Portafolio Final Circuitos 2
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ESTUDIANTES
ISAAC TREJOS 1-745-1052
OTTO WALD 8-937-173
EDITH SANCHEZ 8-931-2184
PROFESOR
ING. ANTONY GARCIA
GRUPO
1IE132
PRIMER SEMESTRE
2019
INTRODUCCIÓN
Cada problema esta resuelto de manera detallada y se intenta en cada uno determinar
todos los valores posibles que sean necesarios saber para conocer el funcionamiento
del circuito presentado.
Las pruebas realizadas a lo largo del semestre, asi como las prácticas, se encuentran
desarrolladas, dando de esta manera una amplia variedad de problemas que serán muy
útiles para entender cada tema.
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Enunciado del problema
−2 196 2 4
𝐻(𝑠) = + + +
𝑠 + 100 (𝑠 + 100)2 𝑠 𝑠 2
Cuando se consigue esta expresión se puede notar que esta función tiene:
1. Una constante K
2. Dos ceros simples
3. Un polo en el origen
4. Dos polos cuadráticos
𝒔 𝒔
𝟒(𝟐 + 𝟏)( + 𝟏)
𝑯(𝒔) = 𝟓𝟎
𝒔
𝒔𝟐 (𝟏𝟎𝟎 + 𝟏)𝟐
𝒋𝒘 𝒋𝒘
𝟒( 𝟐 + 𝟏)( + 𝟏)
𝑯(𝒔) = 𝟓𝟎
𝒋𝒘
(𝒋𝒘)𝟐 (𝟏𝟎𝟎 + 𝟏)𝟐
𝒋𝒘 𝒋𝒘
𝑯(𝒅𝒃) = 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟒 + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 | + 𝟏| + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 | + 𝟏|
𝟐 𝟓𝟎
𝒋𝒘
− 𝟒𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 |𝒋𝒘| − 𝟒𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 | + 𝟏|
𝟏𝟎𝟎
𝒘 𝒘 𝒘
𝝋 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 + 𝐭𝐚𝐧−𝟏 − 𝟐𝐭𝐚𝐧−𝟏 − 𝟏𝟖𝟎
𝟐 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟎
Diagrama de Magnitud
𝒋𝒘 𝒋𝒘
𝑯(𝒅𝒃) = 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝟒 + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 | + 𝟏| + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 | + 𝟏|
𝟐 𝟓𝟎
𝒋𝒘
− 𝟒𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 |𝒋𝒘| − 𝟒𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 | + 𝟏|
𝟏𝟎𝟎
𝐻(0.1) = 52.05
𝐻(2) = 3.01
𝐻(50) = −26.88
𝐻(100) = −33.01
𝐻(1000) = −68.03
Para trazar el gráfico se utilizará la suma algebraica puntual de cada asíntota que nos
dará valores aproximados:
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑄𝑢𝑖𝑒𝑏𝑟𝑒(0.1) = 12 + 40 = 52
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑄𝑢𝑖𝑒𝑏𝑟𝑒(2) = 12 + 0 − 12 = 0
𝑤 𝑤 𝑤
𝜑 = tan−1 + tan−1 − 2tan−1 − 180
2 50 100
𝜑(0.1) = −177.14
𝜑(0.2) = −174.29
𝜑(5) = −111.85
𝜑(10) = −101.42
𝜑 (20) = −96.53
𝜑(500) = −163.32
𝜑(1000) = −171.56
Para trazar el gráfico se utilizará la suma algebraica puntual de cada asíntota que nos
dará valores aproximados:
Al analizar circuitos con fuentes de poder con valores que dependen del tiempo, se suele utilizar la
Transformada de Laplace para simplificar el álgebra que se requiere para aplicar las Leyes de Kirchhoff que,
en el dominio del tiempo, forman ecuaciones con elementos integrales y diferenciales. Al transformar las
impedancias del circuito al dominio de la frecuencia, las integrales y los diferenciales se convierten en
polinomios que pueden ser trabajados de una manera mucho más amigable que en el dominio del tiempo. Al
final, se requiere de la utilización de la Transformada Inversa de Laplace para obtener las respuestas en a las
incógnitas que se desea encontrar, en el dominio del tiempo.
