe tener para que alcance una distancia
de 2m.
A) 0.782 m/s B) 1.56 m/s C) 2.55 m/ s
D) 5.10 m/s E) Otra
6) Determine a qué altura ha de ponerse el surtidor para

que el alcance sea de 4m. (utilice la información de la
velocidad obtenida en el problema anterior)
A) 8 m B) 10 m C) 12 m D) 14 m E) Otra
Un motociclista salta de lo alto de una colina con una velocidad de 72 km/h, calcular:
7) Cuanto tiempo emplea en el salto.
A) 1.25 s B) 1.50 s C) 1.75 s
D) 2.00 s E) Otra
8) Con que velocidad llega al suelo

A) 20 m/s → B) 17.15 m/s↓
C)26.43 m/s, 40.6° SE D)314 m/s, 49.4° NE
E) Otra
140
EJEMPLO:
Una pelota lanzada horizontalmente choca con una pared que se encuentra a 5 m de
distancia del sitio desde la cual se lanzó. La altura del punto en que la pelota choca con la
pared es un metro más bajo que la altura desde el cual fue lanzada. Determinar con qué
velocidad inicial fue lanzada la pelota.
SOLUCIÓN:
Se calcula el tiempo que tarda en caer 1 m, con la ecuación:
∙7 ∙
6 ; 6 0.452
../
Utilizamos la ecuación de alcance horizontal. 3 43 ∙ 5

K H H
5 43 ∙ 0.452 43 43 11.1
L.GKJ I I
EJEMPLO:
En la figura, la plataforma se desplaza

a razón constante de 6 m/s. ¿Con qué
velocidad respecto a la plataforma
debe el hombre correr sobre la
plataforma para salir horizontalmente
del borde y llegar justo al otro
extremo? Desprecie la altura de la
plataforma.
SOLUCIÓN:
Se realiza una simplificación del problema tomando a los objetos como partículas en
movimiento, esto es:
Se calcula el tiempo que tarda en caer

1.25m, con la ecuación:
∙7 ∙ . @
6 ; 6 0.505
../
Utilizamos la ecuación de alcance horizontal.

3 43 ∙ 5
G H
4 43 ∙ 0.505 43 L.KLK I
H
43 7.9
I
Interpretación del problema:

La plataforma ya lleva una velocidad de 6
m/s y para llegar al otro lado el objeto debe
poseer una velocidad total de 7.9 m/s.
Esto indica que la persona debe correr con una velocidad de 1.9 m/s para llegar al otro
lado.
141
EJEMPLO:
Un avión de combate vuela a una velocidad de 720km/h y una altura de 400m cuando ve
venir hacia él un portaviones a una velocidad de 36km/h. Su objetivo es destruir el
portaviones. ¿A qué distancia horizontal del barco deberá soltar la bomba para que esta
impacte en su objetivo? ¿Con qué velocidad choca la bomba con el portaviones?
SOLUCIÓN:
M --- N
Velocidad del avión: 720 N
O M
O PQ-- R 200 R
M --- N
Velocidad del portaaviones: 36 O O 10
N M PQ-- R R
El piloto deberá de disparar calculando la distancia que él debe recorrer y también el

movimiento que el portaviones tiene, ya que se acerca a velocidad constante.
Esto es: ST ;<UT; VW U;TV; VW X; YZ Y; VT ;<UT; VWX Z T WT< Z VWX [Z\ ; TZ<W
Para determinar la distancia que recorre la bomba y la distancia que se mueve el

portaaviones se necesita conocer el tiempo; para ello se calcula el tiempo con la ecuación
7 ]--
6 6 9.04 (tiempo que emplea la bomba en caer)
../
La distancia que recorre la bomba: 1 ) ∙ 1 200 ∙ 9.04 1 1,808

La distancia que recorre el portaviones: 1 ) ∙ 1 10 ∙ 9.04 1 90.4
R// el piloto del avión debe soltar la bomba una distancia de 1,898.4 m (suma de distancias)
En el momento que visualiza al barco.
La velocidad cuando choca se calcula obtiene calculado las componentes de sus

velocidades en primer lugar: ) 200 +, y luego 7 ∙
7 9.8 9.04 +
7 88.6
, R
La velocidad es: 6 ) 8 79 _ 200 88.6 +

,
218.7 +
,
" //.Q
: ;<= ! > & : ;<= ! & : 23.9° SE (va descendiendo)
"? --
142
Tiro de proyectil
También es llamado tiro oblicuo, por trabajarse en dos dimensiones, este tiro es un ejemplo
de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos
ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro casi parabólico son: proyectiles
lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser
despejada por el arquero, el de una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto
al eje horizontal.
Si la velocidad de salida es y el ángulo es :, tendremos que las componentes de la

velocidad inicial son:
) ∙ cos : 7 ∙ sen :
Ecuaciones del movimiento de proyectil con ángulo
Y las propiedades cinemáticas del cuerpo en cualquier instante (t) de su movimiento son:
Magnitud Componente x Componente y
aceleración ;) 0 ;7
Velocidad ) ) 7 7 ∙ 8 79 2
Posición 1 ) ∙ !
"># $">
&
7 7
Observa que la aceleración no depende del tiempo (es constante), pero la velocidad y la
posición del móvil sí que dependen del tiempo. En el tiro de proyectil son de interés
la altura máxima y el alcance (o desplazamiento horizontal) conseguido.
El objeto a lo largo de su trayectoria presenta cambios en su velocidad, estas pueden

observarse al verificar como varia su vector velocidad. También se observa que la
componente vertical permanece constante, mientras que la componente vertical varia
primero de forma ascendente en A, B; en C la componente es cero, y luego en D, E es
descendente.
143
La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical 7 de la velocidad se hace
"#>
cero, se alcanzará la altura máxima cuando | |
. Utilizando estos datos llegarás fácilmente
8"#> 9 "# ∙Rhij
a la conclusión de que el valor de la altura máxima es: g () | | | |
El móvil estará avanzando horizontalmente a la velocidad constante ) durante el tiempo de

vuelo, que será 2 (siendo t el tiempo en alcanzar la altura máxima) ya que el móvil tarda lo
mismo en subir que en bajar, por lo tanto el alcance es:
"l ∙Rhi j
k () ) ∙ 2 , es decir ;XU;<UW k () | |
Velocidad de la partícula en cualquier instante: 6 ) 8 79

"
Ángulo que forma la velocidad: : ;< = ! > &
"?
Estrategia para resolver problemas
Para resolver problemas de movimiento de proyectil, se puede seguir los siguientes pasos:
1) Idea mental: cree una idea mental de lo que ocurre físicamente en el problema, en este
paso pueden ser útiles las gráficas.
2) Descomponga el problema en sus dimensiones.

