7 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Es Una igualdad en la que intervienen funciones trigonométricas y que se verifican para todo valor permitido
de la variable.
Se dividen en fundamentales y auxiliares.

Fundamentales:

 Identidad Pitagórica

Sen2x + Cos2x = 1

 Identidades por Cociente:

Senx Cosx
Tgx  Ctgx 
Cosx Senx

 Identidades Reciprocas
1 1 1
Secx  Cscx  Ctgx 
Cosx Senx Tgx

 Identidades Derivadas

1 + Tg2x = Sec2x; 1 + Ctg2x = Csc2x

Auxiliares:

Sen4 + Cos4x = 1 - 2Sen2x. Cos2x

Sen6x + Cos6x = 1 - 3Sen2x. Cos2x

Tgx + Ctgx = Secx. Cscx

Sec2x + Csc2x = Sec2x. Csc2x

Sec4x + Tg4x = 1 + 2Sec2x. Tg2x

Sec6x - Tg6x = 1 + 3Sec2x. Tg2x

Csc4x + Ctg4x = 1 + 2Csc2x. Ctg2x

Csc6 - Ctg6x = 1 + 3Csc2. Ctg2x

(1 + Senx + Cosx)2 = 2(1 + Senx)(1 + Cosx)

1
 Senoverso:

Vers x = 1 - Cosx

 Converso:

Covx = 1 - Senx

 Exsecante:

Exsecx = Secx – 1

EJERCICIOS PARA LA CLASE C = sec2x + csc2x

A) 9
B) 12
1. Reduce:
C) 16
C = senx.cotx + cosx
D) 18
E) 36
A) cosx
B) 2cosx
6. Simplifica:
C) 3cosx
cot 3 x. −tan3 x
D) 4cosx M = sec 2 x. csc 2 x −
E) 1 cotx. −tanx
A) -1
2. Simplifica: B) 1
C) 2
D) -2
A) 1 E) ½
B) tanx
C) cotx 7. Reduce:
D) tan2x U = (secx.cscx - tanx) senx
E) cot2x
A) Senx
3. Reduce: B) cosx
C) sen2x
D) cos2x
E) 1
A) cosx
B) 1 8. Si: secx + tanx = 5;
C) senx Halla el valor de tanx.
D) cscx
E) secx A) 24/25
B) 7/25
4. Simplifica: C)3/4
z = sen4x + cos4x + 2sen2xcos2x D) 5/12
E) 12/5
A) Sen2x
B) Cos2x 9. Si: sen4x + cos4x = 7/9 ;
C) 0 Calcula: C = sen6x + cos6x
D) 1
E) sen2x A) 1/3
B) 2/3
5. Si: tanx + cotx = 3√2 C) 1/9
Calcula: D) 2/9

2
 E) 4/9 D) a + b – 1 = ab
E) a+b +ab = 0Capítulo
10. Calcula m para que E sea independiente de θ 16. Determine senx en:

A) -1
B) -3
C) 1
D) 2
E) -2

11. Elimina x, a partir de:

Tanx + cotx = a 17. Halla el valor de cscβ, si se cumple que:
Tanx - cotx = b xcos2β - ysenβ = ysen2β

12. Reduce:
18. Si:
tgx + tg2x + tg3x = 1
A) 0 Calcular:
B) -4 E = tg3x + ctgx
C) 4
D) 1/2 A) 1
E) -1/2 B) 2
C) 3
13. Si la igualdad es una identidad, D) 4
Calcula: M + N E) 5

EJERCICIOS PROPUESTOS
A) 1 1. Simplifica:
B) 2 S = (1 + cot2x)cos2x - csc2x
C) 3 A) -2
D) 4 B) 2
E) 5 C) -1
D) 3
14. Si: x ∈ IC, resuelve: E) 1

2. Simplifica:

15. Eliminar "θ", si:

Secθ+tgθ = a 3. Reduce:
Cscθ+ctgθ= b D = (secxcscx - cotx)cosx

A) a – b + 1 = ab A) senx
B) a – b – 1 = ab B) cosx
C) a + b + 1 = ab C) sen2x

3
 D) cos2x D) csc4x
E) 1 E) tan4x

4. Reduce: 11. Reducir:

L = (tanxsenx + cosx) (cotxcosx + senx) E = cos x(secx+1) – senx . ctg x

A) 1 A) 1
B) senxcosx B) senx
C) tanx C) cosx
D) cotx D) sec x
E) secxcscx E) csc x

5. Si: senx + cscx = 3; calcula: 12. Reducir:

L = sen2x + csc2x P=cos3x(1+tg2x) – (1–sen2x).secx

A) 3 A) 1
B) 5 B) 2
C) 7 C) 2senx
D) 9 D) 0
E) 11 E) 2cosx

6. Simplifica: 13. Si: A = 3 cos x + 4 senx

L = 3 sen x – 4 cos x
I = 5 . tan x
Calcular:

