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irenesaga
Matemáticas 2
2º Grado en Fundamentos de Arquitectura
Escuela Técnica Superior de Arquitectura

Universidad Politécnica de Valencia
Reservados todos los derechos.

No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad.
'li,rrra .J: Int,egraciórr rnriltiple M¿rtr:rnáticas 2 (' rst' 2O22/2O2i)
PROBLtrMAS TEMA 3: Integración múltiple
1. Calr'ulal las iutcgrakrs rkrlrlcs pol intcgr¿rririrr sll(:()si\¡a

,r) t't;)rlt:rl'r1clorrrlc i- 10. r] r [ti" l] .
J,,l,r,y(r:
,, r' sitt2 'utlt:d.'tt<l«rrrrl. 1 - 10. zrl x [{).;il .
.[.l,siu2
,, I t1)tlL:rlrl<l.rrrlr, / - [0. rl'2) x lo.rl'l).
l..l ,sirr(:r:
Soluc'ión,
a) 713. b) r2la. c) 2.
2. Calrular Ia integrtil r1r¡ble rk»xk'

I l..rUr,+T'y)d;r:di7
A:{(r,y)elR2: 0 {r{l,r3 {'g<'r:}.
(;
boltt,(lott: -
5
:J. L)ilru.iar la rcgirirr rlc rnl cglar irirr r' (lalt,rtlal l¿r ilrl r'gt al <krlrlr:
ir) I l' t,'¡ ¡i21tl.rtlu sicnrlo D cl tri¿irrg-rrlo rle vtirtires (0 0). (2.0). (2,-l)
,l J»
l,) [l O+r)ltrl.r'r1'ry sienclo D e1 tr¿rpezoidc rlc r,órtic,cs (0.0). (1.0), (1,2), (0 1).
.t.tn
,, I) la rcgirirr liruitarla por cl «'.ic OX v 1a griifir',r rlc Ia frtn«:iótt
.l ..1 ,trr-'¡l)rltrlrl.ricntlo
l/ - sitt:,¡: cn ci ilttclr'¿rlo [tt. zi].
Sctlttciórt: a) 13/6. b) 1J/.s. c) n) - ,lrtf 9.
-1. Calr'ttltrt'1a itttergrtil tlc 1a fitttti«itt .f'(,,',1):2'!t - 5.¡'t t'tt c1 r'«itt.jttttttr
.l = {t.,.ll) C ?' . t)< t¡ '-:\. ()1 .t 1 I'l}

:Ju - l:-.t
§,,1xtit)rt: _ r/ll -
.-, 4
a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-8647118
Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad.
'Ii'r;r¿r jl: Integraciórr rnúlti¡rle Nlatern¿itir:as 2 Ctr*t 2022f 2O2i)
5. Cak;ul¿rr' la irrtcgrai a-au sicrrrlo D cl rcr;into, cn cl Prirncr' (i1r¿r,(lrarrto) corrr-

llrU
prendido elttre la gráfica de Ia funci ón u : sirr n y 1a recta , :1* (que pasa por los
puntos (0,0) y (X,rl ) en el intervalo l0,rlZ].
Sol,u,ción,: L.
24
6. Caic,ul¿rr Ia intcgral
r d,rd"y
I l^, cos
siendo A la región del plano forrnada por los puntos que satisfacen que 712 < A 1 sinr,
con Í en el intervalo [0, r].
* y) clr:r|,'¡¡, siendo D Ia región de] prirner cuadrante com-

ar la integral f [r(r
prerrdida entre las rec;tas Í : 0, g : tr y A : 4 - r
8. Calr,rilar 1a integra, dtrl'ud:.sierrrlri

ll l^t
A: {(r,A,z) €1R.3 : 0 { r 11, 0 ( U { r, 0 I z< r+A}.
.)
.)
SoLucton,: -B
9. C¡'ric'ul¿rr la irrtcglal tliplc. rlilrtijarrrlo la rergirirr rler irrtegrar'itin. (t: - *2) rttrturt -:
¡1
IIl ,
rlorrrlc
A: {(*,u,2) eR:r : 0 { r I l, r,2 < t¡,rfi,, {z1n'+U'}
12
s olur:i,ri'n,: ;.)i)
10. Calc:ul¿r mediante Llna irrtegltrl doble r:1 ¡írea de la regiirn ciel plrrrio
')
D=-{(,¿..r1) e R2:o(.r.{1" l<,, ..,\
Solur:'irín: 7 f ;)
si lees esto me debes un besito

Matemáticas 2
Banco de apuntes de la
'll,rrr¿r lri: Integr:rciótr rrrúltiple Nlaternáticas 2 ('ur*' 2022/202il
11. ux)(li¿l1rtt'itttcgrat'i<in tlolrlc. cl iu'c¿r rkr 1a rcgitir) (lol l)l'iuror'(:11¿i(h¿utt()

(.'¿rlr:ul¿tr'. (:(.)trr-
l)rclldid¡r elrtrc la gr1ifir'ir rle, 1a furrc'i(itt'u: cosrl; v 1a rerrta '!J : I - ]:,:.

