Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa

Facultad de Economía

Escuela Profesional de Economía

CURSO: Matemáticas para economistas 3

TIF: Aplicación de matrices con el

método (gauss jordan) en una empresa minera

Grupo: C

Integrantes:

Cuti Chuctaya Anderson Yoel

Huamani Arce Andres Remberto

Profesor:

Quenaya Calle Edmundo Carmelo

Arequipa – Perú

2023
 Índice

1. Introducción..........................................................................................................................3
2. Planteamiento teórico.......................................................................................................... 4
2.1 Antecedentes.................................................................................................................. 4
3. Planteamiento de problema.................................................................................................6
3.1. Objetivos....................................................................................................................... 6
3.1.1 Objetivo general.................................................................................................... 6
3.2.2 Objetivos específicos.............................................................................................6
4. Justificación.......................................................................................................................... 6
4.1 Viabilidad....................................................................................................................... 7
5. Marco teórico........................................................................................................................ 8
5.1 Matriz............................................................................................................................. 8
5.2 Método de Gauss-Jordan............................................................................................... 8
6. Aplicación del método Gauss-Jordan................................................................................. 8
6.1 Comprensión del Problema............................................................................................ 9
6.2 Definición de variables...................................................................................................9
6.3 Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:.................................................. 9
6.7 Cálculo la producción mensual.................................................................................. 11
6.8 Cálculo el ingreso generado por cada tipo de los minerales refinados....................... 12
6.9 Resultados.................................................................................................................... 12
7. Conclusiones....................................................................................................................... 12
8. Bibliografía......................................................................................................................... 13

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 1. Introducción

En la industria minera, el uso de matrices y métodos numéricos es esencial para la resolución

de problemas complejos. Uno de los métodos más utilizados es el método de eliminación
gauss jordan, que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando operaciones
elementales de fila. Este método es de gran utilidad en la minería, ya que muchas veces las
ecuaciones que se deben resolver son de gran tamaño y requieren de un análisis matemático
riguroso para ser resueltas.
Las matrices son una herramienta fundamental en este proceso, ya que permiten representar
de manera clara y precisa los datos y las variables involucradas en el problema. Las
operaciones que se realizan con las matrices son las mismas que se realizan en el método de
eliminación gauss jordan, lo que permite una implementación más sencilla y rápida; En una
empresa minera, la aplicación de este método puede ser muy variada. Una de las áreas donde
se puede implementar es en la optimización de los procesos de extracción y transporte de los
minerales. A través de la resolución de sistemas de ecuaciones, se puede determinar la
cantidad óptima de material a extraer en cada zona de la mina, así como la ruta más eficiente
para su transporte, Otro campo de aplicación en la minería es en la planificación y gestión de
los recursos humanos y financieros. A través de la resolución de sistemas de ecuaciones, se
puede determinar el costo óptimo de la operación minera, teniendo en cuenta los factores de
producción, el salario de los trabajadores y otros gastos involucrados.

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2. Planteamiento teórico
2.1 Antecedentes

Un primer estudio sobre las matrices en las empresas mineras de Mine Planning Laboratory
titulado Las matrices en la minería, en esta investigación se da a conocer la importancia de
las matrices y cómo se utilizan en diferentes áreas, como la minería. Además, se menciona
que una matriz puede tener una sola fila o columna, lo que se conoce como vector. También
se hace referencia a un ejemplo de matriz que muestra el valor económico de cada bloque en
un corte transversal del modelo de bloques en minería
En el ámbito de la minería, la gestión eficiente de los recursos y la toma de decisiones
precisas son elementos cruciales para garantizar la rentabilidad y la sostenibilidad de las
operaciones mineras. A lo largo de los años, se han desarrollado diversas técnicas y
herramientas para abordar los desafíos asociados con la exploración, la extracción y el
procesamiento de minerales. Una de estas herramientas que ha demostrado ser altamente
efectiva es el uso de matrices y métodos matriciales.

