Electrostática: Clase 3

UTN-FRGP

Trabajo Eléctrico y Diferencia de Potencial

Prof. Claudio Naso

1
 Trabajo Eléctrico
Trabajo ejercido por la fuerza aplicada por un campo eléctrico constante sobre una
UTN-FRGP carga puntual
𝑦 𝐸
Ԧ
𝐹′ 𝑞 𝐹Ԧ
𝑑ℓ
𝐴 𝐵

𝑥
La fuerza eléctrica será: 𝐹Ԧ = 𝑞 ∙ 𝐸
Si se traslada la carga q desde la posición A a la B, (de forma cuasi estática, aplicando 𝐹Ԧ ′ = −𝐹)
Ԧ
el trabajo de 𝐹Ԧ será:
𝑥𝐵 𝑥𝐵
𝐿𝐴𝐵 = න 𝐹Ԧ ∙ 𝑑ℓ = න 𝑞 ∙ 𝐸 ∙ 𝑑𝑥Ԧ = 𝑞 ∙ 𝐸 න 𝑑𝑥 ∙ cos 0 = 𝑞 ∙ 𝐸 ∙ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )
ෲ
𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝑥𝐴

𝐿𝐴𝐵 = 𝑞 ∙ 𝐸 ∙ ∆𝑥𝐴𝐵
2
 Trabajo Eléctrico
UTN-FRGP
¿El trabajo de la fuerza eléctrica depende de la trayectoria?
𝑦 𝐸
Ԧ
𝐹′ 𝑞 𝐹Ԧ Ԧ
𝐹′ 𝑞 𝑑𝑥Ԧ 𝐹Ԧ
𝐴 𝑑𝑥Ԧ
𝑑𝑦Ԧ
Ԧ 𝑑ℓ
−𝑑𝑦Ԧ 𝐹′ 𝐹Ԧ −𝑑𝑦Ԧ 𝑑ℓ
𝐵
𝑑ℓ 𝑞 𝑑𝑥Ԧ 𝑥
El diferencial de camino se puede escribir: 𝑑ℓ = 𝑑𝑥 𝑖Ƽ − 𝑑𝑦 𝑗Ƽ
Si se traslada la carga q desde la posición A a la B, (de forma cuasi estática) por este camino el
trabajo será: 0
𝐵 𝑥 𝑦
𝐵 𝐵
𝐿𝐴𝐵 Ԧ
= න 𝐹 ∙ 𝑑ℓ = න 𝑞 ∙ 𝐸 𝑖Ƽ ∙ (𝑑𝑥 𝑖Ƽ + 𝑑𝑦 𝑗)Ƽ = 𝑞 ∙ න 𝐸 𝑖Ƽ ∙ 𝑑𝑥 𝑖Ƽ + න 𝐸 𝑖Ƽ ∙ 𝑑𝑦 𝑗Ƽ
ෲ
𝐴𝐵 𝐴 𝑥𝐴 𝑦𝐴
𝐿𝐴𝐵 = 𝑞 ∙ 𝐸 ∙ ∆𝑥𝐴𝐵 El trabajo de la fuerza eléctrica no depende de la trayectoria
3
 Energía potencial eléctrica
UTN-FRGP

Como el trabajo de la fuerza eléctrica no depende de la trayectoria, la fuerza eléctrica y por ende el
campo electrostático, es conservativo. Es decir, el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada, será nulo.
Dicho trabajo sólo depende de las posiciones inicial y final, lo que nos permitirá definir, al igual que lo
hicimos en Física I, una energía potencial, a la que denominaremos “energía potencial eléctrica: 𝑼”
Al igual que lo hicimos en Física I, definiremos la Diferencia de energía potencial eléctrica ∆𝑼, de modo
que, cuando la fuerza eléctrica realice trabajo positivo, la 𝑼 disminuya y cuando el trabajo sea negativo,
la 𝑼 aumente. Por lo tanto:
𝑦 𝑞 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 = −𝐿𝐴𝐵
𝐴
𝑈𝐴 𝑞 𝐸
∆𝑈𝐴𝐵 = −𝐿𝐴𝐵
𝐵
𝑈𝐵 𝑥
De esta manera, una variable de evolución, como el trabajo, puede ser ∆𝑈𝐴𝐵 = − න 𝐹Ԧ ∙ 𝑑ℓ
calculada como una diferencia entre dos variables de estado: 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 ෲ
𝐴𝐵
4
 Diferencia de potencial eléctrico
UTN-FRGP