Sr¡l,Lt,r:i,rj'tt,: 1 - +.
ll. Cak'ul¿ir el volurricll (lel sírlirkr liniitarlo I)tll' l¿rs sul)er'fi(ics
,:4-'!J'', !/
,),
fr :2, Z:0
Solución: 64f 3
13. C¿rlculal cl volurnen derl sólirlo
B: {(r,U,z) e IR3; q { 12,'!/ ) 0, 0 1r 12, O 1z 13r+5A}
,Jt¡ltt,r"itítt: '28.
14. Hallar cl volutnun clcl srilirlo orl IRil, situarkr crr cl l)rirnor or;tantc. lirnit¿r,rkr por krs 1)lallos
coordenados. el plallo A:2-:L y lasuperficie z:4-12.
Soluci,ón: 20f3.
15. El sólido ,S encerrado dentro de la intersección de los dos cilindros de radio r >0
dados por 12 + z2 { 12, ?/2 + z2 { 12 es tal que cada sección paraleia al plano XY
a altura ü, con -r < t I r. es un cuadrado de vértices (-lrl -P,-fF -F.t¡,
et/i, - t7, {Ñ,t). 6fr, -7, -\fr4=1?,t), y 6fr, -7, \fr, - t?,r). Hacer un
dibujo del sólido, de algurra sección paralela a XY . y calcular su volumen mediante el
Prirrcipiri rlc C¿rv¿rlir:ri, cs <lcr:ir. olrtcncr ln irrtr:gral
V-
I y(D¡)dt.
donde D¡ es la sección cuadrada del sólido a altura t, -r <t<r

Soluc'ión,: 7613 f 3.
1)

'l'r,rlr¿r li; lntegración rnúrlt,ipkr Mat,elrrát ir:as 2 (l.rstt 2022f 202i)
10. Itrr i¿i csfirra t1r'r'¡r<1io fi r1¡rrla I)()r'r¡i2 + y2 + / < R) r'lirrril;rru()s lil l)art() intclior ¿il
rilirlrlrti :t) ¡'r,z { l'2. r'o}t t'< R.l)aI¿l g(rlt(rl'¿tI ttI} s('lyilletc'I(.,. Par¿l (ltte eL ser'ill(ltel'o
tr:rrga urra ¡rltur'¿r h sc ticrrc (luo ('rrrrrplir rluc z' : R2 - (hl2)'2. TJl,iliza <rl Prirrt:ipi«r
de Cavalieri para obtener el volumerr del servilletero. dibuja un par de serviileteros de
¿l,lttrra /¿ y tlifclcntc r¿r,rlio rlc l¿1, csftrr¿1, R,,y zt" srr vcz obsclv¿l cl llrobk:rn¿l rlcl sclvill«:tcro:
EI volumen del servilletero no depende del radio de Ia esfera que estarnos agujerea,ndo.
sirro siurplcrncntt: rlc la ¿rltru'a l¿ rlcl scrvillctcro.
Sotución: S.
17. Iltlllzar ci Priucipio rkr Cavalicli ptrr a ol;t,crrcl cl vohrnrclr ()rr(:or'r'¿rilo iicntlt.r ilc la polt:irirr
ilel hiperirol<¡iclc dc urra lroja .r2 + lf - z2 - I erltre : -) \' tr: 1.
Solttr:ión: 0r.
18. N4uchos siglos antes que Cavaiieri, Alquírnedes ya utilizó ese método para obtener el
volumen de una esfera, conocidas las fórmulas dei volumen de un cilindro y e1 de un
cono. Concretamente, si tomamos el sólido ,S1 correspondiente a la serniesfera t:2 +'y2 +
z' 1 R', z ) 0, y el sólido 52 interior al cilindro de radio R, Í2 +y' I R2,y exterior al
cono con la misma base que la tapa superior del cilindro, 12 *'A2 ) z'2 con 0 1 z { R,
y sabiendo que ¡"r(S2) :V(ci,li,ndro) -V(cono):2trR,313. seccionamos la semiesfera
,S1 a altura ¿, 0 < t < R. para obtener un círculo Dt., y el sólido ,S2 para obtener un
anillo circular D',.. Comprobar que p(Dt) : l-r(D'r) y, aplicando el Principio de Cavalieri.
deducir que p(,S1) : p(Sz), y por tanto 1a fórrnula del volurnen de la esfera.
Soluci,ón,: 4trR.:t f :1.
19. Clalcular'. nlccliantc erl «:anrlrir-, a t'oorr,krrr¿ql¿1"r 1){)ltil'es. I¿ irttcgral tloblc (.r,2 -'
[^
¡12) clt:d'u sieuclo
-4 : {(,r.,r) e lR2 :,r,2 + ti. < l}.
Soluc'ión,: r f 2
20. La, densidad en un punto (r.g) sobre la lárnina, semicircuia,r
D: {(r,A) e R' , g, } O, 12 +a' ar'}

