UNIVERSIDAD NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS

DEL ALTIPLANO PREUNIVERSITARIO

ÁREA: INGENIERÍAS SEMANA: 1 CURSO: FÍSICA

RESUMEN 1.7 Magnitudes derivadas (de uso frecuente):

Magnitud Unidad básica Dimensión

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL. 2
Área m L2
1.1 Magnitud: Todo aquello capaz de ser “medido” Volumen m3 L3
y asignarle, con cierta precisión, un número.
Densidad kg/m3 ML−3
1.2 Medir: Comparar una cantidad con otra (unidad Velocidad m/s LT −1
patrón) de la misma naturaleza. Aceleración m/s 2 LT −2
kg. m/s 2
1.3 Clasificación: Fuerza
= Newton (N)
MLT −2
Magnitudes fundamentales
Torque N. m ML2 T −2
A. Por su origen:{ Magnitudes auxiliares
Magnitudes derivadas Presión N/m2 = Pascal (Pa) ML−1 T −2
Trabajo N. m = Joule (J) ML2 T −2
Magnitudes escalares
Potencia J/s = Watt (W) ML2 T −3
B. Por su naturaleza: {Magnitudes vectoriales
Magnitudes tensoriales Energía kg. m2 /s 2 = Joule (J) ML2 T −2
Veloc. angular rad/s T −1
1.4 Magnitudes fundamentales: Fijadas por el
Acel. Angular rad/s 2 T −2
“Sistema internacional de unidades (SI)”:
Frecuencia s −1 = Hertz (Hz) T −1
Símbolo Periodo s T
Magnitud física dimensional Unidad básica
Momento de
1. Longitud L Metro (m) kg. m2 ML2
inercia
2. Masa M Kilogramo (kg) Caudal m3 /s L3 T −1
3. Tiempo T Segundo (s) Calor kg. m2 /s 2 = Joule (J) ML2 T −2
4. Temperatura Θ Kelvin (K) Carga eléctrica A. s = Coulomb (C) IT
5. Corriente eléctrica I Ampere (A) … … …
6. Intensidad luminosa J Candela (cd)
7. Cantidad de sustancia N Mol (mol) 1.8 Propiedades:

A. La fórmula dimensional de una magnitud

1.5 Magnitudes auxiliares: física es única.
𝑥=4
Ej.: Si L𝑥 T 𝑦 = L4 T −3 → {
𝑦 = −3
Nombre Unidad básica
1. Ángulo plano Radián (rad) B. Los números son adimensionales. Esto es:
[Número] = 1
2. Ángulo sólido Estereorradián (sr)
C. Principio de homogeneidad dimensional:
1.6 Fórmula dimensional: Expresión del tipo: “En toda ecuación física los términos que la
componen deben tener la misma unidad o
[𝑋] = L𝑎 M 𝑏 T 𝑐 Θ𝑑 I 𝑒 J 𝑓 N 𝑔 dimensión”
Ej.:
• [𝑋]: Se lee “fórmula dimensional o 𝐴𝐵 𝐹 [𝐴][𝐵] [𝐹 ]
[ +𝐷− ]= = [𝐷] =
dimensión de 𝑋”. 𝐶 𝐺 [𝐶 ] [𝐺 ]
• 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔: son números reales.

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2. VECTORES. Donde 𝛼 es el ángulo entre los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗,

por definición:
Las magnitudes físicas vectoriales, a diferencia
de las magnitudes escalares, se caracterizan 0° ≤ 𝛼 ≤ 180°
por poseer “dirección”, esto hace que tengan
naturaleza geométrica.
• Si 𝛼 = 0° → |𝑅⃗⃗máx | = 𝑎 + 𝑏
2.1 Vectores en el plano.

