CINEMÁTICA II:

ESTUDIO DE MOVIMIENTOS

1. Mvtos. 1 dim: MRU y MRUA

2. Mvtos. 2 dim: Tiro horizontal y tiro
oblicuo
1. Mvtos. circulares: MCU y MCUA
1.Movimientos en 1 dimensión:

MRU
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME
Aquí tienes vídeos con las explicaciones de este primer apartado del tema: MRU
MRU Parte I
MRU Parte II
Características MRU:

at = 0, pues no varía el módulo de la velocidad

an =0 , pues no varía la dirección de la velocidad, al ir en

línea recta.
Ecuaciones del MRU:
Gráficas del MRU:
Las gráficas x-t, v-t y a-t de un MRU son rectas:
La pendiente de la gráfica x-t coincide con el valor de la
velocidad.
Ejercicios:
1. Un móvil está inicialmente a 3 m a la derecha del origen de
coordenadas y se mueve con velocidad constante de 5 m/s hacia él.
Determina:
a) La posición del objeto a los 10 s.
b) La distancia recorrida en ese tiempo.
c) Su aceleración tangencial y normal

AYUDA: En un MRU → | Δx | = |x -x0 |= | v | . t = Δs, es decir,

el módulo del desplazamiento coincide con la distancia recorrida
sobre la trayectoria.
2.Desde 2 pueblos, A y B, separados 10 km, salen al encuentro dos
coches con velocidades de 72 km h-1 y 108 km h-1 . Calcula el
tiempo que tardan en encontrarse y su posición en ese instante,
medida desde A.

AYUDA: Cuando dos móviles se encuentran ( se cruzan, chocan, se

alcanzan,...) se cumple que x1 = x2, es decir, que SUS
POSICIONES FINALES COINCIDEN.
EJERCICIOS MRU

1. Un tren se encuentra a 20 Km de la estación y se aleja de la misma por una vía recta a velocidad
constante de 80 Km/h. Determina la distancia que lo separará de la estación al cabo de 2 horas y el tiempo
que tardará en llegar a una distancia de 260 km de la estación.

SOL. 180 Km y 3 h

2. Desde dos pueblos, A y B, separados 1 Km salen dos coches en el mismo instante , con velocidades
constantes de 108 km/h y 36 Km/h en la misma dirección y sentido, de A a B. Calcula :
a) El tiempo que tardan en encontrarse
b) La distancia a la cual se encuentran, medida desde A
c) Dibuja el diagrama x-t de los dos movimientos.

SOL. 50 s y 1500 m.

3. ¿A qué distancia se encuentra el Sol de nosotros si la luz que sale de él tarda 8 minutos en llegar a la
Tierra? DATO: Velocidad de la luz en el vacío = c = 3x10 8 m/s y la luz viaja siempre en línea recta y con
velocidad constante.
1.Movimientos en 1 dimensión:

MRUA
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME ACELERADO
Aquí tienes vídeos con las explicaciones de este apartado:

Teoría MRUA
Ejemplos MRUA
 Características MRUA:
-Su trayectoria es rectilínea, así que no tiene aceleración normal o centrípeta:
an = a c =0

-Su rapidez aumenta o disminuye progresivamente, es decir, su aceleración

tangencial es constante: at= cte.

→ La aceleración media ,la aceleración instantánea y la aceleración tangencial

coinciden.
→ Las ECUACIONES DE MOVIMIENTO , si elegimos el eje X como dirección de
movimiento, son:

+
Fórmula mágica:
(Útil si no tenemos el tiempo)

v2 = v 2 + 2 a (x-x )
0 0

Escribe en tu libreta las ecuaciones , tomando como eje y la dirección del movimiento.
GRÁFICAS MRUA: x-t v-t
a-t
Gráficas para practicar
Ejercicios MRUA:

1. Un tren parte del reposo con aceleración constante de 8 m/s2

durante 5 s. A continuación mantiene la velocidad alcanzada
durante 8 s. Finalmente frena con aceleración constante y se
detiene el 3 s. Dibuja su gráfica v-t.
2. Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo
instante, en la misma dirección y sentido desde dos semáforos
contiguos de la misma calle. El camión tiene una aceleración
constante de 1,2 m/s2, mientras que el automóvil acelera con 2,4
m/s2. El automóvil alcanza al camión después de que éste ha
recorrido 50 m.
a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar el camión?
b) ¿Qué velocidad tienen ambos cuando están emparejados?
c) ¿Qué distancia separa los dos semáforos?
EJERCICIOS MRUA:
4. Un tren de mercancías entra en un túnel recto de doble vía de 1 km de longitud con velocidad constante
de 43,2 km/h. En ese mismo instante, desde el otro extremos del túnel parte del reposo en sentido contrario
un tren de viajeros con aceleración de 1,5 m/s2. Calcula : a) La distancia a la cual se encuentran, medida
desde el primer extremo del túnel, b) La velocidad del tren de viajeros cuando se cruzan.

