INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE CMPUTO

CLCULO APLICADO

PROFESOR: MONTIEL SANCHEZ ANGEL SALVADOR GRUPO: 1CV3

DESARROLLADO POR: GONZLEZ ESPINOSA VICTORIA ROJAS GARCA RAL OMAR ROMERO REYES SERGIO DIAZ GARCIA MANUEL RODRIGO GARCIA MARTINEZ ANDRES ISAAC

CLCULO APLICADO

TEMARIO I. CLCULO DIFERENCIAL: APLICACIONES 1. RAZN DE CAMBIO 2. DIFERENCIALES 3. MXIMOS Y MNIMOS 4. GRAFICACIN 5. OPTIMIZACIN CLCULO INTEGRAL: APLICACIONES 1. REA BAJO LA CURVA 2. REA ENTRE CURVAS 3. VOLMENES 4. SLIDOS DE REVOLUCIN 5. LONGITUD DE ARCO INTEGRALES IMPROPIAS 1. FORMAS INDETERMINADAS 2. REGLA DE LHOSPITAL 3. INTEGRALES IMPROPIAS 4. COMO LMITE DE INTEGRACIN 5. DISCONTINUIDADES SUCESIONES: SERIES 1. GENERALIDADES 2. SUCESIONES 3. SERIES 4. CONVERGENCIA 5. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 6. SERIES DE POTENCIAS 7. SERIES DE TAYLOR Y MCLAURIN

II.

III.

IV.

Bibliografa Clculo: trascendentes tempranas; James Stewart; Thomson L. Clculo; Serge Lang; Fondo Educativo Interamericano Clculo una variable; Ross Finney, George Thomas; Pearson Calculus; Sallas&Hille; Reverte

CLCULO APLICADO

Definicin: Se define como razn de cambio entre dos variables al cociente que se efecta entre dos cantidades infinitamente pequeas de esas variables. Ejemplo: un mvil se mueve sobre la trayectoria ( ) Calcule la razn de cambio cuando t= 3 segundos. Solucin:

( ) ( ) (

( ) )

)(

( )

( )

La velocidad cuando t= 3 segundos, es de 6 m/s. Ejercicio: Una colonia de bateras se comporta mediante la relacin ( ) Con qu velocidad se reproducen las bacterias cuando t= 2 segundos? Solucin: ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

CLCULO APLICADO

( ( ( )( )

( ) (

) ( ) )

( )

( )

Ejercicio: se infla un globo, el comportamiento del volumen esta dado por

Encuentre la velocidad con que aumenta el volumen a los 10 segundos. Solucin: ( ) ( ( ) ) ( ( )( ( ( ) ) ( ( ) ) )( ) ) ( ( ) )

Observacin: a las cantidades infinitamente pequeas que empleamos para calcular las razones de cambio les llamaremos diferenciales.

CLCULO APLICADO

En los ejemplos anteriores: ( ) ( )

Ejercicio: el rea de la zona conurbada del D.F. se comporta segn la relacin:

Con qu rapidez crece la mancha urbana a los 3 das? Solucin: ( )

( ) Ejercicio: un cuadrado se expande de forma que su lado cambia a razn de 2cm/segundo. Cuando su lado es de 6 cm de largo, encuentre la velocidad de cambio de su rea. Solucin:

( )

( )

CLCULO APLICADO

Ejercicio: una persona que mide 5 pies se aleja de un poste de luz a una velocidad de 5 ft/segundo. Si el poste mide 25 ft, cul es la rapidez de cambio de la sombra cuando la persona est a 40 ft del poste y cuanto mide la longitud de la sombra en ese instante? Solucin:

( )

Ejercicio: grafique: ( ) Solucin: I. Corte con el eje Y ( ) ( ) II. Corte con el eje X

( CLCULO APLICADO

) 6

( ( III. Encontrar los puntos crticos ( ) ( ( )( )(

)( )(

) )

) )

IV.

Evaluacin de la segunda derivada ( )

( ( )

V.