Para el eje y: Partícula en caída libre y que la resistencia del aire es despreciable.
Para el eje x: Movimiento rectilíneo uniforme.
3) Seleccione un sistema coordenado con “x” en la dirección horizontal y “y” en la dirección

vertical. (sistema de referencia)
4) Identifique toda la información posible.
5) Planteo una estrategia de solución.
6) Finalizar. Una vez que determine su resultado, compruebe para ver si sus respuestas son
consistentes con las representaciones mentales y gráficas y que sus resultados son
realistas.
144
EJEMPLO:
Desde un piso horizontal, un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 10 m/s
formando 30º con la horizontal. Calcular:
a) El tiempo que tarda en llegar al piso.
b) La máxima altura que alcanza.
c) ¿A qué distancia del punto de lanzamiento choca con el piso?
SOLUCIÓN:
Calculos previos:
) 10 ∙ cos 30° +, 7 10 ∙ sen 30° +,
) 8.66 +, 7 5 +,
a) Tiempo que tarda en llegar al piso:
El tiempo de que tarda en llegar a la
parte mas alta es:
"#> @ +
,
0.51
| | ../ +
,
El tiempo total de vuelo será de 1.02 segundos.
8"#> 9 @
b) La altura máxima alcanzada: g () | |
g () |../|
g () 1.28
c) Alcance del proyectil lanzado: k () ) ∙ 2 k () 8.66 ∙ 2 O 0.51

k () 8.83
EJEMPLO:
Se lanza un objeto con una velocidad de 50 m/s formando 37º con la horizontal, determinar
la altura que alcanza el objeto a los dos segundos del lanzamiento y la velocidad que lleva.
Solución:
Calculos previos:
) 50 ∙ cos 37° +, 7 50 ∙ sen 37° +,
) 39.93 ,+
7 30.09 +,
El tiempo de que tarda en llegar a la parte

mas alta es:
"#> P-.-. +
| | ../ +
,
3.07
,
Esto me indica que a los dos segundos el objeto va subiendo.
La altura del objeto a los 2 segundos cuando aun va subiendo será calculado por la
ecuación: 7 30.09 2 ../ 40.6 m
La velocidad que lleva el objeto a los 2 segundos, se obtine calculado las componentes de
sus velocidades en primer lugar: ) 39.93 +,
7 7 ∙ 7 30.09 +, 9.8 2 +, "> m -.@
+
,
La velocidad es: 6 ) 8 79 _ 39.93 10.5 +

,
41.3 +
,
" -.@
: ;<= ! > & : ;< = ! & : 14.7 NE (va subiendo)
"? P...P
145
EJERCICIOS 3.7
1) Una pelota de beisbol, sale golpeada por el bat con una velocidad de 30 m/s a un ángulo
de 30°.
I. ¿Cuál es su alcance (horizontal) y altura máxima?
A) x=77.9 m B) x=0.90 m C) x=11.5 m D) x=79.5 m E) Otra.
y=0.90 m y=77.9 m y=79.5 m y=11.5 m
II. ¿Cuánto tiempo está en el aire?

A) 3.06 s B) 4.51 s C) 9.04 s D) 11.3 s E) 12.4 s
III. ¿posición del objeto a los tres segundos?

A) x=77.9 m B) x=0.90 m C) x=11.5 m D) x=79.5 m E) Otra.
y=0.90 m y=77.9 m y=79.5 m y=11.5 m
IV. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de

3 segundos?
A) 32 m/s, –12.5 m/s B) 28 m/s, –18.3 m/s C) 35 m/s, –17.3 m/s
D) 26 m/s, –14.4 m/s E) 30 m/s, –20.5 m/s
2) Una flecha sale del arco con una velocidad inicial de 120 ft/s a un ángulo de 37° con
respecto a la horizontal. (g=32 ft/s²)
A) x=432.6ft B) x=81.5 ft C) x=191.7ft D) x=80.4 ft E) Otra.
y=81.5 ft y=432.6ft y=80.4 ft y=191.7ft
II. ¿Cuánto tiempo está en el aire?

A) 2.26 s B) 4.51 s C) 9.04 s D) 11.3 s E) 12.4 s
III. ¿posición del objeto a los dos segundos?

A) x=432.6ft B) x=81.5 ft C) x=191.7ft D) x=80.4 ft E) Otra.
y=81.5 ft y=432.6ft y=80.4 ft y=191.7ft
IV. ¿Velocidad del objeto a los dos segundos?

A) 95.8 +, B) 8.22 +, C) 72.2 +, D) 96.2 +, E) Otra
θ = 4.9° NE θ = 37° NE θ = 37° NE θ = 4.9° NE
3) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 20 m/s y una inclinación, sobre la
horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire.
¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?
A) x=35.4 m B) x=5.1 m C) x=26m D) x=4 m E) Otra.
y=5.1m y=35.4m y=4 m y=26m
II. ¿Cuánto tiempo tarda llegar a la parte más alta?

A) 0.51 s B) 0.77 s C) 1.02 s D) 1.53 s E) 2.04 s
III. ¿posición del objeto al segundo y medio (1.5s)?

A) x=35.4 m B) x=5.1 m C) x=26m D) x=4 m E) Otra.
y=5.1m y=35.4m y=4 m y=26m
IV. ¿Velocidad del objeto al segundo y medio (1.5s)?

A) 17.95 +, B) 17.32 +, C) 4.7 +, D) 10 +, E) Otra
θ = 15.2° SE θ = 29.8° SE θ = 14.9° SE θ = 7.6° SE
146
4) Una pelota de golf, es lanzada con una velocidad de 40 m/s formando un ángulo de 60°.
A) x=61.2 m B) x=141.4m C) x=40 m D) x=49.7m E) Otra.
y=141.4m y=61.2 m y=49.7m y=40 m
II. ¿Cuánto tiempo tarda el objeto el aire?

A) 3.53 s B) 5.3 s C) 7.07 s D) 8.83 s E) Otra
III. ¿posición del objeto a los dos segundos?

A) x=61.2 m B) x=141.4m C) x=40 m D) x=49.7m E) Otra.
y=141.4m y=61.2 m y=49.7m y=40 m
IV. ¿Velocidad del objeto a los dos segundos?

A) 20 +, B) 15 +, C) 25 +, D) 40 +, E) Otra
θ = 36.9° NE θ = 60° NE θ = 36.9° NE θ = 60° NE
5) Se dispara un cañón con un ángulo de tiro de 15°, saliendo la bala con rapidez de 200 m/s.
¿Tropezaría con una colina de 300 m de altitud que estuviera a la mitad de su alcance?
A) Si B) No C) Faltan datos
6) Un tipo que viene en moto a 90 km por hora (25 m/s) sube una rampa inclinada 30°. Suponiendo que
la rampa es muy corta y no influye en disminuir su velocidad.
Entonces de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
A) Tiempo total de vuelo: 1.28 s B) Altura máxima: 8 m

C) Alcance máximo: 55.2 m D) B y C E) Todas
147
EJEMPLO:
Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba a un ángulo de 30° con la
horizontal y con una rapidez inicial de 20.0 m/s, como se muestra en la figura. Si la altura
del edificio es 45.0 m.
a) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en golpear

el piso?
b) ¿Cuál es la velocidad de la piedra justo
antes de golpear el suelo?
c) ¿A qué distancia de la base del edificio
golpea la piedra el suelo?
Calculos previos:
) 20 ∙ cos 30° +, 7 20 ∙ sen 30° +
,
) 17.32 +, 7 10 +,
SOLUCIÓN
a) Tiempo de caída de la piedra:

Para solucionar debejos trabajando con las
componentes verticales
7
0 45 10 ∙ 9.8
0 45 10 ∙ 4.9
4.9 10 45 0 a= 4.9; b=–10; c=–45
=no_n =](p = = - o_ = - =] ].. =]@

( ]..
-oP .P]
4.22 s y 2.18 s
../
R// el tiempo que tarda la piedra en golpear el suelo es de 4.22 segundos.
b) velocidad de la piedra junsto antes de golpear el suelo es:

) 17.32 +, 7 7 ∙ 7 10 +, 9.8 4.22 +
7 31.36
, R
La velocidad es: 6 ) 8 79 _ 17.32 31.36 +

,
35.8 +
,
" P .PQ
: ;< = ! > & : ;<= ! & : 61.1° SE (va en caída)
"? q.P
R// la velocidad con la que llega a golpear el suelo es 35.8 m/s con un ángulo de 61.1°
c) La distancia de la base del edificio será:

