ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Y SISTEMAS DE MEDICIÓN ÁNGULAR

ANGULO TRIGONOMÉTRICO
DEFINICIÓN:
El ángulo trigonométrico es aquel que se NOTAS:
genera por la rotación de un rayo (en un ➢ Si a un ángulo se invierte el sentido,
mismo plano) alrededor de un punto fijo entonces su signo cambia
llamado vértice, desde una posición inicial
hasta una posición final. A’

ELEMENTOS: – –
 
O: Vértice del ángulo
O
OA : Lado inicial.  O
O A
OA ' : Lado Terminal SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
θ : ángulo trigonométrico Para medir los ángulos pueden existir
diversos sistemas de medición, dependiendo
ANGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS en cuántas partes se divide el ángulo de una
➢ Si el giro del rayo es en sentido vuelta (A una de esas partes se llama unidad
antihorario, el ángulo se considera de medida) o comparando la longitud del
positivo. radio con la longitud del arco que subtiende
➢ Si el giro del rayo es en sentido horario, el ángulo central.
el ángulo se considera negativo.
I. SISTEMA SEXAGESIMAL “S”
A’ O A
(INGLES)
 La unidad de medida es el grado sexagesimal
“1º”, que es igual a la 360 ava parte del
 ángulo de una vuelta.
A’ 1 grado sexagesimal = 1º
O A 1 minuto sexagesimal = 1’
>0 <0
1 segundo sexagesimal = 1’’

Equivalencias:
1vuelta = 360º
1º = 60 ' 1' = 60'' 1º = 3600''

Te exigimos, te motivamos, te orientamos 1 Elevamos tu potencial al máximo

II. SISTEMA CENTESIMAL “C” sexagesimal, centesimal y radial,
(FRANCES) respectivamente, se tiene:
La unidad de medida es el grado centesimal A’
“1g”, que es igual a la 400 ava parte del
ángulo de una vuelta.
1 grado centesimal = 1g
1 minuto centesimal = 1m
 = Sº = C = R rad
g
1 segundo centesimal = 1s
O A
Equivalencias:
NOTA: La relación de S, C y R es el
1vuelta = 400g
siguiente: C  S  R
1g = 100 m 1m = 100s 1g = 10000s NOTA: Para transformar la medida de un
ángulo en radianes a grados sexagesimales y
III. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR grados centesimales o viceversa se puede
(INTERNACIONAL) “R” utilizar las siguientes relaciones:
Su unidad es el Radián (1rad), y es igual a la S C R S C R
medida de un ángulo central determinado por = = = =
un arco de circunferencia cuya longitud es 360 400 2 180 200 
igual a la longitud del radio. S C S R
= =
9 10 180 
C R
R =
R 200 
1 rad NOTA: Relaciones entre minutos y segundos
Sexagesimales y Centesimales:
R
m n p q
= =
27 50 81 250
m : Número de minutos sexagesimales
1 vuelta = 6,283185…rad p : Número de segundos sexagesimales
= 2(3,1415926535…)rad n : Número de minutos centesimales
q : Número de segundos centesimales
1vuelta = 2π radianes

Valores aproximados a π Es decir: 27 ' = 50 81' = 250

m s

NOTA: Para resolver ecuaciones y

π ≈ 3.1416 ≈ 22 ≈ 355 ≈ 2+ 3
7 113 simplificar expresiones, se recomienda
utilizar una constante “k” de
NOTA: La relación de las unidades de proporcionalidad.
medida de los tres sistemas es la siguiente: 
S = 9 k
1rad  1º  1g

S C 20R
= = = k  C = 10 k
9 10   
R = k
RELACION ENTRE LOS SISTEMAS DE  20
MEDIDAS ANGULARES
Si S, C y R son los números que representan
la medida “” de un ángulo en los sistemas

Te exigimos, te motivamos, te orientamos 2 Elevamos tu potencial al máximo

TRIGONOMETRÍA Con el Loquito
EJERCICIOS 1 1 1 1
+ = 19n  −  . Entonces, el
1) De la figura, determinar el valor de x.
S C S C
valor de n es:
A) 19 B) 1/19 C) 3
D) 3/19 E) 1
x 32º
6) (CEPRU 2016-II) En el gráfico

A) 698º B) 668º C) 688º

D) 588º E) 752º y
35º x
2) Del gráfico, calcular el valor de x.
Si y + 4x = 25 , entonces el valor de x
es:
111º A) 30° B) 34° C) 36°
−2x D) 40° E) 35°
x 7) (CEPRU 2013-I) Un ángulo es medido
en los tres sistemas convencionales y sus
A) 33º B) 32º C) 39º valores numéricos cumplen con la
D) 23º E) 29º relación  SC+36CR=SCR. Entonces la
3) De la figura, determinar el valor de x. medida del ángulo en el sistema
centesimal, es:
A) 240g B) 240g 50m C) 200g
g g m
x D) 300 E) 200 50
A) 120º
B) 150º 100º 8) (CEPRU 2016-II) En la figura
C) 120º
D) 230º −230º
g
E) 130º


