Medidas de Dispersion 2

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
MEDIDAS DE DISPERSION
1. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA: Varianza, desviación estándar
Recordando previamente algunas propiedades de la media aritmética.
i) La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números de su media

aritmética es cero.
ii) La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números 𝑥𝑖 de
cualquier número A, es mínimo s.s.s 𝑥̅ = 𝐴. A causa de esta propiedad, la
media aritmética sirve como base para medidas de dispersión y es esencial para
ajustar las curvas de datos observados.
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝐴)2 → 𝑀𝑖𝑛 si 𝑥̅ = 𝐴
La Varianza.- Es el promedio el cuadrado de las desviaciones de la variable

respecto a su media.
̅)𝟐
∑(𝒙𝒊 −𝒙
𝒔𝟐 = , desarrollando esta expresión tenemos:
𝒏
2
∑ 𝑥2
2
∑𝑥
𝑠 = −( )
𝑛 𝑛
Si los datos tienen frecuencias, será:
2
2
∑ 𝑥2 ∗ 𝑓 ∑𝑥 ∗𝑓
𝑠 = −( )
𝑛 𝑛
ó:
2
1 2
(∑ 𝑥 ∗ 𝑓 )2
𝑠 = (∑ 𝑥 ∗ 𝑓 − )
𝑛 𝑛
Nota: Revisar las propiedades de la varianza.
La Desviación Estándar.- Es la raíz cuadrada positiva de la varianza
𝑠 = √𝑠 2
D:ESTADISTICA DESCRIPTIVA/medidas de dispersion

Gráfico: propiedades de la desviación estándar
El 68.27% de los datos están en el intervalo (𝒙 ̅ + 𝝈𝒙 )

̅ − 𝝈𝒙 ; 𝒙
(
El 95.45%de los datos están en el intervalo 𝒙 ̅ + 𝟐𝝈𝒙 )
̅ − 𝟐𝝈𝒙 ; 𝒙
El 99.73% de los datos están en el intervalo (𝒙
̅ − 𝟑𝝈𝒙 ; 𝒙̅ + 𝟑𝝈𝒙 )
2. MEDIDA DE DISPERSION RELATIVA: Coeficiente de variación
Si tenemos 𝑥1 , 𝑥2 , … . . , 𝑥𝑁 se tiene 𝑥̅ 𝑦 𝜎𝑥 entonces:

𝜎𝑥
𝐶. 𝑉.𝑥 = ∗ 100 = % es un número absoluto en el sentido que no está dado
𝑥̅
𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
La manera más adecuada de comparar dos o más series en general, es comparando

los coeficientes de variación:
i) Sean dos variables: 𝑋1 ~(𝑥̅1, 𝜎12 ) 𝑦 𝑋2 ~(𝑥̅2 , 𝜎22 )
𝑋1 ~(150, 60) 𝑦 𝑋2 ~(1050, 60)
60 60
𝐶. 𝑉.1 = ∗ 100 = 40% 𝐶. 𝑉.2 = ∗ 100 = 6%
150 1050

La segunda distribución es más homogénea que la primera, es decir tiene menor

dispersión respecto de su media aritmética que la primera.
ii) Tenemos la población 𝑋1 y la muestra aleatoria procedente de aquella

𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑥̅1 = 12 , 𝑠12 = 3 y la población
𝑋2 𝑦 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑥̅2 =
15 𝑦 𝑠22 = 3.2
Comparando la dispersión entre estas muestras aleatorias:
𝑠1 𝑠2
𝐶. 𝑉.1 = ∗ 100 = % 𝐶. 𝑉.2 = ∗ 100 = %
𝑥̅1 𝑥̅1
3 3.2
𝐶. 𝑉.1 = 12 ∗ 100 = 25 % 𝐶. 𝑉.2 = ∗ 100 = 21.3%
15
La segunda muestra presenta un menor coeficiente de variación, por tanto, es la

menos dispersa o la más homogénea.
La primera muestra presenta un mayor coeficiente de variación, por tanto, es la más

dispersa o la más heterogénea.
iii) Aplicando las propiedades de la desviación estándar
Sabiendo que n>30 y 𝑋~(𝑥̅ , 𝜎𝑥 ) de la siguiente forma 𝑋~(500, 50)

¿En qué porcentaje debe variar la media para contener el 68% de los datos?
50
𝐶. 𝑉 = 500 ∗ 100 = 10 %
Para mantener el 68% de la muestra alrededor del promedio, la media debe

variar en 50. O sea ⌈𝑥̅ − 𝜎; 𝑥̅ + 𝜎⌉=⌈450; 550⌉
3. APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DE LA VARIANZA

