PRC 3 - Vectores y Opcon Vectores - Fisica 1

PRACTICA N.
º 02
VECTORES EN EL PLANO
1. En la figura se muestran los vectores desplazamiento

𝐴⃗ 𝑦 𝐵
⃗⃗ , cuya magnitud es 5m. La dirección del vector
𝐴⃗ 𝑒𝑠 𝜃 = 40º. Encuentre gráficamente: (a) 𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ ; (b)
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
𝐴 − 𝐵 ; (c) 𝐵 − 𝐴 y d) A − 2B⃗⃗
(B)
2. El vector 𝐴⃗ tiene componentes x e y de -8.70 cm y 15.0
5. La dirección de las fuerzas de 75 lb puede variar, pero
cm, respectivamente; el vector 𝐵 ⃗⃗ tiene componentes
el ángulo entre las fuerzas siempre es de 50°.
x e y de 13.2 cm y -6.60 cm, respectivamente. Si 𝐴⃗ + Determine el valor de α para el cual la resultante de
⃗⃗ + 3𝐶⃗ = 0. (a) Cuáles son las componentes de 𝐶⃗ y
𝐵 las fuerzas que actúan en A tiene una dirección
(b) Dirección de 𝐶⃗. horizontal hacia la izquierda.
3. Dados los siguientes vectores coplanares. Determine

(a) los vectores en su forma cartesiana y (b) sus
vectores unitarios de cada vector.
6. Un tanque de acero es colocado dentro de una

excavación. Si se sabe que α = 20°, determine (a) la
magnitud requerida de la fuerza P, si la resultante de
las dos fuerzas aplicadas en el punto A debe ser
4. Determine la magnitud de la fuerza resultante, así vertical, (b) la magnitud correspondiente de R.
como su dirección medida en sentido contrario al de
las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
(A)
PRACTICA N.º 02
VECTORES EN EL ESPACIO 11. Se tiene una caja rectangular de la figura de

lados a= 50 in, b=30in y c= 70in, se tiene 2
7. Una fuerza actúa en el origen de un sistema
vectores. Si 𝑞⃗ llega a la mitad del lado. Calcular
coordenado en la dirección definida por los ángulos θx
(a) el producto escalar entre los vectores y (b)
= 70.9° y θy = 144.9°. Si se sabe que la componente z
Producto vectorial entre los vectores.
de la fuerza es de –52 lb, determine a) el ángulo θz, b)
las componentes restantes y la magnitud de la fuerza.
Z
8. Una fuerza F de magnitud 210 N actúa en el origen de

un sistema coordenado. Si se sabe que Fx = 80 N, θz 𝑞⃗
=151.2° y Fy < 0, determine a) las componentes Fy y
c 𝑝⃗
Fz, b) los ángulos θx y θy.
Y
b
9. Dada la siguiente figura. (a) Determine los vectores X a
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 y (b) vectores unitarios de cada uno.
12. (a) Calcular 𝐴⃗𝑥𝐵
⃗⃗ y (b) ángulo entre los vectores.
Donde: 𝐴⃗ = 𝑖̂ + 3𝑗̂ − 2𝑘̂ 𝑦 𝐵
⃗⃗ = 4𝑖̂ − 2𝑗̂ + 4𝑘̂
13. Calcular 𝑎⃗ ∙ (𝑏⃗⃗𝑥𝑐⃗), donde: 𝑎⃗ = 𝑖̂ − 2𝑗̂ + 𝑘̂ ; 𝑏⃗⃗ = 2𝑖̂ +
𝑗̂ + 𝑘̂ 𝑦 𝑐⃗ = 3𝑖̂ − 𝑗̂ + 2𝑘̂
14. Calcular el ángulo entre los vectores: 𝑎⃗ = −2𝑖̂ + 𝑗̂ −
2𝑘̂; 𝑏⃗⃗ = 2𝑖̂ − 2𝑗̂ + 5𝑘̂
15. Calcular el área de un paralelogramo que tiene por
diagonales los vectores:
𝑎⃗ = 𝑖̂ − 2𝑗̂ + 𝑘̂ 𝑦 𝑏⃗⃗ = 2𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂
16. Calcular el volumen del paralelepípedo definido por
los 3 vectores:
𝑎⃗ = 𝑖̂ + 3𝑘̂; 𝑏⃗⃗ = 2𝑖̂ + 𝑗̂ − 2𝑘̂ 𝑦 𝑐⃗ = 5𝑖̂ + 4𝑘̂
10.Exprese la(s) fuerzas mostradas en la figura como un
vector cartesiano. También determine los cosenos 17. Le dan dos vectores:
directores y los vectores unitarios a cada vector. 𝑎⃗ = 5𝑖̂ − 6.5𝑗̂ y 𝑏⃗⃗ = −3.5𝑖̂ + 7𝑗̂. Un tercer vector 𝑐⃗
esta en el plano xy y es perpendicular a 𝑎⃗ y el
producto escalar de 𝑐⃗ y 𝑏⃗⃗ es 15. Con esta
información, obtenga las componentes del vector 𝑐⃗
18. Determine el volumen del paralelepípedo de la