4) (CEPRU 2017-I) En la figura

x El valor de 10 − 9 es:

rad
9 A) 900 B) 990 C) 90
D) 1000 E) 180
10x g 7x 9) (CEPRU 2010-I) En un triángulo
rectángulo, la diferencia de las medidas
El valor de x es: de dos de sus ángulos interiores agudos
A) 10 B) 5 C) 8
es de 20 grados centesimales, entonces la
D) 15 E) 12 medida del mayor ángulo agudo en
radianes, es:
5) (CEPRU 2012-I) Un ángulo, al ser
medido en el sistema sexagesimal (S) y 7 5 3 3 7
A) B) C) D) E)
en el sistema centesimal (C), cumple con 10 10 8 10 8
la siguiente relación:

Te exigimos, te motivamos, te orientamos 3 Elevamos tu potencial al máximo

10) (CEPRU 2016-I) En la figura los puntos 14) (CEPRU 2016-INT) En la figura, la
A, O y B son colineales. medida de los ángulos están dados en
grados sexagesimales.
y
xg y
A O B 40 2x
x y
El valor de + es:
10 9 Si 5x + y = 70 , entonces el valor de x
A) –10 B) –18 C) 20
D) –20 E) 18 en grados sexagesimales es:
A) 35 B) 30 C) 40
11) (CEPRU 2014-I) En la figura, el valor de D) 15 E) 25
x es:
15) Del gráfico, calcular el valor de x.

−411º

(5 − 11x)g (27x)
x

A) 10 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
12) (CEPRU 2017-II) En la figura: A) 41º B) 39º C) 49º
D) 61º E) 51º
16) (CBU 2008-II) En la figura, calcular “x”.

9x A) –150º 210º

 x 
B) –130º

 5 
 rad C) –120º
D) –110º x
E) –100º
El valor de x es: 300º
A) –5 B) –3 C) –4
D) –2 E) –1 17) (CBU 2008-I) En el gráfico, calcular el
13) (UNSAAC 2018-I) En la figura. valor de x, si y + 3x = 20º

A) 60º
B) 70º y
 C) 45º
D) – 70º 20º x
g
E) – 45º
2
5
rad 18) (CBU 2008-INT) Los ángulos interiores
de un triángulo miden ( 8x ) º ,
g
El valor de 10 − 9 es:  7   50  +
 x  rad y  x  , x  . La
A) 3420 B) 2340 C) 2880  180   9 
D) 2480 E) 3024 medida del menor ángulo en grados
sexagesimales, es:
A) 45º B) 50º C) 70º
Te exigimos, te motivamos, te orientamos 4 Elevamos tu potencial al máximo
TRIGONOMETRÍA Con el Loquito
D) 60º E) 30º C)  −  = 90 D) 3 −  = 180
19) (CBU 2007-II) Sean S, R y C los valores E) 3 +  = 180
convencionales de las medidas de un
ángulo en el sistema sexagesimal, radial 25) (CEPRU 2014-II) En la figura el valor de
y centesimal, respectivamente, tal que x es:
90CR + 100SR + SC = SCR .
Calcular el valor de S.
A) 360º B) 270º C) 100º
D) 120º E) 300º ( 5 − 11x )g  3 
20) Calcular el valor de:  x  rad
 20 
( a + b )o a ' ( a + b )g bm
E= +
( a + b) ' ( a + b )m A) 15 B) 9 C) 5
a) 121 b) 131 c) 141 D) 11 E) 3
d) 161 e) 171
26) (CEPRU 2018-II) Si los ángulos
21) Hallar la medida de un ángulo en el interiores congruentes de un triángulo
sistema radial si se sabe que (S y C: isósceles miden (x − 1) y (x + 1) , el
g
número de grados sexagesimales y
tercer ángulo interior de dicho triángulo
centesimales del ángulo).
en grados sexagesimales mide:
S = x −1 − 5 ; C = x −1 − 3 A) 150° B) 160° C) 132°
     D) 144° E) 135°
a) b) c) d) e)
6 10 15 30 45

22) Se tiene dos nuevos sistemas de medida

angular M y N. Si 18 grados M equivale
27) Obtener el valor de "x" del ángulo
a 4 grados N y 20 grados N equivale a
trigonométrico mostrado:
2/3 radianes. Determina a cuántos
grados M equivale 100º.
a) 25 b) 50 c) 75
d) 90 e) 95
(10x − 9)º
23) La suma de los números que representan (9x + 10)
g
el complemento de un ángulo en los tres
sistemas conocidos es igual a la suma de
los números que representan las medidas
en los tres sistemas. Hallar la medida de
90 180 200
A) B) C)
dicho ángulo en radianes. 19 19 19
     20 40
a) b) c) d) e) D) E)
5 4 6 8 2 19 19

