2-6 Estuerzos de origen térmico §1 2.6. ESFUERZOS DE ORIGEN TERMICO Es bien conocido el hecho de que los cambios de temperatura provocan en los cuerpos dilataciones 0 contracciones, de manera que la deformaci6n lineal 4,, viene dada por 5, = aL(AT) 14) en donde a es el coeficiente de dilatacién lineal, que se expresa en m/m-°C, o simplemen- te(°C)-!, L es la longitud y AT es la variacion de temperatura en °C. Por la ecuacién de di- mensiones de la formula (2-14) se deduce que 6, se expresa en las mismas unidades que L. Si no se impide la deformacion debida a la temperatura, como ocurre en los sistemas ¢s- taticamente determinados, no aparecerdn esfuerzos en la estructura, pero en multitud de ca- SOs no es posible evitar que las deformaciones térmicas estén total o parcialmente impedidas. Como resultado de ello aparecen fuerzas internas que contrarrestan, también parcial o total- mente, estas deformaciones. Los esfuerzos originados por estas fuerzas internas se llaman es- fuerzos térmicos, o esfuerzos de origen térmico. A continuacion se indica el procedimiento general para determinar las fuerzas y los es- fuerzos originados cuando se impide la deformacion térmica. 1. Se considera a la estructura descargada de toda fuerza aplicada y sin ligaduras que impidan la libre deformaci6n térmica. Representar en un esquema estas deformaciones, aho- ra ya posibles, exagerando sus magnitudes. 2. Se aplica ahora a la estructura las fuerzas necesarias (desconocidas) para que vuelva a las condiciones iniciales de restriccion de movimientos. Representar estas fuerzas en el es- quema anterior. 3. Las relaciones geométricas entre las deformaciones debidas a la temperatura y las de- bidas a las fuerzas aplicadas en el esquema proporcionan unas ecuaciones que, junto con las de equilibrio estatico, permiten determinar las fuerzas desconocidas. Los ejemplos siguientes ilustran la aplicacion de este procedimiento a distintos casos. PROBLEMAS ILUSTRATIVOS 258. Una varilla de acero de 2.50 m de longitud esta firmemente sujeta entre dos muros. Si el esfuerzo en la varilla es nulo a 20°C, determinar el esfuerzo que aparecera al descender la temperatura hasta — 20°C. La seccin es de 1200 mm?, « = 11.7 wm/(m - °C), y E = 200 GN/m?. Resolver el problema en los dos casos siguientes: (a) Muros completamente rigidos ¢ indeformables, y (b) muros que ceden ligeramente, acortandose su distancia en 0.5 mm al descender la temperatura de Ja barra. Solucién: Caso a) Imaginemos que se suelta la varilla del muro derecho. En estas condiciones puede producirse libremente la deformacion térmica, El descenso de temperatura origina52 DEFORMACION SIMPLE , Bes ¥ bso} Figura 2-12, Muros rigidos. una contracciOn, representada por 6 en la figura 2-12. Para volver a unir la varilla al muro, se necesitara aplicar a la varilla una fuerza de tension P que produzca una deformacion por carga 6. Del esquema de deformaciones se deduce en este caso que 5 = 4, o bien, PL .. ol. a(aT)L == 5 de donde 0 = aL(AT) = (200 x 10°)(11.7 x 10-*)(40) = 93.6 x 10° N/m? = 93.6 MN/m? Resp. Obsérvese que la longitud Z no interviene en la ecuacion. Quiere esto decir que el esfuerzo es independiente de la longitud y solo depende de las caracteristicas fisicas de la barra y de la variacion de la temperatura, y no de sus caracteristicas geométricas. Caso b) Siel muro cede acereéndose al otro, en la figura 2-13 se observa que la contrac- cién