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Lineas de Transmision
Lineas de Transmision
Lineas de Transmision
LINEAS DE TRASMISION
C.I. 17491525
Febrero
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN. 1
2.1 RESISTENCIA. 43
2.2 INDUCTANCIA. 46
2.2.1 Inductancia interna del conductor. 47
2.2.2 Inductancia entre dos puntos externos. 51
2.2.3 Inductancia monofásica de dos conductores. 52
2.2.4 Enlaces de flujo dentro de un grupo de conductores. 55
2.2.5 Inductancia en conductores compuestos. 57
2.2.6 Inductancia en líneas trifásicas. 59
2.3 CAPACITANCIA. 63
2.3.1 Campo eléctrico en un conductor recto. 64
2.3.2 Capacitancia entre dos conductores. 65
2.3.3 Capacitancia trifásica con espaciamiento equilátero. 66
2.3.4 Capacitancia trifásica con espaciamiento asimétrico. 69
2.3.5 Capacitancia trifásica respecto a tierra. 72
2.3.6 Capacitancia en conductores agrupados. 74
2.4 CLASIFICACIÓN DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. 76
2.4.1 Línea corta. 77
2.4.2 Línea media. 79
2.4.3 Línea larga. 81
2.5 POTENCIA MÁXIMA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN. 91
CONCLUSIONES. 123
BIBLIOGRAFÍA. 125
GLOSARIO. 144
SIMBOLOGÍA
f nm p Frecuencia Hz
120
a Np Relación de transformación Adimensional
I
Ns
Vp Is
V p
s
RMG mn
dabdabdab M
n
nr Radio medio geométrico M
n1
Rcd R1.02l Resistencia en cd Ω/m
A
L Inductancia h/m
I
XL 2 fL Reactancia inductiva Ω/m
Cn Q Capacitancia F/m
Vn
XC 1 Reactancia capacitiva Ω/m
2 fCn
Z R jL Impedancia serie Ω
PR VR I Potencia activa W
R
Las líneas de transmisión son visiblemente aquellas estructuras metálicas con conductores
colgantes que se extienden a varias decenas o cientos de kilómetros de longitud
cumpliendo la finalidad de transportar grandes cantidades de energía eléctrica desde de los
centros de generación a los diferentes centros de consumo que integran la red del sistema
eléctrico. En las líneas de transmisión se presentan mayores pérdidas de energía eléctrica
que en cualquier otro elemento que integran al Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), de tal
manera resulta de suma importancia estudiar las causas que ocasionan pérdidas de energía.
Los parámetros de la línea de transmisión ocasionan caídas de tensión que se hacen
1
evidentes al final de la línea de transmisión, por ello los estudio de estos parámetros son
pertinentes en el cálculo de caídas de tensión que se presentan en los conductores de la
línea de transmisión, esto nos permite determinar el nivel de tensión en el extremo
generador de la línea de transmisión debido a las pérdidas producidas por estos parámetros.
Como se apreciará en los Capítulos siguientes los parámetros juegan un papel importante
en el estudio de transporte de energía eléctrica, sin embargo no se pueden mencionar los
efectos de la línea de transmisión sin antes describir la importancia de la línea de
transmisión como parte del SEP.
2
nuevamente, estos a su vez reducen la tensión para una red de distribución integrada con
líneas de subtransmisión a niveles de tensión de 138, 115, 85, y 69 kV y con líneas de
distribución a niveles de tensión de 34.5, 23, 13.8, 6.6, 4.16 y
2.4 kV adecuados para el consumo energético en México [IV].
Aunque las líneas de transmisión son físicamente los elementos más simples no las hace las
menos importantes dentro del SEP, de echo no se podría clasificar por importancia los
componentes que integran a dicho sistema (generador, transformador, línea de transmisión
y carga) debido a que si se tiene en cuenta que la ausencia de alguno de estos en cualquier
punto de la red perjudicaría o interrumpiría el flujo de potencia eléctrica que requiere la
demanda en los centros de consumo afectando a su vez en cierta medida a todo el Sistema
Eléctrico de Poten
3
CAPÍTULO I
ELEMENTOS DEL SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA
Por otro lado, la optimización de los recursos naturales también se ha logrado gracias al
avance y la buena operación de los elementos que integran al Sistema Eléctrico de Potencia
los cuales son: generadores, transformadores, líneas de transmisión y los puntos de carga
(demanda) [1], dichos elementos se describen en las siguientes Secciones.
4
generador síncrono debe mantener su velocidad y voltaje generado constantes a pesar de las
variaciones en la potencia eléctrica demandada por los consumidores.
Los generadores trifásicos síncronos están constituidos principalmente por un estator, rotor
y una fuente de excitación de cd, la cual puede ser un generador pequeño de cd montado
sobre la flecha del rotor o una fuente externa de cd conectada al devanado de campo. Un
generador trifásico consta de tres devanados de armadura (correspondiente a cada una de
sus fases) distribuidos sobre el estator y un devanado de campo enrollado sobre el rotor que
puede ser de dos tipos: i) rotor de polos salientes, cuando su construcción sea de más de
cuatro polos y opere a velocidades de media a baja y ii) rotor cilíndrico, cuando se requiera
altas velocidades de operación, construido de dos y cuatro polos [2, 3].
El generador síncrono por medio del devanado de campo origina un flujo magnético
constante que se induce en los tres devanados de armadura que se encuentran desfasados
120o eléctricos uno con respecto a otro, originando un voltaje equilibrado para cada una de
las fases del generador (ver Apéndice A) [4].
5
Figura 1.1. Ciclo de desfasamiento del circuito trifásico del generador.
Los métodos más comunes para aplicar corriente directa al devanado del rotor son [4]:
La frecuencia eléctrica del voltaje generado esta estrechamente relacionada con el número
de polos y las revoluciones del rotor [2, 4]
nm p
f 120 (1.1)
6
Por otro lado, el voltaje generado se produce por la velocidad a la que son cortadas las
líneas de flujo originadas en el devanado de campo. Al mismo tiempo el flujo depende de
la corriente de magnetización del circuito de campo (Im) de tal
forma que el voltaje EA varía a razón del incremento de esta corriente (ver figura
1.2), esto se conoce como curva de magnetización de la máquina [4]. El voltaje en el
generador se determina por,
EA K (1.2)
Figura 1.2. Corriente magnetizante. a) Relación flujo-corriente de campo del generador síncrono y
b) Curva de magnetización de la máquina síncrona.
7
generador trabaja en vacío o sin carga los voltajes EA y V son idénticos. Las
1. La distorsión del campo magnético del entrehierro debido a la corriente que fluye
del estator, llamada reacción del inducido.
La primera causa es la más importante y ocurre cuando se conecta una carga a las
terminales del generador, esta carga produce un campo magnético que se opone y
distorsiona al campo magnético original alterando los voltajes de fases resultantes. El
campo magnético del estator ( est ) produce su propio voltaje en el interior del generador (
Eest ) estos dos nuevos valores dan como resultado un campo magnético neto ( net ) y un
voltaje de salida V respectivamente, ver ecuaciones (1.3) y (1.4). La segunda causa se da a
V EA Eest (1.3)
8
Figura 1.3 Circuito equivalente del voltaje de salida del generador.
Los devanados del generador pueden ser conectados en estrella o en delta (ver figura 1.4).
Según sea el tipo de conexión se puede obtener diferentes características en el voltaje de
salida del generador, por ejemplo si se conecta en estrella (ver figura 1.4a) se puede obtener
dos niveles diferentes de tensión determinados por la ecuación (1.6) y si se conecta en delta
(ver figura 1.4b) el voltaje será el mismo dada la condición de la ecuación (1.7). Los
voltajes y corrientes originados en las fases de salida del generador tendrán la misma
magnitud sí la carga conectada a ellas esta balanceada.
9
VT 3V (1.6)
VT V (1.7)
Figura 1.4. Conexiones entre los devanados del generador. a) Conexión en estrella y b) conexión
en delta.
10
1.2. TRANSFORMADOR
Las principales ventajas que se obtienen de elevar el nivel de tensión a niveles muy altos es
para i) reducir las pérdidas producidas por la corriente, ii) evitar las caídas de tensión en el
extremo final de la línea de trasmisión y iii) reducir los costos por instalación [1, 5].