Evaluar puntos crticos ( ) ( ) ( ) ) ( ) (

CLCULO APLICADO

Ejercicio: con una lmina de 60 cmX60 cm se desea construir una caja sin tapa que contenga el mximo volumen, para lograrlo se harn cortes en las esquinas y se doblarn las pestaas resultantes. De qu tamao deben ser los cortes? Solucin: X

( ) Puntos crticos ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

( (

)(

))

) ( )

)( )

CLCULO APLICADO

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ( ( ( ) ) )) ) ( )

Para obtener un volumen mximo de 16000 cm3, los cortes en las esquinas deben medir 10 cm. Ejercicio: el Sr. Enrique tiene 80 m lineales de barda y desea utilizarlos todos para bordear su jardn rectangular y as impedir la entrada de los conejos. Cules son las dimensiones del rectngulo que nos dan la mxima rea bardeada? Solucin:

( ) ( ) ( ( ) )

( (

) )( )

( ) ( ) ( ) ( )

Para obtener un rea mxima de 400 m2 se debe colocar barda en un cuadrado de 20 m por lado.

CLCULO APLICADO

Ejercicio: el dueo de un edificio de 60 departamentos ha encontrado que puede rentarlos todos con una renta mensual de 100 euros. Sin embargo, por cada aumento de 2 euros perder un inquilino. Cul debe ser la renta para maximizar utilidades? Solucin: ( (
( )

)( )( )( ) ( ) )(

( ( )

( )

( )

La renta que garantiza el mximo de ingresos igual a 6050 es igual a 110

CLCULO APLICADO

10

Ejercicio: un agricultor poblano sabe que sembrando 20 manzanos por acre tendr un rendimiento de 360 manzanas por rbol. Sin embrago, por cada rbol adicional por acre el agricultor obtendr 15 manzanas menos por rbol. Optimice. Solucin: ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) )( ) )

( )

Para obtener el mayor rendimiento por acre igual a 7260 manzanas se debe sembrar 22 manzanos por acre. Ejercicio: en una reaccin auto cataltica la tasa de formacin R1 a la que se forma una nueva sustancia, originada por 150 unidades de una sustancia dada, es igual a: ( ) ( )

Donde x es la cantidad de nueva sustancia. Para qu valor de x es mnima la velocidad de la reaccin? Solucin:

150

CLCULO APLICADO

11

La velocidad de la reaccin es mnima para x=0 y x=150 Ejercicio: La compaa de producciones originales el pirata feliz puede producir un mximo de 30 DVDs originales diarios. La compaa estima que puede vender n videos a p pesos cada uno, donde p=120-2n, el costo total de producir n videos esta dado por 500+8n+n2 pesos. Optimice. Solucin:

( ( ) (

) )

( )

( ) Evaluamos ( ( ) ) ( )

Para obtener ganancias mximas de $545, es necesario vender los DVDs a $82 c/u

CLCULO APLICADO

12

Ejercicio: Encuentre el rea bajo la curva x3+3x2+3x+1, desde x=-2 a x=4. Solucin:

3 1

3 4 7 -2 1

4 -1

8 -1 0

-1

)( (

) )

Puntos crticos ( ) CLCULO APLICADO 13

)(

CLCULO APLICADO

14

Ejercicio: encuentre el rea bajo la curva ( ) Desde x=-2 hasta x=3. Solucin:

)( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

)( )

)( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

Ejercicio: encuentre el rea bajo la curva CLCULO APLICADO 15

( ) Desde x=0 hasta x=3. Solucin:

)(

( )( ( ( (( ) )

( ( ) ( )

)( ( (

) ) )

( )( ( ) ( )

) ( ( )

( )

)(

( )(

( )) ( ) )

( ( )

( )(

)( ( ( ) (( )

) ( ( (

( )( ) )

) ( ) ( )

( ( (

)( ) )

) ( ) ( )

( )( ( ( )

) )) ) )