'lirna li: Integración rnírltiJrle N"Iaternáticas 2 (' us,t 2O22f2O23
os f(r,y) : + !/). C¿tlt'itl,tt t'l t:clltlo rlc tttas¡L <1c la l¡'rtrrilr¡r. o.! <1cr:il . h,iy <1uc
r'¿
ol)telicl'c1l I)Iil]]er lugar'la nras¿r ,l-f : ,[ .[ ,,./, ]-n ('or]tinuil(ririrr cl r'r:rrtr'o de uias¿r cs
('", ti)
(ro,yo):¿b#g .l | ,, tt f
A4
)
S olu c: i,rirt : (tl. :l I Zr¡
21. Hallar Ia masa y las coordena,da,s del centro de gravedad del sólido comprendido entre
la superficie 4 - z : :12 I'g2 y el plano XY suponiendo que el sólido es homogéneo
(densidad constante).
Soluci,ón,: AI : 8trk, centroide (0,0,*).

.)
22. Ca,lcular Ia integral de la funcrión .f (r,A) : ,,"!! , en el corrjunto

x:-+ a.
A: {(r,y) e IR' ; ,' +u'14, r) o, E l o}.
Srtl,trc:ión: -6
2,i. Calcr-rlar 1,r intcgr,U 12 + drd'ydz mediante el cambio a coordenadas cilíndri-

ll l^ A2
('o1]o:2
c'irs. sictldo,4 e1 stilirkr firrur¿rclo 1;or 1a lx.,.jir srrpelirir c1el -.ti2 1- ll')- cl pl¿ilx)
.:l
,9olur:'iórt: r f 6.
21 Rcsolr'el Ia sigrticrrtc intr-'grrrl ulcrli¡rttte cl r:atrrlrio ¿l r'oolrien¿r<1as csfórir'¿is
rtrrtt.rt: .
I I I ,r¡
siendoelsólido A:{(r,g,z) e IR3 : 12+U2+22<l, 3/>0}
Sohtc'ión: T.
4
'll,rr¿r ii: lntegración rnúlt,iple N4aternáticas 2 (lv*t 2O22 /2(l2i\
25. Calt:ular' 1rr intcgrrr,l
c 12+92-z ) drdydz II l,
siendo V: {(r,A,z) € IR.3 12 +a'+ z2 12, z > 0}
*z
lt
T -
Jol,'u,(:'t,0'tt,: 1T.
26. Calr:rrlar'1a irrtt:gr ,., I I " lll,'I (.,'+yt) rlrdttrl;,:.sienrkr I- e,] stilirlo linlitackr 1;or la supcllirit:
l- .,'t * !l'r ll lrl,rrro r - 2.
St¡ltt,t:i r't'tt,: 16r I 3.
27. Hallar el volutttertt rlel toro cle raclir¡s fi ), ,' (fi > , ) c1e ecu¿icirln :2+( :r)+rl-R) , 1 ,_r,
tttilizarrrlo erl c¡rnrbio ¿r (;()()r(ien¿lclas c:i1íttdtic:as.
Sr¡l,tt,r:i,ritt: ')r2 ll t'2
28. Una sala circular tiene una cubierta de hormigón cuya forma está descrita por la
superficie de ecuación:
200(z*6) :"-Y'''
Calcular el volurnen de ia sala sabiendo que el diárnetro de su l¡ase es 40rn.
29. Hac:icnclo urr r;arrrlrir-r ¿i (:ool'de1]¡lc1¿-rs esférirr¿ts. lc,.oh'ct' Ia rnteglrrl
+ a' + z2) d,rd,vclz

I I l^r'
,
siendo A el sólido
A: {(r,l),2) €lR3 : 12 +?j' + z' < 7, f2 *1)' 1 r', z> 0}

1
Solu,c:i,órt,: -17 \a -
/o .6r
v L).
5
30. Enunalámirrasemicircula,r D: {(r,,a) € R2: Lt )

<r'} (, > 0constante)
0, x:2 +A2
i:alcrula,r'ci r:crrtro «lc ut¿l,s¿rs sup«rrrictr<lo (llto sit «lcrtsi<l¿rl cs <:tirtst¿l,ttt,r: f (r,a): K. trl
centro de masas de una región plana D es el punto de coordenadas
(,r'..rr) : (ll :r:,f (t:.¡1)rtrrtrl , Il ,tf (r.11¡,t,',ty) lv.
(;

'li.nra li: lrrtegración rntiltipl<: N4aternát,icas 2 ('.wso 2022f 2o2il
rloncle .f (t,a) es la densidar'l r' tr¡ :T^r2Ii cs la ni¿rsa lot¡r1