1 ) ∙ 817.32 +,9 ∙ 4.22 1 73.1
R// El alcance de la piedra es de 73.1 m
148
EJEMPLO:
Durante las erupciones volcánicas pueden ser proyectados por el volcán gruesos trozos de
roca; estos proyectiles se llaman bloque volcánicos.
En la figura se muestra una
sección transversal del Monte
Fuji, en Japón.
a) ¿A qué velocidad inicial
tendría que ser arrojado de
la boca A del volcán uno
de estos bloques,
formando 35° con la
horizontal, con objeto de
caer en el pie B del volcán?
b) ¿Cuál es el tiempo de
recorrido en el espacio?
SOLUCIÓN
y0 =3,300 m En este problema se desconoce varios datos,
por lo que será necesario utilizar dos
ecuaciones, estás deberán ser una para
x=9,400 m y =0 m componente horizontal y vertical; esta
deberán relacionar “∆y” y “x”.
De aquí que se trabajarán con las ecuaciones siguientes
Componente horizontal Componente veritical
3 43 ∙ 5 7
rGLL 4s ∙ tuv wK° ∙ 5
0 3300 W< 35° ∙
Como ambas ecuaciones contiene dos variables, hay que despejar una de ellas y sustituir
en la otra ecuación
Despeje de “t” en la componente x Sustitución de “t” en la componente y
0 3300 W< 35° ∙
rGLL
5
4s ∙ tuv wK° 9400 .]--
0 3300 W< 35° ∙
∙ cos 35° "# ∙xyz P@°
9400 .]--
0 3300 W< 35° ∙
cos 35° "# ∙xyz P@°
645242177.8
0 3300 6581.95
Q]@ ] qq./
Simplificamos y despejamos: 0 9881.95
"#
Q]@ ] qq./ Q]@ ] qq./
9881.95 645242177.8 9881.95
"# .// ..@
Q]@ ] qq./
6 255.52 HI R// la velocidad del lanzamiento es: 255.52 m/s
.// ..@
rGLL rGLL
El tiempo del recorrido se calculará despejando la ecuación: 5
"# ∙xyz wK° @@.@ ∙xyz wK°
5 44.9
R// El tiempo que emplea en llegar hasta el punto “B” es de 44.9 segundos.
149
Resumen de unidad
Gravedad de la tierra "g" cuyo módulo es: 9.8 32.2

Caída libre Caida libre con una velocidad inicial
2 2
2 2
Tiro vertical
CASO ESPECIAL
2
"# "#
' ()

3 43 ∙ 5
2
"#$"%
! &

7
Tiempo de caída: 6
Velocidad de la partícula: 6 ) 8 79
">
Ángulo de la velocidad: : ;<= ! &
"?

4s3 4s ∙ tuv { 7 ∙ sen :
3 4s3 ∙ 5 ∙ 8 79 2
7 7
"># $">
7 7 ! &
4
Otras ecuaciones útiles para este movimiento: Ángulo de la velocidad: { 5~•=F ! |&
43
J|
Tiempo de subida: 5 6|}| 8"#> 9 "#∙Rhij
g () | | | |
;XU;<UW k ()
J
Velocidad de la partícula: 4 6 43 J 84| 9
"l ∙Rhi j
| |
150
Complete el siguiente organizador gráfico trabajando en hojas aparte.
Ecuaciones del Caída Libre (g=9.8 m/s²) Ecuaciones del Tiro Vertical (g=9.8 m/s²)
Tiro Horizontal
Tiro de proyectil
151
9) Un cuerpo que emplea 7 segundos en caer libremente necesariamente cayo de una

altura de:
A) 250 m B) 245 m C) 240 m D) 490 m
10) La altura de la que cae un cuerpo libremente, si emplea 3 segundos en caer es:
A) 450 m B) 44 m C) 40 m D) 50 m
11) Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60m de altura sobre el suelo.
Calcular el tiempo que tarda en caer y la velocidad con que choca contra el suelo.
A) t = 3.5 h, V = 34.6 m/s ↓ B) t = 3.5 s, V = 34.3 m/s↓
C) t = 3 s, V = 34 km/s↓ D) t = 4s, V = 40 m/s↓
12) Un cuerpo es abandonado a partir del reposo y alcanza el suelo con una velocidad de
20m/s. El cuerpo cae de una altura de:
A) 204 m B) 102m C) 50.5m D) 20.4m E) 10.2 m
13) Una piedra, que parte del reposo, cae de una altura de 20 m. Se desprecia la resistencia
del aire. La velocidad de la piedra al alcanzar el suelo y el tiempo empleado en la caída,
respectivamente, valen:
A) v =19.8 m/s y t =2 s B) v =19.8 m/s y t =4 s
C) v =9.9 m/s y t =2 s D) v =9.9 m/s y t =4 s
14) Un cuerpo es abandonado en caída libre de lo alto de un edificio. Suponiendo la

aceleración de la gravedad constante, y despreciando la resistencia del aire, la distancia
recorrida por el cuerpo durante el quinto segundo es:
A) 122.5 m B) 80.5 m C) 205 m D) 125 m E) 45 m
TIRO VERTICAL
15) El tiempo que demora bajando un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba a una
velocidad de 80 m/s es:
A) 4.08 seg B) 16.32 seg C) 8.16 seg D) 32.4 seg
16) Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba con una con una velocidad inicial de 20m/s.
Calcular el tiempo para alcanzar la altura máxima y su altura máxima
A) t = 2 s, 20.4 m B) t = –2s, h = 20.4 m
C) t = 2 s, h = –20.4 m D) t = 20s, h = 2.3 m
17) Se lanza a un pozo una piedra verticalmente hacia abajo, con una velocidad inicial
V=10m/s. Sabiendo que la piedra emplea 2s para legar al fondo del pozo, se puede
concluir que la profundidad del pozo en metros es:
A) 29.6 m B) 39.6 m C) 49.6 m D) 19.6 m E) 0.4 m
TIRO HORIZONTAL
18) Una pelota de béisbol sale despedida de un bat con una velocidad horizontal de 20 m/s,
en un tiempo de 0.25 segundos. ¿A qué distancia habrá viajado horizontalmente?
A) 8 metros B) 5 metros C) 6 metros D) 9 metros E) 10 metros
19) Un avión que vuela a 70 m/s deja caer una caja de provisiones. ¿Qué distancia horizontal
recorrerá la caja antes de tocar el suelo, 380 metros más abajo?
A) 768 m B) 616 m C) 877 m D) 556 m E) 583 m
153
20) Una bola de acero rueda y cae por el borde de una mesa de 4 pies por encima del piso,
si golpea el suelo a 5 pies de la base de la mesa, ¿Cuál fue su velocidad horizontal
inicial?
A) 13 pies/s B) 12 pies/s C) 10 pies/s D) 15 pies/s E) 18 pies/s
21) En la gráfica mostrada vemos el lanzamiento de una piedra, determinar la magnitud de

