RMT3 (Eso2)

RECUPERACIÓN
DE
MATEMÁTICAS
3º ESO
(Matemáticas Pendientes de 2º de ESO)
Departamento de Matemáticas
Despacito y buena letra,
que el hacer las cosas bien,
importa más que el hacerlas.
Antonio Machado
2º de ESO IES Complutense
Tema 1. Números enteros Resumen
El conjunto de los números enteros es Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...}. Esta formado por los
positivos y los negativos. Los números negativos son los opuestos de los positivos; así 2 es
el opuesto de +2.
Pueden representarse en la recta así:
Suma y resta
 Para sumar dos números en teros con el mismo signo se suman los valores absolutos de
ambos números y se pone el signo que tenían los sumandos.
Ejemplos: a) (+3) + (+7) = +10 b) (7) + (5) = 12
 Para sumar dos números con distinto signo hay que restarlos y ponerle al resultado el signo
que lleve el número mayor en valor absoluto.
Ejemplos: a) (+3) + (7) = (7  3) = 4 b) (6) + (+11) = +(11  6) = +5
 Para restar dos números enteros hay que tener en cuenta que:  (+) = ;  () = +
Ejemplos: a)  (+ 9) = 9; b)  (10) = +10
Ejemplos: a) (7)  (+9) = (7)  9 = 16 b) (+6)  (10) = (+6) + 10 = 16
 Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos los términos que abarca.
Ejemplos: a) (4 + 5  3) = 4  5 + 3 = 6 b) (5 + 7  13) = +5  7 + 13 = +11
Multiplicación y división. En todos los casos hay que tener en cuenta las reglas de los signos:
[+] · [+] = [+] [+] · [] = [] [] · [+] = [] [] · [] = [+]
[+] : [+] = [+] [+] : [] = [] [] : [+] = [] [] : [] = [+]
Ejemplos:
(+3) · (+4) = +12; (+7) · (2) = 14; (5) · (+6) = 30; (1) · (9) = +9
(+18) : (+3) = +6; (+12) : (2) = 6; (32) : (+8) = 4; (28) : (7) = + 2.
Operaciones combinadas. El orden es el siguiente: 1) Paréntesis; 2) Productos; 3) Sumas.

Ejemplos: a) 12  2 · (9  3)  10 : (2)  (7) = 12  2 · 6 + 5 + 7 = 12  12 + 5 + 7 = 12
b) (12  2) · (9  3)  10 : [(2)  (7)] = 10 · 6  10 : (+5) = 60  2 = 58.
Potencias de números enteros. Se hace igual que con números naturales, pero hay que tener en
cuenta el signo de la base y si el exponente es par o impar, cumpliéndose:
 a n  a n → siempre positivo. Ejemplo:  2  25  32 ;  3  34  81
5 4
 a n  a n , si n es par. Ejemplo:  2  2 4  16 .
4
 a n  a n , si n es impar. Ejemplo:  3  35  243 .

5
Propiedades de las potencias:

a n ·a m  a nm a 
n m
 a n·m a n : a m  a n m a·bn  a n ·b n a : bn  a n : b n
Ejemplos: a)  2 · 2   2  128 b) (3) 3    36  729 .
4 3 7 2
c)  2 :  2   2  2 d)  2·  3   2 · 3   8

·  27  216
4 3 1 3 3 3
Raíz cuadrada: a  b , a > 0  b 2  a . Ejemplo: 144  12 , pues 12 2  144 .

Otras raíces: n
a  b , n N  b n  a . Ejemplo: 5 32  2 , pues 25  32 .
Matemáticas 2º de ESO
1
Tema 1. Números enteros Autoevaluación
1. Representa en la recta real los números: 4, +3, 1. Representa también sus opuestos.
2. Halla:
a) (+13) + (+7)  (3) + (5) =
b) (4)  (5)  (+6) + (7) =
c) (7)  (+8) + (3)  (9) =
d) (+10)  (+9) + (8)  (7) =
3. Halla:
a) (2) · (4 6 + 9) =
b) (7  3) · (4 + 8  9) =
c) (12) : (2)  (5) · (+ 7  10) =
d) (+20) : (5)  (2) · (+6) =
4. Calcula:
a) 12 + 5 · (4) – 20 =
b) 13 – 2 · ( 4  5 ) =
c) (3) · ( 3 + 5 ) – 4 · (  9 – 5 ) =
d) 6 + (4 ) · (+3)  5 =
5. Halla:
a) 8  2 · (9  3) + (12) : (3) =
b) 8  2 · [(9  3) + (12) : (3)] =
c) (8  2) · [(9  3) + (12)] : (3) =
d) 8  2 · [(9  3) + (12)] : (3) =
6. Calcula:
a) (−12) : (−2) − 15 : (−3) + 2 =
b) (3) · (2) – 8 : ( 12  10) =
c) (3) · ( 3 + 5 ) – 14 : (  9 + 7 ) =
d) [(3) · ( 3 + 5 ) + 14] : 2  (  9 + 7 ) =
2
7. Calcula:
a)  43 = b)  34 =
c)  53 = d)  27 =
8. Calcula:
a)  24  (3) 2  (5) 2 =
b)  64 :  63 =
c)  52 ·(1) 7  (5) 2  (3) 3 =

d) (2) 2  6
:  2 =
9
9. Halla:
a)  32   23 =
b) (+2)3 · (−3) =
c) (+14)6 : (−7)6 =
d) (1)  (+2)2 + (3)3  (4)4 =
10. Halla, si existen, las siguientes raíces:

a) (81) = b) (49) =
c) (1600) = d) (12)(3) =
11. Halla, si existen, las siguientes raíces:

a) 4 (81) = b) 3 (27) =
c) 5 (1) = d) 7 (128) =
12. Halla, indicado todas sus soluciones:

a) 36 = b) 3
8 =
c) 4
625 = d) 6
6 =
Soluciones:
1.
2. a) +18. b) 12. c) 9. d) 0. 3. a) 14. b) +12. c) 9. d) +8. 4. a) 28. b) 15. c) +32. d) 23
5. a) 0. b) 12. c) +12. d) 4. 6. a) +13. b) +2. c) 17. d) +6. 7. a) 64. b) 81. c) 125. d) 128.
8. a) 32. b) 6. c) 23. d) 8. 9. a) +1. b) 24. c) +64. d) 96. 10. a) +9. b) No. c) +40. d) +6.
11. a) +3. b) 3. c) 1. d) +2. 12. a) ±6. b) 2. c) ±5. d) no existe.
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Tema 2. Divisibilidad Resumen
Un número a es múltiplo por otro b si la división de a entre b es exacta. (Los números a y b

deben ser naturales, aunque el concepto se extiende sin dificultad a los números enteros).
También puede decirse que b es divisor de a.
 Si a es múltiplo de b entonces b es divisor de a, y viceversa.
 Todo número entero tiene infinitos múltiplos, que se obtiene multiplicándolo por 0, 1, 2…
 Todo número es divisor y múltiplo de sí mismo.
 El número 0 es múltiplo de todos los números.
 El número 1 es divisor de todos los números.
Divisores de un número; números primos

Un número puede tener varios divisores → Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, y 12.
Si un número solo es divisible por sí mismo y por la unidad se llama primo.
Ejemplos:
a) Los números 7, 17 o 23 son primos.
b) 28, 39 y 69 no son primos: 28 = 4 · 7; 39 = 3 · 13; 69 = 3 · 23.
Descomposición factorial de un número

Descomponer un número en factores es escribirlo como producto de algunos de sus divisores.
Ejemplos:
a) 72 = 2 · 36; o también, 72 = 8 · 9 = 2 · 3 · 12.
b) 100 = 2 · 50 = 4 · 25 = 10 · 10 = 2 · 2 · 5 · 5.
 Cuando todos los factores son primos se dice que el número está descompuesto como
producto de factores primos.
Ejemplos:
a) 72 puede escribirse como: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3  72  23·32 .
b) 100 = 2 · 2 · 5 · 5  100  22·52 .
 Factor de un número es cada uno de sus divisores.

 Factorizar un número es escribirlo como producto de algunos de sus divisores.
 Un número puede descomponerse factorialmente de varias maneras.
 Un número puede descomponerse en producto de sus factores primos de manera única,
salvo el orden de esos factores.
Ejemplos:
Los números 72 y 100 se han escrito más arriba como producto de factores primos:
a) 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 3 · 2 · 3 · 2 · 2; el orden no influye.  72  23·32 .
b) 100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 5 · 5 · 2 · 2 = 2 · 5 · 2 · 5  100  22·52 .
Criterios de divisibilidad
 Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2 si es par.
Ejemplos: 2, 24 o 130 son múltiplos de 2. Los números 21 y 33 no son múltiplos de 2.
 Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras en
múltiplo de 3.
Ejemplos: 99, 132 o 2124 son múltiplos de 3, pues sus cifras suman, respectivamente, 18, 6
o 9, que son números múltiplos de 3.
Los números 122 o 2222 no son múltiplos de 3.
4
 Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

Ejemplos: 100, 205, 2000 y 2375 son múltiplos de 5.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números

 Dos números pueden tener varios divisores comunes. El mayor de ellos se llama máximo
común divisor: m.c.d.
Ejemplo:
Los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Los divisores de 48 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48.
Los números 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son divisores comunes de 36 y 48. El mayor de ellos es 12; este
es el m.c.d. de 36 y 48. Se escribe: m.c.d.(36, 48) = 12.
 Dos números tienen infinitos múltiplos comunes. El menor de ellos se llama mínimo
común múltiplo: m.c.m.
Ejemplo:
100, 250 y 500 son múltiplos comunes de 10 y de 25. Ninguno de ellos es el m.c.m.(10, 25),
pues 50, que es menor que todos ellos, también es múltiplo de ambos: m.c.m.(10, 25) = 50.
Criterio para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.

Para determinar el m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números se descomponen los números
dados en sus factores primos.
 El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores primos comunes a ambos números (en este
criterio suele añadirse “con el menor exponente”).
 El m.c.m. se obtiene multiplicando los factores primos comunes y no comunes a ambos
números (afectados con el mayor exponente).
Ejemplo:
a) Los números 24 y 36 se descomponen así:
24 = 23 · 3; 36 = 22 · 32
2
m.c.d.(24, 36) = 2 · 3 = 12. m.c.m.(24, 36) = 23 · 32 = 72.
b) Para 10 y 25:
10 = 2 · 5; 25 = 52
m.c.d.(10, 25) = 4. m.c.m.(10, 25) = 2 · 52 = 2 · 25 = 50.
c) Los números 24 y 25 no tienen divisores comunes, salvo el 1: se llaman primos entre sí.
Su m.c.d. es 1; su m.c.m. es su producto.
m.c.d.(24, 25) =1. m.c.m.(24, 25) = 24 · 25 = 600.
 Una aplicación.
En una carrera de Fórmula 1 uno de los coches (A) tarda 2 minutos en dar una vuelta al
circuito; otro coche (B) tarda 2 min, 15 s en dar la misma vuelta. Si salen de meta a la vez:
a) ¿Cuánto tiempo tarda el coche A en doblar al coche B?
(Doblar consiste en alcanzarlo; en adelantarlo viniendo
desde atrás).
b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada coche en ese
momento?
Solución:
a) Los coches coinciden en los múltiplos comunes de ambos tiempos, que deben expresarse
en segundos: 120 s el coche A; 135 s el B.
Como 120  23·3·5 y 135  33·5  m.c.m.(120, 135) = 23·33·5 = 1080 s.
b) En ese tiempo el coche A da 9 vueltas (1080 : 120 = 9) y el coche B da 8 vueltas (1080 :
135 = 8).
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Tema 2. Divisibilidad Autoevaluación
1. Calcula tres múltiplos y tres divisores, si los tiene, de cada uno de los siguientes números:
Múltiplos Divisores
a) 50 
b) 72 
c) 16 
d) 17 
2. Indica cuáles de los siguientes números son primos (si no lo son, da uno de sus divisores):
a) 101 
b) 1003 
c) 2003 
d) 2009 
3. Descompón en factores primos los números:

a) 40 b) 105 c) 97 d) 360
4. A partir de su descomposición factorial, indica todos los divisores de:

a) 36 b) 42 c) 121 d) 71
4. Utilizando los criterios de divisibilidad, indica para los siguientes números sus divisores
primos menores que 12:
a) 1234  b) 600 
c) 1008  d) 420 
5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
a) 25 y 35 b) 42 y 63 c) 10, 30 y 80 d) 24, 36 y 72
6
6. Halla todos los divisores comunes de:

a) 18 y 24 
b) 21 y 28 
c) 45 y 60 
d) 9 y 23 
7. Para cada una de las parejas anteriores, halla los tres múltiplos comunes más pequeños.
a) 18 y 24  b) 21 y 28 
c) 45 y 60  d) 9 y 23 
8. Halla todos los múltiplos comunes de 2, 3, 5 y 7 menores que 1000. ¿Cuál es el m.c.m. de
esos números?
9. Indica, justificando tu repuesta, si las siguientes parejas de números son o no primos entre
sí.
a) 21 y 40 
b) 14 y 35 
c) 33 y 143 
d) 34 y 119 
10. En cierta parada de autobús coinciden, a las 8:00 h, los vehículos de

tres líneas diferentes, A, B y C. La línea A tiene un servicio cada 10
minutos, la línea B, cada 20 minutos, y la línea C, cada 15 minutos. ¿A
qué hora volverán a coincidir los autobuses de las tres líneas en la salida?
11. Para pavimentar una habitación de 4 × 3,60 metros se desean emplear

baldosas cuadradas. ¿Cuánto medirán de lado para que el número de
baldosas sea mínimo, sin necesidad de cortar ninguna?
12. En una caja hay un número indeterminado de canicas. Si se

cuentan de 7 en 7, de 8 en 8 y de 9 en 9, siempre sobran 5. ¿Cuál es el
menor número de canicas que puede haber en la caja?
7
Soluciones:
1. a) 50, 100 y 150; 25, 10 y 5. b) 72, 144 y 720; 36, 18 y 1. c) 32, 48 y 64; 8, 4 y 2. d) 17, 34
y 51; 1 y 17: es primo.
2. 101 y 2003.
3. a) 40 = 2 · 2 · 2 · 5. b) 105 = 3 · 5 · 7. c) 97 = 1 · 97, primo. d) 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
4. a) 2 y 617. b) 2, 3 y 5. c) 2, 3 y 7. d) 2, 3, 5 y 7
5. a) 5 y 175. b) 7 y 126. c) 10 y 240. d) 12 y 72.
6. a) 6, 3, 2, 1. b) 7, 1. c) 15, 5, 3, 1. d) 1.
7. a) 48, 96, 144. b) 84, 168, 252. c) 180, 360, 540. d) 207, 414, 621.
8. 210, 420, 630 y 840.
9. a) S. b) No. Divisor común: 7. c) No. Divisor común: 11. d) No. Divisor común: 17.
10. 60 minutos después, a las 9:00 h.
11. 40 cm. 90 baldosas.
12. 509
8
Tema 3. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal Resumen

El sistema de numeración decimal utiliza diez dígitos: 0, 1, 2, …, 9.
Diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.
Una unidad de cualquier orden se divide en diez unidades del orden inmediato inferior.
10 unidades = 1 decena; 10 decenas = 100 unidades = 1 centena.
1 unidad = 10 décimas → 1 décima = 0,1 unidades
1 décima = 10 centésimas → 1 centésima = 0,01 unidades
1 centésima = 10 milésimas → 1 milésima = 0,001 unidades.
El sistema de numeración decimal es posicional, que significa que el valor de una cifra
depende de la posición que ocupa en el número.
Para expresar cantidades comprendidas entre dos números se utilizan los números decimales.
Así, los números entre 3 y 4 se designan por 3,1; 3,45; 3,568…
Ejemplo: 345,304 = 300 + 40 + 5 + 0,3 + 0,00 + 0,004 → Se lee: trescientos cuarenta y cinco
unidades y trescientas cuatro milésimas → 345,304 = 345 + 0,304.
Tipos de números decimales

Números con un número finito de cifras decimales: 3,56; 0,567; 89,4
Números con infinitas cifras decimales periódicas: 3,55555…; 42,7090909…
Números con infinitas cifras decimales no periódicas: 2,012345…
Para comparar dos números decimales se contrastan cifra a cifra comenzando por la izquierda.
Así, y es obvio: 3,45 < 4,01 y 5,768 > 5,767
Los números decimales pueden representarse en la recta numérica. Todo número representado
a la izquierda es menor que cualquiera representado a su derecha.
Si un número tiene muchas cifras decimales conviene dar una aproximación por redondeo.
Redondear un número consiste en suprimir las cifras decimales a partir de un determinado
orden; si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5 se le suma 1 a la última cifra.
El error cometido, que es la diferencia entre el valor real y el valor redondeado, es menor que
media unidad del orden que se aproxima.
Ejemplo: a) El número 34,74389244 se aproxima a centésimas por 34,74. El error que se
comete es 0,00389244 < 0,005 (media centésima).
b) El número 34,7458 se aproxima a centésimas por 34,75. El error que se comete es 34,75 
34,7458 = 0,0042 < 0,005 (media centésima).
Operaciones con números decimales

Suma y resta: para sumar o restar números decimales se colocan en columna haciendo
coincidir los órdenes de las unidades correspondientes.
Multiplicación: se multiplican como si fuesen enteros (sin la coma decimal); el número de
cifras decimales del producto es la suma de las cifras decimales de los factores.
División: Se añaden ceros a la derecha al decimal que tenga menos cifras, hasta igualar las
cifras decimales de ambos números. Para obtener los decimales del cociente se pone la coma
y se siguen “bajando” ceros en el resto, hasta que se consiga el orden decimal deseado.
(Si tienes dudas pincha AQUÍ).
9
El sistema sexagesimal: medida del tiempo

Es un sistema de base 60:
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos  1 hora = 60 · 60 = 3600 segundos.
Para pasar de horas a minutos se multiplica por 60.