7. Si: tanx + cotx = 4; calcula:

L = secx + cscx 14. Reducir:
P=(senx+cscx)2+(cosx+secx)2–(tanx–cotx)2

A) 3
B) 5
8. Si: cot2x = cscx, halla: E = cos4x + cos2x C) 7
D) 9
E) 11

15. Hallar el valor de "n".

9. Halla n, si se cumple que:
tan2x - sen2x = nsen2x
A) –2
A) sen2x
B) 1
B) cos2x
C) –1
C) tan2x
D) 4
D) cot2x
E) 2
E) sec2x
16. Si: cscx + senx = a
10. Reduce:
Calcular: Q = (cscx – sen x)2

A) a2
A) sec2x B) a–2
B) csc2x C) a2–2
C) sec4x D) a – 4

4
 E) n2 – 4

17. Elimina x:
m. tg x + 1 = sec x
n. tg x – 1 = sec x
A) m+n=1
B) m – n=1
C) m2–n2=1
D) m . n = 1
E) m = n

18. Reducir:
(1+senx+cosx) 2(1–senx–cosx) 2+2 (sen4x+cos2x)

A) 4
B) 1
C) 0
D) 3
E) 2

19. Si: sen x + cos x = m.

Hallar: E = (1+Sen x) (1+Cos x)

20. Si

Determine:

21. Simplificar:

5
8 ÁNGULOS COMPUESTOS

I. PARA LA SUMA Y DIFERENCIA

sen( x  y )  senx·cos y  seny·cos x

sen( x  y )  senx·cos y  seny·cos x
cos( x  y )  cos x·cos y  senx·seny
cos( x  y )  cos x·cos y  senx·seny
tan x  tan y
tan( x  y ) 
1  tan x·tan y
tan x  tan y
tan( x  y ) 
1  tan x·tan y

II. IDENTIDADES ADICIONALES

sen( x  y )·sen( x  y )  sen 2 x  sen 2 y

cos( x  y )·cos(x  y )  cos 2 x  sen 2 y
tan x  tan y  tan x·tan y·tan(x  y )  tan( x  y )
senx  cos x  2 ·sen( x  45)
3·senx  cos x  2·sen( x  30)
senx  3·cos x  2·sen( x  60)

 TEOREMA 1: Para cualquier   R , se cumple:

 a 2  b 2  a·sen  b·cos  a 2  b 2

 TEOREMA 2: Si x,y +

y
Si : Tg  entonces se cumple:
x

a. xSen  yCos  x 2  y 2 Sen(   )

b. xCos  ySen  x 2  y 2 Cos ( )
c. xSen  yCos  x 2  y 2

6
III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA DE TRES ÁNGULOS:

a. Sen(     )  Sen Cos Cos  Sen Cos Cos

 Sen Cos Cos  Sen Sen Sen
b. Cos(     )  Cos Cos Cos  Cos Sen Sen
 Cos Sen Sen  Cos Sen Sen
Tg  Tg   Tg  Tag Tg  Tg
c. Tg (     ) 
1  Tg .Tg   Tg  Tg  Tag Tg

PROBLEMAS PARA CLASES

6. Halla un valor agudo de x para que cumpla:
sen4xcosx - senxcos4x = 0,5
1. Simplifica:
A) 5°
B) 10°
C) 15°
D) 20°
E) 30°

2. Siendo: tanx = 5 y tanβ = 3 7. Del gráfico, halla: tanθ

Calcula: tan(x + β)

3. Reduce:

A) 16
B) -16
C) 32
D) -32
4. Calcula: E) 64

8. Del gráfico, calcula: tanϕ

A) 1
B) 2
C) ½
D) -1/2
E) -2

5. Calcula:
E = (sen17° + cos13°)2 + (sen13° +
cos17°)2

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

7
 15. En un triángulo ABC, reducir:
9. Si: x + y + z = 180°; además: (Tan(A+B+2C)+tan(A+2B+C)+tan(2A+B+C))cotBcotC
tanx = 5; tany = 3. Calcula: tanz.
A) 1
B) –1
C) tan A
D) –ctg A
E) –tan A
10. Calcula tan(q - a), si: AB = 1; AE = 3 y EC =
2. 16. Si: secx = 3cscx, determine tan(x – 45°)

A) ½
B) 1/3
C) 1/6
D) 2
E) 3

17. Siendo: Tan x + Tan y + Tan z = 4

calcule

11. Si: A) 3
Tanx + tany = a; cotx + coty = b, calcula B) 4
tan(x + y). C) 6
D) 8
E) 12

18. Reducir :

12. Reduce:

A) 2sen20°
B) 2sen40°
C) sen40°
D) cos40° EJERCICIOS PROPUESTOS
E) 1
1. Simplifica:
13. En un triángulo ABC, se sabe que:
tan A = 1 ∧ tan B = 2. Calcular: "tan C"