11
Figura 1.5. Representación del transformador. a) Representación básica del
transformador. b) Representación esquemática del transformador ideal.
v (t) Np
p a (1.8)
vs (t) Ns
Vp
a
Vs (1.9)
Ip
1 (1.10)
Is
12
Los ángulos de los voltajes y corrientes en el lado primario y secundario son idénticos
debido a que una de las características del transformador es conservar
13
las propiedades de los fasores. Por este motivo los ángulos no son considerados en las
ecuaciones (1.9) y (1.10).
14
Figura 1.7. Conexiones de polaridad en las combinaciones serie-paralelo. a) Serie-Serie,
b) Serie-Paralelo, c) Paralelo-Serie y d) Paralelo-Paralelo.
Z
Vp (1.13)
p
Ip
Z
Vs (1.14)
s
Is
15
Z p a2Z (1.15)
El circuito equivalente real se caracteriza por representar las principales características que
ocasionan pérdidas eléctricas en un transformador real (ver figura 1.8) [2, 4], tales como la
resistencia y reactancia de los devanados primario y secundario y las pérdidas producidas
por los fenómenos de histéresis y corrientes parásitas, comúnmente conocidas como
pérdidas en el hierro del transformador.
Figura 1.8. Circuito equivalente del transformador. a) Circuito equivalente del transformador de
potencia, b) Circuito con resistencias y reactancias agrupadas y c) Circuito con la corriente
magnetizante despreciable.
16
La figura 1.8a representa al transformador en vacío como a plena carga. Si el transformador opera
en vacío no existe flujo de corriente por el devanado
secundario e I1 será igual a cero, circulando solamente corriente de
magnetización con una pequeña caída de tensión debido a la impedancia del
devanado primario (Rp + jXp), por tal forma se considera que
I1 Im . Ahora bien al
Rep = Rp + a 2 Rs (1.16)
X ep = X p + a2 X (1.17)
s
17
Psalida
n 100%
Psalida
Ppérdidas
n Vs Is coss
V I cos 100% (1.19)
s s s pérdidas en el hierro I
2
es
R
Por otro lado, la regulación de voltaje (VR% ) es la relación entre el voltaje de salida
nominal (VSnom ) y el voltaje de salida a plena carga (VScar ).
VScar VSnom
VR% 100 (1.20)
VSnom
18
Figura 1.9. Transformador trifásico. a) Transformadores monofásicos y b) Transformador trifásico
en un mismo núcleo.
Cuando se inicia el estudio de circuitos trifásicos es necesario tener en claro los conceptos
de voltajes de línea (VL ) y voltajes de fases (V ) para no provocar errores significativos en
el análisis. Un voltaje de línea es aquel que se obtiene de entre dos polos positivos (fases),
mientras que el voltaje de fase resulta sólo de una fase y su polo negativo (neutro o tierra).
Las conexiones que se realizan entre los devanados del transformador trifásico, (ver figura
1.10) [2, 3] son:
19
Conexión Y-Y. El voltaje de fase del devanado primario ( Vp ) se obtiene de la ecuación
(1.21), mientras que el voltaje de línea a línea por la ecuación (1.22). La principal ventaja
de una conexión en Y-Y es que se obtiene un punto común entre
devanados que puede ser conectado a tierra, además de poder obtener dos
niveles diferentes de tensión.
Vp (1.21)
3
VLp
VL 3Vp
p (1.22)
a 3V
VL
s
s
VLp 3Vp
VLs
Vs
VLp
VLs 3 a (1.23)
Conexión ∆-Y. Este tipo de conexión es utilizada en la práctica para satisfacer circuitos
trifásicos como cargas monofásicas. Los voltajes de fase y línea del lado primario son
iguales, mientras que los voltajes del lado secundario están
20
relacionados por VLs 3Vs , debido al punto común existente entre sus
VLp V
VLs p
3V
s
VL
p 3 (1.24)
a
VL
s
Conexión ∆-∆. Este tipo de conexión permite mantener equilibrado el voltaje trifásico en
condiciones de carga no equilibradas. En una conexión ∆-∆ no existe voltaje de fase
por el hecho de que no hay un punto común entre los devanados, sin embargo es común
considerar la igualdad entre el voltaje de línea y fase.
VLp Vp y V V
Ls s
VL Vp
p (1.25)
VL a Vs
s
21
Figura 1.10. Conexiones de los transformadores trifásicos. a) Estrella-Estrella, b) Estrella- Delta, c)
Delta-Estrella y d) Delta-Delta.
22
1.3. LÍNEA DE TRANSMISIÓN AÉREA
A continuación se hace una breve descripción de los componentes que integran la línea de
transmisión aérea.
Estructura metálica
Conductores
Es el medio por el cual se transporta la potencia eléctrica de un punto a otro, los materiales
empleados son el cobre y el aluminio ya que poseen baja resistencia al paso de la corriente
eléctrica y además son económicos comparados con la plata que posee menor resistencia,
pero es muy costosa. Otro material utilizado en los
23
conductores es el acero, su uso es para aportar mayor resistencia mecánica cuando es
utilizado en conjunto con los anteriores materiales [7, 8].
Conductores de cobre
Es un conductor formado por varillas de acero cubiertas de una gruesa capa de cobre que
proporcionan la resistencia eléctrica y mecánica adecuada para su operación. Los
conductores de cobre (también llamados Copperweld) se fabrican de dos hasta 19 alambres
y son muy resistentes a la corrosión, su instalación sólo se emplea en zonas de alta
corrosión como lo son las zonas costeras. Este tipo de cable ha permitido ampliar la
distancia entre las estructuras metálicas (técnicamente conocida como vano) ya que reduce
su peso hasta un 50% del peso del cable de cobre puro, pero mantiene las mismas
características mecánicas que tiene el conductor de cobre puro [7].
Conductores de aluminio
Los conductores de aluminio han ido remplazando a los conductores de cobre debido a su
menor costo y su menor ligereza. Estos cables mantienen una resistencia mecánica del
mismo valor que la del conductor de cobre, permitiendo ampliar a un más los vanos, otra
ventaja es el obtener mayores diámetros de
24
conductor para una resistencia eléctrica equivalente a la del cobre, mientras mayor es el
diámetro las líneas de flujo eléctrico se separan más en la superficie reduciendo así el efecto
corona [7, 9].
Aisladores
Hilos de guarda
Los hilos de guarda están situados por encima de los conductores de fase, su propósito es
interceptar las descargas provenientes de rayos atmosféricos antes de que contacten a los
conductores de fases. Los hilos de guarda se fabrican de acero galvanizado y algunas veces
de Alumoweld o ACSR de sección menor que los conductores de fases, estos se conectan a
la estructura metálica para enviar la
25
descarga eléctrica a tierra y así evitar daños a los componentes que integran la línea de
transmisión [1].
Seccionadores
Pararrayos
Apartarrayos
El arreglo en las líneas de transmisión esta relacionado por la forma geométrica en las que
están dispuestos los conductores o grupos de conductores, en este tipo de estudio destaca la
importancia de considerar la distancia entre conductores de línea, conductores de fase y los
conductores de guarda, dicha relación de distancias se conocen como distancia media
geométrica y radio medio geométrico
26
[8, 10], las cuales adquieren mayor importancia en el estudio de enlaces de flujos que se
describen en el Capítulo II.
27
1.3.2.2. Radio medio geométrico
Otro aspecto importante que se utiliza para determinar los parámetros de inductancia y
capacitancia es el radio medio geométrico ( RMG ) el cual representa la relación de
distancia que existe en un mismo entorno, es decir es la distancia existente entre los hilos
de un sólo conductor, o en el caso de estudio de líneas de transmisión, la distancia media
geométrica entre conductores de una sola fase [10]. Algunos arreglos utilizados con mayor
frecuencia en el transporte de la energía eléctrica se muestran en la Sección 1.3.3.
1/ n
RMG r n rh (1.27)
r
28
Tabla 1.1. Valores de radio medio geométrico.
Son líneas de transmisión en la cual se disponen dos conductores por fase, tal como se
muestra en la figura 1.12, donde las distancias entre los conductores de
29
cada fase son simétricas, esto quiere decir que daa dbb dcc .