térmica libre es igual a la suma de la deformacién debida a la carga y del acercamiento de los muros. Es decir, by = 8p + acercamiento Sustituyendo los valores de las deformaciones resulta: al(AT) = 4 + acercamiento 0 bien (117 x 10-92.5)40) = 5 925) 4. (5 x 10-3) 100 x 10” de donde 0 = 53.6 MN/m? Resp. Obsérvese que en este caso, al ceder ligeramente los muros en una cantidad fija, el es- fuerzo se reduce considerablemente y la longitud de la barra ya no desaparece de la ecuaci6n, como ocurria en el caso a). re Po Dot : +t,b Figura 2-13. Muros no rigidos.2-6 Estuerzos de origen térmico $3 Figura 2-14. Diagrama de cuerpo libre. 259. Un bloque rigido que tiene una masa de 5 Mg pende de tres varillas simétricamente colocadas, como se indica en la figura 2-14. Antes de colgar el bloque, los extremos infe- tiores de las varillas estaban al mismo nivel. Determinar la tension en cada varilla después de suspender el bloque y de una elevacion de temperatura de 40°C. Emplear los datos de la tabla siguiente: CADA VARILLA VARILLA DE ACERO___DE BRONCE Area (mm*) 500 900 E (N/m) 200 x 10° 83 x 10° a [am/ (m-°C)] 117 18.9 Solucién: La figura 2-15 muestra el nivel inicial de las varillas antes de suspender el bloque. Con las varillas completamente libres, una elevacién de temperatura daria lugar a las defor- maciones térmicas 6r, y 5r, en el acero y en el bronce, respectivamente. Finalmente, cuando las varillas estan unidas al bloque, después de la elevacion de temperatura, se llega a la posi- cién final indicada en la figura. Pero para poder unir las varillas al bloque, habra sido preci- so estirarlas para alcanzar unas deformaciones 6p, y 5», mediante la aplicacién de unas fuer- zas P, y Py, en el acero y en el bronce. El diagrama del cuerpo libre correspondiente al blo- que, figura 2-14, representa los efectos en éste de las fuerzas iguales y de sentido contrario que las varillas ejercen sobre él. Del esquema de deformaciones de la figura 2-15 se deduce la siguiente relacion geo- métrica entre las deformaciones: br, + 5p, = Or, + bp, 0 sea (abate (4), =(ab AT), + (4),54 DEFORMACION SIMPLE Nivel afd td F iniciat ér, T. He RYE, YR ww ee Figura 2-15. Esquema de deformaciones. en donde, sustituyendo los datos, a ee __ (IL7 x 1079)(0.5)(40) + (500 * 10-*)(200 x 10%) Pl) = (18! ~6 re) CUSED ee y reduciendo los términos, P, — 2.68P, = 104 x 103'N @ Del diagrama de cuerpo libre de la figura 2-14 se deduce otra relacion entre P, y P,y [zY =0] 2P, + P, = (5000)(9.81) = 49.05 x 10° N (b) Resolviendo el sistema formado por (a) y (b) resulta: P, = 37.0KN P, = ~25.0kN EI signo negativo de P, indica que esta fuerza actiia en sentido contrario al supuesto, es de- cir, que la varilla de bronce est4 comprimida y, por tanto, se debe prevenir su posible pandeo o flexion lateral. Los esfuerzos son: _ i ] 37.0 x 10° o=s aga 4 * 500° 10-6 = 74.0MN/m? (tension) 0, = 25:0 x 10 * 900 x 10-* = 27.8MN/m* (compresion) piait t Resp. 260. Con los mismos datos del problema 259 determinar la elevacion de temperatura necesaria para que la carga aplicada sea soportada tinicamente por las varillas de acero.2-6 Esfuerzos de origen térmico 55 Figura 2-16. La varilla de bronce no ha de soportar carga alguna, Solucion: En lugar de intentar aprovechar parte de los resultados del ejemplo anterior con- viene aplicar el procedimiento general con sus tres fases indicadas anteriormente. Imagine- mos las varillas separadas