Para pasar de minutos a horas se divide por 60.
Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60.
Para pasar de segundos a minutos se divide por 60.
Ejemplos:
a) 2 h 25 min 42 s = 120 min 25 min 42 s
= 120 · 60 s + 25 · 60 s + 42 s
= 7200 + 1500 + 42 = 8742 s.
b) 2,5 h = 2 h + 0,5 h = 2 h, 30 min.
c) Una hora y cuarto = 1 h 15 min = 1,25 h = 75 minutos.
¡OJO!  1,25 no son 1 h y 25 min.
Ejemplo: Paso de forma incompleja a compleja

Para expresar, por ejemplo 8972 segundos en horas minutos y segundos se divide
sucesivamente por 60. El primer resto son los segundos; el segundo resto, los minutos; el
cociente final, las horas.
8972 60
297 149 60
572 29 min 2 horas
32 s
El sistema sexagesimal: medida de ángulos

Es un sistema de base 60:
Un ángulo completo mide 360 grados: 360º.
1 grado = 60 minutos de ángulo → 1º = 60´
1´ = 60 segundos → 1´ = 60´´.
Para pasar de grados a minutos se multiplica por 60.

Para pasar de minutos a grados se divide por 60.
Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60.
Para pasar de segundos a minutos se divide por 60.
Ejemplos:
a) 35,6º = 35º + 0,6º = 35º 36´ → 0,6º = 0,6 · 60 = 36´
b) 312´´ = 300´´ + 12´´ = 5´ 12´´ → 300´´ : 60 = 5´
c) 12312´´ = 12300´´ + 12´´ = 205´ + 12´´ → 12000´´ : 60 = 205´
= 3º + 25´ + 12´´ → 205¨: 60 = 3º y resto 25´
Por tanto, 12312´´ = 3º 25´ 12´´.
10
Tema 3. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal

Autoevaluación
1. Escribe cómo se leen los siguientes números:
a) 2405 
b) 203,8 
c) 0,38 
d) 20348 
e) 3,0012 
2. Escribe con números:

a) veinte unidades y treinta y dos milésimas 
b) cuatrocientas cinco diezmilésimas 
c) dos mil trescientas unidades y quinientas veinticinco cienmilésimas 
d) siete cienmilésimas 
3. Ordena de menor a mayor los siguientes números:

3,08; 3,023; 3,24; 3,189; 3,203; 3,501; 3,303
4. Intercala un número entre cada pareja:

a) 4,9 < < 4,91 b) 7,23 < < 7,24
c) 0,021 < < 0,022 d) 2,33 < < 2,333…
5. Redondea a centésimas:
a) 234,6451  b) 3,0025 
c) 9,6449  d) 1,675 
6. Aproxima a las unidades:

a) 12,09  b) 230,62 
c) 90,78  d) 10,463 
7. Realiza las siguientes sumas y restas:

a) 23,1 + 12,34 + 678,00367 c) 24  12,8 d) 30445,24  8892,973
11
8. Multiplica:
a) 23,7 × 3,4 b) 39 × 0,09 c) 2,01 × 7,04 d) 0,0028 × 0,06
9. Divide:
a) 24 : 3,2 b) 2,05 : 0,1 c) 0,28 : 0,05 d) 12,6 : 3,02
10. Expresa en segundos:

a) 2 h 
b) 234 min 
c) 2 h 36 min 
d) 2,36 h 
e) 17,8 min 
11. Expresa en horas, minutos y segundos:

a) 130005 s b) 4575 min c) 2,5 h d) 200,4 min
12. Expresa en grados, minutos y segundos:

a) 23,85º b) 1000´ c) 30000´´ d) 200,5´
12
13. Halla:
a) (23º 27´ 39´´) + (6º 41´ 42´´) b) (23º 27´ 39´´)  (6º 41´ 42´´)
14. Para ir de A a B un caminante empleó 2,34 h y para volver tardó 105,2

min. ¿Cuál fue el tiempo total que necesitó para ir y volver?
15. Divide un ángulo de 148,5º en cuatro partes iguales. Da el resultado en grados, minutos y
segundos.
Soluciones:
1. a) dos mil cuatrocientos cinco. b) doscientas tres unidades y ocho décimas. c) treinta y ocho
centésimas. d) veinte mil trescientas cuarenta y ocho unidades. e) tres unidades y doce
diezmilésimas.
2. a) 20,032. b) 0,0405. c) 2300,00525. d) 0,00007.
3. 3,023 < 3,08 < 3,189 < 3,203 < 3,24 < 3,303 < 3,501.
4. a) 4,905. b) 7,231. c) 0,02109. d) 2,332. 5. a) 234,65. b) 3,00. c) 9,64. d) 1,68.
6. a) 12. b) 231. c) 91. d) 10. 7. a) 713,44367. b) 11,2. c) 21552,267.
8. a) 80,58. b) 3,51. c) 14,1504. d) 0,000168. 9. a) 7,5. b) 20,5. c) 5,6. d) 4,17.
10. a) 7200 s. b) 14040 s. c) 9360 s. d) 8496 s. e) 1068 s.
11. a) 36 h 6 min 45 s. b) 76 h 15 min. c) 2 h 30 min. d) 3 h 20 min 24 s.
12. a) 23º 51´. b) 16º 40´. c) 8º 20´. d) 3º 20´ 30´´.
13. a) 30º 9´ 21´´. b) 16º 45´ 57´´ 14. 4 h 5 min 36 s. 15. 37º 7´ 30´´.
13
Tema 4. Fracciones (I) Resumen

Una fracción suele considerase como “la parte de un todo” que ha
3
sido dividido en porciones iguales. Así, indica que se toman 3
5
trozos de algo que se ha dividido en 5 trozos iguales. Es la parte coloreada en la figura.
El número de arriba se llama numerador e indica cuántas son las partes que se toman; el
número de abajo se llama denominador, e indica en cuántas partes se ha dividido la cosa.
 Para otras interpretaciones, véase, en esta web, los Conceptos Básicos del Tema 7 de 1º de ESO.
2 6
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo. Así,  .
5 15
 Para obtener fracciones equivalentes a una dada basta con multiplicar
o dividir el numerador y denominador de esa fracción por un mismo
a a·n a : n
número distinto de cero. Esto es:   .
b b·n b : n
Simplificar una fracción buscar otra, equivalente a ella, cuyos términos
sean más sencillos, más pequeños. Para ello se dividen los dos términos entre el mismo
número. Una fracción que no se puede simplificar se llama irreducible.
24  24 : 2  12  12 : 6  2
 : 25   : 5  .
375 15 3
Ejemplos: a)      . b)
36  36 : 2  18  18 : 6  3 1000 40 8
Reducción de dos o más fracciones a común denominador

Para reducir fracciones a común denominador se halla un número que sea múltiplo de los
denominadores; a continuación se buscan fracciones equivalentes a las dadas pero con ese
denominador común.
Un denominador común se obtiene multiplicando los denominadores de todas las fracciones.
 Aunque sea más costoso, se prefiere hallar fracciones con el menor denominador común,
que se obtiene calculado el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3 7
Ejemplo: Dadas las fracciones y , las equivalentes a ellas con el mismo denominador
8 12
3·12 7·8 36 56
son, respectivamente, y . Esto es: y .
8·12 12·8 96 96
 Si optamos por hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores, mcm(8, 12) = 24,
3·3 7·2 9 14
las fracciones obtenidas serán: y . Esto es: y .
8·3 12·2 24 24
(Como el denominador 8 se multiplica por 3, 24 = 8 · 3, también debe multiplicarse por 3 el
numerador correspondiente: 3 · 3 = 9. Igualmente, como el denominador 12 se ha
multiplicado por 2, 24 = 12 · 2, también su numerador debe multiplicarse por 2: 7 · 2 = 14).
Suma y resta de fracciones

 Si las fracciones tienen el mismo denominador: la fracción suma o resta es la que tiene por
numerador la suma o resta de los numeradores y por denominador el común.
4 7 8 478 5 1 4 5 12 4  5  12  3 1
Ejemplo: a)      . b)      .
15 15 15 15 15 3 9 9 9 9 9 3
 Si las fracciones tienen distinto denominador: se reducen a común denominador y se
procede como antes.
13 5 52 15 52  15 67 7 4 21 20 21  20 1
Ejemplo: a)      . b)      .
9 12 36 36 36 36 15 9 45 45 45 45
14
Suma o resta de números enteros y fracciones

Si se escribe el número como una fracción con denominador 1, la operación se reduce a
alguna de las anteriores. También puede aplicarse directamente las fórmulas:
c ad  c a a  cb
a  ; c  .
d d b b
4 3 4 3·15  4 49 3 4 3 4·7  3 25
Ejemplos: a) 3      . b) 4      .
15 1 15 15 15 7 1 7 7 7
4 4 2 4  2·7 18 3 3 5 3  5·8  37
a)  2     . b)  5     .
7 7 1 7 7 8 8 1 8 8
Multiplicación de fracciones
La fracción resultante tiene como numerador el producto de los numeradores y como
a c a·c
denominador, el producto de los denominadores. Esto es: ·  .
b d b·d
4 (5) 4·(5)  20 5 5 3 5·3 15 1
Ejemplo: a) ·     . b) ·    .
7 12 7·12 84 21 12 10 12·10 120 8
Multiplicación de un número entero por una fracción
La fracción resultante tiene como numerador el producto del número por el numerador; el
c a·c a a·c
denominador será el mismo. Esto es: a·  y ·c  .
d d b b
5 7·5 35 3 3·6 18 9
Ejemplos: a) 7·   . b) ·6    .
11 11 11 14 14 14 7
División de fracciones
La fracción resultante tiene como numerador el producto del numerador de la primera por el
denominador de la segunda, y como denominador, el producto del denominador de la primera
a c a·d
por el numerador de la segunda. Esto es, sus términos se multiplican en cruz → : 
b d b·c
6 3 6·9 54 18 3  6  3 (6) 3·7 21 7
Ejemplos: a) :    . b) :    :    .
7 9 7·3 21 7 11  7  11 7 11·(6)  66 22
División de un número entero por una fracción y de una fracción por un número entero
Escribiendo el número entero como una fracción con denominador 1 la operación se hace
c a c a·d a a c a
como se ha indicado en general. Esto es: a :  :  ; :c  :  .
d 1 d c b b 1 b·c
5 4 5 28 3 3 (2) 3 3 3
Ejemplos: a) 4 :  :  . b) : (2)  :    .
7 1 7 5 8 8 1 8·(2)  16 16
Prioridad de operaciones y uso de paréntesis

Cuando las operaciones aparecen combinadas, primero se resuelven los paréntesis, después
las multiplicaciones y divisiones; por último, las sumas y restas.
9  2 5   3 1  9  6 5   15 4  9 1 19 9 19
Ejemplos: a)    ·       ·     ·   =
20  3 9   4 5  20  9 9   20 20  20 9 20 20 180
81 19 62 31
=    .
180 180 180 90
 2 5  3 1  6 5  3 1 1 3 1 3 1 15 36  21 7
b)   ·     ·   ·        .
 3 9  4 5  9 9  4 5 9 4 5 36 5 180 180 180 60
15
Tema 4. Fracciones (I) Autoevaluación
1. Reduce a común denominador las fracciones:

2 1 1 12 10 5
a) , ,  (denominador común, 30)  , , .
5 3 6 30 30 30
1 7 5
b) , , 
3 15 12
2 4 11
c) , , 
9 15 30
2 8 11
d) , , 
7 21 42
2. Halla:
2 1 1 12 10 5 12  10  5 17
a)   =     .
5 3 6 30 30 30 30 30
1 7 5
b)   =
3 15 12
2 4 11
c)   =
9 15 30
2  8 11 
d)    =
7  21 42 
3. Halla:
1 3·5  15 15 1 16 1
a) 3  =   . b) 2  =
5 5 5 5 4
2 11
c) 3 = d) 4 =
7 2
4. Calcula y simplifica:
3 1 1 5
a)  = b) 2   =
7 3 4 12
3 15 3 12
c)  = d) : =
5 18 5 7
5. Halla, simplificando el resultado:

5 9 7 6
a) · = b) · =
12 15 18 7
9 8
c) 10· = d) ·12 =
15 15
16
6. Calcula, simplificando el resultado:

5 4 2
a) : = b) 4 : =
12 15 3
8 12 50
c) : = d) :5 =
15 15 3
7. Calcula:
2  1 1  2  2 1  2 1 12 5 7
a)    =    =     .
5  3 6  5  6 6  5 6 30 30 30
1 7  5
b)   · =
 3 15  12
2  8 11 
c) :   =
7  21 42 
2 5 1 1 5 3 
a)   = b) :  4  10  =
3 3 4 3  
3
1
4 2 1  7
c) = d)   3   =
3 5 3  4
2
5
2 1  7
a)      3   =
5 7  4
2 1 7
b)     3  =
5 7 4
2 1 7
c)  3 =
5 7 4
10. Calcula:
 2 5 3 1
a)   ·  =
3 9 4 5
 2 5 3 1
b)     · =
3 9 4 5
 2 5 5 1
c)    :  =
3 9 6 5
17
Tema 4. Fracciones (II) Resumen
Aplicaciones de las fracciones para resolver problemas

1. Fracción de una cantidad
3
Ejemplo: ¿Cuánto son los de 350 euros?
7
3 3 3·350 1050
 Los de 350 € = ·350    150 .
7 7 7 7
 De otra forma:
1 350
La sétima parte de 350 € son 350 : 7 = 50 € → de 350 =  50 .
7 7
3 350
Por tanto, de 350 = 3·  3·50  150 .
7 7
2. Expresión de una parte como una fracción

Ejemplo: En una carrera ciclista participan 180 corredores. Si durante la
carrera se retiran 45 corredores, ¿qué fracción del total de ciclista
participantes terminó la carrera?
 La carrera la terminan 180  45 = 135 ciclista.
135 3
La fracción correspondiente es:  .
180 4
3. Obtención del total a partir de la fracción

3
Ejemplo: Un depósito de agua ha vaciado los de su capacidad, lo que equivale a 4500
8
litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
3 4500 1
 Si 4500 litros son los   1500 litros será de su capacidad  La capacidad del
8 3 8
depósito será 8 · 1500 = 12000 litros.
3 4500
 De otra forma: La fracción debe ser equivalente a la fracción , siendo C la
8 C
3 4500
capacidad total del depósito. Luego  → Como 4500 = 3 · 1500  C = 8 · 1500 =
8 C
12000.
4. Suma o resta de partes de una cosa