)(

( CLCULO APLICADO

) 16

CLCULO APLICADO

17

Lista de ejercicios 1.- Una partcula se mueve de tal forma que en el instante t, la distancia est dada por:
( )

En qu momento es la aceleracin igual a -5? Solucin:

R= la aceleracin es igual a -5 cuando t es igual a -5/6 s, lo cual podra interpretarse como un retraso. 2.- Un objeto se mueve sobre una lnea recta con una velocidad dada por la funcin:
( )

Encuentre la aceleracin en el instante t=2. Solucin:

( )

( )

R= la aceleracin cuando t=2, es de 320 u/s2 3.- Un cubo se expande de tal forma que su arista cambia a razn de 5 pulgadas por segundo. Cuando su arista es de 4 pulgadas, encuentre la razn de cambio de su volumen. Solucin: Volumen= (lado)3 V= x3 x 18

CLCULO APLICADO

Pero V=x3 y ( )

Cuando x=4 ( ) R= cuando la arista del cubo es igual a 4 pulgadas, su volumen cambia a razn de 240 pulgadas3/s 4.- Una esfera crece de tal forma que su radio aumenta a razn de 1 pulgada por segundo. A qu velocidad cambia su volumen cuando su radio es de 3 pulgadas? Solucin: Volumen= 4/3 r3 V=4/3 x3 x

CLCULO APLICADO

19

Pero 4/3 x3 y ( )

Cuando x=3
( ) ( )

( )

R= Cuando el radio es igual a 3, el volumen de la esfera cambia a razn de 37.69 pulgadas3/s 5.- Cul es la razn de cambio del rea de un crculo con respecto a su radio, a su dimetro, a su circunferencia?

] rea en funcin del radio

CLCULO APLICADO

20

rea en funcin del dimetro

rea en funcin del permetro

6.- Un punto se mueve a lo largo de la grfica:

CLCULO APLICADO

21

De tal forma que su abscisa cambia a razn de 3 unidades por segundo. Cul es la razn de cambio de su ordenada cuando x=2? Solucin:
y

CLCULO APLICADO

22

Cuando x=2 ( ) (( ) )

R= Cuando x=2, la ordenada de la grfica cambia a razn de -0.1875 u/s 7.- En lo alto de un farol brilla una luz a 20 pies del suelo. Una mujer con una estatura de 5 pies se aleja caminando desde el farol. Encuentre la razn en que aumenta su sombra si se aleja a razn de 4 pies por segundo. Solucin:

20 x

5 s

( )

( )

CLCULO APLICADO

23

R= La sombra de la mujer aumenta a razn de 1.33 pies/s 8.- Si en el ejercicio anterior la mujer camina hacia la luz, encuentre la razn en que su sombra decrece si camina a razn de 5 pies por segundo. Solucin: 20 5 s x

( )

R= La sombra de la mujer decrece a razn de 12 pies/s 9.- La longitud del lado de un cuadrado aumenta a razn de 3 pulgadas por segundo. Encuentre la velocidad a la que el rea aumenta cuando el lado tiene 15 pulgadas de longitud. Solucin:

CLCULO APLICADO

24

Cuando x=15 pulgadas

R= Cuando la longitud del lado del cuadrado es igual a 15 pulgadas, su rea cambia a razn de 90 pulgadas2/s 10.- Una piscina tiene 25 pies de ancho, 40 pies de largo y 3 pies de profundidad en un extremo y 9 pies en el otro, siendo el fondo un plano inclinado. Si se bombea agua al interior de la piscina a razn de 10 pies cbicos por minuto, a qu velocidad se esta elevando el nivel del agua cuando tal nivel es de 4 pies en el extremo ms profundo? Solucin:

CLCULO APLICADO

25

( ( [ [ ( ) ] ]

) (

) (

R= El volumen cambia a razn de 5000pies3/min en cualquier instante mientras la altura de la piscina sea menor a 6 pies en el lado ms profundo 11.- Una infeccin viral se propaga en cierta poblacin de manera tal que:
( )

Personas contraen el virus en t semanas. A qu velocidad se propaga el contagio al final de cuatro semanas? Solucin:

Cuando t=4 semanas CLCULO APLICADO 26

( ) ( )

( )

R= al final de 4 semanas el virus se propaga a una velocidad de 210 personas por semana 12.- El costo de producir x celulares es:
( )

Dlares y el ingreso por x artefactos es de:

Dlares. Encuentre el beneficio marginal cuando la produccin esta a un nivel de 500 celulares. Solucin: Los beneficios se definen como los ingresos menos los costes y el beneficio marginal resulta de la derivada del ingreso total por la cantidad.