L
31. Hallar el volumen del sólido cornprendido dentro del tronco cónico 12 + A2 : (z - 7)2
,
. 1-
con z € 10,;), exterior al cilindro *'' + .rt'' : I llllizando el Teorema de Pappus-
1
Guldin, es decir, sabiendo que ei sólido es 1a revolución alrededor del eje Z del triángulo
en el plano X Z dado por
D:{(r,z) e R2 : tl21r{t.0(:(1 it, )
obtener el cerrtroide (centro de rnasa si densidad es constante) de D, su distarrcia r al

eje Z, y el volurnen buscado es
V : (2trr)¡r(D)
Solur:i,rin: tr f6
:J2. trrt tttlro t[c 1t«rt'tltigritt critt fr.,t'trta r1o t1¡,,,i,i,, ticrrrt'rrn (,sl)('s(]r'<kr parc«l rle,J0rrrr. r'i
clilttttetro ittteliot'dc1 tulro cs rlc 2rn. r, la rlistancia r1e1 ccntro ckrl turoirlc ¡11 ccrrtro rkr
1¿i secciól] rlcl tubo es cle 100rn. S¿rlricnckr <1trc erstatnos tttiliz¿rrrrlrl urr horrriigon c:on t111¿l
clcltsirl¿tti rlc 2200 kg/rri'J. olrtcucr c1 pcso rlcri trrlro utilizarrtkr r'1 'Ii'orcru¿r rlc I'irppus-
(]rrlt1in.
Soltt,r:i,rin,: ;J03600;r2 1ig

= 2996 t.
.l:i. C'ak:ul¿rt.el ¿ír'e¿r r1t:la rt'girin itf crit.rr a l¿r t'ilr:rrniirlcritia .r" + !/t - 4 r'a la clelet:ha <le
i¿l Ie(:ta t: : 7
Soluctón,: +n l:l - Ji
34. La tempera,tura sobre la superficie de un disco compacto
D : {(r,g) € R' : 4 { 12 +A2 < 36}(cm),
<rst¿jr.rlaclaporla,f\rn<:i<irr .f(*,ll):25:-,0.5sirr(r2 +?/2) (oC). Cal<,ul¿lrla,tcrnpclatura

media sobre el disco, es decir, obtener , : +^ [ [ f (r,'y) clrd's
I'Q)JJ"
S ol,u,r:'i,órt,: 24,99 (oC).

'lirnra li: Inte¡Jración rnrilt,iple Mat,crn¿it,ir:as 2 (l . so 2O22f 2021)
lJ5. Crrnsitlírrcsc cl srilitlo lirnitado IX)r los I)l¿u)os z :2tr j z :0 y cl r;ilinrlrt¡ 12 Í!/2 : 1. (;orr
r > 0. Calcular mediante el cambio a coordenadas cilíndricas el volumen del sólido.
4
5'ol,tt,ct,ón,: -.
¡f
J
.J6. Calr'ul¿rI los siguientes rrrontr,utos rle irri:r'r:i¿r:
(,r) Dtr ttlra rrslirr'¿ ltortt,rgrittr'.t rlc lrl¿rsa r¡i \-r'¿irlio l lcsllcr:1 o rlt, ruI cjtr <1rtrr l)¡rs('l)()l'
su centro.
(b) De un cilindro homogéneo de masa Tr¿, radio r y altura h respecto del eje del
t'ilinr lro.
Es derr'ir'. sabienclo que 1¿r clistrillrciritr clc dcnsirl¿rri cs p(:t'. y,:) : A: (:olr:it¿rnte. obtencl
, :
I I Írr(r, a, 4' p(*, y. z) d.rdsd,z
donde r'(r,y,z) es Ia función distancia del punto (r,A,r) al eje.
, . 8k¡rr5 2mr2 , . ktrrah mr2
\/ 15 5 "', 2 2
37. Calcular la integral
I I l,z sin(r2 + y2) d,rd,ydz

sicnclo el srili«1o
.) , .7f-
B:{(*,g,2) e IR3 : 0{ z--cos(r2+A'), .I t'Lt', <\ ,2'I
-
ñt 1T
óoLuc'ton,:
o
.18. Sea l.: {(t:,y,2) € R'' / ,'' + !/'+::2 {,1 . il> O. : ( 0}. Calcuiar
I I l"z2 d'r ds ct'

,1 ,
S ol,tt,r:irí n :
1 l-;

'frlrr¿r lJ: Integraci<in múltiple l\l¿rtc¡rl¿íticas 2 (: rrs,t 2022/'202;\
39. Cak;ulal ia irrtcgral

[[["d.rctuctz
JJJp
siendo B el sólido desc:rito por
B : {(r,u,r)€ R3 : r,a ) o, 12 +a2 + 22 < 5)

25
,\()llt('t()il:
-7f
8
40. Sc¿r A: {(r,,!l,r) € R, / 12 +y2 I z') 44, u <0}. C¿rl«:ul¿rr
I I l^r' +'a') d'rdsdz

Setlrrr:'irirr: ff
41. Calcular, utilizatrdo el Teorerna de Fubini de fbrrna adecuada, el volurnen encerrado
por una cubierta cuya ecuación es el paraboloide z : (r2 - A')15 y los planos z : 0,
,!/ :-tr,A:frf:0yf:70.
2000
boluclon: T.
- Jo
42. Calcular el momento de inercia de Ia semiesfera
D : {(r,u,r)€ IR3 : * +a2 * z2 <3, g > 0}

respecto del eje z suponiendo densidad constante igual a,1, es decir, calcular ia integral
I I l"*' + Y') clrd'Yd'z
l
Soluctón: 1r.
¡)
J
43. El centro de gravedad del cono construido con un materiai de densidad constante ¡r
descrito como el conjunto
A: {(r,y.z) e IR.3 : (, - 2)' < 12 +'!/2, 0 I z { 2},
está en el punto de coordenadas (0,0,11). Calcular Ia altura 1l sabiendo que está dada
por la integral:
H-:; 3 [[[.,',.,",
JJJ^zdL:dYd'z'
Ittrota: Observese que A corresponde a la hoja inferior del cono.
Soluci,ón: lr.
2
l)
r¡vteoRRcrcíN uúunetE
O e fln-r [* o r] or-J, d.ond¡ I'Io,17 Lo,'tJ