3 2
Ejemplo: Durante dos días consecutivos un depósito de agua ha vaciado los y los de su
8 9
capacidad. Si inicialmente estaba lleno:
a) ¿qué fracción de agua queda en el depósito?;
b) si el depósito contenía 12000 litros, ¿cuántos litros quedan?
3 2 27  16 43 43 72  43 29
 a) Lo vaciado es    → Lo que queda es 1    .
8 9 72 72 72 72 72
29 29·12000
 b) Quedarán de 12000 litros =  4833,3 litros.
72 72
18
5. Multiplicación de partes de una cosa

Ejemplo: ¿Cuántos litros de agua se necesitarán para llenar 200 botellas de un quinto de litro?
1 1 200
 Hay que multiplicar 200 por → 200·   40 .
5 5 5
6. División de una cosa en partes iguales

2
Ejemplo: Un gato necesita cada día una ración de de kg de un producto
9
llamado “GatoVip”. ¿Cuántas raciones diarias se pueden hacer con 40 kg de
producto?
2 2 360
 Hay que dividir 40 entre → 40 :   180 .
9 9 2
7. Partes de una parte

3
Ejemplo 1: Un depósito de agua ha vaciado un día los de su capacidad; al día siguiente
8
1
vacía de lo que quedaba. Si inicialmente estaba lleno:
3
a) ¿qué fracción de agua se ha vaciado en los dos días?; ¿qué fracción queda en el depósito?
b) si el depósito contenía 12000 litros, ¿cuántos litros se han vaciado?
3 3 5
 a) Primer día. Se vacían → Quedan 1   .
8 8 8
1 5 15 5
Segundo día. Se vacía de = ·  .
3 8 3 8 24
3 5 9  5 14 14 24  14 10
Entre los dos días se ha vaciado:    → Quedan 1    .
8 24 24 24 24 24 24
14 14·12000
b) Se han vaciado de 12000 litros =  7000 litros.
24 24
Ejemplo 2: Un saltamontes salta tres veces seguidas. El primer salto es de 2 metros; el

7 4
segundo es la longitud del primero; y el tercero de la del segundo. ¿Cuánto ha saltado
8 5
en total?
 Primer salto → 2 m
7 7 14
Segundo salto: de 2 m = ·2  m.
8 8 8
4 14 4 14 56 14
Tercer salto: de = ·   m.
5 8 5 8 40 10
14 14 80  70  56 206
En total ha saltado 2     m = 5,15 m
8 10 40 40
19
Tema 4. Problemas de fracciones (I)
1. Pilar ha leído 100 páginas de un libro, lo 

que representa 4/7 del total. ¿Cuántas
páginas tiene ese libro?
2. Carlos está leyendo un libro. La primera 

semana lee 3/7 de las páginas, y la
segunda semana los 4/5 del resto. Si
todavía le quedan 48 páginas por leer,
¿cuántas páginas tiene el libro?
3. Se han roto los 8/13 de los huevos que 

contenía una caja. Si han quedado 75
huevos sin romper, ¿cuántos huevos
contenía la caja?
4. Sara tiene 28 €; gasta la quinta parte en 

pasteles, y la cuarta parte de lo que le
queda en cromos de 0,40 € cada uno.
Calcular:
a) El dinero que gastó en pasteles;
b) El número de cromos que compró;
c) El dinero que le sobró.
5. Marta lleva 300 € y Sara 1/3 de los 4/5 

de esa cantidad. ¿Cuánto dinero lleva
Sara?
6. Un recipiente está lleno de agua hasta 

los 4/5 de su capacidad. Si se saca la mitad
del agua que contiene:
a) ¿Qué fracción de la capacidad total del
recipiente se ha sacado?
b) Si la capacidad del recipiente fuera de
80 litros, ¿cuántos litros quedarían en el
mismo?
7. Una finca se divide en tres parcelas. La 

primera es igual a los 4/7 de la superficie
de la finca, y la segunda mide la mitad de
la primera.
a) ¿Qué fracción de la finca representa la
superficie de la tercera parcela?
b) Si la extensión de la finca es de 14000
m2, ¿cuál es la superficie de cada parcela?
20
2 
8. Un sexto de los de la estatura de
3
Alicia es igual a 17 cm. ¿Cuál es la
estatura de Alicia?
9. Tengo diez kilos y medio de bombones 

distribuidos en cajas de 3/4 kg cada una.
¿Cuántas cajas tengo?
10. En una bombonería hay 120 cajas de 

bombones. Si el peso neto de los
bombones de cada caja es de 1/3 de kg,
¿cuántos kilos de bombones tienen en
total?
11. Un confitero ha distribuido ocho kilos 

y cuarto de bombones en 33 bolsas. ¿Qué
fracción de kilo contiene cada bolsa?
3 
12. ¿Cuántas botellas de de litro pueden
4
llenarse con una garrafa de 24 litros?
13. ¿Cuántas botellas de 1,5 litros pueden 

llenarse con una garrafa de 33 litros?
14. Dos tercios de los alumnos de una

clase son chicas. Si el total de alumnos son
27, ¿cuántas chicas hay en la clase?
15. En una clase hay 5 chicas por cada 3

chicos.
a) ¿Qué fracción del total representa a las
chicas?
b) Si en la clase hay 12 chicos, ¿cuántos
alumnos hay en total?
16. Un poste está clavado en el suelo. La

parte enterrada es 1/7 de su longitud. Si la
parte visible mide 120 cm, ¿cuál es la
longitud total del poste?
Soluciones:
1. 175. 2. 420. 3. 195. 4. a) 5,60 €. b) 56. c) 0 €. 5. 80 €. 6. a) 2/5. b) 32 L.
7. a) 1/7. b) 8000, 4000 y 2000 m2, respectivamente. 8. 153 cm. 9. 14. 10. 40 kg.
11. 1/4 kg. 12. 32. 13. 22. 14. 18. 15. 5/8. 32. 16. 140 cm.
21
Tema 4. Problemas de fracciones (II)
17. El límite inferior de la zona de nieves 

perpetuas en España está,
aproximadamente, a 3000 metros.
Sabiendo que la altura del pico Mulhacén
es los 29/25 de este límite, ¿cual es la
altura del Mulhacén? ¿Qué altura de este
pico tiene nieves perpetuas?
18. Jorge ha comprado una calculadora 

con los 2/7 del dinero que tenía, y un
diccionario con los 2/3 de lo que le
quedaba, si le han sobrado 25 €, ¿Cuánto
tenía al principio?
19. El bibliotecario Pedro está registrando 

todos los libros de la biblioteca. Ya ha
registrado los 2/5 del total de libros. Si aún
le quedan por registrar la mitad del total,
más 800 libros, ¿cuántos libros tiene la
biblioteca?
20. Un agricultor ha visto cómo su 

cosecha ha disminuido como consecuencia
de un temporal de cuatro días de duración.
El primer día perdió 1/3 de la cosecha; el
segundo, 1/3 de lo que perdió el primero;
el tercero, 1/3 de lo que perdió el segundo;
y el cuarto día del temporal perdió 1/3 de
lo que perdió el tercero. Después de estas
pérdidas su cosecha se valoró en 820 €.
a) ¿Qué fracción de su cosecha perdió el
cuarto día?
b) ¿Cuál era el valor de su cosecha antes
del temporal?
c) ¿Cuánto ha perdido en los cuatro días?
21. Si el mismo agricultor dice que cada 

uno de los cuatro días del temporal perdió
un tercio de la cosecha que le quedaba,
¿habría tenido las mismas pérdidas?
22. Una persona sale de compras. Gasta 

los 3/7 de su dinero en el supermercado,
después 1/3 de lo que le quedaba en una
tienda de regalos, y, finalmente gasta la
mitad de lo que le quedaba en un libro de
5 €. ¿Cuánto dinero tenía al salir de casa?
¿Cuánto gastó en el supermercado?
22
23. Enrique ha comprado 450 litros de 

aceite. Si los envasa en botellas de 3/4 de
litro, ¿cuántas botellas necesita?
¿Cuál será el precio del litro, sabiendo que
el valor del aceite que contiene cada
botella es de 2,88 €?
24. ¿Por qué fracción hay que multiplicar

a 20 para obtener 5/8?
25. Un tornillo avanza 3/10 de centímetro 

cada 5 vueltas. ¿Cuántas vueltas deberá
dar para avanzar 4,5 cm?
26. Se han consumido los 7/8 de un bidón 

de aceite. Reponiendo 38 litros, el bidón
queda lleno en sus 3/5 partes. Calcula la
capacidad del bidón.
27. ¿Por qué fracción hay que dividir 1/5 

para obtener 8/15?
28. ¿Cuál es el valor de 1 kg de jamón si 

se vende a 6,50 € cada medio cuarto de
kilo?
29. El precio de una bicicleta se ha 

rebajado la décima parte. Si ahora cuesta
144 €, ¿cuánto valía antes?
30. He andado las dos terceras partes del 

camino, pero aún me quedan 1200 metros.
¿Qué longitud tiene el camino?
31. Un grifo llena un depósito en 6 horas y 

otro en 12 horas. ¿Qué fracción de
depósito llena cada grifo en una hora?
¿Cuánto tiempo tardará en llenar el
depósito cada uno de los grifos?
32. Un grifo llena un depósito en 6 horas y

otro en 12 horas. ¿Qué fracción de
depósito llenaran entre ambos grifos
durante 1 hora? ¿Cuánto tardarán en llenar
el depósito entre los dos grifos?
Soluciones:
17. 3480 m. 480 m. 18. 525 €. 19. 800. 20. a) 1/81. b) 162. c) 80. 21. Aquí, 65/81; antes,
41/81. 22. 26,25 €. 11,25 €. 23. 600. 1728 €. 24. 1/32. 25. 75. 26. 80 L. 27. 3/8. 28. 52 €/kg.
29. 160 €. 30. 3600 m. 31. 1/6 y 1/12, respecti… 6 h y 12 h, respecti…. 32. 3/12. 4 h.
23
Tema 4. Potencias y Fracciones (III) Resumen

La potencia de una fracción tiene el mismo significado que la potenciación en general, y se
cumplen las mismas propiedades que en potenciación con números enteros.
Propiedades de la potenciación con números enteros:

a n ·a m  a nm a n m
 a n·m a n : a m  a n m a·bn  a n ·b n a : bn  a n : b n
n
a a a a
Potencia de una fracción. Definición: · ·...·   
b b b b
n
pn  p 
n
a an
Propiedad inicial:    n . También se emplea al revés: n    .
b b q q
Ejemplos:
3 4 3 3
2 2 2 2 23 8 1 14 1 63  6  2 23 8
a) · ·     3  . b)    4  . c) 3        3  .
5 5 5 5 5 125  3 3 81 9 9 3 3 27
Producto y cociente de potencias de la misma base:

n m nm n m nm
a a a a a a
  ·       :    
b b b b b b
2 3 5 5 3 2
2 2 2 25 32 4 4 4 16
Ejemplos: a)   ·      5  ; b)   :      .
3 3 3 3 243 5 5 5 25
n n n
a c  a c
Potencia de un producto de fracciones:  ·     · 
b d  b d 
4 4 4 4 4
1 9 1 9 9 3 34 81
Ejemplo:   ·    ·         4  .
 3  4 3 4  12  4 4 256
n n n
a c  a  c 
Potencia de un cociente de fracciones:  :     :  
b d  b d 
3 3 3
1 5 1  5 13 53 1 125 216 216 8
Ejemplos:  :     :    3 : 3  :    .
3 6  3  6 3 6 27 216 27·125 3375 125
3 3 3
1 5 6 2 23 8
 En este caso, conviene operar antes el paréntesis:  :         3  .
3 6  15  5 5 125
m 4
 a n  a
n·m  3 2  3
8

Potencia de una potencia:      
Ejemplo:      .
 b   b  5   5
   
0 0 0
a 7  1
Potencia de exponente 0: a  1 ;    1 0
Ejemplos:    1 ;    1 .
b 8  5 
n n
a b 1 1
Potencia de exponente negativo:      ; a n  n ; n  a n
b a a a
2 3 3
2 3  2 
2 3 3
3 5 1 2 3 33 27
Ejemplos: a)      . b)       2 3  8 . c) 3       3  .
5 3 2 1 3 3 2 2 8
24
Números y potencias de base 10

La potencia 10n equivale a la unidad de orden de magnitud n; esto es, 1 seguido de tantos
ceros como indica el exponente n. Así:
100 = 1 (unidad). 101 = 10 (decena: orden de magnitud 1).
2
10 = 100 (centena: magnitud 2). 103 = 1000 (unidad de millar: magnitud 3) …
Si se extienden esta notación a exponentes negativos se tiene:
1 1 1
10 1  = 0,1 (décima). 10 2  2  = 0,01 (centésima)
10 10 100
1 1
10 3  3  = 0,001 (milésima). 104 = 0,0001; … ; 0,000001 = 106…
10 1000
Por tanto, cualquier número entero o decimal, puede escribirse mediante potencias de 10.
Ejemplos:
a) 7345304 = 7 · 106 + 3 · 105 + 4 · 104 + 5 · 103 + 3 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100.
b) 368,098 = 3 · 102 + 6 · 101 + 8 · 100 + 0 · 101 + 9 · 102 + 8 · 103 =
= 300 + 60 +8 + 0,0 + 0,09 + 0,008.
Números muy grandes o muy pequeños

Las potencias de 10 facilitan la expresión de números de muchas cifras, decimales o no. En
muchos de ellos, para facilitar la comprensión de la cantidad conviene redondear.
Ejemplos:
a) 160000000 = 16 · 100000000 = 16 · 108. También: 1,6 · 1000000000 = 1,6 · 109
b) 0,00000089 = 89 · 0,00000001 = 89 · 108. También: 8,9 · 107
Fracciones y números decimales.

Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un número decimal. Por tanto, una
fracción puede considerarse como un número decimal.
3 3 12 23 2
Ejemplos: = 0,6; = 0,375; = 2,4;  0,23 ; = 0,666…
5 8 5 100 3
 Y al revés, los números decimales (con un número finito de cifras decimales o con infinitas
cifras decimales periódicas) pueden escribirse como una fracción.
78 32 375
Ejemplos: 0,78 = ; 3,2 = ; 0,375 = .
100 10 1000
Para obtener la fracción equivalente (generatriz) a un números decimal periódico hay que
multiplicar el número dado por 10, 100, …, según convenga, a fin de que al restar los
números se consiga eliminar las cifras decimales.
Ejemplo: Si el número es 2,5676767… → Se escribe F = 2,5676767…
 Se multiplica por 1000: 1000 · F = 2567,6767…
 Se multiplica por 10: 10 · F = 25,6767…
2542
 Se restan esos números: 990 · F = 2542  Se despeja F: F  .
990
Los números racionales, son todos los que pueden escribirse en forma de fracción.
Los números racionales son: los naturales, los enteros, los decimales con un número finito de
cifras decimales, y los números decimales periódicos.
 Los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no son racionales. Se
llaman números irracionales. Por ejemplo: 7,01002000300004…
25
Tema 4. Potencias y Fracciones (III) Autoevaluación
1. Calcula:
3 3
1 1
a)   = b)   =
3  10 
10 3 33
c) = d) =
33 10 3
2. Halla:
38 10 4
a) = b) =
68 15 4
5
 50  12 3
c)   = d) 3 =
 100  8
3. Simplifica:
215 12 5
a) = b) =
211 65
(2) 7 ·16
c) =
43
4. Simplifica al máximo:
2 5 ·38 ·5 3
a) =
2 6 ·37 ·50
25 2 12 6
b) · =
30 5 10 4
5. Calcula, simplificando al máximo:

a) 3 · (22 + 32)  5 · (4)2 + 7 · 31 =
b) 312 · 310 =
6. Expresa mediante una sola potencia:

53 24
a) = b) =
55 27
54 (9) 5 ·3 4
c) = d) =
15 4 27 3
26
7. Calcula:
2 5 3
2  4   15 
a)   ·3 4 = b)   ·  =
3 5  8 
5 3 5 5
 4 8 1 1
c)   :   = d)   :  
 5 5  3  2
8. Calcula, simplificando al máximo:

5 3 3 5
1 1 3 3
a)   ·  = b)   :   =
 10   10  2 2
5 3 4
 4  4 2 4 
c)   ·  = d)  :  =
7 7  5 15 
9. Calcula:
3 2 0
 1 2    2  2   5 4 
a)     = b)     = c)     =
  10    5    9  
     
