Línea de Tiempo

FRANCOIS VIÈTE BLAISE PASCAL

Político y militar francés, su Matemático y escritor francés, a
pasatiempo favor ito era la los doce años había demostrado
matemática. Hizo del Álgebra las 32 proposiciones de Euclides.
una ciencia puramente simbólica Entre sus trabajos figura Ensayos
y complementó el desarrollo de la sobre cónicas, que escribió siendo Inicio de la Revolución
Trigonometría de Ptolomeo. niño. Industrial en Inglaterra.

1519 1540 1596 1603 1623 1650 1662 1769

Magallanes RENÉ DESCARTES

atraviesa el Filósofo y matemático francés. Fue
Pacífico. el primero en aplicar el Álgebra
a la Geometría, creando así la
Geometría Analítica.
Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción

Ángulos entre
Paralelas
2. ÁNGULOS FORMADOS POR  Ángulos conjugados externos
Objetivos DOS RECTAS PARALELAS suman 180°.
Y UNA RECTA SECANTE
2 + 7 = 180° ; 1 + 8 = 180°
Finalizando el tema, el alumno Dada dos rectas L1 y L2 (L1 // L2),
conocerá: se dice que la recta L es una secante de
3. PROPIEDADES
ambas si las interseca en dos puntos
1) El concepto de paralelismo. diferentes. Si L1 // L2 ⇒
L
2) La determinación de ángulos
entre rectas paralelas. 1 2 x
a L1
4 3 L1 y
Introducción b

En la vida diaria vemos z

constantemente rectas paralelas, L2
5 6
como los pilares de una construcción o
columnas, y diferentes tipos de figuras, 8 7 L2 a+b=x+y+z
como los puentes, etc.
Se cumple que:
Todo esto nos da la idea de rectas
paralelas.  Ángulos correspondientes siempre a L1
son iguales.
Paralelismo x
1. DEFINICIÓN 1 = 5; 3 =7; 2 =6; 4 = 8
b
Dos rectas coplanares que no se L2
intersecan son llamadas paralelas.  Ángulos alternos internos siempre
son iguales.
x=a+b
Nota 3=5 ; 4=6

Usaremos la notación L1 // L2,  Ángulos alternos externos siempre b L1

para indicar que las rectas L1 y son iguales.
L2 son paralelas. a
2=8 ; 1=7
c
L1
 Ángulos conjugados internos L2
L2 suman 180°.
360° = a + b + c
3 + 6 = 180° ; 4 + 5 = 180°
L1 // L2

San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó I Bim. / GEOMETRÍA / 4TO. AÑO

175
 La INTELIGENCIA como primera opción Colegios TRILCE

Resolución:
α A
α L1
20° 90°-x
a L1
5x x
y
O b

y L2
θ
θ B
L2 ⇒ 5x 90°-x
⇒ 90°-x+90° = 5x
m AOB = 90° 180° = 6x
Resolución: 30° = x

δ L1 a + b = y + y + 20° 2. Halla α + β si L1 // L2 ∧ L3 // L4.

g 60° = 2y + 20°
40° = 2y L1
f α
20° = y

q L2
Demostración: β
b
Si L1 // L2 ⇒ x = α + θ L4
a L2
α L3
L1
a + b + q + f + g + δ = 180º Resolución:
x

α L1
Ejemplo 1: θ
L2 α
Calcular “x”. L2
Resolución: β
30°
L1 Por P trazamos una paralela a L1 y L2. L4
L3
α L1
x α + β + 90° = 360°
20° α α + β = 270°
x L2
L2 θ
3. Halla α + β si L1 // L2.
Resolución: θ
L3
Luego por alternos internos: 8α
30° L1
30° L1 ∴ x° = α + θ α

x α
L2
20°
L2
1. Halla x, si L1 // L2. Resolución:
x = 30° + 20°
x = 50°
L1 8α
5x x L1
α 8α
Ejemplo 2:

Calcula “y”, si a + b = 60°. α 8α

L2 L2

I Bim. / GEOMETRÍA / 4TO. AÑO San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

176
Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción

α
⇒
90
°+
α 8α

α + 90° + α + 8α + 90° = 360°

α = 18°

4. Halla x si α +θ = 72° y L1 // L2. Nivel I 4) Si L1 // L2 , calcule x.

α α L1
L1
θ 1) ¿Para qué valor de ‘‘x’’ las rectas
L1 y L2 serán paralelas? x
θ
x L1
α θ
L2 x2+120°

Resolución: 80°
L2
12(8-x) L2
L1 a) 40º b) 70º c) 10º
θ d) 50º e) 30º
a) 8º b) 3º c) 4º
d) 2º e) 6º 5) Si L1 // L2 , calcula θ. Además α
α α+θ x L2
mide 60°.
2) ¿Para qué valor de ‘‘x’’ las rectas φ L1
α + θ + x + 90° + 90° = 360° φ
L1 y L2 serán paralelas?
72°
x = 108° L1 β
2 β θ
x +111°
5. Si L1 // L2 y α + θ = 160°, calcula
x. α
6(13-x) L2 L2

