6.1. Ejercicios de Clase - Enunciado - Versión 1 - 2024-I - MC - V. Final

Sesión 8.
Variables Aleatorias Conjuntas I

Ejercicios de Clase - Enunciado
Punto 1.
El “Clásico Internacional de Golf” es uno de los torneos más prestigiosos del mundo, y
atrae a los mejores jugadores de todas las naciones. Antes de iniciar torneo es crucial
que los jugadores determinen las estrategias y palos de golf que usarán teniendo en
cuenta las condiciones del campo de juego del torneo. Dado que el campo donde se
celebrará el campeonato este año tiene distancias y condiciones de viento variables, los
jugadores deben practicar en campos similares para afinar su elección de palos de golf
y perfeccionar su juego, buscando el palo que les permita llegar al green (área que rodea
el hoyo) en la menor cantidad de golpes. Los entrenadores y analistas deportivos han
estado recolectando datos sobre la relación entre el tipo de palo utilizado y el número
de golpes que los jugadores ejecutan para llegar al green en estos hoyos de práctica. En
este contexto, se definen las variables aleatorias 𝑋, como el número de golpes que realiza
el jugador para llegar al green, y 𝑌, como el tipo de hierro usado por el jugador.
Teniendo en cuenta una muestra de 180 jugadores seleccionados en forma aleatoria, se

obtuvo la siguiente tabla de frecuencias a partir de los registros disponibles:
Y: Tipo de hierro usado por el jugador

Tabla de frecuencias
5 6 7 Total
1 21 19 12 52
X: Número de golpes que 2 12 13 10 35
realiza el jugador para
llegar al green 3 9 20 21 50
4 11 18 14 43
Total 53 70 57 180
A partir de la información que aparece en la tabla anterior, resolver los siguientes

literales:
a. Construir la función de probabilidad conjunta 𝑔!" (𝑥, 𝑦) de las VAs 𝑋 y 𝑌, y elaborar la

tabla correspondiente a dicha función.
b. Hallar las funciones de probabilidad marginales de las VAs 𝑋 y 𝑌.
c. Calcular la probabilidad de que un jugador seleccionado al azar llegue al green con

máximo 3 golpes usando un hierro 6 o 7.
d. Calcular la probabilidad de que un jugador seleccionado al azar llegue al green con

máximo 2 golpes.
e. Calcular la probabilidad de que un jugador seleccionado al azar, use un hierro 5 y

llegue al green en 3 golpes o más.
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f. Calcular la probabilidad de que un jugador seleccionado al azar llegue al green en 2
golpes usando un hierro 7, o que llegue al green en más de 3 golpes usando un hierro
5.
Punto 2.
El equipo de Fórmula 1, Scuderia Ferrari, está perfeccionando una pieza para mejorar el
rendimiento de sus automóviles en las carreras de la temporada. Esta pieza, destinada
para la suspensión del vehículo, se fabricará con una mezcla de fibra de carbono y
aleaciones de aluminio. Se define 𝑋 como la cantidad de fibra de carbono (en gramos)
utilizada en la fabricación de la pieza, y 𝑌 como la cantidad de aleaciones de aluminio
(en gramos) utilizada en la misma. El equipo de ingenieros de Scuderia Ferrari tiene
interés en analizar la relación entre las cantidades utilizadas de los materiales y su
impacto en la resistencia a la compresión de la pieza, para así poder aumentar la
durabilidad de esta. La función de densidad de probabilidad conjunta de las variables 𝑋
y 𝑌 asociadas a las cantidades de los dos materiales mencionados está definida como:
6𝑥 1 2
𝑓!" (𝑥, 𝑦) = , ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 + 1, − 2 ≤ 𝑦 ≤ 2.
23 2 𝑥
Con base en la descripción anterior, si se selecciona al azar una pieza de este tipo,
desarrolle los siguientes literales:
a. Identifique y grafique con precisión la región del plano cartesiano 𝑥𝑦 para la cual está
definida la función de densidad de probabilidad conjunta, 𝑓!" (𝑥, 𝑦), de las VAs 𝑋 y 𝑌.
b. Compruebe que la función de densidad de probabilidad conjunta está

correctamente definida.
c. Encuentre la función de densidad de probabilidad marginal de la variable aleatoria 𝑋.
d. Encuentre la función de densidad de probabilidad marginal de la variable aleatoria 𝑌.
e. Calcule la probabilidad de que en forma simultánea la cantidad de fibra de carbono

utilizada para la fabricación de la pieza sea mayor a 1 gramo y que la cantidad de
aleaciones de aluminio sea menor a 1.5 gramos.
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Sesión 8.

Variables Aleatorias Conjuntas I

Teniendo en cuenta una muestra de 180 jugadores seleccionados en forma aleatoria, se

Y: Tipo de hierro usado por el jugador

A partir de la información que aparece en la tabla anterior, resolver los siguientes

a. Construir la función de probabilidad conjunta 𝑔!" (𝑥, 𝑦) de las VAs 𝑋 y 𝑌, y elaborar la

b. Hallar las funciones de probabilidad marginales de las VAs 𝑋 y 𝑌.

c. Calcular la probabilidad de que un jugador seleccionado al azar llegue al green con

d. Calcular la probabilidad de que un jugador seleccionado al azar llegue al green con

e. Calcular la probabilidad de que un jugador seleccionado al azar, use un hierro 5 y

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b. Compruebe que la función de densidad de probabilidad conjunta está

c. Encuentre la función de densidad de probabilidad marginal de la variable aleatoria 𝑋.

d. Encuentre la función de densidad de probabilidad marginal de la variable aleatoria 𝑌.

e. Calcule la probabilidad de que en forma simultánea la cantidad de fibra de carbono

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