10. Expresa en función de las potencias de 10 las siguientes cantidades:

a) 500000 = b) 2100000 = c) 1230000000 =
d) 0,000006 = e) 0,00032 = f) 0,00000090 =
11. Expresa en notación decimal las siguientes cantidades dadas en función de las potencias
de 10:
a) 3,05 · 106 = b) 6,804 · 107 =
c) 2 · 104 = d) 4,01 · 105
12. Escribe como número decimal cada una de las siguientes fracciones:
12 7
a) = b) =
5 4
13 7
c) = d) =
3 22
13. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales:

a) 12,023 = b) 3,444… =
c) 5,232323… = d) 2,12333… =
27
Tema 5. (I) Proporcionalidad Resumen
a
La razón de dos números a y b es la fracción . (Es su cociente, en el orden que se dice).
b
Ejemplo: Si en una clase hay 3 chicas por cada 2 chicos, la razón correspondiente,
3 2
chicaschicos, es . La razón chicoschicas es .
2 3
a c
Una proporción es la igualdad de dos razones. Esto es, una igualdad de la forma  .
b d
Esa igualdad indica que las cantidades a y c son directamente proporcionales a las cantidades
b y d, respectivamente. Puede leerse así: “a es a b como c es a d”.
 Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre las magnitudes
correspondientes es la misma.
Ejemplo: Las magnitudes A y B, dadas en la tabla

adjunta, son directamente proporcionales. Por tanto, Tabla 1. Directamente proporcionales
todas las razones que se forman son iguales; esto es: Magnitud A 2 14 20 30 x 1
2 14 20 30 x 1 Magnitud B 3 21 30 y 60 k
     .
3 21 30 y 60 k
Propiedad: En una proporción, el producto de los extremos (a y d) es igual al producto de los

medios (b y c). Esto es: a·d  b·c .
 Esta propiedad permite encontrar el valor desconocido de uno cualquiera de los cuatro
términos de la proporción, conocidos los otros tres.
2 30 3·30 90
Ejemplos: a) De   2·y  3·30  y    45 .
3 y 2 2
b) En un frutero hay peras y manzanas. La razón perasmanzanas es de 3 a 4.
¿Si hay 12 manzanas, cuántas peras habrá?
3 x
La proporción que se obtiene es   3·12  4·x  36  4 x  x = 9.
4 12
Reducción a la unidad en la proporcionalidad directa: constante de proporcionalidad

En los problemas de proporcionalidad resulta útil saber cuánto vale B cuando A = 1. Ese valor
se halla dividiendo el valor de B por su correspondiente en A. (Dividiendo la razón dada).
Ejemplo: En la Tabla 1 el valor de B cuando A = 1 es 3 : 2 = 1,5. Es el valor de k en la tabla,
20 1
que también puede obtenerse, por ejemplo, de la igualdad  . Sea como sea, k = 1,5.
30 k
 Conociendo el valor de k, los valores de B se hallan multiplicando los de A por k.
 Conociendo el valor de k, los valores de A se hallan dividiendo los de B por k.
 El valor de k, para dos magnitudes proporcionales, es siempre el mismo, y se llama
constante de proporcionalidad.
Ejemplo: a) Para la Tabla 1, si A = 4  B = 4 · 1,5 = 6; si A = 30  B = 30 · 1,5 = 45.

b) En la misma Tabla 1, si B = 15  A = 15 : 1,5 = 10; si B = 60  A = 60 : 1,5 = 40.
Los problemas de regla de tres pueden resolverse:

 aplicando la propiedad de la igualdad de razones: cálculo del valor desconocido
 mediante la constante de proporcionalidad: reducción a la unidad.
28
Ejemplo: Si 15 vacas se comen 36 kg de pienso al día, ¿cuántos kg de pienso

serán necesarios para alimentar a 50 vacas diariamente?
Para resolverlo se hace el siguiente esquema:
Si 15 vacas  comen 36 kg
50 vacas  comerán x kg → Las proporciones asociadas son:
15 36 15 50 36·50
 , o bien:  . En ambos casos: x   120 kg.
50 x 36 x 15
 La solución mediante la reducción a la unidad consiste en determinar lo que come una vaca
36
al día, que es  2,4 kg. En consecuencia, 50 vacas comerán: 2,4 · 50 = 120 kg.
15
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un
número, la otra queda dividida por el mismo número; o cuando al dividir la primera por un
número, la segunda queda multiplicada por el mismo número.
Ejemplo: Las magnitudes A y B, dadas en la tabla
adjunta, son inversamente proporcionales Tabla 2. Inversamente proporcionales
Como puede observarse, al multiplicar la magnitud A Magnitud A 2 4 8 20 x 1
(cuyo valor inicial es 2), por 2, por 4, …, la magnitud Magnitud B 50 25 12,5 y 2,5 k
B (de valor inicial 50) se divide por 2, por 4, …
Propiedad: si dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de las cantidades

correspondientes es constante: 2·50  4·25  8·12,5  10·10  ...  20·y  x·2,5 .
Esta propiedad permite encontrar la cantidad y, de B, correspondiente a cierta cantidad conocida
de A. Y al revés, la cantidad x de A, correspondiente a una cantidad conocida de B.
Ejemplo: Para las magnitudes dadas en la tabla, los valores desconocidos y y x se pueden
determinar fácilmente, ya que si 2·50  20·y , entonces y = 5; y si 2·50  x·2,5 , entonces x = 40.
Reducción a la unidad en la proporcionalidad inversa

Es el valor de k en la Tabla 2, que puede obtenerse de la igualdad 2·50  1·k  k = 100. (Es el
valor de B correspondiente al valor de A = 1).
 Conociendo la constante k, los valores de B se hallan dividiendo k entre los valores de A.
 Conociendo la constante k, los valores de A se hallan dividiendo k entre los valores de B.
Ejemplo: a) Para la Tabla 2, si A = 2  B = 100 : 2 = 50; si A = 20  B = 100 : 20 = 5.
b) Para la Tabla 2, si B = 10  A = 100 : 10 = 10; si B = 8  A = 100 : 8 = 12,5.
Los problemas de regla de tres inversa pueden resolverse:

 aplicando la propiedad de los productos.
 mediante la constante de proporcionalidad: reducción a la unidad.
Ejemplo: Si 2 pintores encalan una pared en 20 horas, ¿cuántas horas tardarían
en encalarla entre 5 pintores?
Para resolverlo se hace el siguiente esquema:
Si 2 pintores  tardan 20 h
40
5 pintores  tardarán x h  2 · 20 = 5 · x  40 = 5 · x  x  = 8 h.
5
 La solución mediante la reducción a la unidad consiste en determinar el tiempo que
tardaría un solo pintor. Ese tiempo sería de 40 horas → 2 · 20 = 28; el doble que si lo
40
hacen entre dos. En consecuencia, entre 5 pintores emplearían  8 horas.
5
29
Tema 5. (I) Proporcionalidad Autoevaluación

1. En una clase hay 5 chicas por cada 3 chicos.
a) ¿Cuál es la razón de sexos en esa clase?
b) Si en esa clase hay 20 chicas, escribe la proporción que permita determinar
el número de chicos. ¿Cuántos chicos hay en esa clase?

2. En una clase hay 5 chicas por cada 3 chicos.

a) ¿Qué fracción del total representa a las chicas?
b) Si en la clase hay 12 chicos, ¿cuántos alumnos hay en total?

3. En un instituto que tiene 627 alumnos, cinco de cada once son chicos.
a) Escribe la razón de sexos asociada.
b) ¿Cuántos chicos y chicas hay en ese instituto?

4. En una cesta de fruta hay 3 manzanas por cada 4 naranjas.

a) ¿Cuál es la razón definida por los números de manzanas y naranjas?
b) Si en la cesta hay 15 manzanas, ¿cuántas naranjas habrá?

5. En la siguiente tabla, calcula los valores de a y b sabiendo que las magnitudes A y B son
directamente proporcionales
A 3 4 a
B 12 b 20

6. Por 2,4 kg de patatas se han pagado 1,92 €. ¿A cuánto sale el kg? ¿Cuánto deberá pagarse
por 4,2 kg?

7. Con 40 kg de pienso se pueden alimentar 16 vacas. ¿Cuántos kilos de pienso serán

necesarios para alimentar a 40 vacas?

30
8. Por trabajar 2,5 horas a Pedro le han pagado 20 €. ¿Cuánto le pagarán otro día por trabajar
4 horas?

9. En la siguiente tabla, calcula los valores de a y b sabiendo que las magnitudes A y B son
inversamente proporcionales
A 3 4 a
B 12 b 20

10. Para vaciar un contenedor de ladrillos 8 obreros han empleado 3 horas. ¿Cuánto tiempo
emplearían 6 obreros? ¿Y 12 obreros?

11. A la velocidad constante de 4 km/h, un excursionista tarda 2,5 horas en

realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardaría en hacer el mismo trayecto a una
velocidad de 5 km/h?

12. Un granjero necesita cada día 255 kg de pienso para dar de comer a 750 gallinas.
¿Cuántos kilos de pienso necesitará para dar de comer a 500 gallinas durante una semana?
(Observación. Determina cuánto come una gallina al día.)

13. Una excavadora, trabajando 10 horas al día, abre una zanja de 1000 metros
en 8 días. ¿Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12
horas al día?
(Observación. Determina cuántos metros excava en una hora.)

Soluciones:
5 5 20 5 5 3
1. a) . b)   x = 12. 2. a) . b) 32. 3. a) .b) 285 y 342. 4. a) . b) 20.
3 3 x 8 6 4
5. a = 5; b = 16. 6. 0,8 €; 3,36 €. 7. 100 kg. 8. 32 €. 9. a = 1,8; b = 9.
10. 4 h.2 h. 11. 2 h. 12. 3,4 · 50 · 7 = 1190 kg. 13. 4 días.
31
Tema 5. (II) Porcentajes Resumen

Un porcentaje se puede estudiar como una razón: es una fracción con denominador 100.
16
Ejemplo: Un 16 por ciento (16 %) es la razón .
100
Los problemas de porcentajes son problemas de fracciones.

16 16
Ejemplo: El 16 % de 1200 = la fracción de 1200 = · 1200 = 0,16 · 1200 = 192.
100 100
Un porcentaje puede calcularse multiplicando por el número decimal asociado.

16
Ejemplo: El número decimal asociado al 16 % es = 0,16. Por tanto, para hallar el 16 %.
100
de cualquier cantidad se multiplicará esa cantidad por 0,16.
Así 16 % de 1200 = 1200 · 0,16 = 192.
Los problemas de porcentajes son problemas de proporciones (de reglas de tres).

En general, los problemas de porcentajes tratan de encontrar algún término desconocido de la
a c
proporción  . Los cuatro términos de la proporción serán, no necesariamente en este
b d
orden: (a) el %; (b) 100; (c) la parte (el tanto por cien correspondiente); (d) la cantidad total.
16 c
Ejemplo: El 16 % de 1200 se calcula resolviendo la proporción:   c = 192.
100 1200
La regla de tres asociada es:
Si a 100  16
16 x 16·1200
a 1200  x    x  192 €.
100 1200 100
Cálculo del total conocidos el % y la parte correspondiente.

Ejemplo: Juan ha realizado ya el 30 % de un encargo, para lo que ha empleado 18 horas.
¿Cuántas horas totales necesita ese encargo para que lo realice Juan?
La regla de tres es:
Si el 30 %  son 18 h
30 18 18·100
el 100 %  serán x    x  60 horas.
100 x 30
Cálculo del porcentaje conocidos el total y la parte correspondiente a ese porcentaje.

Ejemplo 1: De una deuda de 2500 € se han pagado 800 €. ¿Qué porcentaje se ha pagado?
Si de 2500  se han pagado 800
2500 800 800·100
de 100  se ha pagado x    x  32 %.
100 x 2500
Ejemplo: Un ordenador portátil que valía 550 € se vende en rebajas por 467,5 €. ¿Qué
porcentaje se ha rebajado?
Si de 550  rebajan 82,5 → (550  467,5 = 82,5)
550 82,5 82,5·100
de 100  rebajarán x    x  15 %.
100 x 550
32
Aumentos porcentuales
Cuando a una cantidad inicial se le añade un tanto por ciento de la misma cantidad, se habla
de aumentos porcentuales. (Es lo propio de las subidas de precios.)
Ejemplo: Si el precio de los libros de texto ha aumentado, del año pasado a este, el 12 %,
¿cuánto valdrá este año lo que valía 230 € el pasado?
La cantidad que aumenta es el 12 % de 230 = 0,12 · 230 = 27,6 €.
El precio que debe pagarse es lo que valía + el aumento. Esto es: 230 € + 27,6 € = 257,6 €.
Calculo directo de aumentos porcentuales

porcentaje
1. Para aumentar un porcentaje a una cantidad se multiplica esa cantidad por 1  .
100
Ejemplo: Si el precio de los libros de texto ha aumentado del año pasado a este el 12 %,
¿cuánto valdrá este año lo que valía 230 € el pasado?
La cantidad a pagar será: 230·(1  0,12)  230·1,12  257,6 €.
2. Para aumentar un porcentaje a una cantidad se puede hacer una regla de tres directa,
teniendo en cuenta que a 100 le corresponde 100 + porcentaje.
Ejemplo: Si el precio de un juego de ordenador ha aumentado, del año pasado a este, un 7 %,
¿cuánto valdrá este año si el pasado costaba 32 €?
El planteamiento es:
Si a 100 €  107 € (eso es lo que supone un aumento del 7 %)
107·32
a 32 €  x €  100 · x = 107 · 32  x   34,24 €.
100
Sugerencia. Alterna el método de solución en estos dos ejemplos y comprueba que el
resultado es el mismo.
Disminuciones porcentuales
Cuando a una cantidad inicial se le quita un tanto por ciento de la misma cantidad, se habla de
disminuciones porcentuales. (Es lo propio de las rebajas de precios.)
Ejemplo: Si el precio de un teléfono móvil se ha rebajado un 20 %, ¿cuánto costará si antes
de las rebajas costaba 245 €?
La cantidad rebajada es el 20 % de 245 = 0,20 · 245 = 49 €.
El precio que debe pagarse es lo que valía menos la rebaja. Esto es: 245  49 = 196 €.
Calculo directo de aumentos porcentuales

porcentaje
1. Para disminuir un porcentaje a una cantidad se multiplica esa cantidad por 1  .
100
Ejemplo: Si el precio de un teléfono móvil se ha rebajado un 20 %, ¿cuánto costará si antes
de las rebajas costaba 245 €?
La cantidad a pagar será: 245·(1  0, 20)  245·0,80  196 €.
2. Para disminuir un porcentaje a una cantidad se puede hacer una regla de tres directa,
teniendo en cuenta que a 100 le corresponde 100  porcentaje.
Ejemplo: Si el precio de un juego de ordenador se ha rebajado (disminuido) un 8 %, ¿cuánto
valdrá si antes de la rebaja valía 248 €?
El planteamiento es:
Si a 100 €  92 € (eso es lo que supone una rebaja del 8 %)
92·248
a 248 €  x €  100 · x = 92 · 248  x   228,16 €.
100
33
Mat 2º ESO IES Complutense
Tema 9. (II) Porcentajes Autoevaluación
1. Calcula el 10 % de las siguientes cantidades:

a) 300  b) 55 
c) 2500  d) 20,4 
2. Halla el valor de los siguientes porcentajes:

a) El 18 % de 2500 
b) El 27 % de 120 
c) El 9 % de 15300 
d) El 6,5 % de 48,3 
3. En una clase de 30 alumnos el 60 % son chicas, ¿cuántas chicas hay?
4. Carmen, que ganaba 1800 euros al mes, ha ascendido en la empresa y le han subido el
sueldo un 12 %. ¿Cuánto ganará ahora?
5 ¿Por qué número hay que multiplicar para incrementar una cantidad en un 12 %?
Incrementa las cantidades 15300, 2500 y 320 en un 12 %.
6. Alejandro ha pagado 170 € por una bicicleta que está rebajada un 20 %, ¿cuánto valía la
bicicleta antes de la rebaja?
7. ¿Por qué número hay que multiplicar para disminuir una cantidad en un 6 %? Disminuye
las cantidades 12450, 980 y 700 en un 6 %.
8. Sonia compra un libro que valía 16,40 €. Si le hacen un 20 % de descuento, ¿cuánto pagó
por el libro?
9. Al comprar un frigorífico que valía 1420 € nos han rebajado 120 €. ¿Qué descuento nos
han hecho?
34
10. El sueldo de los trabajadores de una empresa va a subir un 2 %. Completa en la tabla