RMG 4
r Cuando 2R' daa´ dbb´ (1.31)
2R'
2
r 2R' dcc´
donde r es el radio del conductor y R' es el radio que se forma entre los
conductores de fase.
30
1.3.3.2. Línea de tres conductores por fase
Figura 1.13. Arreglo en disposición equilátera con tres conductores por fase.
DMGAB 9 dab dab dab dab dab dab dab dab dab (1.32)
DMGAC = 9 d d d d d d d d d (1.33)
ac ac ac ac ac ac ac ac ac
Por otro lado, para el RMG de las fases A, B y C la ecuación resultante se obtienen del
modelo de la figura 1.13, sólo si la representación es simétrica y considerando que los
conductores son del mismo diámetro para las tres fases.
31
Sin embargo, es común establecer la ecuación del RMG en base al radio que se forma en el
agrupamiento entre conductores. En la figura 1.14 se observa que el ángulo formado entre
el conductor a y la vertical es de 60 , por lo tanto
Por otro lado, considerando el radio y distancia entre conductores asimétrica el radio
medio geométrico se determina de la siguiente forma
32
1.3.3.3. Línea de cuatro conductores por fase
En la figura 1.15 se muestra una disposición de cuatro conductores por fase colocados
simétricamente. Las ecuaciones siguientes determinan la DMG entre cada una de las fases.
DMGAB = 16 dab dab dab dab dab dab dab dab …dab dab dab dab (1.40)
DMGAC = 16 dac dac ' dac '' dac ''' da 'c da 'c ' da 'c '' da 'c ''' …da '''c da '''c ' da '''c '' (1.41)
da '''c '''
Figura 1.15. Arreglo en disposición asimétrica con cuatro conductores por fase.
4 8 4
RMG= 16 r d d 2
r daa (1.43)
d aa
4
aa
=
33
Por otra parte, la ecuación (1.43) se puede representar en una forma más práctica.
En la figura 1.16 se observa que la distancia 2
daa 2Rsin 45 y la distancia
R
daa 2R , por lo tanto la ecuación (1.43) se reduce a
4 r R
3
RMG= 4
(1.44)
En forma general se puede determinar el radio medio geométrico de n conductores por fase
mediante la ecuación (1.45), siempre y cuando los conductores sean de radios iguales y
estén dispuestos simétricamente sobre un círculo de radio R .
n r R
n-
RMG= n
(1.45)
1
Así mismo, la DMG se puede obtener sencillamente bajo las siguientes dos
condiciones: i) si la distancia entre el agrupamiento de conductores es simétrica y
34
ii) si la distancia entre fases también es simétrica. De tal forma, la DMG es la distancia del
punto medio del conjunto de conductores de una fase al punto medio del conjunto de
conductores de la fase opuesta (ver figura 1.17.).
1.4. CARGA
La carga o demanda de energía eléctrica varia constantemente con el paso de los años, tal
incremento se puede relacionar con los índices de crecimiento del producto interno bruto
(PIB) o por los índices de consumos per cápita y el nivel de electrificación (porcentaje de
electrificación en la población) que existen en los países y que por otra parte son
indicadores del grado de bienestar en la sociedad.
35
Como resultado de las mejoras obtenidas en la eficiencia energética se tienen los logros
obtenidos en el sector residencial principalmente en la iluminación, calefacción, aire
acondicionado y entre otras aplicaciones, además se estima que este comportamiento
continuará en un período de mediano a largo plazo, sin embargo los países no miembros de
la OCDE han alcanzado mayor crecimiento del consumo energético tales como Asia y el
medio oriente con tasas de 8.8% y 5.8%, respectivamente. En la figura 1.18 se muestra el
comportamiento que ha adquirido el consumo de la energía eléctrica a nivel mundial en un
período de 10 años [II].
36
Por otro lado, el tipo de carga y la demanda energética no permanecen constantes durante
las horas del día, la aportación o el retiro de carga corresponden a un comportamiento
discontinuo entre las horas, días, semanas, meses o estaciones del año, este tipo de carga
representa los grandes consumos existentes en las subestaciones que puede ser tomado
como un modelo de agregación de consumidores. Una forma de representar el consumo de
potencia activa y reactiva de las subestaciones es mediante una gráfica denominada curva
diaria (ver figura 1.19) en la cual se muestran los consumos de kW y kvar por hora
empleados en un día [1].
37
CAPÍTULO II
PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Los parámetros que modifican el flujo de potencia eléctrica (activa y reactiva) en la línea de
transmisión son: la resistencia, inductancia, capacitancia y conductancia. Los dos primeros
son los de mayor importancia, en conjunto se les conoce como impedancia serie, la cual
está distribuida uniformemente en toda la línea sobre el mismo conductor y son los
principales causantes de pérdidas eléctricas. La capacitancia y conductancia se presentan a
lo largo de toda la línea entre conductores, en el caso de circuitos trifásicos balanceados se
presenta entre el conductor y neutro. A estos dos parámetros se les conoce como admitancia
en paralelo o en derivación, sin embargo en la práctica se desprecia el parámetro de
conductancia, debido a que varia continuamente por las condiciones atmosféricas y
ambientales, además posee un valor muy pequeño que no afecta en los cálculos. Por lo
anterior el presente Capítulo describe únicamente el efecto capacitivo, inductivo y resistivo
de la línea de transmisión [9]. Aunque la impedancia serie y la admitancia en paralelo se
presentan uniformemente distribuida a lo largo de toda la línea es correcto expresarla en
forma concentrada, debido a que sus valores se consideran de la misma magnitud en
cualquier punto de la línea.
2.1. RESISTENCIA
Por definición la resistencia es la propiedad que posee un material para oponerse al flujo de
corriente. Este parámetro representa la mayor pérdida de potencia eléctrica asociadas a los
parámetros de transmisión. La resistencia que produce esta pérdida se le conoce como
resistencia efectiva, expresada como
38
Pérdida de potencia en el
conductor
R = (2.1)
e
I2
Rcd
(2.2)
l
A
Los factores que intervienen en la variación de la resistencia son los siguientes [5]:
1. La disposición en espiral.
2. Temperatura.
Rcd
(2.3)
1.02L
A
39
donde el valor de ρ varía según sea el tipo de material del conductor, para el cobre ρ es
igual a 1.77 x 10-8 Ω.m y para el aluminio es de 2.83x10-8 Ω.m ambos a 20o Celsius [9].
R2 t2
(2.5)
R1 t1
40
donde es el coeficiente característico de la temperatura según el tipo de material del
conductor, expresado en grados Celsius. Sus valores típicos se muestran en la tabla 2.1.
2.2. INDUCTANCIA
41
flujo de cada uno de los hilos del conductor, a este fenómeno se le conoce como
inductancia (L).
interno del conductor ( ) se le conoce como inductancia interna ( Lint ), mientras que la
La inductancia interna se debe a los enlaces de flujo que existen dentro del conductor
originados por una misma corriente. La inductancia según sus enlaces de flujos
concatenados ( ) en Webers-vuelta (Wbv) se expresa como,
42
L
(2.7)
I
Por otro lado, la inductancia puede calcularse según su flujo interno considerando que cada
línea del flujo enlaza una fracción de la corriente total, pero para una línea de transmisión
es necesario considerar el flujo dentro y fuera del conductor [9]. En la figura 2.3 se
muestran los campos magnéticos originados por la corriente I que circula por el conductor.
