Tarea 4 Espacios vectoriales.

Javier Enrique Polo Flórez

Código: 19510544
Grupo:208046_44

Beatriz Guevara
Tutora

Algebra Lineal
Código: 208046

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

CEAD Santa Marta
Ingeniería Industrial
2024
Ejercicio 1: Axiomas en un Espacio Vectorial.

⃗ = (𝟖, 𝟒, −𝟑); 𝑣 = (𝟏, −𝟗, 𝟕) y 𝑤

C. Vectores: 𝑢 ⃗⃗ = (−𝟑, −𝟖, 𝟖). Escalares: 𝜆=7; β=2.

 ⃗ , 𝑣 ϵ 𝐑 𝟑, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢
Cerradura bajo la suma de vectores: 𝑺𝒊 𝑢 ⃗ + 𝑣 𝛜 𝐑 𝟑.
𝑢
⃗ = (8, 4, −3)
𝑣 = (1, −9, 7)
⃗ + 𝑣 = (8, 4, −3) + (1, −9, 7)
𝑢
⃗ + 𝑣 = (9, −5, 4) ∈ 𝑅3
𝑢

 ⃗ ϵ 𝐑 𝟑, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝛌𝑢
Cerradura bajo el producto escalar: 𝑺𝒊 𝛌ϵ 𝐑 y 𝑢 ⃗ 𝛜 𝐑 𝟑.
𝝀=7
𝝀∗𝑢
⃗ = 7(8, 4, −3)
⃗ = (56, 28, −21)𝜖𝑅3
𝝀∗𝑢

 ⃗ + (𝑣 + 𝑤
Asociatividad de la suma: 𝑢 ⃗⃗ ) = (𝑢
⃗ + 𝑣) + 𝑤
⃗⃗ .
𝑢
⃗ = (8, 4, −3)
𝑣 = (1, −9, 7)
𝑤
⃗⃗ = (−3, −8, 8)
⃗ + (𝑣 + 𝑤
𝑢 ⃗⃗ ) = (𝑢
⃗ + 𝑣) + 𝑤
⃗⃗
(8, 4, −3) + [(1, −9, 7) + (−3, −8, 8)] = [(8, 4, −3) + (1, −9, 7)] + (−3, −8, 8)
(−3, −8, 8) + (−2, −17,15) = (9, −5, 4) + (−3, −8, 8)
(6, −13, 12) = (6, −13, 12)

 Existencia de elemento neutro aditivo: 𝑢 ⃗ =0

⃗ +0 ⃗ +𝑢
⃗ =𝑢
⃗.

𝑢 ⃗ =0
⃗ +0 ⃗ +𝑢
⃗
(8, 4, −3) + (0, 0, 0) = (0, 0, 0) + (8, 4, −3)
(8, 4 − 3) = (8, 4, −3)
  ⃗ + (−𝑢
Existencia de inverso aditivo: 𝑢 ⃗ ) = (−𝑢
⃗)+𝑢 ⃗.
⃗ =0
⃗ + (−𝑢
𝑢 ⃗ ) = (−𝑢
⃗)+𝑢
⃗
(8, 4, −3) + [−(8, 4, −3)] = [−(8, 4, −3)] + (8, 4, −3)
(0, 0, 0) = (0, 0, 0)

 Conmutatividad de la suma: 𝑢
⃗ +𝑣 =𝑣+𝑢
⃗.
𝑢
⃗ +𝑣 =𝑣+𝑢
⃗
(8, 4, −3) + (1, −9, 7) = (1, −9, 7) + (8, 4, −3)
(8 + 1, 4 − 9, −3 + 7) = (1 + 8, −9 + 4, 7 − 3)
(9, −5, 4) = (9, −5, 4)

 ⃗ = 𝛌(𝜷𝑢
Asociatividad de la multiplicación por escalar: (𝛌𝛃)𝑢 ⃗ ).
(𝛌𝛃)𝒖
⃗⃗ = 𝛌(𝛃𝒖
⃗⃗ )
𝛌=7
𝛃=2
⃗ = (8, 4, −3)
𝒖
(7 ∗ 2)(8, 4, −3) = 7[2(8, 4, −3)]
(14)(8, 4, −3) = 7(16, 8, −6)
(112, 56, −42) = (112, 56, −42)