siguiente los valores que faltan.
Sueldo actual (€/ mes) 3200 € 1800 € 780 €
Nuevo sueldo (+ 2 %) 2040 €
11. Las rebajas anuncian un descuento del 40 %. Indica en la tabla siguiente los precios
rebajados o los iniciales.
Antes 100 € 32 € 40,40 €
Precios rebajados 120 €
12. Los precios de una marca de coches han subido el 3 % en enero y el 2,5 % en febrero,
¿cuánto costará el día 1 de marzo un coche que el 31 de diciembre pasado costaba 14.400 €?
13. Un comerciante marca sus productos un 40 % más caro de lo que le cuestan. Después
anuncia que todos sus productos están rebajados un 14 % sobre el precio marcado. ¿Cuál es
su porcentaje de ganancias? ¿Cuánto ganó un día que ingresó 1200 € por ventas?
14. A 100 km/h un automóvil tarda 90 minutos en recorrer cierto trayecto. ¿Cuánto tardaría si
incrementa su velocidad en un 20 %?
15. Marta tiene 250 euros que mete en un banco al 4 % de interés anual. ¿Cuánto dinero
tendrá al cabo de un año? ¿Qué interés le producirán esos 250 € durante 3 años?
Soluciones:
1.a) 30. b) 5,5. c) 250. d) 2,04. 2. a) 450. b) 32,4. c) 1377.d) 3,1395. 3. 18. 4. 2016 €.
5 Por 1,12 → 17135; 2800; 358,4. 6. 212,50 €. 7. Por 0,94 → 11703; 921,2; 658.
8. 13,12 €. 9. 8,45 %
10. Sueldo actual (€/ mes) 3200 € 1800 € 780 € 2000 €
Nuevo sueldo (+ 2 %) 3264 € 1836 € 795,6 € 2040 €
11. Antes 100 € 200 € 32 € 40,40 €
Precios rebajados 60 € 120 € 19,20 € 24,24 €
12. 15202,80 €. 13. 20,4 %. 203,7 €. 14. 75 min. 15. 260 €. 30 €.
35
Tema 6. (I) Álgebra Resumen

Una expresión algebraica es aquella en la que aparecen números y letras, unidos por las
operaciones habituales.
El álgebra utiliza esas expresiones para establecer relaciones de carácter genérico, pues las
letras pueden tomar cualquier valor.
 El álgebra permite dar fórmulas generales. Así, el área de cualquier

b·a
triangulo es A  , siendo b la base y a la altura.
2
8·5
Si la base mide 8 y altura 5, el área del triángulo es: A   20 .
2
 El álgebra permite expresar propiedades generales. Así, para indicar que una operación,
por ejemplo la suma, cumple la propiedad conmutativa, se escribe: a  b  b  a .
 El álgebra permite manejar números de valor desconocido. Así, si con la letra x se designa
un número desconocido:
El doble de x es 2x, que significa 2 · x. Por tanto, si x valiese 8, 2x valdría 16.
x x
La mitad de x es x : 2  → Si x valiese 100, valdría 50.
2 2
El cuadrado de x es x , que significa x·x → si x valiese 7, x 2 = 7 · 7 = 49.
2
1 7 8 x x x 3x x 2 x
La suma 2 x  5x es igual a 7 x . Igualmente: x  x  x ; y x       .
3 3 3 3 1 3 3 3 3
 El álgebra permite establecer relaciones entre números. Así, para indicar que dos números
son consecutivos se les da valores x y x + 1. escribe
Monomios. Son las expresiones algebraicas más simples. Sólo tiene un término.
Un término es: un número; una letra; o un producto de números por letras.
4
Ejemplos: a) Cualquier número es un término. Así, 8, 3 o son términos, que por no poder
3
variar se llaman constantes.
b) Cualquier letra es un término. Así, a, b o x son términos.
c) Cualquier producto de números por letras es un término. Así, 3·a ,  4·a·x o x·x son
términos. Esos términos suele escribirse omitiendo los puntos de multiplicar. Esto es:
3·a  3a ,  4·a·x  4ax o x·x  x 2 .
d) La expresión 2a 2 b  4b  5 no es un monomio, pues esta formada por tres términos. Por
tanto, si hay sumas o restas la expresión no es un monomio. Se llamará polinomio.
 En un monomio, al número se le llama coeficiente; a la letra o letras que lo multiplican se

le llama parte literal.
Ejemplo: La parte literal de 3a ,  4ax y x 2 es, respectivamente, a , ax y x 2 . Sus
coeficientes, también respectivamente, son: 3, 4 y 1.
Observa que cuando la parte literal no lleva número, su coeficiente es 1; y si va sola con signo
negativo, su coeficiente es 1. No se ponen por comodidad. Así, los coeficientes de  ab 2 y
de x 3 son, respectivamente, 1 y 1.
 Valor numérico de un monomio es el valor que se obtiene cuando se sustituyen las letras
por números. Así, en  ab 2 , si a = 3 y b = 2, su valor es  3·(2) 2  3·4  12 .
36
 El grado de un monomio es el grado de la parte literal, que es la suma de los grados de las
letras que la forman.
Ejemplo: El grado de 3a es 1; el grado de x 2 es 2; el grado de 2a 2 b es 3.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplos:
a) Los monomios 3a y 5a son semejantes.
b) También son semejantes los monomios: x 2 y 6x 2 ; y, 2a 2 b y 3a 2 b .
c) No son semejantes: 3a y 2ab . Tampoco lo son 2x 2 y 3x .
Suma y resta de monomios

Solo pueden sumarse o restarse los monomios semejantes.
Cuando dos monomios no son semejantes, no pueden agruparse; la operación se deja
indicada.
Ejemplos:
a) Los monomios 3a y 5a pueden sumarse y restarse. Esto es, pueden hacerse las
operaciones: 3a  5a y 3a  5a
b) Los monomios 2x 2 y 3x no pueden sumarse ni restarse. Las operaciones 2 x 2  3x y
2 x 2  3x no pueden realizarse, se dejan así.
 Para sumar (o restar) monomios se suman (o restan) los coeficientes y se deja la misma
parte literal.
Ejemplos:
a) 3a  5a  (3  5)a  8a ; b) 3a  5a  (3  5)a  2a ; c) 2 x  7 x  5x  4 x .
d) 2 x 2  3x se deja indicada, como está. e) 2x  7 x  5  9x  5 .
 La suma y resta de expresiones algebraicas cumplen las mismas propiedades que la suma y
resta de números. Habrá que tener en cuenta las reglas de los signos.
Ejemplos:
a) 2a  7a  7a  2a ; b) 5a  a  3a   5a   2a   5a  2a  7a .
Producto de monomios
Pueden multiplicarse cualquier tipo de monomios entre sí.
Para multiplicar dos monomios se multiplican números por números y letras por letras.
Ejemplos:
a) 3a 
· 5a   3·5
· a·a   15a 2 ; b) 3a 
·  5a   3·(5)
· a·a   15a 2 ;
c) x·x·x  x 3 ;  
d) 2 x 2 ·3x   2·3·x 2 ·x  6 x 3 .
División de monomios
Pueden dividirse cualquier tipo de monomios entre sí.
Para dividir dos monomios se dividen números entre números y letras entre letras. La parte de
la expresión que no pueda simplificarse se dejará indicada en forma de fracción
Ejemplos:
12a 2 12 a 2 10a 2 b 10 a 2 b 2 1 2a
a)  ·  4a ; b) 3
 · · 3  ·a· 2  2 ;
3a 3 a 15ab 15 a b 3 b 3b
5x 2
5 x 2
1 x  10 x y  10 x y
2 2
1 2x
c)  ·  x ; d) 2
 · · 2  2 x·   .
15 x 15 x 5 5 5 xy 5 x y y y
37
Tema 6. (I) Álgebra Autoevaluación
1. Sea un rectángulo de base b y altura a. Indica las expresiones algebraicas que dan el área y
el perímetro de ese rectángulo. ¿Cuál será el valor numérico de esas expresiones cuando a = 2
y b = 7 cm. (Haz un dibujo adecuado).
2. Indica mediante una expresión algebraica las siguientes relaciones:

a) La suma de dos números es 34 
b) Un número es tres unidades mayor que otro 
c) Un número más su consecutivo 
d) El triple de un número vale 51 
3. Indica mediante una expresión algebraica las siguientes situaciones:

a) La suma de dos números consecutivos vale 71 
b) Un padre tiene cuatro veces la edad de su hijo y entre ambos suman 45 años.

c) Un número más su cuadrado suman 20 
4. Indica el coeficiente y la parte literal de los siguientes monomios:

a) 5ab  b)  x 3 
4x2 y
c)  d) 5x 2 
3
5. Indica si son semejantes o no los siguientes pares de monomios:

a)  3a y 2a  b) 4a 3 y 4a 
4x 2
c)  x y 2
 d) 2x 3 y 3x 2 
3
6. Suma o resta, en los casos que puedas:

a) 5a  3a  8a = b) 5a  6a  2a  =
c) 2 x  3x = d) 3x 2  x 2 =
7 2
e) 2 x 2  3x 3  f) x x =
3 9
38
7. Simplifica, sumando y restando cuando se pueda:

a) 5x  7 x  4 x = 
b) 3a 2  5a 2  3a 2 = 
c) 5x  3x  7 = d) 3x 2  6 x  3x =
3 1
e) 2 x 2  5x  3x 3  4 x = f) x x =
5 2
8. Simplifica, agrupando los términos semejantes:

a) 3a  5a  4a  3 =

b) 3x  5x 2  2 x 2  3x =
c) 5x  3x  6  4 =
9. Multiplica, haciendo las operaciones paso a paso:

 
a) 5· 3a 2 = b)  3
·  5a  =
c) 4·2a · a  =
2
 
d) 3· 5 x 2 =
e) 4·3  4 x  = f)  2· ab  = 2
 
g) 3a 2 ·7a  = h) 2 x ·3x 
·x  =
2 3
10. Simplifica, indicando los pasos intermedios, las siguientes expresiones:

18a 12 x 2 8x 2 y
a) = b) = c) =
3b 4x 3 xy
 8x 18 x 5 4x 2  4x
d) = e) = f) =
10 x 2 4x2 4x
Soluciones.
1. a) A  b·a ; P  2b  2a . 14 cm2; 18 cm.
2. a) a  b  34 . b) y  x  3 . c) x  x  1 . d) 3x  51 .
3. a) x  x  1  71. b) Hijo → x; padre → 4x. x  4 x  45 . c) x  x 2  20 .
4
4. a) 5 y ab . b) 1 y x 3 . c) y x 2 y . d) 5 y x 2 .
3
19
5. Son semejantes: a) y c). 6. a) 10a . b) a . c) x. d) 2x 2 . f) x.
9
1
7. a) 8 x . b) a 2 . c) 2 x  7 . d) 3x 2  3x . e)  x 2  x . f) x . 8. a) 4a  3 . b)  3x 2 . c) 2 x  2 .
10
9. a) 15a . b) 15a . c)  8a . d) 15x . e) 12  16 x . f) 2ab 2 . g) 21a 3 . h) 6x 6 .
2 3 2
6a 8x 4 9x3
10. a) . b) 3x . c) . d) . e) . f) x  1 .
b 3 5x 2
39
Tema 6. (II) Polinomios Resumen

Un polinomio es la suma de varios monomios. Si la suma es de dos monomios se le puede
llamar binomio; si es suma de tres monomios, trinomio. Y en general, polinomio.
 Cada uno de los monomios que forman el polinomio se llama término. Como sabes, cada
término está formado por una parte numérica (coeficiente) y por una parte literal.
 El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
3
Ejemplos: a) Son binomios: 3a  5b , 3x  7 ; x 2  2 x ; 2 x 3  x . El último es de grado 3.
5
1
b) Son trinomios:  2ax  3a  5x ; 3x 2  2 x  4 ; x 2  x  2 . Los tres son de grado 2.
3
Polinomios en x. En matemáticas la mayoría de las veces se utiliza la letra x. Por eso, casi
siempre se emplean polinomios como 4 x 3  5x  6 o  2 x 2  7 x  3 ; y con frecuencia se
escriben así: A( x)  4 x 3  5x  6 o B( x)  2 x 2  7 x  3 . La expresión más común es P(x) .
Ejemplo: La expresión P( x)  2 x 5  4 x 3  5x  6 es un polinomio de grado 5. Los términos

que lo forman son: 2x 5 , de grado 5 y coeficiente 2;  4x 3 , de grado 3 y coeficiente 4; 5 x ,
de grado 1 y coeficiente 5; el número 6 es el término independiente.
Ese polinomio no tiene los términos de 4º grado ni de 2º; pero, si conviene, podría escribirse
así: P( x)  2 x 5  0 x 4  4 x 3  0 x 2  5x  6  los coeficientes, ordenados de mayor a menor
grado, son: 2 (para x 5 ), 0 (para x 4 ), 4 (para x 3 ), 0 (para x 2 ), 5 (para x); 6 (término
independiente).
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta cuando se sustituyen las
letras por números.
Ejemplo: El valor numérico de P( x)  5x2  2 x  4 para x = 3 es

5·32  2·3  4  45  6  4  47  P(3)  47 .
Y para x = 2 es: 5·(2) 2  2·(2)  4  5·4  4  4  20  8  12  P(2)  12 .
Operaciones con polinomios

 Suma y resta de polinomios
Para sumar polinomios se suman o restan los términos semejantes.
Ejemplos: Para los polinomios: 4 x 3  5x  6 y 3x 3  2 x 2  7 x :

     
a) 4 x 3  5x  6  3x 3  2 x 2  7 x  4 x 3  3x 3  2 x 2  5x  7 x   6  7 x 3  2 x 2  12 x  6 .
       
b) 4 x 3  5x  6  3x 3  2 x 2  7 x  4 x 3  3x 3   2 x 2  5x  7 x   6  x 3  2 x 2  2 x  6 .
Observación: es imprescindible tener en cuenta las reglas de los signos.
Multiplicación de un polinomio por un monomio

Se multiplica cada término del polinomio por el monomio; para ello se utiliza la propiedad
distributiva del producto y las reglas de la potenciación.
        