Cuando x=500 celulares

R= cuando la produccin esta a un nivel de 500 celulares el beneficio marginal es de 125 dlares 13.- Una inyeccin de x gramos de cierta droga resulta en una disminucin de la presin sangunea de:
( )

Milmetros de mercurio. Encuentre la sensitividad de 4 gramos de esta droga. Solucin:

Cuando x=4 gramos

R= la sensitividad de 4 gramos de dicha droga resulta de 20 milmetros de mercurio por gramo 14.- Grafique CLCULO APLICADO 27

i. 1. Corte con el eje y ( ) ( ) ( ) 2. Corte con el eje X Resolviendo para X Solucin 1: ( ) corta en (0,0)

Solucin 2: Las races son imaginarias as que pasamos a puntos crticos. 3. Puntos crticos: Resolviendo para x =3 =2 =0 4. Evaluando en la segunda derivada:

( ) 5. Evaluando y Graficando

( ) ( ) es un mnimo

CLCULO APLICADO

28

Seccin Graficas: ii. 1. Corte con el eje y no est definido por lo tano no corta con el eje y ( ) 2. Corte con el eje X Resolviendo para X no esta definido por lo tanto no corta con el eje x 3. Puntos crticos:

4. Evaluando y Graficando

CLCULO APLICADO

29

Seccin Graficas: iii. 1. Corte con el eje y

corta en (0,60)

2. Corte con el eje X

Resolviendo para X Son Races complejas no puede resolverse Las races son imaginarias asi que pasamos a puntos crticos. 3. Evaluando y Graficando

CLCULO APLICADO

30

Seccin Graficas: iv. 1. Corte con el eje y ( ) ( ) ( ) 2. Corte con el eje X corta en (0,-10)

Resolviendo para X Las races son imaginarias asi que pasamos a puntos crticos. 3. Puntos crticos: Resolviendo para x = -2 =0 4. Evaluando en la segunda derivada: = -2 ( =0 ( ) ( ) es un punto de inflexin 5. Evaluando y Graficando ) ( ) es un mximo

CLCULO APLICADO

31

Seccin Graficas: v. 1. Corte con el eje y ( ) ( ) ( ) 2. Corte con el eje X Resolviendo para X Las races son imaginarias asi que pasamos a puntos crticos. 3. Puntos crticos: Resolviendo para x =3 =0 4. Evaluando en la segunda derivada: =3 ( ) =0 ( ) ( ) es un punto de inflexin ( ) es un mximo ( ) corta en (0,-10)

5. Evaluando y Graficando

CLCULO APLICADO

32

vi. 1. Corte con el eje y ( ) corta en (0,0) ( ) 2. Corte con el eje X

Resolviendo para X Solucin 1: x=0 corta en (0,0) 3. Puntos crticos: Resolviendo para x =0 4. Evaluando en la segunda derivada:

( ) es un punto de inflexin 5. Evaluando y Graficando

CLCULO APLICADO

33

Seccin Graficas: vii. 1. Corte con el eje y ( ) ( ) ( ) 2. Corte con el eje X corta en (0,+36)

Resolviendo para X x = -2 x=2 corta en (2,0) , (-2,0), (3,0) y (-3,0) x = -3 x= 3 3. Puntos crticos: Resolviendo para x = 13/2 =0 4. Evaluando en la segunda derivada: = 13/2 ( =0 ) ( ) es un punto de inflexin

