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Apunte Matematica CINEU2023V2
Apunte Matematica CINEU2023V2
Apunte Matematica CINEU2023V2
Departamento Ingreso
Matemática
Autores:
Prof. Mg. Ing. Jorge Alberto Azpilicueta
Prof. Ing. Laura Vargas
Prof. Ing. Héctor Gabriel Tavella
Prof. Esp. Ing. Pablo Bobatto
Prof. Ing. José Luis Galopo
Prof. Dra Claudia M. Egea
Edición 2023
1
2
0
Objetivos Generales
Al finalizar el estudio de Matemática del Ciclo de Nivelación usted deberá ser capaz de:
Esquema Conceptual
POLINOMIOS
FUNCIONES
ECUACIONES
TRIGONOMETRÍA
3
Unidad 1. Números Reales y Complejos
1.1 Los números reales, operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números reales.
1.2 Números complejos, operaciones en forma binómica.
Unidad 2. Polinomios
2.1 Polinomios. Grado. Operaciones con polinomios. Adición, multiplicación y división.
2.2 Divisibilidad. Valuación. Teorema del resto.
2.3 Raíz de un polinomio. Orden de multiplicidad. Descomposición factorial de un
polinomio.
Unidad 3. Funciones
3.1 Conjuntos y subconjuntos. Operaciones con conjuntos. Par ordenado. Producto
Cartesiano.
3.2 Correspondencia entre puntos de la recta y números reales. Pares ordenados de números
reales. Conjuntos de puntos. Intervalos.
3.3 Relación y sus representaciones. Funciones. Definición. Funciones enteras de primer y
segundo grado.
Unidad 4. Ecuaciones.
4.1 Ecuación de primer grado con una y dos incógnitas.
4.2 Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
4.3 Ecuación de segundo grado con una incógnita.
4.4 Sistemas mixtos. Método de sustitución.
Unidad 5. Trigonometría
5.1 Longitud de un arco de circunferencia. Ángulos y su medición.
5.2 Funciones trigonométricas. Relaciones fundamentales.
5.3 Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos.
5.4 Fórmulas de adición.
4
Bibliografía
Como bibliografía se aconseja utilizar los textos de estudio del secundario, sin
destacar ninguno en particular.
Recuerde
En consecuencia:
5
1
Números reales y números complejos
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:
• Identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos.
• Operar con números reales y complejos utilizando sus propiedades.
Contenidos
Esquema conceptual
SISTEMA NUMÉRICO
NÚMEROS REALES
NÚMEROS COMPLEJOS
ÁLGEBRA
Introducción
En esta unidad se revisan los conceptos necesarios para trabajar las principales operaciones
en el campo de los números reales y complejos, que ya se han visto en cursos de la escuela media.
6
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le
siguen. Realice la ejercitación correspondiente.
Bibliografía de la unidad
Como bibliografía se aconseja utilizar los textos de estudio del secundario, sin destacar
ninguno en particular.
Aprender a calcular con exactitud, operar símbolos con facilidad y aplicar con
seguridad las propiedades de los números reales y complejos es un objetivo fundamental
para el estudiante de Ciencias Naturales y de Ingeniería.
Contenidos
I. Números reales. Operaciones y Propiedades.
Los procedimientos cuantitativos básicos de la ciencia comprenden las operaciones de
contar y medir. Contar significa caracterizar una colección o conjunto de objetos mediante un
número, en tanto que medir es asignar un número a alguna propiedad de un objeto. Las nociones
de “contar” y “medir”, al igual que la de conjunto, distan de ser conceptos simples. Cada una de
estas nociones ha sido objeto de muchos estudios en el campo de la metodología científica. Lo
importante para nosotros en el presente estudio es el hecho de que tanto “contar” como “medir”
conducen a números, y mediante el uso de números y conjuntos es posible lograr una buena
compresión de los fenómenos de la naturaleza.
En este capítulo repasaremos los diferentes conjuntos numéricos que conocemos, cómo se
relacionan y cómo operar con ellos. Muchas de las operaciones y expresiones aquí mencionadas
ya son conocidas por el lector pero resulta necesario repasarlas y analizarlas para introducir cierta
notación y formalidad que usaremos luego en las materias de matemática más avanzada.
Repasemos estos conjuntos numéricos. Los naturales serán representados con la letra N,
escribimos
N = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
usaremos los tres puntos “…” para indicar que el conjunto continúa.
7
Los racionales serán representados con la letra Q, y se obtienen al realizar cocientes de
3 −7 8 21
números enteros, por ejemplo 4; 5 ; 1 = 8; 0,21 = 100
Escribimos
Q = {𝑟 = 𝑚𝑛 ∶ 𝑚, 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑛 ≠ 0}
Los irracionales serán representados con la letra I, y no se pueden expresar como cociente
de números enteros, es decir tienen una representación decimal infinita no periódica, por ejemplo
√2 = 1,41421356 …; √3 = 1, 73205081 … ; 𝑒 = 2,71828183 …; 𝜋 = 3,14159265 …
El conjunto de números reales será representado con la letra R y es la unión de los conjuntos
racionales e irracionales. El siguiente diagrama muestra la relación entre los diferentes conjuntos
numéricos:
1
= 0,3333333333 … = 0, 3̂
3
9
̂
= 1,285714285714 … = 1, 285714
7
8
Como ya mencionamos, si el número es irracional su representación decimal es infinita no
es periódica. Cuando consideramos finitos decimales de la expansión de un número irracional
obtenemos una aproximación de dicho número. Por ejemplo, solemos decir √2 ≈ 1, 41 para
aproximar el número irracional √2 por el número racional 1,41.
En lo que sigue, recordemos cómo podemos obtener una fracción equivalente a un número
decimal dado. Para simplificar el proceso consideraremos tres casos: decimal finito, decimal
periódico puro, decimal periódico mixto.
Caso 1: decimal finito. Este es el caso de un número con finitos lugares después de la coma.
Para expresar su fracción equivalente procedemos a colocar el número sin la coma en el numerador
y en el denominador consideramos una potencia de 10 con tantos ceros como lugares después de
la coma. Veamos algunos ejemplos:
5 204 16531
0,5 = 10 ; 2,04 = 100 ; 16,531 = 1000
Podemos luego simplificar las fracciones para obtener su expresión irreducible, en los
ejemplos:
5 1 204 51 16531
0,5 = 10 = 2 ; 2,04 = 100 = 25 ; 16,531 = 1000
Caso 2: decimal periódico puro. Este es el caso de un número decimal con su parte
periódica inmediatamente después de la coma, llamaremos período a la expresión que se repite.
Para escribir la fracción equivalente procedemos a colocar en el numerador la resta del número
completo (sin la coma y sin repeticiones) menos el valor sin el período y en el denominador un
número formado con tantos 9 como cifras tenga el período. Analicemos algunos ejemplos:
3
0, 3̂ = 9 ; ̂ = 265−2 =
2,6565 … = 2, 65
263
; ̂=
16, 15
1615−16
=
1599
99 99 99 99
Caso 3: decimal periódico mixto. En este caso, el número decimal tiene luego de la coma
una parte no periódica que llamaremos anteperíodo y una parte periódica. Para escribirlo como
fracción procedemos colocando el número completo (sin la coma y sin repeticiones) en el
numerador y le restamos la parte sin el período, luego en el denominador colocamos tantos 9 como
cifras tenga el período y tanto 0 como cifras tenga el anteperíodo. Por ejemplo:
136 − 13 123
1,36666666 … = 1, 36̂ = =
90 90
9
Por otro lado, para pasar una expresión fraccionaria a decimal sólo debemos realizar la
división que dicha fracción representa.
Desde edad temprana hemos aprendido a sumar y multiplicar números reales, y por
experiencia conocemos algunas de las propiedades de estas operaciones. A continuación, vamos a
enumerar dichas propiedades.
(a + b) + c = a + (b + c) y a . (b . c) = (a . b) . c, cualesquiera sean a, b y c
3) Existencia del neutro de la suma: existe un elemento especial, el 0, que cumple que:
a + 0 = a, cualquiera sea a.
a . 1 = a, cualquiera sea a.
5) Existencia del opuesto: se cumple además que todo número real tiene opuesto, es decir
para cada número real a existe – a que cumple que a + (- a) = 0.
1 1
Por ejemplo, si 𝑎 = 5 entonces 𝑎 −1 = 5 ya que 5. 5 = 1.
1 1
Si 𝑎 = entonces 𝑎−1 = 7 ya que 7 . 7 = 1.
7
10
Recordemos que si queremos multiplicar números de diferente signo debemos aplicar la
regla de los signos:
Ejemplo 1
4−[4+2(3−5)−7.(−1+3)] = ?
Existen diferentes caminos posibles para realizar estas operaciones, aquí propondremos
dos opciones diferentes y quedará como ejercicio al lector analizar otras alternativas.
El primer paso debe ser separar en términos para determinar que operaciones deben
realizarse primero. La suma, la resta y los paréntesis o corchetes determinan los términos distintos:
4−⏞
⏞ [4 + 2. (3 − 5) − 7. (−1 + 3)] =
⏞⏞ ⏞
⏞
4 − [4 + 2. (3 − 5) − ⏞
7. (−1 + 3)] =
Vamos a aplicar propiedad distributiva para eliminar los paréntesis dentro del corchete ya
que debemos resolver primero esos términos para luego poder realizar la suma.
4−[4+2(3−5)−7.(−1+3)] = 4−[4+6−10+7−21]
Notemos que hemos usado regla de los signos al mismo tiempo. Luego agrupamos los
términos de igual signo para sumar dentro del corchete
4−17+31=(4+31)−17=35−17=18
Otra forma posible de resolver este ejercicio es realizando la operación dentro del
paréntesis y luego eliminarlos, es decir:
4−[4+2(3−5)−7.(−1+3)]=4−[4 +2(−2)−7(2)]=4−[4−4−14]
11
Asociando convenientemente, tenemos:
4−[4−(4+14)]=4−[4−18]=4−[−14]
Usamos aquí nuevamente la regla de los signos para sacar los corchetes:
4 +14=18
Ejemplo 2
7−8+[4−(√ 2+3−(6+2−7)−10)−5] = ?
Cuando tenemos varios paréntesis anidados (es decir, unos dentro de otros), debemos
quitarlos desde “adentro hacia afuera”, es decir los paréntesis más internos se eliminan primero:
= 7−8+[4−( √ 2+3−6−2+7−10)−5]
= 7−8+[4−√ 2−3+6+2−7+10−5]
= 7−8+[4− √ 2−3+6+2−7+10−5]
= 7−8+4− √ 2−3+6+2−7+10−5
= 29−(23+ √ 2)
= 6−√ 2
En este ejercicio también podríamos resolver primero las operaciones en cada paréntesis
interior y luego quitar los paréntesis, es decir:
= 7−8+[4−(√ 2+3−1−10)−5]
12
= 7−8+[4−(√ 2−8)−5]
= 7−8+7−√ 2
= 6−√ 2
Multiplicación a c a.c
. =
b d b. d
División a c a.d a d
: = = .
b d b. c b c
Suma igual denominador a c a+c
+ =
b b b
Suma distinto denominador a c a .d +c .b
+ =
b d b.d
7 5 7.3+5. 2 21+10 31
+ = = =
4 6 12 12 12
13
12 6
=
10 5
22 2 1
= =
44 4 2
Ejemplo 1
3 5 1
(2 − 9 − 18)
=?
1
(1 + )
6
3 5 1
(2 − 9 − 18) 3 5 1 1
= ( − − ) : (1 + )
1 2 9 18 6
(1 + 6)
27 − 10 − 1 7
= ( ):( )
18 6
16 7
= ( ):( )
18 6
En este paso conviene simplificar las fracciones para trabajar con valores numéricos
menores. En este ejemplo podemos simplificar la fracción 16/ 18 por 2, obteniendo 8/9 y además
podemos simplificar el denominador 9 con el denominador 6, luego
16 7 8 7 8 7 8 7
( ):( ) = ∶ = ∶ = ∶
18 6 9 6 9 6 3 2
8 7 8.2 16
∶ = =
3 2 3.7 21
14
Ejemplo 2
2+ ( 56 − 121 ).( 158 − 103 ) =?
5 1 8 3 5.2−1 8.2−3.3
2+ ( −
6 12
. )(−
15 10 ) = 2+
( 12
. )(30 )
= 2+ ( 129 ).( 307 )
Simplificamos la fracción 9/12 por 3 obteniendo 3/4 y luego podemos simplificar el
numerador 3 con el denominador 30
9 7 3 7 1 7
2+ ( )( )
12
.
30 = 2+ ( )( )
4
.
30
= 2+
( )( )
4
.
10
2+ ( 14 ).( 107 ) = 2+
7
40 =
80+7
40
=
87
40
-1 0 1 2
Para representar una fracción debemos dividir la unidad (o unidades) en tantas partes como
indica el denominador y tomamos tantas de esas partes como indica el numerador. Como ejemplo,
marquemos el punto 5/4. El denominador es 4, luego debemos dividir la unidad en 4 partes. Como
el numerador es 5 necesitamos tomar 5 de esas partes, luego no nos alcanza con una unidad por lo
cual debemos fraccionar la segunda unidad, tenemos entonces:
5/4
-1 0 1 2
15
1.5 Orden de los números reales
Otra característica muy importante de los números reales es que son ordenados. Esto
significa que dados a y b, diremos que a es menor que b y escribimos a < b, si el número b - a es
positivo. De manera equivalente podemos decir que b es mayor que a y escribimos b > a.
1) Tricotomía: Dados dos números reales a y b se cumple una y solo una de las siguientes
afirmaciones: a < b ó a > b ó a = b.
Esta propiedad nos dice que si sumamos un valor c arbitrario en ambos miembros de una
desigualdad esta se mantiene. Por ejemplo:
Esta propiedad nos dice que si multiplicamos por un valor c positivo en ambos miembros
de una desigualdad esta se mantiene. Por ejemplo:
𝑎𝑛 = ⏟
𝑎. 𝑎 … 𝑎
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
1 𝑛
Definimos también 𝑎- n como ( ) , siempre que n sea un número natural. Además, si 𝑎 es
𝑎
distinto de 0 (𝑎 ≠ 0), definimos 𝑎0 = 1.
16
IMPORTANTE!! Debemos hacer un uso correcto de los paréntesis en el caso de a un número
negativo. Por ejemplo (−5)4 = 625 no es igual a −54 = −625 ya que en el primer caso el valor
que debe multiplicarse por si mismo 4 veces es -5, mientras que en el segundo caso queremos
calcular el opuesto de 5⁴.
Podemos deducir las siguientes propiedades de las potencias, para a y b números reales y
n y m naturales:
1
➢ 𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 , en efecto 𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 . (𝑎𝑚 ) = 𝑎𝑛 . 𝑎−𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
➢ (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛 . 𝑚
, ¿cómo podría justificar esta afirmación?
➢ (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛 , para justificar esta afirmación notemos que (𝑎. 𝑏)𝑛 es igual a multiplicar
𝑎𝑏 por si mismo n veces, es decir
(𝑎. 𝑏)𝑛 = ⏟
(𝑎. 𝑏). (𝑎. 𝑏) … (𝑎. 𝑏)
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
➢ ( ) = , es un buen ejercicio para el lector tratar de justificar esta afirmación de
𝑏 𝑏𝑛
manera similar a la justificación de la propiedad anterior.
Analicemos algunos ejemplos para mostrar cómo aplicar las propiedades de las potencias:
Ejemplo 1
17
Ejemplo 2
√𝑎 = 𝑏 si se cumple que 𝑏 𝑛 = 𝑎
3
➢ √8 = 2 pues 23 = 8
5
➢ √243 = 3 pues 35 = 243
4
➢ √256 = 4 pues 44 = 256
4
Notemos que la raíz n-ésima de 𝑎 no siempre está definida, por ejemplo √−16 no está
definida pues no existe ningún número real b tal que b⁴ = - 16. De manera similar para cualquier
raíz de índice n par si el radicando 𝑎 es negativo.
Observación: La raíz n-ésima de un número real puede expresarse como una potencia, en efecto:
1
n n
√ a=a
Luego, todas las propiedades de las potencias pueden aplicarse a los radicales siempre y
cuando el radical esté definido. Realicemos algunos ejemplos ilustrativos.
Ejemplo 1
√√
3. 8. 20 3. 8. 20. 20
b a (a . b) b a a b
3 4
−10 −1
a b = √
12
−10 −1
a b =
12
√b 3+20−(−1) . a8+20−(−10)
12
= √b 24 . a38 = 12√b 24 . 12√ a36+2 = b2 .a3 . 12√ a2
18
Ejemplo 2
x
−3 3 3 3
= x .a . y . √ y
−1 −1
= a. y .√ y
Observación
Antes de aplicar una propiedad de la potencia, debemos chequear que tenga sentido
6
aplicarla para el radicando en consideración, por ejemplo la propiedad √3 x= √ x 2 puede
aplicarse siempre y cuando x sea positivo. Si por ejemplo x = - 8 no puede aplicarse dicha
6 6 6
propiedad. En efecto √3 x=√3 −8=−2 pero √ x2= √(−8)2 = √(−8)2=√6 64=2
2.1 Definiciones
Las operaciones aritméticas en el conjunto de los números complejos se definen así:
Adición: ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
Multiplicación: ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( bc + ad ) i
19
Ejemplo 1)
a. ( 3 + 6i ) + ( 2 − 3i ) = 5 + 3i
b. ( 7 + 5i ) − (1 + 2i ) = 6 + 3i
c. ( 5 + 7i ) ( 3 + 4i ) = 15 + 41i + 28i 2 = (15 − 28 ) + 41i = −13 + 41i
d. ( 2 − 3i ) ( −1 + 4i ) = −2 + 11i − 12i 2 = ( −2 + 12 ) + 11i = 10 + 11i
También debemos definir la división. Para ello debemos primero recordar la definición de
complejo conjugado.
Definición de conjugado
1 1 (𝑎 − 𝑏𝑖) 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑎 −𝑏
= . = 2 = + ( )𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 + 𝑏𝑖) (𝑎 − 𝑏𝑖) 𝑎 + 𝑏2 𝑎2 + 𝑏 2 𝑎2 + 𝑏 2
a + bi ( a + bi ) ( c − di ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i ( ac + bd ) ( bc − ad ) i
= = = 2 + 2
c + di ( c + di ) ( c − di ) c2 + d 2 c +d2 c +d2
Ejemplo 2)
4+i 4 + i 2 + 3i ( 4 + i )( 2 + 3i ) 5 + 14i 5 14
= g = = = + i
2 − 3i 2 − 3i 2 + 3i ( 2 − 3i )( 2 + 3i ) 13 13 13
20
Ejemplo
( x + yi )( 2 − 3i ) = 4 + i .
x + yi = ( 4 + i ) / ( 2 − 3i )
( 2 x + 3 y ) + ( −3x + 2 y ) i = 4 + i
Según nuestra definición de igualdad de dos números complejos, las partes reales de ambos
miembros han de ser iguales y, del mismo modo, las partes imaginarias también han de serlo. Por
lo tanto,
2x + 3y = 4
− 3x + 2y = 1
Multiplicamos por 2 la primera ecuación y por –3 la segunda ecuación y sumando las dos
ecuaciones:
4x + 6 y = 8
+ 9 x − 6 y = −3
13x = 5
5
x =
13
Este método, que consiste en igualar las partes reales e imaginarias, es de gran importancia
en la aplicación de los números complejos a la ingeniería.
21
números de nuestro sistema, que son reales. Nuestro propósito actual es iniciar un nuevo desarrollo
de los números complejos de una manera lógica y fuera de lo imaginario.
Definiciones
Número complejo
El número complejo (a, 0) se llama parte real del número complejo (a, b). Veremos
que, de una manera natural, se pueden identificar los pares (a, 0) con los números reales
a.
La aritmética de los números complejos viene dada por las siguientes definiciones básicas.
Definiciones
Igualdad
Adición
(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d )
Multiplicación
Es evidente que existe una correspondencia biunívoca entre, los números complejos (a, 0) y
los números reales a, que está definida por
(a, 0) ⎯ →a .
Esta correspondencia es particularmente útil porque en ella las sumas corresponden a las
sumas y los productos corresponden a los productos. Esto es:
22
Adición : ( 0, b ) + ( 0, d ) = ( 0, b + d )
Multiplicación : ( 0, b ) ( 0, d ) = ( −bd , 0 )
Recordemos ahora que lo que motivó nuestra introducción de los números complejos fue,
precisamente, la imposibilidad de resolver la ecuación x 2 = −1 dentro del conjunto de los números
reales.
Veamos ahora como la introducción de los números complejos nos permite resolver esta
ecuación. Conforme con el isomorfismo, la ecuación
( x, y ) = ( x, y ) ( x, y ) = ( −1, 0 )
2
Según hemos visto, ( x, y ) = ( 0,1) es una solución de esta ecuación, además se puede
comprobar que ( x, y ) = ( 0, −1) es otra solución. Por consiguiente, nuestra introducción de los
números complejos nos permite resolver ecuaciones de este tipo que no tienen solución en los
números reales.
Para completar nuestra discusión necesitamos mostrar la correspondencia entre nuestras
dos definiciones de los números complejos. Antes de entrar en esa discusión, señalaremos las
siguientes identidades:
( 0, b ) = ( b, 0 ) ( 0,1)
( a, b ) = ( a, 0 ) + ( b, 0 ) ( 0,1)
23
De estas correspondencias se deduce que las reglas que rigen la igualdad, la adición y la
multiplicación de los números complejos en notación a + bi , que fueron establecidas como
definiciones anteriormente, concuerdan con las correspondientes definiciones en notación ( a, b ) .
a a + bi
0 Eje real
El siguiente esquema muestra las diferentes clases de números y las relaciones que existen entre
ellas.
Números naturales
Enteros Cero
24
II. Ejercitación de la Unidad
3.1 Ejercicios de números Reales
−2
1 1 10
− : = 10
a) 2 5 3 R=
3
3 1 1 3
+ − =
5 25 5 5 17
b) R=
25
1 1 7
c) 2 + 5 : 40 = R=2
2
4 16 1
+ − =
9 25 225 49
d) R=
25
4 2
+ 15 =
25 9
e) R=4
−2 −2
1 1
1 + =
f) 2 3
R=2
2
1 1 13 3 2 1
2
+ + + : − =
g) 3 2 6 5 5 4 R=5
−1
3 2 3
− : 1 − =
h) 2 7 17 R =1
3 3 19 2
+ − − = 9
i) 4 2 25 5 R=
10
−2 −1
6 1 1 1 1
j) − − + 32 + + − ( −2 ) =
3 2 5 2 2
1 −1 4 9
+ 3 + 16 − 5 =
3 27
k) 32 R = −3
25
−1 2 −3
1+ 9 1 − 3 −8 8 − 5 32
+ + =
2 6 3
l)
1 1 1
− −1
+ =
3
−1 + 3 1 3
( 5)
2 343
−
64
m)
2 3
2 1 −1 2 1 −3 6−1
2 + − 5 − −1 + −2 =
3 3
n) 2 139
R=
3
−1
9 2 1
1+
16 3 6
=
−4
3 4
o) 3 3 R=
45
1 63
0, 25 + 0,3 + 1 − 0,36 3 −1 =
p) 5 64
2 1
−2
+ 0, 4
3 : 4 −3 − −0, 2 =
( 0, 2 )
−1 + 0, 784 5
3 3
74
q) R=
5
Ejercicio 2) Dar un número racional comprendido entre cada uno de los pares de números
siguientes: Nota: la respuesta no es única
17
2 3 R=
a. y 24
3 4
3
1 2 R=−
b. − y − 10
5 5
15
c. − 3 y R = (100 − 285 ) / 200
100
1 9
2 3 R= ,
d. y . 2 20
5 5
26
Ejercicio 3) Grafique los siguientes números sobre una recta y ordénelos de menor a mayor:
4 0 −2 3 2 6
; −2; ; ; ; ; .