43
fmm H.ds I Av (2.8)
expresada como
I x , por lo tanto la ecuación (2.8) se rescribe como
H ds I
x x
I x 2 xHx (2.9)
x2
Ix 2
I (2.10)
r
Hx x
Av/m (2.11)
I r
2
2
44
Mientras que el flujo a la misma distancia x se obtiene mediante
45
d Hx dx
xI
d dx
2r
2 Wb/m (2.12)
d x2
d (2.13)
r2
d Ix3
Wbv/m (2.14)
2dxr4
y los enlaces de flujo totales dentro del conductor se obtienen integrando la ecuación
(2.14) desde el origen al borde del conductor.
r
Ix I
3
int dx (2.15)
4
0 2r 8
o simplemente
I
int 107 Wbv/m (2.16)
2
46
I
107
L 2
I I
1
Lint 107 h/m (2.17)
2
Para determinar la inductancia externa del conductor se considera que lo que la Ix por
fmm que rodea la totalidad de la corriente I es I
2 xHx I (2.18)
x2
Ix 2
I (2.19)
I x
Hx 1
Av/m (2.20)
2 x
I
47
I
d dx
2 x Wb/m (2.21)
48
Por otro lado, los enlaces de flujos
dex difieren de los enlaces de dint , debido a
t
que el flujo d externo enlaza toda la corriente del conductor sólo una vez. Así los enlaces
de flujo respecto a las distancias entre los puntos P 1 y P2 (ver figura 2.3b) se obtienen
integrando la ecuación (2.21)
D
2 I dx ln
12 Wbv/m (2.22)
D
2 I D2
1 x 2 D
1
7 D2
12 210 I ln Wbv/m (2.23)
D1
D2
L12 2107 ln h/m (2.24)
D1
En una línea monofásica de dos conductores por fase la corriente que pasa a través de ellos
crea un campo magnético en la misma dirección, cuyo flujo enlaza al propio conductor y
dependiendo de la distancia existente entre ellos al conductor opuesto. Conforme aumenta
la distancia de separación entre conductores, la inductancia entre el conductor 1 y 2
disminuye ya que el flujo que los une decrece [1].
49
En la figura 2.4 se muestran dos conductores con radios r1 y con una distancia
r2
de separación ( D ) entre ellos. Los enlaces de flujo formados en el conductor 1 son
idénticos a los enlaces de flujos del conductor 2, si ambos tienen radios iguales, porque se
supone que la corriente que pasa por ambos conductores es de igual magnitud. “Una línea
de flujo producida por la corriente en el conductor 1 a una distancia igual o mayor a D + r2,
desde el centro del conductor 1 no enlaza al circuito. A una distancia menor a D – r2, la
fracción de la corriente total enlazada por una línea de flujo es 1.0”, [9]. De aquí en
adelante se utiliza D en sustitución de D + r2 o D - r2, cuando D es del centro de los
conductores.
(2.17) y (2.24), para hacer una relación más clara (en radios y distancias), se
sustituye r1
en lugar de D1 y D en lugar de D2 , así la inductancia en el conductor
1 queda
1 D
L 7 2 ln
10 h/m (2.25)
1
2 r
1
50
y manipulando algebraicamente en forma logarítmica se obtiene que
51
D D
L 2107 ln 1/4 ln 2107 ln h/m (2.26)
1 1/ 4
r r
1 1
D
L 2107 ln h/m
(2.27)
2 1/ 4
r
2
donde rε-1/4 es una constante que ajusta el radio del conductor que se considera sin flujo
práctica se sustituye por r’, así las ecuaciones (2.26) y (2.27) pueden rescribirse como
D
L 2107 ln
h/m (2.28)
1
r1
D
L 2107 ln
h/m (2.29)
2
r2
L L1 L2 4107 ln
r1r h/m (2.30)
D 2
y considerando
r1 la ecuación (2.30) se reduce a
r2
52
D
L 4107 ln
r´ h/m (2.31)
53
2.2.4. Enlaces de flujo dentro de un grupo de conductores
7
210 I
ln Wbv/m (2.32)
D1P
1P1 1
r´1
I2 queda
7
210 I
ln Wbv/m (2.33)
D2P
1P2 2
D12
54
En general los enlaces de flujo del conductor 1 debido a los n conductores son
55
2107 I ln D1P ln
D2P
ln
D3P
DnP Wbv/m
ln (2.34)
I I I
1P 1 2 3 n
r´ D D D
1 12 13 1n
1P
210
7 1
I ln r´ I2 ln 1 I3 ln 1 1
In ln
1 D D D
1 12 13 1n
In I1 I2 I3 In1
(2.36)
1P
1
2107 I ln r´ I2 ln 1 I3 ln 1 1
In ln
1 D D D
1 12 13 1n
D D D
I ln 1P I ln 2P I ln 3P
I
56
Dn1P 2.37)
ln
1 Wbv/m (
2 3 n1
D D D D
nP nP nP nP
57
2107 I ln 1 I ln I ln 1 1 Wbv/m (2.38)
1 1 r´ D 2 1 D 3 In ln
D
1 12 13 1n
I 1 1 1
a 2 107 ln ln ln 1
n r D D ln D
a ab ac an
7
I 1 1
1- 2 10 ln ln ln 1 Wbv/m (2.39)
ln
m D D D D
aa ab ac am
58
m Daa Dab Dac
2107 I ln Wbv/m (2.40)
Dam
a
n Daa Dab Dac an
D
a
L m Daa Dab Da
7
2n 10 ln Wbv/m (2.41)
a Dac m
Del mismo modo la inductancia de los hilos restantes se determina similarmente a la del
conductor a, así la inductancia promedio del agrupamiento del conductor X es
Lprom La Lb Lc Ln
(2.42)
n
59
Finalmente la inductancia del conductor X se obtiene por
60
LX Lprom La Lb Lc Ln
n n2
7
mn
Daa Dab Dam Dba Dbb Dbm Dna Dnb Dnm
Dac Dbc Dnc
LX 210 ln h/m (2.43)
D D D
2
n D D D D D D D D D
aa ab ac an ba bb bc bn na nb nc nn
7 DMG
L 210 ln
X
RMG h/m (2.44)
L LX LY (2.45)
61
Figura 2.7. Corrección del espaciamiento asimétrico en el circuito trifásico.
El procedimiento requiere en primer lugar determinar el flujo de una sola fase en cada una
de las transposiciones mediante las ecuaciones (2.46) a (2.48) [9].
2107 I ln 1 I ln 1 I ln 1
a1 a aa b 12 c 13
D D D (2.46)
2107 I ln 1 I ln 1 I ln 1
a2 a b c (2.47)
D D D
aa 23 12
a3 1
2107 I ln D I ln 1 I ln 1 (2.48)
a b c
aa
D31 D23
Por otro lado, para el cálculo de la inductancia del conductor a se requiere obtener
su flujo equilibrado. De tal forma, el valor promedio de a
se obtiene de
62
a1 a 2 a3
a
3
2107 1
1 1 (2.49)
I ln
3Ia ln Ib ln c
3 Daa D12 D23 D31 D12 D23 D31
obtiene que
Ia Ib Ic y sustituyendo en (2.49) queda
2 107 1 Ia ln 1
D D D
a 3Ia ln
D 3
aa 12 23 31
2 107 I
3 D12 D23
a
ln Wbv/m (2.50)
Daa
Finalmente la inductancia promedio por fase del circuito trifásico se obtiene de dividir
la ecuación (2.50) entre la corriente del conductor a,
L 2107 ln h/m
Daa
3D D
12 23
a (2.51)
cualquier3 disposición
D D geométrica trifásica, igualmente expresada como
12 23 De o como
q
63
DMGeq
y representa al RMG del conductor que igualmente puede ser
Daa
expresado por Ds
(ver tabla 1.1). La inductancia promedio para cualquier fase se
representar por
Deq
L 2107 ln
Ds
X h/m (2.52)
64
Considerando la geométrica del circuito simétrica, la ecuación (2.52) se reduce a
7 D
L 210 ln
h/m (2.53)
X
Ds
Figura 2.8. Agrupamientos típicos de conductores por fase en líneas de transmisión. a) De dos
conductores, b) De tres conductores y c) De cuatro conductores.
