Numeros Reales
Numeros Reales
Numeros Reales
ÁLGEBRA Y
GEOMETRÍA ANALÍTICA
2024
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Conceptos previos:
Un conjunto es un grupo o colección de elementos que tienen algo en común. Los conjuntos se
nombran con letras imprentas mayúsculas, los elementos se escriben entre llaves, se nombran
una sola vez y se separan por medio de punto y coma.
Los conjuntos se pueden nombrar por extensión, mencionando todos sus elementos, o bien por
comprensión, dando una característica que reúna a todos los elementos y sólo a ellos.
Por extensión: A = {1; 2; 3; 4; 5}
Por comprensión: A = { x / x ∈ ℕ ∧ x ≤ 5}
La relación entre los conjuntos es la inclusión. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros
está incluido en el conjunto de los números racionales, pero el conjunto de los números
irracionales no está incluido en el conjunto de los números racionales. La inclusión puede ser
amplia o estricta.
Conjuntos Numéricos:
El número constituye uno de los conceptos fundamentales de la Matemática, surgió en la
antigüedad y fue evolucionando en el tiempo.
Comenzamos con el conjunto de los números naturales, que lo identificamos con la letra N,
cuyos elementos son conocidos también como números de contar.
N = {1; 2; 3…}
Al realizar operaciones entre los elementos de este conjunto, aparecieron limitaciones que
generaron la necesidad de ir ampliándolo y así surgieron:
N0 = {0;1; 2; 3…}
Ante las limitaciones para restar los números naturales surge el conjunto de los números
enteros, que tiene como elementos los números naturales, el cero y los opuestos de los números
naturales. Lo identificamos con la letra Z.
Z = {…; −3; −2; −1;0;1; 2,…}
Como no siempre es posible dividir los números enteros, aparecen los números racionales que
son todos los números que pueden ser expresados como la razón de dos enteros, con
denominador distinto de cero. Lo identificamos con la letra Q.
a
Q = ∕a ∈ Z ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0
b
A los números racionales podemos expresarlos como número decimal ya sea con un número
finito de cifras decimales o un número de infinitas cifras decimales que se repiten
periódicamente (números periódicos), pudiendo en ambos casos ser expresados mediante una
fracción. Sin embargo, existen números cuyas cifras decimales continúan indefinidamente sin
presentar ningún patrón repetitivo y que no es posible expresarlos como fracción, ellos
constituyen el conjunto de los números irracionales. Lo identificamos con la letra I.
Ej: π ; e; 2 ; 3 ... R
La unión de racionales e irracionales se denomina Q
conjunto de números reales. Lo identificamos con la
letra R. Z N0 N
Haciendo un esquema de diagramas con los I
conjuntos numéricos mencionados resulta el que se
muestra en la figura.
Se pueden representar mediante puntos sobre una línea recta denominada recta numérica, en
ella se determinan:
un punto 0 que se denomina origen;
un sentido positivo que se indica con una flecha;
una escala o unidad de medida.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
origen
A cada punto de la recta numérica le corresponde un solo número real y a cada número real le
corresponde un único punto que lo representa, por lo tanto, existe una correspondencia
biunívoca (o correspondencia uno a uno) entre los números reales y los puntos de la recta.
Otra propiedad importante de este conjunto de números reales para comprender ciertos
conceptos del cálculo, es la propiedad de completitud, la misma afirma que hay suficientes
números reales para “completar” la recta real, o sea que con dichos números no quedan “vacíos”
o “huecos” en ella. El conjunto de los números reales es además un conjunto denso: entre dos
números reales hay infinitos números reales.
Intervalos:
Sabemos que a cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta
le corresponde un único número real y la recta recibe el nombre de recta real (correspondencia
biunívoca)
Dados a ∈ ℝ ∧ b ∈ ℝ con a < b llamamos:
Intervalo cerrado: [ a, b ] = { x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}
R
a b
R
a b
R
a b
Amplitud: b – a (tanto para intervalos abiertos como para cerrados o semicerrados)
R
a b
2 2 11
b) −3; A = − ( −3) =
3 3 3
Valor absoluto:
Definición: Se llama valor absoluto de un número real al mismo número si es positivo o cero y
a su opuesto si es negativo. Se expresa: | | y representa la distancia de un número al cero.
a si a ≥ 0
Simbólicamente: a =
− a si a < 0
Ejemplo: a) |3| = 3
b) |-5| = -(-5) = 5
Propiedades:
1- ∀a ∈ ℝ : a ≠ 0 a > 0
2- ∀a ∈ ℝ : a = −a
R
-a 0 a
Ejemplo: x ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2 x ∈[ −2; 2 ]
R
-2 0 2
4- ∀ a > 0; ∀ x : x ≥ a ⇔ x ≤ −a ∨ x ≥ a
(
x ∈ −∞ ; − a ] ∪ a ; ∞ )
R
-a 0 a
(
Ejemplo: x ≥ 4 ⇔ x ≤ −4 ∨ x ≥ 4 x ∈ −∞ ; −4] ∪ 4 ; ∞ )
R
-4 0 4
5- ∀a ∈ ℝ ∧ ∀b ∈ ℝ : a .b = a . b
Ejemplo: 5. ( −2 ) = 5 . −2 −10 = 5 . 2 10 = 10
6- ∀a ∈ ℝ ∧ ∀b ∈ ℝ : a: b = a : b
Ejemplo: −8 : 2 = −8 : 2 −4 = 8 : 2 4=4
7- ∀a ∈ ℝ ∧ ∀b ∈ ℝ : a + b ≤ a + b Desigualdad triangular
Ej.: a) −5 + 2 < −5 + 2 b) 4 + 5 = 4 + 5
−3 < 5 + 2 9 = 4+5
3< 7 9=9
8- ∀a ∈ ℝ ∧ ∀b ∈ ℝ : a − b ≥ a − b
Ej.: a) 5 − 8 > 5 − 8 b) 7 − 5 = 7 − 5
−3 > 5 − 8 2 = 7−5
3 > −3 2=2
Interpretación geométrica:
Todo número real “a” se puede representar por un punto de una recta:
0 a
Si “x” es una variable real y “a” es un número real mayor que cero, la inecuación x ≤ a tiene
por solución al intervalo cerrado [ −a; a] . Es decir, todos los puntos de [ −a; a] satisfacen la
igualdad.