5 3 3 4 7 7
3 4
a. 3 números racionales comprendidos entre y
5 5
1 3
b. 4 números racionales comprendidos entre y
3 4
1 5
c. 5 números racionales comprendidos entre y
5 6
321
R=
a. 3,242424... 99
5
R=
b. 0,555... 9
142857
R=
c. 0,142857142857... 999999
Ejercicio 6)
R = 10
Ejercicio 7)
Un granjero distribuyó cierto número de hectáreas de tierra entre sus tres hijos. Marta recibió 2/3
de la tierra distribuida, Jorge 4/7 de lo que quedó y por último Raúl se quedó con lo restante, 18
hectáreas. ¿Cuántas hectáreas obtuvo Marta?
R = 84 hectáreas
Ejercicio 8)
1 1
Una persona caminó cierta distancia, trotó 2 2 la distancia que caminó y corrió 2 2 veces la
distancia que trotó. Si en total recorrió 2.340 metros, ¿Cuánto caminó?
R = 240 metros
27
3.2 Ejercicios de Números Complejos
Ejercicios 1) Encontrar la suma o diferencia de los siguientes números complejos
a) ( 3 + 6i ) + ( 8 − i ) = R = 11 + 5i
b)
(13 − 4i ) − ( 25 + 6i ) = R = −12 − 10i
c) ( 8 + 2i ) + ( −6 − 20i ) = R = 2 − 18i
− ( 6 − 5i ) + ( 7 + 3i ) =
d) R = 1 + 8i
− ( 4 + 3i ) − ( −3 + 7i ) =
e) R = −1 −10i
18 − (13 − 2i ) =
f) R = 5 + 2i
a)
( 2 + 5i )( −3 + i ) =
R = −11 − 13i
b)
( 4 + 11i )( 6 − i ) = R = 35 + 62i
c) ( 7 +i )( )
7 −i = R =8
d)
( 4 + 2i )( 4 − 2i ) = R = 20
9 ( 4 − 6i ) =
e) R = 36 − 54i
f)
( 7i )( 3 + 6i ) = R = −42 + 21i
g)
( 4i )( 9i ) = R = −36
(18 − i)
a) (3 + 2i) /(4 + 3i) = R=
25
28
b) (14 + 3i) /(2 − i) = R = 5 + 4i
(22 + 6i)
c) (−6 + 2i) /(−3 + 2i) = R=
13
(12 + 15i)
d) 3i /(5 + 4i) = R=
41
(2 − 4i)
e) (4 + 2i) / 7i = R=
7
Ejercicio 4) En los siguientes apartados opere en el miembro de la izquierda e iguale las partes
reales e imaginarias de los números complejos para obtener x e y.
a)
( x + iy )( 3 − 2i ) = 4 + i R: x =
10
, y=
11
13 13
b)
( x + iy )( 6 − 3i ) = 5 + 6i R:x =
4
, y=
17
15 15
c)
( x + iy )( −4 + 7i ) = −16 + 3i R: x =
17
, y=
20
13 13
Ejercicio 5) En los siguientes apartados, compruebe que el número complejo z satisface la ecuación
dada.
a) Z= 1 + 2i; x2 − 2 x + 5 = 0
b) Z= 3 + 2i; x 2 − ( 7 + 3i ) x + (10 + 11i ) = 0
c) Z= 4 + i; x 2 − ( 7 + 3i ) x + (10 + 11i ) = 0
Ejercicio 6) En los siguientes apartados, realice las operaciones con números complejos indicadas.
a.
( 4 − 3i ) + ( 2i − 8) R = −4 − i
b. 3 ( −1 + 4i ) − 2 ( 7 − i ) R = −17 + 14i
c. ( 3 + 2i )( 2 − i ) R = 8+i
29
d. ( i − 2 ) 2 (1 + i ) − 3 ( i − 1) R = −9 + 7i
2 − 3i 11 10
e. R= − i
4−i 17 17
f. ( 4 + i )( 3 + 2i )(1 − i ) R = 21 + i
g.
(2 + i )(3 − 2i )(1 + 2i ) R=−
15
+ 5i
(1 − i )2 2
4 2−i 11 23
( 2i − 1) + R=− − i
2
h.
1− i 1+ i 2 2
i 4 + i9 + i16
i. R = 2+i
2 − i5 + i10 − i15
(1+ i) (1− i)
2 3
j. 3 −2 R = −3 − 2i
(1 − i ) (1 + i )
2 3
Resuelve la siguiente expresión con números reales realizando las operaciones indicadas
30
3 1 3 −2
4√
3
−1+ .
8 2 ()
√ 62 +82 . 41 + 16
( )
1)
−2
5 1
2)
( 6
− )
12
5 1
(−3)2+ 3
( −
6 12 )
3) √ 125 . √ (52−42)
−1
5 1
(−3)2+ 3
( −
4 12 )
4) √ 27+√(5 2−4 2)
3 5 1 −1
− − (
2 9 18 )
1
5)
( )
1+ . √(5 2−4 2)
6
Resuelve la siguiente expresión con números complejos realizando las operaciones indicadas
5−3i
13 3 22
1) (−2i).(2i −(i) +i )
(2−2i)(4 i+1).i 33
2) (4−2i)−(4 i+5)+(2+3i)
[(1−3i)+(4 i+1)]. i 17
3) (2+3i)
5−3i
13 3 22
4) (−2i).(2i −(i) +i )
31
32
2
Polinomios
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:
• Identificar polinomios
• Efectuar correctamente las operaciones con polinomios en una indeterminada
• Determinar si un polinomio A es divisor de un polinomio B
• Determinar el orden de multiplicidad de la raíz de un polinomio
• Factorizar polinomios
Contenidos
2.1 Polinomios. Grado
2.2 Operaciones con polinomios: adición, multiplicación y división.
2.3 Divisibilidad. valuación. Teorema del resto.
2.4 Raíz de un polinomio. Orden de multiplicidad.
2.5 Descomposición factorial de un polinomio.
Esquema conceptual
ADICIÓN
SUSTRACIÓN
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
POLINOMIOS OPERATORIA
RAÍZ
ORDEN DE
MULTIPLICIDAD
FACTORIZACIÓN
2.1 Introducción
33
de la matemática, como el algebra, la geometría y el análisis, por lo que estudiaremos sus
propiedades y operaciones.
Consideraremos los polinomios como entes abstractos, definiendo operaciones entre ellos y
estudiaremos sus propiedades básicas.
Ejemplo 1: 𝑃(𝑥) = 1 + 3𝑥 − 2𝑥 2 + 𝑥 3
En este caso n=3, 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 3, 𝑎2 = −2, 𝑎3 = 1
Ejemplo 2: 𝑃(𝑥) = 0 + 0𝑥 + 3𝑥 2 + 0𝑥 3 − 5𝑥 4
En este caso n=4, 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 3, 𝑎3 = 0, 𝑎4 = 5
Ejemplo 3: 𝑃(𝑥) = 3
En este caso n=0, 𝑎0 = 3; se suele escribir: 𝑃(𝑥) = 3𝑥 0 .
Es costumbre no escribir los coeficientes nulos. El polinomio del ejemplo 2 se escribe 𝑃 = 3𝑥 2 +
5𝑥 4 . Tampoco escribiremos el coeficiente cuando es igual a uno; por ejemplo, 1𝑥 3 = 𝑥 3 . El
conjunto de polinomios a coeficientes reales se notara R[x]. Denominaremos 𝑎𝑖 al coeficiente del
término de grado i; por ejemplo, 𝑎4 es el coeficiente del termino de grado 4.
Llamaremos polinomio nulo al que tiene todos sus coeficientes nulos y lo notaremos por 0. Es
decir 𝑃 = 0, o lo que es lo mismo 𝑃 = 0𝑥 0 .
Dos polinomios son iguales si y solo si tienen iguales los coeficientes de los términos del mismo
grado.
Sea P un polinomio distinto de cero, es decir que tiene al menos un coeficiente no nulo. Si n es un
entero no negativo diremos que P tiene grado n cuando el coeficiente de grado n de P es distinto
de cero y los de grado mayor que n son nulos. Esto es equivalente a decir que P es de la forma
𝑎0 + 𝑎1 . 𝑥 + 𝑎2 . 𝑥 2 +. … . . +𝑎𝑛 . 𝑥 𝑛 con 𝑎𝑛 ≠ 0. Notaremos 𝑔𝑟(𝑃) = 𝑛 y que el polinomio 0 no
tiene grado.
Ejemplo 4: 𝑔𝑟(2 − 𝑥 − 𝑥²) = 2
Ejemplo 5: 𝑔𝑟(9) = 0
Denominaremos monomio de grado n a todo polinomio de la forma 𝑎. 𝑥 𝑛 donde a es un numero
real. Es decir, un monomio es un polinomio que tiene a lo sumo un único coeficiente distinto de
cero.
Ejemplo 6: 3𝑥 4 es un monomio de grado 4
Ejemplo 7: −𝑥 2 es un monomio de grado 2
Ejemplo 8: 4𝑥 0 es un monomio de grado 0
34
Definimos:
𝑃 + 𝑄 = (𝑎0 + 𝑏0 ) + (𝑎1 + 𝑏1 ). 𝑥+. … … . +(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ). 𝑥 𝑛
Es decir, el coeficiente de grado i de P+Q se obtiene sumando los coeficientes de grado i de P+Q.
Ejemplo 9:
Sean: 𝑃 = 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 3 + 9𝑥 4 − 11𝑥 5 y 𝑄 = 4𝑥 − 6𝑥 2 + 28𝑥 5
Disponemos el cálculo de la siguiente forma:
-11 9 3 -2 0 3
28 0 0 -6 4 0
17 9 3 -8 4 3
Propiedades:
1. Asociativa: si P, Q y T son polinomios, entonces P+(Q+T)=(P+Q)+T
2. Conmutativa: si P, Q y T son polinomios, entonces P+Q=Q+P
3. Elemento neutro: si P es un polinomio, P+0=P, es decir el polinomio nulo es el elemento
neutro.
4. Si P es un polinomio, existe un polinomio Q tal que P+Q=0 Q se denomina el inverso
aditivo de P y se nota por –P.
Ejemplo 10: si 𝑃 = 3 + 𝑥 − 5𝑥 2 es −𝑃 = −3 − 𝑥 + 5𝑥 2
𝑃 − 𝑄 = 𝑃 + (−𝑄)
𝑃 − 𝑄 = (6 + 15𝑥 + 2𝑥 2 ) + (7𝑥 − 6𝑥 2 + 𝑥 4 )
𝑃 − 𝑄 = 6 + 22𝑥 − 4𝑥 2 + 𝑥 4 )
35
Queremos encontrar el polinomio 𝑃 ∙ 𝑄 . Disponemos los cálculos de la siguiente manera:
P -1 7 0 3 -6 2
Q -4 3 2
2.P -2 14 0 6 -12 4
3x.P -3 21 0 9 -18 6
-4x2.P 4 -28 0 -12 24 -8
4 -31 19 2 33 -20 -6 4
Por lo tanto:
𝑃 ∙ 𝑄 = 4 − 6𝑥 − 20𝑥 2 + 33𝑥 3 + 2𝑥 4 + 19𝑥 5 − 31𝑥 6 + 4𝑥 7
En símbolos, si
𝑃 = 𝑎0 + 𝑎1 . 𝑥 + 𝑎2 . 𝑥 2 +. … . . +𝑎𝑛 . 𝑥 𝑛 (𝑎𝑛 ≠ 0)
2 𝑚
𝑄 = 𝑏0 + 𝑏1 . 𝑥 + 𝑏2 . 𝑥 +. … . . +𝑏𝑚 . 𝑥 (𝑏𝑚 ≠ 0)
Entonces:
𝑃 ∙ 𝑄 = 𝑎0 𝑏0 + (𝑎0 𝑏0 + 𝑎1 𝑏0 ). 𝑥 + (𝑎0 𝑏2 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏0 ). 𝑥 2 +. … . . +𝑎𝑛 𝑏𝑚 . 𝑥 𝑛+𝑚
Esto es, coeficiente del termino de grado i del producto se obtiene sumando todos los productos
de la forma 𝑎𝑘 𝑏𝑗 con 𝑘 + 𝑗 = 𝑖 . En el ejemplo anterior el coeficiente de grado uno del producto
es:
𝑎0 𝑏0 + 𝑎1 𝑏0 = (2) ∙ (3) + (−6) ∙ (2) = 6 − 12 = −6
Observaciones:
1. No vale la propiedad de existencia de inverso multiplicativo, es decir, dad un
polinomio P, no existe, en general, un polinomio Q tal que PQ=1. En efecto, si
tal Q existe, P debe ser distinto de cero; luego tomando grados resulta
gr(P.Q)=gr(P)+gr(Q)=gr(1)=0. Como el grados es siempre mayor o igual a
cero, la única posibilidad es que gr(P)=0. Es decir, que únicamente tiene inverso
multiplicativo los polinomios de grado cero. En este caso,
si 𝑃 = 𝑎𝑥 0 , su inverso es 𝑃−1 = 𝑎 −1 ∙ 𝑥 0
36
2. Si 𝑃 = 𝑎 y 𝑄 = 𝑏0 + 𝑏1 . 𝑥 + 𝑏2 . 𝑥 2 +. … . . +𝑏𝑚 . 𝑥 𝑚 es
𝑃 ∙ 𝑄 = (𝑎 ∙ 𝑏0 ) + (𝑎 ∙ 𝑏1 ). 𝑥 + (𝑎 ∙ 𝑏2 ). 𝑥 2 +. … . . +(𝑎 ∙ 𝑏𝑚 ). 𝑥 𝑚
Es decir que para multiplicar un polinomio por una constante basta con multiplicar cada
coeficiente por la constante.
−4𝑥 3 + 0𝑥 2 + 5𝑥 − 6 2𝑥 − 3
+4𝑥 3 + 6𝑥 2 −2𝑥 2 − 3𝑥 − 2
−6𝑥 2 + 5𝑥 − 6
+6𝑥 2 − 9𝑥
−4𝑥 − 6
+4𝑥 − 6
−12
Luego:
El cociente 𝐶 = −2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 y el resto 𝑅 = −12
Si el dividendo es un polinomio de grado 𝑛 y el divisor es de la forma 𝑥 − 𝑎 , el cociente es un
polinomio de grado 𝑛 − 1, con el mismo coeficiente principal que el dividendo, el resto es un
polinomio nulo o un polinomio constante.
Ejemplo 15: sean 𝑃 = 5𝑥 3 − 14𝑥 + 3 y 𝑄 =𝑥−2
𝑃 = 5𝑥 3 + 0𝑥 2 − 14𝑥 + 3 ordenado y completo
𝑄 =𝑥−2 ordenado
5𝑥 3 + 0𝑥 2 − 14𝑥 + 3 𝑥−2
−5𝑥 3 + 10𝑥 2 5𝑥 2 + 10𝑥 + 6
10𝑥 2 − 14𝑥 + 3
−10𝑥 2 + 20𝑥
6𝑥 + 3
−6𝑥 + 12
15
Luego:
37
El cociente 𝐶 = 5𝑥 2 + 10𝑥 + 6 y el resto 𝑅 = 15
En este caso el esquema se puede simplificar aplicando la “regla de Ruffini”
En el ejemplo anterior, escribiendo solo los coeficientes:
5 + 0 − 14 + 3 1−2
−5 + 10 5 10 6
10 − 14
−10 + 20
6+3
−6 + 12
15
Omitimos aquellos coeficientes que son evidentes repeticiones; el primer término en las líneas
2ª,4ª,6ª,……. y el segundo término en las líneas 3ª,5ª,7ª,……comprimimos los términos restantes
y escribimos el primer coeficiente, 5, en la tercera línea y observamos que el 1 del divisor puede
omitirse, nos queda
5 0 -14 3 -2
-10 -20 -12
5 10 6 15
Los coeficientes del cociente también se omiten puesto que aparecen como los primeros tres
coeficientes en la tercera línea, en tanto que el resto, 15, aparece como el ultimo numero.
El último paso de simplificación es reemplazar las sustracciones por sumas, esto es, cambiar los
signos del divisor (-2 por 2) y en la segunda línea. Así
5 0 -14 3 2
10 20 12
5 10 6 15
38
Sean P y Q polinomios, Q≠0. En el caso particular en que el resto de la división de P por Q es 0
decimos que la división es exacta, o que P es un múltiplo de Q, o Q es un factor de P, o bien que
Q divide a P.
Decir entonces que Q divide a P es expresar que existe un polinomio (necesariamente único) T tal
que P=QT. Al polinomio T se lo suele representar por T=P/Q.
Ejemplo 17: 𝑄 = 𝑥 − 2 divide a 𝑃 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 pues
𝑃 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 3)
Propiedades:
1. Q divide a P si y solo si el resto de dividir P por Q es igual a cero. Por supuesto, suponemos
Q≠0. Si Q divide a P, existe T tal que P=QP. Llamando C al cociente y R al resto de la
división de P por Q, valen las expresiones:
𝑃 =𝑄∙𝑇+0 𝑃 =𝑄∙𝐶+𝑅
Por unicidad de cociente y resto resulta que T=C y R=0.
Recíprocamente, si el resto es cero, se tiene P=QT+0, o sea P=Q=T, luego Q divide a P.
Obsérvese que esta propiedad nos brinda la posibilidad de poder decidir, mediante un
simple cálculo, si un polinomio divide a otro.
En efecto, por razones de grado, el resto de dividir P por “a” debe ser cero. Mas directamente, si
𝑃 = 𝑎0 + 𝑎1 . 𝑥 + 𝑎2 . 𝑥 2 +. … . . +𝑎𝑛 . 𝑥 𝑛 , podemos escribir
𝑎0 𝑎1 𝑎𝑛
𝑃 = 𝑎 ∙ ( + 𝑥 + ⋯ … + 𝑥𝑛)
𝑎 𝑎 𝑎
5. Si Q divide a P y P es distinto de 0, entonces gr(Q)≤gr(P). por hipótesis podemos expresar
P=QT, luego tomando grados tenemos que:
Vale decir al número que se obtiene reemplazando la independiente x por a, y efectuando las
operaciones indicadas.
Ejemplo 19: sea 𝑃 = 5 + 2𝑥 − 𝑥 2 + 6𝑥 3 − 7𝑥 4 . Entonces:
𝑃(1) = 5 + 2 ∙ 1 − 12 + 6 ∙ 13 − 7 ∙ 14 = 5
𝑃(−2) = −163
𝑃(0) = 5
0
Ejemplo 20: si 𝑃 = 𝑐𝑥 , entonces 𝑃(𝑎) = 𝑐 para todo número real 𝑎.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. (𝑃 + 𝑄)(𝑎) = 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎)
39
2. (𝑃 ∙ 𝑄)(𝑎) = 𝑃(𝑎) ∙ 𝑄(𝑎)
Sea “a” un número y P un polinomio. Entonces el valor numérico de P en “a” es igual al resto de
dividir P por “x-a”.
Sea a un polinomio real y P un polinomio. Decimos que “a” es raíz (o cero) de P si P(a)=0. Diremos
que en ese caso P se anula en “a”.
Ejemplo 23: 2 y 3 son raíces o ceros del polinomio 𝑃 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6
Ejemplo 24: -1 es raíz de 𝑃 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1
Un numero “a” es raíz de un polinomio P si y solo si “x-a” divide a P. En efecto, por el teorema
del resto, P(a) es el resto de dividir P por “x-a”. Luego si “a” es raíz, o sea si P(a) =0, el resto de
dividir P por “x-a” es cero, luego “x-a” divide a P.
Ejemplo 25: 1 es raíz del polinomio 𝑃 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 pues 𝑃(1) = 0
o equivalentemente 𝑥 − 1 divide a P, 𝑃 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
2.4.3 Observaciones:
1. Si a es una raíz de un polinomio P resulta 𝑃 = (𝑥 − 𝑎) ∙ 𝑄 y considerando el valor
numérico de P en un numero b, 𝑃(𝑏) = (𝑏 − 𝑎) ∙ 𝑄(𝑏).
40
De aquí deducimos que toda raíz de Q es raíz de P, y que toda raíz de P distinta de a es raíz de Q.
Es decir que, conocida una raíz, el problema del cociente, con la ventaja de que este es de menor
grado.
2. Si P es un polinomio, determinada una de sus raíces, es conveniente estudiar su orden de
multiplicidad.
Es entonces 𝑃 = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4) y 𝑄1 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4
Verificamos si (𝑥 + 2) divide a 𝑄1:
1 3 0 -4
-2 -2 -2 4
1 1 -2 0
𝑃 = (𝑥 + 2)2 ∙ (𝑥 2 + 𝑥 − 2) y 𝑄2 = 𝑥 2 + 𝑥 − 2
Verificamos si (𝑥 + 2) divide a 𝑄2 :
1 1 -2
-2 -2 2
1 -1 0
𝑃 = (𝑥 + 2)3 ∙ (𝑥 − 1) y 𝑄3 = 𝑥 − 1
Como (𝑥 + 2) no divide a 𝑄3 , el orden de multiplicidad de la raíz -2 resulta m=3, es decir que -
2 es una raíz triple de P.
3. Sea 𝑃 = 𝑎0 + 𝑎1 . 𝑥 + 𝑎2 . 𝑥 2 +. … . . +𝑎𝑛 . 𝑥 𝑛 y 𝑥1 , 𝑥2, . … . . , 𝑥𝑛 sus n raíces, entonces
podemos escribir P como:
𝑃 = 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥1 ) ∙ (𝑥 − 𝑥2 ) ∙ … … . .∙ (𝑥 − 𝑥𝑛 )
En el ejemplo anterior:
𝑃 = 𝑥 4 + 5𝑥 3 + 6𝑥 2 − 4𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)3 ∙ (𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛 = 1.
2. Diferencia de cuadrado
𝑋 2 − 𝑌 2 = (𝑋 + 𝑌) ∙ (𝑋 − 𝑌)
3. Trinomio cuadrado perfecto
𝑋 2 + 2 ∙ 𝑋 ∙ 𝑎 + 𝑎2 = (𝑋 + 𝑎)2
𝑋 2 − 2 ∙ 𝑋 ∙ 𝑎 + 𝑎2 = (𝑋 − 𝑎)2
4. Cuatrinomio cubo perfecto
41
𝑋 3 + 3 ∙ 𝑋 2 ∙ 𝑌 + 3 ∙ 𝑋 ∙ 𝑌 2 + 𝑌 3 = (𝑋 + 𝑌)3
𝑋 3 − 3 ∙ 𝑋 2 ∙ 𝑌 + 3 ∙ 𝑋 ∙ 𝑌 2 − 𝑌 3 = (𝑋 − 𝑌)3
5. Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia
de las bases
Ejemplo 28: Sea 𝑥 3 + 27 = 𝑥 3 + 33 es divisible por x+3 ya que n es impar. Por el contrario, no
es divisible por x-3. En efecto, si 𝑥 3 + 27 es divisible por x+3 existe un polinomio Q tal que
𝑥 3 + 27 = (𝑥 + 3) ∙ 𝑄
Calculamos Q por la regla de Ruffini
1 0 0 27
-3 -3 9 -27
1 -3 9 0
Rta: 𝑥 4 + 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 8𝑥 − 17
b) (2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 7𝑥 + 5) − (4𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3𝑥 − 3)
Rta: 4 + 𝑥 + 𝑥 2
d) 3 ∙ (2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 7)
Rta: 6𝑥 3 − 9𝑥 2 + 6𝑥 − 21
1 1
e) (𝑥 4 − 4𝑥 3 − 8𝑥 2 − 2𝑥 + 8) − (9𝑥 3 − 6𝑥 2 + 12𝑥 + 3)
2 3
1
Rta: 2 𝑥 4 − 5𝑥 3 − 2𝑥 2 − 4𝑥 + 3
f) (2𝑥 − 3) ∙ (3𝑥 + 5)
Rta: 6𝑥 2 + 𝑥 − 15
42
g) (2𝑥 3 + 2𝑥 2 − 4𝑥 + 6) ∙ (−5𝑥 3 + 4𝑥 2 − 2𝑥 − 1)
Rta: 4𝑥 3 + 8𝑥 2 + 7𝑥 + 2
j) 3𝑥 + 2 + 𝑥{4𝑥 + 3[2 − 5𝑥(𝑥 + 1) − 𝑥] − 4𝑥} + 2 − 𝑥
Rta: 4𝑥 2 − 49𝑦 2
l) (3𝑥 2 + 2𝑦 3 ) ∙ (3𝑥 2 − 2𝑦 3 )
Rta: 9𝑥 4 − 4𝑦 6
m) (𝑥 3 − 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1) ∙ (𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 1)
Rta: 𝑥 6 − 6𝑥 5 + 9𝑥 4 − 4𝑥 2 + 4𝑥 − 1
0
(11x 4 ) (12x 0 )
n) 6x
2
Rta: 𝑥
4 2
(5𝑥 2 ) (4𝑥 4 )
o) (2𝑥 8 )3
1250
Rta: 𝑥8
14𝑥 8 𝑦 4 −10𝑥 6 𝑦 5
p) 2𝑥 4 𝑦 4
Rta: 7𝑥 4 − 5𝑥 2 𝑦
q) 4𝑥 3 (3𝑥 2 𝑦 − 6𝑥𝑦 4 )
43
Rta: 𝐶 = 𝑥 − 2; 𝑅 = −𝑥 2 − 2
b) 𝑃 = 2𝑥 3 − 5𝑥 + 3 ; 𝑄 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 4
Rta: 𝐶 = 2𝑥 + 4; 𝑅 = −5𝑥 − 13
2
c) 𝑃 = 3 𝑥 3 − 5𝑥 + 2 ; 𝑄 = 2 − 𝑥 2 − 3𝑥
2 7
Rta: 𝐶 = − 3 𝑥 + 2; 𝑅 = 3 𝑥 − 2
1
d) 𝑃 = 3 + 4𝑥 5 − 2𝑥 + 7𝑥 3 ; 𝑄 = 2 + 𝑥 3 − 2𝑥
9
Rta: 𝐶 = 4𝑥 2 + 15; 𝑅 = −2𝑥 2 + 28𝑥 − 2
e) 𝑃 = 8𝑥 3 + 12𝑥 2 − 14𝑥 + 7; 𝑄 = 4𝑥 2 + 8𝑥 − 3
Rta: 𝐶 = 2𝑥 − 1; 𝑅 = 4
f) 𝑃 = 6𝑥 4 + 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 14𝑥 + 1; 𝑄 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1
Rta: 𝐶 = 3𝑥 2 − 2𝑥 + 4; 𝑅 = 5
g) 𝑃 = 𝑥 4 − 14𝑥 2 + 1; 𝑄 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 1
Rta: 𝐶 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 1; 𝑅 = 0
h) 𝑃 = 𝑥 7 + 𝑥 5 + 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 − 1; 𝑄 = 𝑥 2 + 𝑥 + 1
Rta: 𝐶 = 𝑥 5 − 𝑥 4 + 𝑥 3 − 1; 𝑅 = 0
Ejercicio 3. En los siguientes ejercicios calcular el cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini.
a) 𝑃 = 𝑥 4 + 5𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 5; 𝑄 = 𝑥 − 2; 𝑅𝑡𝑎: 𝐶 = 𝑥 3 + 7𝑥 2 + 12𝑥 + 23, 𝑅 = 51
b) 𝑃 = 𝑥 5 − 3𝑥 4 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 3; 𝑄 = 𝑥 + 1; 𝑅𝑡𝑎: 𝐶 = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 2𝑥 + 1, 𝑅 = 2
c) 𝑃 = 𝑥 5 − 2𝑥 2 + 3 − 6𝑥 3 + 5𝑥; 𝑄 = 𝑥 − 3; 𝑅𝑡𝑎: 𝐶 = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 3𝑥 2 + 7𝑥 + 26, 𝑅 = 81
d) 𝑃 = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝑄 =𝑥−1 𝑅𝑡𝑎: 𝐶 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 4, 𝑅 = 1
e) 𝑃 = −𝑥 3 + 7𝑥 2 + 15𝑥 − 8 𝑄 =𝑥+2 𝑅𝑡𝑎: 𝐶 = −𝑥 2 + 9𝑥 − 3, 𝑅 = −2
f) 𝑃 = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 3𝑥 + 6 𝑄 =𝑥−2 𝑅𝑡𝑎: 𝐶 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 6𝑥 + 9, 𝑅 = 24
g) 𝑃 = 3𝑥 4 − 4𝑥 3 + 𝑥 2 − 7 𝑄 =𝑥+1 𝑅𝑡𝑎: 𝐶 = 3𝑥 3 − 7𝑥 2 + 8𝑥 − 8, 𝑅 = 1
Ejercicio 5. Hallar el resto que se obtiene al dividir el polinomio dado por el binomio que le sigue:
44
a) x3 − 3x 2 + 4 x − 5; x−2 Rta:-1
b) x3 + 3x + 5; x +1 Rta:1
c) 2 x3 − 7 x 2 + 5 x + 3; x −1 Rta:3
d) 2 x 4 + 3x3 + 7 x 2 + 6 x + 2; x +1 Rta:2
a) 2 x3 + 3x 2 − 6 x + 1; x −1
c) x3 − 4ax2 + 2a 2 x + a3 ; x−a
1
d) 3x3 + 2 x 2 − 4 x + 1; x−
3
e) x3 − 3x 2 + x − 3; x−i
f) x 4 − 2 x 2 − 3; x+i
Ejercicio 9. Calcule el valor de k para el cual x-a sea un factor del polinomio dado
a) x3 + 2 x 2 + 4 x + k ; x +1 Rta: k=3
Solución:
Un método es aplicando Ruffini
1 2 4 K
-1 -1 -1 -3
1 1 3 k-3
45
Luego para quex+1 sea un factor del polinomio dado el resto debe ser nulo hacemos
k − 3 = 0k = 3
b) − x3 + 3x 2 + kx − 4; x −1 Rta: k=2
Ejercicio 10. Determinar el valor de b para que el siguiente polinomio sea divisible por (x-2).
17
𝑃 = 𝑥 3 − 𝑏𝑥 2 + 5𝑥 − 1 𝑅𝑡𝑎: 𝑏 =
4
Ejercicio 11. Diga cuál es el grado de la función polinomial, halle los ceros de la misma e indique
cual es su multiplicidad.
f ( x) = (x + 4) (x + 2) (x − 3)
5 2 3
a) Rta: grado=10; -4 orden 5; -2 orden 2; 3 orden 3
Ejercicio 12. Determinar el polinomio de tercer grado, cuyas raíces son los números 2, -1, y 3, y
el coeficiente de 𝑥 3 es el número 1.
𝑅𝑡𝑎: 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6
Ejercicio 13. Determinar el polinomio de cuarto grado, cuyas raíces son los números 1, -1, 2 y 5 y
tal que 𝑓(0) = 6.
3 21 27 2 21
𝑅𝑡𝑎: − 𝑥 4 + 𝑥 3 − 𝑥 − 𝑥+6
5 5 5 5
Ejercicio 14. Determinar si el número 2 es raíz del polinomio P = x 4 − 5x 3 + 8x 2 − 4x .
En caso afirmativo, dar su multiplicidad y, si es posible, las demás raíces.
𝑅𝑡𝑎: 2 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒; 1 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒; 0 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒
Ejercicio 15. Calcule todos los ceros de f(x).
46
b) 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 𝑅𝑡𝑎: 3𝑥(𝑥 2 − 2𝑥 + 3)
c) 9𝑥 4 − 16𝑥 6 𝑅𝑡𝑎: 𝑥 4 (3 + 4𝑥)(3 − 4𝑥)
d) 𝑥 4 − 81𝑦 4 𝑅𝑡𝑎: (𝑥 2 + 9𝑦 2 )(𝑥 + 3𝑦)(𝑥 − 3𝑦)
e) 𝑥 2 − 14𝑥 + 49 𝑅𝑡𝑎: (𝑥 − 7)2
f) 12𝑥 2 − 13𝑥 𝑅𝑡𝑎: 𝑥(12𝑥 − 13)
g) 𝑥𝑦 − 3𝑥 + 2𝑦 − 6 𝑅𝑡𝑎: (𝑥 + 2)(𝑦 − 3)
3
Funciones
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:
• Operar con conjuntos.
• Comprender la correspondencia entre puntos de la recta y números reales.
• Aplicar el concepto de intervalo en las relaciones y funciones.
• Comprender el concepto de función.
• Utilizar las funciones de primer grado, de segundo grado en situaciones problemáticas.
Contenidos
47
1. Conjuntos y subconjuntos.
2. Operaciones con conjuntos.
3. Par ordenado. Producto cartesiano.
4. Correspondencia entre producto de la recta y números reales.
5. Pares ordenados de números reales.
6. Conjuntos de puntos. Intervalos.
7. Relación y sus representaciones.
8. Funciones. Definición.
9. Funciones de primer y segundo grado.
Esquema Conceptual
REALIDAD FÍSICA
LENGUAJE MATEMÁTICO
FUNCIONES
Introducción
En esta unidad se considera el concepto de conjunto y sus operaciones. El producto cartesiano
con la noción de par ordenado. La correspondencia entre puntos de la recta y números reales.
Los intervalos, como conjuntos de puntos. Las relaciones y sus distintas representaciones.
El concepto de función como caso particular de una relación y las funciones de primer grado y
de segundo grado.
Orientación del aprendizaje
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le siguen.
Realice la ejercitación correspondiente.
Bibliografía de la unidad:
• Englebert, S., Pedemonti S., Semin, S., “Matemática 3”. AZ editora.
• De Simone, I., Turner, M., “Matemática 4”. AZ editora.
• Tapia, N., Bibiloni, A., Tapia , C., “Matemática 3” y “Matemática 4”. Editorial Estrada.
3.1. Funciones
3.1.1. Conjuntos y subconjuntos.
En lo que le sigue y en medida de lo posible, usaremos letras mayúsculas para detonar los
conjuntos. Los conjuntos están formados por objetos que se acostumbra a llamar elementos o
miembros y que denotaremos con letras minúsculas. Si A es un conjunto y a es un elemento del
conjunto A, escribimos
a A
y leemos “a pertenece a A”
Si queremos destacar que el objeto a no es un elemento del conjunto A, escribimos
a A
y leemos: “ a no pertenece a A”
48
Un conjunto está bien definido cuando, dado un objeto arbitrario, puede establecerse si el mismo
pertenece o no pertenece al conjunto.
Hay dos maneras muy usadas de describir un conjunto. Una es la llamada descripción por
extensión que consiste en poner entre llaves todos los elementos del conjunto en cuestión.
Ejemplo
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
Significa que el conjunto A es el formado por los elementos a, b, c, d.
Otra forma de describir un conjunto, usado principalmente cuando el conjunto tiene muchos
elementos, es a la llamada descripción por compresión, que consiste en describir un conjunto por
alguna propiedad que caracteriza a sus elementos. En éste caso representaremos el conjunto en la
forma
𝐴 = {𝑥/𝑃(𝑥)}
y leemos “A es el conjunto de todos los “x” tales que “x” tiene la propiedad P”
Ejemplo:
49
Ya hemos introducido el conjunto ¥ de los números naturales. Dicho conjunto ¥ es parte del
conjunto ¢ de todos los números naturales y luego enteros. Además, 0, -1, -2, -3,... son también
números enteros pero no naturales. Es decir,
¥ Z
Tenemos también el conjunto ¤ de todos los números racionales. Una descripción usual de
¤ es
m
¤ = x / x = ; m ¢ ; n ¥
n
m
¤ = x / x = ; m ¢ ; n ¢ ; n 0
n
1 −3 7 −13 1
Por ejemplo, son elemento de ¤ los números , , , = , etc.
2 5 8 −26 2
Está claro entonces que
¢ ¤
m 1 1
Pues, si m¢ , entonces m = y luego m ¤ . Por otra parte, − ¤ y − ¢ .
1 2 2
Por último recordemos que ya hemos introducido el conjunto ¡ de todos los números reales y
ya hemos destacado que
¤ ¡
al mencionar la presencia de números reales irracionales.
AUB
la zona rayada representa A B.
Análogamente, en la figura
A B
A B
U
la zona rayada representa A B .
En la figura que sigue
50
A B
A-B
la zona rayada representa A − B
Resulta claro entonces que A B = B A y A B = B A , cualesquiera sean los conjuntos A y
B.
De la última figura resulta también claro que si elegimos convenientemente los conjuntos A y B
entonces podemos lograr que
A− B B − A
Es decir, las operaciones de unión e intersección de conjuntos son conmutativos pero no así la
diferencia.
Las operaciones de unión e intersección de conjuntos son además asociativas, esto es, si A, B y
C son tres conjuntos, entonces
I. ( A B) C = A ( B C )
II ( A B) C = A ( B C )
Ambas propiedades se verifican escribiendo la definición de los distintos miembros en cuestión.
Además de verificar las propiedades I. y II. con las definiciones, es útil visualizarlas en un
diagrama de Venn:
La zona rayada representa, ( A B ) C = A ( B C ) .
A B
C
(A B) C =A (B C)
U U U U
A B
C
(A U B) U C = a U (B U C)
Algunas propiedades fáciles de verificar son:
III. si A B entonces A B = B y A B = A .
luego A = y A = A .
IV A A B y A B A .
V A ( B C ) = ( A B) ( A C ) .
VI A ( B C ) = ( A B) ( A C ) .
Las propiedades (V) y (VI) son las llamadas propiedades de distributivitas de la unión respecto
de la intercepción y de la intersección respecto de la unión.
Como en el caso de las propiedades anteriores un diagrama de Venn.
Por ejemplo, en la figura
51
A B
C
A (B U C) = (A B) U (A C)
U U U
la zona rayada representa el conjunto
A ( B C ) = ( A B) ( A C ) .
52
Diremos que el sentido positivo de la recta es el que va de “0” a “1” (en nuestro caso
“hacia la derecha”) y que el segmento de extremos “0” y “1” tiene longitud uno.
Señalaremos con el número “2” al punto de la recta situado a la derecha de “1” y tal que el
segmento de extremos “1” y “2” tenga longitud uno; señalamos con el número “3” al punto
de la recta situado a la derecha de “2” y tal que el segmento de extremos “2” y “3” tenga
longitud uno; etc. En forma similar señalaremos a la izquierda de “0”, sucesivamente, los
punto “-1”, “-2”, “-3”... tal que los respectivos segmentos tengan longitud unitaria.
En esta forma podemos pensar que todos los números enteros están ubicados sobre la recta.
-2 -1 0 1 2 3
2°) La geometría elemental enseña a dividir un segmento en “n” partes iguales (donde “n” es
un número natural). Esto permite ubicar sobre la recta a todos los números racionales.
m
Dado el número racional (que podemos suponer escrito con n 0 ) dividimos el
n
segmento de extremos “0” y “m” en “n” partes iguales; la marca más próxima de cero es el
m
punto que representa al número .
n
4 2
Las figuras siguientes ilustran la forma de ubicar los puntos y − respectivamente.
3 5
-1 0 1 2 3 4
4/3 8/3
-3 -2 -1 0 1
-4/5 -3/5 -2/5 -1/5
Si A es un punto de la recta asociada al número racional m/n, este número expresa la
longitud del segmento OA respecto del segmento unidad; diremos que el segmento OA es
“conmensurable” con el segmento unidad elegido.
3°) Es un hecho conocido desde la antigüedad que no todo segmento es conmensurable con
uno elegida como unidad. El ejemplo clásico es el de la diagonal del cuadrado construido
sobre el segmento unidad.
a 1
1
Si la longitud de la diagonal se expresa por el número “a” debe tenerse.
a 2 = 12 + 12 = 2
Ningún número racional tiene por cuadrado al número 2
53
La construcción ubicada en la figura siguiente muestra como ubicar en la recta “r” el punto A de
modo tal que el segmento OA tenga la misma longitud que la diagonal del cuadrado cuyo lado el
segmento unidad.
0 1 a p
El segmento OA no es conmensurable con el segmento unidad y, por lo tanto, el punto A no está
asociado a ningún número racional.
La existencia de segmentos inconmensurables con un segmento unidad elegido se traduce en el
hecho de que los números racionales no llenan la recta.
Señalaremos sobre la recta el punto P arbitrario; puede ocurrir que el segmento de extremos “O”
y “P” sea conmensurable con el segmento unidad o no.
En el primer caso, el punto P esta en correspondencia con un número racional.
En el segundo caso se puede mostrar (aunque no lo haremos) que está asociado a un decimal
ilimitado no periódico, es decir a un número irracional. Recíprocamente, a todo decimal
ilimitado no periódico se le asocia un punto de la recta.
Resumiendo: a toda número real le corresponde un punto en la recta; a todo punto en la recta le
corresponde un número real.
El número real asociado a un punto de la recta se llama la “coordenada” (ó la abscisa) del punto.
54
l2
3 (3 , 3)
p
2
-1 0 1 2 3 4 l1
-1
Es conveniente destacar que los puntos de los ejes, en cuanto puntos del plano, quedan
identificados con pares ordenados de números; los puntos del primer eje tienen segunda
coordenada nula; los puntos del segundo eje tienen primera coordenada nula.
Habitualmente los ejes se toman perpendiculares y se adopta la misma unidad de longitud en
ambos, pero estas condiciones no son necesarias para la identificación en R2 con el plano.
Cuando se imponen las condiciones antedichas el sistema de coordenadas se llama “cartesiano”.
55
d) Finalmente, se puede generalizar considerando la semirecta y la recta como intervalos
usando los símbolos − e . Debe tenerse mucho cuidado en estos casos, ya que estos
símbolos se usan solamente por conveniencia de notación y nunca como números reales.
a, = x / x ¡ x a
a
a, = x / x ¡ x a
a
−, b = x / x ¡ x b
b
−, b = x / x ¡ x b
b
−, = x / x ¡
Ejemplo de relaciones.
56
A 1 x B
2 y
3 z
Es decir, las flechas empiezan en las primeras componentes de la relación y terminan en las
segundas componentes respectivas.
Otra representación de la misma relación, es la representación matricial, que ejemplificamos a
continuación (siempre en el caso del ejemplo 3 anterior).
x y z
1 si no no
2 no no no
3 si si no
Cuando se trata de relaciones de los números reales en los números reales, es útil la
representación cartesiana de la relación.
Por ejemplo, si A=B=R y R está definida por:
aRb si y solo si a 0 y b 0
su representación cartesiana sería
y
X
R
Es de notar que en una relación, un punto del dominio puede tener varias imágenes así como un
punto del conjunto imagen puede ser imagen de más de un punto del dominio. Este es el caso,
por ejemplo, de la relación arriba graficada.
A toda relación R de A en B, le está asociada una relación de B en A, llamada relación inversa
−1
y denotada R y definida por:
aR −1b si y solo si bRa
−1 −1
Está claro entonces que el dominio de R es la imagen de R y la imagen de R es el dominio de
R. En la notación antes introducida escribimos esto en la forma:
DR−1 = I R , I R−1 = DR
Es de destacar el hecho (evidente por las definiciones) de que
(R )
−1 −1
=R
o sea, la relación inversa de la relación inversa de una relación, es la misma relación.
57
También destaquemos el hecho de que, en el caso de relaciones de R en R, el gráfico cartesiano
de la relación inversa se obtiene del de la relación original, “reflejando” éste respecto de la
diagonal de R x R.
Por definición, la “diagonal” o “ bisectriz del primer y tercer cuadrante” es el conjunto
( x, y ) / x R, y R, x = y
y
a
l
na
go
dia
a x
Para “reflejar” un punto P en la diagonal, se produce como indica la figura. La palabra reflejar se
utiliza porque en el proceso puede imaginarse a la diagonal como un espejo, siendo P´ la imagen
de P en ese espejo.
y P1
P´2
P´1
P2 x
Un punto y su imagen quedan a igual distancia de la diagonal, sobre la misma perpendicular.
3.6. Funciones
Sean a A y B conjuntos arbitrarios. Una regla que asigna a cada elemento de a un único y bien
determinado elemento de B define una función de A en B; también decimos una aplicación de
A en B o una transformación de A en B. El conjunto A se llama el dominio o conjunto de
partida y el conjunto B, conjunto de llegada.
Para indicar que “f” es una función de A en B usaremos indistintamente las notaciones:
f : A → B ; A ⎯⎯
f
→B
El siguiente diagrama representa una función:
f
A B
58
1 1
2 2
3 3
4 4
A B A B
El elemento de “1” del conjunto A no está El elemento “3” del conjunto A está
asignado a ningún elemento de B. asignado a dos elementos de B.
Al elemento del conjunto de llegada que la función “f” asigna al elemento “a” del conjunto de
partida se lo llama la imagen de “a” por “f” y se lo simboliza por “f(a)”. También se utiliza la
notación a → b para indicar b = f(a).
Ejemplos
Im (f)
f
A B
La imagen de “f” es el subconjunto de B formado por los puntos a los cuales llega al menos una
flecha.