la velocidad "V" horizontal con que fue lanzada la piedra. (g = 10 m/s²)
A) 30 m/s B) 40 m/s C) 50 m/s D) 60 m/s E) 80 m/s
22) Desde una torre de altura h se dispara horizontalmente un proyectil con una velocidad de
30 m/s y llega a la superficie en 4 segundos. Hallar la altura de la torre "h" y la distancia
desde la base de la torre y el punto de impacto (g=10 m/s²)
A) 80 m; 120m B) 40 m; 50 m C) 100 m; 125 m D) 30 m; 40 m
E) 50 m; 40 m
23) Desde lo alto de un edificio se lanza horizontalmente un cuerpo con una rapidez de 15
m/s. Si impacta a 60 m del pie del edificio, hallar la altura del edificio. (g=10 m/s²)
A) 60 m B) 30 m C) 40 m D) 80 m E) 100 m
24) Un cuerpo es lanzado desde la parte superior de un edificio de 200 m de altura con
velocidad horizontal de 410 m/s. ¿Qué distancia horizontal recorrió el cuerpo hasta el
instante que choca con el suelo? (g=10 m/s²)
A) 100 m B) 80 m C) 60 m D) 50 m E) 40 m
25) ¿Con qué inclinación respecto a la horizontal se debe disparar un proyectil, para que
alcance una altura de 500 m si su velocidad inicial es 200 m/s? (g = 10 m/s²)
A) 45° B) 30° C) 53° D) 60° E) 37°
26) Desde cierta altura lanzamos una piedra con una velocidad horizontal de 40 m/s. ¿Qué
valor tiene su velocidad a los 3 s del lanzamiento? (g = 10 m/s²)
27) Una bomba es soltada desde un avión que se mueve a una velocidad constante de 50
m/s en forma horizontal y a una altura de 2 000 m. ¿Qué distancia horizontal recorrió la
bomba hasta llegar al piso? (g = 10 m/s²)
A) 500 m B) 1 000 m C) 1 200 m D) 1 500 m E) 700 m
28) Una esferita se lanza horizontalmente con una velocidad inicial de 30 m/s, desde lo alto
de una torre de 45 m de altura. ¿Qué ángulo forma el vector velocidad de la esferita con
respecto a la vertical luego de 3 segundos? (g=10 m/s²)
A) 30° B) 37° C) 53° D) 60° E) 45°
29) Un avión que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una
bomba cuando se encuentra a 5000 m del objetivo. ¿A qué distancia del objetivo cae la
bomba?
A) 5.5555km B) 55.555 m C) 5.5555 m D) 5555.5 m E) 555.55 m
154
30) Un avión vuela horizontalmente a una altura de 2 km y con una velocidad de 700 km/h
sufre una avería al desprendérsele un motor. ¿Qué tiempo tarda el motor en llegar al
suelo?
A) 20 horas B) 20 minutos C) 20 s D) 20 m E) 350 h
31) Un avión vuela horizontalmente a 500 m de altura y con velocidad de 50m/s. El tiempo
que tarda en caer un tornillo que se suelta del avión es
A) 100 s B) 20 s C) 50 s D) 10 s
32) Un avión vuela horizontalmente a 500 m de altura y con velocidad de 50m/s, la

componente horizontal de la velocidad con la que un tornillo que se suelta del avión
impacta en el piso es
A) 100 m/s B) 500 m/s C) 50 m/s D) Infinita
33) Un avión vuela horizontalmente a 500 m de altura y con velocidad de 75m/s, la

velocidad total con que golpea el piso un tornillo que se suelta del avión es
A) 75 m/s B) 100m/s C) 125 m/s D) 150 m/s
TIRO OBLICUO
34) Una pelota de béisbol, sale golpeada por el bat con una velocidad de 30 m/s a un ángulo
de 30°. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de 3
segundos?
A) 32 m/s, –12.5 m/s B) 28 m/s, –18.3 m/s C) 35 m/s, –17.3 m/s
D) 26 m/s, –14.4 m/s E) 30 m/s, –20.5 m/s
35) Una flecha sale del arco con una velocidad inicial de 120 pies/s a un ángulo de 37° con
respecto a la horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su
desplazamiento al cabo de 2 segundos?
A) 208 pies, 56 pies B) 210 pies, 60 pies C) 222 pies, 65 pies
D) 235 pies, 62 pies E) 192 pies, 80 pies
36) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la
horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, ¿Cuál es
la altura máxima que alcanza la bala?
A) 20387.4 km B) 203.9 m C) 20.4 m
D) 20387.4 m E) 510.2 m
37) Una pelota de golf, es lanzada con una velocidad de 40 m/s formando un ángulo de 60º.
¿Cuál es su alcance máximo horizontal?
A) 20.3 m B) 80.3 km C) 120.4 m D) 141.4 m
38) Un proyectil es lanzado con una velocidad 30 m/s de manera que forma 60º con la
horizontal. Calcular la velocidad del proyectil en su punto más alto
A) 25 m/s B) 15 m/s C) 5 m/s D) 1 m/s E) 0
39) Si lanzamos desde el piso una piedra con una velocidad de 50 m/s y formando 37º con la
horizontal. Calcular: El tiempo de vuelo, el alcance horizontal y la máxima altura
alcanzada.
A) 6 s; 245 m; 46 m B) 3 s; 120 m; 25 m C) 6 s; 120 m; 30 m
a) 12 s; 240 m; 90 m E) 6 s; 60 m; 120 m
155
40) Se dispara un proyectil con una velocidad de 40 m/s y un ángulo de elevación de 37°. ¿A
qué altura se encuentra el objeto en el instante t = 2 s.
A) 28.5 m B) 2.8 m C) 56 m D) 42 m E) 58 m
41) Un proyectil se dispara desde la superficie con un ángulo de 53° respecto de la

horizontal. Si el proyectil hace impacto a 24 m del punto de lanzamiento. Hallar la altura
máxima alcanzada
A) 8 m B) 16 m C) 9 m D) 18 m E) 25 m
42) Se dispara un proyectil con una velocidad de 50 m/s con un ángulo de 37° respecto de la
horizontal. Calcular después de que tiempo se encontrará a 25 m de la superficie por
segunda vez (g=10 m/s²)
A) 5 s B) 4 s C) 3 s D) 1 s E) 6 s
43) Desde el piso se lanza una pelota con una velocidad inicial que forma 45º con la
horizontal. Si en el punto más alto su velocidad es 30 m/s, calcular su velocidad inicial.
A) 30 m/s B) 30√2 m/s C) 35 m/s D) 60√2 m/s E) 35√2 m/s
44) Una pelota es lanzada desde el piso con una velocidad de 50 m/s de tal manera que
forma 53º con la horizontal. ¿Qué ángulo forma la velocidad al cabo de 1 s del
lanzamiento (g = 10 m/s²))
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
45) Una partícula se lanza con una velocidad inicial de 20 m/s, haciendo un ángulo de 53°
con la horizontal. Hallar al cabo de qué tiempo su velocidad formará un ángulo de 37°
con la horizontal. (g = 10 m/s²))
A) 0.2 s B) 0.7 s C) 0.5 s D) 0.3 s E) 0.9 s
46) Se lanza un objeto, sobre la superficie terrestre describiendo un movimiento parabólico,

de tal forma que alcance un desplazamiento horizontal máximo de 40 m. Calcular la
velocidad de lanzamiento. (g = 10 m/s²)
A) 20 m/s B) 40 m/s C) 50 m/s D) 100 m/s E) 40√2 m/s
47) Desde el piso se lanza un objeto con una velocidad "V" formando un ángulo de 37°. Si la
máxima altura que alcanza es 180 m, hallar el valor de "V" (g = 10 m/s²))
48) Si al disparar una bala de cañón con un ángulo "θ" medimos que su altura máxima es 15
m y su alcance horizontal es de 45 m, entonces:
A) θ =37° B) θ =53° C) θ =45° D) θ =60° E) θ =30°
49) ¿Con qué ángulo de elevación debe dispararse un proyectil para que su alcance
horizontal sea igual al triple de su altura máxima?
A) 30° B) 53° C) 45° D) 37° E) 60°
50) Desde el borde de un edificio, se dispara un proyectil con 50 m/s y 37° con la horizontal
y llega a la superficie en 7 segundos. Calcular con que velocidad impacta y que ángulo
forma con la horizontal. (g = 10 m/s²)
A) 50 m/s; 37° B) 40√2 m/s; 45° C) 40 m/s; 30°
D) 40√2 m/s; 75° E) 20√2 m/s; 45°
156
51) En el gráfico mostrado determine la rapidez de lanzamiento, si el proyectil lanzado logra
ingresar al canal horizontalmente. Desprecie la resistencia del aire (g=10 m/s²)
52) Se lanza un proyectil sobre la tierra con una velocidad de 50 m/s formando 53º con el
piso horizontal. ¿Después de cuánto tiempo se encuentra a una altura de 35 m por
segunda vez? (g = 10 m/s²)
A) 4 s B) 5 s C) 6 s D) 7 s E) 8 s
53) Calcular el valor de "h" si la velocidad de lanzamiento es 50 m/s y el tiempo emplea en