SOL 352,6 m y 44 m/s.

5. El movimiento de un móvil viene representado por la siguiente gráfica v-t. Indica para cada tramo : a) El
tipo de movimiento, b) la aceleración, c) La distancia recorrida.

6. ¿Qué aceleración tiene un Ferrari que pasa de 0 a 100 Km/h en 4s?

APLICACIONES MRUA : CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

En ambos casos:

● Se trata de MRUA en los que la aceleración coincide con el valor de

la gravedad, g, que en posiciones cercanas a la superficie terrestre
puede considerarse constante y dirigida hacia abajo
g = 9'8m/s2 (a veces se aproxima por 10 m/s2).
● Se desprecia cualquier tipo de rozamiento con el aire o cualquier
otro obstáculo.
Diferencias:
Ejemplos:
1. Desde una altura de 25 m cae un tiesto al suelo. Calcula el tiempo que tarda
en caer y la velocidad con la que llega al suelo. SOL. 2,3 s y 22,5 m/s.

Visualiza este vídeo donde se resuelve un problema de caída libre: CAÍDA LIBRE
2. Determina cuál de estas gráficas representa la posición de un cuerpo que se lanza
verticalmente hacia abajo desde una altura de 100 m con una velocidad inicial de 20 m/s.
3. Una muchacha trata de lanzar verticalmente un balón desde la acera de la calle a su
hermana, que se encuentra asomada a la ventana de su casa, a 15 m de altura. Calcula :
a) La velocidad con la que debe lanzar el balón para que lo alcance su hermana
b) El tiempo que tarda el balón en llegar a la ventana.SOL. > 17,1 m/s y 1,7 s.
Ejercicios caída libre y tiro vertical:
7. ¿Cuánto tiempo tarda en caer un objeto desde lo alto de la Torre Eiffel? ¿Con qué velocidad
llegará al suelo? ¿Dependen los resultados de la masa del objeto?
DATO: Altura de la torre= 300 m. Toma g = 9.8 m/s2

8. Desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota. A través de una ventana situada
en un tercer piso, a 9 m del suelo, un vecino la ve pasar con una velocidad de 5 m/s. Determina :
a) La velocidad con la que fue lanzada
b) La altura máxima que alcanza
c) El tiempo que tarda en llegar a la ventana
SOL. 14,2 m/s ; 10,3 m y 0,9 s

9. Desde una torre de 20 m de altura se deja caer un lápiz. Al mismo tiempo, desde el suelo, se lanza
verticalmente hacia arriba una tiza con una velocidad inicial de 10 m/s. Determina la velocidad y
posición de ambos objetos cuando se encuentran. SOL. 0,4 m ; 19,6 m/s y 9,6 m/s.

SOLUCIÓN EJERCICIOS 1 A 7:
https://photos.app.goo.gl/iXKfnss8i4aPsK439
2. Movimientos en 2 dimensiones:
Tiro horizontal y tiro oblicuo
En este apartado estudiaremos movimientos en 2 dimensiones, en concreto el
tiro horizontal y el tiro oblicuo.
Ambos son movimientos COMPUESTOS, pues están formados por la
combinación de dos movimientos simples o elementales.Por ejemplo:
- En el tiro horizontal el móvil avanza y a la vez, cae. Un ejemplo sería una
flecha lanzada en horizontal.