Ejemplos
f : ¡ → ¡ ;f ( x) = x 2
1)
Im(f ) = ¡ 0
59
8
-3 -2 -1 0 0 1 2 3
x
-2
g:¡ 0 → ¡ ; x a L( x)
2)
Im( g ) = ¡
3
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
-1
-2
-3
-4
-5
h : ¡ → ¡ ; h( x) = c
3)
Im(h) = c
6
-3 -2 -1 0 0 1 2 3
x
-2
En nuestro curso estamos interesados en él estudio de un tipo particular de funciones: aquellas
cuyo dominio es una parte A de ¡ y cuyo conjunto de llegada es ¡ (o un conjunto de ¡ ). En
lo que sigue, y salvo expresa mención en contrario, cuando hablemos de funciones entenderemos
que son de este tipo. Frecuentemente utilizaremos la notación:
y = f ( x)
60
como una forma abreviada de indicar la función:
f ; A ¡ → ¡ ; x a f ( x) = y
2. La asignación x a 2 x define una función de ¡ en ¡ que indicamos:
f : ¡ → ¡ ; x a 2x
En este ejemplo, la imagen del número 3 es el número 6.
Escribimos: f(3) = 6.
3. La asignación x a x no define una función de ¡ en ¡ .
La misma asignación sí define una función de ¡ 0 (conjunto de números reales
no negativos) en R.
4. La asignación:
x2 + 1 si x 1
f ( x) = x -5 si 1 x 5
8 si 5 x
define (por tramos) una función de ¡ en ¡ .
Para definir una función deben darse:
a. el dominio.
b. el conjunto de llegada.
c. la regla o asignación que hace corresponder a cada elemento del dominio un
elemento del conjunto de llegada.
En consecuencia, dos funciones “f” y “g” son iguales si y sólo si tiene el mismo dominio,
el mismo conjunto de llegada y además: f(x) = g(x) para todo “x” en el dominio.
Las funciones
2 x3 + 2 x
f :¡ →¡ ; xa
x2 + 1
g:¡ →¡ ; x a 2x
son iguales.
Las funciones
F: ¡ → ¡ ; x a x 2
G : ¡ → ¡ 0 ; x a x2
no son iguales.
61
Se llama grafo de una función “f” al conjunto de pares (a; f(a) ).Estableciendo de antemano los
conjuntos de partida y de llegada, toda la información referente a la función está contenida en el
grafo, que especifica cuáles son los elementos que están en correspondencia. Por ejemplo, sea la
función:
f : 0,1, 2,3 → ¡ ; x a 2 x − 1
El grafo de “f” es
G = ( 0, −1)(1,1)( 2,3)( 3,5 )
Todo par ordenado de números reales puede ser representado por un punto del plano, con
referencia a un sistema de coordenadas. Por lo tanto, el grafo de una función admite una
representación gráfica, que llamamos la gráfica de la función.
Si “f” es la función dada en el ejemplo anterior su gráfica es:
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
-1
(0 , C)
0 x
62
Un ejemplo de función de primer grado es la función y = x. Su representación gráfica es una
recta: la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
0 1 x
Estudiemos ahora un caso un poco más general: las funciones de la forma y = ax.
La representación gráfica de esta función es la recta “r” determinada por el origen 0 = (0, 0) y
por el punto A = (1, a) como en la figura que sigue.
Para demostrar esto tendremos que probar:
I) Todo punto de la recta pertenece al gráfico de la función.
II) Todo punto que pertenece al gráfico de la función está en la recta.
r
B
A
a
0 C D x
1
x
I) Sea B = ( x, y) (0, 0) un punto cualquiera de la recta. De la figura resulta que: los
triángulos 0AC y 0BD son semejantes, por tener sus ángulos iguales. Por consiguiente los
lados homólogos son proporcionales;
BD AC y a
= luego = y=ax
0 D 0C x 1
II) Sea P = ( x1 , ax1 ) un punto del gráfico de y = ax y A el punto (1, a).
A
a
0 C M x
1
x1
De la figura resulta:
AC a PM ax1 a
= ; = =
0C 1 0M x1 1
Los triángulos 0CA y 0MP son semejantes, por consiguiente los ángulos homólogos son iguales.
Como los ángulos iguales A0C Y P0M tienen un lado común, también el otro lado debe
ser común. Por consiguiente, el punto P está en la recta determinada por 0 y A.
Estudiemos ahora el caso general:
y = ax + b
Observemos que para cada “x” el valor de “y” se obtiene sumándole “b” al valor de “y” definido
por la función y = ax.
63
Por consiguiente, para obtener la representación gráfica de y = ax + b, basta con “trasladar” el
gráfico de y = ax, “b” unidades en la dirección del eje “y”. Podemos afirmar entonces que la
representación gráfica de dicha función es la recta r´ determinada por los puntos (0, b) y (1; a+b).
r´
(1 , a+b)
b
r
(0 , b)
a
0 1 x
Hemos probado entonces que
a
1 r´
0 x
a´
1
Mirando la figura de arriba podemos convencernos que las rectas
y = ax + b
y = a´x + b´
son paralelas si y sólo si
64
a = a´
x
-3 -2 -1 0 0 1 2 3
Para poder hacer la representación gráfica utilizamos el hecho de que la función es “continua” y
“suave”. (En cursos superiores de matemáticas se verá que esta función es realmente continua y
suave, previa definición de estos términos) Entonces unimos los puntos marcados con una curva
de estas características y obtenemos la representación gráfica de la función:
y = x2
65
8
x
-3 -2 -1 0 0 1 2 3
La curva obtenida es lo que se llama una parábola a eje vertical, cuyo vértice es el origen. Si
queremos ahora hacer la representación gráfica de la función y = x 2 + 1 bastará con “trasladar” el
gráfico de y = x 2 una unidad hacia arriba en la dirección del eje “y”.
Similarmente la representación gráfica de y = x 2 − 2 se obtiene “trasladando” la de y = x 2
“2 unidades hacia abajo” en la dirección del eje “y”.
66
f ( x) = x 2
g ( x) = 2 x 2
1
h( x ) = x 2
4
j ( x) = − x 2
k ( x ) = −2 x 2
1
l ( x) = − x 2
4
Cada punto del gráfico de “g” se obtiene del de “f” como sigue: si (a, b) pertenece al gráfico de f
(b = a 2 ) el punto (a, 2b) pertenece al gráfico de “g”. Por consiguiente basta con multiplicar por 2
las ordenadas de los puntos de “f”.
Similarmente, multiplicando por 1/4 cada distancia al eje “x” se obtiene los puntos del gráfico de
1
h( x) = x 2 .
4
Tenemos pues una buena idea de cómo va ser la representación gráfica de las funciones de la
forma y = ax 2 .
Siempre resulta una parábola cuyo eje
coincide con el eje “y”, cuyo vértice
es el origen. Si “a” es un número positivo
las ramas “apuntan” hacia arriba ya
valores mayores de “a”
corresponden a parábolas más
“estrechas”.
Para valores de “a” negativos la parábola
se invierte, es decir, las ramas
“apuntan” hacia abajo.
La figura siguiente muestra los gráficos
de las funciones definidas por:
f ( x) = x 2 g( x) = ( x − 1) 2 h( x) = ( x + 2) 2
25 y
20
15 x2
10 (x-1)2
(x+2)2
5
x
-6 -4 -2 0 1 2 4 6
67
El gráfico de “g” se obtiene del de “f” de la siguiente manera:
( )
si (a, b) es un punto perteneciente al gráfico de “f” b = a 2 el punto (a + 1, b)
pertenece al gráfico de “g”.
Para verificar esto debemos mostrar que el cuadrado de la primera coordenada menos uno es la
segunda. En símbolos
( (a + 1) − 1) = a 2 = b
2
20 2(x-3)2+4
10 2x2
4
x
-4 -2 0 2 4 6 8 10
3
y = a ( x − s) + t
2
[1]
se obtiene trasladando la parábola y = ax 2 , “s” unidades horizontalmente (hacia la derecha si “s”
es positivo y hacia la izquierda si “s” es negativo), y “t” unidades verticalmente (hacia arriba si
“t” es negativo y hacia abajo si “t” es negativo). Es decir, se obtiene una parábola cuyo eje es la
recta x = s y cuyo vértice es el punto (s, t).
Veamos que toda función cuadrática puede ser escrita en esta forma, utilizando para ello el
método de “completar cuadrados”.
Recordamos que
( x − s ) = x 2 − 2 xs + s 2
2
68
y = x2 − 4x + 5
= ( x2 − 4 x + 4) + 5 − 4
= ( x − 2) + 1
2
de donde
y = −3( x + 1)2 + 2
Veamos ahora que toda función cuadrática f ( x) = ax 2 + bx + c , puede expresarse en esa forma.
f ( x) b c
= x2 + x +
a a a
b b2 c b2
= x2 + x + 2 + − 2
a 4a a 4a
b 4ac − b 2
2
=x+ +
2a 4a 2
luego
b 4ac − b 2
2
f (x) = a x + +
2a 4a
Consejo: No intentar memorizar esta expresión y en cada caso completar cuadrados, tal como lo
hicimos en los ejemplos anteriores.
En resumen, hemos mostrado que la representación gráfica de toda función
y = ax 2 + bx + c
es una parábola a eje vertical.
Ejemplo 1
69
El valor de ”f” se calcula sumándole a un cuadrado el número 1. El menor valor de “f” ocurrirá
para x − 2 = 0 esto es, para x = 2 .
Como f (2) = 1 el punto (2, 1) es el punto “más bajo” de la curva (vértice). Obtenemos la
parábola pedida trasladando la parábola y = x 2 , 2 unidades horizontalmente hacia la derecha y 1
unidad verticalmente hacia arriba. Luego x = 2 es el eje de la parábola.
25 y
20
15
10
x2 (x2 -4x+5)
5
x
-4 -2 0 2 4 6 8
Ejemplo 2
-4 -2 2 2 4
x
1
(3x 2-6x-1) -5
-10 -3x 2
-15
-20
-25
3.4. Ejercicios
1. Escribir las afirmaciones siguientes en notación conjuntista:
70
a) “x” no pertenece a A.
b) R incluye a S.
c) “d” es un elemento de E.
d) B no incluye a A.
2. Si A = x / 2 x = 10 y b = 5 , ¿es b = A ?
3. Sea N = r, s, t . Dígase cuáles de las afirmaciones son correctas y cuáles incorrectas. En
tal caso, decir por qué.
a) rN
b) rN
c) r N
d) r N
4. Describir los siguientes conjuntos por comprensión:
a) A es el conjunto de las letras a, b, c y d.
b) B= 1, 3, 5, 7,... .
c) C = 5 .
5. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales: a, b, c , b, a, c , c, b, a , a, c, b ?
6. Entre los conjuntos que siguen, ¿cuáles son diferentes? , 0 , .
7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos?
a) A = x / x es una letra anterior a "a" en el alfabeto
b) B = x R / x 2 = 4 y 2 x = 6
c) C = x R / x x
d) D = x R / x + 4 = 4
8. Dado A = a, b, c , ¿cuántos subconjuntos hay en A y cuáles son?
9. Sean A= d , B= c, d , C= a, b, c , D= a, b y E= a, b, d . Establecer la verdad o
falsedad de las siguientes afirmaciones
a) BC
b) BE
c) B A
d) EB
e) A D
f) EC
g) AC
h) DE
i) C=B
j) BD
10. En los diagramas de Venn que siguen rayar A B
(a) A B
71
(b) A B
(c) B
A
(d) B A
72
12. En los diagramas de Venn que siguen, rayar A I B .
(a) A B
(b) A B
(c) B
A
(d) B A
73
(a) A B
(b) A B
(c) B
A
(d) B A
C
20. Utilizando los diagramas de Venn demuéstrese que:
74
a)A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C )
b) ( A U B )´= A´I B´
c)A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C )
d) ( A I B )´= A´UB´
e)A U B = A si y solo si B A
f)A I B = B si y solo si B A
g)B A si y solo si A´ B´
21. Expresar la región sombreada en cada uno de los siguientes diagramas:
B
A
A
B
C BB A B
a b c
22. Determinar “a” y “b” para que los pares ordenados (a+3, b-2), (7, 4) sean iguales.
23. Sean los conjuntos A= 1, 3, 5 y B= 2, 4, 3 , dar:
a)A x B b)B x A c)A x A
24. Representar en la recta real los siguientes números: -4; 7/3; 8/3; 2,25.
25. Graficar en la recta real los siguientes subconjuntos:
75
0
32. Sean A= 1, 2, 3, 4, 5 y B= 2, 3, 8, 9, 10 . dar el subconjunto de AxB definido por:
( x, y ) / x divide a , y ,
, ,
(0 , 2)
(a)
1
0 1
(b) (1 , 1)
1
0 1
(0 , 2)
(c)
1
(4 ,0)
0 1 2 3
(d)
1
(0 , 3)
0 1 2
34. En un ecosistema marino, el fitoplancton o bien es comido por el zooplancton, o por los
omnívoros, o perece. El zooplancton es comido por los omnívoros, o por los carnívoros, o
perece. Finalmente, los omnívoros y los carnívoros se devoran entre sí o perecen. Teniendo
en cuenta esta situación, definir una relación en el conjunto producto SxS donde
S= fitoplancton, zooplancton, omnívoros, carnívoros, extinción y encontrar un gráfico
apropiado.
76
35. Representar gráficamente los subconjuntos de R 2 ( RxR ) definidos por cada una de las
siguientes relaciones:
a) ( x, y ) / x = 2 b) ( x, y ) / y = 0
c) ( x, y ) / x 2 + y 2 = 1 d) ( x, y ) / 0 x 2 y y 0
36. Dar la relación inversa de cada una de las relaciones definidas en el ejercicio anterior y
representarlas gráficamente.
-1 0 1
(a)
-1 0 1
(b)
77
2
-1 0 1
(a)
-1 0 1
(d)
-1 0 1
(e)
-1 0 1
(f)
40. Indicar cuál de los siguientes puntos pertenecen al gráfico de la función y = 4
a) (0, 4) b) (0, 0) c) (, 4) d) ( − 1, 2) e) (8, 4) f) (4, − 4)
41. Representar gráficamente las siguientes funciones:
a)y = 0 b)y = 3 c)y = −3 d)y = x e)y = − x
f)y = x + 2 g)y = −2 x + 4 h)y = 3x + 2 i)y = ( 2 / 3) x j)y = ( 2 / 3) x + 4
k)y = ( −2 / 3) x − 3
42. Determinar cuáles de los siguientes puntos pertenecen al gráfico de la función y = −2 x + 5 :
a) (1, 3) b) (0, 5) c) (-1, 8) d) (2, 2) e) (3, -1)
43. Sea la recta definida por la función: y = −5x + 6 . Determinar:
a) el punto de la misma de abscisa 3.
b) el punto de la misma de ordenada –2.
c) el punto intersección de la recta con el eje x.
d) el punto intersección de la recta con el eje y.
44. Determinar la función y = ax + b que tiene por representación gráfica la recta indicada en
cada figura.
78
(a)
6
5
4
(5 , 3)
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6
(b)
6
(2 , 6)
5
4
3 (0 , 3)
2
1
0 1 2 3 4 5 6
(c)
6
5
4
3 (3 , 0)
2
1 (5 , 0)
0 1 2 3 4 5 6
45. Calcule la pendiente de la recta que pasa a través de los puntos dados:
a) (2; 7) y (4; 9) R: 1
b) (5; -1) y (2; -2) R: 1/3
46. Halle la ecuación de la recta que pasa a través del par de puntos:
a) (4; 3) y (2; 5) R:x+ y =7
b) (4; 7) y (-2; 3) R : 2 x − 3 y = −13
47. Determine la ecuación de la recta que:
a) Pasa a través de (3; 2), con pendiente 3 R: 3x-y=7
b) Pasa a través de (-2; -3), con pendiente –2/5. R: 2x+5y+19=0
c) Con pendiente 4,y ordenada en el origen 2. R: y=4x+2
d) Con pendiente –5, y ordenada en el origen –7. R: y=-5x-7
48. Calcule la pendiente y la ordenada en el origen de la recta determinada por la ecuación:
a) 2x-y=4 R: 2, -4
b) x-2y=7 R: ½, -7/2.
49. Demuestre, utilizando pendientes, que los tres puntos dados están situados sobre la misma
recta:
a) (-2; -10), (1; -1), (2; -2).
R: La pendiente del segmento que une cada par de puntos es 3
b) (-1; 8), (0; 3), (2; -7)
R: La pendiente del segmento entre cada par de puntos es –5.
50. Halle la ecuación de la recta que pasa a través de (1; 4) y es paralela a la recta
-4x+6y=2 R: 2x-3y+10=0.
51. Halle la ecuación de la recta que tiene la misma ordenada en el origen que la de
79
2x+5y=-25 y cuya pendiente es el doble de la de 9x-3y=4. R: y=6x-5.
52. Encontrar la función de primer grado cuya representación gráfica es paralela a la
correspondiente a la función y = 2 x + 3 , y que contiene al punto (-3, 4). Graficar este problema.
53. Una varilla de cobre que forma parte de un instrumento está expuesta a diferentes
temperaturas. Su longitud l es casi una función lineal de la temperatura t siempre que t<150°
(Celsius). Encontrar la ecuación para l utilizando las siguientes medidas.
t1 =15°, l1 =76,45 cm
y
t 2 =100°, l2 =76,56 cm
54. La temperatura en la escala Celsius, denotada por x, y la misma temperatura en la escala
Fahrenheit, denotada por la relación lineal 5y-9x=160. Expresar y como función de x y dibujar la
función. Prepare una tabla de conversión para x=36,0°; 36,1°; 36,2°;...; 37,0°.
55. Sea Q la cantidad de calor que se requiere para cambiar 1 gramo de agua a 0° centígrado, en
agua a t° centígrado. Supongamos que Q es una función lineal de t, temperatura del agua, y
también que 0 t 100 . Si Q=70 a t=15° y Q=140 cuando t=85°, ¿Cuál es la cantidad de calor
que se requiere para llevar el agua de 0° a 5°C.
56. Representar las funciones:
a)y = x 2 b) y = − x 2 c)y = x 2 + 2 d)y = − x 2 + 2
e)y = 2 x 2 + 3 f)y = ( x − 1)2 g)y = 2( x + 1).( x − 3) h)y = − x 2 + 4
i)y = x 2 − 4 j)y = x 2 − 2 x + 1 k)y = x 2 − 5x + 6 l)y = − x 2 − 3x − 2
57. Determinar en cada caso la función y = ax 2 + bx + c cuya representación gráfica es:
10
6 (6 , 6)
(0 , 0) (4 , 0)
x
-2 0 2 4 6
- 2
80
2
-2 2 4 6
x
0 (2 , 0) (6 , 0)
-2
-4
-6 (0 , -6)
6 (6 , 6)
(4 , 0)
x
-2 0 2 4 6
4 (0 , 4) (6 , 4)
3
con a = 1/2
2
1
(2 , 0) (4 , 0)
x
-2 0 2 4 6
-1
58. Supóngase que un campo rectangular está al lado de un río, hay que vallarlo por sus otros lados
y se dispone de una longitud de valla de 50 m.
a) Encontrar una función cuadrática que exprese el área del terreno A correspondiente
al ancho x.
b) Dibujar la gráfica de la función de la parte a).
81
c) ¿En qué punto alcanza f el máximo? ¿Cuál es la mayor superficie que puede ser
vallada?
59. Dibuje la gráfica de la parábola:
a) y = 2 x 2
b) y = −3x 2
c) y = x 2 / 2
d) y = − x 2 / 3
e) y = ( x + 3) 2
f) y = −( x + 1) 2
g) y − 2 = −( x + 1) 2
h) y − 1 = ( x + 3) 2
i) y − 2 = 2( x − 3) 2
j) y − 4 = −3( x + 1) 2
60. Escriba la ecuación en forma canónica:
a) y = 4 x 2 − 8 x + 6 R : y − 2 = 4( x − 1) 2
b) y = −3 x 2 + 18 x − 28 R : y + 1 = −3( x − 3) 2
61. Halle el eje de simetría y el vértice:
a) y = 4 x 2 − 16 x + 17 R : x = 2, (2; 1)
b) y = −3x 2 + 6 x − 4 R : x = 1, (1; -1)
62. Dibuje la gráfica de:
a) y = 2 x 2 − 4 x + 6
b) y = 3x 2 + 18 x + 30
82
4
Ecuaciones
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:
• Resolver ecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas.
• Resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
• Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer y segundo grado.
• Trasladar al lenguaje algebraico relaciones de igualdad expresadas en el lenguaje
ordinario.
• Adquirir una metodología adecuada para resolver problemas.
Contenidos:
1. Ecuación de primer grado con una incógnita.
2. Ecuación de primer grado con dos incógnitas.
3. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
4. Ecuación de segundo grado con una incógnita.
5. Reconstrucción de la ecuación de segundo grado con una incógnita, conocidas sus raíces.
6. Sistemas mixtos.
Esquema Conceptual
Primer
Grado
Sistemas
de Soluciones
Ecuaciones
Ecuaciones
Segundo
Grado
Introducción.
83
En esta unidad se consideran distintos tipos de ecuación y la operatoria correspondiente para
obtener la solución de cada una de ellas. Agrupamos estas ecuaciones para obtener sistemas de
ecuaciones y detallaremos la metodología conveniente para resolverlos. También plantearemos
problemas de distinta naturaleza que se expresarán matemáticamente por una o más ecuaciones.
Recuerde: Aprender a calcular con exactitud y operar símbolos con facilidad es un gran objetivo.
Pero poder resolver problemas fáciles y difíciles, prácticos y abstractos, es una proeza suprema.
Orientación del aprendizaje
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le siguen.
Realice la ejercitación correspondiente.
Bibliografía de la unidad
Englebert, S., Pedemonti, S., Semino, S., “Matemática 3”. AZ editora.
De Simone, I., Turner, M., “Matemática 4”. AZ editora.
Tapia, N., Bibiloni, A., Tapia, C., “Matemática 3 y 4”. Editorial Estrada.
Ejemplo 1
Resolver la ecuación 2 x + 7 = 0 .
2x + 7 = 0
2x = −7
7
x=−
2
Está última ecuación tiene por única solución el número –7/2 que es también la única solución de
la ecuación planteada.
Ejemplo 2
La ecuación (6x+1) (x+3)=(3x+2) (2x-1) no es aparentemente una ecuación de primer grado. Sin
embargo, efectuando las operaciones indicadas resulta:
6 x 2 + 18 + x + 3 = 6 x 2 − 3x + 4 x − 2
18x = −5
5
x=−
18
84
Ejemplo 3
Resolver
x 2 − 3x + 2 = ( x − 2) (x − 1)
Efectuando
x 2 − 3x + 2 = x 2 − 2 x − x + 2
que evidentemente se verifica para todo valor de “x”.
Por consiguiente, el conjunto de soluciones de esta ecuación es el conjunto de todos los números
reales.