• Si 𝛼 = 180° → |𝑅⃗⃗mín | = 𝑎 − 𝑏 ; 𝑎 > 𝑏

• 𝑎⃗: Nombre del vector.
• |𝑎⃗|: Módulo o longitud del vector (|𝑎⃗| = 𝑎)
• P: origen del vector, Q: extremo del vector.
• 𝐿: recta de acción del vector.
• 𝜃: dirección (respecto al eje 𝑋). Se mide en • Si 𝛼 = 90° → |𝑅⃗⃗| = √𝑎2 + 𝑏 2
sentido antihorario, y por definición:

0° ≤ 𝜃 < 360°

2.2 Regla del paralelogramo:

A. Suma de vectores (o resultante):

2.3 Vectores unitarios:

|𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗| = √𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 cos 𝛼 𝑎⃗

Si 𝑎⃗ es no nulo → 𝑢
⃗⃗𝑎 =
|𝑎⃗|

B. Resta de vectores: Propiedad. Vectores paralelos (mismo sentido):

𝑎⃗ 𝑏⃗⃗
|𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗| = √𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛼 𝑎⃗ ⇈ 𝑏⃗⃗ ⇔ 𝑢
⃗⃗𝑎 = 𝑢
⃗⃗𝑏 ⇔ =
|𝑎⃗| |𝑏⃗⃗|

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2.4 Descomposición rectangular en el plano: • Producto escalar o producto punto:

𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
• 𝑎⃗ = 𝑎⃗𝑥 + 𝑎⃗𝑦

• |𝑎⃗𝑥 | = 𝑎 cos 𝜃 Propiedades:

• |𝑎⃗𝑦 | = 𝑎 sin 𝜃 1. 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝜃

2. 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ ⟷ 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ = 0
3. 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ ⋅ 𝑎⃗
2.5 Vectores en el espacio (𝑅3 ).
4. 𝑎⃗ ⋅ 𝑎⃗ = |𝑎⃗|2
5. 𝑎⃗ ⋅ (𝑏⃗⃗ ± 𝑐⃗) = 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ ± 𝑎⃗ ⋅ 𝑐⃗

• Producto vectorial o producto cruz:

𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑘⃗⃗
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = |𝑎1 𝑎2 𝑎3 |
𝑏1 𝑏2 𝑏3

• Vectores unitarios canónicos: Propiedades:

1. |𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗| = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| sin 𝜃
𝑖⃗ = (1; 0; 0) ; 𝑗⃗ = (0; 1; 0) ; 𝑘⃗⃗ = (0; 0; 1)
2. 𝑎⃗ ∥ 𝑏⃗⃗ ⟷ 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = 0
• Radio vector: 𝑣⃗ = (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘⃗⃗
3. 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = −𝑏⃗⃗ × 𝑎⃗

Módulo: |𝑣⃗| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 4. 𝑎⃗ × 𝑎⃗ = 0
5. 𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ ± 𝑐⃗) = 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ ± 𝑎⃗ × 𝑐⃗
• Para los vectores:
6. 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ ⊥ 𝑎⃗ ∧ 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗
𝑎⃗ = (𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ) ∧ 𝑏⃗⃗ = (𝑏1 ; 𝑏2 ; 𝑏3 )
Geométricamente, esta propiedad
quiere decir que el producto vectorial
se definen:
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ es perpendicular al plano que
• Suma / resta de vectores: forman los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗.

𝑎⃗ ± 𝑏⃗⃗ = (𝑎1 ± 𝑏1 ; 𝑎2 ± 𝑏2 ; 𝑎3 ± 𝑏3 )

• Igualdad de vectores:
𝑎1 = 𝑏1
𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗ ⟷ {𝑎2 = 𝑏2
𝑎3 = 𝑏3

• Multiplicación por un escalar 𝑟 ∈ 𝑅:

𝑟𝑎⃗ = 𝑟(𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ) = (𝑟𝑎1 ; 𝑟𝑎2 ; 𝑟𝑎3 )

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4. La energía de rotación 𝐸𝑟 de un cuerpo rígido,

EJERCICIOS DE NIVEL BÁSICO el cual gira alrededor de un eje con un momento
de inercia 𝐼 y con una velocidad angular 𝜔, se
calcula con la ecuación:

1. En la siguiente lista de magnitudes físicas: 1 𝑦 𝑥

𝐸𝑟 = 𝐼 𝜔
𝑥

• Peso • Fuerza Determine el valor de: 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦.