Sin embargo, también es posible que, bajo ciertas circunstancias, se pueda aplicar un método que permite
evitar la Transformada Inversa de Laplace que, en algunos casos, puede representar un paso complicado en
el análisis por la forma del polinomio resultante.
Cuando se tiene un circuito con fuentes de alimentación del tipo
o también
De esta forma se deduce que el método de frecuencia compleja podrá ser utilizado para 4 tipos de casos de
análisis, según la forma de la o las fuentes de poder presentes en el circuito:
Tabla 1. Tipos de fuentes de voltaje para los que es posible utilizar el análisis de frecuencia compleja
Representación en el Frecuencia
Tipo de fuente Forma fasorial
dominio del tiempo compleja (s)
Constante 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝑉𝑚 s=0 𝑉𝑠 = 𝑉𝑚 ∟0
Exponencial 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑒 −𝜎𝑡 s=σ 𝑉𝑠 = 𝑉𝑚 ∟0
Senoidal 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) s = jω 𝑉𝑠 = 𝑉𝑚 ∟θ
Senoidal amortiguada 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑒 −𝜎𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) s = σ ± jω 𝑉𝑠 = 𝑉𝑚 ∟θ
Tabla 2. Tipos de fuentes de corriente para los que es posible utilizar el análisis de frecuencia compleja
Representación en el Frecuencia
Tipo de fuente Forma fasorial
dominio del tiempo compleja (s)
Constante 𝑖𝑠 (𝑡) = 𝐼𝑚 s=0 𝐼𝑠 = 𝐼𝑚 ∟0
Exponencial 𝑖𝑠 (𝑡) = 𝐼𝑚 𝑒 −𝜎𝑡 s=σ 𝐼𝑠 = 𝐼𝑚 ∟0
Senoidal 𝑖𝑠 (𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) s = jω 𝐼𝑠 = 𝐼𝑚 ∟θ
Senoidal amortiguada 𝑖𝑠 (𝑡) = 𝐼𝑚 𝑒 −𝜎𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) s = σ ± jω 𝐼𝑠 = 𝐼𝑚 ∟θ
Al resuelven problemas por el método de frecuencia compleja se pueden presentar dos casos particulares:
1. Cuando no hay precarga en los inductores y capacitores del circuito (condiciones iniciales)
2. Cuando hay una precarga en los inductores y capacitores
A continuación, se procede a detallar los pasos a seguir para resolver problemas en cada uno de los dos
casos mencionados.
Circuitos sin precarga, o con condiciones iniciales nulas
En este tipo de circuito, en el instante inicial cuando se empieza a analizar el circuito, es decir, en t = 0,
tanto los inductores como los capacitores del circuito están descargados. Por lo tanto, podemos decir que:
𝑣𝐶 𝑛 (0) = 0 𝑣𝐿 𝑛 (0) = 0
𝑖𝐶 𝑛 (0) = 0 𝑖𝐿 𝑛 (0) = 0
Todos los inductores y todos los capacitores presentes en el circuito deben poseer condiciones nulas de
voltaje y de corriente.
Resolución de Problemas por el método de Frecuencia Compleja | Circuitos II
Bajo estas condiciones, la respuesta del circuito será una respuesta forzada. Los pasos a seguir para
resolver este circuito son:
1. Se transforma todas las impedancias del circuito al dominio de la frecuencia, tomando en cuenta la
siguiente tabla:
Tabla 3. Elementos pasivos en el dominio del tiempo y su representación como impedancias en el dominio
de la frecuencia
Resistencia
Inductor
Capacitor
Resolución de Problemas por el método de Frecuencia Compleja | Circuitos II
2. Las fuentes de corriente y voltaje deben ser renombradas como Is1(s), Is2(s)… Isn(s) y Vs1(s), Vs2(s)
… Vsn(s). No se recomienda remplazar las fuentes por su forma fasorial sino hasta el final.