llegar al piso es 10 s.
A) 80 m B) 100 m C) 120 m D) 150 m E) 200 m
54) Una esfera es lanzada horizontalmente desde cierta altura y al pasar por los puntos A y B
sus velocidades son como se muestra en la figura. Calcular la altura “h”, si g=10 m/s²
A) 35 m B) 75 m C) 25 m D) 85 m E) 5 m
55) Una esfera rueda por el plano horizontal con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué distancia
de "A" chocará la esfera sobre la pendiente? (g = 10 m/s²)
A) 60 m B) 70 m C) 75 m D) 100 m E) 125 m
56) Se dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 30° (desde la superficie terrestre.
impacta a 20 m del punto de disparo. Se vuelve a disparar el proyectil con la misma
velocidad pero con un ángulo de elevación de 60°. ¿A qué distancia del punto de disparo
volverá a caer dicho proyectil?
A) 20 m B) 40 m C) 60 m D) 25 m E) 30 m
57) Un avión desciende en picada con un ángulo de 53° respecto a la vertical, y deja caer
una bomba desde una altura de 305 m. Si la bomba impacta en el suelo luego de 5 s
después de soltarlo, ¿cuál es la velocidad del bombardero en el instante en que suelta la
bomba?
157
PROBLEMAS COMPLEJOS
58) Un paracaidista después de saltar, cae 50 m sin fricción.

Cuando se abre el paracaídas, desacelera hacia arriba a 2 m/s², llega a tierra con una
rapidez de 3m/s. ¿Cuánto tiempo estuvo el paracaidista en el aire? ¿Desde qué altura
salto?
A) 1.735s, 29.267m B) 17.35 s, 292.67m
C) 173.5s, 2920 m D) 173.5s, 29.267m
59) Si desde un avión que vuela horizontalmente con velocidad “v” se deja caer un proyectil,
éste tendrá, después de un tiempo “t”, una velocidad:
I. Horizontal igual a “v”.
II. Total en cualquier punto igual a “gt”.
III. Vertical igual a “gt”.
IV. Horizontal distinta de “v”.
V. Vertical igual “1/2 gt²”.
Son ciertas:
A) 1 y 2 B) 1 y 3 C) 2 y 3 D) 3 y 4 E) 2 y 5
60) Un ascensor sube con aceleración “a”. El pasajero que se encuentra en el ascensor deja
caer un libro. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo respecto al pasajero?
A) g + a B) g – a C) g D) a E) cero
"La duda es la madre de la invención."
"Mide lo que se pueda medir; y lo que no, hazlo medible."
"Nunca he conocido a una persona tan ignorante que me resultase

imposible aprender algo de ella."
“Digamos que existen dos tipos de mentes poéticas: una apta para
inventar fábulas y otra dispuesta a creerlas.”
Galileo Galilei (Pisa, 15 de febrero de 15644 – Arcetri, 8 de enero de

1642) fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano que
estuvo relacionado estrechamente con la revolución científica. Ha sido
considerado como el «padre de la astronomía moderna», el «padre de
la física moderna»6 y el «padre de la ciencia».
Retrato de Galileo Galilei
Pintado por Sustermans Justus en 1636.
158
MOVIMIENTO CIRCULAR
El movimiento Circular esta muy presente en tu vida
cotidiana. Por ejemplo: Una rueda rotando sobre su eje,
el movimiento de un carrusel en una feria, cuando
escuchas music el disco compacto esta rotando,
seguramente sabes que la tierra rota sobre su Eje,
etcetera.
Recuerda que rotar y girar tienen diferente significado.

Un objeto rota cuando su eje de rotacion esta dentro de
el y decimos que el objeto gira si su eje esta fuera de el.
Por ejemplo, la Tierra rota sobre su propio eje y gira
alrededor
del Sol.
El movimienro circular es otro caso que se estudia en el

plano, es decir, en dos dimensiones y se puede describir
en terminos de sus coordenadas rectangulares,pero
tambien puede describirse en terminos de magnitudes
angulares.
159
INTRODUCCIÓN
Se define como movimiento circular aquél cuya trayectoria es una circunferencia.
El movimiento circular, llamado también curvilíneo, es otro tipo de movimiento sencillo.
Estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un disco compacto
durante su reproducción en el equipo de música, las manecillas de un reloj o las ruedas de
una motocicleta son ejemplos de movimientos circulares; es decir, de cuerpos que se
mueven describiendo una circunferencia.
A veces el movimiento circular no es completo: cuando un coche o cualquier otro vehículo

toma una curva realiza un movimiento circular, aunque nunca gira los 360º de la
circunferencia.
La experiencia nos dice que todo aquello da vueltas tiene movimiento circular. Si lo que gira
da siempre el mismo número de vueltas por segundo, decimos que posee movimiento
circular uniforme (MCU).
Ejemplos de cosas que se mueven con movimiento circular uniforme hay muchos:
La tierra es uno de ellos. Siempre da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. También gira
alrededor del sol y da una vuelta cada 365 días. Un ventilador, un lavarropas o los viejos
tocadiscos, la rueda de un auto que viaja con velocidad constante, son otros tantos
ejemplos.
Pero no debemos olvidar que también hay objetos que giran con movimiento circular
variado, ya sea acelerado o decelerado.
EL MOVIMIENTO CIRCULAR EN MAGNITUDES ANGULARES

La descripción de un movimiento circular puede hacerse bien en función de magnitudes
lineales ignorando la forma de la trayectoria (y tendremos velocidad y aceleración
tangenciales), o bien en función de magnitudes angulares (y tendremos velocidad y
aceleración angulares). Ambas descripciones están relacionadas entre sí mediante el valor
del radio de la circunferencia trayectoria.
COMPETENCIAS:
Al finalizar el presente capitulo se alcanzarán las siguientes competencias
• Identifica los elementos conceptuales del movimiento circular uniforme
• Determina el efecto de la manipulación de variables en la representación del
movimiento resultante
• Establece diferencias y similitudes en los otros tipos de movimientos
• Aplica las ecuaciones del movimiento circular
• Diferencias entre movimiento ciruclar uniforme y acelerado
• Interpreta un movimiento en dos dimensiones
• Resuelve problemas de movimiento circular
• Hace propios los conceptos del movimiento circular
160
Movimiento Circular
MOVIMIENTO ANGULAR EN UN PLANO

Cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, tiene un movimiento
circular uniforme. Un automóvil que da vuelta a una curva de radio constante con rapidez
constante, un satélite en órbita circular y un patinador que describe un círculo con rapidez
constante son ejemplos de este movimiento.
Dedifiniciones
DESPLAZAMIENTO LINEAL (S)
Es la longitud de arco de circunferencia recorrida por un
cuerpo con movimiento circular. Se expresa en unidades de
longitud.
DESPLAZAMIENTO ANGULAR (θ)