- En el tiro oblicuo el móvil sube a la vez que avanza y después cae a la vez
que avanza.Un ejemplo sería un cañonazo.
Para su estudio aplicaremos el llamado PRINCIPIO DE
INDEPENDENCIA DE GALILEO, que dice que “cuando un cuerpo
está sometido simultáneamente a varios movimientos elementales, el
movimiento resultante se obtiene al sumar vectorialmente los
movimientos componentes. Además, el tiempo empleado en el
movimiento compuesto es igual al tiempo empleado en los
movimientos componentes”
Para entenderlo mejor vamos a ver esta escena de la película de Amenábar, ÁGORA, en la
que Hypatia trata de comprobar cómo se mueve un saco que se deja caer libremente sobre un
barco que ya está en movimiento:
https://youtu.be/gtSD8ShDxEc
Aunque en un principio se podría pensar que si el saco cae mientras el barco avanza, no caerá en
la misma vertical, pues el barco se ha movido en horizontal, con este experimento se ve que no
es así. Eso es porque el saco lleva un movimiento compuesto: en el eje horizontal, lleva el
mismo MRU que el barco y en el eje vertical lleva un MRUA, pues cae por acción de la
gravedad. Los dos movimientos se suman, y el resultado es un tiro horizontal.
Un observador en reposo, desde fuera del barco, en la costa, por ejemplo, observaría que el saco
describe una parábola, no una recta, como se ve desde el barco.

Si esto no fuera así, piensa que, por ejemplo, si quisiéramos viajar de Madrid a New York, solo
tendríamos que subir unos pocos metros en vertical,levitando sobre un dron, por ejemplo,
esperar a que la Tierra girara bajo nuestros pies y así llegar a nuestro destino…Pero nuestra
experiencia nos dice que esto no es así, ¿verdad? Y eso es porque, aunque no lo sepamos, nos
estamos desplazando siempre en horizontal con la Tierra, y aunque subamos verticalmente,
seguimos desplazandonos en horizontal. Un observador desde fuera de la Tierra lo vería más
claro.
 ● Toma APUNTES sobre el TIRO HORIZONTAL y copia la resolución de estos
ejemplos:
Ej1) Un esquiador salta desde una altura de 20 m con una
velocidad horizontal de 80 Km/h. Calcula:

a) El tiempo que está en el aire hasta caer en la nieve.

b) El alcance que consigue medido desde el trampolín desde el que
salta.
c) La velocidad con la que llega al suelo
Ej2) Un joven lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un
acantilado de 25 m de altura. Si desea que choquen contra un
islote que se encuentra a 30m de la base del acantilado, calcula: a)
La velocidad con la que debe lanzar las piedras; b) El tiempo que
tardan en chocar contra el islote.
Ahora realiza la siguiente tarea:
TAREA 1: Realiza los siguientes ejercicios sobre tiro horizontal y entrégalos a la profesora. Toma
g = 9.8 m/s2 para los cálculos.

1.1 Desde un acantilado se lanza horizontalmente una piedra y se observa que tarda en tocar el
agua 4s en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula:
a) La altura del acantilado
b) Con qué velocidad se lanzó el proyectil
c) Con qué velocidad llegó al agua
SOL. 78 m; 15 m/s; 42 m/s
1.2 Un avión vuela horizontalmente a una altura de 6.000 m y una velocidad de 900 Km/h.
Al pasar por la vertical de un punto P deja caer un paquete de ayuda humanitaria.
Calcula:
a) A qué distancia del punto P cae el paquete.
b) Qué velocidad tiene el paquete al llegar al suelo.
SOL. 8750 m; 424 m/s
 ● Toma APUNTES sobre el TIRO OBLICUO y copia la resolución de estos ejemplos:

Ej 3)Se dispara un proyectil desde el suelo con una velocidad inicial de

540 m/s y un ángulo de inclinación de 30º respecto a la horizontal.
Calcula: a) El alcance del proyectil; b) La posición y velocidad del
proyectil 3 s después de ser lanzado; c) La altura máxima a la que llega;d)
La velocidad con la que llega al suelo.

Ej 4)En los juegos olímpicos un lanzador de jabalina consigue alcanzar

una distancia de 90 m con un ángulo de inclinación de 45º. Calcula. a) La
velocidad de lanzamiento; b)El tiempo que la jabalina estuvo en el aire.
Por último, realiza la siguiente tarea:
TAREA 2: Realiza los siguientes ejercicios sobre tiro oblicuo y entrégalos a la profesora. Toma g = 9.8 m/s2 para
los cálculos.
2.1 Un futbolista chuta hacia la portería con una velocidad de 15 m/s y un ángulo de inclinación de 30º en el
momento en que se encuentra a 15,6 m de la portería. Calcula la altura que alcanza el balón cuando pasa
por la línea de meta y su velocidad en ese instante.SOL. 1,9 m y 13,7 m/s.