A) –1
B) –2
C) –3
D) 3 2. Halla el valor agudo de x que verifique:
E) –1/3 cos4xcosx - sen4xsenx = ½
14. Determinar el máximo valor de: A) 6°
B) 12°
C) 18°
D) 21°
E) 24°

8
3. Simplifica: 9. Del gráfico mostrado, calcula: tanθ

A) 0
B) tanx
C) cosx
D) senx
E) cotx

4. Simplifica:

A) 1
10. Calcula: E = tan27° + tan18° +
B) -senx
tan27°tan18°
C) senx
D) 2senx
A) 1
E) 2
5. Si: tan β = 2/3; calcula: A = sen(45° + β) B) 4
C) 2
D) ½
E) 3

11. Calcular:
6. Si: tan(A - B) = 2 y tanB = 1/3
Calcula tanA.
A) 1
B) 2
C) 4
D) 1/4
E) 1/2

7. Halla el valor de sen7°. 12. Calcular:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
8. Del gráfico mostrado, calcula: x E) 6

13. Reducir :
L = (1 + tan 40º) (1 + tan 5º)

A) 1
B) 2
C)1/4
D) 4
E)1/2

14. Sabiendo que:

sen a . cos b = a
cos a . sen b = b
Hallar: sen (a + b)

9
 A) a + b
B) a – b
C) ab
D) ab + 1
E) ab + 2

15. Siendo x + y = 60° , simplificar :

16. Señale la extensión de:

E = 5 sen x – 12 cos x + 1

10
9 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

1. Funciones trigonométricas de ángulos negativos

Si determinamos las funciones de () y ( ) en el gráfico:
Y

r y
 x
X


r y

Del gráfico:
Sen()  Sen
Cos()  Cos
Tg()  Tg
Ctg()  Ctg
Sec()  Sec
Csc()  Csc

2. Razones Trigonométricas de la forma  180º   ;  360º  

R.T.  180º    R.T.   

R.T.  360º    R.T.   
R.T.       R.T.   
R.T.  2     R.T.   
 

180º 0º
360º

 
 180º    IIC  360º    IV C
 180º    IIIC  360º    IC
 

 0º
2

 
      IIC  2     IV C
 2     I C       IIIC

11
Recordar que "  " es ángulo agudo y tener en cuenta el cuadrante del ángulo inicial, antes de colocar el
signo.

3. Reducción al 1er cuadrante:

sen  180º    sen
cos  180º     cos 
tan  180º     tan 
sen  360º    sen
cos  360º    cos 
tan  360º     tan 
cos  90º    sen
sen  90º    cos 
 : agudo

Ejemplo:
sen230º  sen(180º 50º )
Como se encuentra en el III C, donde Sen es (–)
 sen230º  sen50º

4. Razones Trigonométricas de la forma  90º   ;  270º  

R.T.  90º     CO  R.T.   

R.T.  270º     CO  R.T.   
R.T.  2      CO  R.T.   

R.T.  22      CO  R.T.   

90º 
    2


    
270º 3
2


* 90º   I C *    I C
2

* 90º   II C *    II C
2
3
* 270º   III C *    III C
2
3
* 270º   IV C *    IV C
2

"" Es agudo

Recordar que cuadrante se encuentra el ángulo inicial antes de colocar el signo.

12
 Ejemplo:

3 
sen        cos 
2 
cos  270º    sen
sen  90º 3   cos3
tan  270º    cot 
tan  90º     cot 
csc  270º     sec 

PROBLEMAS PARA CLASES D) 0

1. Reducir: E) –2
sen  90º  x  tg  270º – x 
E  6. Calcule
cos 180º  x  ctg  360º – x 
E = sen330°. tg135°
A) –2 + sec240°. sen330°
B) –1 A)-1/4
C) 0 B)-1/2
D) 1 C)3/2
E) 2 D)-3/2
E)1
2. Simplifique
cos(180° − 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑥 7. Si: x + y = 180º y + z = 270º
M=
𝑠𝑒𝑛(360° − 𝑥) + cos(90° + 𝑥)
Calcule el valor de: J  Senx  Tany
A) –1 Seny Ctgz
B) –2 A) 1
C) 0 B) 0
D) 1 C) – 3
E) 2 D) 2
E) – 5
3. Simplifique
sen  90º x  cos ec  270º x  8. Calcule M = sen210º + cos240º.
A
tg 180º x  ctg x A) –1
A) –1 B) –2
B) –3 C) 0
C) 0 D) 1
D) 1 E) 2
E) 3
9. Calcular el valor de:
4. Calcule s en   x  c os   x  tan   x 
M  
M  2 cos 240º  3 tg 300º . s en  180º  x  c os  180º  x  tan x
A) –1
B) –4 A) –3
C) 0 B) –2
D) 4 C) –1
E) 5 E) 0
E) 1
5. Simplifique:
10. Calcule el valor de:
M  sen140º  cos220º  sen320º  cos320º P = sen2910°.tan1305°
A) 2 sen 40º A) 1/2
B) -2 cos 40º B) –1/2
C) 2