3. Se procede a buscar los datos requeridos por el problema a resolver, utilizando las Leyes de Kirchhoff.
La respuesta final será un polinomio en función de la frecuencia compleja (s) y de la o las fuentes de
poder.
4. Una vez establecida la respuesta en forma de polinomio, se remplazan las “s” por la frecuencia
compleja y las fuentes de poder por su forma fasorial, conforme a lo establecido en las tablas 1 y 2
de este documento.
5. La respuesta que se obtiene debe ser un número complejo (fasor) que debe ser visto en su forma polar,
puesto que necesitaremos la amplitud y el ángulo de fase. Con base en esta información se establece
la respuesta del problema en función del tiempo, respetando la forma inicial de la fuente de poder.
Por ejemplo, si la fuente de poder de un circuito tiene la forma 𝑉𝑚 𝑒 −𝜎𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) y se desea
encontrar una corriente, dicha corriente tendrá la forma 𝐼𝑚 𝑒 −𝜎𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜃′), dond 𝐼𝑚 y 𝜃′ se
obtienen a partir de la respuesta obtenida en el dominio de la frecuencia, que tendrá la forma 𝐼𝑚 ∟𝜃′.
Los valores de frecuencia angular (ω) y frecuencia neperiana (σ) de la respuesta serán los mismos
que los valores de la fuente de poder presente en el circuito.
6. En caso de que existan múltiples fuentes de poder y que éstas tengan distintos valores de frecuencias
compleja (s), es necesario resolver el problema por el método de superposición. Para cada frecuencia
compleja (s) será necesario establecer una respuesta, teniendo en cuenta que no se pueden utilizar dos
o más valores distintos de frecuencia compleja (s) de manera simultánea. La respuesta final será la
sumatoria de las respuestas obtenidas en el dominio del tiempo.
Resolución de Problemas por el método de Frecuencia Compleja | Circuitos II
Cuando se quiere analizar un circuito con condiciones iniciales utilizando el método de frecuencia compleja,
será necesario buscar dos tipos de respuesta: la respuesta forzada y la respuesta natural de los inductores y
de los capacitores.
1. Se busca la respuesta forzada de los inductores y de los capacitores. Este procedimiento es el mismo
que cuando se analiza un problema sin condiciones iniciales. El análisis debe ser aplicado a inductores
y capacitores, sin tomar en cuenta las incógnitas que pida el problema.
2. Cuando se evalúa la respuesta obtenida en t = 0, se podrá comprobar que el valor de la respuesta
forzada no coincide con los valores obtenidos en las condiciones iniciales del problema (t=0-).
3. Para que el valor obtenido en t = 0 coincida con las condiciones iniciales, será necesario agregar la
respuesta natural a la respuesta forzada, para formar la respuesta completa.
4. La respuesta natural tendrá la forma 𝐴𝑒 𝑛1 𝑡 + 𝐵𝑒 𝑛2 𝑡 + ⋯ 𝑋𝑒 𝑛𝑛𝑡 , donde n puede se obtiene a partir de
la impedancia Z(s) del circuito, vista desde alguna de sus fuentes de poder. Los valores de A, B, C,
D, X se obtienen a partir de las condiciones iniciales del circuito.
5. Para obtener Z(s) será necesario apagar todas las fuentes, convirtiendo las fuentes de voltaje en corto
circuitos y las fuentes de corriente en circuitos abiertos. Se escoge alguna de las fuentes y se busca la
impedancia del circuito desde los terminales de dicha fuente. Entonces se procede a reducir las
impedancias del circuito (serie y paralelo) hasta encontrar el polinomio Z(s).