Es el ángulo que se recorre en el centro.
€ :∙•
Unidad de desplazamiento angular en el SI: radián (rad)
XZ< T ‚V VW ;\UZ €
:
\;VTZ •
Para convertir vueltas o grados a radianes:
ƒ \;V ƒ
30° ∙ \;V
180° 6
2ƒ \;V
0.90 ‚WX ; ∙ 1.8 ƒ \;V
1 ‚WX ;
PERIODO (T)
Se denomina periodo al tiempo que el punto tarda en dar una vuelta (el movimiento vuelve
a repetirse).
„TW [Z „Z ;X
„
…ú W\Z VW ‡‚WX ;
FRECUENCIA ( )
Se denomina frecuencia al número de vueltas que el punto da en un segundo.
Periodo y frecuencia son magnitudes inversamente proporcionales:
ˆú h‰ Šh ‹Œh0 (R
„ „∙ 1
•Žh • • (0 •
‘h" 0ŒpŽói
Unidad de frecuencia en el SI: ••€ ”W\ • ”•
“h ŒiŠ “
‘h" 0ŒpŽói
Tambien es muy frecuente utilizar: ••–
ŽiŒ
161
VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (v)

Es aquella magnitud vectorial cuyo valor nos indica el
arco recorrido por cada unidad de tiempo, también se
puede afirmar que el valor de esta velocidad mide la
rapidez con la cual se mueve el cuerpo a través de la
circunferencia. Se representa mediante un vector cuya
dirección es tangente a la circunferencia y su sentido
coincide con la del movimiento.
4 —∙˜
Unidades: m/s ; cm/s , etc.
VELOCIDAD ANGULAR O FRECUENCIA ANGULAR (ω)

Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuál es el ángulo que
puede recorrer un cuerpo en cada unidad de tiempo. Se representa
mediante un vector perpendicular al plano de rotación; su sentido
se determina aplicando la regla de la mano derecha.
∆: : :
™
‘(ŠŽ(i ‰(Š
Unidad de velocidad angular en el SI: “h ŒiŠ R
‰(Š ‰(Š
Tambien es muy frecuente utilizar: Ži
, N ‰(
ACELERACIÓN TANGENCIAL (;• )

Es aquella magnitud vectorial que
nos indica cuanto cambia la
velocidad tangencial en cada
unidad de tiempo.
;• › ∙ •
Se representa mediante un vector

que es tangente a la trayectoria.
Las unidades comunes de la
aceración son: m/s², cm/s², etc.
ACELERACIÓN ANGULAR (œ)

Es aquella magnitud vectorial
que nos indica cuanto
aumenta o disminuye la
velocidad angular en cada
unidad de tiempo.
™ ™Ž
›
Se representa mediante un vector

perpendicular al plano de rotación.
‰(Š ‰(Š ‰(Š
Las unidades comunes de la aceración angular son: , ,
R Ži N ‰(
LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA O NORMAL

Es una magnitud relacionada con el cambio de dirección de la velocidad de una partícula en
movimiento cuando recorre una trayectoria curvilínea. Dada una trayectoria curvilínea la
aceleración centrípeta va dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria.
"
;• ;• ™ ∙•
‘
162
Movimiento Circular
MOVIMIENTOS PERIÓDICOS EN LA NATURALEZA:
Las estaciones: son los períodos del año en los que las condiciones climáticas imperantes
se mantienen, en una determinada región, dentro de un cierto rango. Estos periodos
duran aproximadamente tres meses.
La sucesión de las estaciones no se debe a que en su movimiento elíptico la Tierra se aleje

y acerque al Sol. Esto tiene un efecto prácticamente imperceptible. La causa es la
inclinación del eje de giro del globo terrestre. Este eje se halla siempre orientado en la
misma dirección y por tanto los hemisferios boreal y austral son desigualmente iluminados
por el sol. Cada seis meses la situación se invierte. Si el eje de la Tierra no estuviese
inclinado, el Sol se hallaría todo el año sobre el ecuador; culminaría todos los días del año
a la misma altura sobre el horizonte. En suma: no habría estaciones.
El día y la noche: se denomina día (del latín dies), al lapso que tarda la Tierra en girar
360 grados sobre su eje. Se trata de una forma de medir el tiempo (la primera que tuvo
el hombre) aunque el desarrollo de la Astronomía ha mostrado que, dependiendo de la
referencia que se use para medir un giro, se trata de tiempo solar o de tiempo sidéreo. El
primero toma como referencia al Sol y el segundo toma como referencia a las estrellas. En
caso que no se acompañe el término "día" con otro vocablo, debe entenderse como día
solar medio, base del tiempo civil, que se divide en 24 horas, de 60 minutos, de 60
segundos, y dura, por tanto, 86,400 segundos.
Pantalla de un RADAR
Los ángulos barridos muestran las distintas posiciones de los objetos.
163
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)

Es aquel movimiento en el cual el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales. En este
caso la velocidad angular permanece constante, así como el valor de la velocidad tangencial.
Son ejemplos de este tipo de movimiento:
• El movimiento de las agujas del reloj.
• El movimiento de las paletas de un ventilador.
• El movimiento de un disco fonográfico.
j
Ecuaciones del movimiento circular uniforme: ™
Teniendo en cuenta las definiciones de periodo, frecuencia y velocidad angular, se puede

ž
expresar como: ™ ; ™ 2ƒ ∙
•
Entre la velocidad lineal y la angular existe la siguiente relación: ™∙•
De la definición de velocidad angular se deduce la relación entre la velocidad angular ω y el

ángulo girado “θ” es: : ™∙
Si cuando empieza a contarse el tiempo, el punto ya ha descrito un ángulo :- , entonces el

ángulo girado en un tiempo t será: : :- ™ ∙
CASOS IMPORTANTES:
VELOCIDAD ANGULAR (—F —J ) VELOCIDAD TANGUNCIAL (4F 4J )
Si dos o más partículas girán en Cuando dos ruedas están en contacto o conectadas
base a un mismo centro, sus por una correa, entonces los valores de sus
velocidades angulares serán iguales. velocidades tangenciales son iguales.
Velocidades tangenciales iguales
Si la correa se coloca al reves, la velocidad angular de

ambas lleva la dirección contraria.
164
Movimiento Circular
EJEMPLO:
Una llanta la hacen guirar 4 vueltas en 20 segundos, si el radio de la llante es de 30 cm,

calcular:
a) El período
b) La frecuencia
c) La velocidad angular
d) La velcidad tangencia
SOLUCIÓN
Ÿ ¡H¢s Ÿs5~£ JL I
a) Periodo: Ÿ Ÿ Ÿ KI
¤úH¡¥s ¦¡ §¨¡£5~I G
F F
b) Frecuencia: © © © L. J ª«
Ÿ KI
L. G¬ ¥~¦ I
J¬ J¬
c) Velocidad angular: — — —
Ÿ KI
c) Velocidad tangencial: 4 —∙˜ 4 8L. G¬ ¥~¦
I
9 L. wLH 4 L. w-- H⁄I
EJEMPLO:
Considerando el movimiento de la tierra con relación al sol como un

movimieniento circular. Termine la velocidad angular de la tierra
bajo estas condiciones, si tarda 1 año (365 días) para dar un vuelta
completa.
SOLUCIÓN
Primero calculamos el periodo.
Ÿ ¡H¢s Ÿs5~£ w¯K ¦í~I
Ÿ Ÿ Ÿ w¯K ¦í~I
¤úH¡¥s ¦¡ §¨¡£5~I F
Conociendo el periodo se calcula la velocidad angular:

— L. LF-J ¥~¦ ¦í~
J¬ J¬
— —
Ÿ w¯K ¦í~I
EJEMPLO:
Calcular la velocidad angular de cada una de las agujas de un reloj.
SOLUCIÓN
El periodo del segundero es igual a 60 s, por tanto su velocidad
J¬ J¬
angular será: — — — L. FLK ¥~¦
Ÿ ¯L I I
El período del minutero es igual a 60 min, por tanto su velocidad