L
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'l'r,rrra ,i: Int,egrales de línea y de superficie ('trs,.t 2022f 2:)
PROBLEMAS TEVI A 4z
Integrales de línea y de superficie
1. H¿114d 1tr longitucl de l¿rs siguicrrtes (:ur\¡¿r,s
¿sinf.r,-r) clonrlc 0 < i <

a) rr(1) - (r-t (:osf.c 1.
lr) rr(l) :, (f I sirr/. 1* tos1) r'orr 1 € [0.;r] (r'ir:loirlr')

1,.
J',,ltrt i,irr; ,,) li(t li) J.
(:.
2. C'a1r'ul,rci./',(.r,2 +'i). clourlr.a cs 1¿r (ru'\,.¿l (l¿(1¿i I)or
a(t) : (2(cosú*úsinú),2(sinú-úcosú)) con 0< ¿< ,-
.\'ulut itítt; 1r;,r2(I * 2;rr;
3. Calculad la integral del campo vectorial F(r,A,z): (-y,r,z) a 1o largo de la curva

a(t¡ : (cos ú, sirr ú, 3ú), t e l0,2nl.
Soluci,ón: 2n(l + 9n).
4. Cak;ulad ia intr:grul Íp(lf ,11¡.rz), sicrrclo /i la irtr,ratnetrizar:iritt rlc Ia itttcrscr:t;irirl rlcl

cilindro 12 +!12:1y el plano U: z dada por a(t): (cosf,sinú.sint),t e 10,2r).
Soluci,ón: 0.
.r. H¿llacl el valor tle ¡r ) 0 J;artr rlue la integrirl clel tatnpo r:st¡rl¿rr' .f (.r, y,::) - r' * //2 ¡r 1o
Ialgo clc la c;rtrva a(t) : (¡.,tos/.psinf.f). r'orr I € [0.2;il. sca igtial ,r a"t/B.
Sr¡lut:irln: 1t :2.
6. Cak:ul.rd la intcgral a 1o 1¿lr'.-,-o (lc a clcl (¿rllll)o F(t. y¡.:) : (.r'... ,'), sir:ttcio r-i l¿l
ltarranretliz¿rción clc: 1¿r (:ur\,¿l intcr"sccc:i«in cie la suirerfir'ie .r2 + 2u'2 : 2z cr.in el 1)l¿llto
:: - 2 rlarla p1¡r' ¿ (i ) : (l r r,: /. y,I sin 1. 2).
Solut:irin,:0

'l-r'trra l: Integralcs de línea .1. de superficie Cvs,' 2022/23
7. Calculad la integral del campo vectorial F (*,,g) : (2u - ,y,:1) a lo largo de la cicloide
parametrizada por d(t): (o(t - sint),o,(1 - cosú)), 0 < t < 2r.

Solución,: -2tra2.
8. Hailar Ia integral de línea del campo vectorial F(*,A, z) : (612.- siny, 3r2) alo largo
del segmento de recta que une ios puntos inicial P, : (0,0,0) y final R : (1.2',1).
Sol'uci,ón: 1.
9. Calcular e1 trabajo realizado por eI campo de fuerzas F(*,A,2): (2ry,r2 + z,ll),ul

desplazar rectilíneamente una partícula desde el origen de coordenadas hasta el punto
(2,0.8).
Soluci,ón: W :0.
10. Considérese el campo de fuerzas F(r,A,z):

(A,z,Az). Calcular el trabajo realizado
por -F para desplazar una partícula a Io largo de la curva dada por ia parametrización
a(t) : (cos sin ú, e¿). ú e [0, r].
21,
7T1
,g
22 1r+e") +]( e 2r 1
11. Utilizando el teorerna de Green-Riemann, calcular la integral de línea

I F. sienrlo ^¡
la circunferencia de radio 2 y centro en el origeny F(r,A): ('y',*).

Soluci,ón: 4tr.
:
12. C¿rlc:ular'. ¿rplic¿rlrdo Ia fónnula rlc Glcelr-R.icn]¿rr1r. la intcgral
I tr. sicrrclo F (;r' . u)
(2*A - fi2, -fr - A') y 1 la curva formada por 1os ejes coordenados y el cuadrante
positivo de Ia circunferen<:ia 12 +'y2 : 4.
Soluci,ón: -r - LGl3.
13. Si D c la región del plano cuya frontera está parametrizada por una curva 7 de
lR2 es
clase C1, cerrada, simple y orientada positivamente. ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es falsa?:
@) : ,, sieuclo F(*,ü : (r'a,r2 + a2).