Las matrices, en el contexto de la minería, se refieren a estructuras de datos bidimensionales

que almacenan información sobre diferentes variables y su relación entre sí. Estas variables
pueden incluir características geológicas, datos de perforación, propiedades físicas y químicas
de los minerales, entre otros. Al utilizar matrices, se puede representar y analizar
sistemáticamente una gran cantidad de información, lo que proporciona una base sólida para
la toma de decisiones informadas en la industria minera.

Un antecedente significativo del uso de matrices en la minería se encuentra en el campo de la

modelación geológica y la estimación de recursos minerales. La modelación geológica
implica la construcción de modelos tridimensionales de la distribución espacial de los
minerales en el subsuelo. Estos modelos son fundamentales para comprender la geometría de
los depósitos minerales y para estimar las cantidades y calidades de los recursos presentes. En
este contexto, las matrices se utilizan para representar y manipular la información geológica,
como datos de perforación, muestreo y análisis químicos.

El método de las matrices permite la integración de múltiples conjuntos de datos geológicos y

su análisis estadístico, lo que ayuda a identificar patrones, anomalías y tendencias en la
distribución de los minerales. Además, las matrices son fundamentales para la
implementación de técnicas de interpolación espacial, como el kriging, que permiten estimar
los valores de las variables en ubicaciones no muestreadas. Estos modelos geológicos

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basados en matrices proporcionan una representación más precisa del subsuelo y mejoran la
planificación y ejecución de las actividades mineras.

Otro antecedente importante de la aplicación de las matrices en la minería se encuentra en el

análisis de riesgos y la optimización de la secuencia de extracción de minerales. En este caso,
las matrices se utilizan para representar los diferentes atributos y restricciones asociadas con
las operaciones mineras, como la ley del mineral, los costos de extracción, los precios de
mercado y las limitaciones técnicas. Mediante la asignación de valores a cada elemento de la
matriz, se pueden desarrollar algoritmos y modelos matemáticos que permiten evaluar
diferentes escenarios y seleccionar la secuencia óptima de extracción que maximicen los
beneficios económicos y minimicen los riesgos.

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3. Planteamiento de problema
3.1. Objetivos

3.1.1 Objetivo general

● Analizar los beneficios que existen dentro de una empresa minera mediante el uso de la
matriz aplicando el método Gauss

3.2.2 Objetivos específicos

● Conocer cómo las matrices mediante el uso del método Gauss solucionan problemas de la
economía.

● Conocer la aplicación de las matrices utilizando el método Gauss para demostrar la

correcta aplicación de las aleaciones

● Identificar los modelos matemáticos de cualquier problema aplicado a la economía.

4. Justificación
Optimización de procesos: Las matrices y el método Gauss-Jordan son herramientas
poderosas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y la optimización de procesos.
En una empresa minera, donde los procesos de extracción y producción son complejos y
requieren una planificación cuidadosa, el uso de estas herramientas puede ayudar a identificar
patrones y relaciones entre variables, lo que puede mejorar la eficiencia y eficacia en las
operaciones.

Identificación de relaciones entre variables: El uso de matrices permite identificar relaciones

entre variables y visualizar patrones en los datos, lo que puede ser útil para la toma de
decisiones informadas. En una empresa minera, donde hay múltiples factores que influyen en
la producción y la rentabilidad, el uso de matrices puede ayudar a identificar las variables
más importantes y a tomar decisiones informadas basadas en los datos.

Avances recientes: En los últimos años, se han producido importantes avances en la

aplicación de las matrices y el método Gauss-Jordan en la industria minera. Por ejemplo, se
han desarrollado algoritmos para la optimización de procesos mineros utilizando estas
herramientas, lo que ha mejorado la eficiencia y rentabilidad de las operaciones. Por lo tanto,
un trabajo de investigación sobre matrices con el método Gauss-Jordan en una empresa
minera puede ayudar a comprender mejor estos avances y su aplicación práctica en la
industria.