J¬ J¬
angular será: — — — L. FLK H
¥~¦
Ÿ ¯L H • •
El período del horario es igual a 24 horas, por tanto su velocidad

J¬ J¬
angular será: — — — L. KJw ¥~¦
Ÿ FJ ± ±
165
EJEMPLO:
Un tiovivo de 3m de diámetro gira con una velocidad angular de 15 rad/s. Hallar:

a) Número de vueltas que da en 10s
b) Distancia que que recorre un niño
c) Periodo
d) Frecuencia
SOLUCIÓN
a) Para averiguar el número de vueltas que da en
10 s (este tiempo no es periodo). { — ∙ 5
{ 8FK ¥~¦
I
9 ∙ FL I { FKL ¥~¦
Como lo que se solicita es el número de vueltas y no la cantidad de radianes se debe

convertir los radianes a revoluciones
F ¥¡4
{ FKL ¥~¦ ∙ Jw. ²- ¥¡4
J¬ ¥~¦
R// Despues de 10s ha dado 23.9 vueltas
b) La distancia que recorre un niño fue de:

£s•} 5¨¦ ¦¡ ~¥³s
{ £s•} 5¨¦ ¦¡ ~¥³s {∙˜ (esta es la longitud que recorrio)
¥~¦ s
¦ ~H¡5¥s
£ FKL ¥~¦ ∙ F. K H £ JJK H; ya que el radio del tiovivio es de 1.5m ( J
)
R// La distancia que el niño recorrio fue de 225 m
J¬ J¬ J¬
c) El periodo es de: — Ÿ Ÿ ¥~¦ Ÿ L. GFr I
Ÿ — FK
I
R// El periodo fue de 0.419 segundos
F F
d) La frecuencia fue de: © © © J. Jr ª«
Ÿ L.GFr I
R// La frecuencia fue de 2.29 herz
EJEMPLO:
Una rueda de 1m de radio gira a razón de 3 vueltas por minuto, hallar:

a) Velocidad angular en rad/s
b) Velocidad lineal
c) Aceleración Normal
d) Frecuencia y periodo de la rueda.
SOLUCIÓN
a) Trabajamos primero el desplazamiento angular en radianes
J¬ ¥~¦
{ w 4¨¡£5~I ∙ ¯¬ ¥~¦
F 4¨¡£5~
{ ¯¬ ¥~¦ ¥~¦
La velocidad angular es: — — — L. F¬
5 ¯L I I
b) La velocidad lineal es de: 4 —∙˜ 4 8L. F¬ ¥~¦

I
9 FH 4 L. wFG H⁄I
¥~¦ J
c) La aceleración normal es: ~´ —J ∙ ˜ ~´ !L. F¬ & ∙ FH ~´
I
¥~¦
L. Lr²-
IJ
¥~¦
— L.F¬
d) La frecuencia es de: — J¬ ∙ © © © I
© L. LK ª«
J¬ J¬
F F
El Periodo es: Ÿ ©
Ÿ L.LK ª«
Ÿ JL I
166
Movimiento Circular
EJEMPLO:
Un deportista del tiro quiere disparar una bala de forma horizontal de tal manera que
atraviese una mapa esférico giratorio de 50 cm de radio. Si se ha hecho girar al mapa
esférico con velocidad angular constante de 50 rev/s, determine la velocidad de la bala para
que salga por el mismo agujero que abrió al ingresar al mapa.
SOLUCIÓN
Uno de los datos que se proporcionan es 50 rev/s, este dato no es velocidad angular ya
que esta se mide en rad/s; el único valor se se mide en rev/s es la frecuencia, por lo
tanto 50 rev/s equivalen a decir:
¥¡4 4¨¡£5~I
KL KL KL ª« © KL ª«
I I
F
Como se se conoce la frecuencia se puede calcular el periodo : Ÿ
©
F
Ÿ L. LJ I
KL ª«
La bala recorre una trayectoria lineal y esta inicia en el

momento de abrir el agujero y finaliza cuando sale por el
mismo agujero. Recorriendo el díametro.
Por el mismo Esto toma media vuelta de la circunferencia cruzarla, lo

Agujero de
agujero sale que significa medio periodo, esto es 0.01 segundo.
entrada
Si la bala va con velocidad constante y recorre el

díametro de 1 metro (ya que el radio = 50cm),
tardándose en ello un tiempo de 0.01 s, para estas
condiciones la flecha deberá de llevar una velocidad de:
) µŽ( h ‰
1 ∙ hŠŽ ¶h‰Ž Š
100 Distancia a recorrer

-.- R R
R// La bala debe de llevar una velocidad de 100 m/s para salir por el mismo agujero de
donde entro.
167
EJERCICIOS 4.1
1) Un tiovivo se mueve con un movimiento circular uniforme, si el

radio es de 2 m y da una vuelta cada minuto, su velocidad lineal
en el Sistema Internacional será:
ž
A) ƒ m/s B) 1 m/s C) 4ƒ m /s D) m/s
@
2) Un tiovivo describe un MCU con un radio de 1.83 m. Cuando ha

descrito un ángulo de 6 radianes, el espacio recorrido ha sido de:
A) 0.305 m B) 1.83 m C) 6 m D) 10.98 m
3) Un rueda describe un MCU, recorriendo un radián en 15 segundos.

Entonces irá con una velocidad angular de:
ž ž
A) rad/s B) rad/s
@ @
C) 15 rad/s D) rad/s
@
4) Un cuerpo con M.C.U. recorre 0.43 vueltas en 0.034 minutos.

Entonces, va con una frecuencia (en rpm) de:
A) 0.464 vueltas por minuto B) 12.65 r.p.m.
C) 0.080 r.p.m.
5) La Tierra gira en su rotación con una frecuencia (en rpm) de:

A) 1440 r.p.m. B) 24día/hora C) 6.94*10–4 r.p.m.
6) Un engrane describe un MCU con un radio de 2cm. Cuando ha

dado una vuelta, el espacio recorrido ha sido de:
A) 2 π cm B) 4 cm
C) 0.5 cm D) 2 cm
7) Una piedra describe un M.C.U. Cuando han

transcurrido 3.91s ha recorrido 3.98 vueltas.
Entonces, su frecuencia en rpm es:
A) 0.98 r.p.m. B) 61.1 r.p.m. C) 0.016 r.p.m.
8) Una rueda conductora lleva una velocidad angular de 15 rad/s.

Cuando han trancurrido 15s habrá recorrido:
A) 225 rad B) 1 vuelta C) 225 vueltas D) 1 rad
168
Movimiento Circular
EJEMPLO:
Dos poleas de 8cm y 15cm de diámetro respectivamente,

están conectadas entre sí por una correa. Si la polea de
mayor radio da 50 revoluciones en 4s. ¿Cuál será la
frecuencia de la polea de menor radio?
SOLUCIÓN
¤s. ¦¡ 4¨¡£5~I KL
La frecuencia de la polea mayor es: ©· FJ. K ª«
Ÿ ¡H¢s G
La velocidad de la banda es la misma en todos los puntos de la misma, por lo que las
velocidades tangenciales son las mismas.
4Ÿ ¢s£¡~ H¡•s¥ ¢ 4Ÿ ¢s£¡~ H~|s¥ ·
Como la velocidad tangencial es: 4Ÿ —∙˜ J¬© ˜, tenemos lo siguiente:
8J¬©¢ 9˜¢ J¬©· ˜·
©· ˜· FJ.K ª« FK ³H
©F ©F
˜¢ ² ³H
©F Jw. G ª«
R// la frecuencia de la polea menor es de: 23.4 Hz (23.4 rev/s = 23.4 r.p.s.)
EJEMPLO:
Determine la velocidad de la rueda B en rad/s, si. Si el período de