X
(2.54)
Dsb
misma fase.
b
De tal manera, para un agrupamiento de dos conductores Ds se expresa como
65
Ds d
2
Dsb 4
Dsd (2.55)
Dsb 9
Ds d d 3 Ds d (2.56)
3 2
s
Db 16 D d d
s 2d
4
1.094 D d (2.57)
s
3
XLX
2 Ω/m (2.58)
fLX
2.3. CAPACITANCIA
66
2.3.1. Campo eléctrico en un conductor recto
Q
E
2 xk V/m (2.59)
D2 D2
Q Q D
2
dx ln V (2.60)
V12
D1
Edx 2
D1 2k D1
xk
67
2.3.2. Capacitancia entre dos conductores
Q
C
V12 F/m (2.61)
La capacitancia entre dos conductores se debe a la caída de tensión de cada conductor, por
lo tanto la caída de tensión entre conductores es debida a cada una de sus cargas,
Qa D Qb rb
V ln ln (2.62)
a
b
V
2k ra 2k D
Q D2
Vab 2ak ln r r
V (2.63)
a b
y considerando que los radios de los conductores son idénticos, la ecuación (2.63) se reduce
68
a
69
Qa D
V 2 ln (2.64)
2k
ab
r
Q k F/m (2.65)
Cab D
Q a2 ln D
a ln
2k
r r
Por otro lado, la reactancia capacitiva que se produce en un conductor para una
permitividad relativa de
kr 1 se expresa como [9]
1
X 2.862 9 Ω.m al (2.67)
C D
10 ln neutro
2 fCan f r
70
conductores en una línea trifásica es
71
1 D r D
V Q ln ln Q ln V (2.68)
Qab a
2k r b c
D D
1 D D r
V Q ln ln Q ln V
Qac a
(2.69)
2k r b c
D D
Por lo tanto, al sumar las ecuaciones (2.68) y (2.69), considerando que el efecto a tierra es
despreciable, se obtiene
V V D r
1 ln Q ln V (2.70)
2Q
Q
2k
ab ac
a
D
b c
V V 3Qa D
ln V (2.71)
ab ac
2k r
72
Por otro lado, el voltaje de línea a neutro en un circuito trifásico, representado en la figura
2.11, es un punto común entre dos de los tres fasores.
73
Figura 2.11. Relación fasorial de voltajes en una línea trifásica.
V 3V 30 3V
0.866 (2.72)
j0.5
ab an an
V V 3V 30
3V 0.866 (2.73)
j0.5
ac ca an an
Qa D
V ln V
(2.75)
an
2k r
74
Qa
C 2k
n Van ln D / r F/m al neutro (2.76)
mientras que para una línea trifásica balanceada con neutro de retorno queda
En la ecuación (2.78) se observa que únicamente se expresa la parte capacitiva del conjunto
de la admitancia en paralelo (Y), el motivo por el cual la conductancia
(G) ha sido ignorada, se debe por la dificultad de obtener un valor exacto de este parámetro
y además por el echo del que no afecta en gran medida en los cálculos [1, 5, 9].
para la inductancia.
75
Figura 2.12. Transposición de un conductor con espaciamiento asimétrico. a) Posición 1,
b) Posición 2 y c) Posición 3.
1 D12 r D23
V Q ln Q ln Q V
(2.79)
ab a b c
2k r D D
12 31
1 D23 r D31
V Q ln Q ln Q V
(2.80)
ab a b c
2k r D D
23 12
1 D31 r D12
V Q ln Q ln Q V
(2.81)
ab a b c
2k r D D
31 23
Considerando que las cargas (Qa, Qb y Qc) por unidad de longitud son constantes en
cualquier parte del ciclo de transposición y que el voltaje entre un par de conductores es
diferente en cada ciclo, se obtiene el valor promedio de voltaje de las ecuaciones (2.79) a
(2.81).
76
1 D D D r3 D D D
V Q ln 12 23 31 Q Qc 12 23 31
a ln b
ab
6k r3 D D D D D D
12 23 31 12 23 31
1 Deq r
= Q ln Q ln
(2.82)
V
2k D
a b
r
eq
Deq D12
donde 3
.
1 Deq
V Q ln Q r (2.83)
lnac V
2k D
a c
r
eq
1 Deq r r
3V V V 2Q ln Q ln Q V (2.84)
a
an ab ac
2k r b
D c
D
eq eq
3Qa Deq
3Van ln V
2k r (2.85)
Qa
C
2k F/m al neutro (2.86)
an
77
ln D / r
n
V
78
2.3.5. Capacitancia trifásica respecto a tierra
Hasta ahora se ha considerado que los conductores están colocados en un medio dieléctrico
de extensión infinita, lo que es correcto suponer cuando la distancia que existe entre
conductores de fases es menor que la distancia entre conductores y tierra (suelo), esto
ocurre en líneas con niveles de tensión menores a los 220 kV, por otro lado con niveles
superiores a los 220 kV la distancia entre conductores de fases y conductores a tierra son
del mismo orden, a partir de este momento el efecto capacitivo a tierra es de gran
importancia [8].
La presencia de cuerpos conductores como lo son el suelo o los hilos de guarda afectan la
capacitancia de las líneas de transmisión, debido a que su presencia altera las líneas de
campo eléctrico, haciéndolas perpendicular hacia los cuerpos conductores (ver figura
2.13a).
Figura 2.13. Capacitancia con respecto a tierra. a) Líneas de campo eléctrico y b) Método imagen.
79
Actualmente para el estudio de la capacitancia con respecto a tierra se utiliza un método
llamado imagen (ver figura 2.13b), el cual consiste en suponer un conductor ficticio por
debajo del suelo a una misma distancia y dirección que el conductor real, suponiendo que
se elimine el plano de tierra y considerando que el conductor ficticio es el de retorno con
una carga igual y opuesta a la del conductor real se produce una diferencia de potencial
entre ambos conductores, siendo el punto medio de la distancia entre los conductores una
superficie equipotencial equivalente a considerar la diferencia de potencial del conductor
real con respecto a tierra [9].
Para calcular la capacitancia con respecto a tierra se considera la figura 2.13b, de la cual se
desprecia el efecto capacitivo de los hilos de guarda, debido a que comúnmente se
considera la línea trifásica permanentemente equilibrada [8]. En comparación a las
ecuaciones (2.79) a (2.81) para una disposición asimétrica de
los conductores se tiene que para el voltaje Vab en la posición uno con respecto a
tierra es,
1 r H D23 H
V D12 H12 ln 2 ln 23 (2.87)
Qa ln ln Q ln
b Qc ln
ab
2k r H H D D H
1 12 12 31 31
mientras que para las posiciones dos y tres se adoptan las ecuaciones (2.80) y
(2.81). Con esto de obtiene un valor promedio del voltaje Vab
con respecto a tierra
1 H H H 3
D D D r H 1 H 2 H 3
Vab ln (2.88)
Q ln
12 23 31
ln 12 23
Qb
31
2k ln a HH H
3
r D D D H H H
1 2 3 12 23 31 12 23 31
80
1 H H H 3
D D D r H 1 H 2 H 3
Vac ln (2.89)
Q ln
12 23 31
ln 12 23
Qc
31
2k ln a HH H
3
r D D D H H H
1 2 3 12 23 31 12 23 31
81
Por otro lado, al sumar las ecuaciones (2.88) y (2.89) se obtiene el voltaje de línea a neutro
considerando el efecto a tierra,
Qa
V Deq
ln ln 3
H12 H23 H31 (2.90)
an
2k
r
3
H1H2 H3
2k
C ln eq ln
D
n F/m al neutro (2.91)
3 H H H
12 23 31
r
3 HH H
1 2 3
repartirse por igual entre los hilos conductores que forman el agrupamiento de la fase
correspondiente. Se considera la figura 2.14 para determinar las ecuaciones
correspondientes a conductores agrupados.
82
Para un agrupamiento de dos conductores las cargas Qa , y son divididas
Qb Qc
entre dos en cada una de sus fases correspondientes, por lo tanto el diferencial de
potencial Vab
para conductores de dos agrupamientos es,
1 Qa D12 D12 Qb r d Qc D23
D23
V ln ln ln ln ln ln V (2.92)
ab
2 k D12 2
2 r d 2 D31 D31
D12
c c´
a a´ b b´
o en forma simplificada
1
V D23
Q ln D1 Q rd ln V (2.93)
2
ln
Q
2k D31
ab a b c
rd D12
Considerando el desarrollo de las ecuaciones (2.79) a (2.86) para una línea transpuesta se
consigue obtener la capacitancia al neutro para un agrupamiento de dos conductores,
2k
C F/m al (2.94)
n neutro
Deq
ln
rd
donde rd es similar a b
Ds con la excepción de que el radio del conductor se
considera externo, es por esto que el radio Ds es remplazado por el radio externo
del conductor r en las ecuaciones (2.95) a (2.97).
