MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

x = Asen(ωt + φ 0 ) amáx a=0 amáx

V=0 Vmáx V=0

x = elongación, m
A = amplitud (elongación máxima), m
ω = pulsación angular (frecuencia angular), rad/s –A O +A
φ0 = fase inicial, rad
dx
v= = Aω cos(ωt + φ 0 ) velocidad en m/s
dt

dv
a= = − Aω 2 sen(ωt + φ 0 ) = −ω 2 x aceleración en m/s2
dt

Vmáx = Aω a máx = Aω 2

Característica de un MAS → a = −ω 2 x → a = cte · x

1 –1 2π
ω = 2πf (rad/s) f = (s = Hz) T= (s)
T ω

k k k
MUELLE: F = − Kx = ma → a = − x → ω2 = → ω= → k = ω 2 ·m
m m m

ENERGÍA DE UN MAS

1 2 1 2 1 1 2 1
Ep = kx Ec = mv = k ( A 2 − x 2 ) Em = Ec + Ep = kA = mω 2 A 2
2 2 2 2 2

PÉNDULO SIMPLE

l 2π k
T = 2π donde ω = o bien ω =
g T m

Aspectos trigonométricos útiles:

cos θ = 1 θ = 2 nπ múltiplo par de π

cos θ = −1 θ = (2n + 1)π múltiplo impar de π
π
cos θ = 0 θ = (2n + 1) múltiplo impar de π/2
2
π
senθ = ±1 θ = (2n + 1) múltiplo impar de π/2
2
senθ = 0 θ = nπ múltiplo de π
 EL MOVIMIENTO ONDULATORIO
- Periodo (T): tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos.
- Longitud de onda (λ): distancia entre dos puntos sucesivos en igualdad de fase.
λ
- Velocidad de propagación (Vp): Vp = (m/s) velocidad a la que se propagan los pulsos.
T
1
- Frecuencia (f = ν): f = (Hz = s −1 ) número de pulsos producidos por unidad de tiempo.
T
- Amplitud (A): distancia máxima que separa un punto de la perturbación de la posición de equilibrio.

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA

 t x
y( t , x ) = A sen(ωt ± Kx + φ 0 ) o bien y( t , x ) = A sen2π ± 
T λ
2π 2π −1
ω= (rad/s) ≡ pulsación angular ; K=
(m ) ≡ número de ondas
T λ
- Velocidad transversal de un punto de la onda: v( t , x ) = y' ( t , x ) = Aω cos (ωt − Kx) → vmax = Aω
- Aceleración transversal de un punto de la onda: a ( t , x ) = v' ( t , x ) = - Aω 2 sen (ωt − Kx) → amax = Aω2

– Diferencia de fase entre dos puntos de la onda en un mismo instante de tiempo:

φ1 = ωt – kx1 , φ2 = ωt – kx2 → ∆φ = k(x2 – x1)

– Diferencia de fase entre de un mismo punto en dos instantes diferentes:

φ1 = ωt1 – kx , φ2 = ωt2 – kx → ∆φ = ω(t2 – t1)

ENERGÍA DE UNA ONDA

1 1
E = Ec + Ep = mV 2 + mω 2 y 2
2 2
1
Para la máxima elongación V = 0 , y = A: E máx = mω 2 A 2 = 2mπ 2 f 2 A 2
2
Intensidad de onda: energía que atraviesa por unidad de tiempo una superficie colocada en el punto donde se
mide, perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
 w 
I ∝ A2  2 
m 
P  w 
Si no hay pérdidas: I =   (P ≡ potencia del foco emisor)
4πr 2  m 2 
 w 
Si hay pérdidas: I = I 0 ⋅ e −βx  2  (β ≡ coeficiente de absorción del medio)
m 

SONIDO

I 1 A 12 I1 r22 P P E
= = I= = =
I 2 A 22 I 2 r12 S 4πr 2
S·t

β w w
Intensidad sonora: I = I 0 ⋅ 10 10
I 0 = 10 −12
m2 m2

 I 
Nivel de intensidad sonora: β = 10 ⋅ log  dB (decibelios)
 I0 
ONDAS ESTACIONARIAS