α x a) 40º b) 90º c) 60º

a) 2º b) 3º c) 4º d) 20º e) 80º
L1
d) 1º e) 5º
6) Calcula ‘‘x’’ si AB // MR.
3) Calcula ‘‘α’’ si L1 y L2 son paralelas.
M x 45°
L2
θ L1 R
α
Resolución: α
70°
60° α L2 A B
α x α
x L1
a) 120º b) 130º c) 115º
a) 10º b) 20º c) 15º d) 100º e) 90º
d) 25º e) 30º

θ 7) Si L1 // L2, calcula x.
θ L2
15° x L1
x + α = 180°
α + θ = 90°
2α + α + θ = 270°
160° 60° L2
x = 55°
a) 75º b) 80º c) 90º
d) 60º e) 45º

San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó I Bim. / GEOMETRÍA / 4TO. AÑO

177
La INTELIGENCIA como primera opción Colegios TRILCE

8) Calcula “θ” si L1 y L2 son paralelas. 12) Halla “x” si L1 // L2. Nivel II

L1 150°
θ L1 16) Si L1 // L2 y δ +φ = 100°, calcula
x.
θ 130° x
x δ
L2 L1
θ
80° a) 90° b) 95° c) 100° 60°
θ L2
d) 110° e) 118°

a) 10º b) 60º c) 15º

d) 20º e) 40º φ L2

13) Halla “x” si L1 // L2. a) 30° b) 70° c) 10°

9) En la figura, calcula la relación d) 45° e) 60°
correcta entre a, b y c. (L1 // L2). α L1
α
L1 x
a°
17) Si L1 // L2, halla “x”.
b° θ
θ
L2 L1
c° α+30°
L2 a) 80° b) 50° c) 120° θ+40°
d) 100° e) 90° x
a) a + b = 180° + c
b) a + b + c = 180° α+80°
c) a + b + c = 360° θ+50°
L2
d) a+b=c
e) a+c=b 14) Halla “x” en la figura mostrada a) 20° b) 24° c) 30°
si L1 // L2. d) 36° e) 40°

10) Calcula “x”; si α + θ = 170° y x

L1 // L2. L1
100° 18) Si L1 // L2 // L3, calcula “x”.
L1
x 150° L1
α 120°
θ L2
L2
50° a) 100° b) 120° c) 130° x
a+10° d) 150° e) 160°
a 40°
L2 L3

a) 110° b) 120° c) 130° a) 10° b) 15° c) 20°

d) 135° e) 145° d) 30° e) 40°
15) Si L1 // L2 y α +β = 160°, calcula
θ.
11) Calcula “α” en la figura mostrada α θ
si L1 // L2. L1 19) Si L1 // L2, calcula “x”.

x
α L1 L1
x
50°
α 160°
β L2 L2
40° L2
3α a) 40° b) 60° c) 35°
a) 60° b) 80° c) 100°
d) 20° e) 55°
a) 12° b) 15° c) 16° d) 50° e) 40°
d) 18° e) 20°

I Bim. / GEOMETRÍA / 4TO. AÑO San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

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Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción

20) Del gráfico, halla “α”. 25) Si L1 // L2, calcula x. 29) Calcula “x”, si L1 // L2.
L1 β
α L1 L1
θ
α β 4x
θθ β
θ
x 60°
α L2
L2 β
2α x L2
a) 60° b) 50° c) 45°
d) 40° e) 36° a) 10° b) 30° c) 60° a) 48° b) 24° c) 30°
d) 15° e) 45° d) 80° e) 12°
21) Si L1 // L2 y L3 // L4, calcula
“α + θ”.
26) Si L1 // L2 y L3 // L4 y 30) De la figura, β - α = 75°, m // n
L4 L3 θ + β = 120° , calcula x. y L1 // L2. Determina la medida
α L1 del x.
135° L3 L4
θ x x m n
L2 θ L1
L1
a) 125° b) 225° c) 325° α
d) 220° e) 250°
β L2
β L2
22) Calcula “x” en la figura mostrada
si L1 // L2. a) 120° b) 150° c) 100°
d) 140° e) 90° a) 25° b) 15° c) 75°
x d) 45° e) 90°
2α L1
27) Si L1 // L2, calcula x.
124°
Nivel III
L2
3α θ L1
β
a) 70° b) 60° c) 50° β 31) Calcula “x” si L1 // L2.
d) 62° e) 72°
x 160°
α L1
23) Calcula “x” en la figura mostrada θ α L2 x
α
si L1 // L2.
α
L2 L2
a) 10° b) 90° c) 50° 52°
L1 d) 70° e) 60°
x
a) 96° b) 97° c) 98°
d) 100° e) 105°
130° 28) Calcula “x” si m // n.