( ) ( ) es un punto de inflexin

5. Evaluando y Graficando

CLCULO APLICADO

34

Seccin Graficas: viii. 1. Corte con el eje y ( ) ( ) ( ) 2. Corte con el eje X Resolviendo para X x=2 x = 3/2 x = -3/2 3. Puntos crticos: Resolviendo para x = -0.527 = -0.527 4. Evaluando en la segunda derivada: = -8.527 ( = 8.527 ( ) es un mnimo ) es un mximo ( ) corta en (0,+18)

5. Evaluando y Graficando

CLCULO APLICADO

35

ix.

no se entendi la grafica es lo que apareci en winplot

CLCULO APLICADO

36

x. 1. Corte con el eje y No esta definido no corta en y 2. Corte con el eje X

Resolviendo para X

Puntos crticos: Resolviendo para x =0 3. Evaluando en la segunda derivada:

( ) es un punto de inflexin 4. Evaluando y Graficando 15.- El Sr. Toms va a construir un jardn rectangular con un rea de 400 pies cuadrados. Si por la barda cobran 0.30 centavos por pie lineal. Cul es la mnima cantidad que le costar bordearlo? Solucin:

400 ft2

CLCULO APLICADO

37

Igualando a 0

Evaluando en la segunda derivada

Evaluando en la funcin original [ ]

R= para poder colocar barda en un terreno con rea de 400ft2 con el mnimo de material, el permetro debe ser de 80 pies 16.- La compaa de reproducciones originales el pirata feliz puede producir un mximo de 30 videos semanales. Se estima que pueden vender n videos a p pesos cada uno, donde p=120-2n. el costo total de producir n videos es:
( )

Pesos. Cuntos videos debern vender para maximizar las utilidades de la compaa? Solucin:

( ( ) (

) )

CLCULO APLICADO

38

Igualando a 0

Evaluando en la segunda derivada

Sustituyendo en la funcin original

R= para maximizar las utilidades de la empresa, debe vender un total de 19 videos a $82 c/u

CLCULO APLICADO

39

26.- Encuentre el rea bajo la curva dada, el intervalo definido Seccin reas bajo la curva I. Grfica: (0,3)

Solucin:

II. Grfica:

(-3,8)

Solucin:

CLCULO APLICADO

40

III.

Grfica:

Solucin: IV. Grfica:

Solucin:

CLCULO APLICADO

41

V.

Grfica:

Solucin:

VI.

Grfica:

Solucin:

CLCULO APLICADO

42

VII.

Grfica:

Solucin:

CLCULO APLICADO

43

Ejercicio: encuentre el rea entre las curvas ( ) Desde x=2 hasta x=5 Solucin: ( )

( ) ( ) [

( )]

( )]

Ejercicio: encuentre el rea entre las curvas ( ) CLCULO APLICADO ( ) 44

Desde x=0 hasta x=7. Solucin:

Nota: en general ( ) ( )

CLCULO APLICADO

45

V=lado3=rea de la base*altura

V=a*b*c

V=r2h

V=3lado*a*h

CLCULO APLICADO

46

Calcule el siguiente volumen: ( )

( )

( )

CLCULO APLICADO

47

( )

( )

( )

( )

CLCULO APLICADO

48

CLCULO APLICADO

49

CLCULO APLICADO

50

CLCULO APLICADO

51

CLCULO APLICADO

52

CLCULO APLICADO

53

CLCULO APLICADO

54

II) Segundo Criterio de Convergencia: Criterio de la razn i) ii) iii) Si Si Si | | | | | | -> S Converge -> S diverge -> ??????

En el ejemplo: ( | | | ) | ( | ) ( ) ( | )

( |

)( ) |

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( )

( III) Criterio de la Integral

EJEMPLO: |

CLCULO APLICADO

55

5.

| |

| |

| |

CLCULO APLICADO

56

CLCULO APLICADO

57

CLCULO APLICADO

58

CLCULO APLICADO

59

CLCULO APLICADO

60