Ejemplo 4
Resolver
1
2 x − 1 = x + 7
2
x−2 = x+7
Es evidente que ningún número real verifica esta ecuación. Por consiguiente la ecuación
planteada carece de soluciones. Una ecuación que carece de soluciones se dice incompatible.
Ejemplo 5
Resolver:
(x + 2) (3x − 1) = (3x + 6) (x + 1)
3x 2 − x + 6 x − 2 = 3x 2 + 3x + 6 x + 6
- 4x = 8
x = −2
Observación: Como 3x + 6 = 3( x + 2) la ecuación anterior puede escribirse:
( x + 2) (3x − 1) = 3( x + 2) (x + 1)
En este punto nos sentimos tentados de simplificar el factor (x+2). Si hiciéramos tal cosa
obtendríamos la ecuación:
3x − 1 = 3( x + 1)
que evidentemente es incompatible. Explique a qué se debe esta aparente contradicción ;-)
En los ejemplos anteriores se han considerado ecuaciones que son de la forma ax+b=0, a 0 .
En algunos casos resultó que, mediante operaciones que no alteran el conjunto de soluciones,
pueden llevarse a una ecuación del tipo mencionado; es costumbre en estos casos, decir
(abusando del lenguaje) que la ecuación original es de primer grado. Los ejemplos 3 y 4 ilustran
el caso en que la ecuación original no puede llevarse a la forma deseada.
b
La ecuación ax+b=0, a 0 siempre se puede resolver y admite la solución única x = .
a
Ejemplo 1
85
El par (3, 5) no es una solución pues 2.3-5 = 1 7.
Es inmediato que si una ecuación de primer grado con 2 incógnitas tiene solución, entonces tiene
infinitas soluciones. Queremos caracterizar los pares (x, y) que satisfacen la ecuación planteada.
2x − y = 7
- y = 7 − 2x
y = −7 + 2 x
Es decir que el conjunto de soluciones es ( x, y ) / y = 2 x − 7 .
Graficado el conjunto de soluciones obtenemos una recta: la representación gráfica de la función:
y = 2x-7.
Ejemplo 2
Resolver la ecuación:
2 x + 3 y = x + y + 2( y + 5)
Efectuando las operaciones indicadas:
2 x + 3 y = x + y + 2 y + 10
2 x + 3 y = x + 3 y + 10
x + 0 y = 10
( )
Los pares (10,0 )(10,1) 10, − 3 (10, −2 ) y en general los pares de la forma (10,a) son solución
de la ecuación. Graficando el conjunto de soluciones obtenemos nuevamente una recta: paralela
al eje “y” por el punto (10,0).
Ejemplo 3
Ejemplo 4
86
de dos ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. Un par (x,y) es solución de este sistema si
verifica simultáneamente las 2 ecuaciones.
Por ejemplo, consideremos el sistema:
2 x − 3 y = 5
x + 4 y = −3
(1,-1) es solución del sistema pues
2(1) − 3(−1) = 5
1 + 4(−1) = −3
(4,1) no es solución del sistema
2(4) − 3(1) = 5
4 + 4(1) = 8 −3
Antes de estudiar un procedimiento general para resolver tales sistemas daremos ejemplos de
sistemas cuyas soluciones son “evidentes”.
Ejemplo 1
x + 0 y = 2
0 x + y = −5
admite únicamente la solución (2,-5).
Ejemplo 2
x + 2 y = 5
0 x + y = −5
La segunda ecuación carece de soluciones, por lo tanto el sistema también carece de soluciones.
Decimos que es “incompatible”.
Ejemplo 3
5 x + 4 y = 7
0 x + 0 y = 0
La 2° ecuación se verifica trivialmente cualquiera sea el par (x,y).Por consiguiente toda solución
de la 1° ecuación es solución del sistema.
Ejemplo 4
3 x + 0 y = 1
0 x − 4 y = 2
tiene las mismas soluciones que el sistema
x = 1/ 3
y = −1/ 2
cuya única solución es (1/3; -1/2).
El procedimiento para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consistirá
esencialmente en pasar del sistema dado a otro, que tenga las misma soluciones que el 1° pero en
el cual las soluciones (o la falta de ellas) se pongan en evidencia.
Sistemas que tienen el mismo conjunto de soluciones se denominan “sistemas equivalentes”.
87
Ejemplo 5
Resolver el sistema:
2 x + 5 y = 9
I
3 x − 5 y = 1
Todo par (x,y) que sea solución del sistema I es también solución de la ecuación.
( 2 x + 5 y ) + ( 3x − 5 y ) = 9 + 1
(que se obtiene “sumando” las dos ecuaciones de I) o sea la ecuación.
5 x + 0 y = 10
Por lo tanto, toda solución del sistema I es también solución del sistema.
2 x + 5 y = 9
5 x + 0 y = 10
también del sistema
2 x + 5 y = 9
II
x + 0 y = 2
Observe que toda solución de II es también solución de la ecuación.
5(x+0y)-(2x+5y)=5(2)-9
que es la 2° ecuación de I. Por lo tanto toda solución del sistema II es también solución del
sistema I. Es decir, I y II son sistemas equivalentes.
Ambos sistemas tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones pero el II presenta la
ventaja de que en su 2° ecuación aparece solamente una incógnita (decimos que se ha
“eliminado” la incógnita “y”).
En forma análoga, construiremos ahora, a partir de II, un sistema en cuya primera ecuación
aparezca eliminada la incógnita “x”.
Para ello reemplazamos la 1° ecuación de II por la que se obtiene de sumarle la 2° multiplicada
por –2, o sea:
0x + 5 y = 5
o equivalentemente
0x + y = 1
Se tiene así el sistema:
0 x + y = 1
III
x + 0 y = 2
equivalente al sistema II (y por lo tanto al I), pero que pone en evidencia su única solución, que
es el par (2,1).
Observación
El sistema II muestra que sólo puede ser soluciones aquellos pares (x,y) en los cuales se tengan
x=2. Teniendo en cuenta esta condición, la primera ecuación del sistema II permite obtener de
inmediato el valor de “y”.
Ejemplo 6
Resolver el sistema:
3 x + 5 y = 6
I
2 x + 4 y = 5
Reemplazando la 2° ecuación de I por la que se obtiene sumándole la 1° multiplicada por –2/3.
Resulta el sistema:
88
3x + 5 y = 6
0 x + 2 / 3 y = 1
o, equivalentemente:
3 x + 5 y = 6
II
0 x + y = 3 / 2
Reemplazando la 1° ecuación de II por la que se obtiene sumándole la 2° multiplicada por –5 se
obtiene:
3x + 0 y = −3 / 2
II
0 x + y = 3 / 2
o, equivalentemente:
x + 0 y = −1/ 2
III
0 x + y = 3 / 2
Un razonamiento similar al efectuado en el ejemplo anterior nos convencerá que los sistemas I,
II y III son equivalentes y tienen a ( −1/ 2; 3 / 2 ) por conjunto de soluciones.
Ejemplo 7
Resolver el sistema.
9 x − 6 y = 3
I
12 x − 8 y = 3
Reemplazando la 2° ecuación de I por la que se obtiene de sumarle la 1° multiplicada por –4/3 se
obtiene el sistema.
9 x − 6 = 3
II
0 x + 0 y = −1
Toda solución del sistema I es solución del II este carece de soluciones; luego el sistema I
también carece de soluciones.
Ejemplo 8
Resolver el sistema.
2 x − 5 y = 7
I
4 x − 10 y = 14
Reemplazando la 2° ecuación por la que resulta de sumarle la 1° multiplicada por (-2) se obtiene
el sistema.
2 x − 5 y = 7
II
0 x + 0 y = 0
equivalente al sistema I.
La 2° ecuación de este último sistema se verifica trivialmente cualquiera sea el par (x, y) y por
consiguiente el conjunto de soluciones del sistema planteado es ( x, y ) / y = −7 / 5 + ( 2 / 5 ) x .
Observando que la 2° ecuación de I es la 1° multiplicada por 2 podríamos haber deducido de
inmediato que ambas ecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones.
En los ejemplos y ejercicios hemos visto que un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas puede
tener:
a) una única solución.
b) ninguna solución.
c) infinitas soluciones.
89
Nos preguntamos ¿son estos los únicos tipos de resultados que podemos obtener? Es fácil ver
que realmente es así.
En efecto, sea el sistema.
ax + by = c
a1 x + b1 y = c1
Si “a” y “b” no son nulos simultáneamente, lo mismo que “ a1 ” y “ b1 ”, hemos visto que el
conjunto de soluciones de cada ecuación puede pensarse como una recta en el plano. Por
consiguiente el problema de resolver un sistema de este tipo es equivalente al problema de
encontrar la intersección de 2 rectas en el plano.
La geometría elemental nos enseña que 2 rectas en el plano pueden:
a) cortarse en único punto; esto es, el sistema tiene solución única.
b) ser paralela; el sistema carece de soluciones.
c) ser coincidentes, en cuyo caso el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejemplo 1
Resolver la ecuación x 2 − 9 = 0 .
Escribir x 2 − 9 = 0 es equivalente a escribir x 2 = 9 .
Es inmediato que esta última ecuación se satisface si x = 3 ó x=-3; {-3; 3} es el conjunto de
soluciones de la ecuación de 2° grado planteada.
Ejemplo 2
4 x 2 + 10 = 0 .
Para todo número real “x” el número 4 x 2 + 10 es positivo, por lo tanto la ecuación planteada
carece de solución real
Ejemplo 3
Resolver 5x 2 − 2 x = 0 .
Para todo número “x” resulta 5 x 2 − 2 x = x ( 5 x − 2 ) y recordando que el producto de 2 números
es “0” si y sólo si alguno de los factores es “0” podemos decir que:
5 x 2 − 2 x = 0 si y sólo si ( x = 0 ) o´ ( 5 x − 2 = 0 ) .
Por consiguiente las soluciones de la ecuación planteada son los números 0 y 2/5.
Ejemplo 4
Resolver x 2 − 6 x + 5 = 0 .
Empleamos el método de completar cuadrados:
x 2 − 6 x + 5 = ( x 2 − 6 x + 9 ) + 5 − 9 = ( x − 3) − 4
2
90
Ejemplo 5
Pero ( x + 1) = 0 sí y solo si x + 1 = 0 .
2
Ejemplo 6
Resolver la ecuación
x2 + x + 1 = 0
Completamos cuadrados
2
1 1 1 3
x + x + 1 = x2 + x + + 1 − = x + +
2
4 4 2 4
Para todo número real “x” el número
3
( x + 1) +
2
4
es positivo. Por consiguiente la ecuación no tiene solución (real).
La técnica de completar los cuadrados nos sirve también para encontrar una “fórmula” para
resolver la ecuación de 2° grado.
Al estudiar la parábola vimos que si a 0 :
b b2 − 4ac
2
ax 2 + bx + c = a x + −
2a 4ac 2
Las soluciones de la ecuación planteada son las soluciones de la ecuación
b b2 − 4ac
2
x+ − =0
2a 4a 2
que podemos escribir:
b b 2 − 4ac
2
x+ =
2a 4a 2
2
b2 − 4ac
4a es u número positivo. Por consiguiente el signo de depende del signo del número
4a 2
( b2 − 4ac ) llamado el discriminante de la ecuación.
Distinguimos 3 casos:
1°) b2 − 4ac 0
b b2 − 4ac b b2 − 4ac
Resulta: x + = ó x+ =−
2a 2a 2a 2a
y por consiguiente
−b b2 − 4ac
x= +
2a 2a
91
−b b2 − 4ac
ó x= −
2a 2a
2°) b − 4ac = 0 .
2
2
b b
Resulta x + = 0 que satisface si y sólo si x + = 0 y de allí que la única solución de la
2a 2a
−b
ecuación sea el número .
2a
3°) b2 − 4ac 0 .
No existe ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo.
Por consiguiente la ecuación planteada carece de soluciones reales.
Ejemplo
2 x 2 − 5x + 4 = 0 tiene soluciones:
5 25 − 35 5 7 5 7
x= , i.e., x1 = + i, x2 = − i
4 4 4 4 4 4
F = ax 2 + bx + c [1]
y tal que, F() = 0, F() = 0 .
Recordemos que el polinomio ( x − )( x − ) verifica la condición
( x − )( x − ) = x 2 − x − x + = x 2 − ( + ) x +
Comparado con (1) resulta:
a =1 b = − ( + ) c =
por consiguiente la ecuación pedida será:
92
x 2 − ( + ) x + ( ) = 0
Observación
Si “k” es cualquier número real distinto de “0” la ecuación
kx 2 − k ( + ) x + k ( ) = 0
tiene las mismas raíces que la anterior y por consiguiente es una solución del problema
planteado.
Aplicación
Encontrar dos números “ ” y “ ” conocida su suma “s” y su producto “p”.
+ = s = p
De acuerdo a las consideraciones anteriores los números pedidos serán las soluciones de la
ecuación:
x 2 − sx + p = 0
Ejemplo
Encontrar dos números cuyo producto sea 2 y cuya suma sea 3. Si existen tales números serán
soluciones de la ecuación x 2 − 3x + 2 = 0 .
2
9 9 3 1
x − 3x + 2 = x 2 − 3x + + 2 − = x − = 0
2
4 4 2 4
2
3 1
x− =
2 4
de donde
3 1 3 1
x− = ó x− =−
2 2 2 2
es decir x=2 ó x=1
Los números pedidos son 1 y 2.
x 2 + 252 − 350 x + 49 x 2 − 25
50 x 2 − 350 x + 600 = 0
x 2 − 7 x + 12 = 0
93
49 49
x 2 − 7 x + 12 = x 2 − 7 x + + 12 − = ( x − 7 / 2 ) − 1/ 4 = 0
2
4 4
7 1 7 1
x− = o´ x− =−
2 2 2 2
x=4 o´ x=3
luego
y = −25 + 7 x4 = 3 ó y = −25 + 7 x3 = −4
Las soluciones son los pares (3, 4) y (3, -4).
94
tiene soluciones distintas de la solución (0,0)?
2
b X + bY + 1 = 0
a) tiene una única solución.
b) tiene infinitas soluciones.
c) carece de solución.
7. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas, en caso de ser posible:
3x + 5 y = 11
a) R:Indeterminado
6 x + 10 y = 22
3x + 5 y = 11
b) R:Incompatible
6 x + 10 y = 21
3x + 5 y = 11
c) R:(2;1)
6 x + 3 y = 15
8. Resuelva los siguientes sistemas para “x” e “y”:
3x 2 + 5 y 2 = 17
a) R:(2;1), (14/23;-41/23)
2 x − y = 3
x 2 + 2 y 2 − 3 y = 8
b) 2
2 x − 5 y + 2 y = 15
2
R:( 3;1) , ( -3;1) , ( ) (
619/9;-1/9 , - 619/9;-1/9 )
9. Resolver las siguientes ecuaciones:
a)X 2 + 3 X = 0 b)2 X 2 − 8 = 0 c)3 X 2 + 27 = 0
d)( X + 4)( X − 2) = 0 e)4 X 2 = 0 f)X 2 − 5 X + 6 = 0
X2 +2 X +4
g)X 2 − 4 X + 4 = 0 h)X 2 − 6 X + 25 = 0 i) =
X 2 −1 X + 1
1 1 8 1 1
j) + = k) + =1 l) 2 X + 1 = X + 1
X X −1 3 X +2 X −2
8. Determinar los valores de “b” para que la ecuación: X2+bX+4=0
a) tenga dos soluciones reales.
b) tenga una única solución real.
c) carezca de soluciones reales.
9. ¿Para qué valores de “a” la siguiente ecuación carece de solución real?
(a − 1) X 2 − 2(a + 2) X + (a − 4) = 0
10. Encontrar una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean los números:
a) 3;-2
b) -4;2/3
c) -3/4;5/6
11. Si la suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es 10 y su producto 15
¿Cuál es la ecuación?.
12. Determínese k de tal modo que las dos soluciones de las ecuaciones siguientes sean
iguales.
a)X 2 + kX + 2k = 0
b)X 2 + 2(k − 2) X − 8k = 0
13. Encuéntrese el valor de k para que la suma de las soluciones sea igual al producto de las
mismas en las ecuaciones siguientes.
95
a)2 X 2 + (k − 3) X + 3k − 5 = 0
b)3 X 2 + (k + 2) X + 2k + 1 = 0
14. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
XY = −2 X −Y =1 2 X 2 − XY + Y 2 = 14
a) c) 2 e)
2 X + Y = 0 X XY + Y = 7 X − 2Y = 0
2
XY = 20 X 2 + Y 2 = 4 X 2 + 4Y 2 = 13
b) d) 2 f) 2
−3 = 2 X − Y X + XY + Y = 2 2 X − Y = 17
2 2
Problemas
Para resolver problemas planteados con palabras puede considerar las siguientes sugerencias:
1) Lea con mucho cuidado el problema, de manera que sepa exactamente lo que dice y
lo que pregunta.
2) Haga un dibujo o un cuadro que resuma la información dada.
3) Identifique la cantidad desconocida y asígnele una letra. Asegúrese de que representa
un número (por ejemplo, kilómetros, litros, o tiempo).
4) Observe las condiciones o restricciones que pone el problema sobre la incógnita.
Transfórmela en una ecuación.
5) Resuelva la ecuación. El resultado es un número específico. La incógnita es ahora un
valor conocido.
6) De la conclusión en palabras.
7) Analice si su respuesta es razonable.
16. Los grados Celsius y los Fahrenheit, están relacionados por la fórmula C = 5/9(F-32).
a ¿Qué temperatura en grados Fahrenheit corresponde a 30 grados Celsius?
b ¿Qué temperatura hay (en grados Fahrenheit) si un termómetro en grados Celsius
da la misma lectura que un termómetro en grados Fahrenheit?
c ¿Qué temperatura hay (en grados Celsius) si la temperatura dada en grados
Celsius es la mitad de la temperatura dada en grados Fahrenheit?
17. A las 14:00 hs Carlos salió de la ciudad de Córdoba, hacia el sur a 45 km por hora. Una
hora más tarde Raúl salió detrás de él a 60 km por hora. ¿Cuándo alcanzará Raúl a Carlos?
18. ¿Cuántos litros de una solución de ácido nítrico al 60% deben añadirse a 10 litros de una
solución al 30% para obtener una solución al 50%?
19. Un tanque contiene 1000 litros de salmuera al 30%. Si se evapora por ebullición parte del
agua de la solución, se incrementa el porcentaje de sal, ¿Qué cantidad de agua debe
evaporarse para obtener una solución al 35%?
20. Un alambre de 130 cm de largo está doblado en forma de un rectángulo que tiene 3 cm más
de largo que de ancho. Encuéntrese el ancho del rectángulo.
21. Diofanto vivió un sexto de su vida como niño, una doceava parte de su vida como jóven y
una séptima parte de vida como adulto soltero. Un hijo nació 5 años después del
matrimonio de Diofanto, pero este hijo murió 4 años antes de su padre. Diofanto vivió el
doble que su hijo. Calcúlese la edad que tenía Diofanto cuando murió.
22. Encuéntrese dos números cuya suma sea 1/3 y cuya diferencia sea 3.
23. En un corral con aves y conejos hay 23 cabezas y 60 patas. ¿Cuántas aves y cuántos
conejos hay?
24. Una solución al 40% de alcohol debe mezclarse con una al 90% para obtener 50 litros al
50%. ¿Cuántos litros de cada solución deben utilizarse?
96
25. Un átomo de carbono y dos de oxígeno se combinan para formar una molécula de dióxido
de carbono. Los pesos atómicos del carbono y del oxígeno son, respectivamente 12,0 y
26,0. ¿Cuántos miligramos de dióxido de carbono?
26. Un rectángulo tiene un perímetro de 26 cm y un área de 30. Encuéntrense sus dimensiones.
27. Un alambre de 40 cm de longitud se cortó en dos pedazos. Una de las partes se dobló
haciendo un cuadrado y la otra un rectángulo que es tres veces más largo que ancho. La
suma del área del cuadrado y del área del rectángulo es de 55 ¾ cm2. ¿En qué lugar se
cortó el alambre?
28. En un juego de basquetbol se obtuvieron ganancias netas de $ 45,80 al vender recuerdos y
refrescos, los que les costaron $0,08 por unidad. Si vendieron 480 recuerdos y 610 refrescos, ¿cuál
fue el precio de la venta de cada uno si el precio combinado de un recuerdo y un refresco fue de $
0,25?
R: refrescos = $ 0,10, recuerdos = $ 0,15.
29. Las entradas para una fiesta de estudiantes costaron $ 8 por personas y $ 15 por pareja. Si a la
fiesta asistieron 144 personas y se recaudaron $ 1.098 por venta de entradas. ¿Cuántas parejas y
cuantas personas solas asistieron a la fiesta?
R: parejas = 54, solos = 36.
30. Un triángulo tiene un perímetro de 54 cm. Calcule las longitudes de los tres lados si el lado más
largo es el doble del más corto y el otro es 6 cm más largo que el más corto.
R: 12, 18, 24.
31. Tres ciudades forman un triángulo. La distancia de la ciudad A a la B es de 6 km más que la distancia
de la ciudad B a la C. La distancia de la ciudad A a la C es 6 km menos que la distancia de la ciudad
B a la C. Calcule la distancia de la ciudad A a la C si la distancia de la ciudad A a la B más la distancia
de la ciudad B a la C es de 50 km.
32. El punto (3; 9) está sobre la parábola y = x2. Para toda m, la recta y-9=m(x-3) pasa por el punto (3;
9). Halle el valor de m tal que la recta y la parábola se intercepten exactamente en un punto.
Sugerencia: recuerde que ax 2 + bx + c = 0 tiene exactamente una solución si y solo si
b2 − 4ac = 0 .
R: m=6
33. Halle dos números positivos cuyas diferencia sea 1 y cuyo producto sea 56.
R: 8, 7.
34. Encuentre dos números tales que la suma de sus cuadrados sea igual a 113 y la diferencia de sus
cuadrados sea igual a 15.
R: 8, 7,-8,-7.
4.9.1. Introducción.
En este capítulo nos ocuparemos del planteamiento de problemas; es decir, dada una cierta
situación, como plantear la misma en forma de expresiones matemáticas, estableciendo las
ecuaciones que permitirán resolverlas. Hay que destacar que la solución de estas ecuaciones no
se tratará aquí, por haber sido abordada en los capítulos correspondientes.
Los problemas típicos se dividen en pasos pequeños. Desagregando el problema en pasos
pequeños. Desagregando el problema en pasos menores se facilita su resolución, y pueden
evitarse la mayoría de los errores comunes. Sin embargo, el estudiante eventualmente cometerá
errores, y de su análisis y corrección podrá evitarse que los mismos se reiteren más adelante.