13
 C) 2  
3 Sen  a  b   Sena  Senb
D) 1  3 
K
E) 3 a b
6 Cos    Cosa  Cosb
 6 
11. Simplificar: y
(a  b)2 Sen 3     (a  b)2 Cos 5 
L 2
aSen   bCos 2 
3
2 2
A) 2a b x
a
B) -2a
C) 4a
D) -4a
E) - 4b
A) –1/2
B) –1/3
12. Calcule:
C) -1/4
cos  sen 180º   ctg 90º – csc 270º
K= D) 1/2
sen 90º + sec  ctg 270º   cos 360º
E) 1/3
A)1/3
B)2/3 17. Si tg x + ctg y = 2; x + y = 180°,
C)-2/3 calcule ctg x.
D)-1/3
E)0
A) √2
13. Calcule B) 1 ± √2
√2−1
E = ctg10° + ctg30° + ctg50° + ⋯ C) ± 2
+ ctg170° 1±√2
A) 1/2 D) 2
B) 0 E) ±√2 − 1
√3
C)
2 EJERCICIOS PROPUESTOS
D) 4
E) 5 1. Reduzca
sen  90º x  tg 180º x 
E 
cos x tg x
14. En un triángulo ABC, simplifique
sen  A B  cos  B C  3 tg  A C  A) –2
E  
sen C cos A tg B B) –1
A)–1 C) 0
B)–2 D) 1
C)1 E) 2
D)2
E)3 2. Calcule:
M  2 cos135º 2 cos 240º  3 tg 300º
15. Si: Tg  180º    2    IV C
A) 1
Calcular: B) –5
E  5 Cos  270º    4Ctg  360º   C) 3
D) –1
A) -4 E) –2
B) -2
C) 0 3. Reducir : M = Sen 1200  Ctg 1500
D) 2
E) 4
A) 1 /2
16. Del gráfico. Determinar: B) 3/2

14
 tg 2 sec 4 
C) 3 /3 k= sen   
cos  tg 2 sec 4 
D) 2 3 / 3 A) 3
B) 3
E)  3 / 3
C) 1
D) –1
4. Reducir: E) 0
E
 a+ b  sen 90º –6abcos270º+ 4abcos180º
2

10. Calcule:
a cos0º b sen 90º 2absen270º
2 2

cos   cos 3   cos 5   cos 7 

3 3 3 3
A)0 8 8 8 8
B) a – b A)–2
C) –1 B)–1
D)1 C)0
E) a + b D)1
E)2
5. Si a+b=90º, calcule
sen a tg 2a 11. Simplifique
E 2
cos b tg 2b sec  90º x  ctg  90º x  cos ec 1800º x 
A
A) –1 sen 180º x  cos  90º x  tg 180º x 
B) –3 A) sen4x
C) 1
B) –sen4x
D) 2
E) 3 C) cosec4x
D) –cosec4x
6. Reducir: E) –cos4x
H  cos 7  cos 37  cos 47  cos 67
12. Calcule R =cos10º+cos30º+cos50º+...+cos170º.
A) 0
B) 1 A) 1/2
C) 2 B) 0
D)1/2 √3
C) 2
E) 3 D) 11
E) –1
Tg Cos
7. Si: 3 2
Calcule: M = cos  +sen  13. Si 𝑥 + 𝑦 = 2𝜋, calcula:
𝑥 𝑦
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑡𝑎𝑛
A)–2 2 2
B)–1 A) 𝑠𝑒𝑛𝑥
C)0 B) 2𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
D)1 C) 𝑡𝑎𝑛 2
E)2 𝑥
D) −𝑡𝑎𝑛 2
E) 0
8. Calcule:
E = cos 10º cos 20º cos 30º... cos 180º
14. Si:
A) 1
sen 180º    3
B) sen 270º 4
C) tg 180º
D) 2 Además:   180º ;270º , calcule:
E) 180º M  4 sen  90º   – 3 tg  270º  