 Distributividad a derecha de la multiplicación escalar con respecto a la suma

de vectores: 𝛌(𝑢⃗ + 𝑣 )= 𝛌𝑢
⃗ + 𝛌𝑣 .
𝛌=7
𝛃=2
⃗ = (8, 4, −3)
𝒖
⃗ = (1, −9, 7)
𝒗
7[(8, 4, −3) + (1, −9, 7)] = 7(8, 4, −3) + 7(1, −9, 7)
7[(9, −5, 4)] = (56, 28, −21) + (7, −63, 49)
(63, −35, 28) = (63, −35, 28)

 Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma de

escalares (𝛌 + 𝜷)𝑢
⃗ = 𝛌𝑢
⃗ + 𝜷𝑢⃗.
⃗ = (8, 4, −3)
𝝀=7; 𝜷= 2; 𝒖
(7 + 2)(8, 4, −3) = 7(8, 4, −3) + 2(8, 4, −3)
(9)(8, 4, −3) = (56, 28, −21) + (16, 8, −6)
(72, 36, −27) = (72, 36, −27)
Ejercicio 2. Dependencia Lineal, Independencia Lineal y Conjuntos
Generadores.
Considerando el conjunto 𝑺, se plantean las siguientes preguntas:
 ¿Es el conjunto 𝑆 linealmente independiente o dependiente?
 ¿𝑺 genera al espacio tridimensional 𝐑 𝟑?

C. 𝑆 = {(3, 0, 0), (0,1,1), (1,0,0)}.

3 0 0
𝑑𝑒𝑡 [0 1 1] = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0 − 0 = 0
1 0 0
Rta: El conjunto es Linealmente Independente

𝑆 = {(3, 0,0), (0,1,1), (1,0,0)}

𝑐1(3,0,0)+𝑐2 (0,1,1) +𝑐3 (1,0,0)=(𝑥,𝑦,𝑧 )
3𝑐1+0𝑐2+𝑐3=𝑥
0𝑐1+𝑐2+0𝑐3=𝑦
0𝑐1+𝑐2+0𝑐3=𝑧
Resolvemos el sistema mediante la regla de Sarrus
3 0 0
0 1 1
∆𝑠 = ||1 0 0|| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∆𝑠 = 0
3 0 0
0 1 1
 0 0 0 0 0
∆𝑥 = | 0 1 1 0 1| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∆𝑥 = 0
0 0 0 0 0

3 0 0
0 0 1
∆𝑦 = ||1 0 0|| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∆𝑦 = 0
3 0 0
0 0 1
3 0 0 3 0
∆𝑧 = | 0 1 0 0 1| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∆𝑧 = 0
1 0 0 1 0

Entonces
𝑥=0
∆𝑥 0
𝑥= =0=0 R/ 𝑦 = 0
∆𝑠
𝑧=0
∆𝑦 0
𝑦= = =0
∆𝑠 0
∆𝑧 0
𝑧= = =0
∆𝑠 0

 Respuesta: El sistema tiene infinitas soluciones, por lo tanto, S si genera al

espacio tridimensional 𝑅3.

Ejercicio 3. Bases ortogonales de 𝐑 𝟑 .

Determine si el conjunto 𝑆 corresponde a una base ortogonal de ℝ³. En caso
contrario, explique por qué no cumple con las condiciones de una base ortogonal.

C. 𝑆 = {(-1, 0, 0), (0,-4,0), (0,0,5)}.

 Determinante de la matriz aumentada debe ser diferente de cero

−1 0 0
𝑑𝑒𝑡: 0 −4 0| = (20 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = (20) − (0) = 20 ≠ 0
|
0 0 5
  El producto dos a dos de los vectores del sistema debe ser igual a cero es
decir deben ser perpendiculares.
(−1, 0, 0) ∗ (0, −4, 0) = 0 − 0 + 0 = 0
(−1, 0, 0) ∗ (0, 0, 5) = 0 + 0 + 0 = 0
(0, −4, 0) ∗ (0, 0,5) = 0 − 0 + 0 = 0

 Respuesta: Sí es base Ortogonal, porque los vectores del sistema son

perpendiculares.