IÍrrd,rd,y 1.,
-ll,rrr¿r ,1:
Integrales de línea v de superficie ('nrsLt 2022f 23
fal : r, siendo F(*,y) : (er+2u.y).

llrer"r+zu)d,rd,, .[.,
k) llrcos(n -t y)clrrt,u : ,, siendo F(*,ti: (cos z, sin(r + ?i)
1.,
: : (y
@)
I |rd,rd,y l, ,, siendo F (', ú 12, r 12) .
G) : r, siendo F(*,'a) : (r',a').

.l ..lrdrd,s [.,
ftl
llrf*s(z
-r :¿r) - sin r)rlxly : l, ,, siendo F(*, a): (cos z, sin(r + s))
11. Lrtilizando cl
7la
t,eor'«ln¿i ric (lrcorr-lliern¿uu.
circunferencia de radio 3 y centro en el

(:¿rl('ul¿r1 1a
origeny F(r,y): (2y,-r2)

I
inlrrglal F,r'r,uvilíne¿r siendo
15. Calculad Ia integral del campo F(r,A,r): (Ar,-rz.rg) a lo largo de la curva

parametrizada por a(t) : (cos f . sin t, ú) con ú € [0,2ir].
Solución: -2tr2.
16. Calc'ultrr'la, intcglal rlcl ('¿rrrll)o f'(, l.^-): v'T- 1-:2 - lit +4 rr l«r larg<.r rlc Ia rrur-a
patarrretlizircla, por 1¿r e\l)r'€rsi(irr:
o(t) - (t2 + +.2sinf.2rlrs/). cont e 10.;r]
17. Considérese el campo vectorial F(*,A) : (2ry - n2,*Í - A') y 1la curva, cerrada
ftrrrnad¿r por cl scgrncnt«r <lcl r:jc OX <x.at purrto irrir;ial (-2.0) y punto firral (2,0) v
la semicircunferencia 12 + U2 : 4, A ) 0, orientada en sentido antihorario (positiva-
rncntc). Sc trrirlc <;¿r,k;ular:
u) I^, F, aplicarr<kr cl Tr:«rr'orna rlt: Grcr:lr-R,ictrt¿r,un.
t,) ,1, F. si<xl<lo l1 r:1 scgrn«lrto <l<rl c.ic OX r:orr purtto irri<:i¿rl (-2,0) y ¡rtrnto fittal
(2,0).
") fr, d
siendo 72 la semicircunferencia dada anteriormente, utilizando los resultados
rkr los a¡rartarkrs a) v b).
Soluci,ó'n: a) -2tr. b)-+ c) -2tr. T

'li,rrra 1: Integrales de línea de superffcie ('trrso 2O22f 23
18. La curva en IRB que se obtiene corno la intersección del cilindro *' + !l' : 4 y el piano
z : :x * g se puede parametrizar mediante la función:
a(t) : (2cos t,2sint,2(cost * sinú)), 0{t{2¡r
Calc:ulaclla itttegltil r1e 1ínea
I / f. rl,'rrao F r.1 (anr1)o r-e.t:toli¡rl F(r. g, :) : (;1,2'u. :r:- :)
Soluc:irín: O.
19. a) Calcular la integrai del carnpo .f (t:,71) : r a lo largo de la parábola 17 :4- r'2
que va desde el punto (-2,0) al (2,0). Sol,,ución: 0.
b) utilizando el Teorerna de Green-Riernann y sabiendo el área de un círculo. razotTar

por qué 25tr : [*(O, r), donde o(t) :: (5 c,os ú, 5 sin t). t e lO,2n).
20. (u) Determina en cada una de las afirmaciones siguientes si son verdaderas o falsas.
Justifica Ia respuesta en la/s que consideres falsa/s.
i. trl teorema de Green-Riernann relaciona la integral de lúrea de un campo
escalar con una integral doble.
ii. La curva que interviene en el enunciado del teorema de Green-Riemarrn es
una curva de lR3.
(b) Sea a ) 0. Calcula rnediante el teorerna de Green-Riernann ei área de la región

encerrada por la hipocicloide (astroide) definida por r2l3 + y'/' - a2ls usando 1a
parametrización:
a(t) :: (a cos3 (t) , a sin3 (ú)), 0 < t 1 2¡r .
Es decir, calcula la integral de linea /',,F siendo F(r.r¡: (0,r).
21. Sc¿r D los tr»rutos dcl lrltr.no (tr,,T,) talcs ,¡rc 2,2 + t¡2 < R2. Sca ,S i¿r,
<:l rrorriunto <kr
superficie pararnetrizada por r(u,u) : (u,u.2u*3u +2R), (u,u) e D. Calculad Ia
integral de superficie: [,
Js
Solución: 2l14trR3.
22. Dadalaparametrtzacióndelasuperficie,S, r: D c JR2 --+ IR3,r(u, u): (ucos?,, usinu,u2),

donde D : {(u,u) I 0 1 u 1 4, 0 ( u < 2tr). Calculad el vector normal .n/(u, tr) y
hallad el área de la superficie.