La energía potencial eléctrica de una carga dentro de un campo, depende del valor de la carga, al igual
que la energía potencial gravitatoria en un campo gravitatorio, depende de la masa. Cuando definimos el
campo eléctrico, logramos transformar una magnitud como la fuerza, que dependía de la carga
exploradora, en una propiedad del espacio, independiente de que hubiera una carga exploradora en él.
Con la misma lógica, definiremos una magnitud relacionada con la
energía potencial, que será una propiedad del espacio y que se 𝑈𝐵 −𝑈𝐴 −𝐿𝐴𝐵
denomina Diferencia de Potencial (ddp) simplemente dividiendo la 𝑞𝑜 = 𝑞𝑜
diferencia de energía, por la carga exploradora que se desplaza entre
los puntos A y B 𝑈𝐵 𝑈𝐴 𝐿𝐴𝐵
𝑦 𝐸 − = −
𝑞𝑜 𝑞𝑜 𝑞𝑜 𝑞𝑜
𝐴 𝐿𝐴𝐵
𝑈
𝑉𝐴𝐴 𝑞𝑜 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −
𝐵
𝑞𝑜
Potencial Potencial Trabajo por
𝑈
𝑉𝐵𝐵 𝑥 eléctrico en B eléctrico en A unidad de carga
5
 Diferencia de potencial eléctrico
UTN-FRGP
La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico es el trabajo que realizará la fuerza aplicada por el
campo sobre una unidad de carga cuando se traslade de un punto al otro, cambiado de signo.
Al igual que el campo, la diferencia de potencial es una magnitud que existe entre dos puntos de un campo eléctrico,
independientemente de que exista una carga allí que lo detecte. Es importante entender que lo que lo que tiene sentido
es la diferencia de potencial, ya que el valor del potencial𝐿en un punto dependerá de dónde se fije el potencial cero y
𝐴𝐵
esto lo convierte en una magnitud relativa. ∆𝑉𝐴𝐵 = −
Para el caso general de𝑞cualquier
0 campo eléctrico, sea uniforme o no, la diferencia
de potencial entre dos puntos de espacio será:

Unidades 1 1
𝐽 𝑉𝐵 −𝑉𝐴 = − න 𝐹Ԧ ∙ 𝑑ℓ 𝑉𝐵 −𝑉𝐴 = − න 𝑞0 ∙ 𝐸 ∙ 𝑑ℓ
𝑞0 𝐴𝐵
ෲ 𝑞0 𝐴𝐵
ෲ
∆𝑉 = = 𝑉(𝑣𝑜𝑙𝑡)
𝐶
La diferencia de potencial entre dos puntos de
un campo eléctrico es 1𝑉, cuando para 𝑉𝐵 −𝑉𝐴 = − න 𝐸 ∙ 𝑑ℓ
trasladar una carga de 1𝐶 entre dichos puntos, ෲ
𝐴𝐵
la fuerza aplicade realice un trabajo de 1 𝐽

6
 Diferencia de potencial eléctrico
UTN-FRGP
También se puede decir que la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico es el trabajo
que realizará la fuerza externa que se debe aplicar sobre una unidad de carga para que se traslade de un
punto al otro, en forma quasi estática.
Esto claramente será así porque:
𝐿𝐹𝐴𝐵 𝐿𝐹′𝐴𝐵
− =
𝑞𝑜 𝑞𝑜
Es claro que la circulación del campo 𝐸, es independiente de la trayectoria, por lo tanto la circulación a lo
largo de una trayectoria cerrada será cero. Esta es una propiedad muy importante de los campos
electrostáticos