9. Si:  +  = 90º, reducir:

A) 2 7
B)  2 7

15
 C)0 2k  1  k
19. Si: Tg a  y Ctg   a   , el
D)–7 3 2  2
E)7 valor de "k" es:

15. Calcular 2
E  Cos210º  Tg120º  Ctg330º  Sen240º
A) 
7
A) 0 7
B)
B)  3 2
7
C) 2 3 C) 
2
D) 2 3 3
D)
E) 3 7
7
16. Calcular: E)
3
E  Sen225º  Cos210º  Tg120º  Ctg330º

1
A)
2
3
B)
4
3 6
C)
4
3 3
D)
4
3
E)
4

17. Si:     90º , calcular:

Tg  4  6  Sen  5  4 
E 
Tg  6  4  Sen  4  5 
A) -2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2

3
18. Si: Ctg  180º       II Q
4
Calcular:
1  Csc  180º    Tg  360º  
Sen  180º    Cos  360º    Ctg  180º  
5
A)
3
5
B) 
3
5
C) 
4
5
D)
4
4
E)
5

16
10 ÁNGULOS MÚLTIPLES

Estas identidades nos permiten simplificar expresiones y nos facilitara la resolución de ecuaciones
trigonométricas.
A) ÁNGULO DOBLE
Sen 2 x  2.Senx·Cosx
Cos2x  Cos 2 x  Sen 2 x
Cos2x  2Cos 2 x  1
Cos2x  1  2.Sen 2 x
2.Tanx
Tan2 x 
1  .Tan 2 x

B) ÁNGULO TRIPLE

Sen3x  3.Senx  4.Sen 3 x

Cos3x  4.Cos 3 x  3.Cosx
3.Tanx  Tan 3 x
Tan3x 
1  3.Tan 2 x

C) ÁNGULO MITAD

x 1  Cosx
Sen     ;
2 2
x 1  Cosx
Cos    ;
2 2
x 1  Cosx
Tan    ;...
2 1  Cosx

Para elegir el signo (+) o (-) del segundo miembro, depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo

 x
  y la R.T. correspondiente.
2
Sen3x  Senx 2.Cos2x  1
Cos3x  Cosx2.Cos2x  1
x
Identidades auxiliares Tan   Cscx  Ctgx;
2
x
Ctg   Cscx  Ctgx
2

17
 PROBLEMAS PARA CLASES 6. Calcula:
K = (2 + 2cos35°)(1 - cos35°) + 2sen10°cos10°
1. Si cosx=0,8, determine tg2x.
A) 24/25 A) 0
B) 24/7 B) 1
C) 7/24 C) 2
D) 24/13 D) -2
E) -7/24 E) -1

2 7. Calcula: tan7°30’
2. Si: Senx  ,
3
Calcular: Sen3x

22
A)
3
27
B)
20
22
C)
27 8. Calcula:
23
D)
5
E) N.A. A) -tan100°
B) tan100°
3. Si x=2º, calcule K=senxcosxcos2xcos4x. C) tan400°
D) -tan400°
A)7/200 E) 1
B)7/100
C)7/50 9. Si
D)7/25
E)7/5
a qué es igual:
4. Calcula:
E = acos2θ + bsen2θ

10. ¿A qué es igual?

5. Halla: x

A) 1,1
B) 1,2
C) 1,3
D) 1,4
E) 1,5

11. Reducir:

A) senx
B) sen2x
C) 2sen2x

18
 D) 2senx EJERCICIOS PROPUESTOS
e) sen4x
1
1. Si: Sen  ; Halle el valor de: Sen2
12. Reducir: 4
A)1/2
B)1/8
C) 15
8
D) 15
4

E) 15
16

13. Siendo: 2. Simplifique:

m = cos x . cos 4x . cos 8x Sen 2β + Cosβ
n = sen x . cos 2x . cos 16x Q=
2Senβ + 1
Hallar: sen 32x
A)Sen B)Cos C)Cosec
D)Sec E)Tan

3. Reduce: W = 8Sen3°Cos3°Cos6°Cos12°

14. Del gráfico, determine CD. A) Sen24°

B) Sec24°
C) Cos80°
D) Cos24°
E) Tan56°

4. De la figura, hallar "x".

A) 26
5
B) 24
5 
C) 21 
5
3
C) 5
21
E) 5
26
2 x

1
15. Simplificar 5. Si: Sen x  Cos x  , hallar: " Csc 2x "
4
A) 16
B) 16/11
C) 16/15
D) 16/13
E) 16/7

1
16. Siendo: cos2x+cos22x+cos32x=1 6. Si: Sen  Cos  Hallar: Sen2
3
Calcular: L = tanx+tan2x+tan3x A) -4/9
B) -3/9
A) 1 C) -8/9
B) 2 D) -5/9
C) 3 E) 5
D) 4
E) 5