83 rd
b
Ds
c
4
r d (2.95)
2
84
mientras que para un agrupamiento de tres conductores
b 3 2
Ds 9
r d d rd (2.96)
c
3
b
D
s
16 r d d d
2
4
1.094 rd (2.97)
c
3
2k
C F/m al neutro (2.98)
n
D
ln Db
eq
sc
XC 1
Ω/m (2.99)
2 fCn
Las líneas de trasmisión son clasificadas en esta sección de acuerdo a la longitud de la línea
de transmisión y por tanto el comportamiento de los parámetros y ecuaciones asociados a
cada clasificación son diferentes. De tal manera, que resulta muy importante determinar los
parámetros y ecuaciones de cada tipo de línea de transmisión que se distinguen como líneas
cortas, medianas y largas [1, 10, 9].
85
2.4.1. Línea corta
Las ecuaciones que describen el modelo de líneas cortas son las siguientes:
Vs VR I R Z (2.100)
Is IR (2.101)
IR
respectivamente, Vs
y son los voltajes de línea a neutro en los mismos
extremos. VR
86
En su forma matricial las ecuaciones (2.100) y (2.101) se expresan como
V s 1 Z V
R (2.102)
Is 0 1 R
I
Los voltajes en las líneas de transmisión varían continuamente a razón del tipo de carga que
se transporte (resistivas, inductivas y capacitivas), esto modifica el factor de potencia de la
línea (ver figura 2.16). Si se mantiene el voltaje constante
VS cuando el voltaje VR está a plena carga (VRC ) se puede determinar la elevación
de voltaje en porciento en el extremo receptor, a esto se le conoce como
regulación de voltaje [1, 9].
VRV VRC
VR% 100 (2.103)
VR
C
87
implica un incremento de voltaje en el extremo generador, para el caso de cargas
capacitivas el incremento tiende a ser menor.
Las líneas medias comprenden longitudes superiores a la línea corta sin rebasar los 240 Km
de longitud, de igual forma que en las líneas cortas los parámetros se consideran en forma
concentrada, siendo el parámetro de admitancia en paralelo
(Y) de importancia en los cálculos, sin embargo se desprecia la conductancia ( G ). El
modelo de línea media (ver figura 2.17) se representa dividiendo la capacitancia en dos
partes iguales colocadas en ambos extremos de la línea, a este modelo se le conoce como
circuito π nominal [9].
Y
V V I Z V
(2.104)
s R R R
2
88
o simplemente
YZ
V 1 V Z
I (2.105)
s R R
2
Y Y
I V V I
(2.106)
s s R R
2 2
I YZ YZ
1 (2.107)
s VRY 1 I R
4 2
En forma general las ecuaciones (2.105) y (2.107) se representan por las constantes
generalizadas (ABCD) del circuito de la línea de transmisión. De tal modo, las ecuaciones
(2.105) y (2.107) se rescriben como
donde
ZY
A D 1
2 (2.110)
89
BZ (2.111)
90
C ZY simens (2.112)
Y 1
4
V s A B V R
(2.113)
I s C D R
I
Vs / A VRC
VR% (2.114)
VRC
Son líneas de transmisión superiores a los 240 Km de longitud, se representa de igual forma
que la línea media, con la diferencia que sus parámetros deben considerarse en forma
distribuida a lo largo de toda la línea, la diferencia entre parámetros concentrados y
distribuidos consiste en el caso de parámetros concentrados, al recibir una señal en el punto
de entrada del sistema instantáneamente aparece en su punto de salida, mientras que al
considerar los parámetros distribuidos la señal se retarda en reflejarse en el punto de salida,
esto implica un nuevo modelado de las ecuaciones que considere la longitud apropiada de
la línea, de las cuales existen los métodos por ecuaciones diferenciales y el método
Hiperbólico [9, 11].
91
Figura 2.18. Diagrama de línea de transmisión con parámetros distribuidos.
donde se define que x es la posición a lo largo de la línea (m), V(x) el fasor de voltaje en x
(V), I(x) el fasor de corriente en x (A), z= R+jωL es la impedancia serie (Ω/m), y= G+jωC
la admitancia en paralelo (S/m), Vs = V(l) es el voltaje en el extremo transmisor, VR el
voltaje en el extremo receptor, Is = I(l) es la corriente en el extremo transmisor, IR la
corriente en el extremo receptor y l la longitud de la línea de transmisión (m).
V x x V (x )
zI (2.116)
(x)
x
92
lim V x x V zI (2.117)
x0 (x)
(x)
x
dV (x)
zI (x)
dx (2.118)
Por otro lado, al resolver para I por la ley de corrientes de Kirchhoff, se obtiene
I x x I (x )
yV (x (2.120)
x)
x
dI (x)
yV (x)
dx (2.122)
d 2V (x) dI
dx2 z (x) (2.123)
dx
93
d 2I (x) dV
dx2 y (x) (2.124)
dx
94
y sustituyendo las ecuaciones (2.118) y (2.122) en las ecuaciones (2.124) y (2.123)
respectivamente, se encuentra que
d 2V (x)
dx2 zyV (x) (2.125)
d 2I (x)
dx2 yzI (2.126)
(x)
donde
yz obteniendo así la constante de propagación . La constante
2
yz
de propagación comúnmente se expresa en su forma rectangular con la parte real
nombrada constante de atenuación, α, expresada en nepers por unidad de longitud
y su parte imaginaria como constante de fase, β, expresada en radianes por unidad
de longitud [9].
j (2.127)
d 2V (x) 2
dx2 V (2.128)
(x)
x
V (x) V V
x
(2.129)
95
d x
V V
x
zI
(x) dx (2.130)
96
que es igual a
zI (x) V V
x
x
(2.131)
o en términos convenientes
zI (x) x x
V V
(2.132)
z
Al sustituir por
se obtiene la impedancia característica de la línea Zc
z z
zy
z y
que al ser remplazada por
en la ecuación (2.132), da como resultado
x
Z I (x) V V
x
c (2.133)
Por otro lado, las ecuaciones en el extremo receptor se obtienen de igual forma que las
ecuaciones (2.129) y (2.133)
V (0) Vr V V (2.134)
Z c I (0) Zc I V V (2.135)
r
Vr Zc Ir
V 2 (2.136)
97
mientras que dividiendo entre dos la diferencia de la ecuación (2.134) con (2.135) se tiene
98
Vr Zc Ir
V 2 (2.137)
Vr Zc Ir Vr Zc Ir
V (x) x (2.138)
x
2 2
Vr Zc Ir Vr Zc Ir
Z I (x) x (2.139)
x
c
2 2
y resolviendo para
Vr / Zc Ir Vr / Zc Ir
I (x) x
x
2 2 (2.140)
Vr Zc Ir Vr Zc Ir
V (x) x j x
x
j x
2 2 (2.141)
Vr / Zc Ir Vr / Zc Ir
I (x) x j x
x
j x
2 2 (2.142)
Los elementos x
99
los que hacen variar los niveles fasoriales de voltaje
y j x
son
y corriente a cierta distacia x . “El termino
cambia en magnitud conforme x
x
cambia, pero
j (que es identico a cos x sin j x ) siempre tiene una magnitud
x
100
z y y jC . Con esto se obtiene que Zc se reduce a , conocida
jL
L/
C se
como impedancia de sobre voltaje, al igual la constante de propagación
IL A
VL
(2.143)
3 L/C
CIS W (2.144)
2
VL
Las ecuaciones para voltajes y corrientes pueden ser representadas equivalentemente
L/C
mediante funciones hiperbólicas [9], definidas exponencialmente mediante
sinh (2.145)
2
cosh (2.146)
2
101
VR
I sinh l
s
I Zc R cosh (2.148)
l
102
y determinando como constantes generalizada a
A D cosh l (2.149)
B Zc sinh l (2.150)
sinh l
C (2.151)
Zc
IR en términos de Vs e Is .
IR Is Vs
cosh l sinh (2.153)
l
Z
c
Sin embargo, la aplicación de las ecuaciones (2.154) y (2.155) requieren de algún equipo en
especial. Otro modo de poder realizar las operaciones sin hacer uso de esos equipos es por
medio de las siguientes ecuaciones.