ර 𝐸 ∙ 𝑑ℓ = 0

Esta expresión nos indica que los campos electrostáticos son conservativos
7
 Diferencia de potencial Eléctrico
Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo no uniforme
UTN-FRGP

𝐴 𝐸 B 𝐸 𝑟Ƽ
𝑄
r+
𝑟𝐴 𝑑ℓ = 𝑑 𝑟Ԧ 𝑟𝐵
1 𝑄
𝑉𝐵 −𝑉𝐴 = − න 𝐸 ∙ 𝑑ℓ 𝐸= ∙ 2
ෲ
𝐴𝐵 4𝜋𝜀0 𝑟
𝑟𝐵 𝑟𝐵 𝑟𝐵 𝑟𝐵
1 𝑄 𝑄 1
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − න 𝐸 ∙ 𝑑 𝑟Ԧ = − න 𝐸 ∙ 𝑑𝑟 ∙ cos 0 = − න ∙ 2 ∙ 𝑑𝑟 = − න ∙ 2 ∙ 𝑑𝑟
𝑟𝐴 𝑟𝐴 𝑟𝐴 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟𝐴 𝑟

𝑟𝐵 𝑟𝐵
𝑟𝐵
𝑄 −2
𝑄 1 𝑄 1 𝑄 1 1
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − න 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 = − ∙ − อ = ∙ อ = ∙ −
4𝜋𝜀0 𝑟𝐴 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟𝐵 𝑟𝐴
𝑟𝐴 𝑟𝐴

8
 Diferencia de potencial Eléctrico
Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo no uniforme
UTN-FRGP

𝐴 𝐸 B 𝐸 𝑟Ƽ
𝑄
r+
𝑟𝐴 𝑑ℓ = 𝑑 𝑟Ԧ 𝑟𝐵

𝑄 1 1 1 𝑄 1 𝑄
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = ∙ − = ∙ − ∙
4𝜋𝜀0 𝑟𝐵 𝑟𝐴 4𝜋𝜀0 𝑟𝐵 4𝜋𝜀0 𝑟𝐴

Potencial en B Potencial en A

1 𝑄 1 𝑄
𝑉𝐵 = ∙ 𝑉𝐴 = ∙
4𝜋𝜀0 𝑟𝐵 4𝜋𝜀0 𝑟𝐴

9
 Diferencia de potencial eléctrico
En un campo no uniforme la circulación sigue siendo independiente
UTN-FRGP
de la trayectoria
Obsérvese que, en el caso de un campo
eléctrico no uniforme, para trasladar la carga
unidad desde el punto A hasta el B el trabajo
es el mismo que para hacer el camino ACCB’B
ya que cuando el desplazamiento se realiza
sobre una dirección radial, el vector 𝐸 y de
B vector 𝑑𝑟Ԧ son colineales (cos 0 = 1) pero
𝑑 𝑟Ԧ C
𝑞0 cuando el desplazamiento se hace sobre un
A 𝑑 𝑠Ԧ arco, 𝐸 y 𝑑 𝑠Ԧ forman un ángulo recto (cos
𝐸 𝑑𝑠Ԧ
𝑞0 90º=0). Esto hace que el trabajo sea el mismo
𝑄
𝑑 𝑠Ԧ 𝑞0 siguiendo la trayectoria AB’ que la trayectoria
𝐸 ACDB’B o cualquier otra, ya que toda
trayectoria puede imaginarse como una
D 𝐹Ԧ sucesión movimientos en dirección de radios
𝑑 𝑟Ԧ y arcos.
B’
10
 Potencial eléctrico absoluto
Si bien se definió la diferencia de potencial resaltando que el potencial en un punto es una
UTN-FRGP magnitud relativa, ya que depende de dónde se fije en forma arbitraria su valor cero. Para una carga
que genera un campo en el espacio que la rodea, convencionalmente se considera que el cero de
potencial se encuentra en un punto infinitamente alejado, de modo que el potencial en un punto cualquiera se
denomina potencial absoluto y representa el trabajo, cambiado de signo, que realizaría la fuerza 𝐹Ԧ aplicada por el
campo sobre una carga unidad, cuando se la desplaza desde un punto infinitamente alejado hasta el punto P , o lo que
Ԧ
es lo mismo, el trabajo que realizaría una fuerza externa 𝐹′para trasladar una carga unidad desde el infinito hasta el
punto. De este modo, cada punto del espacio pasa a tener un valor de potencial que será:
Ԧ
𝐹′ 𝑃 𝐹Ԧ Ԧ B 𝐹Ԧ
𝐹′
𝑄
r+
𝑟𝑃 𝑟𝐵 → ∞
1 𝑄 1 𝑄
𝑉𝑃 − 𝑉𝐵 = ∙ − ∙ 𝑆𝑖 𝑟𝐵 → ∞ ⟹ 𝑉𝐵 → 0
4𝜋𝜀0 𝑟𝑃 4𝜋𝜀0 𝑟𝐵