6. Si la fuente escogida para localizar Z(s) es una fuente de voltaje, se deben buscar los ceros de Z(s).
Si la fuente escogida es una fuente de corriente, se deben buscar los polos de Z(s).
7. Con los polos o ceros de la función, dependiendo del caso, se establecen los exponentes de la
respuesta natural, denotados como “n” en el punto 4 de esta parte del documento. Es decir, si se
obtienen los polos -2 y -4, la respuesta natural tendrá la forma 𝐴𝑒 −2𝑡 + 𝐵𝑒 −4𝑡 y𝐶𝑒 −2𝑡 + 𝐷𝑒 −4𝑡 para
Resolución de Problemas por el método de Frecuencia Compleja | Circuitos II
los dos elementos, inductor y/o capacitor, presentes en el circuito. Cada inductor y cada capacitor
producirá su propia respuesta natural.
8. Se debe tomar en cuenta que el número de polos o ceros tiene que ser constante con el número de
inductores y/o capacitores en el circuito. Por ejemplo, si se tiene un inductor y un capacitor, debe
haber 2 polos o 2 ceros. Si hay 3 capacitores, debe haber 3 polos o 3 ceros en la función Z(s). Si no
se encuentra una cantidad de polos o ceros que sea constante con el número de inductores y/o
capacitores, se debe tratar de buscar la impedancia Z(s) desde otro punto del circuito, ya sea en una
fuente de poder conocida, o asumiendo una fuente de voltaje o de corriente en algún punto escogido
arbitrariamente.
9. Cuando se ha establecido la forma que tendrá la respuesta natural, se debe buscar los valores de las
constantes A, B, C, D,… X. Se procede a evaluar la respuesta completa de cada inductor y de cada
capacitor y se igualan a las condiciones iniciales de cada elemento, tomando en cuenta el tipo de
respuesta completa que se tenga a mano. En los capacitores se tendrá una respuesta completa de
voltaje, que debe ser igualada a las condiciones iniciales de voltaje. Lo mismo pasa con los inductores,
solo que con corriente en vez de voltaje.
10. Al evaluar las condiciones iniciales se debe obtener una expresión matemática que relaciona los
valores de A, B, C, D,… X con una constante. Luego de esto será necesario evaluar otro tipo de
condiciones iniciales para obtener una segunda ecuación que permita despejar los valores de A, B, C,
D, … X como constantes.
11. Estas condiciones iniciales surgen a partir de los modelos matemáticos de voltaje y corriente en
inductores y capacitores, respectivamente:
Inductores Capacitores
𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑣𝑐 (𝑡)
𝑣𝐿 (𝑡) = 𝐿 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝐶
𝑑𝑡 𝑑𝑡
12. Será necesario encontrar las condiciones iniciales en 0+. Para el caso de los inductores, se buscará el
voltaje. En el caso de los capacitores, se buscará corriente.
13. Se debe tomar en cuenta la dirección y la polaridad de los voltajes y las corrientes. No se debe perder
de vista que tanto los inductores como los capacitores son elementos pasivos: la corriente se debe
asumir como positiva cuando está entrando al elemento en el terminal con polaridad positiva, en
condiciones de carga. De igual forma, el voltaje se debe tomar en cuenta considerando como positivo
el terminal por el cual entra la corriente en condiciones de carga.
14. Para encontrar las condiciones de voltaje y corriente en inductores y capacitores, respectivamente, en
t = 0+ se remplazan los inductores por fuentes de corriente constantes y los capacitores por fuentes de
voltaje constantes, tomando en cuenta que los inductores se oponen a cambios bruscos de corriente y
los capacitores a cambios de voltaje.