Ejemplo: 4 x 2 · 3x 3  2 x 2  7 x  4 x 2 ·3x 3  4 x 2 ·  2 x 2  4 x 2 ·7 x  12 x 5  8x 4  28x 3
Observación: es imprescindible tener en cuenta las reglas de los signos.
40
Multiplicación de dos polinomios

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo:
“todos por todos”. Esto es, se aplica la propiedad distributiva del producto y las reglas de la
potenciación. Una vez realizados los productos deben agruparse los términos semejantes.
Ejemplos:
  
a) 5x  6· 2 x 2  3x  1  5x · 2 x 2  3x  1  6· 2 x 2  3x  1 =   
  
= 5x·2 x 2  5x·(3x)  5x·1  6·2 x 2  6·(3x)  6·1 = 
= 10 x 3 15x 2  5x 12 x 2  18x  6  10 x 3  27 x 2  23x  6 .
     
b) 4 x 3  5x  6 · 3x 3  2 x 2  7 x  4 x 3 ·3x 3  4 x 3 ·(2 x 2 )  4 x 3 ·7 x +   
    
+ 5x·3x 3  5x·(2 x 2 )  5x·7 x   6·3x 3  6·(2 x 2 )  6·7 x  =   
= 12 x  8x  28x  15x 10 x  35x 18x  12 x 2  42 x =
6 5 4 4 3 2 3
= 12 x 6  8x 5  43x 4  28x 3  47 x 2  42 x .
Observaciones: 1) Cuando una expresión algebraica no cabe en una línea debe “romperse” por
un signo + o –, nunca por un producto.
2) Es imprescindible tener en cuenta las reglas de los signos, tanto al multiplicar como al
sumar; y las propiedades de las operaciones con potencias.
Productos notables:
Cuadrado de una suma: a  b 
2
Multiplicando como dos polinomios:

a  b2  a  b· a  b  a·a  a·b  b·a  b·b  a 2  2ab  b 2 →
a  b2  a 2  2ab  b 2
Ejemplos:
a) 3x  5  3x   2·3x·5  52  9 x 2  30 x  25 .
2 2
   
2 2
b) x 2  1  x 2  2·x 2 ·1  12  x 4  2 x 2  1.
Cuadrado de una diferencia: a  b 

2

a  b2  a  b· a  b  a·a  a·(b)  b·a  b·(b)  a 2  2ab  b 2 → a  b2  a 2  2ab  b 2
Ejemplos:
a) 4 x  3  4 x   2·4 x·3  32  16 x 2  24 x  9 .
2 2

b) 5  x 2  2
 52  2·5·x 2  x 2   2
 25  10 x 2  x 4 .
Suma por diferencia: a  b · a  b

a  b· a  b  a·a  a·(b)  b·a  b(b)  a 2  b 2 → a  b· a  b  a 2  b 2
Ejemplos:
a) 4 x  3
· 4 x  3  4 x   32  16 x 2  9 .
2
 
b) 2  x 2 · 2  x 2  2
 22  x 2  2
 4  x4 .
41
Tema 6. (II) Polinomios Autoevaluación
1. Indica el grado y los coeficientes de cada término, ordenados de mayor a menor, de los
siguientes polinomios:
grado coeficientes
a) x  3x  5
2
b)  x  3
c) 2 x 3  3x
d) 3x 4  2 x 2  4 x  1
2. Halla el valor numérico de cada uno de los polinomios anteriores para x = 1, x = 2 y x = 0.

x=1 x = –2 x=0
a) x  3x  5
2
b)  x  3
c) 2 x 3  3x
d) 3x 4  2 x 2  4 x  1
3. Halla las siguientes sumas y restas de polinomios:

a) 5x  6  3x  9 =
b) 5x  6  3x  9 =
 
c) 3x 2  2 x  7  4 x  5 =
d) 3x 2
 2 x  7  4 x  5 =
e) 4 x 2
 5x  6  2 x  3x  =
2
4. Dados los polinomios: A( x)  2 x 2  5x  6 ; B( x)  3x 3  2 x 2  7 x  1 ; C ( x)  x 2  3x  2 ,

halla:
a) A( x)  B( x) =
b) A( x)  B( x)  C ( x) =
5. Halla el resultado de las siguientes operaciones:


a) 2 4 x 3  5x  6 = 
b) 43x 2
 5x  6  33x 2

2 =
6. Calcula:
 
a) 5x 2 · 2 x 2  4 x  3 =
b) 5x 
·  x 4 x  3 =
2 3
42
7. Halla:
a) x  3
· x  5 =
b) x  4
· x  5 =
c) x  3
· x  2 =
d) 5x  6
· 4 x  5 =
 
e) 2 x 2  3 ·3x  7 =

f)  5x  3· 4 x 2  7 x = 
8. Dados los polinomios: P( x)  2 x 2  3x  4 ; Q( x)  7 x  2 ; R( x)  x 2  5x  3 , halla:

a) P( x)·Q( x) =
b) P( x)·R( x) =
c) Q( x)·R( x) =
9. Halla, multiplicando término a término; después comprueba que aplicando la fórmula

correspondiente, el resultado es el mismo.
a) 2 x  5 =  2 x  5
· 2 x  5  2 x·2 x  2 x·5  5·2 x  5·5  4 x 2  10 x  10 x  25  4 x 2  20 x  25 .
2
  2 x  5   2 x   2· 2 x ·5  52  22·x 2  20 x  25  4 x 2  20 x  25 .

2 2

b) x 2  3 =2

c) 2 x  3 =
2


d) x 2  2 =2

e) x  5
· x  5 =

f) x  3
· x  3 =

Soluciones.
1. a) 2; 1, 3, 5. b) 1; 1, 3. c) 3; 2, 0, 3, 0. d) 4; 3, 0, 2, 4, 1.
2. a) x = 1 → 3; x = 2 → 15; x = 0 → 5. b) 2; 5; 3. c) 1; 10; 0. d) 2; 65; 1.
3. a) 8x  15 . b) 2 x  3 . c) 3x 2  6 x  2 . d) 3x 2  2 x  12 . e) 2 x 2  8x  6 .
4. a) 3x 2  2 x  5 . b)  3x 3  5x 2  9 x  5 . 5. a) 8x 3  10 x  12 . b) 3x 2  20 x  18 .
6. a) 10 x 4  20 x 3  15x . b)  20 x 6  15x 5 .
7. a) x 2  8x  15 . b) x 2  x  20 . c) x 2  5x  6 . d) 20 x 2  x  30 . e) 6 x 3  14 x 2  9 x  21 .
f)  20 x 3  23x 2  21x .
8. a) 14 x 3  17 x 2  34 x  8 . b) 2 x 4  7 x 3 13x 2  29 x 12 . c) 7 x 3  37 x 2  31x  6 .
9. a) 4 x 2  2 x  25 . b) x 4  6 x 2  9 . c) 4 x 2  12 x  9 . d) x 4  4 x 2  4 . e) x 2  25 . f) x 2  9 .
43
Tema 7. Ecuaciones de primer grado Resumen

Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligados mediante las
operaciones algebraicas.
En las ecuaciones las letras se llaman incógnitas. La incógnita preferida suele ser la letra x.
x
Ejemplos. Son ecuaciones las igualdades siguientes: 2 x  34 ; x 2  25 ; x   30 .
2
 Las ecuaciones se emplean para resolver problemas, pues al establecer la relación entre los
datos y el valor desconocido (la x) suele obtenerse una igualdad.
Ejemplo: Al intentar encontrar el número que cumple la relación: “un número más su mitad
x
vale 30”, se obtiene una ecuación, pues si a ese número le llamamos x, entonces x   30 .
2
 Las ecuaciones se clasifican por su grado y por su número de incógnitas. La ecuación
2 x  34 es de primer grado; x 2  25 es una ecuación de segundo grado.
 Soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita que cumplen la ecuación.
Ejemplo: La ecuación 2 x  34 se cumple para x = 17, pues 2 · 17 = 34. La ecuación x 2  25
tiene dos soluciones: x = 5 y x = 5, pues 52 = 25 y (5)2 = 25.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Ejemplos: Los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes:
x
a) 2 x  18 y 4 x  36 b) 2 x  3  x  7 y 2 x  x  4 c) x   30 y 2 x  x  60
2
Puedes comprobar que la solución de las dos primeras es x = 9; que la solución de las dos
segundas es x = 4; y que la solución de las dos últimas es x = 20. (Compruébalo).
Resolución de una ecuación

 Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones. Para resolver una ecuación hay que
despejar la incógnita.
 Para resolver una ecuación hay que transformarla en otra equivalente a ella, más sencilla,
de manera que encontrar su solución sea fácil.
 Las transformaciones que pueden hacerse en una ecuación son dos:
1. Sumar el mismo número (la misma cosa) a los dos miembros de la igualdad. Lo que se
pretende con esta transformación es cambiar los términos de un lado al otro de la
igualdad. Esto se llama transposición de términos.
2. Multiplicar (o dividir) por un mismo número los dos miembros de la igualdad. Lo que
se pretende con esta transformación es quitar los denominadores de la ecuación.
Ejemplos: a) La ecuación 2 x  3  x  7 puede trasformarse como sigue:
→ Se suma 3 a cada miembro → 2 x  3  x  7  2 x  3  3  x  7  3  2 x  x  10
→ Se resta x a cada miembro → 2 x  x  x  10  x  x  10 .
Así se consigue despejar la x; esto es, determinar su solución. En este caso, x  10 .
x2
b) La ecuación  1 se transforma así:
5
x2
→ Se multiplica por 5 cada miembro  ·5  1·5  x  2  5 .
5
→ Se suma 2 a cada miembro → x  2  2  5  2 → x  7 .
La solución de la ecuación es x  7 .
44
Resolución de ecuaciones de primer grado: transposición de términos

1. Ecuación x  a  b . Se resuelve restando a a ambos miembros. Queda: x  b  a .
Ejemplos: a) x  5  8 → restando 5 se tiene: x  8  5  x  3 .
b) x  2  3 → restando 2 se tiene: x  3  2  x  5 .
2. Ecuación x  a  b . Se resuelve sumando a a ambos miembros. Queda: x  b  a .

Ejemplos: a) x  3  6 → sumando 3 se tiene: x  6  3  9 . La solución es x  9 .
b) x  4  0 → sumando 4 se tiene: x  0  4  4 . La solución es x  4 .
Observa:
Lo que está restando en un miembro, pasa sumando al otro miembro: x  a  b  x  b  a .
Lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro: x  a  b  x  b  a .
b
3. Ecuación ax  b . Se resuelve dividiendo por a ambos miembros. Queda: x  .
a
34
Ejemplos: a) 2 x  34 → dividiendo por 2 se tiene: x   17 . La solución es. x  17 .
2
3
b) 2 x  3 → dividiendo por 2 se tiene: x   1,5 . La solución es x  1,5
2
x
4. Ecuación  b . Se resuelve multiplicando por a ambos miembros. Queda: x  ab .
a
x
Ejemplos: a)  2 → multiplicando por 3 se tiene: x  2·3  6 . La solución es x  6 .
3
x
b)  1 → multiplicando por 5 se tiene: x  1·5  5 . La solución es x  5 .
5
Observa:
Lo que está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro miembro; y lo que está
b x
dividiendo, pasa multiplicando. Esto es: ax  b  x  ;  b  x  ab .
a a
Resolución de ecuaciones de primer grado: caso general

Se pueden resolver aplicando los pasos siguientes:
1. Si hay paréntesis, se resuelven. Hay que tener en cuenta las reglas de los signos.
2. Si hay denominadores, se quitan. Para quitarlos hay que multiplicar todos los términos
por el m.c.m. de los denominadores.
3. Se pasan (transponen) las x a un miembro y los números al otro miembro: lo que está
sumando, pasa restando; lo que está restando, pasa sumando. Se agrupan: se suman.
4. Se despeja la x: lo que multiplica a la x pasa dividiendo al otro miembro; lo que divide
a la x, pasa multiplicando al otro miembro.
Ejemplos:
16
a) 3x  5  2x  4  6x  7  x  3x  2x  6x  x  4  7  5  10 x  16  x   1,6 .
10
b) 3  4 x  2 x  5  14  9 x  3  4 x  2x  5  14  9x   4x  2x  9x  14  3  5 
6
3x  6  x   3 .
2
45
Tema 7. Ecuaciones de primer grado Autoevaluación
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2 x  10  8 
b) 3x  5  20 
c) 23  4 x  3 

a) 3x  5  2 x  3  x 
b) 3x  5  9 
c) 2  4 x  3x  5 

a) 6 x  5  2 x   5  x 
b) 3x  5  6  2x  3 
c) 2 x  4x  1  3x  9 

x x2
a) 5  b)  1 
2 4
3x 3 x
c)   d) 0 
2 4 3

3x x 2x  5
a) 25  b)  
2 4 3
3x 2x
c) 40  d)  5 x 
2 3

5x  6
a)  2x  3 
2
3x
b)  2x  2  5 
2
 3  2  1  x  
x
c)
4
46

5x x 4 x 7
a)    
2 2 3 6
x x2
b) 3 2 
4 2
8. Resuelve las ecuaciones:

a) 2 x  3(2  x)  5  x 
b) 3  22 x  3  32  5x   2 
9. Resuelve:
2 x 5 x 14
a)   
3 3 3
2x x 4
b)   
5 3 3
2x x 4
c)   x 
5 3 3
10. Resuelve:
4x  x 4
a)  2    3 
5 3 6
4x 2  x 4   7
b)      3 x   
5 53 6  3
11. La edad de Pedro es la cuarta parte de la de su padre. Si la suma de sus edades es 50,
¿cuántos años tiene cada uno?
12. Los lados iguales de un triángulo isósceles son tres veces más largos que su base.
Si el perímetro del triángulo es 140 cm, ¿cuánto miden sus lados?
Soluciones:
1. a) 1. b) 5. c) 5. 2. a) 1/2. b) 8. c) 1. 3. a) 0. b) 27/5. c) 5. 4. a) 10. b) 2. c) 1/2. d) 0.
5. a) 2. b) 4. c) 8/3. d) 3. 6. a) 12. b) 6. c) 16/5. 7. a) 7/10. b) 0.
11 20 10 65 101
8. a) x  . b) x = 1. 9. a) x = 2. b) x  . c) x   . 10. a) x  . b) x  .
4 11 7 2 35
11. Pedro, 10; Padre, 40 años. 12. Base, 20; lados, 60 cada uno.
47
Tema 7. (II) Ecuaciones de segundo grado Resumen

Ecuaciones de segundo grado
La ecuación en su forma estándar es ax 2  bx  c  0 .
(Donde a, b y c son números reales, con a ≠ 0).
Ejemplos: Son ecuaciones de segundo grado:

a) 2 x 2  4 x  6  0 . b) x 2  4 x  4  0 . c) x 2  4 x  6  0 .
 b  b 2  4ac
 Sus soluciones se hallan aplicando la fórmula: x  .
2a
Ejemplos: Las soluciones de las ecuaciones anteriores son:

 4  4 2  4·2·(6)  4  16  48  4  64  4  8
a) 2 x 2  4 x  6  0  x   =  .
2·2 4 4 4
 4  8  12 48 4
Por tanto: x1    3 y x2    1. Las soluciones son: x1 = 3 y x2 = 1.
4 4 4 4
 4  4 2  4·1·4  4  16  16  4
b) x 2  4 x  4  0  x     2 . Sólo tiene una
2 2 2
solución, x = 2.
 4  (4) 2  4·1·6  4  16  24  4   8
c) x  4 x  6  0  x 
2
   No tiene
2 2 2
solución, pues la raíz de un número negativo no existe.
Ecuación incompleta de segundo grado

Es de la forma:
(1) ax 2  c  0 , b = 0. (2) ax 2  bx  0 , c = 0.
Ejemplos: Son ecuaciones incompletas de segundo grado:

a) x 2  9  0 . b) 2 x 2  32  0 . c) x 2  4 x  0 . d) 3x 2  6 x  0 .
 Para hallar las soluciones de una ecuación incompleta no es preciso recurrir a la fórmula
anterior (aunque pueden resolverse aplicándola).
Ejemplos: Las soluciones de las ecuaciones anteriores son:

a) x 2  9  0  (despejando x2)  x 2  9 → (haciendo la raíz cuadrada)  x  9  3 .
Las soluciones son x1 = 3 y x2 = 3.
b) 2 x 2  32  0  2 x 2  32  x 2  16  x  16  4 . Soluciones: x1 = 4 y x2 = 4.
c) x 2  4 x  0 → (sacando factor común)  x( x  4)  0  x  0 o x  4  0  x  4 .
Las soluciones son x1 = 0 y x2 = 4.
(Recuerda: para que un producto valga 0 alguno de sus factores debe valer 0. En la igualdad
anterior, los factores son x y x  4).
d) 3x 2  6 x  0 → (sacando factor común)  3x( x  2)  0  3x  0  x = 0 o x  2  0 
x  2 . Las soluciones son x1 = 0 y x2 = 2.
48
Tema 7. (II) Ecuaciones de segundo grado Autoevaluación
1. Asocia, entre los valores que se indican, las soluciones de las ecuaciones siguientes:
a) x 2  5x  6  0 → x = 1; x = 2; x = 6; x = 0.
 x = 1: 12 +5 · 1 – 6 = 0  x = 1 es sol.  x = 2: 22 + 5 · 2 – 6 ≠ 0  x = 2 no es sol.
b) x 2  6 x  8  0 → x = 1; x = 2; x = 0; x = 4.
c) x 2  4 x  0 → x = 1; x = 2; x = 0; x = 4.
d) x 2  49  0 → x = 6; x = 7; x = 0; x = 7.
2. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x 2  x  2  0 
b) x2  6 x  9  0 
c) x2  7 x  10  0 
d) 3x 2  6 x  24  0 
3. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones incompletas:

a) x 2  x  0 
b) x 2  6 x  0 
c) 2 x 2  8x  0 
d) 3x 2  6 x  0 
4. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones incompletas:

a) x 2  1  0 
b) x 2  100  0 
c) 2 x 2  72  0 
d) 3x 2  48  0 
49
5. Las siguientes ecuaciones está desordenadas. Ordénalas antes de resolverlas.
a) x 2  x  12 
b) x 2  9  6 x 
c) 130  4 x 2  14 
d) 5x  x 2 
6. Opera las siguientes expresiones algebraicas y después resuelve la ecuación obtenida.
x
a) x 2  3 
2
b) x( x  5)  6 
1
c) x  2 
x
d) ( x  1)·(x  3)  5x  7 
7. El producto de dos números enteros consecutivos es 72. Plantea una ecuación de segundo
grado para hallarlos. ¿De qué números se trata?
8. El área de un rectángulo es 391 dam2. Si la base es 6 decámetros (dam)

más larga que ancha, ¿cuánto mide de larga y cuánto de ancha?
Soluciones:
1. a) x = 1; x = 6. b) x = 2; x = 4. c) x = 0; x = 4. d) x = 7; x = 7.
2. a) x = 1; x = 2. b) x = 3, doble. c) x = 2; x = 5. d) x = 2; x = 4.
3. a) x = 0; x = 1. b) x = 0; x = 6. c) x = 0; x = 4. d) x = 0; x = 2.
4. a) x = 1; x = 1. b) x = 10; x = 10. c) x = 6; x = 6. d) x = 4; x = 4.
5. a) x = 3; x = 4. b) x = 3, doble. c) x = 6; x = 6. d) x = 0; x = 5.
6. a) x = 3/2; x = 2. b) x = 1; x = 6. c) x = 1, doble. d) x = 2; x = 5.
7. x = 9 y x = 8; x = 8 y x = 9. 8. 23 × 17 dam.
50
Tema 7. Problemas de ecuaciones de primero y segundo grado