𝜎𝑥
Sea X la variable salario, M(X) = 𝑥̅ y V(𝑋) = 𝜎 2 ⇒ 𝐶𝑉 (𝑋 ) = ∗ 100
𝑥̅
Caso a:
Se aumenta el salario en 15%

Salario antiguo X

Salario nuevo 𝑋 ∤ = 1.15X
Tomando la media:
̅̅̅
𝑋 ∤ = ̅̅̅̅̅̅̅̅
1.15𝑋 = 1.15𝑋̅
Tomando la varianza:
V(𝑋 ∤ ) = 𝑉(1.15X) = 1.152 V(X) = 1.152 𝜎 2
1.15𝜎 𝜎𝑥
⇒ 𝐶𝑉(𝑋∤ ) = = ̅
̅
1.15𝑋 𝑋
¿Cómo es la distribución de 𝑋 ∤ con respecto a la distribución de la variable original?
Conclusión: Las dos distribuciones son igualmente homogéneas.
Caso b:
Se aumenta el salario en c soles

Salario antiguo X
Salario nuevo 𝑋 ∤= X + c
Tomando la media:
̅̅̅
𝑋 ∤ = ̅̅̅̅̅̅̅
𝑋 + 𝑐 = 𝑋̅ + 𝑐
Tomando la varianza:
V(𝑋 ∤ ) = 𝑉(X+c) = V(X) = 𝜎 2
𝜎 𝜎𝑥
⇒ 𝐶𝑉 (𝑋∤ ) = =
̅+𝑐
𝑋 𝑋̅ + 𝑐
¿Cómo es la distribución de 𝑋 ∤ con respecto a la distribución de la variable original?
Conclusión: La variable 𝑋 ∤ es más homogénea que la variable X, pues el

𝐶𝑉 (𝑋∤ ) 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐶𝑉 (𝑋).

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

1. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA: Varianza, desviación estándar

Recordando previamente algunas propiedades de la media aritmética.

i) La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números de su media

∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝐴)2 → 𝑀𝑖𝑛 si 𝑥̅ = 𝐴

La Varianza.- Es el promedio el cuadrado de las desviaciones de la variable

Nota: Revisar las propiedades de la varianza.

La Desviación Estándar.- Es la raíz cuadrada positiva de la varianza

D:ESTADISTICA DESCRIPTIVA/medidas de dispersion

Gráfico: propiedades de la desviación estándar

El 68.27% de los datos están en el intervalo (𝒙 ̅ + 𝝈𝒙 )

2. MEDIDA DE DISPERSION RELATIVA: Coeficiente de variación

Si tenemos 𝑥1 , 𝑥2 , … . . , 𝑥𝑁 se tiene 𝑥̅ 𝑦 𝜎𝑥 entonces:

La manera más adecuada de comparar dos o más series en general, es comparando

i) Sean dos variables: 𝑋1 ~(𝑥̅1, 𝜎12 ) 𝑦 𝑋2 ~(𝑥̅2 , 𝜎22 )

𝑋1 ~(150, 60) 𝑦 𝑋2 ~(1050, 60)

D:ESTADISTICA DESCRIPTIVA/medidas de dispersion

La segunda distribución es más homogénea que la primera, es decir tiene menor

ii) Tenemos la población 𝑋1 y la muestra aleatoria procedente de aquella

Comparando la dispersión entre estas muestras aleatorias:

La segunda muestra presenta un menor coeficiente de variación, por tanto, es la

La primera muestra presenta un mayor coeficiente de variación, por tanto, es la más

iii) Aplicando las propiedades de la desviación estándar

Sabiendo que n>30 y 𝑋~(𝑥̅ , 𝜎𝑥 ) de la siguiente forma 𝑋~(500, 50)

Para mantener el 68% de la muestra alrededor del promedio, la media debe

3. APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DE LA VARIANZA

Se aumenta el salario en 15%

D:ESTADISTICA DESCRIPTIVA/medidas de dispersion

Salario nuevo 𝑋 ∤ = 1.15X

V(𝑋 ∤ ) = 𝑉(1.15X) = 1.152 V(X) = 1.152 𝜎 2

Se aumenta el salario en c soles

V(𝑋 ∤ ) = 𝑉(X+c) = V(X) = 𝜎 2

¿Cómo es la distribución de 𝑋 ∤ con respecto a la distribución de la variable original?

Conclusión: La variable 𝑋 ∤ es más homogénea que la variable X, pues el

D:ESTADISTICA DESCRIPTIVA/medidas de dispersion

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