Clase 13 Vectores Parte 1 Operaciones Básicas

MATEMÁTICA
Vectores
(primera parte)
JTP: Roberto Fiadone
Cátedra de Matemática - Departamento de Fisicomatemática

1
Introducción: qué es un vector.
Las seis diapositivas que siguen son solo para recordar o
aprender conceptos sencillos que se supone ya saben,
pueden saltearse o dar una rápida leída, si creen que ya
lo saben, y pasar directamente al tema de las operaciones
básica.

2
¿Qué es un vector?
Si R representa la recta real, un segmento de recta queda determinado por sus dos
puntos extremos.
Cuando esos puntos están dados en un cierto orden, se dice que el segmento está
orientado.
𝑽 = 𝑨𝑩
Llamamos VECTOR a todo segmento orientado: el origen del vector es el primer

punto (𝑨) y el segundo punto es el extremo (𝑩).
Tres elementos identifican a un vector:
• DIRECCIÓN  determinada por la recta que lo contiene.
• SENTIDO  definido cuando se establece cual es el origen

y el extremo del vector, es la orientación sobre la recta.
• MÓDULO  longitud del segmento que lo representa. Es

siempre una cantidad escalar positiva.

3
Algunas definiciones que involucran a vectores:
❑ Decimos que dos vectores son equivalentes si tienen la misma dirección, sentido
y módulo.
❑ Decimos que dos vectores son opuestos cuando tienen la misma dirección, el
mismo módulo pero sentido opuesto.
❑ Decimos que dos vectores son colineales si están sobre la misma recta. Pueden
tener el igual o distinto sentido y/o módulo.
❑ Decimos que dos vectores son paralelos si las rectas que los contienen son
paralelas. Pueden tener el igual o distinto sentido y/o módulo.. Los vectores
colineales son también paralelos.
❑ Decimos que dos vectores son concurrentes si comparten el mismo origen.

4
Ejemplo 1
Clasificar, cuando sea posible, los siguientes vectores definidos en el plano.
• Los vectores 𝑽𝟏 y 𝑽𝟐 son equivalentes.
• Los vectores 𝑽𝟐 y 𝑽𝟒 son opuestos.
• Los vectores 𝑽𝟏 , 𝑽𝟐 , 𝑽𝟑 𝒚 𝑽𝟒 tiene la

misma dirección, son paralelos.
• El vector 𝑽𝟒 tiene la misma dirección que

los vectores 𝑽𝟏 , 𝑽𝟐 y 𝑽𝟑 pero sentido
opuesto.
• Los vectores 𝑽𝟐 y 𝑽𝟔 son concurrentes.
• Los vectores 𝑽𝟐 y 𝑽𝟒 son colineales y de

sentido opuesto.
• Los vectores 𝑽𝟏 y 𝑽𝟑 son colineales y con

igual sentido

5
Seguimos recordando cosas sobre vectores
Componentes y módulo de un vector con origen en A y extremo en B
Supongamos que los punto 𝐴 = 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 , 𝐵 = (𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ) representan el origen y el

extremo del vector 𝑉 = 𝐴𝐵.
Se llaman componentes de 𝑽 a las proyecciones de 𝑉 sobre los ejes x-y:
𝒗𝒙 = 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 ; 𝒗𝒚 = 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨
𝑽 = (𝒗𝒙 ; 𝒗𝒚 )
Las componentes del vector son escalares (números).
La forma 𝑉 = (𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 ) de expresar al vector se conoce como “par ordenado o forma

cartesiana”.
Del gráfico se deduce fácilmente como

calcular el módulo (longitud) del vector 𝑽:
𝑉 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2
𝑉 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 2 + 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 2
Observación:
· = indica módulo del vector La distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 es igual al
módulo del vector.
6
Componentes y módulo de un vector con origen en el centro de coordenadas y
extremo en B
Veamos que sucede cuando el origen del vector se encuentra en el centro de

coordenadas O = (0; 0).
Si 𝑽 = (𝒗𝒙 ; 𝒗𝒚 ) es el punto del plano que representa el extremo del vector decimos
directamente que 𝑶𝑽 = 𝑽 . En este caso las componentes valen lo mismo que las
coordenadas del punto.
𝑉 = 𝒗𝟐𝒙 + 𝒗𝟐𝒚
Los vectores 𝑽 y 𝐴𝐵 tienen la misma dirección, sentido y módulo: son equivalentes