figura. Donde: 𝑃⃗⃗ = 4𝑖̂ − 3𝑗̂ + 2𝑘̂;
⃗⃗ = −2𝑖̂ − 5𝑗̂ + 𝑘̂ 𝑦 𝑆⃗ = 7𝑖̂ + 𝑗̂ − 𝑘̂
𝑄
OPERACIONES CON VECTORES

PRACTICA N.º 02
𝐵 ∙ 𝐶⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗
19.Obtenga los productos escalares ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵′ ∙ 𝐶⃗,
donde B=B’, y use los resultados obtenidos para 26. Se tiene un campo vectorial 𝐴⃗ se dice que es
comprobar la siguiente identidad:
radial cuando tiene la forma: 𝐴⃗ = 𝑔(𝑟)𝑟⃗ . Donde
1
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 = [𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽)] g(r) es una función derivable, 𝑟⃗ = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧𝑘̂ ,
2
y 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2.
Verificar:
𝑔 ′
a) grad(𝐴⃗) = 𝑟⃗
𝑟
b) div(𝐴⃗) = 𝑟𝑔′ (𝑟) + 3𝑔(𝑟)
c) rot(𝐴⃗)= 0
⃗⃗
20.Obtenga los productos vectoriales 𝐵⃗⃗𝑥𝐶⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵′ 𝑥𝐶⃗,
donde B=B’, y use los resultados obtenidos para
comprobar la siguiente identidad:
1
𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 = [𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽)]
2
21.Se tiene un campo escalar dado por:

g(x,y,z)=2x2yz3
Determinar: (a) El gradiente, (b) la divergencia del
gradiente y (c) el rotacional del gradiente.
22.Se tiene un campo escalar dado por:

g(x,y,z)=x2yz+3x2
Determinar: (a) El gradiente, (b) la divergencia del
gradiente y (c) el rotacional del gradiente.
23.Dado el campo vectorial:

𝐴⃗ = 𝑥𝑦𝑖̂ − 𝑧 2 𝑗̂ + 𝑥𝑦𝑧𝑘̂
Determinar: (a) la divergencia del vector, (b) su
rotacional, y (c) el gradiente de la divergencia.
24.Dada la función escalar f=xyez. Hallar la divergencia del

gradiente del campo escalar.
25.Sea un campo vectorial. Determine su divergencia.

𝐴⃗ = (𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦); 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑦); 𝑧)

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1. En la figura se muestran los vectores desplazamiento

3. Dados los siguientes vectores coplanares. Determine

6. Un tanque de acero es colocado dentro de una

VECTORES EN EL ESPACIO 11. Se tiene una caja rectangular de la figura de

8. Una fuerza F de magnitud 210 N actúa en el origen de

18. Determine el volumen del paralelepípedo de la

OPERACIONES CON VECTORES

21.Se tiene un campo escalar dado por:

22.Se tiene un campo escalar dado por:

23.Dado el campo vectorial:

24.Dada la función escalar f=xyez. Hallar la divergencia del

25.Sea un campo vectorial. Determine su divergencia.

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