24) En la figura, Determinar la relación o

 243 
entre  y  . 28) Si   se expresa en la forma
2  20 
y − 37
x g y m . Calcular: E = −1

x

A) 2 B) 1 C) 0
A)  +  = 180 B)  −  = 180 D) –1 E) 3

Te exigimos, te motivamos, te orientamos 5 Elevamos tu potencial al máximo

 o g   
29) Si a0b = a ( 2a ) 0 , el valor de A) rad B) rad C) rad
20 25 10
( a + b ) o , en radianes, es:
 
   D) rad E) rad
A) B) C) 15 30
10 12 15
  35) Si S, C y R son números que representan
D) E) la medida de un ángulo en los sistemas
18 20 sexagesimal, centesimal y radial
respectivamente, al reducir la expresión:
30) Si Aº B 'C '' = 13g 90 m , el valor de C + S C + 20R
A+C E= −
, es: 2S − C S − 20R
B Se obtiene:
A) 1,2 B) 1,4 C) 1,6 A) 0,001 B) 0,01 C) 0,1
D) 1,8 E) 1,9 D) 1 E) 10
36) En la figura, calcular el valor de
31) La medida de los ángulos de un −1
triángulo se encuentran en progresión  a + 10c 
  .
aritmética de razón 12º. La medida del  1− b  180b
menor de dichos ángulos expresada en
radianes, es: 180c 18aº
 2 
A) B) C)
15 15 5
4  1 1 1 1 1
D) E) A) B) C) D) E)
15 4 10 12 14 15 18

32) El valor de x " (x segundos 37) (UNSAAC 2018-II) Si S y C son

sexagesimales) en radianes, es: números que representan las medidas de
un ángulo en grados sexagesimales y
x x
A) rad B) rad 
3240 64800 centesimales tales que S=x+ ,
4
x x
C) rad D) rad 
324000 1620 C=x+ ; entonces el valor de dicho
2
x ángulo en radianes es:
E) rad
648000 7 2 2 2 32 52
 A) B) C) D) E)
54º + rad 50 80 60 70 90
33) Al Reducir 5 , se obtiene:
 38) (CEPRU 2011-II) La diferencia de las
60º − rad
12 inversas de los números que expresan la
1 medida de un ángulo positivo en grados
A) B) 2 C) 4 sexagesimales y centesimales es igual a
2 la medida en radianes del mismo ángulo
1 sobre 2. La medida del ángulo en el
D) E) 3
4 sistema sexagesimal es:
34) Si se sabe que 25 grados en un sistema A) 24º B) 9º C) 6º
"L" equivalen a 60º. El número de D) 18º E) 27º
radianes a que equivalen 5 grados "L",
es:
Te exigimos, te motivamos, te orientamos 6 Elevamos tu potencial al máximo
TRIGONOMETRÍA Con el Loquito
39) (CEPRU 2012-II) De la figura, el valor representan la medida  de un ángulo, en
20x − 18y grados sexagesimales y centesimales,
de E = , es: multiplicado por la semidiferencia de los
 + 2z
75
900 mismos, es igual a veces la suma de
A) 19
 las inversas de esos números, el valor de
700  en radianes, es:
B) y g
 z rad  
A) 10 B)  10 C) 10
1600 3 4
C)
 xº  3
D) 10 E) 10
1800 2 4
D) 44) (CBU 2008-I) S, C y R son números que

representan la medida de un ángulo en
40) (CEPRU 2010-II) Si la media aritmética
los sistemas sexagesimal, centesimal y
de los valores convencionales que
radial respectivamente, tales que
expresan la medida de un ángulo
positivo, en grados centesimales y 20R x y
SC = CS y = x . Calcular el
sexagesimales, es a su diferencia como  y
57 veces el valor de la medida de dicho
ángulo en radianes, es a 2, entonces la valor de E = x − y
medida del ángulo en radianes, es: A) –1 B) 2 C) 1
 5   3 D) –2 E) 3
A) B) C) D) E)
3 2 2 4 2

41) (CEPRU 2009-II) Sean S, C y R los

números que representan la medida de
un ángulo en grados sexagesimales,
grados centesimales y radianes
respectivamente, tal que:
C−S+ R R+4
+ =2
R+4 C −S+ R
El valor de R, es:
  
A) B) C)
5 4 2
 
D) E)
3 8
42) (CEPRU 2011-I) En la figura: El valor
de x en función de , es:

A) − − 450º
B) − − 360º
C) − + 450º
D) − + 90º x

E) − + 360º

43) (CEPRU 2009-I) Si la media geométrica

de la inversa de los números que
Te exigimos, te motivamos, te orientamos 7 Elevamos tu potencial al máximo