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4.1 Viabilidad

En una empresa minera, se recopilan y almacenan grandes cantidades de datos relacionados

con la producción, la calidad del mineral, los costos, entre otros. Estos datos pueden ser
utilizados para aplicar el método Gauss-Jordan y analizar las relaciones entre variables. Por
otro lado, la optimización de procesos y la toma de decisiones informadas son fundamentales
en la industria minera, donde los procesos son complejos y los costos son altos. El uso de
matrices y el método Gauss-Jordan pueden ser herramientas valiosas para mejorar la
eficiencia y eficacia en las operaciones y para tomar decisiones informadas basadas en los
datos.

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5. Marco teórico
5.1 Matriz

Una matriz es un arreglo de números ordenado, que consiste en una serie de filas y columnas,
de modo que cada elemento ocupa una posición y puede ser identificado por su número de
fila y de columna.
Una matriz la representamos con una letra del alfabeto en mayúscula (por ejemplo A, B,
C…), luego podemos explicitar sus elementos, para ello vamos a escribir sus números en una
tabla que contendrá una determinada cantidad de filas y columnas.
En la figura 1 vemos un ejemplo de una matriz genérica A de m filas y n columnas, vemos
que en la derecha de la igualdad se ha explicitado la matriz escribiendo sus elementos aij.

5.2 Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de

ecuaciones de un número de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que
cada operación que se realice se aplicará a toda la fila o a toda la columna en su caso.
El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los
coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples
operaciones de suma, resta y multiplicación.
6. Aplicación del método Gauss-Jordan
Una empresa minera extrae y dispone de tres minerales las cuales son oro blanco, oro
amarillo y oro verde de distintas aleaciones de tres metales A, B y C con el fin de refinar cada
uno de estos tres metales; el primer mineral contiene 20 kg del metal A, 20 kg del B y 60 del
C. El segundo contiene 10 kg de A, 40 kg de B y 50 kg de C. El tercero contiene 20 kg de A,
40 kg de B y 40 kg de C. Queremos elaborar, a partir de estos minerales , uno nuevo que
contenga 15 kg de A, 35 kg de B y 50 kg de C y por ello se plantean las siguientes preguntas.

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Después de hacer las aleaciones con los metales ¿cuantos kg de oro refinado de los tres tipos
se extraería al día?

Cuánto sería el ingreso mensual por cada tipo de mineral refinado al mes, sabiendo que el
precio del oro oro blanco, oro amarillo y oro verde por kg es de $2000, $ 50000 y $ 60
respectivamente.

6.1 Comprensión del Problema

A B C Peso total

Oro blanco 20 kg 20 kg 60 kg 100 kg

Oro 10 kg 40 kg 50 kg 100 kg
amarillo

Oro verde 20 kg 40 kg 40 kg 100 kg

6.2 Definición de variables

Llamamos X, Y, Z respectivamente a los minerales extraídos por día, después de un proceso

de refinamiento.

● ¿Que es un proceso de refinamiento?

En la minería, el proceso de refinamiento se refiere a la etapa en la que se extraen los

minerales valiosos de las rocas y se purifican utilizando metales para su uso comercial. El
objetivo final del proceso de refinamiento es producir un producto final de alta calidad que
cumpla con las especificaciones requeridas por los clientes y los estándares de la industria.

Cómo queremos conseguir 15 kg de A, 35 kg de B y 50 kg de C, tendremos que:

0.2x+0.1y+0.2z=15 2x+y+2z=150

0.2x+0.4y+0.4z=35 ⇒ 2x+4y+4z=350

0.6x+0.5y+0.4=50 6x+5y+4z=500

6.3 Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:

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⇒F2/2

⇒-5FI+F3

⇒-1F1

⇒F3/-2

⇒-1F2+F1

⇒-3/2F2+F3

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 ⇒F3/-5/2

Añadimos la fila 3 a la fila 1

⇒-3F3+F2

⇒F2/2

Ahora se convierte la matriz ampliada en un sistema de ecuaciones lineales, donde nos da como
resultado la cantidad de oro puro extraído al día en kg.