'li'rrr¿r '1: Integrales de línea de superficie ('nts,t 2O22f 23
.y
St¡lu.r:i,rin,; r\r(u,. t,) - (-2112 (:os ¿,.

-2¿r2 sirirr. ¿/), I' r:l /rre¿i .s ñ((;5\,4it - 1)/(j
23. Calcular el área de 1a porción de superficie cónica x:2 + A2 : z2 que está comprendida
ent,re los planos z : I y z : 2.
Soluci,ón: 3tñ".
24. Se decide cerrar una sala rect-angular con una cubierta de hormigón cuya forma es una
superficie ,S que viene descrita por
.¡: : 10cos'u.'!/ : t'. .: : 10sitt'¿¿.

lt
-1-<i u 1 --.
rt ll
0 ( r, < 10 (en rnetros).
4 -
y es de un grosor de 30 cm. Calculad el área de ,9 y, teniendo en cuenta que Ia densidad
del irormigón utilizado es de 2.4 Tnf m3, deducid el peso de Ia cubierta.
Soluci,ón: El área es 50zr fr2,y el peso de Ia cubierta es 362-Tn.
2J. C¿rlrrrl¿rr cl ¿ire¿r rle la polr:irirr rlel palirboloirl() r: ,'''+ll' r:ottt1»'crtrii(1¿r ol)tr() los pl¿tllc)s
::1)-::4.
,S,,ltt, \¡lly'n
i,ítt: (i' ;t/r,).
26. Sea 5'la senriesf'er¿r :¡'2 + !l'+.2 : I , z ) 0. \'si:a el t:anrlro verctoli¿rl F(t:.q.:):
(,r. rl.0). C'a.lcul¿rrl la integlal cler suporficic./', F curplcraurlo iti parturretlizar:itin r(u. r') -
(sirr u cos?r. sitt'¿rsin ¿' . ( ()s ir) ctt l,t t'cgir'lti ¿lrlt't:u¿ttla.
27. Calr:rrlarl lrr iutcgr¿il clcl (:¿ulrl)o vcr:tori¿rl l"(:r. q.:) =. (rr'. ¡1.:') a tr¿ivtis rlc la porr'ión dcl
1;rrr,rboloirlcr'(rr.¿') : (,, ,' € R2: i +t'2 <4o,2}
*(rr-+tr2)).clefirrirlacnl¿rregiórtD:{(u.r)
S olrt,r,i ó'n,: - 4r o'\ .
2E. (a) Cak'rrlar cl ¿ile¡r rkr la strpt'rfir'ic 5 tle cctt¿rt'itilr.l - 1-.¡2 - rl <tott 0 (: ( l.
(b) Cali,ulal c1 flujo (integltrl r1e supclfir:ic) clcl ( ¿urIl)() r,ec'tr.rrial F (:r . q.:) - (,i,r. 3'¡¡ . 6z)
a travós clc la superfic,ie 5 ¿r,rltorior.

.\',,lttti,ítt; ,,),(;.:(;ttrt-l). l,) trr.

'.li'nla 1: Integrales de línea v de superficie Ovso 2O22f 23
29. Sea la superficie ,S descrita por la ecuación z :2L -,y2 con 0 ( z < 1, 0 < ,g < I
Calculad la integral de superficie /]f. siendo F(r,A,z): (-y,r.z).
Soluci,ón' !.b
.10. Sea S Ia superlfic:ie. pararrrctrizarla pol
r(u,u): (ucos?, usin r,.

^/u2
+l), ('()1) ?r€[0.2] . r, €[0.22,].
C'¿1c:ulatl la integlal il«r sulrct'fir'ic ./, f,. sicuclo F cl carupt-¡ vertori¡rl
F(t:. u. 2) : (r: 12i.u2+7,a 12+u2+1,0)
S ol,tt,r:'i,ritt,; -8'¡t .
31. Hallar el área de Ia porción del paraboloide. z:4- 12 - y2 situada encirna del plano
a-_n \t.
-
Solución: IOiln
6' - \.
.J2. C'ak:ulail la irrtergr'¿il rlc sttpcrlicic rlt:l i:atrtpo b-(t'. 11. r) - (ll. -2.0) solrrc lrL superfi<:ie
S:r(D) p¿rr'¿unctliztldt)porr'(u.r,) :(r,.r/,i+i,+L r,)t'rr1tr legiriri D:{(2,.r.,) e
lR2:ir2 1i,2(.1).
33. Dado el campo vectorial F(r,?),2): (A,-r,z), calcula,d la irrtegral frF siendo S la
supurfir:ic rkrsr:rita llor'
5: {(;r;.'ll,z) € lR''; . -'2u-,r'2. 0<.,'( 1, 0{ q f 1}.
,J-1. Cal<:uiarl 1a irrt.glzrl I C 1) sicrrilo 5'la stipctfir'ic «lt:st'rit,a lrot'

lu
S: {(.r.u.z) € R'J: ,:t + li * :r:1. y > 0}.
utilizanrlo 1n palarnetlizar'irirr r:sfóric'a clcl r:jercir'io'l? orr la tcgiritt ¿tclcr;riac1¿r.
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I NTECRA¿ES DE L IilEA Y DF SU P€R I-ICIE
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2º Grado en Fundamentos de Arquitectura

Escuela Técnica Superior de Arquitectura

Reservados todos los derechos.