• Tiempo • Energía
• Velocidad • Temperatura
• Caudal • Momentum lineal A) 5 B) 3 C) 7
• Masa • Trabajo mecánico D) 8 E) 11
• Aceleración • Flujo magnético

Si 𝑚 y 𝑛 son el número magnitudes físicas 5. Decida si es verdadera V o falsa F cada una de

escalares y vectoriales, respectivamente, las siguientes proposiciones, luego establezca
entonces 𝑚 − 𝑛 es: la secuencia correcta de valores de verdad de
dichas proposiciones.
A) 0 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5 I. De acuerdo al sistema internacional de
unidades, solo existen 7 magnitudes
físicas derivadas.
2. La ecuación de Max Planck, esencialmente,
establece que la energía 𝐸 de un fotón, el cual II. Las magnitudes auxiliares son
ha sido emitido con una frecuencia 𝑓, se calcula adimensionales.
mediante:
𝐸 = ℎ𝑓 III. [Sen (α − β)] = [𝛼 ] = [𝛽 ] = 1

Donde ℎ se conoce como la constante de IV. Si [𝐴] = [𝐵], entonces las magnitudes
Planck. Determine las unidades de ℎ en el SI. físicas 𝐴 y 𝐵 son iguales.

A) M L2 T −1 D) kg. m2 . s −1
B) M L2 T −3 E) kg. m2 . s −3 A) VFVV B) FVFV C) FVVV
C) M L T −2 D) VFVF E) FVVF

3. El módulo de la fuerza magnética 𝐹 que actúa

sobre una carga eléctrica 𝑞 la cual ingresa con 6. Sean 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ dos vectores unitarios tales que:
una rapidez 𝑣 dentro de un campo magnético
de inducción 𝐵, se calcula con: |𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗| = 5|𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗|

𝐹 = |𝑞|𝑣𝐵 Senθ determine el ángulo que forman 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗.

Determine la fórmula dimensional de 𝐵.

A) 37° D) arccos(12/13)
A) IM −1 T −2 B) IMT −3 C) IMLT −1 B) 53° E) arccos(7/15)
D) I −1 MT −2 E) I −1 MT −1 C) arccos(1/3)

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7. Calcule el módulo de la resultante de los 10. Halle el vector resultante del conjunto de
vectores mostrados en la figura, sabiendo que vectores mostrado en la figura.
|𝑎⃗| = 20; |𝑏⃗⃗| = 40 y |𝑐⃗| = 25.

A) 4𝑐⃗ + 3𝑑⃗ D) 2𝑐⃗ − 3𝑒⃗

B) 2𝑐⃗ + 3𝑒⃗ E) 3𝑑⃗ − 2𝑐⃗
A) 25 B) 20 C) 30
C) 𝑒⃗ − 5𝑐⃗
D) 40 E) 15

EJERCICIOS DE NIVEL INTERMEDIO

8. Si sobre un cuerpo actúan las fuerzas:
11. Si la ecuación:
𝐹⃗1 = (−2; 1; 5) N ∧ 𝐹⃗2 = (6; −5; 3) N 𝐴−1 𝑥 = 𝐵2 𝑒 𝑣𝐵−2
es dimensionalmente correcta, determine la
halle el módulo de la fuerza que debe aplicarse fórmula dimensional de 𝑥.
a dicho cuerpo tal que la fuerza resultante sea
nula. Donde: 𝐴 = aceleración, 𝑣 = velocidad,
𝑒 = base de logaritmos naturales
A) 5√3 N B) 4√6 N C) 9 N
D) √13 N E) 10 N A) L2 T −1 B) L−1 T 2 C) L−1
D) L2 E) L−3 T

9. Se tienen tres vectores coplanarios ubicados en 12. Si en lugar de la masa M se considera a la

un triángulo tal como se muestra en la figura, densidad D como magnitud física fundamental,
exprese el vector 𝑥⃗ en función de los vectores cuál sería la fórmula dimensional del trabajo
mecánico.
𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗.
A) DL2 T −2 B) D−1 L3 T −2 C) DL4 T −1
D) D−1 L3 T −1 E) DL5 T −2