La metodología de trabajo que seguiremos en este texto será la siguiente:
97
Se propondrá al estudiante una secuencia de problemas cuya dificultad aumentará en forma
gradual. En muchos de los casos el mismo texto, a modo de ejemplo, explicitará el planteo. En
otros casos, el problema será desagregado en planteos simples, los que se interrogarán al
estudiante, quien deberá responder las preguntas en el espacio dispuesto a tal efecto
(RESPUESTA:.....................)desarrollando así, paso a paso, las ecuaciones correspondientes al
planteamiento del problema.
La mejor manera de aprender a hacer algo es haciéndolo, por lo que se recomienda responder
todas las preguntas propuestas a medida que sean formuladas, evitando avanzar en la lectura del
texto sin haberlo hecho. En caso de manifestar dificultades para responder alguna pregunta,
podrá consultarse la respuesta, ya que cada interrogación está numerada y todas las respuestas se
encuentran al final del Capítulo.
Problema
Tres unidades más que el doble de cierto número es igual a quince. Determinar cuál es el
número.
Solución
Si a ese número que desconozco la llamo “x”, sólo tengo que plantear, en la forma similar a
como la hemos hecho anteriormente, 2x+3 = 15. Resolviendo esta ecuación (algo que como ya
que el, número en cuestión es el seis (x = 6).
98
Problema
Si al número veinte le resto el triplo de cierto número, obtengo como resultado el número ocho.
Determinar el valor del número desconocido.
8) ¿Cómo planteo este problema?
Respuesta:..............................................................................
Problema:
Si se suman dos números se obtiene veinticuatro, y se resta el segundo número del primero el
resultado es seis. Hallar el valor de dichos números.
Solución
Si llamamos “x” al primer número y “y” al segundo, plantearemos, según lo expresado en el
enunciado:
“Si se suman dos números se obtiene veinticuatro”.
x + y = 24
“Si se resta el segundo número del primero el resultado es seis”.
x–y=6
Entonces el valor de ambos números puede hallarse a partir de las dos ecuaciones que se han
planteado, mediante los métodos que se detallan en el capítulo correspondiente. Aquí, lo
reiteramos, sólo nos referimos a la forma de plantear las ecuaciones.
Problema:
La suma de dos números es seis. Si al duplo del primero le sumo la mitad del segundo obtengo
también seis. Determinar cuáles son esos números.
9) ¿Cómo planteo este problema?
Respuesta:..........................................................................
Problema
La suma de tres números consecutivos es dieciocho. Determinar cuáles son esos números.
Solución
Si llamamos “x” al primer número, su consecutivo será el número x+1. El consecutivo de éste
será el número: (x+1)+1, es decir x+2.
Planteamos entonces según expresa el enunciado
“La suma de tres números consecutivos es dieciocho”
x+(x+1)+(x+2) = 18
Ecuación ésta que permite resolver el problema.
Problema
El producto de dos números consecutivos es treinta. Determinar cuáles son esos números.
10) ¿Cómo planteo este problema?
Respuesta:.........................................................................
Problema
Una cuerda de doce centímetros de largo debe cortarse en dos partes, de modo que una de las
partes sea tres centímetros más corta que el doble de la otra. Hallar la longitud del trozo más
corto.
Solución
99
Si llamamos “x” a la longitud de uno de los trozos y “y” a la longitud del otro, la suma de sus
longitudes será la longitud total de la cuerda.
11) ¿Cómo planteamos que la longitud total de la cuerda es de doce centímetros?
Respuesta:.........................................................................
Ahora bien, uno de los trozos (“y”) es de longitud igual al doble de la otra (“x”) menos tres
centímetros.
12) ¿Cómo planteo esta situación?
Respuesta:...........................................................................
De las dos ecuaciones que resultan al responder las preguntas 11 y 12 pueden obtenerse el valor
de “x” y el “y”. Entonces puede seleccionarse el menor de estos valores, que corresponderá a la
respuesta del problema.
Problema:
La recaudación total por venta de entradas un sábado a la noche de una confitería bailable fue de
$ 1.500.-, siendo el importe de las entradas de $ 10.- para los hombres, y de solo $ 5.- para las
mujeres. Si el número total de entradas vendidas fue de 198, determinar cuántos hombres y
cuántas mujeres asistieron a la fiesta.
Solución
Si llamamos “x” a la cantidad de hombres que pagaron su entrada y “y” a la de mujeres que
abonaron la suya, y el total de entradas vendidas fue de 198.
13) ¿Cómo plantearíamos esta situación?
Respuesta:............................................................................
Si cada hombre debió abonar $ 10.- para ingresar, y al número de hombres que abonaron su
entrada la hemos denominado “x”.
14) ¿Cuál es el monto del ingreso por venta de entradas masculinas?
Respuesta:...............................................................................
15) ¿Y el ingreso por venta de entradas femeninas?
Respuestas:.............................................................................
Evidentemente, la suma de la recaudación obtenida por la venta de entradas masculinas y la
ingresada por entradas resulta ser la recaudación total, la que según recordamos es de $ 1.500.
16) ¿Cómo puede plantearse lo expresado en este último párrafo?
Respuesta:................................................................................
De las respuestas a las preguntas 13 y 16 resultan las ecuaciones que nos permiten resolver este
problema.
Problema
El sábado siguiente al del problema anterior, la confitería bailable organizó otra fiesta, la que
resultó un fracaso (al menos para los varones) ya que si bien se repitió la recaudación del sábado
anterior ($ 1.500.-) la concurrencia masculina fue exactamente el doble que la femenina. Si se
mantuvieron los precios de las entradas, determinar cuántos hombres y cuántas mujeres abonaron
la suya.
17) ¿Cómo planteo este problema?
Respuesta:...............................................................................
Problema:
Un lote rectangular debe ser cercado en su frente y a uno de sus lados, no así en su costado
izquierdo ni en el fondo, por existir en ambos casos paredes medianeras que separan el lote de
las propiedades vecinas. El lote tiene el doble de profundidad que de frente, y su superficie es de
quinientos doce metros cuadrados. Calcular la longitud de la cerca.
Solución
100
Siempre que sea posible debe trazarse un gráfico que represente la situación planteada. Si
denominamos “y” a la profundidad del terreno y “x” al ancho del frente, podremos realizar un
esquema como el que puede apreciarse en la página siguiente.
Problema
Un viajero, que partiendo de Córdoba se dirige a Buenos Aires, comprueba al llegar a Rosario
que según su mapa carretero ha recorrido 5/9 partes de su viaje. Si aún le quedan trescientos
veinte kilómetros para arribar a su destino, determinar la distancia que hay entre Córdoba y
Buenos Aires.
Solución “A”
Si denominamos “x” a la distancia entre Córdoba y Buenos Aires, según el enunciado del
problema, podremos realizar el siguiente gráfico.
x
5/9 x 320
CORDOBA ROSARIO Bs As
De acuerdo al mismo, la distancia Córdoba-Buenos Aires es la suma de las distancias Córdoba-
Rosario y Rosario-Buenos Aires.
21) ¿Cómo planteamos esto?
Respuesta:........................................................................
Resolviendo esta ecuación podremos encontrar el valor de “x”, la distancia Córdoba-Buenos
Aires en este caso, respuesta a nuestro problema.
Solución “B”:
Si denominamos “x” a la distancia entre Córdoba y Rosario; según el enunciado del problema,
podremos realizar el siguiente gráfico.
101
X + 320
X 320
CORDOBA ROSARIO Bs As
De acuerdo a lo expresado en el enunciado, la distancia Córdoba-Rosario equivale a 5/9 partes
de la distancia Córdoba-Buenos Aires.
22) ¿Cómo planteamos esto?
Respuesta:.........................................................................
Resolviendo esta ecuación podremos encontrar el valor de “x”, la distancia Córdoba-Rosario,
que en este caso no será la respuesta a nuestro problema, ya que en él se pide determinar la
distancia que hay entre Córdoba y Buenos Aires.
23) ¿Cómo expresamos entonces este valor requerido?
Respuesta:..........................................................................
Problema
Cada uno de los ángulos de la base de un triángulo isósceles es el doble del ángulo en el vértice.
Hallar los ángulos.
Solución
Realicemos un esquema que represente la situación planteada en el enunciado.
y
x x
Recordando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, y considerando lo
expresado en el enunciado de que “cada uno de los ángulos en la base es el doble que el ángulo
en el vértice”.
24) ¿Cómo plantearíamos este problema?
Respuesta:.................................................................................
Problema:
Cierto triángulo tiene una superficie de veinticinco centímetros cuadrados. Si se acorta la base en
dos centímetros y se mantiene la misma altura, la superficie del nuevo triángulo resultante es de
veinte centímetros cuadrados. Calcular la base del primer triángulo.
Solución
Para el caso del primer triángulo podremos hacer un esquema como el de la figura
(triángulo “a”).
b
Según lo establecido en geometría, la superficie del triángulo “a” de la figura anterior es:
b.h
Sa =
2
25) ¿Cómo plantearíamos que la superficie del triángulo “a” es de veinticinco centímetros
cuadrados?
Respuesta:........................................................................
102
Si se acorta la base en dos centímetros y se mantiene la misma altura, obtendremos un nuevo
triángulo al que denominaron “b”.
26) ¿Cómo será la figura correspondiente al caso del triángulo “b”?
Respuesta (Realizar el esquema):
27) De acuerdo a esta figura, ¿cuál será la expresión correspondiente a la superficie del
triángulo “b”?(Sb = ?).
Respuesta:.............................................................................
28) ¿Cómo plantearíamos que la superficie del triángulo ”b” es de veinte centímetros
cuadrados?
Respuesta:.............................................................................
Resolviendo las ecuaciones que surgen de las respuestas a las preguntas 25 y 28 podremos
obtener valores de “b” y “h”, recordando que en el problema se pide calcular la base del primer
triángulo, es decir “b”, que corresponderá entonces a la respuesta.
Problema:
Problema:
Un vendedor ambulante comprobó al final de un día de trabajo que, como resultado de las ventas
de ese día, tenía en sus bolsillos 30 billetes, los que totalizaban un total de $ 110.- Si sólo tenía
billetes de uno, cinco y diez pesos, y considerando que la cantidad de billetes de un peso era la
misma que la suma de las cantidades de billetes de otras denominaciones, determinar cuántos
billetes de cada tipo tenía en su poder.
Solución
30) ¿Cuántas incógnitas tiene este problema?, ¿cuáles son?
Respuesta:.........................................................................
Designemos a cada una de ellas con alguna letra.
31) ¿Cómo expresamos el hecho de que la cantidad de billetes era de 30?
Respuesta:.........................................................................
32) ¿Y el hecho de que la cantidad de billetes de un peso era la misma que la suma de las
cantidades de billetes de otras denominaciones?
Respuesta:.........................................................................
33) ¿Cómo podemos expresar la cantidad de dinero que el vendedor tenía en billetes de diez
pesos?
Respuesta:.........................................................................
34) ¿Y la que tenía en billetes de cinco peso?
Respuesta:.........................................................................
35) ¿Y la que tenía en billetes de un peso?
Respuesta:.........................................................................
36) ¿Cómo expresamos que la cantidad total del dinero era de $ 110?.
103
Respuesta:..........................................................................
De las respuestas a las preguntas 31; 32 y 36 obtenemos las tres ecuaciones que no permitirán
resolver el problema.
Problema
104
• ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la
nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?
• ¿Ha empleado todos los datos?, ¿ha empleado toda la condición?, ¿ha considerado todas
las nociones elementales concernientes al problema?
C) Ejecución Del Plan
• Resuelva las ecuaciones que se han planteado en la etapa anterior, o ejecute los pasos
planeados (puede tratarse de métodos gráficos, uso de tablas, etc.)
• Al ejecutar su plan de la solución, compruebe cada uno los pasos.
• ¿Puede ver claramente que el paso es correcto?, ¿puede verificarlo o demostrarlo?
D) Visión Retrospectiva.
• Examine e interprete la solución obtenida.
• ¿Puede usted verificar el resultado?, ¿puede verificar el razonamiento?
• ¿Puede obtener el resultado en forma diferente?, ¿puede intuirlo o verlo de golpe, sin
pasos intermedios?
• ¿Es el resultado numérico un valor razonable (en cuanto a magnitud, signo, etc.)?
• Finalmente: ¿puede emplear el resultado o el método en otro problema?
4.9.5. Respuestas
1) x + 5
2) 2 x + 3
3) 2( x + 4) + 3
4) x . y
1
5) 2 x + y+7
2
6) ( x + 2).( y − 3)
7) x . y = 15
8) 20 − 3x = 8
x + y = 6
9) 1
2x + y = 6
2
10) x( x + 1) = 30
11) x + y = 12
12) y = 2 x − 3
13) x + y = 198
14) 10x
15) 5y
16) 10 x + 5 y = 1500
10 x + 5 y = 1500
17)
x = 2 y
18) y = 2 x
19) x . y = 512
20) x + y
5
21) x = x + 320
9
105
5
22) x = ( x + 320)
9
23) x + 320
2 x + y = 180
24)
x = 2 y
b.h
25) = 25
2
26)
b-2
(b − 2).h
27) Sb =
2
28)
( b − 2) .h = 20
2
h
b .
= 937,50
29) 2
b = 3h
30) Tiene tres incógnitas: ellas son:(GRÁFICO)
b
las cantidades de billetes de un (x), cinco (y) y diez (z) pesos.
31) x + y + z = 30
32) x = y + z
33) 10z
34) 5y
35) x
36) x + 5 y + 10 z = 110
37) Incógnitas: cantidad de billetes de uno (w), cinco(x), diez (y), y cincuenta (z) pesos.
w + x + y + z = 68
z = w + 4
w + 5 x + 10 y + 50 z = 1020
y = z + 4
106
5
Trigonometría
Objetivos
Contenidos.
1. Longitud de un arco de circunferencia.
2. Ángulos y su medición.
3. Funciones trigonométricas.
4. Resolución de triángulos.
5. Formulas de adicción.
107
Esquema Conceptual
ANGULO EN RADIANES
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FORMULAS DE ADICION
Introducción.
En esta unidad se considera la longitud de un arco de circunferencia. El concepto de ángulo y su
medición en grados sexagesimales y en radianes. El concepto de función trigonométrica y la
definición y estudio de las funciones trigonométricas. La resolución de triángulos rectángulos.
Los teoremas del seno y del coseno y su aplicación en la resolución de triángulos oblicuángulos.
Las fórmulas de adición.
Bibliografía de la Unidad.
• Englebert, S., Pedemonti, S., Semino, S., “Matemática 3”. AZ editorial.
• Tapia, N., Bibiloni, A., Tapia, C., “Matemática 3”. Editorial Estrada.
l= ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2 2
y1 (x1 , y1)
(x2 , y2)
y2
0 x1 x2
108
Supongamos ahora que queremos calcular la longitud de la semicircunferencia unidad:
(0 , 1)
(-1 , 0) (1 , 0)
La longitud del segmento que une los puntos (1,0) y (-1,0) (extremos de la semicircunferencia)
es 2. Podemos tomar este valor como una primera aproximación a la longitud del arco.
Una mejor aproximación se obtiene si sumamos las longitudes de los segmentos entre (1,0) y
(0,1) y entre (0,1) y (-1,0) y en este caso el valor 2 2 = 2,8284 . Gráficamente.
(0 , 1)
(-1 , 0) (1 , 0)
(0 , 1)
(-1 , 0) (1 , 0)
l1
p
109
Para medir un ángulo como el dado, procedemos de la siguiente manera: introducimos en el
plano un par de ejes cartesianos ortogonales de tal manera que el origen de coordenadas sea P y
l 1 coincida con el eje positivo de las abscisas.
y
l2
L1 = x
p=0
En tal sistema de coordenadas consideramos la circunferencia unidad, esto es, la circunferencia
de centro “0” y radio “1”.
Entonces l 2 corta a la circunferencia unidad en un punto Q.
Q
x
(1 , 0)
0
Se llama medida en radianes del ángulo dado a la longitud del arco de la circunferencia unidad
que une el punto (1,0) con Q en el sentido antihorario.
En la figura anterior sería el arco “más corto” pero es fácil imaginar una figura donde sea el
“más largo”.
Es también muy usada la medida en grados sexagesimal de un ángulo.
Esta se obtiene definiendo que un ángulo de 1 grado sexagesimal es aquél de 2 / 360 radianes.
En fórmulas:
1 = 2 / 360 radianes
Se define 1 minuto sexagesimal como (1/60)° y se escribe:
1´= (1/ 60)
Finalmente, se usa definir 1 segundo sexagesimal como la sesenta ava parte de un minuto
sexagesimal, lo que también escribimos:
1´´= (1/ 60)´−(1/ 3600)
En este sentido entonces un ángulo que tiene a 3°12´36´´ por medida sexagesimal, corresponde a
un ángulo de:
2 2 1 2 1 321
3 + (12 ) + ( 36 ) = 2 radianes
360 360 60 360 3600 36000
Análogamente, un ángulo de / 4 radianes es un ángulo que tiene 45° por medida sexagesimal.
A veces es conveniente pensar a un ángulo de, digamos, “t” radianes (con t 0 ) como el ángulo
que tiene por semirrecta inicial al eje positivo de las abscisas y por semirrecta final la semirrecta
por el origen y por el punto de circunferencia unidad al cual arribamos si “caminamos” sobre la
circunferencia una distancia “t” a partir del punto (1,0) en el sentido antihorario.
De esta manera vemos que t 0 no tiene porque ser menor que 2. Podemos entonces pensar,
por ejemplo, en un ángulo de 5 / 2 radianes como un ángulo de / 2 radianes.
Para pensar correspondientemente en un ángulo de “t” radianes con t 0 seguimos tomando al
eje positivo de las abscisas como semirrecta inicial y como semirrecta final la que empieza en el
origen y pasa por el punto de la circunferencia unidad al cual arribamos caminando una distancia
“t” a partir del punto (1,0) en el sentido horario.
110
Por ejemplo, pensamos en un ángulo de − / 2 radianes como en uno de 3 / 2 radianes.
Finalmente digamos que cuando se habla de un ángulo de 450°, uno piensa en un ángulo de
(450-362)°=90°.
Q
sen t t
-1 0 cos t x
-1
Sea Q el punto de intersección de la semirrecta final de dicho ángulo con la circunferencia
unidad (de radio unitario).
Las coordenadas “x” o “y” de Q dependen del ángulo “t”. Llamaremos “coseno de t” a la
primera coordenada y “seno de t” a la segunda coordenada; escribimos:
x = cos t
y = sen t
( sen t ) + ( cos t ) =1
2 2
I)
se suele escribir
sen2 t = ( sen t )
2
cos 2 t = ( cos t )
2
sen2 t + cos2 t = 1
II ) sen ( t + 2 ) = sen t
cos ( t + 2 ) = sen t
111
III ) − 1 cos t 1
− 1 sen t 1
t Q cos t sen t
0 (1 , 0) 1 0
/ 2 (0 , 1) 0 1
(-1 , 0) -1 0
3 / 2 (0 , -1) 0 -1
Si “t” crece d “ / 2 ” a “ ”
cos t
1
0 t
-1
1 sen t
0 t
-1
También se les llama funciones trigonométricas a las funciones con los reales como conjunto de
llegada, que se define a continuación.
112
5.3.2. La Función Tangente
La función tangente, que denotamos “tg”, tiene como dominio al conjunto de los números reales
excepto los múltiplos enteros impares de / 2 , esto es, excepto... −5 / 2,
− 3 / 2, − / 2, / 2, 3 / 2, 5 / 2...
Su definición es:
sen t
tg t =
cos t
En su definición se ve que debemos eliminar del dominio a los múltiplos enteros impares de / 2
debido a que el denominador, que es el coseno, se anula en los mismos.
1
QM
sen t tg t
t
-1 0 cos t PA x
-1
V V
Los triángulos 0PQ y 0 AM son semejantes ; por lo tanto:
AM PQ
=
0A 0P
Puesto que:
0 A = 1; 0 P = cos t; PQ = sen t
resulta:
AM sen t
=
1 cos t
es decir que:
113
AM = tg t
o sea que la longitud del segmento de extremos A y M es el valor de la función tangente para el
número real “t”.
tg t
0 t
Estudiando la figura
y
sen t t
-cos t
cos t x
-sen t
se ve que cos(t + ) = − cos t y sen(t + ) = −sen t de donde sigue que tg (t + ) = tg t , esto es, la
tangente es una función periódica de período , información que hemos usado para su gráfica.
114
cos t 1
cot g t = =
sen t tg t
de donde sigue que debemos excluir del dominio a todos los múltiplos enteros de , esto es,...
−3, − 2, − , 0, , 2, 3,.... debido a que en ellos se anula la función seno.
cotg t
0 t
1
sec t =
cos t
Por su definición, como en el caso de la tangente, debemos excluir de su dominio a los múltiplos
enteros impares de / 2 , esto es, a:
... − 5 / 2, − 3 / 2, − / 2, 3 / 2, 5 / 2....
115
sec t
0 t
-1
1
cosc t =
sen t
cosc t
0 t
-1
116
5.4. Resolución de triángulos
1) Mirando la figura
y
(0 , 1) M
(1 , 0)
0 Q N x
V V
se ve que los triángulos 0PQ y 0MN son semejantes.
Dados dos puntos A y B del plano, denotemos con AB la longitud del segmento comprendido
entre ellos.
0Q 0N
cos = 0Q = =
0 P 0M
PQ MN
sen = PQ = =
0P 0M
Estos dos hechos los expresamos diciendo que en un triángulo rectángulo, el coseno de uno de los
ángulos (no recto) es el cociente entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo en cuestión y
la hipotenusa, y el seno es el cociente entre las longitudes del cateto opuesto y la hipotenusa.
sen cos
tg = ; cotg =
cos sen
1 1
sec = ; cosec =
cos sen
resulta también: la tangente de un ángulo es el cociente entre las longitudes del cateto opuesto y el
cateto adyacente; la cotangente es el cociente entre las longitudes del cateto adyacente y el opuesto;
etc.
2) Como aplicación calcularemos los valores de las figuras trigonométricas para algunos ángulos
especiales: los de , y (ó sea 45°, 30° y 60°)
4 6 3
117
Ellos se obtienen de las figuras siguientes
2 2 2
1
45°
1 1 1
Resulta:
0º (0rad ) (
30º rad
6
) (
45º rad
4
) (
60º rad
3
) (
90º rad
2
)
sen 0 1 1 2 3 4
=0 = =1
2 2 2 2 2 2
cos 4 3 2 1 1 0
=1 = =0
2 2 2 2 2 2
tg 0 1 3 1 3 -
=
3 3
3) Otra aplicación es: conociendo el valor de una de las funciones trigonométricas de un ángulo,
calcular las demás.
sen
1-sen2
Resulta
sen
cos = 1 − sen 2 ; tg =
1 − sen 2
etc.
118
1-tg2
tg
se obtiene:
tg 1
sen = ; cos =
1 + tg
2
1 + tg 2
etc.
B h
b
c1 D
c c2 A
V V
El triángulo ABC no necesariamente es rectángulo, pero si lo son BCD y ACD .