103
j j
cosh j 1
(2.156)
2 2
104
j j
sinh j 1
(2.157)
2 2
Y´Z´
V 1 V ´I Z (2.158)
s R R
2
siendo Z´ igual a
z sinh l
Z´ sinh l zl
y
zy
l
sinh l
Z´ Z l (2.160)
Y Z
1 cosh l
2 (2.161)
105
Y´ 1 cosh l 1
(2.162)
2 Zc sinh l
Y 1 l
tanh (2.163)
2 Zc 2
Y´ Y tanh l / 2
(2.164)
2 2 l/2
donde Y yl .
106
2.5. POTENCIA MÁXIMA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN
V
R RS B
I AV (2.166)
A A B B
VR VR 0 VS VS (2.167)
A VR
I V
S (2.168)
R
B B
107
I*
VS A (2.169)
VR
R
B B
S V I * P jQ (2.170)
R R R R
2
V V AV
P jQ s R
R
(2.171)
R R
B B
2
VS VR A VR
P cos cos (2.172)
R
B B
VS VR A VR 2
Q sin sin (2.173)
R
B B
V V
S R 2
En la figura 2.20 se representan los fasores AV
B y
R en su forma vectorial
B
de la cual es posible representar a
PR en sus componentes real e
jQR
e IR [9].
108
Figura 2.20. Potencia compleja.
PR VR I (2.174)
R
cosR
QR VR I sin (2.175)
R R
PR PR
FP
S 2 2
cosR (2.176)
PR QR
109
Por otro lado, si se recorre el punto inicial de PR en la figura 2.20 al punto
jQR
carga. Por otro lado, si ocurre un incremento en Vs para el mismo valor fijo de VR
V V AV 2
PR,max S R R cos (2.177)
B B
110
Figura 2.21. Potencia compleja desplazada al punto de origen.
111
CONCLUSIONES
El estudio de los elementos del Sistema Eléctrico de Potencia resulta de gran importancia
cuando se requiere el transporte y comercialización eficaz de la energía eléctrica. Es así que
los estudios asociados a la línea de transmisión detallan los parámetros que la caracterizan
como el elemento, dentro del Sistema Eléctrico de Potencia, que mayor pérdida de energía
eléctrica presenta. En el análisis de líneas de transmisión los parámetros se concentran en
dos grupos, uno con respecto a la rama serie formado por la parte real resistiva y la parte
imaginaria por la reactancia inductiva y el otro grupo representa a la rama paralelo
compuesta por la parte real de la conductancia, que generalmente suele despreciarse en este
tipo de estudio, y la parte imaginaria que corresponde al efecto capacitivo. Otro aspecto que
resulta importante en este tipo de estudio es la geometría que existe entre los conductores
de la línea de transmisión, por que a partir de ella se analizan los efectos inductivos y
capacitivos. En el transporte de la energía eléctrica, el análisis de la geometría y de los
parámetros de la línea de transmisión ha permitido desarrollar ecuaciones pertinentes para
determinar la caída de tensión que se presentan en el transporte de la energía a corta o larga
distancia, en donde se distingue que; el parámetro de la resistencia depende de la
resistividad del conductor, la cual se opone al flujo de corriente, originando así pérdida de
energía eléctrica en forma de calor, la inductancia es el parámetros que relaciona la pérdida
de energía almacenada en el campo magnético variable originado por la corriente de la
línea y la capacitancia representa las pérdidas eléctricas producidas por la corriente de carga
(Icarga), que es originada en el entorno del campo eléctrico por el diferencial de tensión entre
los conductores, esta corriente se suma a la corriente de la línea. Aunque en ocasiones la
capacitancia se desprecia en líneas cortas su valor adquiere importancia conforme se
incrementa la longitud de la línea, siendo de gran interés en líneas de trasmisión largas.
112
Por otro lado, mediante la solución de problemas característicos de líneas de transmisión
bajo diferentes condiciones de carga, se logró determinar el nivel de tensión apropiado que
debe suministrar el generador para compensar la caída de tensión, que se produce
naturalmente por los parámetros de la línea al transmitir energía eléctrica.
Finalmente dentro de esta investigación se expusieron los efectos que causan la rama serie
de la línea de transmisión, por ser los parámetros que afectan directamente el transporte de
la energía eléctrica. Mediante la herramienta de simulación PSAT se logró variar estos
parámetros con el fin de obtener el comportamiento que adquiere la línea de transmisión,
cabe mencionar que por medio de la simulación se identificó fácilmente que él parámetro
de la resistencia es él que mayor pérdida de energía eléctrica ocasiona seguido por el de la
inductancia y por último se entiende que la capacitancia representa una pérdida de menor
magnitud que los parámetros anteriores, por ser un parámetro presente en la rama paralelo y
por tal no afecta directamente al flujo de potencia.
113
BIBLIOGRAFÍA
[4] Chapman, Stephen J. (2005). Máquinas eléctricas. México. Mc Graw Hill. Cuarta
edición. ISBN 970-10-4947-0.
[6] Wildi, Theodore. (2007). Máquinas eléctricas y sistemas de potencia. México. Pearson.
Sexta edición. ISBN 970-2608-14-7.
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edición. ISBN 848-9708-19-3.
[9] Grainger, John J. - Stevenson jr, William D. (1996). Análisis de sistemas de potencia.
México. Mc Graw Hill. Primera edición. ISBN 970-10-0908-8.
114
[10] Enríquez, Harper G. (1990). Líneas de Transmisión y redes de distribución de potencia
eléctrica. México. Noriega Limusa. Preedición. ISBN 968-18-0531-3.
[13] Roadstrum, H. William.- Wolaver, H. Dan. (1999). Ingeniería eléctrica para todos
los ingenieros. México. Segunda edición. ISBN 970-15-0223-X.
[14] Mahmood, Nahvi.- Joseph, A. Edminister. (2005). Circuitos eléctricos. México. Mac
Graw Hill. Cuarta edición. ISBN: 844-8145-43-7.
Referencias electrónicas
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(2010). Prospectiva del sector eléctrico 2010-2025. Secretaria de energía. [En
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[2012, 15 Enero].
115
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http:www.es.escribd.com/doc/39011778 [2011, 1 Diciembre].
[V] Pura, C. Roy (2004). Panorama. Breve historia de la electricidad [En línea].
Disponible en http:// tecnicaindustrial.es/ TIFrontal/ a-1432- Breve-historia
electricidad. aspx [2011, 6 Diciembre].
116
APÉNDICE A
VOLTAJES Y CORRIENTES EN CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Los circuitos trifásicos tienen la ventaja de mantener tres líneas de fase con características
idénticas y poder obtener alimentación tanto para circuitos monofásicos como trifásicos. En
los circuitos trifásicos se presenta una secuencia de fases que está determinada por la fase
que alcanza primero su valor máximo de voltaje seguida de las otras dos fases restantes con
voltajes balanceados, es decir tener amplitudes idénticas (Voltaje y Frecuencia) y
desfasadas exactamente 1200 eléctricos una con respecto a otra [2, 12].
Los desfasamientos de voltajes y corrientes por fases en una conexión Y se presentan en las
ecuaciones (A.1) a (A.3) en forma anti-horaria. Suponiendo que la carga es totalmente
resistiva la corriente en cada una de las fases tendrán el mismo ángulo que sus voltajes
(Kosow, 1998).
117
Si el circuito esta balanceado la corriente de fase es igual en cada una de ellas, en una
conexión en Y la relación de corrientes no cambian por lo tanto IL = IØ. Por otro lado para
el análisis de la ecuación (A.4) se consideran las fases a y b balanceadas para determinar el
voltaje de línea ab, sin embargo el análisis es útil para cualquier representación de fases (ac
o bc).
V 3V 3 1 (D.4)
j
ab 2 2
Vab 3V 30
Vbc 3V 90
Vca 3V (D.5)
210
A diferencia de una conexión Y los devanados en ∆ no tienen conexión entre fase y neutro,
por lo cual los voltajes únicamente se consideran de línea a línea. Los
118
desfasamientos de voltajes y corrientes de la conexión delta para una carga puramente
resistiva están representados por las ecuaciones (A.6) a (A.8) [2].