19
7. A que es igual : E = Cos4 𝛽 – Sen4 𝛽 13. Reducir:
A) Sen 𝛽 
Csc  Csc   Csc 2  Csc 4   Ctg 4 
B) Cos 𝛽 2
C) Cos2 𝛽 A) Tg 
D) Sen2 𝛽 4
E)1 B) Ctg 
4
C) 
 x Tg
Tan   Ctgx 2
8. Reduce: E 2 
D) Ctg
 x
Ctgx  Ctg   2
2 E) Tg 
A)1
B) -1 14. Calcular el valor de:
C) 0 Tg7º 30 ' Ctg7º 30 '
D)1/2 A) 42 3
E) 1/3
B) 42 3
9. Si la secante de un ángulo agudo es 3, ¿cuál C) 2 3 3
es el coseno del triple de dicho ángulo? D) 4  2 3
E) 0

10. Halle el equivalente de la expresión:

E = sen2x cot x + cos2x tanx

A) sen 2x
B) cos 2x
C) tan 2x
D) cot 2x
E) csc 2x

11. Halle el valor de la expresión:

A) 2
B) 4
C) 1
D)1/2
E)1/4

12. Simplificar la expresión:

1  cos100º 1 – cos 80º

E – 2sen40º 
2 2
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

20
11 TRANSFORMACIONES
TRIGONOMÉTRICAS

I. DE SUMAS Y DIFERENCIAS A PRODUCTOS

 A B  A B
senA  senB  2 sen ·cos 
 2   2 
 A B  A B
senA  senB  2 cos ·sen 
 2   2 
 A B  A B
cos A  cos B  2 cos ·cos 
 2   2 
 A B  A B
cos A  cos B  2 sen ·sen 
 2   2 

II. DE PRODUCTOS A SUMAS Y DIFERENCIA

2senA·cos B  sen A  B   sen A  B 

2 cos A·senB  sen A  B   sen A  B 
2 cos A·cos B  cos A  B   cos  A  B 
2senA·senB  cos  A  B   cos  A  B 

Observación:
En todo triangulo ABC se verifican las siguientes igualdades:

A B C
senA  senB  senC  4 sen ·sen ·cos
2 2 2
A B C
cos A  cos B  cos C  4 sen ·sen ·sen  1
2 2 2
A B C
cos A  cos B  cos C  4 cos ·cos ·sen  1
2 2 2

sen2 A  sen2 B  sen2C  4 senA·senB·senC

sen2 A  sen2 B  sen2C  4 cos A·cos B·senC
cos 2 A  cos 2 B  cos 2C  4 cos A·cos B·cos C  1
cos 2 A  cos 2 B  cos 2C  4 senA·senB·senC  1
cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos A·cos B·cos C

21
 PROBLEMAS PARA CLASES E) cos 2x

1. Reducir: 7. Simplificar:

A) tan x A) 1
B) tan 2x B) –1
C) tan 3x C) 0
D) tan 4x D) sen 6x
E) tan 8x E) sen 4x
2. Calcule: 8. Calcula: A + B + C
Si: sen8x + sen4x = AsenBxcosCx

A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
3. Reducir:
9. Si se define la función:

A) 1
B) 1/2
4. Calcule el valor de: C) 3/2
D) 3/4
E) 1/4

A) 1 10. Si
B) 1/2 P(x) = sen3x . cos2x + sen3x . cos4x – senx. cos6x
𝜋
C) 3/2 Calcule: P(30°)
D) 2
E) ¾

5. Siendo:

11. Transformar a producto la expresión:

Halla el valor de: E = senA + sen 2A + sen3A

6. Reducir: A = 2 cos 3x . sen x + sen 2x

A) 1
B) –1
C) sen 2x
D) sen 4x

22
 3. Reduce:
12. Calcula el máximo valor de:
S = sen(x + 30°) cosx

4. Calcula:
13. Simplificar:

A) 2 cos C
B) –2 cos C
C) 2 sen C
D) –2 sen C
E) –cos C
5. Calcula:
14. Transforma a producto la siguiente suma: S = cos20° + cos100° + cos140°

A) 0
B) 1
C) –1
D) ½
15. Factoriza: E) -1/2

6. Calcula: (sen38° + cos68°)sec8°

A) 1
B) 2
C) ½
D) ¼
E) -1/2
EJERCICIOS PROPUESTOS
7. Calcula el valor aproximado de:
M = sen74°sen34° - sen52°sen88°
1. Reduce:
A) -2
B) 2
C) -1
D) 1/2
E) -1/4