Digamos que:
h = CD , a = BC , b = AC ,
c = AB , c1 = BD , c2 = AD
Entonces:
b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos
Fórmula que, junto a sus correspondientes para “ a 2 ” y “ c 2 ” se las conoce con el nombre de
teorema del coseno y que es una importante generalización del teorema de Pitágoras a triángulos
no rectángulos.
119
5) Para finalizar ésta sección digamos que en la figura anterior se tiene
h h
sen = sen =
b a
b sen = h = a sen
y de aquí que:
sen sen
=
a b
y
(0 , 1)
P
d
Q
(-1 , 0) (1 , 0)
x
(0 , -1)
con d = PQ
120
Como:
ó sea:
V
Por otra parte, aplicando el teorema del coseno al triángulo 0PQ se tiene también:
d 2 = OP + 0Q − 2 0 P 0Q cos ( − )
2 2
d 2 = 2 − 2 cos ( − ) (2)
Mostraremos que esta fórmula es también válida en el caso en que ( − ) es un ángulo mayor
que como en la figura siguiente
Puesto que
− 2
resulta
0 − −
121
y la fórmula (*) es aplicable al ángulo:
− − = ( − ) = − ( + )
Escribimos: + = − ( − )
−t ; t = − − t
2 2 2
se obtiene las fórmulas que relacionan el seno y el coseno de un ángulo con el coseno y el seno
del ángulo complementario.
cos − t = cos cos t + sen sen t = sen t
2 2 2
122
cos t = cos − − = sen − t
2 2 2
4) Usaremos los resultados del punto 3 para deducir la “fórmula de adición para el seno”.
Ponemos:
sen ( + ) = cos − ( + ) = cos − −
2 2
Resulta
cos − − = cos − cos + sen − sen
2 2 2
= sen cos + cos sen
Por lo tanto
Poniendo:
− = + ( − )
5) Es de destacar que en las fórmulas de adición del seno y del coseno quedan comprendidas todas
las identidades usadas hasta ahora y otras nuevas.
1
cos2 = ( cos 2 + 1) (5)
2
123
Las fórmulas (5) y (6) se llaman fórmulas de duplicación para el cos y sen respectivamente.
También suele usarse una fórmula similar para la tangente, que se deduce de las de adición para
el seno y coseno, como sigue:
tg + tg
tg ( + ) =
1 − tg tg
2tg
tg 2 =
1 − tg 2
g) θ=-/4 h) θ=-/6
4
5. Sabiendo que sen ( ) = , calcular:
5
124
1
6. Si cos ( ) = , calcular:
4
7. Si tg ( ) = −2 , calcular:
a) ( 0, / 2 ) b) ( / 2, )
c) ( ,3 / 2 ) d) ( 3 / 2, 2 )
9. Sea 0, / 2 , entonces:
√3
c) si tg(θ)= 2 , calcular cos(θ) y tg(θ)
45º
11. Calcular el área, el perímetro y los ángulos interiores del triángulo de la figura sabiendo que
θ=30º.
√3
12. En el triángulo de la figura calcular h y a, sabiendo que 𝑐𝑜𝑠𝜃 = .
2
a
h
θ
125
13. Calcular el área del triángulo equilátero.
12
12
18
16. En el triángulo de la siguiente figura, calcular los otros dos lados y el ángulo .
60º 45º
126
√2
45º
18. Calcular h.
2
90° h
30° 90°
127
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
ANEXO
128
Unidad 1
p q a b c d e
V V V F F V Ninguna
V F F F V V opción
F V V F F F es
F F V V F V correcta
p q a b c d e
V V V F F V Ninguna
V F F F V V opción
F V V F F F es
F F V V F V correcta
p q a b c d e
V V V F F V Ninguna
V F F F V V opción
F V V F F F es
F F V V F V correcta
p q a b c d e
V V V F F V Ninguna
V F F F V V opción
F V V F F F es
F F V V F V correcta
p q a b c d e
V V V F F V Ninguna
V F V F F V opción
F V V F F F es
F F V V F V correcta
p q a b c d e
V V V F V V Ninguna
V F F F V V opción
F V V F V F es
F F V V V V correcta
129
7) Construya la tabla de verdad de la expresión: ( p q ) p
p q a b c d e
V V F V F V Ninguna opción
V F F F V V es correcta
F V V V F F
F F V V F F
p q a b c d e
V V F V F V Ninguna opción
V F F F V V es correcta
F V V V F F
F F V V F F
11) Encuentre dos números cuya suma sea 15 y cuyo producto sea − 256
3 4 3 2 3 2 3 5
a) x = , y = b) x = − , y = c) x = , y = − d) x = , y = −
5 5 5 5 5 5 5 2
e) ninguna opción es correcta
−2
12) La expresión x 24 3
es equivalente a:
15 −18
y z
a) x −16 y −10 z12 b) x16 y −10 z −12 c) x −16 y10 z −12 d) x16 y10 z12 e) ninguna es correcta
−2
1 5 64
−1+
13) Resolver: 3 6
+ 9
−1
2 64
3
3 27
a) 4 b)10 c) -4 d) -10 e) Ninguna de las anteriores
( )
2
14) La expresión 3 − 3 es equivalente a:
a) 6 b) 12 c) 12 + 6 3 (
d) 6 2 − 3 ) e) ninguna opción es correcta
a 2 4 a −3
15) La expresión se puede reducir a:
a −1 5 a 4
2 20 / 9 −9 / 5
a) a b) 12
a9 c) a d) a e) ninguna opción es correcta
130
3
x 2 x3
16) La expresión = se puede reducir a:
x1 / 4 3 x 5
−1
1
1
1
a) 12 b) x 12
c) 1 d) 12
x e) ninguna opción es correcta
x x 6
3
−2
2 1
0 2
17) El resultado de operar 0,3 − − − − 1 es:
2 9 2
36 29 29 36
a) b) c) d) − e) ninguna opción es correcta
29 36 9 5
a) x12 y10 z12 b) x12 y −10 z −12 c) x −12 y10 z −12 d) x −12 y −10 z12
e) ninguna opción es correcta
(a − 9 a 2 − 3a
2
)( )
= se simplifica en:
( )( )
20) La expresión
a 2 − 2a a 2 − 6 a + 9
a+3 a(a + 3) a −3
a) b) c) 1 d) e) ninguna opción es correcta
a−2 a−2 a−2
(
21) La expresión 4 + 5 se puede reducir a: )
2
x −1 5 x 4
22) La expresión se puede reducir a:
x 2 4 x −3
20 / 9 −9 / 5 2
a) x b) x c) x d) 12
x9 e) ninguna opción es correcta
−3
x 3 y −4 2
23) La expresión −2 −2 es equivalente a:
x z
x15 / 2 z 3 y6 15/ 2 6 −3 −15 / 2 6 −3
a) 6
b) 15 / 2 3
c) x y z d) x y z e) ninguna es correcta
y x z
( )(
24) La expresión − 3 + 2 − 3 − 2 se puede reducir a: )
a) − 1 b) 1 c) − 1− 4 3 d) − 1+ 4 3 e) ninguna opción es correcta
131
a 4 a3 3 a 2
25) La expresión se puede reducir a:
6
a2
12 / 19 12 / 27
a) 1 b) 12
a 27 c) a d) a e) ninguna opción es correcta
( )
2
3 2
26) Resolver − 0.5 − 0.16 + 0.2
2
9 5 2
a) b) c) 1 d) e) ninguna opción es correcta
4 4 3
( )(
27) Resolver − 2a 3 − 2a 2 b 4 )
3
=
a) − 6a b b) − 24a b c) − 24a b
10 12 8 12 4 4 8 12
d) 6a b e) ninguna opción es correcta
2 1 36 1
28) Resolver − + 2 + 2 −
5 2 25 10
62 61 63
a) b) c) 1 d) e) ninguna opción es correcta
25 25 25
( )
29) La expresión 2 − 2 se puede reducir a:
2
a) 2 b) 6 c) 0 (
d) 2 3 − 2 2 ) e) ninguna opción es correcta
30) La expresión (2.i30 – 5.i24)2:(1-2i) da como resultado un número complejo cuya parte
imaginaria es:
− 4i 5 − 3i 4 + 2
31) La expresión se puede reducir a:
− 3i
4 5 4 1 4 1 4 5
a) − i b) − i c) + i d) + i e) ninguna opción es correcta
3 3 3 3 3 3 3 3
− 4 − 3i
33) Resolver
2i
9 3 4 3
a) − + 2i b) − − 2i c) − + 2i d) − + 2i e) ninguna opción es correcta
4 4 3 4
− 3 − 2i
34) Resolver
− 4 − 5i
22 − 7i 22 + 7i 22 + 7i
a) b) c) d) 5 + 4i e) ninguna opción es correcta
41 41 − 41i
132
35) Resolver:
(4 − 4i )2 =
(2 − i ) + (1 − 2i )
a) 16-16i b) 8/3 + 8/3i c) -16/3 - 0i d) 16/3 + 0i e) Ninguna de las anteriores
i 65 − i19 − 5i 28
36) Resolver: =
− i 7 + i 39 − i 31
a) 2 + 5i b) -2 - 5i c) (-2+5i)/3 d) (2-5i)/3 e) Ninguna de las anteriores
− (−8 + 2i)
37) Resolver
− 3i
2 8 2 8 24 6 2 8
a) − + i b) − − i c) + i d) + i e) ninguna opción es correcta
3 3 3 3 9 9 3 3
− (2i − 4)
38) Resolver
− 4i
1 1 16i + 8 1
a) − −i b) + i c) d) − +i e) ninguna opción es correcta
2 2 4 2
39) El número 1,306 expresándolo como número fraccionario, su resultado es:
a) 294 b) 588 c) 1306 d) 1176 e) ninguna opción es correcta
225 425 990 990
− 4i 3 − 2i 2 +8
40) La expresión se puede reducir a:
− 3 − 2i
10 10 8 2
a) b) − c) d) − e) ninguna opción es correcta
9 9 9 9
2 (x)
3 2
−1
x2 6 x
= se puede reducir a:
(x)
43) La expresión −1
6
x
2 3 5
3 1 1
a) 2 x 2
b) 2 3 c) 2 d) 2 e) ninguna opción es
x x
correcta
133
1
1+
44) Simplifique la siguiente expresión: x−2
1
1−
2
1+
x−4
x −1 x+2 x −1 x −1
a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores
4 2 2 x−2
1
1−
45) Simplifique la siguiente expresión: x−2
1
1+
x−4
46) Según la nomenclatura utilizada para el cálculo proposicional, indique cuál es la tabla de
verdad correspondiente a la oración:
“Dejará de llover hoy o mañana”:
p q a b c d e
V V V F F F V
V F V V F V F
F V V V F V V
F F F V V F V
47) Si en un restaurante con menú fijo se nos dice que tenemos como postre “helado o flan”,
indique a qué operador lógico corresponde dicha frase
p q a b c d e
V V F V F F V
V F V V F V F
F V V F F V V
F F V V V F V
(1 − i)2 + (1 + i)2 + 2
50) Resolver la siguiente ecuación con números complejos:
2−i
a) 2 − i b) 2 + i c) 2 d) 4 e) ninguna opción es correcta
134
Unidad 2
1) Calcular el cociente, C y el resto, R, que resulta de dividir x − 2 + x3 (x − 2) ( )
a) C = x 2 − 2 x + 5; R = −12 b) C = x 2 + 2 x + 5; R = 12
c) C = x + 2 x + 5;
2
R =8 d) C = x + 2 x + 5;
2
R = −8
e) Ninguna de las anteriores
2) El valor de “k” para que el polinomio P( x) = −2 x3 + 7 x 2 − 9 x + k sea divisible por (x-3) es:
a) C = x 2 − 3x + 10; R = 27 b) C = x 2 + 3x + 10; R = 27
c) C = x − 3x + 10;
2
R = −33 d) C = − x − 3x + 10;
2
R = −33
e) Ninguna de las anteriores
5) El polinomio p de grado 3, cuyas raíces son: 3 de multiplicidad dos y 0, y p(−2) = 100 es:
a) p = −2 x 3 + 12 x 2 − 18 x + 100 b) p = x 3 − 6 x 2 + 9 x c) p = −2 x 3 − 6 x 2 + 9 x
d) p = −2 x 3 + 12 x 2 − 18 x e) ninguna opción es correcta
(x 2
)(
− 2x x2 − 6x + 9 )
= se simplifica en:
6) La expresión
( )(
x 2 − 9 x 2 − 3x )
x−2 x−2 x−2
a) 1 b) c) d) e) Ninguna de las anteriores
x( x + 3) x+3 x−3
x−4 x−2 2
a) b) x − 2 c) d) − e) ninguna opción es correcta
x−2 x−3 3
135
10) Si P(x) es una función polinomial de grado 3 con raíces -1; 2 con P(−3) = 0 y P(0) = −6
entonces:
−1
a −b a 2 − b2 2
12) La expresión 2
(
a − 2ab + b
2
a + b ) se puede reducir a:
b) (a − b )
1 −1
a) c) a − b d) 0 e) 1
a+b
13) Encontrar el polinomio de 4° grado tal que: P (–3) = 0 , P (3) = 0 y “2” es raíz doble ; con
a4 = -1 coeficiente del término de mayor grado.
a) P = − x + 4 x + 5 x − 36 x + 36 b) P = x − 4 x − 5 x − 36 x − 36
4 3 2 4 3 2
c) P = − x − 4 x − 5 x + 9 x − 36 d) P = − x − 4 x − 5 x + 9 x + 36
4 3 2 4 3 2
e) ninguna es correcta
a4 − z 4 a + z
14) La expresión = se puede reducir a:
a − z a2 + z 2
c) a(a − z ) d) (a + z )
a
a) −
2 2
b)0 e) ninguna opción es correcta
(a − z )(a − z )
15) El polinomio p de grado 3, cuyas raíces son 1 de multiplicidad dos y 0, y p(−1) = 8 es:
a) p = 2 x 3 + 4 x 2 − 2 x + 1 b) p = −2 x3 + 4 x 2 − 2 x + 1 c) p = 2 x3 + 4 x 2 − 2 x
d) p = −2 x 3 + 4 x 2 − 2 x + 8 e) ninguna opción es correcta
18) Si P(x) es una función polinomial de grado 3 con raíces -5; 2 y 4 y P(0)=-120 entonces:
136
19) El cociente de la división del polinomio: 3x5 − 2 x 4 + 4 x 2 + 5x3 + x − 2 por x3 − x 2 + 1 es:
a) 3x + x + 6 b) 3x − 5 x + 10 c) − 3x + x + 6
2 2 2
d) − 3x − x − 6
2
e) ninguna opción es correcta
20) El polinomio p de grado 3, cuyas raíces son 2 de multiplicidad dos y 0, y p(−2) = 32 es:
a) p = −2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 1 b) p = −2 x 3 + 4 x 2 − 4 x c) p = − x 3 + 4 x 2 − 4 x
d) p = −2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 32 e) ninguna opción es correcta
21) Si P(x) es una función polinomial de segundo grado tal que P(−7) = P(3) = 0 y
P(0) = −42 , entonces P(4) es igual a:
23) Sea el polinomio P = ax2 + 4 x + 2 tal que P(2) = 0 entonces su coeficiente principal vale:
5 5 2 2
a) a = b) a = − c) a = − d) a = e) ninguna opción es correcta
2 2 5 5
25) La expresión: 1 +
1 (a − b) se puede reducir a:
− 2
4a + 4b 4a − 4b2
3 2 4a + 4b − 3
a) 1 b) 1 + c) d) e) ninguna opción es correcta
4(a − b ) (a + b) 4(a + b)
26) Si P(x) es una función polinomial de grado 3 con raíces -2; 3 con P(−4) = 0 y P(0) = −48
entonces:
27) Encontrar el polinomio de 4° grado tal que: P (–2) = 0 ; P (2) = 0 y “–3” es raíz doble ; con
a4 = -1.
a) P = − x − 6 x − 5x + 24 x + 36 b) P = x + 6 x + 5 x − 24 x − 36
4 3 2 4 3 2
c) P = − x − 6 x − 13 x + 24 x + 36 d) P = x + 6 x + 13 x − 24 x − 36
4 3 2 4 3 2
e) ninguna es correcta
28) Al dividir el polinomio P(x) = 24–6 x –7x2 –3x3 –2x4 por el polinomio Q(x) = x+2 el resto es:
137
29) Encontrar el polinomio de 4° grado tal que: P (–3) = 0 ; P (2) = 0 y “–1” es raíz doble ; con
a4 = 1.
30) El valor de “k” para que el polinomio P( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + k sea divisible por (x+2) es:
31) Determine el polinomio de 3º grado cuyas raíces son: 0;-1;1 y el coeficiente principal es -2.
a) − 2 x + x + x b) 2 x + x − 2 x c) − 2 x + −2 x − 2 x
3 2 3 2 3 2
d) 2 x − 2 x
3
e) ninguna opción es correcta
a) x + 2 x + x − 5 b) x + 2 x − x + 6 c) − x − 3x − x − 6
3 2 3 2 3 2
d) x + 2 x − x + 3 e) − x + 6
3 2
34) Indique todos los ceros del polinomio: x 4 − 2 x3 − x 2 + 2 x sabiendo que un cero es 2:
x −1 x − 3
−
35) La siguiente expresión algebraica: x − 3 x − 1 es equivalente a:
1 1
−
x −1 x − 3
x− y x+ y
36) La expresión 2 se puede reducir a:
(x − y ) x − y 2
2
c) (x − y )
−1 1
a) y − x b) x + y d) e) ninguna opción es correcta
x+ y
37) Determine la mínima expresión a la que se puede llevar la siguiente ecuación:
(x − 8) (x − 16)
3 4
(x + 4) (2 − x ) + (a + b) − (a − b)
2 2 2
=
(x − 4) 2
a b
a) x + 2 x + 2 b) (− x 2 − x)a c) − x − 2 x − 2 d) (−2 x − 2)ab e) − x − 2 x + 2
2 2 2
138
38) Sean los polinomios: P = ( X 4 − 2 X 3 − 3X 2 + 2 X + 2) y Q = ( X 2 − 2 X − 2)
¿Cuál es el cociente de hacer la división P/Q?
b) − x d) x − 1
2 2 2
a) 1 c) 6 . e) x
39) Indique todos los ceros del polinomio: x 4 + 6 x3 + 13x 2 + 12 x + 4 sabiendo que un cero
es – 1:
a) − 1;−1;−2;−2 b) − 1;−1;−2;+2 c) − 1;−1;2;2 d) − 1;1;−2;−2 e) − 1;−1;2;−2
2a
a+
40) La siguiente expresión algebraica:
a − 1 , es equivalente a:
2a
a−
a +1
(a + 1)2 (a − 1)2
a) 1 b) a+1 c) a d) e)
(a − 1)2 (a + 1)2
a) x + 2 b) − x c) x − 2 d) ( x 2 − 1) e) ( x − 1)
2
a) 0 b) 2 c) 6 d) ( x 2 − 1) e) ( x − 1)
44) Encontrar el valor de k para que una raíz del polinomio: x3 + 2 x 2 − x − k , sea x = −2
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0
45) Encontrar el valor de k para que una raíz del polinomio: x3 + x 2 − x + k , sea x = 1
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0
a) 2 b) 0 c) -2 d) 1 e) -1
47) Encontrar el valor de k para que una raíz del polinomio: x3 + 2 x 2 − x + k , sea x = 1
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0
139
Unidad 3
1) Halle la ecuación de la recta que tiene la misma ordenada al origen que la de
3x − 5 y + 4 = 0 y cuya pendiente es el doble de la de 2x-3y=0.
4 5 4 4 4 5
a) y = x+ b) y = x + c) y = x −
3 4 3 5 3 4
4 5
d) y = − x + e) ninguna opción es correcta
3 4
1 2
2) Las coordenadas del vértice de la parábola cuya función es: y = x + 6 x + 35
2
a) V = (−6;−17) b) V = (6;17) c) V = (17;−6)
d) V = (−6;17) e) ninguna es correcta
3) Si una parábola tiene vértice en (4;7) y corta al eje de las x en (5;0) entonces también
corta al eje de las x en el punto:
4) El gráfico de la función lineal que pasa por el punto (1,2) y tiene pendiente -1/2 también
pasa por:
5) La ecuación de la parábola que tiene raíces en 2 y -1, y pasa por el punto (0;4) es:
2 2 2
3 1 3 3 8
a) y = −2 x − − b) y = −2 x − − 5 c) y = −2 x − +
4 5 4 4 31
2
3 8
d) y = −2 x − − e) ninguna opción es correcta
4 31
8) La recta que pasa por los puntos (-1;-3) y (-4;-7) tiene ecuación:
4 5 4 13
a) y = x − b) y = x − 1 c) y = x + 1 d) y = x −
3 3 3 3
e) ninguna opción es correcta
3 5 7 3
9) La recta que pasa por A = − ;− y B = ,− tiene pendiente:
2 2 2 2
2 7 1 1
a) m = b) m = − c) m = d) m = − e) ninguna opción es correcta
5 5 5 5
140
10) La recta con pendiente negativa, que es diagonal al cuadrado definido por los puntos:
(2,2); (2,6); (6,2) y (6,6) es:
a) y = x + 2 b) y = − x + 2 c) y = − x + 8 d) y = −2 x + 8
e) ninguna respuesta es correcta.
13) La recta que pasa por los puntos (-1;-2) y (-4;-5) tiene ecuación:
7 17 7 17
a) y = x− b) y = − x − 1 c) y = x − 1 d) y = x+
5 5 5 5
e) ninguna opción es correcta
1 7 3 5
14) La recta que pasa por A = − ;− y B = − , tiene pendiente:
2 2 2 2
1 1
a) m = 6 b) m = −6 c) m = d) m = − e) ninguna opción es correcta
2 2
( )(
15) Dar la parábola que contiene a los puntos: (1,2); (3,2); 2 + 2 ;3 ; 2 − 2;3 . Ayuda: el )
coeficiente principal es “a=1”.
a) y = x 2 + 2 x − 5 b) y = x 2 − 4 x − 5 c) y = x 2 − 4 x + 5
d) y = x 2 − 2 x − 5 e) ninguna respuesta es correcta.