7
Ejemplo 2
Utilizando el sistema de ejes coordenados de la figura (coordenadas x, y) responder las

siguientes preguntas (puede haber mas de un vector que sea solución de la pregunta)
a) ¿Qué vector (vectores) tiene componente x

distinta de cero?
b) ¿Qué vector (vectores) tiene componente x
negativas?
c) ¿Qué vector (vectores) tiene componente y
cero?
d) ¿Qué vector (vectores) tiene componente y
positiva?
e) ¿Qué vectores son equivalentes?
f) ¿Qué vectores son opuestos?
g) ¿Cuál es el vector de mayor módulo?
h) ¿Alguno es un versor?
Por ejemplo,
𝑉 = 3 − 1, −1 − (−1) = (2; 0)
es una respuesta posible para el punto c)

8
Operaciones básicas con vectores:
producto por un escalar,

suma y resta

9
Producto de un vector por un escalar
Dado el vector 𝐴Ԧ y un escalar 𝑘 ∈ ℝ 𝑘 · 𝐴Ԧ es un nuevo vector que
Ԧ
▪ Tiene la misma dirección que 𝐴.
▪ El módulo de este vector respecto al módulo de 𝐴Ԧ es:
• Mayor si |𝑘| > 1 (o sea, se obtiene un vector más largo que 𝐴Ԧ )
• Menor si 0 < 𝑘 < 1 (el nuevo vector es mas corto que 𝐴) Ԧ
▪ Sentido:
Ԧ
• Si 𝑘 > 0 tiene el mismo sentido que 𝐴.
• Si 𝑘 < 0 tiene el sentido opuesto que 𝐴Ԧ
Si 𝐴Ԧ = (𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) el vector 𝑘 · 𝐴Ԧ se escribe como 𝒌 · 𝑨 = 𝒌 𝒙𝑨 ; 𝒌 𝒙𝑩

El módulo de este nuevo vector es 𝒌 · 𝑨 = |𝒌|
ด · |𝑨|
ด
𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏
𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓

10
Ejemplo 3
Calcular analíticamente el producto del vector por el escalar y el módulo del
vector resultante en cada uno de los siguientes casos siendo 𝑨 = 𝟏; 𝟐
1 3 1 1
−1 · 𝐴Ԧ ; 2 · 𝐴Ԧ ; · 𝐴Ԧ ; − · 𝐴Ԧ ; − · 𝐴Ԧ ; · 𝐴Ԧ
2 2 5 5
𝑨 = 𝟏; 𝟐 𝑨 = 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟓
−1 · 𝐴Ԧ = −1; −2 −1 · 𝐴Ԧ = −1 · 5 = 5
2 · 𝐴Ԧ = 6; 4 2 · 𝐴Ԧ = 2 · 5 = 2 5
1 1 1 1 5
· 𝐴Ԧ = ;1 · 𝐴Ԧ = · 5=
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 5
− · 𝐴Ԧ = − ; −3 − · 𝐴Ԧ = − · 5 =
2 2 2 2 2
1 −1 −2 1 1 1
− · 𝐴Ԧ = ; − · 𝐴Ԧ = − · 5= · 5=1
5 5 5 5 5 5
1 1 2 1 1 1
· 𝐴Ԧ = ; · 𝐴Ԧ = · 5= · 5=1
5 5 5 5 5 5

11
Producto de un vector por un escalar
Graficamos los vectores del ejemplo 3

12
Vector unitario o versor
Llamamos vector unitario o versor a todo vector cuyo módulo vale 1. Sirven
para especificar una dirección determinada.
Si a un vector 𝐴Ԧ ∈ ℝ2 lo dividimos por su módulo (o multiplicamos por 1/|𝐴|)

Ԧ
obtenemos otro vector de igual dirección y sentido que 𝐴Ԧ pero de módulo 1.
Si llamamos 𝑈 a este nuevo vector