la rueda A es 2 segundos.
SOLUCIÓN
Como las ruedas estan juntas, una hace mover a la otra, la velocidad lineal de ambas es
la misma, por lo tanto:
4Ÿ ¸ 4Ÿ ¹
B 2ƒ ∙ •¸
A ™ ∙ \¹
„
3 in
2ƒ ∙ •¸
2 in ™
„ ∙ \¹
2ƒ 2 T<
™
2 3 T<
¥~¦
J. Lr I ™
R// La velocidad lineal de la rueda B es: 2.09 rad/s
169
EJEMPLO:
La cinta transportadora representa en la figura debe girar a 5 rpm. El eje del motor, que
gira a una velocidad de 3000 rpm y cuyo diámetro mide 2mm, está concetado a una polea
de 100mm de diámetro. Sobre el eje de ésta se monta una nueva polea de 8mm de
diámetro que se une, mediante una correa, a la polea que arrastra a la cinta. Calcule el
díametro de la polea que arrastra al eje de la cinta transportadora.
CINTA TRANSPORTADORA
φ4= ?
φ1=2mm 5 rpm
φ2=100mm
3000 rpm
φ3=8mm
Solución:
Primero se debe trabajar en la polea donde existe mayor información, y luego se irá
encontrando datos hasta llegar a la polea que tiene la cinta transportadora.
Por compartir la misma banda las velocidades

lineas son iguales
φ1=2mm 4Ÿ 4Ÿ
φ2=100mm 2ƒ • 2ƒ •
∙•
•
3000 rpm
Como los radios son la mitad del diamétro se
P--- ‰• ∙
tiene:
@-
60 \[ ™
Como la polea 2 tiene 60 rpm en cualquier Cinta transportadora

lugar desde el centro a cualquier radio.
4Ÿ 4Ÿ ]
2ƒ •P 2ƒ P •] 5 rpm
φ2=100mm φ4= ?
P ∙ •P
•]
]
60 rpm
60 \[ ∙ 4 φ3=8mm
•]
5 \[
48 •]
R// el diamétro en la polea No. 4, que gira a 5rmp; debe tener un radio de 96 mm
170
Movimiento Circular
EJERCICIOS 4.2
1) Dos poleas de 30 y 40 cm de radio respectivamente, giran conectadas por una banda. Si

la frecuencia de la polea de menor radio es 12 vueltas/s (Hz), la frecuencia de la polea
de mayor radio es:
40cm A) 12 Hz B) 35 Hz
30cm
C) 20 Hz D) 9Hz
E) Otra
12 rps
2) En la figura, el disco pequeño de radio 5 in, tiene una velocidad V1=15in/s

lineal de 15 in/s. ¿Con que velocidad lineal girará el disco 5 in
grande, si su radio es de 15 in?
A) 3 in/s ω
B) 30 in/s V2=?
C) 45 in/s 15 in
D) 60 in/s
E) Otra
3) La rueda “A” presenta una velocidad angular constante de 40 rad/s. ¿Cuál es el valor de
la velocidad angular de la rueda “D”?
(Sugerencia: asigne un valor al radio. Ejemplo r=1 in)
A) 60 rad/s B) 12 rad/s C) 6 rad/s

D) 21 rad/s E) Otra
Tres ruedas A, B y C, se encuentran en contacto tal como muestra el gráfico. Siendo la

velocidad angular de “B” 200 rad/s. Los radios son de 20, 10 y 15 cm respectivamente.
4) Hallar la velocidad angular de “A” en rad/s.
A) 100 rad/s B) 133.33 rad/s C) 150 rad/s
D) 200 rad/s E) Otra
5) Hallar la velocidad angular de “C” en rad/s.

A) 100 rad/s B) 133.33 rad/s C) 150 rad/s
D) 200 rad/s E) Otra
6) En la figura, si la rueda mayor gira a razón de 3 rpm. Calcular la velocidad angular de la

rueda menor.
A) 0.94 rad/s
B) 9.4 rad/s
C) 94 rad/s
D) 942 rad/s
E) Otra
171

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Física Cuarto Diversificado

A nivel de Y el movimiento es acelerado y está presente la gravedad de la Tierra, que actúa

El movimiento bidimensional puede dividirse en:

Un proyectil que se desplaza con un movimiento compuesto por un movimiento horizontal y

Para variaciones de la altura pequeñas, el movimiento teórico de caída vertical ha de ser

Un movimiento rectilíneo y uniforme en el eje X, con velocidad ) .

Así pues, en el movimiento horizontal las coordenadas de la posición son:

Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en dirección paralela al

Conociendo el tiempo se puede calcular la velocidad de

b) Para calcular la distancia a la que llega, se debe calcular

2) Qué distancia antes de llegar al suelo tiene que soltar la carga el

3) Calcular la rapidez con la que el paquete llegar al suelo.

4) En los tiros horizontales mostrados en la figura, 4F G HI y las alturas de lanzamiento son

A) 1.43 m/s B) 1.01 m/s

6) Determine a qué altura ha de ponerse el surtidor para

8) Con que velocidad llega al suelo

Utilizamos la ecuación de alcance horizontal. 3 43 ∙ 5

En la figura, la plataforma se desplaza

Se calcula el tiempo que tarda en caer

Utilizamos la ecuación de alcance horizontal.

Interpretación del problema:

El piloto deberá de disparar calculando la distancia que él debe recorrer y también el

Para determinar la distancia que recorre la bomba y la distancia que se mueve el

La distancia que recorre la bomba: 1 ) ∙ 1 200 ∙ 9.04 1 1,808

La velocidad cuando choca se calcula obtiene calculado las componentes de sus

La velocidad es: 6 ) 8 79 _ 200 88.6 +

Si la velocidad de salida es y el ángulo es :, tendremos que las componentes de la

Ecuaciones del movimiento de proyectil con ángulo

El objeto a lo largo de su trayectoria presenta cambios en su velocidad, estas pueden

El móvil estará avanzando horizontalmente a la velocidad constante ) durante el tiempo de

Otras ecuaciones útiles para este movimiento:

Velocidad de la partícula en cualquier instante: 6 ) 8 79

Estrategia para resolver problemas

2) Descomponga el problema en sus dimensiones.

3) Seleccione un sistema coordenado con “x” en la dirección horizontal y “y” en la dirección

4) Identifique toda la información posible.

5) Planteo una estrategia de solución.

c) Alcance del proyectil lanzado: k () ) ∙ 2 k () 8.66 ∙ 2 O 0.51

El tiempo de que tarda en llegar a la parte

La velocidad es: 6 ) 8 79 _ 39.93 10.5 +

II. ¿Cuánto tiempo está en el aire?

III. ¿posición del objeto a los tres segundos?

IV. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de

II. ¿Cuánto tiempo está en el aire?

III. ¿posición del objeto a los dos segundos?

IV. ¿Velocidad del objeto a los dos segundos?

II. ¿Cuánto tiempo tarda llegar a la parte más alta?

III. ¿posición del objeto al segundo y medio (1.5s)?

IV. ¿Velocidad del objeto al segundo y medio (1.5s)?

II. ¿Cuánto tiempo tarda el objeto el aire?

III. ¿posición del objeto a los dos segundos?

IV. ¿Velocidad del objeto a los dos segundos?

Entonces de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

A) Tiempo total de vuelo: 1.28 s B) Altura máxima: 8 m

a) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en golpear

a) Tiempo de caída de la piedra:

4.9 10 45 0 a= 4.9; b=–10; c=–45

=no_n =](p = = - o_ = - =] ].. =]@

b) velocidad de la piedra junsto antes de golpear el suelo es:

La velocidad es: 6 ) 8 79 _ 17.32 31.36 +