Ejercicio 4. Rango de una Matriz.

Determinar el rango de la matriz dada, utilizando el método de Gauss-Jordán y el
método de los determinantes.
𝟑 𝟎 𝟑
C. 𝑪 = (𝟏 𝟔 −𝟏)
𝟐 𝟐 𝟐
𝟎 −𝟏 𝟏
 Método de Gauss-Jordán

3 0 3
(1 6 −1)
2 2 2
0 −1 1
Dividimos la Fila 3, entre 2
3 0 3
(1 6 −1)
1 1 1
0 −1 1
Multiplicamos la Fila 3 por -1, y luego le sumamos la Fila 2
3 0 3
(0 7 2)
1 1 1
0 −1 1
Sumamos la Fila 4, por -1 y luego le sumamos la Fila 3
 3 0 3
(0 7 2)
0 3 1
0 −1 1
Multiplicamos la Fila 4 por 3, y luego le sumamos la Fila3
3 0 3
(0 7 2)
0 0 4
0 −1 1
Dividimos la Fila 2 entre 7, y luego le sumamos la Fila 4
3 0 3
0 7 2
( 4)
0 0
0 0 4,5
Multiplicamos la Fila 3 por -1.125, y luego le sumamos la Fila4
3 0 3
(0 7 2)=3
0 0 4
0 0 0

 Respuesta: El rango de la matriz C (rg C) es el número de filas no nulas de

la matriz cuando al convertirla en una matriz diagonal superior resulta ceros
(0) por debajo de la diagonal principal, por lo tanto, el rg (C) es 3.

 Método de determinante

3 0 3 6 −1 1 −1 1 6
𝐶 = (1 6 −1) = 3 |
2 2 | = 0 |2 2 | = 3 |2 2|
2 2 2
−1 1 0 1 0 −1
0 −1 1
Eliminamos los determinantes multiplicados por 0
6 −1 6 −1 1 6 1 6
3( 2 2 |2 2 ) + 3 (2 2 |2 2)
−1 1 −1 1 0 −1 0 −1
3(6 ∗ 2 ∗ (−1) + (−1) ∗ 2 ∗ 1) − ((−1) ∗ 2 ∗ 6 + 1 ∗ 2 ∗ (−1))

= 3(−14 − (−14) = 3 ∗ 0 = 0

3(1 ∗ 2 ∗ 0 + 6 ∗ 2 ∗ (−1)) − (0 ∗ 2 ∗ 1 + (−1) ∗ 2 ∗ 6)

 = 3(−12 − (−12)) = 3 ∗ 0 = 0

𝑑𝑒𝑡 = 0 − 0 = 0

Ejercicio 5. Sistemas de Ecuaciones con infinitas soluciones.

Cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneo (𝟐 × 𝟑),
tiene infinitas soluciones. Para cada sistema, realiza lo siguiente:
 Determine el conjunto solución.
 Identifique un sistema fundamental de soluciones, es decir, una base que
genere el conjunto solución obtenido en el ítem anterior.
 Describa la naturaleza geométrica de la solución obtenida en el ítem anterior
(si corresponde a una recta o un plano en el espacio). Puede utilizar
GeoGebra para realizar una verificación geométrica visual de la solución.

Resultado
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales homogéneas dadas por:
3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 0
15𝑥 − 25𝑦 + 5𝑧 = 0

podemos seguir los siguientes pasos:

 Determine la solución del conjunto:
Para un sistema homogéneo, siempre existe al menos una solución trivial donde
todas las variables son iguales a cero.
La solución trivial en este caso sería 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0
Sin embargo, como se menciona que el sistema tiene infinitas soluciones, hay otras
soluciones no triviales. Podemos expresar la solución general utilizando
parámetros.
La solución general se puede obtener reduciendo la matriz aumentada a su forma
escalonada reducida.
 3 −5 1 |0
La matriz aumentada del sistema es: [ ]
15 −25 −5|0

Al aplicar operaciones elementales de fila para reducir esta matriz, llegamos a:

1 −5/3 1/3|0
[ ]
0 0 0 |0

5 1
?= ?+ ?
3 3
La solución general es: { ? =?
? =?