1 𝑄
𝑉𝑃 = ∙
4𝜋𝜀0 𝑟𝑃
11
 Potencial eléctrico absoluto
UTN-FRGP
El potencial absoluto es una magnitud escalar que tendrá un valor en cada punto del espacio. Si la carga puntual que
genera el campo es positiva, el potencial será positivo, pero si es negativa, el potencial también lo será.
Si el campo eléctrico es producido por más de una carga puntual, será válido aplicar el principio de superposición.

+ 𝑃 𝑉𝑃 = 𝑉1,𝑃 + 𝑉2,𝑃 + 𝑉3,𝑃

𝑞1 𝑟1 -
1 𝑞1 1 𝑞2 1 −𝑞3
𝑉𝑃 𝑉𝑃 = ∙ + ∙ + ∙
4𝜋𝜀0 𝑟1 4𝜋𝜀0 𝑟2 4𝜋𝜀0 𝑟3
𝑟2 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3
𝑟3 𝑉𝑃 = ∙ + −
+ 4𝜋𝜀0 𝑟1 𝑟2 𝑟3
𝑞2
Generalizando
- 𝑖=𝑛
Tengamos en cuenta que como el potencial
𝑞3 1 𝑞𝑖 es una magnitud escalar, se trata entonces
𝑉𝑃 = ∙෍ de una suma algebraica de escalares, lo que
4𝜋𝜀0 𝑟𝑖
𝑖=1 simplifica la cuestión
12
 Potencial eléctrico absoluto
UTN-FRGP Si en lugar de cargas puntuales, se trata de un cuerpo extenso cargado,
procedemos con la lógica de siempre
𝑞 Densidad
1 𝑑𝑞 𝜌= 𝑞 =𝜌∙𝑉
𝑉𝑃 = ∙න 𝑉 de carga
𝑑𝑞 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟
𝑟Ԧ P 𝑉𝑃 Diferenciando
𝑟Ԧ 𝑑𝑞 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑉
𝑑𝑞 1 𝜌 ∙ 𝑑𝑉
𝑉𝑃 = ∙ම
4𝜋𝜀0 𝑉 𝑟
𝑟Ԧ Pero también tengamos en cuenta que se lo podrá calcular,
𝑑𝑞 según convenga a la situación que se nos presente, del modo:
𝑃
𝑉𝑃 = − න 𝐸 ∙ 𝑑 𝑟Ԧ
∞

13
 Superficies equipotenciales
UTN-FRGP 𝐸
𝑉𝐶
Del mismo modo que las líneas de fuerza
representan al campo eléctrico, las superficies 𝑉𝐵
equipotenciales nos permitirán visualizar los
potenciales en el espacio.
Una superficie equipotencial es una superficie + 𝑉𝐴
tridimensional sobre la que el potencial eléctrico V
es el mismo en todos los puntos.
Las líneas de campo son siempre normales a las
superficies equipotenciales.