2.2 Se dispara un cañón con un ángulo de elevación de 30º y una velocidad de 200 m/s. Calcula:
a) El alcance horizontal del proyectil
b) La velocidad del proyectil al llegar al suelo.
c) Si a la mitad del recorrido hubiese una colina de 600 m de altitud, ¿tropezaría con ella?
SOL. 3533 m ; 200 m/s; Tropieza

2.3 Razona si es verdadero o falso:

a) En un lanzamiento oblicuo el vector aceleración siempre es perpendicular al vector velocidad.

b) En un lanzamiento oblicuo la altura máxima se alcanza en la mitad del tiempo de vuelo.

c) En un lanzamiento oblicuo el alcance no depende de la velocidad inicial pero sí del ángulo de lanzamiento.
Solución tareas
Apuntes
3. Movimientos circulares:
MCU y MCUA
Introducción a los MC:
Antes de seguir quiero que veas este VÍDEO: MC
Dale a comenzar , FÍJATE EN LA PANTALLA 1 y párate a pensar… ¿Se te ocurren formas de medir la
velocidad ( en este caso rapidez) de la bolita? Piensa, por favor...un poco más…
Igual se te han ocurrido alguna de estas formas:
- Medir el nº de vueltas completas que da en 1 min
- Medir la distancia recorrida por la bolita ( teniendo en cuenta que describe una circunferencia, y la
longitud de una vuelta completa es l = 2πR, siendo R el radio) en un tiempo determinado
- Medir el ángulo recorrido en 1 s
- Medir el tiempo que tarda en dar una vuelta completa
- Etc
El caso es que las diferentes formas de medir la velocidad se podrían resumir en 2:
- Medir lo que llamaremos la VELOCIDAD LINEAL ( el espacio recorrido en la unidad de tiempo:
v = Δs/t)
- Medir lo que llamaremos la VELOCIDAD ANGULAR (el ángulo recorrido en la unidad de tiempo: ω=
Δφ/t)
Como te puedes imaginar, la segunda es más cómoda.
En general, en los MC podemos trabajar con magnitudes LINEALES o ANGULARES.
Aquí te dejo una tabla donde se muestran las equivalencias. Es importante aprenderse bien las
fórmulas sombreadas. Toma apuntes:

Vamos a ver una a una y ver que están relacionadas a través de una fórmula siempre con esta
estructura: Variable lineal = R · Variable angular, siendo R el radio de la trayectoria.

Vídeo donde se explica: https://screencast-o-matic.com/watch/cYfu0ZBi5L

(Por cierto, te habrás dado cuenta que casi al final , hablando de la aceleración tangencial lineal y de la angular en el ejemplo, digo justo lo contrario
de lo que pone y de lo que realmente es, sorry). Enla ce fotos: :https://photos.app.goo.gl/C4NXfbb3bJFLg1mXA
A continuación, lee estos apuntes sobre el MC, prestando especial atención a los ejemplos
Ejemplo 1:

a) Un disco gira a 15 rpm. Calcula velocidad angular, su período y su frecuencia:

-Velocidad angular → ω = Δφ/Δt = 2π . 15 rad/60 s =0,5π rad/s = 1,57 rad/s, ya que el

enunciado nos dice que el disco da 15 vueltas ( que equivalen a un ángulo recorrido de 2π .15
rad) en 1 minuto ( 60 s)
-Período → Como ω = 2π / T , despejando T = 2π /ω = (2π rad)/(0,5π rad/s) = 4 s. También
podríamos haber hecho una regla de 3: 1 min= 60 s--------15vueltas
x ---------- 1 vuelta
-Frecuencia → Como f = 1/T, tenemos que f = 1/ 4 s = 0,25 Hz. También podríamos haber
hecho una regla de 3: 1 min = 60 s ---------15 vueltas
1 s ---------- x
Ejemplo 2:
Actividades MCU:

1.1 Un coche toma una curva de 250 m de radio a una velocidad constante de 73,8
km/h. Determina: a) Su velocidad angular; b) Su aceleración normal.
SOL.0.082 rad/s y 1,7 m/s2

1.2. Calcula la velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol, sabiendo que
la distancia media Tierra -Sol son 1.5 x 1011 m. Calcula también su velocidad
angular, período, frecuencia, su aceleración tangencial y su aceleración normal o
centrípeta. Debes suponer que la Tierra lleva un MCU.
(ESTE EJERCICIO ES EL MÁS IMPORTANTE DE CARA A 2º BACH¡¡¡)

1.3 Realiza las siguientes actividades, excepto la 20:

 22
19

23

20

21

SOLUCIÓN ACTIVIDADES:
https://photos.app.goo.gl/iJZVS1QN7mr9DfoT7