8. Transforma a producto:
2. Simplifica: M = sen3x + sen5x + sen8x

A) tanx
B) tan2x
C) cotx
D) cot2x
E) tan4x

23
 A) 4senxsen2xsen3x
B) 4cosxcos2xcos3x
C) 4cosxcos2xcos4x
D) 4senxcos2xcos4x
E) 4cosxcos2xsen4x

9. Reduce: 14. Si: x + y = 30°, calcula:

10. Si se cumple x = y + 30°; calcula:

15. En qué tipo de triángulo ABC se cumple:

A) Obtusángulo
B) Acutángulo
C) Equilátero
D) Rectángulo
E) Escaleno

11. Calcula el valor de:

A = sen1° + sen2° + sen3° + ... + sen180°

12. En un triángulo ABC, transforma a

producto.
K = senA + senB + senC

13. Transforma a producto:

H = 1 + cos2x + cos4x + cos6x

24
12 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS

I. LEY DE SENOS: En todo triángulo cada lado es directamente proporcional a los senos de los ángulos
opuestos e igual a una constante que viene a ser el diámetro de la circunferencia circunscrita.

a b c
   2R
senA senB senC
Donde se deduce que:

a = 2RsenA asenB = bsenA

b = 2RsenB bsenC = csenB

c = 2RsenC asenC = csenA

II. LEY DE COSENOS: En todo triángulo se cumple:

B

c a

A b C

25
 a 2  b 2  c 2  2bc·cos A
b 2  a 2  c 2  2ac·cos B
c 2  a 2  b 2  2ab·cos C

III. LEY DE TANGENTES: Dado un triángulo ABC, se cumple:

 A B   BC   AC 
tg   tg   tg  
ab  2  ; bc   2  ; aC   2 

a b  A B  bc  B C  a C  AC 
tg   tg   tg  
 2   2   2 

IV. LEY DE PROYECCIONES:

c a

A b C

a = bCosC + cCosB

b = aCosC + cCosA

c = aCosB + bCosA

26
 6. En un triángulo ABC: ∢A=30º; ∢B=53º y
PROBLEMAS PARA CLASES a=5.
Calcular "b".
1. En un triángulo ABC: ∢A=30º; ∢C=45º y
c=2.
Calcular "a".
7. En un triángulo ABC, reducir:

2. En un triángulo ABC: a=2 y b=3.

Calcular:

8. En un triángulo ABC; a2=b2+c2+bc

Hallar: ∢A

3. En un triángulo ABC, reducir: (R: A) 60º

B) 120º
circunradio).
C) 135º
Q=a(senB–senC)+b(senC–senA)+c(senA–senB) D) 150º
E) 30º
A) R
B) 2R 9. En un triángulo ABC, se cumple que:
C) 0
D) R/2 Hallar: E = bc cos A + ac cos B + ab cos C
E) 1
A) 10
4. En un triángulo ABC; (R : circunradio). B) 20
C) 7,5
D) 15
E) 5

10. En un triángulo ABC: a=2; b=3; c=4.

Calcule: "CosA".

5. En la figura, tana=2,4, el valor de "a" es: A) 3/5

B) 4/5
C) 3/8
D) 7/8
E) 5/9

11. En un triángulo ABC; a=2, c=3; m∢B=60º.

Calcular: "b"

A) 24
B) 25
C) 27 12. En un triángulo ABC, se cumple:
D) 21
E) 23
(R: circunradio). Hallar:

27
 18. En un triángulo ABC se cumple: a.b.c = 32
13. En un triángulo ABC; se sabe que: cm3 y (senA)(senB)(senC) =1/ 2
Calcula el circunradio de dicho triángulo.
(a+b+c)(a+b–c)=3ab. Calcular: "m∢C".

A) 60º
B) 30º
C) 45º
D) 120º 19. En la figura, ABCD es un paralelogramo.
E) 150º Calcula AC.
14. En un triángulo ABC, reduce:

15. En un triángulo ABC, se cumple:

16. Tres lados de un triángulo están expresados

por tres números enteros consecutivos: x–1;
x; x+1. El ángulo mayor es el doble del
menor. ¿Cuál es el coseno del ángulo
menor?

17. Si a, b y c son los lados de un triángulo

rectángulo ABC, recto en A, expresa M en
términos de lo lados.

28
13 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son igualdades condicionales donde la variable (x) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados
de algún operador trigonométrico como el seno, coseno, etc.

Es de la forma: F.T. (ax + b) = N ............... (*)

Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o arco (ax + b) definido en el "rango" de la función
trigonométrica inversa.