del bloque y colgando libremente, tal como se sefiala en la figura 2-16, La elevacion de temperatura determina las deformaciones térmicas dr, y 6r,. Puesto que la varilla de bronce no ha de soportar parte alguna de la carga, la posicion fi- nal de las varillas de acero ha de ser al mismo nivel al que ha quedado, sin esfuerzo alguno, la de bronce. Por tanto, las varillas de acero deberan experimentar una deformaci6n 5p, produ- cida por las tensiones P,, cada una de las cuales debe ser de 24.53 KN, para que entre las dos, y por simetria, soporten los 49.1 kN del bloque. En estas condiciones, la relacién geométrica entre las deformaciones es aon Oe 0 bien (cL AT), = (al. AT), + (32), de donde (18.9 x 107®)(1)(AT) = (11.7 x 1079)(0.5)(A7) (24.53 x 10°)(0.5) (500 x 10° *)(200 x 10°) AT =9.4°C Resp. Es evidente que un incremento de temperatura mayor obligard al bronce, que se dilata mas que el acero, a empujar al bloque rigido, originando asi una compresién en la varilla. Esto confirma el resultado obtenido en la problema 259, con una elevacién de temperatura de 40°C. PROBLEMAS 261. Una varilla de acero de 150 mm? de 20? @ = 11.7 um/(m+°C) y E = 200 x 10° seccién esta sujeta en sus extremos a dos puntos N/m? fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20°C, Calcular el esfuerzo en la varilla a 20°C. ,A qué temperatura se anulard el esfuer- Resp. ¢ = 127 MN/m?; T = 34.2°C66 DEFORMACION SIMPLE 262. Una varilla de acero anclada entre dos muros rigidos queda sometida a una tension de 5000 N a 20°C. Si el esfuerzo admisible es de 130 MN/m?, hallar el diametro minimo de la varilla para que no se sobrepase aquél al descender la temperatura hasta ~20°C, Suponga @ = 11.7 ym/(m - °C) y E = 200 GPa. 263. Los rieles de una via férrea, de 10m de Jongitud, se colocan a una temperatura de 15°C con una holgura de 3 mm. A qué temperatura quedaran a tope? Calcular el esfuerzo que adquiririan a esta temperatura si no existiera la holgura sefialada. a = 11.7 ym/(m°C) y E = 200 GPa. 264. Una llanta de acero de 10 mm de espe- sor y 75 mm de ancho se coloca sobre una rueda motriz de locomotora, de 1.8 m de diametro, ca- lentandola a 90°C, temperatura a la cual encaja perfectamente sobre la rueda, que esta a 20°C. Determinar la presion de contacto entre ambas ruedas al descender la temperatura comin a 20°C. Despreciar la deformacion de la rueda pro- ducida por la presion de comacto. a = 11.7 um/(m « °C) y E = 200 x 10° N/m*, 265. Un aro de bronce de 20 mm de espesor cuyo diametro interior es de 600 mm se coloca perfectamente ajustado sobre otro de acero de 15 mm de espesor, a una temperatura comin de 130°C. El ancho, igual para los dos, es de 100 mm. Determinar la presién de contacto entre am- bos aros cuando la temperatura descienda hasta 20°C. Despreciar el hecho de que el aro interior pueda aboliarse por pandeo. £, = 200 GPa y a = 11.7 wm/(m - °C), E, = 83 GPa ya = 19 m/(m °C). Resp. p = 2.86 MN/m? 266. A una temperatura de 20°C se coloca una plancha rigida que tiene una masa de $5 Mg sobre dos varillas de bronce y una de acero, como se indica en la figura P-266. ;A qué temperatura quedard descargada la varilla de acero? Datos: Acero: A = 6000 mm?, E = 200 x 10°N/m?y a = 11.7 um/(m - °C). Bronce (cada una): A = 6000 mm?, E = 83 x 10° N/m? ya = 19.0 um/(m » °C). Resp. T = 129°C Figura P-206. 