Condiciones en t = 0- Condiciones en t = 0+
15. Después de hacer los remplazos de los inductores por fuentes de poder, se evalúan las fuentes del
circuito en t = 0 y se procede a analizar el circuito en DC. Utilizando las Leyes de Kirchhoff, se busca
Resolución de Problemas por el método de Frecuencia Compleja | Circuitos II
los valores de ic(0) y de vL(0) con la polaridad indicada en el punto 14 de esta parte del documento
(ver imágenes anteriores).
16. Con estas condiciones iniciales se procede a derivar la respuesta completa de cada inductor y
capacitor. La función resultante se iguala a las condiciones iniciales previamente calculadas,
conforme a lo establecido en el punto 11 de esta parte del documento. La función resultante se evalúa
en t = 0 y se obtiene una segunda expresión matemática en función de A, B, C, D,… X que, junto con
la expresión calculada en el punto 10, permite establecer un sistema de ecuaciones que finalmente
permitirá calcular los valores reales de A, B, C, D, … X.
17. Con estos valores se puede completar la respuesta natural y, por extensión, la respuesta completa para
cada inductor y cada capacitor.
18. Obtenidas las respuestas completas de los elementos inductivos y capacitivos, se procede a buscar la
respuesta a la incógnita sugerida por el problema en el dominio del tiempo.
Circuitos acoplados magnéticamente
• La inductancia mutua es la capacidad de un inductor de inducir una tensión en un inductor cercano,
medida en henrys (H) y denotada por la letra M.
• Si una corriente entra a la terminal marcada de la bobina, la polaridad de referencia para la tensión
mutua en la segunda bobina es positiva en la terminal con la marca de la segunda bobina.
• Si una corriente sale de la terminal marcada de una bobina, la polaridad de referencia de la tensión
mutua en la segunda bobina es negativa en la terminal con la marca de la segunda bobina.
Modelos equivalentes de inductores acoplados magnéticamente
𝟏 𝟏
𝒘= 𝑳𝟏 𝒊𝟐𝟏 + 𝑳𝟐 𝒊𝟐𝟐 ± 𝑴𝒊𝟏 𝒊𝟐
𝟐 𝟐
Transformador lineal
• Un transformador es por lo general un dispositivo de cuatro terminales que comprende dos (o más)
bobinas magnéticamente acopladas.
• El transformador lineal se caracteriza por estar formado por dos bobinas acopladas magnéticamente,
con un núcleo de aire.
𝑿𝒂 = 𝑿𝟏 − 𝑿𝑴
𝑿𝒃 = 𝑿𝟐 − 𝑿𝑴
𝑿𝒄 = 𝑿𝑴
𝑿𝟏 𝑿𝟐 − 𝑿𝟐𝑴
𝑳𝑨 =
𝑳𝟐 − 𝑿𝑴
𝑿𝟏 𝑿𝟐 − 𝑿𝟐𝑴
𝑳𝑩 =
𝑳𝟏 − 𝑿𝑴
𝑿𝟏 𝑿𝟐 − 𝑿𝟐𝑴
𝑳𝑪 =
𝑿𝑴
𝑿𝟏 (𝑿𝟐 + 𝒁𝟐 ) − 𝑿𝟐𝑴
𝒁𝒆𝒒 =
𝑿𝟐 + 𝒁𝟐
−𝑰𝟏 𝑿𝑴
𝑰𝟐 =
𝑿𝟐 + 𝒁𝟐
𝑽𝟐 𝑵𝟐 𝑰 𝟏 𝑽𝟐
= =𝒏 = =𝒏
𝑽𝟏 𝑵𝟏 𝑰 𝟐 𝑽𝟏
Potencia compleja en el transformador ideal
La potencia compleja en el devanado primario es
𝑽𝟐
𝑺𝟏 = 𝑽𝟏 𝑰∗𝟏 = (𝒏𝑰∗𝟐 ) = 𝑽𝟐 𝑰∗𝟐 = 𝑺𝟐
𝒏
lo que indica que la potencia compleja provista al devanado primario se entrega al devanado secundario sin
pérdidas. El transformador no absorbe potencia. Claro que esto era de esperar, ya que el transformador ideal
no tiene pérdidas.