13. Según la ley de Biot – Savart, la inducción

magnética 𝐵 que un conductor rectilíneo
produce a una distancia 𝑑, se calcula con:
𝜇𝑜 𝐼
6 1 5 4 𝐵= (cos 𝛼 + cos 𝛽)
A) 𝑥⃗ = 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ D) 𝑥⃗ = 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ 4𝜋 𝑑
5 5 3 3
donde 𝐼 es la corriente eléctrica que transporta
5 1 1 3
B) 𝑥⃗ = 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ E) 𝑥⃗ = 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ el conductor y 𝜇𝑜 es la constante magnética.
6 3 4 4
Halle la fórmula dimensional de 𝜇𝑜 .
5 1
C) 𝑥⃗ = 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗
6 3 A) I 2 ML2 T −2 D) IMLT −1
B) I −2 MLT −2 E) I −2 MLT −1
C) I 2 ML−2 T 2

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14. Si la siguiente ecuación: 18. Sean 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ dos vectores en el espacio 𝑅3 tales
que:
1 2 3
𝑣3 = 𝐴 𝑄 + 𝐵𝑣𝐼
2 2 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = (1; 1; 0) y 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ = 4
es dimensionalmente correcta, simplifique la
expresión: [𝐴]/[𝐵] Halle el ángulo que forman 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗.

Donde: 𝑣 = velocidad, 𝑄 = caudal, A) arcsen (√2/3) D) arcsen (√2/2)

𝐼 = momento de inercia. B) arcsen (1/3) E) arcsen (√2/3)
C) arcsen (√3/3)
A) LMT B) MT −3 C) LM −1 T
D) L2 M −1 E) MT
19. Dado los vectores en el espacio 𝑅3 :
15. La rapidez 𝑣 de propagación de una onda en
una cuerda tensa, depende de la fuerza de 𝑎⃗ = (𝑥; 23; 1 − 𝑥) ∧ 𝑏⃗⃗ = (4; 2; 𝑥 − 2)
tensión 𝑇, de la masa 𝑚 y de la longitud 𝐿 de la
cuerda. Halle la suma de exponentes de 𝑇, 𝑚 y halle la suma de los valores de 𝑥 para los cuales
𝐿 en la fórmula empírica de 𝑣. el vector 𝑎⃗ es perpendicular a 𝑏⃗⃗.

A) 0 B) 1/2 C) −1
D) 1 E) −1/2 A) −4 B) 6 C) 11
D) 10 E) 7

16. Determine el ángulo que forman los vectores:

𝑎⃗ = (3; 5; −6) ∧ 𝑏⃗⃗ = (−2; 3; −1) 20. Sea 𝑎⃗ un vector en el espacio 𝑅3 que ocupa una
de las diagonales del paralelepípedo tal como
se muestra en la figura. Determine el ángulo
A) arccos(6/√35) D) arccos(√7/14)
que forma el vector 𝑎⃗ con el eje +𝑍.
B) arccos(5/√70) E) arccos(4√7/35)
C) arccos(3√5/14)

17. Por definición, el torque o memento 𝜏⃗⃗⃗, con

respecto al origen, que produce una fuerza 𝐹⃗
cuando se aplica en un punto cuya posición
es 𝑟⃗, se calcula con:

𝜏⃗ = 𝑟⃗ × 𝐹⃗

Si la fuerza 𝐹⃗ = (2; 5; −6) N se aplica en el

punto de posición 𝑟⃗ = (−1; 4; 3) m, halle el
módulo del torque con respecto al origen
producido por 𝐹⃗ . A) arccos(1/√35) D) arccos(−3/√15)
B) arccos(1/√7) E) arccos(−5/√35)
A) 2√6 N.m D) 13√10 N.m C) arccos(1/√15)
B) 9√10 N.m E) 5√14 N.m
C) 10√6 N.m

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EJERCICIOS DE NIVEL AVANZADO

21. Sea 𝑅⃗⃗ la resultante de los vectores coplanarios

𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ mostrados en la figura. Si 𝑏⃗⃗ es un vector
de módulo variable, halle el mínimo valor de |𝑅⃗⃗|.

A) √3/2 B) 6 C) 3
D) 1/√3 E) 3√3

22. En la figura, ABCD es un cuadrado, M es punto

medio y AE = 3ED. Determine 𝑥⃗ en función de
los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗.

4 5
A) (𝑎⃗ + 2𝑏⃗⃗) D) (𝑎⃗ + 2𝑏⃗⃗)
25 16
3 9
B) (2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) E) (𝑎⃗ + 2𝑏⃗⃗)
35 35
3
C) (2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗)
41

Docente elaborador: L, Alberto M. Suaña

Celular: 951763083

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