Donde t y s son parámetros que pueden tomar cualquier valor real.

 Identifique un sistema fundamental de soluciones:

Para obtener un sistema fundamental de soluciones, simplemente asignamos
valores específicos a los parámetros.
Tomemos ? = 3 , ? = 1
por ejemplo:
Sistema fundamental de soluciones:

5 1
?= (3) + (1) = 6
{ 3 3
?= 1
?= 3
Esto nos da una solución particular que es parte del conjunto solución.

 Describe la naturaleza geométrica de la solución:

El sistema tiene infinitas soluciones, lo que sugiere que la solución se encuentra en
un espacio de dimensión superior (una línea en el espacio tridimensional). La
solución general proporcionada muestra que las variables ? , ? ? ? están
relacionados linealmente, lo que confirma que la solución es una línea en el espacio
tridimensional.
Puedes utilizar GeoGebra para visualizar la solución y confirmar la naturaleza.
geométrico. Ingresa la ecuación paramétrica en GeoGebra para representar la línea
en el espacio tridimensional.

En resumen, la solución es una línea en el espacio tridimensional, y la solución

general, se puede expresar con dos parámetros, lo que indica que hay infinitas
soluciones.

Ejercicio 6: (Ejercicio Colaborativo de Equivalencia de Conceptos).

Cada miembro del grupo deberá resolver el ejercicio correspondiente a su literal de
manera individual. Luego, se les solicita realizar su aporte en el foro, compartiendo
los resultados obtenidos. Además, cada integrante debe responder a la pregunta
planteada al final del ejercicio.

Considere las siguientes matrices:

C. Verifique que el conjunto formado por los vectores columna de la matriz 𝑨 genera
el espacio 𝐑 𝟑. Compruebe que el conjunto formado por los vectores columna de la
matriz 𝑩 no genera todo el espacio 𝐑 𝟑.
¿Qué conclusión se puede obtener de las equivalencias lógicas presentadas en los
enunciados de los literales A, B, C y D?

 Resultado
Para verificar si el conjunto formado por los vectores columna de una matriz genera
el espacio R3, necesitamos realizar la eliminación de Gauss para reducir la matriz
a su forma escalonada reducida por filas (REF) o su forma escalonada por filas
(RREF) y examine el número de pivotes.
1 −1 2
La matriz A es: 𝐴 = [0 3 4]
0 0 9

Aplicamos la eliminación de Gauss:

1
Multiplicamos la primera fila por 1 para tener 1 en la primera posición.

Restamos la primera fila de las filas debajo de ella para hacer ceros debajo del
1 −1 2
elemento primario. 𝐴 = [0 1 2 ]
0 0 9
1
Multiplicamos la segunda fila por para tener 1 en la segunda posición.
3

Restamos la segunda fila de las filas debajo de ella para hacer ceros debajo del
segundo elemento.
La matriz escalonada resultante es:

1 −1 2
𝐴 = [0 1 4/3]
0 0 9
Esta matriz tiene tres pivotes, uno en cada fila, por lo que los vectores columna de
A generador R3.

Ahora, examinamos la matriz. B:

 1 −1 0
𝐵 = [1 2 3]
3 6 9
Aplicamos la eliminación de Gauss:
1
Multiplicamos la primera fila por para tener 1 en la primera posición.
1
Restamos la primera fila de las filas debajo de ella para hacer ceros debajo del
elemento primario.
1
Multiplicamos la segunda fila por para tener 1 en la segunda posición.
1
Restamos la segunda fila de las filas debajo de ella para hacer ceros debajo del
segundo elemento.
Restamos tres veces la primera fila de la tercera fila para hacer cero en la tercera
posición de la tercera fila.
La matriz escalonada resultante es:
1 −1 0
𝐵 = [0 3 3]
0 0 0
Esta matriz tiene dos pivotes (uno en la primera fila y otro en la segunda), pero no
tiene un pivote en la tercera fila. Esto significa que los vectores columna de B sin
generador R3.
En resumen, el conjunto formado por los vectores columna de A géneros R3,
mientras que el conjunto formado por los vectores columna de B no hay géneros
para R3.
 Referencias Bibliográficas

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