16) Dada la recta por 11 ; la recta paralela a ella y que pasa por el punto (–3;4) es:
y = −12 x +
37
a) y = 12 x + 32 b) y = −12 x + 32 c) y = −12 x − 6
d) y = −12 x + 6 e) Ninguna de las anteriores
a) y = 8 x 2 − 10 x + 1 b) y = 5 x 2 − 10 x + 8 c) y = 5 x 2 + 10 x − 8
d) y = 5 x 2 − 10 x − 8 e) ninguna opción es correcta.
a) y = −3( x − 1) 2 + 2 b) y = 3( x − 1) 2 + 2 c) y = 3( x + 1) 2 + 2
d) y = 3( x − 1) 2 − 2 d) ninguna opción es correcta
141
19) La parábola y = ( x − 3) 2 − 2 , tiene como ordenada al origen:
20) La parábola de vértice (-1;2) que pasa por (0;3) tiene ecuación:
a) y = x 2 + 2 x + 3 b) y = x 2 + 2 x + 5 c) y = 3x 2 + 2 x + 3 d) y = x 2 − 2 x + 3
e) ninguna opción es correcta
1 1 3 2
21) La recta que pasa por A = − ; y B = , tiene pendiente:
2 3 2 3
1 1 1
a) m = 6 b) m = c) m = d) m = e) ninguna opción es correcta
3 12 2
22) Hallar la ecuación de la recta paralela a 3x − 2 y = 6 que pase por el origen (0;0). La
misma tiene ecuación:
3 3 2
a) y = − x b) 2 x − 3 y = 0 c) y = − x−2 d) y = x+2
2 2 3
e) Ninguna opción es correcta
3
23) La parábola y = a( x − h) 2 + 2 tiene eje de simetría x = − y pasa por el punto (1,1) ,
2
entonces:
4 9 9 4
a) a = b) a = − c) a = d) a = − e) ninguna de opciones es correcta
9 4 4 9
a) y + 2 x = −3 b) y + 2 x = 3 c) y − 2 x = −3 d) y − 3 = −4 e) ninguna es correcta
1
25) Encuentre el valor máximo de la función f ( x) = − x 2 + x + 2
2
3 1 11 4
a) b) − c) d)− e) ninguna de opciones es correcta
2 4 4 9
26) La recta que pasa por los puntos (0;-3) y (2;1) tiene ecuación:
1
a) y = x −3 b) y = 2 x c) y = 2 x − 3 d) y = − x − 3
2
e) ninguna opción es correcta
27) Los puntos de intersección de la recta dada por Y= –1/4 x+1 con los ejes coordenados “X”
e “Y” son:
13 1
a) no corta al eje de abscisas b) el vértice es ;−
3 3
142
1 3 5
c) el eje de simetría es x = − d) el vértice es ;−
3 8 4
e) ninguna opción es incorrecta
29) La recta que pasa por los puntos (1;-3) y (-2;1) tiene ecuación:
4 5 4 5
a) y = 4 x − 3 b) y = − x− c) y = − x+
3 3 3 3
2 8
d) y = − x− e) ninguna opción es correcta
3 3
31) El punto (a;−48) pertenece a la recta que pasa por los puntos (0;0) y (1;3) si:
3 1 2 1
33) La recta que pasa por los puntos − ; y − ;− tiene pendiente:
2 3 3 3
5 5 4 4
a) m = b) m = − c) m = d) m = − e) ninguna opción es correcta
4 4 5 5
5 15
34) Encuentre la ecuación de la recta que es paralela a y = − x − , y que pasa por el
2 3
1 3
punto − ;
2 2
5 7 7 5 7 29
a) y − =− x b) y = − x + c) y + x− =0
2 3 3 2 3 36
7 54
d) y − x = e) todas las afirmaciones son falsas
3 23
17
35) La parábola y = 3 (x − a)(x − 5) tiene eje de simetría la ecuación x = . Entonces:
6
a) a = 2 9 b) a = 1 3 c) a = 2 3 d) a = − 3 2 e) ninguna opción es correcta
1 1 1
36) Si una parábola pasa por el punto 1; y tiene como vértice ; entonces su
5 2 3
representación es:
143
8 2 8 1 8 2 8 1 8 2 8 1
a) y = − x + x+ b) y = x + x+ c) y = − x − x+
15 15 5 15 15 5 15 15 5
8 8 1
d) y = − x 2 + x− e) Ninguna de las anteriores
15 15 5
37) Halle la ecuación de la recta que tiene la misma ordenada al origen que la de
x − 2 y + 3 = 0 y cuya pendiente es el doble de la de x − 2 y + 1 = 0
3 3 1 3 3
a) y = − x+ b) y = − x+ c) y = 2 x +
2 2 2 2 2
1 3
d) y = x − e) ninguna opción es correcta.
2 2
3 1 3
a) y = 2 x + b) y = 2 x + c) y = 5 x +
2 2 2
3
d) y = 2 x − e) ninguna opción es correcta
2
1 3 5 5
42) ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos ;− y ;−
2 2 2 2
43) ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−3;2) y (4;−5)
144
46) Un puente colgante tiene una configuración parabólica en sus cables principales, las
coordenadas del vértice son (0,-25) y una de las abscisas al origen es (60,0). ¿Cuál es la
ecuación de la parábola?
a) ramas ascendentes con dos raíces reales e iguales y corta al eje de ordenadas en un
valor positivo
b) ramas ascendentes con dos raíces reales distintas y corta al eje positivo de ordenadas
c) ramas descendentes con dos raíces reales e iguales con ordenada al origen positiva
d) ramas descendentes con dos raíces reales distintas y corta al eje positivo de
ordenadas
e) ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
a) A b) B+C c) B d) C e) A+B+C
145
Unidad 4
a) a=2; b=-2 b)a=4; b=-8 c)a=-2; b=2 d)a=-4; b=20 e)ninguna es correcta
4) Resolver: (x + 8) = 9
(x + 2) x( x + 2 )
10x − 5 y = 55
5) Sea el sistema , tiene como solución:
2 x − y = −11
a −1 a − 5 a + 5
6) La ecuación − = es satisfecha por:
4 36 9
y = 2x2 − 8
8) El siguiente sistema: tiene por soluciones:
y = 4x − 2
2 x − y = 4
9) La solución analítica del sistema es:
x + 2 y = −3
a) x = 1, y = −3 b) x = −1, y = −3 c) x = 2, y = −3
d) x = 1, y = 3 e) ninguna opción es correcta
146
1
a) ningún número real b) x = 1 c) x = −1; x =
2
d) 𝑥 = 2 e) ninguna opción es correcta
a) las raíces son reales e iguales b)las raíces son reales y distintas
c) las raíces son complejas conjugadas d) las raíces son imaginarias puras
e) todas las afirmaciones son falsas
12) Un rectángulo tiene un perímetro de 26m y un área de 36m2. Si los lados son x e y,
calcular las dimensiones.
a) x = 4, y = 5 b) x = 4, y = 6 c) x = 3, y = 7 d) x = 4, y = 8
e) ninguna opción es correcta
5
13) La ecuación − 4 x − 3 = + 6 es satisfecha por:
x
1
a) x = 0; x = 6 b) x = 2; x = − c) x = 2
6
d) ningún número real e) ninguna opción es correcta
15) Un rectángulo tiene un perímetro de 16m y un área de 15m2. Si los lados son x e y,
calcular las dimensiones.
a) x = 4, y = 5 b) x = 3, y = 5 c) x = 3, y = 7 d) x = 4, y = 8
e) ninguna opción es correcta
2 x + 3 y = 3
16) La solución analítica del sistema es:
6 y − 6 x = 1
1 3 1 2 1 2
a) x = ,y= b) x = − , y = c) x = ,y=−
2 2 2 3 2 3
1 2
d) x = , y = e) ninguna opción es correcta
2 3
1 3
17) La ecuación − 3( x − 5) + x = − 1 − x es satisfecha por:
2 4
147
2
y = 5
x+3
18) La solución del siguiente sistema de ecuaciones: es:
y = 2
x+4
3
15 2 15 2 3 15
a) − ;− b) − ; c) − ;−
2 3 4 3 2 4
3 15
d) ;− e) ninguna opción es correcta
2 4
19) La base (B) de un rectángulo es el doble que su altura (H). ¿Cuáles son sus dimensiones
si el perímetro mide 30cm?
30 15 4 2 10 5
a) B = ,H = b) B = ,H = c) B = ,H =
3 3 3 3 3 3
8 4
d) B = , H = e) ninguna opción es correcta
3 3
x + 4 x + 2 4x − 2
20) Resuelva la siguiente ecuación: − =
x + 2 x − 2 x2 − 4
5 1 1
a) x = − b) x1 = − ; x2 = c) x = −2 d) x1 = 2; x2 = −2 e) ninguna es correcta
3 2 2
2
21) La ecuación 6 x − 7 = + 4 es satisfecha por:
x
a) Ningún número real b) x = 2 y x = − 1 c) x = 0 y x = 2
6
d) únicamente por x = 2 e) ninguna afirmación es correcta
3
y = 2
x+5
22) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
y = 5 1
x−
2 2
11 53 11 53 11 53
a) ; b) ;− c) − ;
2 2 2 4 2 4
11 53
d) − ;− e) ninguna opción es correcta
2 2
1 2
23) La ecuación 2( x − 3) + x = 1 + x es satisfecha por:
3 3
19 172 51 57
a) x = b) x = c) x = d) x = e) ninguna opción es correcta
7 21 7 11
1
24) La ecuación 3( x − 9) + x = ( x − 3) es satisfecha por:
3
148
25) Las intersecciones de las siguientes rectas I) Y=2x–4 II) Y= –x+5 es el punto de
coordenadas:
26) Una persona recibe una herencia que utiliza de la siguiente forma: 1/3 de ella lo destina a
comprar un automóvil, con el 20% del resto paga sus deudas y lo que queda, $27000, lo
deposita a plazo fijo en un banco. ¿Cuál es el monto de la herencia?
27) Halle los dos números positivos cuya diferencia sea 5 y su producto 24.
3 9
28) La ecuación a + 5 + = 4 + es satisfecha por:
a a
1 1
a) ninguna opción es correcta b) a = −5 ; a = 4 c) ningún número real
2 2
d) a = 2; a = 3 e) a = 2; a = −3
29) Indicar cuál/es son los valores de x que verifican la siguiente expresión
2 3 x + 2
2
+ = 2
x −2 x + 2 x −4
a) 4 y 1 b) -4 y 0 c) 4 y 2 d) 2 y 4 e) 4, 3
x + 4 y = −1
30) Dado el sistema de ecuaciones: , ¿cuáles de los pares siguientes es
3 x − 2 y = −3
solución?
a) ( x; y ) = (1;3) b) ( x; y ) = ( 0; −1) c) ( x; y ) = ( 3; −1)
d) ( x; y ) = ( −1;0 ) e) ( x; y ) = ( 0;0 )
r1 : 3 x − y = 20
31) Indicar el punto de intersección de las siguientes rectas:
r2 : y − x + 6 = 0
−11 11 −3 11
a) (−3; ) b) (3; ) c) (7, 1) d) (1;7) e) ( ; )
2 2 2 2
x − 3 ( x − 2)2 3
32) Calcular x en la siguiente expresión: − + =0
2 2x 2
3
a) x = 0 b) x = 1 c) x = d) x = −1 e) Ninguna de las anteriores
4
r1 : 3 x − y = 6
33) Encontrar la intersección de las siguientes rectas:
r2 : − x − y = −2
149
2 x − y = 3
34) Sea el siguiente sistema de ecuaciones: Su solución es:
−2 x − 2 y = −6
a) (5;1) b) (1;5) c) (5;−1) d) (1;2) e) ninguna opción es correcta
35) Luego de 10 partidos sin perder, un equipo tiene 22 puntos. Si por cada partido ganado le
otorgan 3 puntos y por cada partido empatado, un punto; ¿Cuántos partidos ganó y cuántos
empató?
a) G = 7; E = 8 b) G = 6; E = 4 c) G = 5; E = 5
d) G = 17; E = 5 e) G = 7; E = 3
y = 3x + 2
36) Indicar el punto de intersección de las siguientes rectas:
3y − x + 6 = 0
−11 11 −9 31 −3 −11
a) (−3; ) b) (3; ) c) ( ; ) d) ( ; )
2 2 2 2 2 2
e) Ninguna de las opciones anteriores
37) Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y
pavos hay?
38) Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos
5 6
del trayecto cuando el B ha recorrido del mismo. ¿Cuántos kilómetros más lleva
11 13
recorridos el que va adelante?
a) 15 Km b) 260 Km c) 264 Km d) 4 Km e) 60 Km
4 x − y = 9
39) Sea el siguiente sistema de ecuaciones: Sus soluciones son:
−2 x + 6 y = 12
r1 = 2 x + 3
40) Indicar el punto de intersección de las siguientes rectas:
r2 = −3 x + 2
1 13 −3 1
a) (− ; ) b) (3;1) c) ( ; ) d) (0, −1) e) Ninguno de los anteriores
5 5 2 2
150
Unidad 5
1) El perímetro del triángulo rectángulo de la figura es:
a) P = −
3
2
( )
3 −1 b) P =
3
2
( 3) c) P =
3
2
+ ( )
3 +1
d) P =
3
2
( 3 + 1) e) ninguna opción es correcta
30°
4 3
a) A = 8 3 2 b) A = 3 c) A = 3
3 8
d) A =
3
2
( 3) e) ninguna opción es correcta
3) Hallar la ecuación de la recta que pasa formando la hipotenusa del triángulo rectángulo de
la figura:
5
2
4
4 3
a) y = x+2 b) y = 2 x + 4 c) y = x+2
5 4
2
d) y = x + 2 e) Ninguna opción es correcta.
5
6 6 h
4
6
4
151
a) h = 3 3 b) h = 3 2 c) h = 2 2 d) h = 2 3 e) ninguna opción es correcta
4 4 h
2 7
a) 3 b)49/2 c) 3 d) 49 3 e) ninguna es correcta
7 6
8) Si en un triángulo rectángulo uno de sus ángulos es de 45º y uno de sus catetos es de 8cm.
Su perímetro (P) y área (A) es:
( )
a) P = 8 1 + 2 cm; A = 32cm
2
b) P = 16 ( )
2 + 1 cm; A = 64cm2
c) P = 32cm; A = 64cm 2
(
d) P = 8 2 + 2 )cm; A = 32cm 2
30°
3
2
152
10) El área del triangulo rectángulo de la figura es:
45°
3 3 8
a) A = b) A = c) A = 4 3 d) A = e) ninguna opción es correcta
2 2 3
30°
a) P = 7 2 (
b) P = 2 6 + 4 2 ) c) P = 2 3 +
3
2
d) P = 2 2 3 + 3 ( ) e) ninguna opción es correcta
30°
a) P = 6 3 (
b) P = 6 2 + 3 ) c) P = 2 6 + 6 3
(
d) P = 2 6 + 3 3 ) e) ninguna opción es correcta
3 3 3
a) A = b) A = c) A = d) A = 3 e) ninguna opción es correcta
4 8 16
BC = 4 m B
60°
A D C
a) P = 6 3 b) P = 2 +
10
3
3 (
c) P = 6 1 + 3 ) (
d) P = 2 1 + 3 )
e) ninguna opción es correcta
153
15) El área del triangulo rectángulo de la figura es:
45°
3 2
a) A = b) A = 6 c) A = 6 3 d) A = e) ninguna opción es correcta
2 2
30°
15 3 5 2 5 3 75 3
a) A = b) A = c) A = d) A =
3 2 2 2
e) ninguna opción es correcta
c
4 3
30º
1
a) c = 2 3 b) c = c) c = 6 d) c = 12 e) ninguna opción es correcta
8
3
a) P = 1 + 3 b) P = 2 + 3 c) P = d) P = 3
2
e) ninguna opción es correcta
2 3
a) c = 3 b) c = 3 c) c = 3 6 d) c = 5 3 e) ninguna opción es correcta
2 2
154
20) Calcule el área de la superficie rayada
Cada mosaico
mide 36cm2
2 2 2 2
a) 678cm b) 648cm c) 774cm d) 738cm e) ninguna es correcta.
2 3
a) A = 2 2 b) A = c) A = 2 3 d) A = 2 6
3
e) Ninguna opción es correcta
22) De un triángulo sabemos que: a = 4, A=90° y C = 45°. Calcular el área del triángulo
a) 2 b) 8 c) 4 d) 2 2 e) ninguna es correcta.
23) Dado un triángulo rectángulo, se sabe que sus dos catetos miden 1/3 cm. Calcular el
perímetro del triángulo.
2+ 2 2+ 2 3+ 3
a) cm b) cm c) cm
2 3 2
3+ 2
d) cm e) Ninguna de las anteriores
3
3
24) Indique qué ángulos tienen como valor del sen( ) =
2
3 2
a) y 2π b) y c) 0 y π d) y
2 4 4 3 3
e) Ninguno de los anteriores
25) Dado un triángulo rectángulo, se sabe que uno de los catetos mide 4 cm y la hipotenusa
mide 8 cm. Calcular el área del triángulo
155
3 2 2 3
a) 8 3 cm2 b) 2 3 cm2 c) 2 2 cm2 d) cm2 e) cm2
2 3
26) Indique cuál de los siguientes enunciados es verdadero respecto de la función sen( )
28) Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto de la función: cos( x)
a) Es periódica con período igual a π/2 b)Es periódica con período igual a π
c) Es antiperiódica d)Es periódica con período igual a 2π
e) No existe para valores de x = k
a) 2 2 b) 6 2 c) 3 2 d) 5 e) 10
1
d) = cos e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta
sen
32) Dado un triángulo rectángulo, se sabe que dos de sus ángulos interiores son iguales y la
hipotenusa mide 10 cm. Calcular el área del triángulo
30 2
a) 20 3 cm2 b) cm2 c) 20 2 cm2 d) 25 cm2 e) 100 cm2
2
33) Un salón rectangular mide 30 metros por 30 3 metros. Determine el ángulo que forma la
diagonal con el lado mayor.
34) Un aula de clase de forma rectangular mide 12 metros por 6 metros. Calcular la longitud
de la diagonal.
156
a) 4 3m b) 18m c) 3 6m d) 6 5m e) ninguna opción es correcta
35) Si el sol esta a 30º sobre el horizonte, ¿Qué largo tiene la sombra que proyecta una árbol
de 12 metros de altura?
36) Un trozo de alambre de 15 metros de longitud se dobla para formar un triángulo equilátero.
Determinar la superficie de dicho triángulo.
4
c
30º
2 4 4
a) c = 3 b) c = 2 c) c = 3 3 d) c = 3 e) ninguna opción es correcta
3 3 3
30º
a) A = 4 3 b) A = 6 3 c) A = 3 3 2
d) A = 3 3 e) ninguna opción es correcta
30º
2 1 3
a) P = 81 + 3 b) P = 81 + 3 c) P = 81 + 2
3 3 2
3
d) P = 81 + 3 e) ninguna opción es correcta
2
40) Calcular el área del siguiente triángulo isósceles
10
6 10
12
a) A = 12 3 b) A = 24 c) A = 48 d) A = 32 e) ninguna opción es correcta
157
Resultados
Unidad 1
1) Opción e : FFFF 29) Opción d
2) Opción c 98
3) Opción c 30) Opción e:
5
4) Opción e : VVVF 31) Opción b
5) Opción e : VVFF 32) Opción b
6) Opción e : FFVF 3
7) Opción c 33) Opción e: − + 2i
8) Opción e : VVFV 2
9) Opción c 34) Opción a
16 16
10) Opción a 35) Opción e: − i
11) Opción c 3 3
12) Opción c 36) Opción a
13) Opción e: 26 37) Opción d
14) Opción d 38) Opción b
15) Opción e: a 20
9 39) Opción a
38 8
16) Opción a 40) Opción e: − + i
37 13 13
17) Opción e: 41) Opción e: − 1
36
42) Opción a
18) Opción e: 7
43) Opción c
19) Opción c
44) Opción c
20) Opción a
45) Opción e
21) Opción c
−9 46) Opción a
22) Opción e: x 20
47) Opción a
23) Opción d 48) Opción d
24) Opción a 49) Opción e
19
4 2
25) Opción e: a 12 50) Opción e: + i
4 5 5
26) Opción e:
5
27) Opción e: 16 a9 b12
57
28) Opción e:
25
Unidad 2
1) Opción c x−2
2) Opción c 9) Opción e:
x+3
13
3) Opción e: − 10) Opción e: -8
18 11) Opción c
4) Opción b 12) Opción e: 1
5) Opción d 13) Opción a
6) Opción c 14) Opción d
7) Opción d 15) Opción e: − 2 x3 + 4 x 2 − 2 x
8) Opción b 16) Opción b
158
17) Opción e: 2(x + 1) 32) Opción d
2
Unidad 3
1) Opción b 24) Opción c
2) Opción d 5
3) Opción a 25) Opción e: a =
2
4) Opción b 26) Opción c
5) Opción a 27) Opción d
2
3 49 28) Opción c
6) Opción e: − 2 x + + 29) Opción b
4 8
7) Opción d 30) Opción e: V = (− 2;−6)
8) Opción a 31) Opción e: a = −16
9) Opción c 32) Opción d
10) Opción c 33) Opción d
2 5 1
3 1 34) Opción e: y = − x +
11) Opción e: 2 x − − 2 4
2 2
35) Opción c
12) Opción a 36) Opción a
13) Opción c 3
14) Opción b 37) Opción e: y = x +
15) Opción c 2
16) Opción e: − 12 x − 32 38) Opción b
39) Opción d
17) Opción e: 5 x 2 + 10 x + 8
40) Opción c: V = (− 1;2)
18) Opción b
19) Opción e: 7 41) Opción a
20) Opción a 42) Opción a
1 43) Opción d
21) Opción e: m = 44) Opción c
6 45) Opción b
3
22) Opción e: y = x 46) Opción e: y =
1 2
x − 25
2 144
4 47) Opción e: ramas descendentes,
23) Opción e: a = −
25 con dos raíces reales iguales, con
ordenada al origen negativa.
159
Unidad 4
2 21) Opción b
1) Opción e: a = − ; b = 6
3 11 53
22) Opción e: ;
2) Opción c 2 4
3) Opción a 57
4) Opción c 23) Opción e: x =
25
5) Opción b
78
6) Opción c 24) Opción e: x =
7) Opción b 11
8) Opción c 25) Opción c
9) Opción e: x = 1; y = −2 26) Opción a
10) Opción d 27) Opción d
11) Opción b 28) Opción e
12) Opción e: x = 4; y = 9 29) Opción a
30) Opción d
5
13) Opción e: x = −1; y = − 31) Opción c
4 32) Opción b
14) Opción a 33) Opción d
15) Opción b 34) Opción e: (2;1)
16) Opción d 35) Opción b
124
17) Opción e: x = 3 5
19 36) Opción e: − ;−
2 2
15 3
18) Opción e: − ; 37) Opción c
4 2 38) Opción d
19) Opción a 39) Opción d
20) Opción a 40) Opción a
Unidad 5
1) Opción d 17) Opción d
2) Opción c 18) Opción a
3) Opción c 19) Opción e: c = 2
4) Opción a 20) Opción e: 1530cm2
5) Opción d 21) Opción c
49 3 22) Opción c
6) Opción e:
4 23) Opción b
7) Opción a 24) Opción d
8) Opción d 25) Opción a
26) Opción e
3 3
9) Opción e: A = 27) Opción c
16 28) Opción d
10) Opción a 29) Opción d
11) Opción d 30) Opción c
(
12) Opción e: P = 6 1 + 3 ) 31) Opción e: 20m
13) Opción c 32) Opción d
14) Opción c 33) Opción a
15) Opción b 34) Opción d
16) Opción d 35) Opción c
160
25 3
36) Opción e: A =
4
37) Opción d
38) Opción d
39) Opción a
40) Opción c
161