De (*): Vp = Arc F.T. (N)

Además N debe pertenecer al dominio de la función trigonométrica; a y b son constantes reales con a  0
Ejemplo: De las ecuaciones trigonométricas elementales, con sus respectivos valores principales:

Sen 3 x  3  Vp  ArcSen 3   
 2  3
2  

Cos  2x      1  Vp  ArcCos  1   2
 4 2  2 3

Tan  3 x     1  Vp  ArcTan(1)   
 5 8 4

EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓN

TRIGONOMÉTRICA
ECUACIÓN S OLUCIÓN

Si : Senx  N  x  K  (1)K Vp ;  k Z

Obs : Vp = ArcSen(N)

ECUACIÓN S OLUCIÓN

Si : Cosx  N  x  2K   Vp ; K Z

Obs : Vp = ArcCos(N)

ECUACIÓN S OLUCIÓN

Si : Tanx  N  x  K  Vp ; K Z

Obs : Vp = ArcTan(N)

29
 PROBLEMAS EN CLASES A) 2
B) 3
1. Sume las dos primeras soluciones positivas C) 
de: 7
D)
Sen 2 x  1 3
2 E) 4
A) 180º
B) 360º 7. Resolver : tg3x = 3
C) 90º
D) 270º
E) 135º A) N + π
3
B) nπ + π
2. Resolver : sen2x = 1 3 3
nπ + π
A) n + (-1)n π C)
3 9
2
π D) nπ + π
B) n + (-1)n 6 3
4
E) nπ  π
C) n2π +(-1)n π
6
4
D) n + (-1)n π
8 8. Sume las tres primeras soluciones positivas
E) nπ +(-1)n  de la ecuación :
2
Sen 5 x  Sen 3x  3 (Cos 5 x  Cos 3x)
3. Sume las dos primeras soluciones positivas A) 135º
de : B) 180º
C) 165º
Cos 3 x  1
2 D) 160º
A) 120º E) 210º
B) 240º
C) 300º 9. Señale la suma de las dos menores
D) 260º soluciones positivas de la ecuación :
E) 270º 2 4
Sen x  Sen x  Cos x  1
4

A) 90º
4. Resolver : sen3x = 0 B) 180º
A) n C) 270º
B) nπ D) 225º
3 E) 360º
C) 3n
D) n + (-1)n π 10. Resolver : tg  32x   1
2
 
E) n3π +(-1)n π
6 A) 2nπ
3
B) 2nπ + π
5. Sume las dos primeras soluciones positivas 3 6
de : C) 2nπ - π
3 6
Tan(2x  30 º )  3
D) nπ + π
A) 170º 6 6
B) 180º E) nπ - π
C) 200º 6 6
D) 210º
E) 150º 11. Resolver: tg( 2x  π
5

1 
6. Resolver : A) n2π + π
40
(Sen4x+Cos4x)(Senx+Cosx)=1+Sen5x B) n2π π
+ 20
Indique la suma de los tres primeros valores
positivos de "x" C) n2π π
+ (-1)n 20

30
 nπ π 2. tgx – 1 = 0  x  < 0,2 >
D) 2 +(-1)n 40
nπ π Dar la suma de soluciones.
E) 2 - 20
A) 
12. Resolver :
B) 3π
1  1  2  1 1 2
2 2 2
Cos x Sen x Tan x Cot 2 x C) 2
Luego, señale la suma de las dos primeras
D) 5π
soluciones positivas. 2
A) 90º E) 3
B) 135º
C) 180º 3. Resolver: sen6x + cos6x = 1
D) 225º A) nπ
E) 270º 2
B) nπ
3
13. Al resolver la ecuación : nπ
C)
Cos 4 x  Sen 4 x  2Cos  4
Cos 2 x Sen 2 x D) nπ
Luego, señale la menor solución positiva. 6
 E) nπ
A) 8
4
 4. Resolver : 2cos7xcos3x – cos10x = 1
B)
6 A) n

C) B) n2π
3
D)
 C) nπ
4
8 nπ
 D)
E) 8
12 E) nπ
16
14. Resolver : Cos3x – cos5x = 0
5. Resolver : Cos3x + cosx = 0
A) nπ
4 A) 2n  π
nπ 2
B) π
3 B) n 
nπ 4
C) 2 C) 2n  π
4nπ 4
D) D) a y b
3
E) nπ E) a y c
6
6. Resolver :
EJERCICIOS PROPUESTOS Cos2 ( π - x) – sen2 ( π - x) = 1
4 4 2
A) n + π
(-1)n
1. Resolver : cos6x = 3 6
2
B) n + (-1)n π
12
A) nπ  π C) n + (-1) π
n
3 36 3
B) nπ + π
3 18 D) 2 + (-1) π
n π n
6
C) nπ  π
2 36 E) 2 + (-1) π
n π n
12
D) nπ + π
3 5
nπ 7. Si se cumple : tgxtgx  2 cos60º
E)
3 Halle los valores que toma x

31
 Si: x  < 0,2 >
A) π , π
8 4
π , 5π
B)
3 4
C) π , 5π
4 4
D) , π
π
3 4
E) , π
π
8 6

8. Señale el menor valor positivo que verifica la

ecuación: 3senx + 4cosx = 5
A) 30º
B) 37º
C) 53º
D) 60º
E) 45º

32