x=25 kg

y=50 kg

z=25 kg ⇒ (x, y, z) = (25, 50, 25)

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6.7 Cálculo la producción mensual

Para esto tomaremos en cuenta un mes promedio que vendría a ser 30 días, seguidamente se
multiplica por la cantidad extraída de oro puro por día, como resultado obtenemos la cantidad
de oro puro extraído al mes.
𝑋 (𝑜𝑟𝑜 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜) ⇒ 25 𝑘𝑔 × 30 = 750 𝑘𝑔

𝑌(𝑜𝑟𝑜 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜) ⇒ 50 𝑘𝑔 × 30 = 1500 𝑘𝑔

𝑍(𝑜𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) ⇒ 25 𝑘𝑔 × 30 = 750 𝑘𝑔

6.8 Cálculo el ingreso generado por cada tipo de los minerales refinados al mes

Para sacar el ingreso mensual que se genera con la extracción de cada tipo de mineral
tomaremos en cuenta los precios por kg de cada tipo de mineral, para el oro blanco el precio
por kg es de $2000, para el oro amarillo el precio por kg es de $50000 y para el oro verde el
precio por kg es de $60; estos precios se multiplicaran por la cantidad de oro extraido al mes,
de esta manera se obtendra el ingreso mensual que se genera al extraer estos 3 tipos de
mineral
𝑋 (𝑜𝑟𝑜 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜) ⇒750 × 2000 = $ 1500000

𝑌(𝑜𝑟𝑜 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜) ⇒1500 × 50000 = $75000000

𝑍(𝑜𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) ⇒ 750 × 60 = $ 45000

6.9 Resultados

El análisis de los resultados indica que después de pasar por un proceso de refinamiento se extrae 25
kg de oro blanco, 50 kg de oro amarillo y 25 kg de oro verde al dia.

Estos valores sugieren que el mineral más extraído es el segundo, por lo tanto es posible que
contenga un mayor ingreso mensual en comparación con los otros minerales.

7. Conclusiones
En conclusión, el uso de la matriz y el método Gauss en una empresa minera puede proporcionar
diversos beneficios. La aplicación de este método permite la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales, lo que puede ser útil en la planificación y optimización de procesos mineros. Además, el uso
de matrices puede ayudar a identificar relaciones entre variables y a visualizar patrones en los datos,
lo que puede ser útil para la toma de decisiones informadas. Por ello, la utilización de la matriz y el
método Gauss, puede ser una herramienta poderosa para mejorar la eficiencia y eficacia en las
operaciones mineras, ya que permite la identificación de patrones y relaciones entre variables, lo que
puede ayudar a tomar decisiones informadas y mejorar la planificación y optimización de procesos.

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8. Bibliografía

Br. Benjamín Eliseo Yovera Risco. ' - Wiktionary, 2021,

https://repositorio.unp.edu.pe/handle/20.500.12676/3771 . Accessed 6 July 2023.

José Manuel Cárdenas Medina. “‘.” ' - Wiktionary, 2019,

http://repositorio.ucsp.edu.pe/bitstream/UCSP/15958/1/PERALTA_VIZQUERRA_GI

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LESLIE, PH. “On The Use Of Matrices in Certain Population Mathematics.” Untitled, 28

August 2002,

http://www.atmosedu.com/WSU/esrp310-550/notes/PopMatrix/leslie1945.pdf.

Accessed 6 July 2023.

“MATRICES Y APLICACIONES.” MATRICES Y APLICACIONES,

https://docs.uprb.edu/deptmate/material%20suplementario/CIME/7mo%20a%209no/

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Prof. Esperanza Vélez, MS. Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en

Bayamón.

“– Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss.” Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 6:

Diagonalizacion., https://ocw.ehu.eus/file.php/133/algebra/rel6.pdf. Accessed 14

June 2023.

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