Dos ondas iguales propagándose en sentidos opuestos:

1) y1 = Asen(ωt − kx ) ; y 2 = Asen (ωt + kx )

A + B A −B
y = y 1 + y 2 → Usando sen A + sen B = 2 sen   ⋅ cos  → y(x, t) = 2A cos kx · sen ωt
 2   2 
2) y1 = Asen(kx − ωt ) ; y 2 = Asen (kx + ωt )
A + B A −B
y = y 1 + y 2 → Usando sen A + sen B = 2 sen   ⋅ cos  → y(x, t) = 2A sen kx · cos ωt
 2   2 
3) y1 = A cos(kx − ωt ) ; y 2 = A cos(kx + ωt )
A + B A −B
y = y 1 + y 2 → Usando cos A + cos B = 2 cos  ⋅ cos  → y(x, t) = 2A cos kx · cos ωt
 2   2 
4) y1 = A cos(ωt − kx ) ; y 2 = A cos(ωt + kx )
A + B A −B
y = y 1 + y 2 → Usando cos A + cos B = 2 cos  ⋅ cos  → y(x, t) = 2A cos kx · cos ωt
 2   2 

También pueden ser útiles:

A+ B A −B  A+ B   A− B 
sen A − sen B = 2 cos  ⋅ sen   ; cos A − cos B = −2 sen   ⋅ sen  
 2   2   2   2 

Para el caso: y(x, t) = 2A cos kx · sen ωt → Ar = 2A cos kx

2π λ
Máximos de interferencia: cos kx = ±1 → kx = nπ → x = nπ → x = n
λ 2
π 2π π λ
Mínimos de interferencia: cos k x = 0 → kx = (2n − 1) → x = (2n − 1) → x = (2n − 1)
2 λ 2 4
Distancia entre dos máximos o dos mínimos consecutivos.

λ λ λ λ
x1 = n , x 2 = ( n + 1) → d = x 2 − x 1 = → d=
2 2 2 2

λ λ λ λ λ/2
x 1 = (2n − 1) , x 2 = ( 2n + 1) → d = x 2 − x 1 = → d=
2 2 2 2
Distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos: Ar

λ λ λ λ
x1 = n , x 2 = ( 2n − 1) → d = x 1 − x 2 = → d=
2 4 4 4
λ/4

EFECTO DOPPLER
VF VO
v − vO
X f '= f ⋅
v − vF

VO = velocidad del observador ; VF = velocidad del foco ; v = velocidad de la onda;

 EFECTO DOPPLER

VF VO
v − vO
X f '= f ⋅
v − vF

VO = velocidad del observador ; VF = velocidad del foco ; v = velocidad de la onda;

Casos:
v − vO
1) Foco en reposo (VF = 0) y observador alejándose: f ' = f ⋅
v
v + vO
2) Foco en reposo (VF = 0) y observador acercándose: f ' = f ⋅
v
v
3) Foco acercándose y observador en reposo (VO = 0): f ' = f ⋅
v − vF
v
4) Foco alejándose y observador en reposo (VO = 0): f ' = f ⋅
v + vF
v + vO
5) Los dos al encuentro: f ' = f ⋅
v − vF
v − vO
6) Los dos separándose: f ' = f ⋅
v + vF
 CAMPO GRAVITATORIO

Mm
F = −G ⋅ur
r2
M r
g = −G 2 ⋅ u r r=R+h
r
M
V = −G
r h
Mm R
U = −G
r
B
WA→B =
∫ F ⋅ dr = U
A
A − U B = − ∆U = m ⋅ (VA − VB )

MT m  1 1 
W=G  − 
2  ri rf 
1 Mm 2GM
Velocidad de escape: Ec + Ep = 0 → m v 2 − G = 0 → Ve =
2 r r
Mm v2 GM
Velocidad orbital: Fg = Fc → G =m → Vo =
r r r
1 Mm
Energía mecánica de un satélite: Ec = m v 2 ; Ep = −G →
2 r
1 Mm 1 Mm
EM = m v2 − G =− G
2 r 2 r
2π 2πr 2πr r3
Periodo en una órbita circular: T = = = = 2π
ω v GM GM
r
l
Periodo de un péndulo: T = 2π
g