1 1 1
𝑈= · 𝐴 ⟹ |𝑈| = Ԧ
· 𝐴 = · 𝐴Ԧ = 1
Ԧ
𝐴 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ
Ejemplo Hallar el vector unitario asociado 𝐴Ԧ = (−4; 2)
𝐴 = −4 2 + 2 2 = 20
1 −4 2
𝑈= · (−4; 2) = ;
20 20 20
(el caso de que el vector se encuentre en ℝ3 es análogo)

13
Versores fundamentales
Un caso especial son los versores fundamentales o canónicos. Estos versores

se expresan de una forma particular:
En el plano En el espacio
𝑰 = (1; 0) 𝑰 = (1; 0; 0)
𝑱 = (0; 1) 𝑱 = (0; 1; 0)
𝑲 = (0; 0; 1)

14
Todo vector 𝐴 ∈ ℝ2 expresado en forma cartesiana 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 puede escribirse de la
forma
𝐴 = x𝐴 𝑰 + y𝐵 𝑱
y análogamente todo vector 𝐵 ∈ ℝ3 de componentes 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ; 𝑧𝐵 puede escribirse de
la forma
Nos olvidamos de la flecha
𝐵 = x𝐵 · 𝑰 + y𝐵 · 𝑱 + z𝐵 · 𝑲 sobre el nombre del vector,
ya entendemos diferencia
donde 𝑰, 𝑱 , 𝑲 son los versores fundamentales. entre punto y vector …
La descomposición de un vector como suma de vectores en las direcciones de los ejes

coordenados se denomina descomposición canónica.
Ejemplo 5
Efectuar la descomposición canónica de los vectores 𝐴 = (−5; 3) y 𝐵 = (1; −2; 5)
𝐴 = −5 · 𝐼 + 3 · 𝐽
𝐵 = 1 · 𝐼 − 2 · 𝐽 + 5 · 𝐾 = 𝐼 + −2 · 𝐽 + 5 · 𝐾

15
Dados los vectores 𝐴 = 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 , 𝐵 = 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ∈ ℝ2 definimos:
• Suma de vectores
𝐴 + 𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 · 𝑰 + 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 · 𝑱
• Resta de vectores
𝐴 − 𝐵 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 · 𝑰 + 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 · 𝑱
Ejemplo 6
𝐴 = 1; 2 𝐵 = −1; 3
𝑨 + 𝑩 = 1 + −1 ; 2 + 3 = 0; 5 = 5 · 𝑱
𝟏 1 1
𝑩 − 𝑨 = −1; 3 − · 1; · 2
𝟐 2 2
= −2; 2 = −2 · 𝑰 + 2 · 𝑱
(el caso de que el vector se encuentre en ℝ3 es análogo)

16
Ejemplo 7
Dados los vectores 𝐴 = 3𝑰 − 𝑱 y 𝐵 = −𝟐𝑰 − 3𝑱 hallar un vector 𝐶 que
satisfaga las siguientes condiciones:
a) 𝐀 + 𝟑𝑪 = 4𝑰 − 2𝑱
b) Tenga la misma dirección que 𝑨 pero sentido opuesto. ¿Es único?
c) Tenga la misma dirección que 𝑨 pero sentido opuesto y que su módulo valga 1.
¿Es único?
d) Tenga la misma dirección que 𝑩 y tenga módulo igual a 2. ¿Es único?
e) Su módulo sea igual al módulo de 𝑨 + 𝑱
f) Sea paralelo al vector 𝑨, ¿es único?