267. A una temperatura de 20°C hay un cla- ro A = 0.2 mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rigida suspendida de las dos barras de acero, segiin se muestra en la figura P-267, Despreciando la masa de la losa, determi- ne el esfuerzo en cada barra cuando la tempera- tura del conjunto se eleva a 100°C. Para la barra de bronce, A = 600 mm?, E = 83 x 10°N/m'y @ = 18.9 xm/(m- °C), Para cada barra de acero, A = 400 mm?, F = 200 x 10°N/m? ya = 11.7 pm/(m + °C). | 7 | g g i é §}| 800mm 3 4 i t Figura P-267. 268. Un cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados, se aseguran entre dos placas rigidas que se pueden apretar mediante dos tomillos de acero, como se observa en la figura P-268. A 10°C no existen fuerzas axiales en conjunto del dispositivo. Determinar las tensiones en cada material a 90°C, con los si guientes datos: Aluminio, A = 1200 mm?, £ = 70 x 10°N/m?, ya = 23 «m/(m - °C), Bronce, A = 1800 mm?, E = 83 x 10° N/m?, y a = 19.0 pm/(m - °C). Cada tornillo, A = 500 mm?, E = 200 x 10? N/m?, ya = 1.7 «n/m - °C), Resp. 9. = 33.7 MN/m20 mm 20 mm be “+ Pee ry | Figura P-268 y P-269. 269. Resuelva el problema anterior supo- niendo que hay un claro de 0.05 mm entre el extremo derecho del cilindro de bronce y la placa rigida a 10°C. 270. Un cilindro de acero esta dentro de un manguito de bronce, ambos de la misma longi- tud, y los dos juntos soportan una fuerza vertical de compresion de 280 kN que se aplica por inter- medio de una placa de apoyo horizontal. Deter- minar: (a) la variacion de temperatura con la que el acero queda totalmente descargado, y (b) la que descarga por completo al bronce. Datos: Acero: A 200 GPa, y a 11.7 umv(m + °C), Bronce 2 x 10? mm?, E = 836 P,, y E = 83GPa, a = 19.0 ym/(m- °C). 271. Un manguito de bronce se monta sobre un tornillo de acero y se sujeta mediante una tuerca. Caleule el cambio de temperatura que causara que e! esfuerzo en el bronce sea de 20 MPa. Para el tornillo de acero, A = 450 mm?, E 200 GPa y @ = 11.7 um/(m - °C), Para el manguito de bronce, A = 900 mm?, E = 83 GPa ya = 19.0 pm/(m - °C) 272. En el caso del problema 271 suponga que la tuerca se aprieta para producir un esfuerzo inicial de 15 x 10° N/m? en el manguito. Halle el esfuerzo en este iiltimo después de un aumento de temperatura de 70°C. Resp. 38.2 MN/m? 273. La barra compuesta de la figura P-273 esta firmemente sujeta a soportes indeformables. 2:6 Esluerzos de origen tumico 87 200 mm-+=+— 300 mm — ‘Aluminio ae E = 10x 10°Nim? Es 200 x 10?Nim2 A ~ 900 mm? A 1200 mm* Figura P-273 y P-274. Se aplica una fuerza axial P = 200 kN ana tem- peratura de 20°C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60°C. a = 11.7 um/(m - °C) para el acero y 23.0 um/(m « °C) pa- ra el aluminio. 214, En el problema anterior, ,2 qué tempe- ratura alcanzaré el esfuerzo en el aluminio y el acero el mismo valor numérico? Resp. 04, = 18,7 MN/m?; o, = 181 MN/m? 278. Una varilla esta formada por los tres segmentos que indica la figura P-275. Si las fuer- zas axiales P, y P son nulas, determinar los es- fuerzos en cada material al descender la tempera- tura 30°C en los casos siguientes: (a) los soportes lo se mueven en absoluto, y (b) los soportes ce- den 0.300 mm. @ = 18.9 xm/(m - °C) para el bronce, 23.0 wm/(m - °C) para el aluminio y 11.7 um/(m + °C) para el acero. Resp. (a) . = 118 MPa; (b) oa; = 40.0 MPa 216. Resolver el problema anterior si Py y Pp son de SO KN y los apoyos ceden 0,30 mm al des- cender la temperatura 50°C. Resp. 4,/A, = 0.516 800 mm———-b-500 mmf 400 min Bronce Aluminio Acro A ~ 2400 mm? A= 120mm? A = 600 mm? EB 8 E=7% E = 200 x 10m? X 10°N/m? x 107 Nim? Figura P-275, P-276. 