-a 0 a
Cualquier punto perteneciente a dicho intervalo tiene una distancia al origen menor o
igual que “a”.
De lo anterior podemos concluir que: x ≤ a ⇔ x ∈ [ −a; a ]
Así, para definir un intervalo cerrado, podemos emplear en adelante la siguiente simbología
[ − a; a ] = { x / x ∈ ℝ ∧ x ≤ a}
Ahora definimos intervalo abierto:
( − a; a ) = { x / x ∈ ℝ ∧ x < a}
En todos los casos los intervalos definidos fueron simétricos respecto del origen.
Podemos generalizar la idea para aplicarla a cualquier otro intervalo cuyo centro sea un punto
c distinto de cero ( c ≠ 0 ).
c-a c c+a
Simbolizamos al intervalo como el conjunto:
[ c − a; c + a ] = { x / x ∈ ℝ ∧ x − c ≤ a}
y para intervalos abiertos:
( c − a; c + a ) = { x / x ∈ ℝ ∧ x − c < a}
A un conjunto como este último se lo define como un entorno del punto c y radio a y lo
denotamos por E(c;a).
Entorno:
Si “c” es un punto cualquiera de la recta y “a” un número real positivo, entorno de centro “c” y
radio “a” es el intervalo abierto (c – a; c + a) y se lo designa E(c; a).
Simbólicamente:
E ( c ; a ) = { x / c − a < x < c + a} o E ( c ; a ) = { x / x − c < a}
c-a c c+a
Entorno reducido:
Si “c” es un punto cualquiera de la recta real y “a” un número real positivo, entorno reducido
de centro “c” y radio “a” es el conjunto de puntos del intervalo abierto (c – a ; c + a) del cual se
excluye el punto “c”.
Se lo designa ´(c;a) o E´(c) Simbólicamente:
E´( c; a ) = { x / x ≠ c ∧ c − a < x < c + a} o E´( c ; a ) = { x / 0 < x − c < a}
c-a c c+a
Punto de acumulación:
Dado un conjunto de puntos de la recta real “S”, un punto x es de acumulación de “S” sí y sólo
sí, a todo entorno reducido de centro x le pertenece al menos, un elemento de S.
Así, en S=(a;b], a y b son de acumulación, c no lo es. S
x es punto de acumulación de S ⇔ ∀ E'(x): E'(x) ∩ S ≠ ∅ a b c
Cota superior: Dado el conjunto C⸦ℝ, k es una Cota Superior de C, sí y sólo sí, k es un número
mayor o igual que cualquier elemento de C. Simbólicamente:
k es cota superior de C ⇔ ∀ x∈ C : k ≥ x
Cota inferior: Dado el conjunto A⸦ℝ, h es una Cota Inferior de A, sí y sólo sí, h es un número
menor o igual que cualquier elemento de A. Simbólicamente:
h es cota inferior de A ⇔ ∀ x∈ A : h ≤ x
Elemento máximo: un conjunto de números reales tiene máximo, si tiene extremo superior (o
supremo) y éste pertenece al conjunto.
Elemento mínimo: un conjunto de números reales tiene mínimo, si tiene extremo inferior (o
ínfimo) y éste pertenece al conjunto.
Ejemplos:
a) Determinar el intervalo de variación de x.
b) Representarlos gráficamente en la recta real.
c) Determinar la amplitud de intervalo, cotas, extremos, elementos máximo y mínimo.
d) Analizar y fundamentar si dicho intervalo es o no un entorno y en caso afirmativo hallar el
centro y el radio y expresarlo como tal.
i) 3x - 7 < 3
a-b) Recordando la propiedad 3,
3 x -7 < 3 -3 < 3 x -7 < 3 7 -3 < 3 x < 7 + 3
4 10
4 < 3.x < 10 <x <
3 3
4 10 4/3 10/3
intervalo resultado ;
3 3
ii) 2x - 6 ≥ 4
a-b) Recordando la propiedad 4,
10 2
2x - 6 ≥ 4 ∨ 2x - 6 ≤ -4 2x ≥ 4+6 ∨ 2x - 6 ≤ -4+6 x≥ ∨ x ≤
2 2
x≥ 5 ∨ x ≤ 1 1 5
AUTORES
Ing. Rufino Iturriaga
Prof. Laura Zalazar
BIBLIOGRAFÍA
Arya, J. y Lardner, R. (2009) Matemática aplicadas a la Administración y a la Economía. (5º ed.) México.
Pearson Educación.
Haeussler, E. F. Jr.; Paul, R. S.; Wood R. J. (2015) Matemáticas para Administración y Economía. (13° ed.)
México. Pearson Educación.