Como no existe conexión de fase al neutro, la única conexión existente para el voltaje es la
de línea a línea, por lo tanto se considera que en una conexión delta VL V . Por otro lado
el desfasamiento que existe entre la corriente de fase y línea, considerando una carga
resistiva y balanceada, se determina en la ecuación (A.9), de igual forma esta ecuación es
útil para cualquier representación de fases.
Ia Iab Ica
Ia I 0 I 240
1
I I I 3 3 3
j I I j I
a
2
2
2
2
Ia 3 1
3 I
2 j 2 (D.9)
119
Ia 3 I 30
Ib 3 I 90
120
Ic 3 I (D.10)
210
Figura A.1. Desfasamiento entre voltajes y corrientes. a) Voltajes de línea a línea y de fase (línea
a neutro) conectados en Estrella y b) Corrientes de línea a línea y de fase conectadas en Delta.
121
APÉNDICE B
POTENCIA ELÉCTRICA
La potencia compleja es el producto del fasor de voltaje con el conjugado del fasor de la
corriente, comúnmente se denota por [13],
S S P jQ VI (E.1)
*
o particularmente como
P VI cos (E.2)
Q VI sin (E.3)
122
afectada por un cambio de signo (Mahmood y Joseph, 2005). Para la
representación de números complejos se tiene que:
i. En forma exponencial:
I A j I * A j .
,
I
*
i. *
I.
I
*
ii. I I* I*.
1 2 1 2
I
*
iii. I I* I*.
1 2 1 2
I
*
iv.
/I I*/I*.
1 2 1 2
FP P / S adimensional (E.5)
123
Comúnmente el factor de potencia se expresa en porcentaje, indicando que cantidad
de la potencia aparente es parte activa o reactiva, de otra forma él FP se
124
puede expresar en función del ángulo que existe entre el voltaje y la corriente, que es
idéntico al obtenido en el triángulo de potencia [6].
FP cos P / S (E.6)
cos1(FP) (E.7)
arctan (Q / P) (E.8)
Si P y Q son positivas se dice que la carga absorbe energía y la corriente de la línea que
va a la carga se atrasa en grados con respecto al voltaje de alimentación, mientras que
para Q negativas se dice que la corriente se adelanta en grados con respecto al voltaje.
Las cargas en adelanto corresponden a cargas capacitivas, mientras que para cargas en
atraso a cargas inductivas [6, 13].
125
A continuación se presentan algunas reglas para la representación del triángulo de potencias
[6].
126
Figura B.2. Triángulo de potencia bajo diferentes condiciones de carga.
127
APÉNDICE C
REPRESENTACIÓN DE VALORES EN POR UNIDAD
El cálculo por unidad tiene la ventaja de simplificar los cálculos, representando los
resultados reales en un valor mucho más pequeño (cercanos a 1) que generalmente se
expresan en decimales o porcentuales en forma adimensional. Los valores en por unidad
corresponden simplemente en un cambio de escala de las dimensiones de V, I, Z y S a partir
de un valor base o de referencia elegido convenientemente, de tal manera se define que el
valor en por unidad (p.u), es la relación entre el valor real y el valor base elegido.
A partir de los valores base de corriente y voltaje, se pueden obtener los valores base de
impedancia y potencia o de cualquiera de dos de esos valores obtener los otros restantes.
Las siguientes ecuaciones determinan los valores base de dos dimensiones de circuitos
eléctricos; en sistema monofásico y trifásico [1, 9].
Sistema monofásico:
SB
IB = (F.1)
V B Ln
Z BLn=
V
B
(F.2)
IB
2
ZB = VBLn
S (F.3)
B1
128
Sistema trifásico:
SB3
IB = (F.4)
3VBLL
Z B = V BL
/ 3
2
L
(F.5)
S /3
B 3
ZB =
V L
L
(F.6)
B S B3
Valor real
p.u. Valor base adimencional (F.7)
voltaje es V
BLL / 3.
129
En algunas ocasiones surge la necesidad de realizar un cambio de base dentro del
sistema, el cual se consigue mediante,
130
2
V S
Znueva p.u = Zdada p.u
Bdados B nuevos
(F.8)
V S
B nuevos B dados
El siguiente ejemplo muestra la forma de convertir los valores reales en p.u. y pone en
práctica el uso de las ecuaciones descritas en este Apéndice.
Ejemplo C.1.
En el circuito de la figura C.1, la tensión en el nodo de generación es de 13.2 kV, y las
características de los transformadores están indicadas en la tabla C.1 [1].
131
Dadas las impedancias ZL.T 10 j100 , ZC 300 . Determinar las corrientes
y
de los puntos marcados en la figura C.1, la tensión y potencia consumida en la carga C.
Solución:
Establecer las cantidades de tensiones base del sistema, cuyas dependen de la cantidad de
transformadores existentes. Para esto se distinguen zonas que relacionen a los
transformadores. La figura C.1 se divide en tres diferentes zonas, tal como se indica en la
figura C.2.
Se adoptan como valores base la potencia de 10 MVA y la tensión de 138 kV para la línea
de transmisión. A partir de estos valores se obtienen las tensiones, impedancias y corrientes
base de las distintas zonas marcadas en la figura C.2.
13.2
V V 13.8 (F.9)
kV
BG BL .T
132
69
V V
132
69 kV
(F.10)
BC BL .T
138
133
Haciendo uso de las ecuaciones básicas de circuitos eléctricos se obtienen las
impedancias base en cada una de las zonas.
ZBG
2
VBG 19.044
S
B
2
ZBL.T VBL.T 1904.4
S
B
2
ZBC VBC 476.1
S
B
IBG SB
0.418 kA
3VB
G
IBL.T SB
0.042 kA
3VBL.T
IBC SB
0.084 kA
3VBC
Por lo tanto se pueden obtener los valores en p.u. de cada una de las zonas mediante
la ecuación (F.7).
ZL.T
134
10
u
j1
00
0.
00
52
5
j0.
05
3
19
04
.4
135
mientras que para la carga C se obtiene
ZC p.u 300
0.63
476.1
13.2
V 0.957
1
13.8
2
13.2 10
Xnueva p.u = 0.1 0.183
13.8 5
2
69 10
Xnueva p.u = 0.08 0.08
69 10
Para obtener el voltaje de la carga es necesario primeramente obtener la corriente que pasa
por todo el sistema, esto se consigue aplicando la LKV, de la cual se obtiene que
136
por lo tanto la corriente serie es
0.9570 0.957
Iserie 1.348 26.384
0.635 0.315
2 2
0.709
V4 ZC Iserie (F.12)
S V I* (F.13)
4 4 serie
Para obtener los valores reales del sistema sólo basta multiplicar el valor en p.u con el
valor base de la zona correspondiente.
137
GLOSARIO
Ánodo: Electrodo por donde entra la corriente eléctrica en un electrólito. Por convenio se
adopta que el sentido de la corriente es del ánodo a cátodo (del polo positivo al negativo).
Átomo: Es la parte más pequeña en la que se puede obtener la materia de forma estable.
Campo eléctrico: Es un campo de fuerza alrededor del conductor creado por la atracción y
repulsión de cargas eléctricas.
138
Diferencia de potencial: Termino para expresar la diferencia de tensión o voltaje entre dos
puntos.
Efecto Corona: Es un fenómeno eléctrico que se produce en los conductores de las líneas de
alta tensión y se manifiesta a su alrededor en forma de halo luminoso. Dado que los
conductores suelen ser de sección circular, el halo adopta una forma de corona, de ahí el
nombre del fenómeno.
Electrólito: Sustancia que contiene iones libres, lo que hace que se comporte como un
medio conductor eléctrico.
Electrón: Partícula elemental mas pequeña de carga negativa que constituye a los átomos.
Parámetro: Es un dato que es tomado como necesario para analizar una situación mediante
su valor numérico.
Perdida por histéresis: Representa una pérdida de energía que se manifiesta en forma de
calor en los núcleos magnéticos.
139
Polaridad: Cualidad que permite distinguir cada una de las terminales de un elemento o
máquina eléctrica, las cuales pueden se positiva o negativa.
Turbina: Es una máquina rotativa que convierte en energía mecánica la energía de algún
fluido (agua, aire, etc.) que pasa continuamente por el interior de la máquina.
140