277. La barra rigida AB esta articulada me- diante un perno en O y conectada a dos varillas segin se muestra en la figura P-277. Si la barra58 DEFORMACION SIMPLE pte m— pe B 0 Pe oo Acero Aluminio A=600 mm? A = 900 mm? am |B =200x 10° Nm? ea E=m00m — E=70x10° Nim? = MT amvi(m"C) =, crn @ = 230 umiim-"C) a= 280 am/{m=°C) umi(m-*C) L-8m L-8m P P=5OkN Figura P-277, AB se mantiene en posicion horizontal a determi- nada temperatura, calcule la relacion de areas de las varillas para que la barra AB se mantenga ho- rizontal a cualquier temperatura. Desprecie la masa de la barra AB Resp. A/Aq, = 0.56 278. Una barra rigida horizontal de masa despreciable est conectada a dos varillas segiin se muestra en la figura P-278, Si el sistema esta originalmente libre de esfuerzos, determine el cambio de temperatura que causara un esfuerzo de tension de 60 MPa en la varilla de acero. ‘Acero E = 200GPa @ = 18.9 um/(m-°C) Figura P-278. 279. Para el conjunto mostrado en la figura P-279, determine el esfuerzo en cada una de las, dos varillas verticales si la temperatura se eleva 40°C después que se aplica la carga P = 50 KN. Desprecie la deformacion y la masa de la barra horizontal AB. A= 900mm? @ = 11.7 um/(m °C) Resp. 0, = 134 MPa (tension); oa, = 11.3 MPa (compresion) 280. Los extremos inferiores de las tres va~ rillas de acero de la figura P-280 estan al mismo nivel antes de aplicar la fuerza de 600 kN. Las tres varillas tienen la misma seccién, A = 2000 mm?, a = 11.7 um/(m - °C), y E = 200 x 10° N/m?. Determinar la relacion entre la fuerza en la varilla C y el cambio de temperatura AT medi- do en grados Celsius, despreciando la masa de la placa rigida. 281. Como se observa en la figura P-281, cuatro barras de acero soportan una masa de 15 Mg. Cada barra tiene una seccién de 600 mm?. Determinar la fuerza de tension en cada barra después de un incremento de temperatura de $0°C. @ = 11.7 wm/(m + °C) y E = 200 x 10° N/m?, Resp. P, = Po = 21.5KN; Ps = Pe = 61.3kN2-6 Esfuerzos de origen térmico 58 282, Resolver el problema anterior si A y D son de acero y By C, de aluminio. Para este me- tal a = 23.0 am/(m- °C) y E = 70 x 10°N/m?. P-281 y P-282. RESUMEN Las fuerzas axiales producen una distribucién uniforme de esfuerzo cuyo valor es: e-t an y dan lugar a unas deformaciones totales dadas por: we (2-4) gma AE Recuérdese que la expresion (2-4) sdlo es valida si: 1) el material es homogéneo, 2) la seccion, constante, 3) la fuerza, axial y 4) los esfuerzos, inferiores al limite de proporcionalidad. Las fuerzas axiales producen deformaciones laterales que se determinan por la relacion de Poisson, En los casos en que estas deformaciones laterales estén parcial o totalmente impedidas, se aplica la ley de Hooke para esfuerzos segiin dos 0 tres ejes perpendiculares. Las estructuras estaticamente indeterminadas se resuelven aplicando las ecuaciones de equilibrio estatico junto con ecuaciones adicionales entre las deformaciones, deducidas de consideraciones geométricas. Los esfuerzos de origen térmico se calculan determinando las relaciones entre las defor- maciones térmicas 6, = @L(AT) e149) y las deformaciones elasticas que, junto con las ecuaciones de equilibrio estatico, permiten resolver los distintos problemas que se presentan en la practica.