PROBLtrMAS TEMA 3: Integración múltiple

1. Calr'ulal las iutcgrakrs rkrlrlcs pol intcgr¿rririrr sll(:()si\¡a

2. Calrular Ia integrtil r1r¡ble rk»xk'

-1. Calr'ttltrt'1a itttergrtil tlc 1a fitttti«itt .f'(,,',1):2'!t - 5.¡'t t'tt c1 r'«itt.jttttttr

.l = {t.,.ll) C ?' . t)< t¡ '-:\. ()1 .t 1 I'l}

5. Cak;ul¿rr' la irrtcgrai a-au sicrrrlo D cl rcr;into, cn cl Prirncr' (i1r¿r,(lrarrto) corrr-

* y) clr:r|,'¡¡, siendo D Ia región de] prirner cuadrante com-

8. Calr,rilar 1a integra, dtrl'ud:.sierrrlri

D=-{(,¿..r1) e R2:o(.r.{1" l<,, ..,\

si lees esto me debes un besito

11. ux)(li¿l1rtt'itttcgrat'i<in tlolrlc. cl iu'c¿r rkr 1a rcgitir) (lol l)l'iuror'(:11¿i(h¿utt()

l)rclldid¡r elrtrc la gr1ifir'ir rle, 1a furrc'i(itt'u: cosrl; v 1a rerrta '!J : I - ]:,:.

13. C¿rlculal cl volurnen derl sólirlo

B: {(r,U,z) e IR3; q { 12,'!/ ) 0, 0 1r 12, O 1z 13r+5A}

donde D¡ es la sección cuadrada del sólido a altura t, -r <t<r

si lees esto me debes un besito

Soluci,ón,: 4trR.:t f :1.

20. La, densidad en un punto (r.g) sobre la lárnina, semicircuia,r

D: {(r,A) e R' , g, } O, 12 +a' ar'}

si lees esto me debes un besito

S olu c: i,rirt : (tl. :l I Zr¡

Soluci,ón,: AI : 8trk, centroide (0,0,*).

22. Ca,lcular Ia integral de la funcrión .f (r,A) : ,,"!! , en el corrjunto

2,i. Calcr-rlar 1,r intcgr,U 12 + drd'ydz mediante el cambio a coordenadas cilíndri-

21 Rcsolr'el Ia sigrticrrtc intr-'grrrl ulcrli¡rttte cl r:atrrlrio ¿l r'oolrien¿r<1as csfórir'¿is

25. Calt:ular' 1rr intcgrrr,l

St¡ltt,t:i r't'tt,: 16r I 3.

Sr¡l,tt,r:i,ritt: ')r2 ll t'2

29. Hac:icnclo urr r;arrrlrir-r ¿i (:ool'de1]¡lc1¿-rs esférirr¿ts. lc,.oh'ct' Ia rnteglrrl

+ a' + z2) d,rd,vclz

A: {(r,l),2) €lR3 : 12 +?j' + z' < 7, f2 *1)' 1 r', z> 0}

30. Enunalámirrasemicircula,r D: {(r,,a) € R2: Lt )

(,r'..rr) : (ll :r:,f (t:.¡1)rtrrtrl , Il ,tf (r.11¡,t,',ty) lv.

si lees esto me debes un besito

rloncle .f (t,a) es la densidar'l r' tr¡ :T^r2Ii cs la ni¿rsa lot¡r1

D:{(r,z) e R2 : tl21r{t.0(:(1 it, )

obtener el cerrtroide (centro de rnasa si densidad es constante) de D, su distarrcia r al

Soltt,r:i,rin,: ;J03600;r2 1ig

34. La tempera,tura sobre la superficie de un disco compacto

D : {(r,g) € R' : 4 { 12 +A2 < 36}(cm),

<rst¿jr.rlaclaporla,f\rn<:i<irr .f(*,ll):25:-,0.5sirr(r2 +?/2) (oC). Cal<,ul¿lrla,tcrnpclatura

si lees esto me debes un besito

37. Calcular la integral

I I l,z sin(r2 + y2) d,rd,ydz

I I l"z2 d'r ds ct'

si lees esto me debes un besito

39. Cak;ulal ia irrtcgral

B : {(r,u,r)€ R3 : r,a ) o, 12 +a2 + 22 < 5)

40. Sc¿r A: {(r,,!l,r) € R, / 12 +y2 I z') 44, u <0}. C¿rl«:ul¿rr

I I l^r' +'a') d'rdsdz

42. Calcular el momento de inercia de Ia semiesfera

D : {(r,u,r)€ IR3 : * +a2 * z2 <3, g > 0}

I I l"*' + Y') clrd'Yd'z

A: {(r,y.z) e IR.3 : (, - 2)' < 12 +'!/2, 0 I z { 2},

O e fln-r [* o r] or-J, d.ond¡ I'Io,17 Lo,'tJ

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