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XIX Olimpiada Nacional Escolar de Matem Atica (ONEM 2023)

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Heyssen Dueñes Chávez

Este documento presenta un examen de matemáticas para la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática en Perú. Contiene 10 problemas matemáticos para ser resueltos en un máximo de 2 horas sin uso de calculadoras u otros recursos. Se instruye a los estudiantes a escribir las respuestas en una hoja provista y entregarla una vez terminada para su calificación.

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Título original

2023f3n2

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Sociedad Matemática Peruana

XIX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2023)

Etapa DRE - Nivel 2

9 de noviembre de 2023

Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:

- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.

- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.

- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas. En caso de ocurrir un empate se tomará en cuenta la hora de entrega.

- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no difusión de la


prueba por ningún medio.

- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.

ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.


EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.

1. En una feria artesanal en Cusco el precio de un tejido es proporcional a su área. Kimberly


compró un tejido de 2 metros de largo y 1,5 metros de ancho a 80 soles y Hugo compró un
tejido de la misma calidad que el de Kimberly, pero de 1,5 metros de largo y 1,2 metros de
ancho. ¿Cuánto costó el tejido de Hugo?

2. Los números del 1 al 8 están escritos en ocho tarjetas de papel. Ana, Beatriz, Carla y Daniela
eligen 2 tarjetas cada una de tal forma que las sumas de los dos números en sus tarjetas son
iguales a 4, 7, 11 y 14, respectivamente. ¿Cuál es el mayor número que eligió Carla?

3. Miguel tiene 60 caramelos y los distribuye en algunas bolsas de tal forma que no hay dos
bolsas con la misma cantidad de caramelos y, además, ninguna bolsa queda vacı́a. ¿Cuántas
bolsas como máximo tiene Miguel?

1
4. Martı́n tiene una hoja cuadrada de área 8 y la divide en siete piezas de Tangram, como se
muestra en la siguiente figura:

Usando estas siete piezas él forma una nueva figura en forma de letra C:

Calcule el perı́metro de esta nueva figura.


Observación: Las piezas de Tangram son 5 triángulos rectángulos isósceles, un paralelogramo
y un cuadrado.

5. Decimos que un número natural es asombroso si es múltiplo de la suma de sus dı́gitos y tam-
bién es múltiplo de la suma de los cuadrados de sus dı́gitos. Por ejemplo, 2023 es asombroso
pues es múltiplo de 7 = 2+0+2+3 y también es múltiplo de 17 = 22 +02 +22 +32 . Encuentre
el mayor número asombroso de cuatro dı́gitos que es múltiplo de 23.

6. Sea ABC un triángulo. Ubicamos un punto E sobre el segmento AC y punto D sobre el


segmento BE de tal forma que BD = 8, BC = 9 y

∠ABC = ∠BCA = ∠CDE = ∠DEC.

Calcule la longitud de AB.

7. En algunas casillas del tablero de 10 × 10 mostrado se va a colocar una moneda, de tal


manera que cada fila, cada columna y cada una de las dos diagonales del tablero contenga
exactamente una moneda. Determine cuántas monedas puede haber como máximo en las
casillas sombreadas.

2
8. Determine el menor entero positivo n para el cual existen enteros positivos x1 , x2 , . . . , xn , no
necesariamente distintos, tales que

x41 + x42 + · · · + x4n = 2023.

9. Cuatro amigos van a una heladerı́a que tiene helados de 3 sabores distintos. Cada uno pide
cierta cantidad de helados (que puede ser 0) de tal manera que:

Si alguien pide dos o más helados estos deben ser de sabores distintos.
Ninguno de los sabores fue elegido por exactamente dos amigos.
Cada sabor fue pedido por al menos un amigo.

Determine la cantidad de formas en las que pudieron realizar su pedido.

10. Sean a, b, c, d números reales tales que


13
a3 + c3 = ,
4
19
a2 b + c2 d = ,
24
2 2 11
ab + cd = ,
72
1
b3 + d3 = .
24
6(a + c)
Calcule el valor de .
b+d

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