17
Ejemplo 7 (continuación)
𝑨 = 3𝑰 − 𝑱 y 𝐵 = −𝟐𝑰 − 3𝑱
El vector que buscamos se puede expresar como 𝐶 = 𝑥𝐶 𝑰 + 𝑦𝐶 · 𝑱
a) 𝐴 + 3𝐶 = 4𝐼 − 2𝐽
3𝐼 − 𝐽 + 3 𝑥𝐶 · 𝐼 + 𝑦𝐶 · 𝐽 = 4𝐼 − 2𝐽
3𝐼 − 𝐽 + 3xC 𝐼 + 3yC 𝐽 = 4𝐼 − 2𝐽
3 + 3x𝐶 𝐼 + −1 + 3yC 𝐽 = 4𝐼 − 2𝐽
1
3 + 3x𝐶 = 𝟒 x𝐶 =
3
𝟏 ൡ → 1
−1 + 3yC = −𝟐 1 1
yC = −𝟏/𝟑 ⟹ 𝐶= ·𝐼− ·𝐽
3 3
b) Tenga la misma dirección que 𝑨 pero sentido opuesto. ¿Es único?
𝐶 = −2𝐴 = −2 · 3; −1 = −6; 2 = −6𝐼 + 2𝐽
No es único, cualquier vector 𝑪 = 𝑘 · 𝑨 con 𝑘 < 0 tendrá la misma dirección que 𝑨

pero sentido opuesto.

18
𝑨 = 3𝑰 − 𝑱 y 𝐵 = −𝟐𝑰 − 3𝑱
c) Tenga la misma dirección 𝑨 que pero sentido opuesto y que su módulo valga 1. ¿Es
único?
𝐶 = 𝑘 · 𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝑘 < 0 para que tenga sentido opuesto
El valor de 𝑘 lo buscamos para que se cumpla la condición 𝐶 = 1
𝐴 = (3)2 +(−1)2 = 10
1 1
1 = 𝐶 = 𝑘 · 𝐴 = 𝑘 · 𝐴 = 𝑘 · 10 ⇒ 𝑘 = ⇒ 𝑘=−
10 10
ya que habíamos dicho que la constante debe ser negativa.

1 𝟑 𝟏
Entonces, 𝐶 = − · 3𝑰 − 𝑱 = − 𝑰 + 𝑱
10 𝟏𝟎 𝟏𝟎
El vector es único.

19
𝑨 = 3𝑰 − 𝑱 y 𝑩 = −𝟐𝑰 − 3𝑱
d) Tenga la misma dirección que 𝑩 y tenga módulo igual a 2. ¿Es único?

𝐶 =𝑘·𝐵
El valor de 𝑘 lo buscamos de manera tal que 𝐶 = 2
𝐵 = (−2)2 +(−3)2 = 4 + 9 = 13
2
2 = 𝐶 = 𝑘 · 𝐵 = 𝑘 · 𝐵 = 𝑘 · 13 ⇒ 𝑘 =
13
2 2
⇒ 𝑘=− 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑘=
13 13
En este caso tenemos dos posibles vectores:
2 𝟒 𝟔
𝐶1 = − · −𝟐𝑰 − 𝟑𝑱 = 𝑰+ 𝑱
13 𝟏𝟑 𝟏𝟑
2 𝟒 𝟔
𝐶2 = · −𝟐𝑰 − 𝟑𝑱 = − 𝑰− 𝑱
13 𝟏𝟑 𝟏𝟑

20
𝑨 = 3𝑰 − 𝑱 y 𝐵 = −𝟐𝑰 − 3𝑱
e) Su módulo sea igual al módulo de 𝐴 + 𝐽 (𝐽 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑜)
𝐴 + 𝐽 = 3𝐼 − 𝐽 + (0𝐼 + 1𝐽) = 3𝐼
𝐴+𝐽 = (3)2 +(0)2 = 3
𝐶 = 𝑥𝐶 2 + 𝑦𝐶 2 ⇒ 𝑥𝐶 2 + 𝑦𝐶 2 =3
𝑥𝐶 2 + 𝑦𝐶 2 = 32
𝑥𝐶 = 9 − 𝑦𝐶 2
2 2 2
𝑥𝐶 = 9 − 𝑦𝐶 ⇒ 𝑥𝐶 = 9 − 𝑦𝐶 ↔ 1
𝑥𝐶 = − 9 − 𝑦𝐶 2
si 𝑥𝐶 = 9 − 𝑦𝐶 2 ⇒ 𝑪= 9 − 𝑦𝐶 2 · 𝑰 + 𝑦𝐶 · 𝑱
si 𝑥𝐶 = − 9 − 𝑦𝐶 2 ⇒ 𝑪 = − 9 − 𝑦𝐶 2 · 𝑰 + 𝑦𝐶 · 𝑱
Hay infinitos vectores que cumplen con la condición ya que 𝑦𝐶 puede

valer lo que uno quiera

21
𝑨 = 3𝑰 − 𝑱 y 𝐵 = −𝟐𝑰 − 3𝑱
f) Sea paralelo al vector 𝑨, ¿es único?
Para que sea paralelo al vector 𝑨 va a tener que tener la misma dirección, entonces
𝑪=𝒌·𝑨 𝒄𝒐𝒏 𝒌 ≠ 𝟎 ∈ ℝ
El vector no es único.