Animaciones Superficies equipotenciales para una carga puntual positiva

oFísica (ophysics.com) 1 𝑄
𝑉𝑃 = ∙
Cargas y Campos 1.0.53 (colorado.edu) 4𝜋𝜀0 𝑟𝑃
14
 Volumen equipotencial
UTN-FRGP
Todo cuerpo conductor en equilibrio electrostático, constituye un volumen equipotencial, ya que en su interior el
campo electrostático vale cero y por lo tanto, no hay fuerzas que realicen trabajo sobre una carga exploradora que se
desplace en su interior.
𝑉
Por ejemplo, para una esfera conductora de radio 𝑅 cargada 𝑅
positivamente, el valor del potencial fuera de la esfera responderá a la
ecuación:
1 𝑄
𝑉= ∙ Para 𝑟 > 𝑅
4𝜋𝜀0 𝑟
y

1 𝑄
𝑉= ∙ Para 𝑟 ≤ 𝑅
4𝜋𝜀0 𝑅
𝑟
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 Relación entre potencial y campo
UTN-FRGP A partir de
𝐵 𝐵 𝐵
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − න 𝐸 ∙ 𝑑ℓ න 𝑑𝑉 = − න 𝐸 ∙ 𝑑ℓ 𝑑𝑉 = −𝐸 ∙ 𝑑ℓ
𝐴 𝐴 𝐴
Podemos expresar el producto escalar en coordenadas cartesianas
Supongamos un campo uniforme
𝑑𝑉 = − 𝐸𝑥 ∙ 𝑖Ƽ + 𝐸𝑦 ∙ 𝑗Ƽ + 𝐸𝑧 ∙ 𝑘ෘ ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑖Ƽ + 𝑑𝑦 ∙ 𝑗Ƽ + 𝑑𝑧 ∙ 𝑘ෘ en la dirección 𝑥. Como el
potencial varía solo en 𝑥,
podemos escribir
𝑦 𝐸
Ԧ
𝐹′ 𝑞 𝐹Ԧ 𝑑𝑉 = −𝐸𝑥 ∙ 𝑑𝑥

𝑑ℓ = 𝑑𝑥
𝑑𝑉
𝑥
𝐸𝑥 = −
𝑑𝑥

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 Relación entre potencial y campo
UTN-FRGP Si el campo no es uniforme, 𝐸 tendría las tres componentes y podríamos derivar 𝑉 de las
tres direcciones cartesianas

𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉
𝐸𝑥 = − 𝐸𝑦 = − 𝐸𝑧 = −
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Matemáticamente se expresa

𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 En notación vectorial, la siguiente operación se llama

𝐸=− ∙ 𝑖Ƽ + ∙ 𝑗Ƽ + ∙ 𝑘ෘ gradiente de la función 𝑓:
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
∇𝑓 = ∙ 𝑖Ƽ + ∙ 𝑗Ƽ + ∙ 𝑘ෘ
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
En cada punto, el gradiente de potencial señala en la dirección y sentido en que V se
incrementa con más rapidez con un cambio de posición. De esta forma, en cada punto la
𝐸 = −∇𝑉 dirección de ∇𝑉 es la dirección y sentido en que V disminuye más rápido y siempre es
perpendicular a la superficie equipotencial que pasa a través del punto.
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 Generador de fuerza electromotriz (fem)
UTN-FRGP
Un generador de fem es un dispositivo capaz de producir y sostener una diferencia de potencial entre dos puntos.
Para ello, es necesario que transforme energía de algún tipo, en energía potencial eléctrica.

• Pila eléctrica: Transforma energía interna a través de una reacción química en

energía potencial eléctrica.
fem • Dínamo: transforma energía mecánica, en potencial eléctrica. (lo
estudiaremos más adelante)
• Fotocélula: transforma energía lumínica en energía potencial eléctrica.
• Termocupla: Transforma calor en energía potencial eléctrica
Símbolo que representa una fem
terminal de terminal de El valor de una fem se indica por la
mayor potencial
+ − menor potencial diferencia de potencial que produce:
𝐴 𝐵
𝑒 𝑒 = 𝑉𝐴𝐵
Letras que
representan una fem ℰ
18