Leyes de Kepler:
dA L T12 r13
- Áreas = - Periodos =
dt 2m T22 r23

DATOS:
G = 6’673 ·10-11 N·m2 / Kg2 M T = 6·1024 Kg RT = 6380 Km g0 = 9’81 m/s2
 CAMPO ELÉCTRICO
Qq
F=K ⋅ ur qe = 1.6·10-19 C
2
r
F = q⋅E me = 9.1·10-31 Kg
Q
E=K ⋅ ur mp = mn = 1.67·10-27 Kg
r2
V=E· d K = 9·109 N·m2/C2
Q
V =K ε0 = 8.85·10-12 F/m
r

Qq
U=K
r
B
WA→B =
∫ F ⋅ dr = U
A
B − U A = q (VA − VB ) (si sale + →trabajo realizado por el campo eléctrico; si

sale  → trabajo realizado por un agente externo)

∫
Ecuación de Maxwell: V = − E ⋅ d r = − Er si el campo es constante → VB – VA = E · d

La variación de potencial disminuye en el sentido del campo.

CAMPO MAGNÉTICO
INTERACCIÓN MAGNÉTICA

Ley de Lorentz : F = q( v × B)
[B] = T (teslas)
Ley de Laplace: F = I (l × B )

FUENTES DEL CAMPO

µ0I
Línea indefinida de corriente: B = (µ0 = 4π·10-7 T m/A)
2πd

µ0I
Espira circular (en el centro): B =
2r

INDUCCIÓN MAGNÉTICA

Flujo magnético: Φ =
∫ B ⋅ dS = B ⋅ S ⋅ cos θ Wb (webers)

dΦ ∆Φ Φ − Φi
Fuerza electromotriz inducida: Ε = − =− =− f (voltios)
dt ∆t ∆t
Ε
Corriente inducida: I = (amperios)
R
 OPTICA
c c v c
c0 = 3·108 m/s v= ; λ0 = ; λ= =
n f f nf

λ n 2 v1 λ1
f0 = fmedio v= λ· f ; n= 0 ; = =
λ n1 v 2 λ 2

Ley de Snell: n1 · sen θi = n2 · sen θr

n
Ángulo límite: sen θ l = 2 , n1 > n2
n1
sen i n 2 v1 λ1
= = =
sen r n1 v 2 λ 2

sen (i1 − r1 )
Láminas plano paralelas: desviación del rayo de luz: δ = d ⋅
cos r1

δ +φ
sen  m 
Prisma óptico: n =
sen i
=  2 
sen r φ
sen  
2
 FÍSICA CUÁNTICA

Ecuación de Planck : E = h ⋅ f , h = 6’63·10–34 J·s

c 1 λ
f= T= = c0 = 3·108 m/s
λ f c

1
Efecto fotoeléctrico: h · f = W0 + Ec → h ⋅ f = h ⋅ f0 + mv 2
2

1  1 1 
= R − R = 1’09677 m–1
λ  n2 n2 
 1 2

h h
De Broglie λ = =
p mv

h
Heisenber ∆x ⋅ ∆p ≥
2π

FÍSICA NUCLEAR

∆E = ∆m ⋅ c 2 (1u = 1’66·10–27 Kg 1eV = 1’6·10–19 J)

Defecto de masa de un átomo: ∆m = Z · mp + (A – Z) · mn – M

 N 
Radiactividad: N = N 0 ⋅ e − λt → − λt = Ln 
 N0 
Ln 2
Periodo de semidesintegración: T 1 =
2 λ
1
Tiempo de vida media: τ =
λ
Defecto de masa en una reacción nuclear: por ejemplo 235
92 U + 01 n → 92
36 Kr + 141
56 Ba + 3 01 n

∆m = mU + mn – (mKr + mBa + 3 mn)

me = 9.1·10-31 Kg ; mp = mn = 1.67·10-27 Kg
partícula α = helio 4 = 24 He
0
radiación β = electrón = −1 e
1
neutrón = n 0

protón = 11 H = 11 p deuterio = 12 H titrio = 13 H

fotón = 00γ