22
Este contenido es de uso interno y exclusivo de la comisión 1 de
Matemática de la de la Facultad de Farmacia y Bioquímica (UBA).
Primer cuatrimestre 2020.
Todas las observaciones respecto de cambios en ellos se realizarán en

los encuentros virtuales tanto sincrónicos como asincrónicos de la
asignatura. Mayo 2020

23

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Llamamos VECTOR a todo segmento orientado: el origen del vector es el primer

• DIRECCIÓN  determinada por la recta que lo contiene.

• SENTIDO  definido cuando se establece cual es el origen

• MÓDULO  longitud del segmento que lo representa. Es

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❑ Decimos que dos vectores son concurrentes si comparten el mismo origen.

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• Los vectores 𝑽𝟏 y 𝑽𝟐 son equivalentes.

• Los vectores 𝑽𝟐 y 𝑽𝟒 son opuestos.

• Los vectores 𝑽𝟏 , 𝑽𝟐 , 𝑽𝟑 𝒚 𝑽𝟒 tiene la

• El vector 𝑽𝟒 tiene la misma dirección que

• Los vectores 𝑽𝟐 y 𝑽𝟔 son concurrentes.

• Los vectores 𝑽𝟐 y 𝑽𝟒 son colineales y de

• Los vectores 𝑽𝟏 y 𝑽𝟑 son colineales y con

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Supongamos que los punto 𝐴 = 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 , 𝐵 = (𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ) representan el origen y el

La forma 𝑉 = (𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 ) de expresar al vector se conoce como “par ordenado o forma

Del gráfico se deduce fácilmente como

Veamos que sucede cuando el origen del vector se encuentra en el centro de

Los vectores 𝑽 y 𝐴𝐵 tienen la misma dirección, sentido y módulo: son equivalentes

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a) ¿Qué vector (vectores) tiene componente x

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Si 𝐴Ԧ = (𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) el vector 𝑘 · 𝐴Ԧ se escribe como 𝒌 · 𝑨 = 𝒌 𝒙𝑨 ; 𝒌 𝒙𝑩

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Si a un vector 𝐴Ԧ ∈ ℝ2 lo dividimos por su módulo (o multiplicamos por 1/|𝐴|)

Si llamamos 𝑈 a este nuevo vector

Ejemplo Hallar el vector unitario asociado 𝐴Ԧ = (−4; 2)

(el caso de que el vector se encuentre en ℝ3 es análogo)

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Un caso especial son los versores fundamentales o canónicos. Estos versores

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La descomposición de un vector como suma de vectores en las direcciones de los ejes

Efectuar la descomposición canónica de los vectores 𝐴 = (−5; 3) y 𝐵 = (1; −2; 5)

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(el caso de que el vector se encuentre en ℝ3 es análogo)

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b) Tenga la misma dirección que 𝑨 pero sentido opuesto. ¿Es único?

d) Tenga la misma dirección que 𝑩 y tenga módulo igual a 2. ¿Es único?

e) Su módulo sea igual al módulo de 𝑨 + 𝑱

f) Sea paralelo al vector 𝑨, ¿es único?

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b) Tenga la misma dirección que 𝑨 pero sentido opuesto. ¿Es único?

𝐶 = −2𝐴 = −2 · 3; −1 = −6; 2 = −6𝐼 + 2𝐽

No es único, cualquier vector 𝑪 = 𝑘 · 𝑨 con 𝑘 < 0 tendrá la misma dirección que 𝑨

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El valor de 𝑘 lo buscamos para que se cumpla la condición 𝐶 = 1