Llámale x
La x es la letra más famosa entre los números.
La letra x suele emplearse para sustituir a un número del que no se sabe su valor.
La letra x puede designar la edad de una persona;
La letra x puede ser la longitud de la base de un triángulo;
La letra x puede indicar la distancia entre dos puntos;
La letra x puede designar la capacidad de un depósito, el precio de un determinado producto…
En la resolución de problemas, siempre que no sepas cuánto vale una cosa, llámale x.
Con relación a las operaciones, la letra x se maneja exactamente igual que un número. Así, por
ejemplo:
El doble de x es 2x, que significa 2 · x. Por tanto, si x valiese 8, 2x valdría 16.
x x
La mitad de x es x : 2  → Si x valiese 100, valdría 50.
2 2
El cuadrado de x es x , que significa x·x → si x valiese 7, x 2 = 7 · 7 = 49.
2
1 7 8
La suma 2 x  5x es igual a 7 x . Igualmente: x  x  x .
3 3 3
x x x 3x x 2 x
Por lo mismo: x       .
3 1 3 3 3 3
En consecuencia, no tengas miedo a la x; trátala como tratarías a cualquier número, pero trátala
bien. Fíjate cómo puede tratarse en los siguientes problemas.
Problema 1
La base de un triángulo es doble que su altura. Si su área mide 400 cm2, ¿cuánto vale su base?
¿Sabes la longitud de la base? No. Pues, llámale x → entonces, su altura valdrá 2·x .
Como el área de un triángulo es igual a “base por altura partido por 2”:
base·altura x·2 x 2·x 2
A , se debe cumplir que 400   400   x2 
2 2 2
x  400  20 .
Por tanto, la base medirá 20 cm; y la altura el doble, 40 cm.
Problema 2
Un depósito se está llenando de agua. Si cuando el depósito está lleno hasta un sexto de su
capacidad se le añaden 130 litros, entonces se llena hasta los tres quintos, ¿cuál es la
capacidad del depósito?
Llamamos x a la capacidad del depósito.

1
Cuando está lleno hasta un sexto de su capacidad tendrá x.
6
1 3
Si se le añaden 130 litros, tendrá x  130 . Pero entonces se llena hasta los tres quintos: x .
6 5
Por tanto, se cumple que:
1 3
x  130  x  (× 30)  5x  3900  18x  13x  3900  x  300 .
6 5
51
Tema 7. Problemas de ecuaciones de primero y segundo grado

1. Si a un número se le resta su tercera parte el resultado es 40. ¿Cuál es ese número?
2. La edad de Pedro es la cuarta parte de la su padre. Si la suma de sus edades es 50, ¿cuántos
años tiene cada uno?
3. Un poste está clavado en el suelo. La parte enterrada es 1/10 de su longitud. Si la parte

visible mide 126 cm, halla, planteando una ecuación, la longitud total del poste. (Haz un
dibujo apropiado).
4. Escribe la expresión algebraica asociada al enunciado: “un número menos su mitad vale
30”. ¿De qué número se trata?
5. La medida en grados de los tres ángulos de un triángulo viene dada por tres
múltiplos consecutivos de 10. Plantea una ecuación que te permita hallar lo que
mide cada ángulo. ¿Cuánto mide el menor de ellos?
6. Calcula los ángulos de un triángulo isósceles, sabiendo que el ángulo desigual es 30º más
pequeño que los otros dos.
7. Si a cierto número le restas siete unidades te da lo mismo que si lo divides por 5. ¿De qué
número se trata?
8. En una clase hay 35 alumnos. Si hay cinco chicos por cada dos chicas. ¿Cuántos chicos y
chicas hay?
52
9. A una cuba de vino, inicialmente llena, se le extrae un sexto de su capacidad más

15 litros. Si añadiendo un cuarto de su capacidad éste vuelve a llenarse, ¿cuántos
litros caben en la cuba?
10. Se han mezclado dos tipos de vino, uno que cuesta 4 euros el litro con otro de 5 euros el
litro. Si la mezcla sale a 4,20 euros el litro, ¿cuántos litros se han empleado del más caro si del
más barato se han empleado 40?
11. Se han mezclado x litros de vino, que cuesta 4 euros el litro, con 20
litros de vino que cuesta a 5 euros el litro. Si la mezcla sale a 4,25 €/litro,
¿cuántos litros se han empleado del primer vino?
12. Descompón el número 10 en dos sumandos positivos de manera que el cuadrado del
mayor más el doble del menor valga 68.
13. La suma de los cuadrados de la edad actual y de la que tendrá dentro de dos años un
muchacho es de 580. ¿Cuántos años tiene el chico?
14. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 221. ¿Qué números son?
15. Si a los lados de un cuadrado se le añaden 2 cm, su área aumenta en 44 cm2. ¿Cuánto
medía el lado inicial?
Soluciones.
1. 60. 2. Pedro, 10; Padre, 40 años. 3. 140 cm. 4. 45. 5. 50º. 6. 40º, 70º y 70º.
7. 1,75. 8. 25 chicos; 10 chicas. 9. 180 litros. 10. 10 litros. 11. 60 litros.
12. 8 + 2. 13. 18. 14. 10 y 11. 15. 10 cm.
53
Tema 8. Sistemas de ecuaciones lineales Resumen
Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Son expresiones de la forma ax  by  c . Las
incógnitas son x e y, mientras que a, b y c son números.
 La solución de estas ecuaciones son pares de valores (uno para x y otro para y) que
cumplen la ecuación.
Ejemplos:
a) 4 x  2 y  8 . El par x = 3 e y = 2 es solución, pues 4 · 3  2 · 2
= 8. También es solución el par x = 1 e y = 2. El par x = 5 e y =
3 no es solución de esa ecuación, pues 4 · 5  2 · 3 = 14 ≠ 8.
b) La ecuación 3x  y  1 tiene por soluciones x = 2 e y = 5; x =
1 e y = 2, e infinitos pares más. El par x = 1 e y = 2 no es
solución de ella.
 Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitos pares de

soluciones. Esos pares se corresponden con los puntos de una
recta.
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

 ax + by = c
Su forma más simple es  .
ax + by = c
 La solución de un sistema es el par de valores de x e y que cumple las dos ecuaciones a la vez.
4 x  2 y  8
Ejemplo: Las dos ecuaciones del ejemplo anterior determinan el sistema  . Su
 3x  y  1
solución es x = 1 e y = 2, ya que ese par es solución de ambas ecuaciones.
 Como puede verse, los valores solución, x = 1 e y = 2, se corresponden con las
coordenadas del punto (1, 2), que es el de corte de las rectas asociadas a cada una de las
ecuaciones.
 Hay varios métodos de resolución: sustitución, igualación, reducción.

Sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y su valor se sustituye en la otra
ecuación. Se obtiene una nueva ecuación, cuya solución permite hallar la del sistema.
4 x  2 y  8
Ejemplo: Para resolver el sistema  :
 3x  y  1
1º. Se despeja y en la segunda ecuación ( y  1 3x ).
2º. Se lleva (se sustituye) su valor a la primera ecuación: 4 x  21  3x   8 .
3º. Se resuelve la nueva ecuación: 4 x  21  3x   8  4 x  2  6 x  8  10 x  10  x  1.
4º. El valor x = 1 se lleva a la ecuación despejada: y  1  3·1  2 .
La solución del sistema es: x = 1 e y = 2.
Igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. Igualando ambas incógnitas se
obtiene otra ecuación. La solución de esta nueva ecuación permite hallar la solución del sistema.
54
4 x  2 y  8
Ejemplo: En el mismo sistema  , puede despejarse la incógnita y en las dos
 3 x  y  1
 4 x  8  2y 2 x  4  y
ecuaciones. Se obtiene:    .
 y  1  3 x  y  1  3 x
Igualando: 2 x  4  1  3x  5x  5  x  1.
El valor x = 1 se lleva a la cualquiera de las ecuaciones: y  1  3·1  2 .
La solución del sistema es: x = 1 e y = 2.
Reducción: Se multiplica cada ecuación por un número distinto de 0, con el fin de que los
coeficientes de una de las incógnitas sean iguales (u opuestos). Restando (o sumando) ambas
ecuaciones se obtiene una nueva ecuación cuya solución permite hallar la del sistema.
4 x  2 y  8
Ejemplo: En el sistema  , si se multiplica la segunda ecuación por 2, queda:
 3x  y  1
4 x  2 y  8
 . Sumando ambas ecuaciones, término a término, se obtiene 10 x  10  x  1.
6 x  2 y  2
Ese valor x = 1 se sustituye en cualquiera de las ecuaciones; se obtiene y = 2.
Observación: Los sistemas que no tiene solución se llaman incompatibles.
Resolución de problemas con ayuda de sistemas: llámale x; llámale y.

La aplicación de sistemas es necesaria cuando en un problema hay dos incógnitas. A una de
esas incógnitas se le llama x, a la otra y.
Para resolver un problema, debes:
1.º Leer detenidamente el problema: saber qué datos te dan y lo que te piden encontrar.
2.º Descubrir las relaciones entre los datos y las incógnitas. Escribir esas relaciones en forma
de igualdad. Con las ecuaciones halladas se forma un sistema.
3.º Resolver ese sistema.
4.º Comprobar que la solución obtenida es correcta.
Ejemplo: En una granja, entre gallinas y conejos hay 72 cabezas y 184 patas. ¿Cuántos animales
hay de cada clase?
Se desconoce el número de gallinas y el número de conejos. Si se llama x al número de gallinas,

e y al de conejos, debe cumplirse: x  y  72 → gallinas + conejos = 72.
Cada gallinas tiene 2 patas  entre las x gallinas tendrán 2x patas.
Cada conejo tiene 4 patas  entre los y conejos tendrán 4y patas.
En total hay 184 patas: 2 x  4 y  184 .
 x  y  72
Se obtiene el sistema:  .
2 x  4 y  184
4 x  4 y  288
Multiplicando por 4 la primera ecuación se tiene:   (restando)
 2 x  4 y  184
 2 x  104  x = 52 → (sustituyendo x = 52 en la primera ecuación) → y = 20.
Por tanto, en la granja hay 52 gallinas y 20 conejos.
 Comprobación:
Número de cabezas: 52 + 20 = 72 → de acuerdo con el enunciado.
Número de patas: 52 · 2 + 20 · 4 = 104 + 80 = 184 → de acuerdo con el enunciado.
55
Tema 8. Sistemas de ecuaciones lineales Autoevaluación
1. Da tres pares de soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x  y  7  Extra 1
b) 2 x  y  8 
c)  3x  y  0 
2
d) x  2y  4 
3
2. Para las ecuaciones anteriores, indica la ecuación de la que es solución alguno de los
siguientes partes (Justifícalo haciendo la comprobación):
2
a) (3, 1)  d) ·3  2·1  2  2  4 . b) (10, 3) 
3
c) (1, 3)  d) (3, 2) 
3. Representa gráficamente las rectas asociadas a las ecuaciones

x  y  7 y 2x  y  8 .
¿Hay alguna solución común?
 x y 7
4. Resuelve el sistema  por los tres métodos. Comprueba que la solución es la
2 x  y  8
misma.
Sustitución Igualación Reducción
5. Resuelve por sustitución los siguientes sistemas:

2 x  y  5  y  5  2x  x  2y  7
a)    b)  
2 x  y  7 2 x  y  7 2 x  3 y  7
Se sustituye en la segunda ecuación:
2x  5  2x   7 
56
6. Resuelve por igualación los siguientes sistemas:

5 x  y  2  x  2y  0
a)   b)  
3x  y  6 2 x  2 y  2
7. Resuelve por reducción los siguientes sistemas:

3x  3 y  6  3x  2 y  5
a)   b)  
 x  3 y  14 2 x  5 y  3
8. Halla dos números sabiendo que su suma es 87 y su diferencia 25. Extra 2
9. Pedro lleva billetes de 5 € y de 10 €. En total son 23 billetes, que suponen 145 euros. ¿Cuántos
billetes tiene de cada cantidad?
10. Un estudiante realiza un examen de tipo test. Por cada respuesta acertada recibe 3 puntos,
pero por cada error se le restan 2 puntos. Si ha contestado a 50 preguntas y su calificación ha
sido de 95 puntos, ¿cuántas respuestas contesto correctamente?
11. En una caja hay peras y manzanas. Si se quitan tres peras y se reemplazan por tres
manzanas, la razón de peras y manzanas es de 1 a 1. Si se quitan tres manzanas y se
reemplazan por tres peras, la razón de peras y manzanas es de 13 a 7. ¿Cuántas manzanas hay
en la caja?
Soluciones: 1. Hay infinitos pares. Por ejemplo: a) (0, 7), (1, 6), (2, 5); b) (0, 8), (4, 0), (3, 2); c) (0, 0), (1, 3),
(2, 6); d) (0, 2), (3, 1), (6, 0). Extra 1, 13. 2. Respectivamente: d), a), c), b). 3. Sol. (5, 2). 4. x = 5; y = 2.
5. a) (3, 1); b) (5, 1); c) (0, 2). 6. a) (1, 3); b) (2, 1). 7. a) (5, 3); b) (1, 1). 8. 56 y 31. Extra 2, 40 y 50 €.
9. 13 de 5 € y 8 de 10 €. 10. 39 aciertos; 11 fallos. 11. 23 peras y 17 manzanas.
57
Tema 9. (I) Geometría. Teorema de Pitágoras Resumen

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre los catetos.
Esto es: c 2  a 2  b 2 .
Ejemplo:
Si a = 3 y b = 4, el lado c cumple que c 2  32  4 2  9  16  25  c  25  5 .
 Igualmente, si los lados, a, b y c, de un triángulo verifican la relación c 2  a 2  b 2 , siendo

c el de mayor longitud, el triángulo es rectángulo.
Ejemplos:
a) El triángulo de lados 12, 9 y 8 no es rectángulo, pues 12 2  9 2  8 2 , ya que
12 2  144  9 2  82  81  64  145 .
b) El triángulo de lados 17, 15 y 8 sí es rectángulo, pues 17 2  15 2  82 , ya que
17 2  289  225  64  152  82 .
 El teorema de Pitágoras permite conocer un lado desconocido de un triángulo rectángulo,

cuando se conocen los otros dos, pues:
c2  a2  b2  a2  c2  b2  b2  c2  a2
c  a2  b2 a  c2  b2 b  c2  a2
Ejemplos:
a) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm, su
hipotenusa, c, cumple que:
c 2  32  4 2  9  16  25  c = 5.
b) Si la hipotenusa vale c = 8 cm y un cateto vale a = 6 cm, el otro cateto, b,
cumple:
( b 2  c 2  a 2 )  b 2  82  6 2  64  36  28  b  28  5,29 .
Algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras

En muchas figuras geométricas (cuadrados, rectángulos, triángulos…), el teorema de
Pitágoras permite calcular diagonales, lados, alturas, apotemas… Para ello, en todos los casos,
hay que construir el triángulo rectángulo apropiado.
 En los cuadrados y en los rectángulos puede

hallarse la diagonal cuando se conocen los
lados.
En el cuadrado: d  l 2  l 2  2l 2  2 ·l .
También podría hallarse el lado conociendo la diagonal.
En el rectángulo: d  a 2  b 2 .
También podría hallarse un lado conociendo la diagonal y el otro lado.
Ejemplos:
a) Si el lado de un cuadrado vale 6 cm, su diagonal es d  6 2  6 2  72  8,48 .
b) Si la diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su base mide 8 cm, entonces puede calcularse
su altura, y vale: a 2  10 2  82  100  64  36  a  6 cm.
58
 En un triángulo equilátero, para cualquier vértice, la altura divide al

triángulo en dos triángulos rectángulos de hipotenusa el lado del
triángulo y uno de sus catetos igual a la mitad del lado (de la base).
Por tanto, la altura podría hallarse aplicando el teorema de
Pitágoras.
2
l l 2 3l 2 3·l
Esto es: l 2  h 2     h 2  l 2    h .
2 4 4 2
Por lo mismo, conociendo la altura puede calcularse la medida del lado.
Ejemplos:
a) Si el lado de un triángulo equilátero mide 15 cm, su altura valdrá:
3·15
h  13 cm.
2
b) Si la altura de un triángulo equilátero mide 4 cm, entonces:
2
l l2
l 2  4 2     l 2  16   4l 2  64  l 2  3l 2  64 
2 4
64 64 8
 l2  l   4,61 cm.
3 3 3
 En un triángulo isósceles la altura correspondiente al lado desigual

divide al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos de
hipotenusa el lado del triángulo y uno de sus catetos igual a la mitad
del otro lado. Por tanto, conociendo los lados, la altura podría hallarse
aplicando el teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Si en el triángulo adjunto el lado l = 5 cm y la base b = 8 cm, se cumple:
2
b
l  h     5 2  h 2  4 2  25  16  h 2  h 2  9  h  3 .
2 2
2
 En los polígonos regulares pueden establecerse relaciones pitagóricas entre el lado del
polígono, su apotema y el radio de la circunferencia circunscrita.
2
l
Como puede observarse, se establece la relación: r 2  a 2    . Por tanto, conociendo dos
2
de las tres medidas puede obtenerse la otra.
59
Tema 9. (I) Geometría. Teorema de Pitágoras Autoevaluación

(Para resolver los ejercicios de hoja puede utilizarse calculadora. Haz los dibujos que necesites).
1. Halla el lado desconocido en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:
2. Comprueba si son rectángulos (o no son), los triángulos de lados:

a) 9, 11 y 14 cm  NO, pues 92 + 112 = 81 + 121 = 202 y 142 = 196  92 + 112 ≠ 142.
b) 12, 35 y 37 cm 
c) 1,7, 0,8 y 1,5 m 
3. Halla la diagonal de los siguientes rectángulos:
4. De un rectángulo se sabe que su diagonal mide 29 cm y su base 21 cm. Halla su altura, su

perímetro y su área.
5. Halla la diagonal de los siguientes cuadrados:
60
6. La diagonal de un cuadrado mide 12 cm, 7. Halla el área de un cuadrado de diagonal

¿cuánto mide su lado? 15 cm.
8. El lado de un rombo mide 10 cm y su diagonal mayor 16 cm. ¿Cuánto vale

su diagonal menor?
9. Las diagonales de un rombo miden 8 y 6 10. Halla el área de un triángulo equilátero

cm. Halla su lado. de lado 8 cm.
11. Un triángulo isósceles tiene perímetro 36 cm. Si su lado desigual mide 10 cm, halla su
altura y su área.
12. En la figura adjunta se muestran un pentágono y

un hexágono regulares. Ambos están inscritos en una
circunferencia de radio 10 cm. Se pide:
a) Si la apotema del pentágono vale aproximadamente
8,1 cm, calcula el lado del pentágono y su área.
b) Calcula la apotema del hexágono y su área.
a) b)
Soluciones: 1. c = 10; a = 8; b = 20. 2. a) No. b) Sí. c) Sí. 3. 26; 37; 25. 4. 20 cm; 82 cm; 420 cm2.
2
5. Aprox: 14,14; 11,31; 8,49. 6. 8,49. 7. 112,5 cm . 8. 12 cm. 9. 5 cm. 10. 27,71 cm2.
11. 12 cm; 60 cm . 12. a) 11,73 cm; 237,5 cm . b) 8,66; 259,8 cm2.
2 2
61
Tema 9. (II) Geometría: Semejanza, teorema de Tales Resumen

 Intuitivamente, puede decirse que dos figuras son semejantes
cuando tienen la misma forma: son iguales salvo en su
tamaño; una es más grande que otra, pero sin deformaciones.
Las ampliaciones o reducciones fotográficas son semejantes.
 Matemáticamente, dos figuras son semejantes cuando las
medidas (las distancias) en una de ellas son proporcionales a
las medidas correspondientes en la otra. El cociente de ambas
medidas se llama razón de semejanza.
Que no haya deformaciones significa que los ángulos formados en una de ellas son iguales a
los correspondientes en la otra.
Ejemplos:
a) La razón de semejanza entre las dos fotografía de la portada de la
catedral de Burgos es 0,5. Si se divide la medida de cualquier
distancia de la foto pequeña por su correspondiente en la otra, el
cociente es 0,5: (distancia de A´ a B´) / (distancia de A a B) = 0,5.
Igualmente, d(A´, C´) / d(A, C) = 0,5.
Los ángulos de vértice A y A´ son iguales; lo mismo pasa con B y C..
b) Los planos, los mapas y las maquetas son representaciones
semejantes de sus correspondientes en la realidad. En todos los casos,
la razón de semejanza viene expresada por la escala. Así, un plano
hecho a escala 1 : 100 indica que 1 cm del plano equivale a 100 cm (1
metro) en la realidad; y al revés, cada metro de la realidad debe
representarse como 1 cm en el plano.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando tienen iguales los ángulos y proporcionales los lados
correspondientes.
Se cumple que:
Aˆ  Aˆ´ ; Bˆ  Bˆ´ ; Cˆ  Cˆ´ ;
a´ b´ c´
  .
a b c
Si dos triángulos son semejantes pueden superponerse un ángulo y los dos lados que lo
forman; los lados no comunes serían paralelos. Los triángulos puestos así se dicen que están
en posición de Tales.
62
Teorema de Tales
El teorema de Tales relaciona las longitudes de los segmentos
obtenidos al cortar un conjunto de rectas paralelas por dos rectas
cualesquiera. Se puede formular como sigue:
“Si se tiene un conjunto de rectas paralelas y son cortadas por
otras dos rectas r1 y r2, entonces, las medidas de los segmentos
determinados en una de las rectas secantes (en r1) son
proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes
determinados en la otra (en r2)”.
AB BC CD
Por tanto:   .
A´B´ BĆ´ C´D´
También puede verse que los triángulos PAA´, PBB´, PCC´… son semejantes (están en
posición de Tales): tienen dos lados superpuestos y el tercero, paralelo. Luego, también se
cumple que:
PA PB PC
  .
AA´ BB´ CC´
 De otra manera. Toda paralela a un lado de un triángulo,

ABC, determina otro triángulo pequeño, A´BĆ´, semejante al
grande (Los triángulos ABC y A´BĆ´ están en posición de
Tales).
Ejemplos:
a) Si dos triángulos son semejantes con razón de semejanza 2, y si los lados del pequeño
miden 4 cm, 7 cm y 6 cm, los del mayor medirán 8 cm, 16 cm y 12 cm, respectivamente.
b) Para trazar el triángulo pequeño a partir del grande basta con unir dos de los puntos medios
de dos lados.
c) Para trazar el triángulo grande a partir del pequeño se prolongan dos lados y con medida
doble a partir del vértice común se unen los puntos determinados.
Figuras semejantes. Dos figuras son semejantes cuando los segmentos determinados en una
de ellas son proporcionales a sus correspondientes en la otra.
El cociente de las longitudes de los dos segmentos correspondientes se llama razón de
semejanza o escala, k.
En este caso, la razón de semejanza

entre el pentágono grande y el
pequeño vale 3.
En las figuras semejantes los ángulos son iguales y las distancias proporcionales.
63
Otras aplicaciones de la semejanza (del teorema de Tales)
División de un segmento en partes iguales
Ejemplo: Para dividir un segmento AB en 5 partes iguales se procede como sigue:

1. Se una traza una semirrecta que parta de A, y sobre
ella se marcan 5 segmentos (consecutivos) de la
misma longitud (eso puede hacerse con ayuda de un
compás). Sean P1, P2, P3, P4 y P5 los extremos de
esos segmentos.
2. Se une el extremo del quinto segmento (P5) con el
punto B.
3. Se trazan rectas paralelas a la recta P5B por los
puntos de división P1, P2, P3 y P4.
4. Los puntos M1, M2, M3 y M4 obtenidos sobre el segmento AB lo dividen en 5 partes iguales.
(Debe ser evidente que si los segmentos AP1, AP2… son iguales también lo serán AM1,
AM2…
Medida de la altura de un objeto vertical por su sombra
Ejemplo: Para medir la altura de un edificio, de un árbol, de

una torre…, en un día de sol, puede procederse como sigue:
1. Se coge otro objeto de medida conocida, pongamos de 1,5
metros, y se mide la longitud de su sombra: 0,8 m, por
ejemplo.
2. Se mide la longitud de la sombra del edifico, del árbol…;
supongamos que la sombra del edifico mide 22 m, y la del
árbol 4,8 m.
3. Aplicando Tales se tendrá:
1,5 x 1,5·22
  x  41,25 m.
0,8 22 0,8
Igualmente:
1,5 y 1,5·4,8
  y  9 m.
0,8 4,8 0,8
64
Tema 9. (II) Geometría: Semejanza, teorema de Tales Autoevaluación
1. Un aula rectangular mide 9 m de

largo y 7 m de ancho. Dibújala a
escala 1 : 100.
Dibuja en ella la mesa del profesor
que mide 1,20 × 0,80 metros.
2. En el plano de una vivienda, el salón mide 5,2 cm de largo y 3,8 cm de ancho. Si la escala
es 1:150, ¿cuáles son las dimensiones del salón?
3. En un mapa a escala 1:100000 la distancia entre dos pueblos A y B es 4,8

cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellos?
4. Los lados del triángulo dado en la figura adjunta miden 7, 6 y 4 cm.

Si el lado AC se divide en cuatro partes iguales, trazando paralelas a la
base por los puntos de división se obtienen otros tres triángulos más
pequeños.
a) ¿Cuáles serán las longitudes de los lados de cada uno de los
triángulos obtenidos?
b) Si la altura desde A mide 3,42 cm, ¿cuánto medirán las alturas de
cada uno de los tres triángulos más pequeños?
c) ¿Cuánto valen las superficies de cada uno de los cuatro triángulos
semejantes?
65
5. Aplicando el teorema de Tales halla los valores de x, y, z en la siguiente figura.
6. Divide el segmento AB:

a) En 3 partes iguales. b) En 7 partes iguales.
7. Ana mide 159 cm y proyecta una sombra de 53 cm. A la misma hora, la torre del
campanario de la iglesia y un ciprés proyectan sombras de longitud 13,5 m y 6,2 m,
respectivamente. ¿Cuál es la altura de la iglesia y del ciprés?
8. La maqueta de un rascacielos en forma de prisma cuadrangular mide 5 cm

de lado por 22 cm de alto. Si está hecha a escala 1 : 1000, ¿cuáles son las
medidas de ese edificio en la realidad? ¿Qué volumen ocupa la maqueta y cuál
será el volumen real del rascacielos?
Soluciones:
2. 7,8 × 5,7 metros. 3. 4,8 km. 4. a) 1,75, 1,5 y 1 cm; 3,5, 3 y 2 cm; 5,25, 4,5 y 3 cm. b)
0,855; 1,71; 2,565. c) 0,748125 cm2; 2,9925 cm2; 6,7331 cm2; 11,97 cm2.
9 30
5. x  ; y = 6; z  . 7. 40,5 m; 18,6 m. 8. Medidas: 50 m de lado; 220 m de altura.
2 9
Volumen de la maqueta: 550 cm3. Volumen real: 55000 m3.
66
Tema 10. Cuerpos geométricos Resumen

Prisma
Volumen: V  l 2 ·h
Área total: A  4·l·h  2·l 2
 En general:
Volumen = área de la base × altura
Área total = Suma de las áreas de sus
caras.
Cilindro
Volumen: V  ·r 2 ·h
Área total: A  2··r·h  ·r 2
 En general:
Volumen = área de la base × altura
caras.
Pirámide
1 5·l·a
Volumen: V  · ·h
3 2
l·H l·a
Área total: A  5·  5·
2 2
 En general:
1
Volumen = ·(área de la base × altura)
3
caras.
Cono
1
Volumen: V  ··r 2 ·h
3
Área total: A  ·r·h  ·r 2
 En general:
1
Volumen = ·(área de la base × altura)
3
caras.
67
Tema 10. Cuerpos geométricos Autoevaluación
1. Halla el volumen y el área total de un cubo de 20 cm de lado. (Haz un dibujo orientativo).
2. Una caja de zapatos mide 28 × 15 × 9 cm. Halla su volumen y el cartón

mínimo necesario para construirla.
3. Un aula tiene forma de prisma recto. Si sus dimensiones son: 8 m de largo, 6,50 m de
ancho y 2,80 m de alto, ¿cuántos m3 de aire contiene? Si pudiese llenarse agua, ¿cuántos litros
cabrían? (Haz un dibujo orientativo).
4. La misma aula tiene un lateral largo acristalado; en otro lateral está la puerta, que mide 1,20
× 2,30 m. Si se pintan las paredes, menos el lado acristalado y la puerta, ¿cuánto mide la
superficie pintada?
5. Halla el volumen de una pirámide de base un pentágono regular de lado 8

cm, apotema de la base 5,5 cm y altura 15 cm.
Calcula también la apotema (H) de sus caras laterales y el área lateral.
68
6. Halla la superficie total y el volumen de una pirámide cuadrangular de lado 12 cm y altura

8 cm.
7. Un bidón tiene 54 cm de diámetro y 65 cm de alto. Halla su volumen y la

cantidad de metal necesario para construirlo.
8. Halla el volumen y el área lateral de un cono de altura 4 cm y radio de la base 3 cm.

(Dibújalo con las medidas dadas).
9. La torre de un castillo tiene forma cilíndrica y está coronada por una cubierta
cónica. La base del cilindro mide 4 m, su altura 10 m y la altura del cono 3
metros más. ¿Cuál es el volumen total de la torre?
Soluciones:
1. 8000 cm3; 2400 cm2. 2. 3780 cm3; 1614 cm2. 3. 145,6 m3; 145600 litros.
2 3 2
4. 56,04 m . 5. 550 cm ; H = 15,98 cm; 319,6 cm . 6. 384 cm2; 384 cm3.
3 2 3 2
7. 148788,9 cm ; 15599,52 cm . 8. 37,68 cm ; 75,36 cm . 9. 138,16 m3.
69

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RECUPERACIÓN

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Propiedades de las potencias:

c)  2 :  2   2  2 d)  2·  3   2 · 3   8

Raíz cuadrada: a  b , a > 0  b 2  a . Ejemplo: 144  12 , pues 12 2  144 .

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11. Halla, si existen, las siguientes raíces:

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6. Aproxima a las unidades:

7. Realiza las siguientes sumas y restas:

10. Expresa en segundos:

11. Expresa en horas, minutos y segundos:

12. Expresa en grados, minutos y segundos:

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6. Calcula, simplificando el resultado:

Tema 4. Fracciones (II) Resumen

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