Redes de dos puertos
• Una red de dos puertos es una red eléctrica con dos puertos diferentes para la entrada y la salida.
• Cuando la red de dos puertos es lineal y no tiene fuentes dependientes, se dice que los dos puertos son
recíprocos.
• Se supondrá que los circuitos de dos puertos no contienen fuentes independientes, aunque pueden
incluir fuentes dependientes
• Una red de dos puertos puede alimentarse por medio de una tensión o por una fuente de corriente
Parámetros de impedancia
V1 = z11 I1 + z12 I2
V2 = z21 I1 + z22 I2
V z11 z12 I1 I1
[ 1 ] = [z z22 ] [I2 ] = [z] [I2 ]
V2 21
V1 V1
z11 = | z12 = |
I1 I2 =0 I2 I1 =0
V2 V2
z21 = | z22 = |
I1 I2 =0 I2 I1 =0
z11 = Impedancia de entrada en circuito abierto
z12 = Impedancia de transferencia en circuito abierto del puerto 1 al puerto 2
z21 = Impedancia de transferencia en circuito abierto del puerto 2 al puerto 1
z22 = Impedancia de salida en circuito abierto
Modelos equivalentes
Parámetros de admitancia
I1 = y11 V1 + y12 V2
I2 = y21 V1 + y22 V2
I y11 y12 V1 V1
[ 1 ] = [y y22 ] [V2 ] = [y] [V2 ]
I2 21
I1 I1
y11 = | y12 = |
V1 V2 =0 V2 V1 =0
I2 I2
y21 = | y22 = |
V1 V2 =0 V2 V1 =0
V1 V1
h11 = | h12 = |
I1 V2 =0 V2 I1 =0
I2 I2
h21 = | h22 = |
I1 V2 =0 V2 I1 =0
V2 = g 21 V1 + g 22 I2
I g11 g12 V1 V1
[ 1 ] = [g g 22 ] [ I2 ] = [g] [ I2 ]
V2 21
I1 I1
g11 = | g12 = |
V1 I I2 V
2 =0 1 =0
V2 V2
g 21 = | g 22 = |
V1 I I2 V
2 =0 1 =0
Modelos equivalentes
𝑉1 𝑉1
𝐴= | 𝐵=− |
V2 I2 =0 I2 V2 =0
𝐼1 𝐼1
C= | 𝐷=− |
V2 I2 =0 I2 V2 =0
AD - BC = 1
A = Relación de tensión en circuito abierto
B = Impedancia negativa de transferencia en cortocircuito
C = Admitancia de transferencia en circuito abierto
D = Relación negativa de corrientes en cortocircuito
𝐼2 𝐼2
c= | 𝑑=− |
V1 I1 =0 I1 V1 =0
ad – bc = 1
a = Ganancia de tensión en circuito abierto
b = Impedancia negativa de transferencia en cortocircuito
c = Admitancia de transferencia en circuito abierto
d = Ganancia negativa de corriente en cortocircuito
Conexión en serie
Conexión en cascada
𝑉 𝐴 𝐵𝑎 𝐴𝑏 𝐵𝑏 𝑉2
[ 1] = [ 𝑎 ][ ][ ]
𝐼1 𝐶𝑎 𝐷𝑎 𝐶𝑏 𝐷𝑏 −𝐼2
𝑨 𝑩 𝑨 𝑩𝒂 𝑨𝒃 𝑩𝒃
[ ]=[ 𝒂 ][ ]
𝑪 𝑫 𝑪𝒂 𝑫𝒂 𝑪𝒃 𝑫𝒃
• Para dominar cada tema, se necesita practicar problemas que ofrezcan una
variedad en su análisis, para que de esta manera, se pongan a prueba nuestros
conceptos, que son los que realmente te permiten desarrollar un circuito de
manera más rápida.