a) 120° b) 110° c) 130° m n

x 32) En la figura mostrada, L1 // L2.
d) 145° e) 135° Halla “x”.
θ
α L1
24) Si L1 // L2, calcula “α”. x

58°
L1 α 2θ x
α L2
4x
72° a) 120° b) 170° c) 100°
L2 d) 110° e) 150° a) 20° b) 10° c) 60°
a) 76° b) 72° c) 84° d) 30° e) 15°
d) 82° e) 90°

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La INTELIGENCIA como primera opción Colegios TRILCE

33) Calcula “x” de la figura. 38) Si L1 // L2 y α +θ = 102°, halla 42) En la figura, calcula “x” si
“x”. L1 // L2.
x

θ L1
x L1
10° x θ
50° 2θ

a) 120° b) 124° c) 130° L2

α
d) 135° e) 150°
a) 68° b) 54° c) 64° 2α L2
α
d) 86° e) 78°
34) Calcula “x” si L1 // L2 y L3 // L4.
a) 45° b) 30° c) 50°
d) 70° e) 60°
x α α
L3
39) Si m // n, halla “α”.
43) Si L1 // L2, calcula ‘‘x’’.
θ 25° 6α
θ m
L4 L1
L1 L2 α α
α
a) 40° b) 60° c) 75° α x
d) 50° e) 65° θ
n
5α θ
L2
35) Calcula “x” si L1 // L2 y L3 // L4. 60°
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 24° e) 18°
L1 a) 60° b) 15° c) 40°
θ x d) 30° e) 50°
L3
L4 L2
4x 40) Calcula “x” en la figura si m // n
θ 44) Si L1 // L2 // L3 y m - n= 40°,
y α – θ = 18°.
calcula θ.
θ m
a) 30° b) 36° c) 45°
d) 53° e) 60° L1
m β
β
36) Halla “a + b” si L 1 // L 2 y x
L3 // L4. α
α L2 α
L1 n L3
n q
α
a) 36° b) 42° c) 56°
L2 d) 64° e) 72° a) 15° b) 65° c) 40°
L3 100°
β d) 90° e) 30°

L4
a) 270° b) 180° c) 250° 41) Calcula “x” en la figura si 45) Si L1 // L2, calcula x.
d) 300° e) 260° L1 // L2.
x θ x L1
37) Si L1 // L2 // L3 , halla «α».
α L1
L1 θ θ θ
38° x
x L2
45° 3x
x L2 α θ
θ L2
L3 a) 24° b) 36° c) 32° a) 30° b) 60° c) 45°
a) 84° b) 87° c) 97° d) 30° e) 44° d) 90° e) 40°
d) 74° e) 64°

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Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción

46) Si L1 // L2, calcula x. 50) En la figura, L1 // L2,

m ABC = 80° y
60° m ABH - m HBC = 30°.
L1
ββ Calcula ‘‘x’’.
x
B
100° x

φ L2
φ
60° A H C

a) 80° b) 60° c) 40° a) 40° b) 20° c) 45°

d) 50° e) 10° d) 55° e) 15°

47) Calcula “x” si L1 // L2.

L1
α θ
x
140°
θ α L2

a) 10° b) 30° c) 60°

d) 45° e) 20°
Es en el Renacimiento cuando
las nuevas necesidades de
48) Si L1 // L2, calcula x. representación del arte y
x de la técnica empujan a
L1 ciertos humanistas a estudiar
αθ propiedades geométricas para
obtener nuevos instrumentos
60° 80°–β que les permitan representar
L2 la realidad. Aquí se enmarca
2θ
α β la figura del matemático y Retrato de Luca Pacioli, en este cuadro se
arquitecto Luca Pacioli, de observa a Pacioli demostrando uno de los
a) 120° b) 140° c) 110°
d) 160° e) 100° Leonardo da Vinci, de Alberto teoremas de Euclides.
Durero, de Leone Battista
Alberti, de Piero Della Francesca, por citar sólo algunos. Todo ellos, al
49) En la figura, MN // AC, descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las
m ABC = 60° y bases formales en la que se asiente la nueva forma de geometría que
m HBC - m ABH = 20°. ésta implica: la Geometría Proyectiva, cuyos principios fundamentales
Calcula “x”.
aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría
B de Desargues fue estudiada ampliamente ya por Pascal o por de la
M x N Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y
sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada
a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre
A H C todo de Poncelet.
a) 45° b) 40° c) 60°
d) 30° e) 75°

San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó I Bim. / GEOMETRÍA / 4TO. AÑO

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